Erro em Regime Permanente e Realimentação Não Unitária - Aula 7

Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Aula 7 Erro em regime permanente ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Definicao O erro em regime permanente e a diferenca entre a entrada de referˆencia e a saıda de uma malha de controle para uma entrada de teste prescrita quando t Sinais de teste tıpicos sao entradas em degrau rampa ou parabola Por exemplo para um sistema de controle de posicao uma entrada em degrau representa uma especificacao de posicao constante uma entrada em rampa representa uma velocidade constante e uma entrada em parabola representa uma ace leracao constante Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Definicao As analises que serao realizadas sao aplicaveis apenas a siste mas estaveis Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 3 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Definicao Num primeiro momento serao considerados apenas sistemas com realimentacao unitaria ou seja Hs 1 et rt yt Es Rs Y s Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 4 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Para um sistema com realimentacao unitaria temse Y s CsGs 1 CsGsRs e Es Rs CsGs 1 CsGsRs Rs 1 CsGs O erro em regime permanente pode ser encontrado utilizando se o Teorema do Valor Final da transformada de Laplace ess lim t et lim s0 sEs Portanto ess lim s0 sRs 1 CsGs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 5 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente A funcao de transferˆencia da malha aberta CsGs tem o formato geral CsGs Ks z1s z2 sNs p1s p2 em que N indica portanto o numero de polos na origem em malha aberta Esse numero define o tipo do sistema Se o sistema nao tem polos na origem em malha aberta ele e do tipo 0 Se o sistema tem um polo na origem em malha aberta ele e do tipo 1 Se o sistema tem dois polos na origem em malha aberta ele e do tipo 2 e assim por diante Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 6 37 Definicado Erro em regime permanente Exemplos Ie nn calerorlom ie Comelni Tar Erro em regime permanente e Resposta ao degrau o degrau unitdario é definido como 1 t0 u1t 6 0 t0 e sua transformada de Laplace é 1 Rs 8 e Da expressdo do erro temse i 1 1 ss La RH 5301 CsGs 14 lims49 CsGs Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Definindo a constante de erro de posicao Kp p minusculo como Kp lim s0 CsGs o erro e dado por ess 1 1 Kp Se o sistema e do tipo 0 Kp assume um valor finito dado por Kp Kz1z2 p1p2 e portanto ess tambem assume um valor finito Se o sistema e do tipo 1 ou superior Kp tende a infinito e o erro em regime permanente e portanto nulo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 8 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Se um degrau de amplitude A for aplicado ao inves de um degrau unitario temse que Rs A s e portanto ess A 1 Kp Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 9 37 Definicado Erro em regime permanente Exemplos Ie nn calerorlom ie Comelni Tar Erro em regime permanente e Resposta a rampa a rampa unitaria é definida como t t0 ut at 0 t0 e sua transformada de Laplace é 1 Rs 3 5 e Da expressdo do erro temse i 1 1 ss La CS 5 SR 3308 8CsGs lims9 sCsGs Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Definindo a constante de erro de velocidade Kv como Kv lim s0 sCsGs o erro e dado por ess 1 Kv Se o sistema e do tipo 0 Kv e igual a zero e o erro em regime permanente tende ao infinito Se o sistema e do tipo 1 Kv assume um valor finito dado por Kv Kz1z2 p1p2 e portanto ess tambem assume um valor finito Se o sistema e do tipo 2 ou superior Kv tende a infinito e o erro em regime permanente e portanto nulo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente De maneira mais geral se o sinal de entrada for uma rampa multiplicada por uma constante A temse que Rs A s2 e portanto ess A Kv Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 12 37 Definicado Erro em regime permanente Exemplos Ie nn calerorlom ie Comelni Tar Erro em regime permanente e Resposta a parabola a parabola unitdria é definida como t2 t0 u3t4 2 at 0 t0 e sua transformada de Laplace é 1 Rs3 3 e Da expressdo do erro temse 1 1 ss lim 3aR TOO s0 s s7CsGs lims9 sCsGs Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Definindo a constante de erro de aceleracao Ka como Ka lim s0 s2CsGs o erro e dado por ess 1 Ka Se o sistema e do tipo 0 ou do tipo 1 Ka e igual a zero e o erro em regime permanente tende ao infinito Se o sistema e do tipo 2 Ka assume um valor finito dado por Ka Kz1z2 p1p2 e portanto ess tambem assume um valor finito Se o sistema e do tipo 3 ou superior Ka tende a infinito e o erro em regime permanente e portanto nulo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 14 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente De maneira mais geral se o sinal de entrada for uma parabola multiplicada por uma constante A temse que Rs A s3 e portanto ess A