Análise Real - Módulo 1: Notas de Aula

Módulo 1 Hermano Frid Volume 1 Módulo 1 Hermano Frid Análise Real Apoio Material Didático F898a Frid Hermano Análise real v 1 Hermano Frid Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2010 204p 21 x 297 cm ISBN 9788576486602 1 Análise real 2 Conjuntos 3 Funções 4 Números naturais 5 Números reais I Título CDD 515 Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte de acordo com as normas da ABNT e AACR2 Copyright 2010 Fundação Cecierj Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Fundação 20102 ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Hermano Frid EDITOR Fábio Rapello Alencar COORDENAÇÃO GRÁFICA Ronaldo dAguiar Silva PRODUÇÃO GRÁFICA Oséias Ferraz Patricia Seabra Verônica Paranhos Fundação Cecierj Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói 1364 Mangueira Rio de Janeiro RJ CEP 20943001 Tel 21 23341569 Fax 21 25680725 Presidente Masako Oya Masuda Vicepresidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF Regina Moreth UNIRIO Luiz Pedro San Gil Jutuca Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Governador Alexandre Cardoso Sérgio Cabral Filho UENF UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor Almy Junior Cordeiro de Carvalho UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Vieiralves UNIRIO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora Malvina Tania Tuttman UFRRJ UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Motta Miranda UFRJ UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Aloísio Teixeira UFF UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor Roberto de Souza Salles Análise Real Prefacio O texto que ora introduzimos tem como proposito servir de Notas de Aula para o curso de Analise Real do CEDERJ O texto e dividido em aulas Sao 32 aulas cujos temas serao descritos mais adiante Cada aula contem uma serie de exercıcios propostos Algumas aulas contˆem ao final secoes entituladas Prossiga Essas secoes sao textos complementares e nao fazem parte do conteudo propriamente dito das aulas Elas servem para saciar a curiosidade de leitores mais empenhados com relacao a questoes surgidas no texto da aula ou a topicos relacionados com essas questoes As referˆencias basicas para a elaboracao destas Notas sao os livros 1 2 3 4 que compoem a bibliografia Claramente por tratarse de uma materia tao fundamental objeto de inumeras obras dentre as quais grandes classicos da literatura matematica diversas outras referˆencias alem dessas quatro explicitamente citadas terao influıdo talvez de modo menos direto Como o proposito do texto e somente o de servir de guia para um curso com programa bem definido nao houve de nossa parte nenhuma tentativa de originalidade Assim em grande parte nosso trabalho se resumiu a fazer selecao concatenacao e edicao de material extraıdo das referˆencias citadas a luz do programa a ser desenvolvido no curso A seguir damos a lista dos temas das aulas que compoem o curso Modulo 1 Aula 1 Preliminares Conjuntos e Funcoes Aula 2 Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao Aula 3 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis Aula 4 Os Numeros Reais I Aula 5 Os Numeros Reais II Aula 6 Sequˆencias e Limites Aula 7 Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias 1 Aula 8 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias Aula 9 Criterio de Cauchy e Limites Infinitos Aula 10 Series Numericas Aula 11 Convergˆencia Absoluta e NaoAbsoluta de Series Aula 12 Limites de Funcoes Aula 13 Teoremas de Limites de Funcoes Aula 14 Funcoes Contınuas Aula 15 Combinacoes de Funcoes Contınuas Aula 16 Funcoes Contınuas em Intervalos Modulo 2 Aula 17 Continuidade Uniforme Aula 18 Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito Aula 19 Funcoes Monotonas e Funcao Inversa Aula 20 A Derivada Aula 21 A Regra da Cadeia Aula 22 O Teorema do Valor Medio Aula 23 O Teorema de Taylor Maximos e Mınimos Locais Funcoes Con vexas Aula 24 Integral de Riemann Aula 25 Funcoes Integraveis a Riemann Aula 26 O Teorema Fundamental do Calculo Aula 27 Sequˆencias de Funcoes Aula 28 Cˆambio de Limites Aula 29 Funcoes Exponenciais e Logaritmos Aula 30 Funcoes Trigonometricas Aula 31 Topologia na Reta Aula 32 Conjuntos Compactos CEDERJ 2 Bibliografia 1 Avila G Analise Matematica para Licenciatura 2a edicao Ed Edgar Blucher Sao Paulo 2005 2 Bartle RG Sherbert DR Introduction to Real Analysis Third Edi tion John Wiley Sons New York 2000 3 Lima EL Analise na Reta 8a edicao Colecao Matematica Univer sitaria Instituto de Matematica Pura e AplicadaIMPA 2006 4 Rudin W Principles of Analysis Third Edition McGrawHill Ko gakusha Ltd 1976 3 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 Aula 1 Preliminares Conjuntos e Funcoes Metas da aula Fazer uma breve recordacao dos fatos basicos sobre conjuntos e funcoes Apresentar uma introducao a pratica de demonstracao de proposicoes matematicas ponto central em todo o curso Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado matematico e o uso dos principais sımbolos e das operacoes da teoria elementar dos conjuntos Saber os conceitos basicos relacionados a nocao de funcao entre dois conjuntos bem como as operacoes de composicao inversao e restricao Demonstrar proposicoes simples envolvendo conjuntos e funcoes Introducao Iniciamos nosso curso de Analise Real recordando as nocoes de conjunto e funcao Esta aula deve portanto ser vista como uma aula de recapitulacao de fatos ja aprendidos em cursos anteriores Vamos aproveitar para introduzir algumas notacoes que serao utilizadas ao longo de todo curso Conjuntos Admitimos como familiares o conceito intuitivo de conjunto signifi cando colecao famılia etc assim como as operacoes elementares entre con juntos nomeadamente a uniao AB a intersecao AB e a diferenca AB entre dois conjuntos quaisquer A e B O conjunto A B tambem e chamado o complementar de B em relacao a A Lembremos as notacoes usuais x A significa que x e um elemento ou membro de A e A B significa que todo elemento do conjunto A e tambem um elemento do conjunto B ou seja que o conjunto A e um subconjunto do conjunto B A negacao de x A se denota por x A que se lˆe x nao pertence a A ou x nao e um 5 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes elemento ou membro de A Outrossim e importante ressaltar o significado da igualdade entre dois conjuntos A B significa A B e B A isto e A e B possuem exatamente os mesmos elementos Assim para provarmos que o conjunto A esta contido no conjunto B isto e A B devemos provar que para todo x se x A entao x B Por outro lado para provarmos que A B devemos provar que para todo x se x A entao x B e reciprocamente se x B entao x A ou seja x A se e somente se x B Ao longo do curso de Analise Real estaremos sempre lidando com con juntos que sao subconjuntos do conjunto dos numeros reais R cujas pro priedades fundamentais serao estudadas de modo sistematico mais adiante Dentre esses