Aula 3 - Polos e Zeros em Sistemas Dinâmicos II

Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Aula 3 Sistemas Dinˆamicos II ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Exemplo Exemplo circuito RL Rit Ldit dt vt Considerando condicoes iniciais nulas RIs sLIs V s Funcao de transferˆencia Is V s 1 sL R Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 12 ordem Tinta iol co Espaco de estados Exemplo Resposta do sistema para R 20 L 01H e entrada vt 100uat 1 QO parat0O t a 0 1 2 3 4 5 1 uat Ss Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Exemplo Is GsV s 1 0 1s 2 100 s No domınio do tempo Antitransformada de Laplace Tabelas de transformada de Laplace Da tabela de transformadas de Laplace a ss a 1 eat Portanto Is 1 0 1s 2 100 s 50 20 ss 20 it 501 e20t Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 4 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Exemplo it 501 e20t Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 5 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Funcao de transferˆencia Polos e zeros Gs NGs DGs Raızes de NGs Zeros Raızes de DGs Polos Gs s 1 s 2s 3 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 6 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 1ª ordem Sistemas representados por uma equacao diferencial de primeira ordem sao caracterizados por um ganho e uma constante de tempo que determinam sua resposta estacionaria em regime permanente e transitoria Sistema de 1ª ordem Y s Us K τs 1 K ganho τ constante de tempo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 7 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 1ª ordem Os parˆametros K e τ possuem uma interpretacao fısica util quando considerase uma entrada do tipo degrau Audt O ganho K adimensional representa o quanto a saıda e am plificada ou atenuada em relacao a amplitude do degrau em regime permanente lim t yt lim s0 sGsA s KA A constante de tempo τ em segundos representa qual o tempo gasto para a saıda atingir 63 de seu valor final t 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 1 e t τ 06321 08647 09052 09817 09933 Regime permanente 4τ 2 do valor final Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 8 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 1ª ordem Voltando ao exemplo anterior Is V s 1 0 1s 2 0 5 0 05s 1 K 0 5 τ 0 05 Amplitude do degrau A 100 Valor em regime permanente 50 Tempo de acomodacao 40 05 0 2 500 9817 49 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 9 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 1ª ordem Sistema de nıvel Valor final 2 5cm Tempo de acomodacao 85s Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 10 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 1ª ordem Gs 2 52 23 92s 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 2ª ordem Sistema de 2ª ordem Gs Kω2 n s2 2ζωns ω2n O ganho K e o valor da resposta em regime permanente para a entrada degrau unitario A frequˆencia natural de oscilacao nao amortecida ωn rads e a frequˆencia que o sistema oscilaria se nao possuısse elemento que dissipa energia resistˆencia amortecedor etc O fator de amortecimento ζ adimensional quantifica o amor tecimento da resposta do sistema Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 12 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 12 ordem RTC eMe Maemel cell Espaco de estados c a Sistemas de 2 ordem Os polos de um sistema de 22 ordem genérico sdo s 2Cuns w2 0 12 CWn Wn V 1 No sistema de 12 ordem os pardmetros modificam apenas a velocidade 7 e 0 valor final da resposta x No sistema de 22 ordem os pardmetros modificam também a forma da resposta Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 2ª ordem Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 14 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 2ª ordem Resposta nao amortecida Ocorre quando ζ 0 Polos s12 jωn Exemplo Gs 9 s2 9 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 15 29 e Taal odie Polos e zeros Sistemas de 12 ordem RT seme Memos ln Espaco de estados Sistemas de 2 ordem Resposta subamortecida e Ocorre quando0 1 Polos 12 Cwy jun V1 x L Exemplo Gs 2 Exempio za P s 2849 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 2ª ordem