Flambagem - Resistência dos Materiais - Conceitos e Aplicações

1 Flambagem Prof LAÉRCIO MESQUITA JÚNIOR Email laerciomjrgmailcom LavrasMG 2024 GNE292 Resistência dos Materiais 2 Flambagem deflexão lateral que ocorre em elementos delgados submetidos a cargas de compressão suficientemente altas P Pcr em que P é a carga de compressão solicitante e Pcr é a máxima carga que um elemento resiste sem sofrer flambagem Um elemento estrutural não deve apenas satisfazer requisitos específicos de resistência e deflexão mas também ser estável Muitas vezes a flambagem de um elemento pode levar a uma falha repentina e significativa de uma estrutura ou mecanismo Flambagem de um pilar em concreto armado Falha de uma plataforma offshore causada pelas forças horizontais de vento provocadas por um furacão Fonte httpsbrpinterestcompin655907133225884230 Fonte Hibbeler 2018 Falha de um braço de um guindaste por flambagem de um elemento Fonte Hibbeler 2018 Quando se tem uma barra articulada nas extremidades submetida a uma força axial P como mostra a figura se essa força aumentar continuamente verificase que existe uma carga P acima da qual a barra perde sua estabilidade lateral e assume a configuração abaixo Este fenômeno é denominado flambagem e a carga acima da qual ele acontece é denominada carga crítica de flambagem e é denotada por Pcr Seja o modelo simplificado que consiste de duas barras rígidas AC e BC ligadas em C por um pino e uma mola de constante K Depois de uma pequena perturbação θ um momento é exercido pela mola para restaurar a barra à sua posição inicial O sistema é estável tende a retornar à posição de equilíbrio original se F 2P tan θ P F 2θ P KΔ 2θ P Pσ KL4 sen θ Δ L2 sen θ tanθ θ P KΔ 2L2 Neste capítulo estamos preocupados com a estabilidade da estrutura capacidade de suportar um determinado esforço de compressão sem sofrer uma súbita mudança na sua configuração inicial No projeto de colunas a área da seção transversal é selecionado tal que σ PA σ adm δ PL AE δ adm Depois destes cálculos de projeto podemos descobrir se a coluna fica instável sob o carregamento e se ela tornase subitamente bastante encurvada ocorrendo o fenômeno da flambagem A carga de flambagem é dada pela seguinte expressão denominada Fórmula de Euler Pcr π2 E Imin L2 Onde E módulo de elasticidade do material Imin momento de inércia mínimo da seção tranversal L comprimento da barra Obs Aflambagem deve ocorrer em torno do eixo da barra com a menor inércia ELEMENTO IDEAL APOIADO POR PINOS Sabendo que o raio de giração r é definido como r2 IA ou I Ar2 substituindo o momento de inércia na equação de Pcr temse Pcr π2 E Ar2 L2 reorganizando Pcr A π2 E L2 r2 σcr π2 E L r2 σcr tensão crítica de flambagem E módulo de elasticidade longitudinal L comprimento do elemento r raio de giração da seção transversal Lr índice de esbeltez Aço estrutural σe 250 MPa Liga de alumínio σe 186 MPa EXEMPLO 1 Um pilar retangular de madeira de 36 m tem as dimensões mostradas na figura Determine a carga crítica de flambagem considerando as duas rotuladas nos dois eixos Considere E 12 GPa e despreze a avaliação da tensão crítica EXEMPLO 2 O elemento estrutural W200 x 46 de aço A36 mostrado na figura deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou escoamento Eaço 200 GPa σe 250 MPa Dados tabelados A 5890 mm² Ix 455 x 10⁶ mm⁴ Iy 153 x 10⁶ mm⁴ COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM Assim podese reescrever Pcr como Pcr π² EI kL² Em que k é o coeficiente de flambagem que depende das condições de contorno tal como ilustrado ao lado Biapoiada k1 Biengastada k05 Engastadaapoiada k07 Engastadalivre k2 Eventuais outras combinações de condições de contorno podem ser deduzidas tal como feito para as condições aqui apresentadas coluna biapoiada e engastadalivre EXEMPLO 1 O elemento de alumínio está apoiado em seu topo por cabos de modo a impedir que o topo se movimente ao longo do eixo x Considerando que ele está engastado na base determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada Use um fator de segurança para flambagem FS3 Considere E70 GPa σe215 MPa A75 x 10³ m² Ix613 x 10⁶ m⁴ Iy232 x 10⁶ m⁴ EXEMPLO 1 Le 10 m Flambagem no eixo xx Le 35 m Flambagem no eixo yy ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Fórmula da secante As condições das fórmula de Euler são raramente verificadas na prática Cargas são aplicadas fora do centroide das seções da colunas As colunas não são perfeitamente retas As colunas reais não sofrem flambagem repentina mas