subconjuntos de R cabe destacar o conjunto N dos numeros naturais o conjunto Z dos numeros inteiros e o conjunto Q dos numeros racionais De modo um tanto informal podemos descrever esses conjuntos assim N 1 2 3 Z 3 2 1 0 1 2 3 Q r r p q p q Z q 0 Aqui usamos a notacao que deve ser lida igual por definicao Temos portanto N Z Q R Denotamos por o conjunto vazio isto e o conjunto que nao possui nenhum elemento Temos que para todo conjunto A A No que segue usaremos a palavra proposicao no sentido de sentenca matematica que pode ser expressa atraves de uma formula matematica ou uma declaracao textual ou ainda uma combinacao dessas duas formas e que em geral podera depender de uma ou mais variaveis Como exemplos citamos x A ou x B x 2 e x 3 x N e x 2k para algum k N etc Usaremos a letra P para denotar uma proposicao qualquer e quando quisermos enfatizar o fato dessa proposicao depender de uma variavel x denotaremos Px Grosso modo as regras para a formacao de conjuntos sao as seguintes CEDERJ 6 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 1 A descricao explıcita dos membros do conjunto na forma de uma lista delimitada a esquerda e a direita pelas chaves e respectivamente Por exemplo a b c d 1 2 3 etc Nem sempre e possıvel descre ver um conjunto listandose seus elementos e por isso frequentemente utilizamos os modos alternativos a seguir 2 A formacao de novos conjuntos a partir de conjuntos ja previamente definidos Em geral para essa construcao usamos uma expressao da forma x P que se lˆe o conjunto dos x tais que P onde P e uma proposicao envolvendo x e os conjuntos previamente definidos Por exemplo se A e B sao conjuntos entao podemos definir os seguintes conjuntos a A B x x A ou x B o membro a direita lˆese conjunto dos x tal que x pertence a A ou x pertence a B b A B x x A e x B o membro a direita lˆese conjunto dos x tal que x pertence a A e x pertence a B c A B x x A e x B o membro a direita lˆese conjunto dos x tal que x pertence a A e x nao pertence a B d A B a b a A e b B o membro a esquerda e chamado o produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B e o membro a direita lˆese conjunto dos pares ordenados a b com a pertencente a A e b pertencente a B A rigor para mantermos o padrao de descricao estabelecido acima x P deverıamos escrever A B x x a b com a A e b B A primeira forma mais concisa deve ser entendida como uma abreviatura desta ultima 7 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes e Dado o conjunto A podemos definir o conjunto PA cujos ele mentos sao exatamente todos os subconjuntos de A incluindo e o proprio A Assim temos PA x x A Por exemplo P1 2 1 2 1 2 f Um caso particular importante dessa forma de se obter novos con juntos a partir de conjuntos ja previamente definidos e a des cricao de um novo conjunto como subconjunto de um conjunto conhecido atraves de uma proposicao ou formula P que deve ser satisfeita por todos os elementos do novo conjunto Por exemplo o conjunto P dos numeros naturais pares pode ser definido por P x x N e existe k N tal que x 2k A forma geral para a definicao de um subconjunto A de um con junto previamente definido B por meio de uma proposicao P e x x A e x satisfaz P Em geral usase de fato a notacao mais concisa x A x satisfaz P ou x A Px No caso dos numeros naturais pares P e existe k N tal que x 2k Assim na forma concisa temos P x N x 2k para algum k N De modo mais informal e mais conciso ainda poderıamos escrever tambem P 2k k N Analogamente o conjunto I dos numeros naturais ımpares e definido por I x N x 2k 1 para algum k N ou ainda I 2k 1 k N 3 Ainda uma outra forma muito particular de definir conjuntos e atraves da introducao de um axioma que estabeleca a existˆencia de um con junto satifazendo determinadas propriedades bem especificadas Por exemplo o conjunto dos numeros naturais N pode ser definido dessa forma como veremos na proxima aula O conjunto R dos numeros reais tambem pode ser definido seguindo esse metodo chamado metodo axi omatico como veremos mais adiante E claro que o recurso a esse pro cedimento envolve uma discussao bastante delicada de carater logico CEDERJ 8 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 sobre a consistˆencia do axioma introduzido com os demais previamente admitidos na teoria e portanto utilizado apenas em casos excepcionais e somente por especialistas muito experientes Os dois exemplos de possıvel adocao desse procedimento que acabamos de dar para a construcao de N e R pertencem a Historia da Matematica O curso de Analise Real constitui uma otima oportunidade de se apren der atraves de leitura e muitos exercıcios a entender e principalmente a pro duzir as chamadas demonstracoes ou provas matematicas A teoria rigorosa do que venha a ser uma autˆentica prova matematica pertence ao domınio da Logica a qual escapa dos objetivos do presente curso No entanto nao e em absoluto necessario um profundo conhecimento de Logica Matematica para ser capaz de entender e de produzir provas matematicas Para tanto uma introducao elementar como a oferecida pelo curso de Matematica Discreta e mais do que suficiente Como um primeiro exemplo de demonstracao vamos agora enunciar e provar as famosas regras de De Morgan da teoria elementar dos conjuntos Exemplo 11 Identidades de De Morgan Sejam A B e C conjuntos Entao valem as igualdades A B C A B A C e A B C A B A C Prova Provemos a primeira igualdade Para tanto temos de mostrar que A B C e A B A C possuem os mesmos elementos ou seja que para um x qualquer se x A B C entao x A B A C e reciprocamente se x A B A C entao x A B C Em outras palavras temos de mostrar que para qualquer que seja x vale que x A B C se e somente se x A B A C Com efeito suponhamos que x ABC Entao x A e x BC por quˆe Assim vale x A e vale x B e x C por quˆe Portanto vale x A e x B e vale x A e x C ou seja x A B e x A C Por conseguinte x A B A C por quˆe e assim fica provada a implicacao lembremos que p q se lˆe se p entao q x A B C x A B A C 9 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes que mostra que A B C A B A C por quˆe Para provar a recıproca suponhamos que x A B A C Entao x A B e x A C Segue daı que vale x A e x B e vale x A e x C isto e vale x A e nao vale x B ou x C por quˆe Portanto vale x A e nao vale x B C isto e vale x A e x B C Segue que x A B C e fica provada a implicacao recıproca x A B A C x A B C que mostra que A B A C A B C e com isto fica provada a primeira igualdade A prova da segunda igualdade se faz de maneira inteiramente analoga mesmo assim vamos fornecˆela para que vocˆe va se habituando com o modo de proceder Provemos entao inicialmente que se x A B C entao x A B A C Com efeito suponhamos que x A B C Entao x A e x B C ou seja vale x A e nao vale x B e x C Assim vale x A e vale x B ou x C Portanto ou vale x A e x B ou temos x A e x C isto e ou x A B ou x A C Segue daı que x A B A C o que prova a implicacao x A B C x A B A C que equivale a dizer que