Resposta criticamente amortecida Ocorre quando ζ 1 Polos s12 ζωn Exemplo Gs 9 s2 6s 9 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 17 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 12 ordem Sistemas de 22 ordem Espaco de estados Sistemas de 22 ordem Resposta superamortecida Ocorre quando 1 Polos 12 Cwy Eun VC 1 Exemplo Gs 9 Exemplo s P s79s49 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 12 ordem RTC eMe Maemel cell Espaco de estados c a Sistemas de 2 ordem Os polos de um sistema de segunda ordem subamortecido sdo dados por 812 CWn jun 1 e A resposta ao degrau unitdrio é um sinal oscilatério contri buido da parte imaginaria confinado a uma exponencial con tribuicdo da parte real yt Parte real wa YK Parte imaginaria t Exemplo Polos e zeros Sistemas de 12 ordem RTC eMe Maemel cell Espaco de estados c a Sistemas de 2 ordem lremos relembrar a influncia dos parametros do sistema de 22 ordem para uma resposta do tipo degrau com mais detalhes nas aulas sobre desempenho dos sistemas de controle e Algumas relacoes importantes sao 4 Ty CWn TT Tp 5 WnV1 7 overshoot ev1 x 100 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Sistemas de 2ª ordem Exemplo Modelo Rit Ldit dt vot vit it C dvot dt Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 21 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 12 ordem Sistemas de 22 ordem Espaco de estados Sistemas de 2 ordem dvot dvot Lo oN v6t vilt CS ROME volt will LCsVs RCsVos Vos Vis 1 Vols 1 LC Vis LCsRCs1 2 RF 1 so Lt LC 1 1 C Wn R VLC 2 L Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Espaco de estados A funcao de transferˆencia constitui uma relacao entradasaıda ou seja e a relacao capaz de ser obtida medindose os ter minais de um determinado sistema Esse tipo de descricao e conhecido como descricao externa Uma descricao interna e aquela que fornece informacoes sobre todos os possıveis sinais existentes no sistema A descricao do sistema no espaco de estados e uma descricao interna onde sao identificadas certas variaveis chave chamadas de variaveis de estado Todos os sinais possıveis de existirem no sistema podem ser expressos como combinacao linear dessas variaveis de estado A ferramenta basica de modelagem continua sendo a equacao diferencial O comportamento do sistema e expresso atraves de n equacoes diferenciais de 1ª ordem acopladas Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 23 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Espaco de estados O sistema pode ser descrito por x1 a11x1 a12x2 a1nxn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21x1 a22x2 a2nxn b21u1 b22u2 b2rur xn an1x1 an2x2 annxn bn1u1 bn2u2 bnrur As saıdas sao dadas por y1 c11x1 c12x2 c1nxn d11u1 d12u2 d1mum y2 c21x1 c22x2 c2nxn d21u1 d22u2 d2mum yp cp1x1 cp2x2 cpnxn dp1u1 dp2u2 dpmum Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Espaco de estados Equacoes de Espaco de Estados Em formato matricial xt Axt But yx Cxt Dut x Rn vetor de estado u Rr vetor de entrada y Rp vetor de saıda A Rnn matriz de estado B Rnr matriz de entrada C Rpn matriz de saıda D Rpr matriz de transmissao direta n ordem do sistema r numero de entradas p numero de saıdas Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 29 Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Espaco de estados A equacao xt Axt But e conhecida como equacao de estado A equacao yx Cxt Dut e conhecida como equacao de saıda Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 26 29 e Taal odie Polos e zeros Sistemas de 12 ordem Tinta iol co Espaco de estados Espaco de estados e Do exemplo anterior d vt dvot LC RC vo t uit HT RO Ft volt wilt Renomeando xt vot xt 1 t ut ut L1 2 1 Rod STO ETE Em formato matricial x1 0 1 x1 0 dole elle dela H2 IG TL L2 LC Equacao de estado x Ax Bu Renomeando yt vot x1 t U1 1 y1 02 Equacao de saida y Cx Du Exemplo Polos e zeros Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Espaco de estados Espaco de estados Relacao entre funcao de transferˆencia e espaco de estados Gs CsI A1B D Assim temse que Gs CadjsI AB detsI A D Portanto os polos de Gs sao as raızes de detsI A 0 e por consequˆencia os autovalores da matriz A Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 29 29