Ka Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 15 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Rs N 1 s 1 s2 1 s3 Constante de erro 0 1 1 Kp Kp lims0 CsGs 1 0 1 Kv Kv lims0 sCsGs 2 0 0 1 Ka Ka lims0 s2CsGs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 16 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Erro em regime permanente Rs N A s A s2 A s3 Constante de erro 0 A 1 Kp Kp lims0 CsGs 1 0 A Kv Kv lims0 sCsGs 2 0 0 A Ka Ka lims0 s2CsGs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 17 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Exemplo Considere o seguinte sistema em malha fechada Calcule o erro em regime permanente para entradas degrau unitario rampa unitaria e parabola unitaria considerando que a Cs 2 b Cs 2 5 s Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 18 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Resposta a O sistema em malha fechada e dado por Ts 2 4 s 2 1 2 4 s 2 8 s 10 sendo portanto estavel em malha fechada Resposta ao degrau unitario Kp lim s0 8 s 2 4 ess 1 1 4 1 5 0 2 20 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 19 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Resposta a rampa unitaria Kv lim s0 s 8 s 2 0 ess Resposta a parabola unitaria Ka lim s0 s2 8 s 2 0 ess Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 20 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Ctf21 Gtf41 2 CGseriesCG TfeedbackCG1 isstableT t000012 u1 t 0 u2 tu1 u3 t22u2 y1lsimTu1tfigure1plottu1ty1 y2lsimTu2tfigure2plottu2ty2 y3lsimTu3tfigure3plottu3ty3 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 21 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 22 37 Definicado Sta goM lun at4n ate L1e rT Tb1K Exemplos eccelieatlaielor eM a fomalie ar Exemplos Resposta b O sistema em malha fechada é dado por 5 4 2 Ts s s2 8s 20 s oS EO 5 4 24 2 14o424 s 10s 20 S s2 sendo estavel em malha fechada e Resposta ao degrau unitario 8 20 s0 ss 2 ss 0 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Resposta a rampa unitaria Kv lim s0 s 8s 20 ss 2 10 ess 1 10 10 Resposta a parabola unitaria Ka lim s0 s2 8s 20 ss 2 0 ess Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Ctf2 51 0 Gtf41 2 CGseriesCG TfeedbackCG1 isstableT t000012 u1 t 0 u2 tu1 u3 t22u2 y1lsimTu1tfigure1plottu1ty1 y2lsimTu2tfigure2plottu2ty2 y3lsimTu3tfigure3plottu3ty3 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 26 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Controladores do tipo PI e PID por possuırem um polo na origem integrador aumentam em 1 o tipo do sistema em malha aberta Com esses controladores o erro em regime permanente para uma entrada degrau e nulo qualquer que seja o tipo da planta Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 27 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Exercıcio Verifique no sistema abaixo se e possıvel utilizar um controlador proporcional de modo que em malha fechada o erro em regime permanente seja menor que 2 para uma entrada do tipo degrau Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 28 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Resposta Sistema do tipo 0 Erro em regime permanente ess 1 1 Kp Kp lim s0 2K s3 4s2 5s 2 K ess 1 1 K 1 50 Ou seja K 49 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 29 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Aplicando o criterio de Routh 1 CsGs 1 2K s3 4s2 5s 2 0 Qs s3 4s2 5s 2 2K s3 1 5 s2 4 2 2K s1 182K 4 0 s0 2 2K 0 Ou seja K 9 K 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 30 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Exemplos Para satisfazer a especificacao de erro em regime permanente K 49 Para o sistema ser estavel K 9 K 1 Portanto a especificacao desejada nao pode ser cumprida com um controlador do tipo proporcional Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 31 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Realimentacao nao unitaria Analisaremos agora o caso em que Hs nao e necessariamente igual a 1 A figura abaixo representa uma configuracao generica em que G1s e o filtro de entrada G2s representa a planta e o controlador H1s representa o sensor Esse diagrama pode ser manipulado para chegar em um sistema com realimentacao unitaria equivalente Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 32 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Realimentacao nao unitaria Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 33 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Realimentacao nao unitaria Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 34 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Realimentacao nao unitaria Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 35 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Realimentacao nao unitaria Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 36 37 Definicao Erro em regime permanente Exemplos Realimentacao nao unitaria Realimentacao nao unitaria Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 37 37