A B C A B A C Para provar a inclusao oposta suponhamos que x ABAC Entao ou vale x A B ou vale x A C No primeiro caso x A e x B no segundo x A e x C Juntando os dois casos temos que vale x A e vale x B ou x C isto e vale x A e nao vale x B e x C CEDERJ 10 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 Portanto vale x A e vale x B C ou seja x A B C o que prova a implicacao recıproca x A B A C x A B C e por conseguinte mostra que tambem vale a inclusao oposta A B A C A B C Isto conclui a demonstracao da segunda igualdade A demonstracao que acabamos de ver esta escrita de um modo bem mais extenso do que o necessario A razao e que procuramos enfatizar os detalhes de cada passagem sem saltar mesmo os passos mais obvios Em geral no que segue nao perderemos tanto tempo com as inferˆencias mais imediatas deixando que vocˆe mesmo preencha as lacunas francamente mais evidentes Num contexto em que todos os conjuntos com os quais se trabalha sao subconjuntos de um mesmo conjunto U por exemplo no curso de Analise Real U R e costume se usar uma notacao mais simples para o comple mentar de um conjunto qualquer A contido em U em relacao ao conjunto U as vezes chamado conjuntobase ou conjuntouniverso Nesse caso em vez de U A denotamos o complementar de A em relacao a U simplesmente por Ac Podemos entao tomar como definicao Ac x x A omitindo o fato subentendido de que x U Exercıcios 11 1 Prove que Acc A De modo mais geral prove que A A B A B 2 Dˆe a demonstracao para as seguintes relacoes basicas envolvendo as operacoes de uniao e intersecao de conjuntos descritas abaixo 1 A B B A 2 A B B A 3 A B C A B C 4 A B C A B C 5 A B C A B A C 6 A B C A B A C 11 CEDERJ 3 Prove as proposições 1 A B e C D A C B D 2 A B e C D A C B D 4 As relações 3 e 4 do exercício 2 chamadas propriedades associativas da união e da interseção de conjuntos respectivamente permitem que escrevamos simplesmente A B C assim como A B C para denotar a união e a interseção de três conjuntos quaisqu Temos x Aᶜᶜ x Aᶜ não é verdade que x A x A Assim concluímos que x Aᶜᶜ x A que é o que teríamos que demonstrar por quê Quanto ao exercício 2 item 5 temos x A B C x A e x B C vale x B ou x C vale x A e x B ou vale x A e x C x A B A C assim concluímos x A B C x A B A C que é o que precisávamos demonstrar ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes Sobre Quantificadores A proposito da solucao do exercıcio 6 descrita anteriormente cabe lembrar que os quantificadores para todo ou qualquer que seja e para algum ou existe um podem aparecer juntos numa mesma sentenca aplicados a variaveis distintas As seguintes sentencas servem de exemplo para todo x e para todo y vale Px y xy Px y para todo x existe um y tal que vale Px y xy Px y existe um x tal que para todo y vale Px y xy Px y existe um x e existe um y tal que vale Px y xy Px y Aqui Px y denota uma formula ou proposicao dependendo das variaveis x e y Por exemplo Px y poderia ser x2 y2 1 ou x y 5 etc A negacao da primeira das sentencas anteriores seria existe um x e existe um y tal que nao vale Px y xy Px y e a negacao da segunda seria existe um x tal que para todo y nao vale Px y xy Px y Vocˆe esta convidado a fornecer a negacao para as outras duas sentencas anteriores Uma sentenca da forma qualquer que seja x se x A entao vale Px que em sımbolos matematicos se escreve x x A Px em geral e expressa na forma contraıda qualquer que seja x A vale Px que em sımbolos matematicos se escreve x A Px Da mesma forma uma sentenca do tipo existe um x x A e vale Px que em sımbolos matematicos se escreve x x A e Px CEDERJ 14 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 em geral e expressa na forma contraıda existe um x A para o qual vale Px que em sımbolos matematicos se escreve x A Px Sendo assim a negacao de uma sentenca da forma qualquer que seja x A vale Px e simplesmente dada por existe um x A para o qual nao vale Px lembrese de que a negacao de se p entao q e p e nao q Em sımbolos matematicos isso se expressa da forma x A Px x A Px As mesmas observacoes se aplicam a sentencas iniciadas por varios quantifi cadores aplicados a diversas variaveis distintas sendo uma para cada quan tificador Por exemplo considere a sentenca matematica para todo ε 0 existe um δ 0 tal que para todo x R se x 1 δ entao x2 1 ε que em sımbolos se escreve ε 0δ 0x Rx 1 δ x2 1 ε A proposito δ e ǫ sao letras gregas chamadas delta e epsilon respectiva mente A negacao desta sentenca seria existe um ε 0 tal que para todo δ 0 existe um x R para o qual x 1 δ e x2 1 ε Em sımbolos terıamos ε 0δ 0x Rx 1 δ e x2 1 ε Como ficaria a negacao da sentenca matematica qualquer que seja ε 0 existe N0 N tal que para todo n N se n N0 entao 1 n ε Vocˆe saberia escrever esta sentenca assim como a sua negacao em sımbolos matematicos Sobre letras gregas Por tradicao ou pelas necessidades da notacao e habitual em cursos de matematica mais avancados incluindo o de Analise Real o uso de letras do alfabeto grego alem das do alfabeto latino Acima introduzimos duas delas δ delta e ε epsilon que reaparecerao com muita frequˆencia ao longo do curso Outras letras gregas que tambem poderao aparecer sao as seguintes α alpha lˆese alfa 15 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes β beta lˆese beta γ gamma lˆese gama Γ Gamma lˆese gama maiusculo Delta lˆese delta maiusculo η eta lˆese eta φ phi de imprensa lˆese fi ϕ phi cursivo lˆese fi ψ psi lˆese psi κ kappa lˆese capa λ lambda lˆese lambda µ mu lˆese mu ν nu lˆese nu ω omega lˆese ˆomega Ω Omega lˆese ˆomega maiusculo π pi lˆese pi Π Pi lˆese pi maiusculo ρ rho lˆese rˆo σ sigma lˆese sigma Σ Sigma lˆese sigma maiusculo utilizado como sımbolo para so matorio τ tau lˆese tau ξ xi lˆese csi ζ zeta lˆese zeta CEDERJ 16 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 Funcoes Uma funcao f de um conjunto A num conjunto B que denotamos f A B e uma regra de correspondˆencia que a cada x A associa um unico elemento y B que denotamos por fx Costumase representar pictoricamente uma funcao generica como na figura 11 If f A Df B If Figura 11 Funcao f A B Assim uma funcao f A B determina um subconjunto em A B chamado o grafico de f que tambem denotaremos por f com a propriedade que para todo x A existe um unico y B tal que x y f e denotamos y fx Em particular se x y f e x y f entao y y fx A expressao regra de correspondˆencia utilizada na definicao de funcao dada acima embora bastante intuitiva carece de uma formulacao matematica mais precisa A maneira de expressar essa nocao intuitiva de um modo matematica mente rigoroso e fornecida pelo grafico f A B Assim podemos definir de modo matematico preciso uma funcao como sendo o seu grafico Mais claramente temos a seguinte definicao Definicao 11 Uma funcao f de um conjunto A num conjunto B e um subconjunto de AB com a propriedade que para todo x A existe um e somente um y B tal que x y f e denotamos y fx O domınio da funcao f A B denotado por Df e o conjunto