Slide - Transferência de Massa Pt2 - Fenômenos de Transporte 2 2021-2

SCHULZ, H.E.; O ESSENCIAL EM FENÔMENOS DE TRANSPORTE, EESC:USP, SÃO CARLOS, 2003. INCROPERA, F.P.; DEWITT, DAVID P. Fundamentos de transferência de calor e massa. WELTY, J.R.; WILSON, R.E.; WICKS, C.E.; RORRER, G.L. - FUNDAMENTALS OF MOMENTUN, HEAT AND MASS TRANSFER, 5A. ED., JOHN WILEY & SONS, NEW YORK, 2007. CREMASCO, M.A. - FUNDAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA, BLUCHER, 2015. Equações de conservação de massa para um componente A GNE281 Fenômenos de Transporte II Prof. Cristiane Alves Pereira Considere o fluxo do componente A dentro de um VC de arestas dx dy dz z y x dz dy dx nA, y nA, z+dz nA, z nA, y+dy nA, x nA, x+dx 𝒏𝑨 = −𝑫𝑨𝑩 𝒅𝝆 𝒅𝒙 𝒘𝑨 ≪ 𝟏 𝒆 𝝆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 2 3 Aplicando o princípio da conservação da massa: Vamos considerar as parcelas de interesse na equação da conservação de massa para a direção x 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 − 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑖 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 + 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝒅 ሶ𝒎 = ሶ𝒎𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 − ሶ𝒎𝒔𝒂𝒊 + ሶ𝒎𝒈𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 Posteriormente somaremos esses termos e chegaremos em equações diferenciais da transferência de massa 4 Termo 1 – Variação de massa 𝒅𝒎 = 𝝏𝒎 𝝏𝒙 𝒅𝒙 + 𝝏𝒎 𝝏𝒚 𝒅𝒚 + 𝝏𝒎 𝝏𝒛 𝒅𝒛 + 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒅t Considerando a variação temporal dm/dt, temos 𝒅𝒎 𝒅𝒕 = 𝝏𝒎 𝝏𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝏𝒎 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝝏𝒎 𝝏𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒕 + 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Que resulta em: 𝒅𝒎 𝒅𝒕 = 𝝏𝒎 𝝏𝒙 𝒖 + 𝝏𝒎 𝝏𝒚 𝒗 + 𝝏𝒎 𝝏𝒛 𝒘 + 𝝏𝒎 𝝏𝒕 (1) 5 Considerando um sistema isotérmico e isobárico, podemos apresentar a massa em termos de concentração mássica do componente, e lembrando que: Podemos escrever a equação 1 da seguinte forma: Termo 1 – Variação de massa ou acúmulo no espaço e tempo 𝝆 = 𝒎 𝒗𝒐𝒍; 𝒎 = 𝝆 𝒗𝒐𝒍 = 𝝆𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 𝒅𝒎 𝒅𝒕 = 𝝏𝝆 𝝏𝒙 𝒖𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 + 𝝏𝝆 𝝏𝒚 𝒗𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 + 𝝏𝝆 𝝏𝒛 𝒘𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 + 𝝏𝝆 𝝏𝒕 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 (1a) 6 Termo 2 – massa gerada ou consumida por reação química ሶ𝒎𝒈𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝒓𝑨𝒅xdydz (2) Taxa de geração por unidade de tempo 𝒌𝒈 𝒔 rA: Taxa de geração de massa do componente A por unidade de volume → taxa de geração volumétrica de massa do componente A 𝒌𝒈 𝒔𝒎𝟑 7 Termo 3 – taxa de massa que entra menos taxa de massa que sai ሶ𝒎𝒙=𝟎 = 𝒏𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 Assim, fazendo a diferença obtemos: ሶ𝒎𝒙+𝒅𝒙 = 𝒏𝒙 + 𝝏 𝝏𝒙 𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒚𝒅𝒛 ሶ𝒎𝒙=𝟎 − ሶ𝒎𝒙=𝒙+𝒅𝒙 = − 𝝏 𝝏𝒙 𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒚𝒅𝒛 8 Termo 3 – massa que entra menos massa que sai Assim, de modo análogo considerando as direções y e z, temos: ሶ𝒎𝒚=𝟎 − ሶ𝒎𝒚+𝒅𝒚 = − 𝝏 𝝏𝒚 𝒏𝒚𝒅𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒛 ሶ𝒎𝒛=𝟎 − ሶ𝒎𝒛+𝒅𝒛 = − 𝝏 𝝏𝒛 𝒏𝒛𝒅𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚 Somando as três parcelas do termo 3: ሶ𝒎𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 − ሶ𝒎𝒔𝒂𝒊 = − 𝝏 𝝏𝒙 𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒚𝒅𝒛 − 𝝏 𝝏𝒚 𝒏𝒚𝒅𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒛 − 𝝏 𝝏𝒛 𝒏𝒛𝒅𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚 (3) 9 Substituindo todas as parcelas na equação da conservação da massa e dividindo tudo por dxdydz, temos: 𝝏𝝆 𝝏𝒕 + 𝒖 𝝏𝝆 𝝏𝒙 + 𝒗 𝝏𝝆 𝝏𝒚 + 𝒘 𝝏𝝆 𝝏𝒛 = − 𝝏𝒏𝒙 𝝏𝒙 − 𝝏𝒏𝒚 𝝏𝒚 − 𝝏𝒏𝒛 𝝏𝒛 + 𝒓𝑨 𝒏𝑨 = −𝑫𝑨𝑩 𝒅𝝆 𝒅𝒙 Considerando meio isotrópico, DAB é igual nas três direções e sabendo que: 𝒘𝑨 ≪ 𝟏 𝒆 𝝆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 10 Essa é a equação de conservação da massa do componente A na forma diferencial Equação da continuidade para a espécie A Temos a seguinte equação: 𝝏𝝆 𝝏𝒕 + 𝒖 𝝏𝝆 𝝏𝒙 + 𝒗 𝝏𝝆 𝝏𝒚 + 𝒘 𝝏𝝆 𝝏𝒛 = 𝑫𝑨𝑩 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒛𝟐 + 𝒓𝑨 11 Para fluido em repouso: 𝝏𝝆 𝝏𝒕 = 𝑫𝑨𝑩 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒛𝟐 + 𝒓𝑨 Para fluido em repouso e estado estacionário: 𝟎 = 𝑫𝑨𝑩 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒛𝟐 + 𝒓𝑨 Para fluido em repouso, estado estacionário e 1D em x sem geração ou consumo de massa: 𝟎 = 𝑫𝑨𝑩 𝝏𝟐𝝆 𝝏𝒙𝟐 12 Componente A Podemos também escrever as equações em base molar: 𝝏𝑪𝑨 𝝏𝒕 = − 𝝏𝑵𝑨𝒙 𝝏𝒙 − 𝝏𝑵𝑨𝒚 𝝏𝒚 − 𝝏𝑵𝑨𝒛 𝝏𝒛 + 𝑹𝑨 Componente B 𝝏𝑪𝑩 𝝏𝒕 = − 𝝏𝑵𝑩𝒙 𝝏𝒙 − 𝝏𝑵𝑩𝒚 𝝏𝒚 − 𝝏𝑵𝑩𝒛 𝝏𝒛 + 𝑹𝑩 Mistura dos componentes A e B 𝝏 𝝏𝒕 𝑪𝑨 + 𝑪𝑩 = −𝛁(𝑵𝑨 + 𝑵𝑩) + (𝑹𝑨 + 𝑹𝑩) Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-SemDerivações 4.0 Internacional.