sofrem flexão embora bem pequena imediatamente após a aplicação de uma carga Os critérios de aplicação de carga ficará limitado a uma deflexão específica ou a não permitir que a tensão máxima na coluna ultrapasse uma tensão admissível ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Fórmula da secante Aplicando uma carga P à coluna a uma curta distância excêntrica e em relação ao centroide da seção transversal Essa carga na coluna é estaticamente equivalente à carga axial P e ao momento fletor M Pe Podemos ver na figura que em ambos os casos as extremidades A e B são suportadas de modo tal que ficam livres para girar suportada por pinos ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Fórmula da secante Analisando as tensões no ponto de momento máximo a tensão máxima na coluna é de compressão σmáx PA McI Que é σmáx PA PecI secPEI L2 Visto que o raio de geração é definido por r² IA a equação pode ser escrita em uma forma denominada fórmula da secante σmáx PA 1 ecr² secL2r PEA σmáx tensão elástica máxima na coluna que ocorre no interior do lado côncavo no ponto médio da coluna Essa tensão é de compressão P carga vertical aplicada à coluna P Pcr a menos que e 0 então P Pcr e excentricidade da carga P medida do eixo neutro da área da seção transversal da coluna até a linha de ação de P c distância do eixo neutro até a fibra externa da coluna onde ocorre a tensão de compressão máxima σmáx A área da seção transversal da coluna L comprimento não apoiado da coluna no plano de flexão Para outros apoios exceto pinos o comprimento efetivo Le deve ser usado E módulo de elasticidade para o material r raio de giração r IA onde I é calculado em torno do eixo neutro ou de flexão ELEMENTOS COM CARGAS EXCÊNTRICAS Fórmula da secante Assim como a Equação de vmáx a Equação σmáx indica que há uma relação não linear entre a carga e a tensão Por consequência o princípio da superposição não é aplicável e portanto as cargas têm de ser somadas antes de determinar a tensão Para um dado valor de vmáx a Equação σmáx pode ser representada em gráfico como KLr em relação a PA para vários valores do índice de excentricidade ecr² Fórmula de Euler vmáx ecr² 0 ecr² 01 05 10 15 Aço estrutural A36 Eaço 20010³ MPa σe 250 MPa Exemplo 1 Considerando que a coluna de aço está acoplada por pinos no topo e na base determine a carga excêntrica admissível P que pode ser aplicada Calcule também a deflexão máxima da coluna provocada por essa carga Como a coluna está escorada considere que não ocorre flambagem em torno do eixo y Considere E 200 GPa σe 250 MPa Considere E 200 GPa e sadm 345 MPa Flambagem inelástica Na prática as colunas são classificadas de acordo com o tipo de tensão desenvolvida em seu interior no momento da falha Instabilidade elástica ocorre em colunas compridas e esbeltas que se tornam instáveis enquanto a tensão de compressão permanece elástica Instabilidade inelástica ocorre em colunas intermediárias quando a tensão de compressão na falha é maior que a tensão no limite de proporcionalidade do material Em colunas curtas postes não há instabilidade o material escoa ou sofre ruptura A aplicação da equação de Euler exige que a tensão na coluna permaneça abaixo do limite de escoamento do material na verdade o limite de proporcionalidade quando a coluna sofre flambagem e por isso a equação aplicase somente às colunas compridas A maioria das colunas tem comprimento intermediário que podem ser estudadas segundo a equação de Euler modificada σcr π2 Et KLr2 Et é o módulo tangente ou inclinação da curva tensão deformação no ponto da tensão plástica Flambagem inelástica O comportamento das colunas de comprimento intermediários pode ser estudado modificandose a equação de Euler de modo que ela possa ser aplicada à flambagem inelástica Para entender melhor considere que o material tem diagrama tensãodeformação Aqui o limite de proporcionalidade é σlp e o módulo de elasticidade ou inclinação da reta AB é E Flambagem inelástica Uma representação gráfica da hipérbole de Euler Essa equação é válida para uma coluna que tenha um índice de esbeltez tão pequeno quanto KLrlp visto que nesse ponto a tensão axial na coluna tornase σcr σlp Inelástica Elástica Colunas de comprimento curto e intermediário Colunas longas Exemplo Uma haste maciça com 30 mm de diâmetro e 600 mm de comprimento é feita de um material que pode ser modelado pelo diagrama tensãodeformação Se for usada como uma coluna apoiada por pinos determine a carga crítica σ MPa 270 σ₁ₚ 150 0001 0002 ε