A Assim Df A O conjunto B e algumas vezes chamado contradomınio da funcao f Chamamos imagem de f e denotamos If o subconjunto de 17 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes B constituıdo pelos valores fx com x A Assim temos If y B existe x A tal que y fx Dado um subconjunto X A definimos a imagem de X pela funcao f A B denotada por fX por fX y B existe x X tal que y fx Em particular If fA e para todo X A temos fX B O conjunto fX tambem e chamado imagem direta do conjunto X por f Em geral teremos If B onde a notacao E F significa que E esta estritamente ou propriamente contido em F ou seja E esta contido em F mas existe pelo menos um elemento de F que nao e membro de E Dado um subconjunto Y B definimos a preimagem ou imagem inversa de Y pela funcao f denotada por f 1Y por f 1Y x A fx Y Exemplo 12 A funcao f R R definida por fx x2 tem domınio Df R e imagem If x R x 0 Neste caso temos A R B R e If B R A imagem do intervalo 2 2 e o intervalo 0 4 Assim f2 2 0 4 como vocˆe mesmo pode verificar desenhando uma porcao adequada do grafico de f Exemplo 13 Sejam E H subconjuntos de A e f uma funcao de A em B Provemos a identidade fE H fE fH Com efeito temos que y fE H y fx para algum x E H y fx para algum x E ou y fx para algum x H y fE ou y fH y fE fH Exemplo 14 Vocˆe seria capaz de demonstrar a validade da relacao fE H fE fH Observe que para a funcao f R R definida por fx x2 E 2 0 H 1 2 temos fE fH 1 4 e fE H f Portanto e possıvel acontecer que fE H fE fH CEDERJ 18 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 Exemplo 15 Dada uma funcao f A B e conjuntos C D B pedimos a vocˆe que demonstre a validade das relacoes 1 f 1C D f 1C f 1D 2 f 1C D f 1C f 1D Portanto a operacao de tomada da preimagem de subconjuntos do contra domınio se comporta bem tanto em relacao a uniao quanto em relacao a intersecao Definicao 12 Dizemos que uma funcao f A B e injetiva ou que f e uma injecao se para quaisquer x1 x2 A com x1 x2 vale fx1 fx2 Dizemos que f e sobrejetiva ou que f e uma sobrejecao de A sobre B se If B isto e se para todo y B existe ao menos um x A tal que fx y Se f A B e ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva dizemos que f e bijetiva ou que f e uma bijecao de A sobre B Assim para provar que uma funcao f A B e injetiva devemos mostrar que a hipotese de que fx1 fx2 com x1 x2 A leva a conclusao que x1 x2 Exemplo 16 Seja f R 2 R dada por fx xx 2 Entao f e injetiva Com efeito se fx1 fx2 com x1 x2 R2 entao x1x12 x2x22 de onde segue multiplicandose ambos os membros por x1 2x2 2 que x1x2 2 x2x1 2 Daı temos x1x2 2x1 x2x1 2x2 ou seja 2x1 2x2 de onde se conclui que x1 x2 Definicao 13 Composicao de funcoes Dada uma funcao f A B e uma funcao g B C definimos a funcao composta gf A C pondo para todo x A gfx gfx Observe que so e possıvel definir a funcao composta g f quando If Dg Exemplo 17 Seja f 0 R dada por fx x e g R R dada por gx x2 1 Entao podemos definir g f 0 R que para x 0 e dada por g fx gfx fx2 1 x2 1 x 1 Observe 19 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes que embora a expressao x 1 esteja bem definida para qualquer x R o domınio da funcao g f e o intervalo 0 ja que f nao esta definida em 0 Exemplo 18 Se f e g sao as funcoes definidas no exemplo anterior entao nao e possıvel definir a composta f g ja que Ig Df No entanto se h 1 1 R e definida por hx x2 1 observe que h e g sao definidas pela mesma formula mas Dh Dg entao podemos definir f h 1 1 R que e dada por f hx fhx x2 1 que esta bem definido para x 1 1 No exemplo que acabamos de dar vemos uma situacao em que e in teressante considerar a restricao de uma determinada funcao g no referido exemplo a um subconjunto do seu domınio 1 1 e R respectivamente no exemplo mencionado Em outras circunstˆancias tornase interessante considerar a restricao de uma determinada funcao nao injetiva a um intervalo onde a mesma e injetiva como no caso da funcao f R R com fx cosx que restrita ao intervalo 0 π se torna injetiva Esses fatos motivam a definicao a seguir Definicao 14 Dada a funcao f A B e E A definimos a restricao de f a E denotada por fE como a funcao de E em B definida por fEx fx para todo x E Quando f A B e uma bijecao e possıvel definir uma funcao g B A tal que g fx x para todo x A A funcao g que satisfaz essa propriedade e chamada a funcao inversa de f e denotada por f 1 Podemos definir a inversa de uma bijecao f A B de modo mais preciso recorrendo ao grafico de f Definicao 15 Seja f A B uma bijecao isto e para todo x A existe um unico y B tal que x y f e para todo y B existe um unico x A tal que x y f Definimos a funcao inversa de f que denotamos f 1 B A por f 1 y x B A x y f Exemplo 19 A funcao f R3 R2 dada por fx 2xx3 e bijetiva prove Sua inversa f 1 R 2 R 3 e dada por f 1y 3yy 2 Basta CEDERJ 20 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 verificar que para todo x R 3 temos 3fxfx 2 x De fato temos 3fx fx 2 3 2x x3 2x x3 2 6x x3 2x2x3 x3 6x x3 2x2x6 x3 6x x 3 x 3 6 x A formula f 1y 3yy2 e facilmente obtida escrevendose y 2xx 3 e a partir dessa equacao determinandose x como funcao de y Assim multiplicandose ambos os lados da equacao y 2xx 3 por x 3 obtemos yx 3 2x ou seja yx 3y 2x e daı somandose 3y 2x a ambos os membros da ultima equacao segue que yx 2x 3y isto e xy 2 3y donde se conclui que x 3yy 2 O resultado seguinte fornece uma formula para a preimagem de um conjunto pela funcao composta de duas funcoes Teorema 11 Sejam f A B e g B C funcoes e seja H um subconjunto de C Entao temos g f1H f 1g1H Prova A prova ficara como um otimo exercıcio que vocˆe nao deve deixar de fazer veja exercıcio 11 a seguir Observe a troca na ordem das funcoes Exercıcios 12 1 Seja fx 1x2 x 0 x R a Determine a imagem direta fE onde E x R 1 x 2 b Determine a imagem inversa f 1G onde G x R 1 x 4 2 Seja gx x2 e fx x 2 para x R e seja h a funcao composta h g f a Encontre a imagem direta hE de E x R 0 x 1 b Encontre a imagem inversa h1G de G x R 0 x 4 3 Seja fx x2 para x R e seja E x R 1 x 0 e F x R 0 x 1 Encontre os conjuntos E F e fE fF e mostre que nao e verdade que fE F fE fF 4 Mostre que a funcao f definida por fx x x2 1 x R e uma bijecao de R sobre y 1 y 1 21 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes 5 Para a b R com a b dˆe um exemplo explıcito de uma bijecao de A x a x b sobre B y 0 y 1 6 Dˆe um exemplo de duas funcoes f g de R sobre R tais que f g e vale a f g g f b f g g f 7 a Mostre que se f A B e injetiva e E A entao f 1fE E Dˆe um exemplo para mostrar que a igualdade nao precisa ser valida se f nao e injetiva b Mostre que se f A B e sobrejetiva e H B entao ff 1H H Dˆe um exemplo para mostrar que a igualdade nao precisa valer se f nao e sobrejetiva 8 Mostre que se f e uma bijecao de A sobre B entao f 1 e uma bijecao de B sobre A 9 Prove que se f A B e bijetiva e g B C e bijetiva entao a composta g f e uma bijecao de A sobre C 10 Sejam f A B e g B C funcoes a Mostre que se g f e injetiva entao f e injetiva b Mostre que se g f e sobrejetiva entao g e sobrejetiva 11 Prove o Teorema 11 Prossiga Nota sobre a Teoria dos Conjuntos Um dos grandes feitos da Matematica do final do seculo XIX e inıcio do seculo XX foi a fundamentacao logica rigorosa para a teoria dos conjuntos isto e a formulacao de um sistema de axiomas a partir dos quais se tornou possıvel desenvolver de modo aparentemente consistente toda a teoria dos conjuntos Uma das serias dificuldades encontradas na realizacao de tal obra re sidiu na propria definicao do que venha a ser um conjunto a qual se mostrou necessaria O fato e que qualquer tentativa de se deixar completamente a cargo da intuicao o conceito de conjunto ou de se dar a esta entidade CEDERJ 22 Preliminares Conjuntos e Funcoes M ODULO 1 AULA 1 uma definicao simples proxima da intuicao esbarra invariavelmente no risco de dar origem imediata ao surgimento de paradoxos Isto ficou demons trado claramente pelo filosofo e matematico inglˆes Bertrand Russel 1872 1970 em 1902 ao comentar a forma livre como o conceito havia sido deixado por outro grande filosofomatematico da epoca o alemao Gottlob Frege 18481925 numa obra importante sobre os fundamentos da aritmetica pu blicada havia pouco tempo Em resumo a forma proposta por Frege admitia a possibilidade de se definir um conjunto R atraves da proposicao R e o conjunto de todos os conjuntos que nao pertencem a si mesmo Em notacao matematica essa definicao se escreveria R x x x O resultado de tal especificacao para R e a conclusao paradoxal de que R R se e somente se R R Para evitar situacoes semelhantes entre outras providˆencias grandes matematicos da epoca dentre os quais citamos em especial David Hilbert 18621943 concluıram ser necessaria a distincao entre o que se pode chamar classe ou colecao que em geral nao se define deixandose como uma nocao meramente intuitiva e o conceito de conjunto que passou a ser definido ri gorosamente como qualquer classe que pertenca a uma outra classe Assim por definicao a classe x e um conjunto se e somente se existe uma classe y tal que x y Alem disso outra medida que se mostrou conveniente nesse sentido foi a introducao de um axiomaesquema isto e um esquema de formacao de axiomas que grosso modo estabelece que e sempre verdade uma afirmacao da forma y y x Px se e somente se y e um conjunto e Py Lembrese de que o sımbolo significa para todo ou qualquer que seja Aqui Py denota a formula obtida substituindose em Px toda ocorrˆencia da letra x pela letra y Por exemplo se Px e a formula x x entao PR e a expressao R R O fato nada obvio no axioma acima e o aparecimento da sentenca y e um conjunto cuja importˆancia pode se constatar a partir da propria classe R proposta por Russel mencionada acima como explicamos a seguir De fato esse axiomaesquema implica em particular que R R x x x se e somente se R e um conjunto e R R Desta equivalˆencia resulta simplesmente que R nao e um conjunto ja que do contrario valeria R R R R o que e impossıvel Assim concluise que a classe R nao e um conjunto e o paradoxo de Russel deixa de existir Apenas a tıtulo de curiosidade 23 CEDERJ ANALISE REAL Preliminares Conjuntos e Funcoes mencionamos que o fato de que R nao e um conjunto tambem decorre de um outro axioma da teoria dos conjuntos chamado axioma da regularidade cujo enunciado omitiremos por ser muito tecnico do qual decorre diretamente o fato de que para toda classe x vale que x x o qual e na verdade uma das principais razoes para a introducao de tal axioma Portanto pelo mencionado axioma da regularidade R coincide com a colecao de todas as classes e em particular nao pertence a nenhuma outra classe Essas e outras providˆencias nos fundamentos da teoria dos conjuntos eliminaram paradoxos mais evidentes como o de Russel e a bem da verdade ate os dias de hoje nao se tem notıcias de descoberta de paradoxos na teo ria Contudo isto nao significa que a possibilidade de que algum paradoxo venha a ser encontrado no futuro esteja definitivamente descartada Um tal achado nao seria nem um pouco bemvindo ja que a teoria dos conjuntos serve de base para todas as demais teorias da Matematica A proposito gostarıamos de mencionar brevemente aqui um fato ab solutamente surpreendente provado pelo genial matematico austrıaco Kurt Goedel 19061978 num celebre artigo publicado em 1931 quando tinha apenas 25 anos Goedel provou que um sistema de axiomas qualquer que possibilite a construcao dos numeros naturais com suas propriedades usuais e que nao admita contradicoes isto e nao contenha proposicao que seja verdadeira juntamente com sua negacao dara sempre origem a proposicoes cujo valorverdade nao e possıvel de ser determinado Isto e havera sempre alguma proposicao cuja validade ou falsidade nao se pode provar com um numero finito de passos partindo dos axiomas do sistema Esse resultado de Goedel foi sem duvida um marco fundamental da Matematica do seculo XX CEDERJ 24 Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao M ODULO 1 AULA 2 Aula 2 Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao Metas da aula Apresentar os numeros naturais e suas propriedades basicas Apresentar o Princıpio da Inducao Matematica e algumas de suas aplicacoes Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber a definicao dos numeros naturais atraves dos axiomas de Peano bem como o seu uso na demonstracao das propriedades elementares das operacoes com esses numeros Saber usar o Princıpio da Inducao Matematica na demonstracao de proposicoes elementares envolvendo os numeros naturais Introducao Nesta aula vamos estudar o conjunto dos numeros naturais que e a base fundamental para a construcao do conjunto dos numeros reais Vamos aprender o Princıpio da Inducao Matematica que e um instrumento funda mental para a demonstracao de proposicoes sobre os numeros naturais e sera utilizado frequentemente ao longo de todo o curso Os numeros naturais O conjunto dos numeros naturais N 1 2 3 e definido a partir dos seguintes axiomas 1 N possui um elemento que denotamos por 1 isto e postulase que 1 N 2 Existe uma funcao s N N satisfazendo a s e injetiva isto e dados j k N sj sk se e somente se j k b sN N 1 Para cada numero natural k sk e chamado sucessor de k e denotase sk k 1 Portanto b afirma que 1 e o unico elemento de N que nao e sucessor de nenhum outro numero natural 25 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao 3 Se A N e tal que 1 A e sA A isto e k A implica k 1 A entao A N Os 3 axiomas acima sao conhecidos como Axiomas de Peano em hom enagem ao matematico italiano Giuseppe Peano 1858 1932 criador entre outras coisas da logica simbolica que foi quem primeiro os formulou O terceiro axioma e conhecido como Princıpio da Inducao Matematica Ele pode ser traduzido para o seguinte enunciado mais diretamente utilizado nas aplicacoes Teorema 21 Princıpio da Inducao Matematica Seja P uma proposicao acerca dos numeros naturais Suponhamos que P seja tal que 1 P1 vale isto e 1 verifica a proposicao P 2 Se Pk vale entao vale Pk 1 isto e se k verifica a proposicao P entao seu sucessor k 1 tambem a verifica Entao P e valida para todos os numeros naturais Prova Denotemos por A o conjunto dos numeros naturais satisfazendo P Entao por hipotese temos 1 A e se k A entao k 1 A Pelo terceiro axioma de Peano temos que A N que e o que terıamos que demonstrar As provas matematicas em que se aplica o Teorema 21 sao chamadas provas por inducao Em 2 no enunciado do Teorema 21 a hipotese de que Pk e valida e chamada hipotese de inducao Como primeiro exemplo de prova por inducao vamos demonstrar que para todo k N vale sk k Neste caso a propriedade Pk e sk k Com efeito 1 s1 pois 1 nao e sucessor de nenhum numero natural em particular 1 nao e sucessor de si proprio Logo vale P1 Alem disso se para um certo k N vale sk k entao pela injetividade da funcao s ssk sk isto e sk 1 k 1 e portanto vale Pk 1 o que conclui a prova por inducao de que sk k para todo k N Como s N N 1 e uma bijecao existe a sua funcao inversa s1 N 1 N que a cada k N 1 associa o numero s1k cujo sucessor e k Denotamos s1k k 1 para k N 1 O terceiro axioma de Peano implica em particular que todos os numeros naturais podem ser obtidos a partir de 1 tomandose reiteradamente sem CEDERJ 26 cessar começandose pelo próprio 1 a aplicação sucessor s que também denotamos 1 obtendo sucessivamente 1 1 1 1 1 1 1 1 1 etc Os nomes e as notações para a sequência de sucessores de 1 no sistema decimal usual são bastante familiares a todos nós 2 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ANALISE REAL Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao Isto significa que se ja tivermos definido para um certo k N quem e j k resultara tambem imediatamente definido atraves de 23 quem e j k 1 Chamase esse procedimento de definicao por inducao indutiva ou definicao por recorrˆencia recursiva Usando o Princıpio da Inducao podemos provar que a operacao de adicao de numeros naturais definida acima tem as propriedades de associa tividade comutatividade e a lei do corte Mais especificamente para todos j k l N valem 1 j k l j k l associatividade 2 j k k j comutatividade 3 se j l k l entao j k lei do corte Por exemplo para provar a associatividade basta uma simples inducao em l N Para l 1 a propriedade decorre diretamente de 23 Supondo a propriedade valida para um certo l N temos jkl1 jkl1 por 23 e j kl1 j k l1 pois vale Pl e de novo por 23 j k l 1 j k l 1 j k l 1 onde na ultima igualdade usamos P1 Logo se vale j k l j k l vale tambem j k l 1 j k l 1 o que conclui a prova por inducao da associatividade da adicao Para provar a propriedade da comutatividade provamos primeiro que para todo j N vale j 1 1 j fazendo inducao em j Para j 1 a igualdade e trivial Supondo que vale para um certo j N provase facil mente que vale para j 1 usandose a definicao de adicao e a hipotese de inducao Pj Em seguida fixando j N arbitrario fazemos uma nova inducao em k N para provar que j k k j para todo k N Vocˆe cer tamente sera capaz de dar agora os detalhes da demonstracao da propriedade da comutatividade Finalmente a prova da lei do corte tambem decorre de uma inducao simples em l N Com efeito fixados j k N arbitrarios se tivermos j 1 k 1 entao decorre da injetividade da funcao s que j k e portanto vale P1 Supondo que valha Pl para um certo l N isto e que j l k l j k temos j l1 k ll j l1 k l1 pela associatividade e como vale P1 j l 1 k l 1 j l k l j k onde a ultima implicacao e a hipotese de inducao Pl Logo temos que se vale Pl vale Pl 1 o que conclui a prova por inducao da lei do corte para a adicao de numeros naturais CEDERJ 28 Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao M ODULO 1 AULA 2 A propriedade da associatividade nos permite escrever simplesmente j k l em lugar de j k l ou j k l A ordem entre os numeros naturais O resultado seguinte exibe uma propriedade da adicao dos numeros naturais que da origem a nocao de ordem usual entre os mesmos Teorema 22 Dados dois numeros naturais quaisquer m e n uma e somente uma das possibilidades abaixo e valida 1 m n 2 Existe d N tal que m d n 3 Existe d N tal que m n d Prova Se um dos dois numeros m ou n e igual a 1 digamos m 1 entao a terceira possibilidade e vazia ja que se tivermos 1 n d para certos n d N entao 1 seria sucessor de n d 1 ou de n caso d 1 o que e impossıvel Alem disso vemos que se m 1 entao as duas primeiras possibilidades sao mutuamente excludentes isto e no maximo uma delas ocorre ja que se 1 n entao nao pode valer 1 d n para nenhum d N pois neste caso 1 seria sucessor de d o que e impossıvel Agora supondo que para um m N qualquer fixado as trˆes possibili dades acima sao mutuamente excludentes qualquer que seja n N essa e a hiotese de inducao Pm podemos provar que o mesmo deve valer quando tomamos m 1 em lugar de m Com efeito para isso supomos por absurdo que duas delas ocorram si multaneamente usamos a associatividade da adicao eou a lei do corte para provar que isso implicaria a negacao da hipotese de inducao Pm chegando assim a uma contradicao Concluımos entao que vale Pm 1 o que prova que as possibilidades 1 2 e 3 do enunciado sao sempre mutuamente exclu dentes Para concluir a prova do teorema devemos provar que uma dessas pos sibilidades sempre ocorre Para tanto dado um n N arbitrario definimos 29 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao o conjunto Xn por Xn Xn n Xn com Xn m N m d n para algum d N Xn m N m n d para algum d N Observe que pelo que ficou provado acima a intersecao de quaisquer dois entre os trˆes conjuntos Xn n e Xn e vazia O objetivo entao e mostrar que Xn N para todo n N Provamos primeiro que X1 N Neste caso como observado acima temos X1 Claramente temos 1 X1 Alem disso supondo k X1 para um certo k N provamos que k 1 X1 Com efeito se k X1 entao ou k 1 e nesse caso k 1 X1 ou k X1 e nesse caso k 1d para algum d N No ultimo caso temos k 1 1 d 1 pela associatividade 1 d 1 e assim fica provado que k X1 k 1 X1 Pelo terceiro axioma de Peano Princıpio da Inducao segue que X1 N A prova de que Xn N para todo n N decorrera novamente do Princıpio da Inducao se mostrarmos que Xk N Xk1 N Deixamos isso como exercıcio para vocˆe fazer Definicao 21 Dizemos que o natural m e menor que o natural n ou que n e maior que n e denotamos m n se existe d N tal que m d n A notacao n m equivale a m n e a notacao m n significa m n ou m n Se m n o numero natural d tal que m d n e denotado n m Observe que essa notacao e coerente com a notacao n 1 para o antecessor de n A relacao tem as propriedades 1 Se m n e n p entao m p transitividade 2 Se m n e p N entao m p n p monotonicidade 3 Dados dois numeros quaisquer m n N vale uma e somente uma das seguintes possibilidades ou m n ou m n ou n m tricotomia A terceira propriedade e o proprio Teorema 22 reescrito de forma dis tinta A primeira e a segunda propriedade decorrem diretamente da definicao de CEDERJ 30 Com efeito se m n e n p então existem d₁ e d₂ tais que m d₁ n e n d₂ p Decorrem daí que m d₁ d₂ p isto é m d₁ d₂ p e portanto m p Quanto à segunda se m n então m d n para algum d N assim n p m d p m p d e portanto m p n p O seguinte resultado é uma consequência imediata do Teorema 21 O produto de dois números naturais m n m n N pode ser definido recursivamente como já foi feito para a adição da seguinte forma m 1 m m n 1 m n m As duas linhas acima constituem o modo rigoroso de expressar a definição informal bastante conhecida m n m m m Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao M ODULO 1 AULA 2 1 e o elemento mınimo de A ja que 1 e o elemento mınimo de N Suponhamos entao que 1 A isto e 1 N A Seja X n N Jn N A Como J1 1 temos 1 X ja que estamos supondo que 1 N A Se para todo m X tivermos m 1 X entao pelo Princıpio da Inducao teremos X N o que implicara N A N e daı A contrariando a hipotese de que A e naovazio Assim deve existir m0 X tal que m m0 1 X Afirmamos que m assim definido e o elemento mınimo de A Com efeito se p m entao p Jm0 NA e portanto p A Logo para todo p A devemos ter m p o que demonstra que m e o elemento mınimo de A e conclui a prova A seguir damos alguns exemplos mais praticos de demonstracoes por inducao Neles faremos livre uso das propriedades dos numeros reais ja bastante conhecidas por vocˆe uma exposicao mais formal sobre essas pro priedades sera feita mais adiante Exemplos 21 a Para cada n N a soma dos n primeiros numeros naturais e dada por 1 2 n 1 2nn 1 24 Com efeito chamemos Pn esta formula Nesse caso P1 e 1 1 2 12 que portanto e verdadeira Suponhamos agora que valha Pk isto e 1 2 k 1 2kk 1 Somando k1 a ambos os membros desta equacao obtemos uma nova equacao cujo o membro esquerdo e 12 k 1 que e o membro esquerdo da formula Pk 1 Por outro lado apos somarmos k 1 a equacao Pk o membro direito da nova equacao e 1 2kk1k1 1 2k 1k 2 Assim somando k 1 a equacao Pk obtemos 1 2 k 1 1 2k 1k 2 que nada mais e que Pk 1 Assim pelo Princıpio da Inducao Matematica Teorema 21 segue que Pn isto e a equacao 24 e verdadeira para todo n N 33 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao b Para cada n N a soma dos quadrados dos n primeiros numeros naturais e dada por 12 22 n2 1 6nn 12n 1 25 De novo chamando Pn esta formula vemos que P1 e 1 1 6 1 2 3 e portanto e verdadeira Suponhamos que valha Pk 12 22 k2 1 6kk 12k 1 Somando k 12 a ambos os membros da equacao Pk obtemos 12 22 k2 k 12 1 6kk 12k 1 k 12 1 6k 1k2k 1 6k 1 1 6k 12k2 7k 6 1 6k 1k 22k 3 O membro esquerdo da primeira equacao desta cadeia de equacoes e o membro direito da ultima equacao coincidem com os membros esquerdo e direito de Pk 1 Portanto temos que Pk implica Pk 1 Logo pelo Princıpio da Inducao Matematica concluımos que 25 vale para todo n N c Dados dois numeros a b N a b provaremos que a b e um fator de an bn para todo n N Com efeito para n 1 a afirmacao e obvia Suponhamos entao que valha Pk a b e um fator de ak bk Entao temos ak1 bk1 ak1 abk abk bk1 aak bk a bbk Pela hipotese de inducao vale Pk concluımos entao que vale Pk1 De novo pelo Princıpio da Inducao vemos que a afirmacao vale para todo n N Como aplicacao deduzimos por exemplo que 13n 8n e divisıvel por 5 17n 13n e divisıvel por 4 etc qualquer que seja n N d A desigualdade 2n 2n 1 e verdadeira para n 3 observe que ela nao vale para n 1 2 De fato chamando de Pn a desigualdade CEDERJ 34 Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao M ODULO 1 AULA 2 vemos que vale P3 ja que 23 8 7 2 3 1 Suponhamos que valha Pk 2k 2k 1 Levando em conta que 2k 2 3 para todo k N apos multiplicar Pk por 2 temos 2k1 22k 1 4k 2 2k 2k 2 2k 3 2k 1 1 e assim obtemos Pk 1 Portanto pelo Teorema 23 concluımos que a desigualdade vale para todo n 3 e A desigualdade 2n n 1 pode ser estabelecida pelo Princıpio da Inducao Matematica De fato inicialmente observemos que vale P1 ja que 21 2 21 2 Supondo que valha Pk isto e 2k k1 multiplicando Pk por 2 e usando o fato que 2 k 2 segue que 2k1 2k 1 k 2k 1 k 2 o que nos da que vale Pk 1 Portanto o Teorema 21 implica que a desigualdade vale para todo n N A seguinte versao do Princıpio da Inducao Matematica e as vezes bas tante util Alguns autores a chamam Princıpio da Inducao Forte Usamos a notacao habitual 1 2 k para denotar o conjunto Jk j N 1 j k Teorema 25 Princıpio da Inducao Forte Seja S um subconjunto de N tal que 1 1 S 2 Para todo k N se 1 2 k S entao k 1 S Entao S N Prova Consideremos o conjunto X N S Provaremos por contradicao que X Suponhamos entao que X Entao pelo Princıpio da Boa Ordenacao X possui um elemento mınimo m0 Como por 1 1 S temos m0 1 Por outro lado como m0 e o menor elemento de X N S temos que 1 m0 1 S Decorre entao de 2 que m0 S o que nos da uma contradicao e conclui a prova Exercıcios 21 35 CEDERJ 1 Prove que 1 12 1 23 1 nn 1 n n 1 para todo n ℕ 2 Prove que 13 23 n3 1 2 nn 12 para todo n ℕ 3 Prove que 3 11 8n 5 4n2 n para todo n ℕ 4 Prove que 12 32 2n12 4n3 n3 para todo n ℕ 5 Prove que 12 22 32 1n1n2 1n1nn 12 para todo n ℕ 6 Prove que n3 5n é divisível por 6 para todo n ℕ 7 Prove que 52n 1 é divisível por 8 para todo n ℕ 8 Prove que n3 n 13 n 23 é divisível por 9 para todo n ℕ 9 Prove que vale o binômio de Newton dados a b ℝ para todo n ℕ vale a bn an n 1 an1b n 2 an2b2 n n1 abn1 bn onde n k nknk Sugestão verifique que n k n k1 n 1 k1 10 Prove a desigualdade de Bernoulli dado x ℝ x 1 para todo n ℕ vale 1 xn 1 nx 11 Prove que n 2n para todo n ℕ 12 Prove que 2n n para todo n 4 n ℕ 13 Prove que 2n 3 2n2 para todo n 5 n ℕ 14 Prove que 1 1 1 2 1 n n para todo n 2 n ℕ 15 Sejam os números xn definidos do seguinte modo x1 1 x2 2 e xn2 1 2 xn1 xn para todo n ℕ Use o Princípio da Indução Forte Teorema 25 para mostrar que 1 xn 2 para todo n ℕ Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao M ODULO 1 AULA 2 Prossiga Numeros Inteiros e Racionais Vamos descrever sucintamente como o conjunto dos numeros inteiros Z e o conjunto dos numeros racionais Q sao definidos a partir de N e como sao definidas a adicao a multiplicacao e a ordem entre esses numeros Men cionaremos omitindo as provas algumas propriedades satisfeitas pelas ope racoes e pela ordem definidas para os inteiros Abordaremos mais detalhada mente essas propriedades em breve quando estivermos estudando os numeros reais O conjunto Z e definido adicionandose a N o elemento 0 chamado zero e para cada k N o elemento k chamado menos k Definese a adicao entre dois inteiros quaisquer estabelecendo que a mesma coincide com a adicao em N quando ambos os numeros pertencem a N e pondose alem disso 0 s s 0 s para todo s Z j j j j 0 para todo j N j k j k para todos j k N j k k j k j se j k N e j k j k k j j k se j k N e j k onde denotamos j k d com d j k Verificase facilmente que a adicao de inteiros assim definida satisfaz r s s r comutatividade e r s t r s t associatividade A ordem em Z e definida estabelecendose que r s se r d s para algum d N Em particular 0 n e n 0 para todo n N A transitividade r s e s t r t a monotonicidade r s r t s t e a tricotomia uma e so uma das alternativas e valida r s r s ou r s valem quaisquer que sejam r s t Z como e facil verificar A multiplicacao em Z e definida estabelecendose que ela coincide com a multiplicacao em N quando ambos os numeros pertencem a N e pondo 0 s s 0 0 para todo s Z j k k j j k para todos j k N j k j k j k para todos j k N Podese provar sem dificuldade que a multiplicacao em Z assim definida e comutativa associativa e distributiva em relacao a adicao r s s r 37 CEDERJ comutatividade rst rst associatividade rs t rs rt distributividade Além disso não é difícil verificar que se r s então r t s t se t 0 isto é se t ℕ e r t s t se t 0 isto é se 1 t ℕ Finalmente se para todo s ℤ definirmos s 1 s temos que valem as equações s s s s 0 e s s s O conjunto ℚ dos números racionais é formado por objetos da forma p q onde pq ℤ e q 0 convencionandose que 2 q p r s r s p q r s ps qr qs p q r s p r q s As operações assim definidas são comutativas e associativas e vale também a distributividade da multiplicação em relação à adição Denotase p q 1 p q e p q r s p q r s p q r s Definese a ordem entre os racionais estabelecendo que p q 0 e p q r s se p q r s 0 Se x y z ℚ verificase sem muita dificuldade que i x y e y z implica x z ii x y então x z y z iii x y então xz yz se z 0 e xz yz se z 0 iv uma só uma das alternativas é válida x y x y ou x y Se x ℚ 0 e x p q definese x1 chamado o inverso de x por x1 q p Verificase sem dificuldade que x1 é o único racional satisfazendo x x1 1 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis M ODULO 1 AULA 3 Aula 3 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis Metas da aula Apresentar a definicao de conjunto finito e de numero de elementos de um conjunto finito Definir conjunto enumeravel e conjunto naoenumeravel Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado e o uso da definicao matematica de conjunto finito bem como demonstrar fatos simples envolvendo esse conceito Saber o significado e o uso da definicao matematica de conjunto enu meravel bem como demonstrar fatos simples envolvendo esse conceito Introducao O Produto Interno Bruto PIB dos Estados Unidos da America no ano de 2005 foi calculado em 12452000000000 doze trilhoes quatrocentos e cinquenta e dois bilhoes de dolares e o do Brasil no mesmo ano de 2005 foi calculado em 795000000000 setecentos e noventa e cinco bilhoes de dolares Essas estimativas deram aos EUA e ao Brasil respectivamente a 1a e a 11a posicao na classificacao das maiores economias do mundo O fato para o qual queremos chamar atencao aqui nao tem nada a ver com economia O ponto que queremos ressaltar e que no nosso diaadia por exemplo na leitura de um jornal podemos nos deparar com numeros tao grandes que nenhum ser humano na face da Terra seria capaz de contar 1 2 3 ate chegar a eles sem saltar nenhum numero intermediario simplesmente porque seriam necessarios centenas ou milhares de anos para fazˆelo estimandose que levassemos digamos em media 12 segundo para recitar cada um deles Mesmo assim vocˆe nao hesitaria em afirmar prontamente que os numeros referentes aos PIBs citados representam quantidades finitas seja la o que isso realmente signifique em ultima instˆancia O fato e que a nocao de conjunto finito e extremamente primitiva e o ser humano criou sistemas numericos capazes de representar qualquer quantidade finita muito antes de se preocupar em obter uma definicao matematica precisa do que venha ser conjunto finito Muito ao contrario a definicao que se 39 CEDERJ ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis procurou dar em tempos muito mais recentes ha menos de um seculo e meio tinha diante de si o desafio de possibilitar a demonstracao matematica de fatos absolutamente evidentes para o senso comum como por exemplo o de que a uniao de uma quantidade finita de conjuntos finitos e um conjunto finito Afinal temos certeza de que um trilhao e uma quantidade finita porque sabemos que um trilhao corresponde a mil grupos de um bilhao de elementos e por sua vez um bilhao corresponde a mil grupos de um milhao que por sua vez corresponde a mil grupos de mil etc Conjuntos Finitos e Infinitos Por ora basta de discussao informal vamos a definicao matematica Definicao 31 1 Dizemos que o conjunto vazio tem 0 elementos 2 Se n N dizemos que um conjunto A tem n elementos se existe uma bijecao do conjunto Jn 1 2 n sobre A Se A tem n elementos dizemos que n e a cardinalidade de A e denotamos n A ou n cardA 3 Um conjunto e dito finito se ou e vazio ou tem n elementos para algum n N 4 Um conjunto A e dito infinito se ele nao e finito Como a inversa de uma bijecao e uma bijecao segue que o conjunto A tem n elementos se e somente se existe uma bijecao de A sobre Jn Do mesmo modo como a composisao de duas bijecoes e uma bijecao temos que um conjunto A tem n elementos se e somente se existe uma bijecao de A sobre um outro conjunto B que possui n elementos Alem disso um conjunto C e finito se e somente se existe uma bijecao de C sobre um conjunto D que e finito Uma vez apresentada a definicao matematica do que venha ser um conjunto ter n elementos e preciso antes de mais nada que se verifique a unicidade deste n isto e que um mesmo conjunto nao pode possuir de acordo com a definicao mais de um numero n de elementos Alem disso poderia acontecer que com a definicao dada fosse possıvel mostrar que N e finito o que iria contrariar a nocao primitiva que temos desse conceito Assim e CEDERJ 40 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis M ODULO 1 AULA 3 preciso mostrar que a definicao acima implica que N e infinito como manda o senso comum Teorema 31 Unicidade Se m n N e m n entao nao pode existir uma bijecao f Jm Jn Em particular se A e finito entao A e um numero unico Prova Suponhamos por absurdo que existam m n N com m n tal que existe uma bijecao f Jm Jn Entao o conjunto C dos n N para os quais existe m n tal que existe uma bijecao entre Jm e Jn e naovazio Pelo Princıpio da Boa Ordenacao esse conjunto possui um menor ele mento n0 Assim existem m0 n0 e uma bijecao f Jm0 Jn0 Claramente n0 1 pois do contrario nao haveria m N com m n0 Se fm0 n0 entao fJm01 e uma bijecao entre Jm01 e Jn01 o que contradiz o fato de n0 ser o menor elemento de C Por outro lado se fm0 n0 tomemos m1 Jm0 tal que fm1 n0 e n1 Jn0 tal que fm0 n1 Definimos g Jm0 Jn0 pondo gm0 n0 gm1 n1 e gm fm para todo m Jm0 m1 m0 Claramente g e uma bijecao dado que f o e Entao temos que gJm01 e uma bijecao entre Jm01 e Jn01 o que nos da novamente uma contradicao e prova a primeira parte do teorema Quanto a A ser um numero unico se isso nao fosse verdade exis tiriam m n N com m n e duas bijecoes f Jm A e g Jn A Nesse caso f g1 seria uma bijecao de Jm sobre Jn o que contradiz a parte ja provada do teorema Logo A e um numero unico Teorema 32 O conjunto N dos numeros naturais e um conjunto infinito Prova Suponhamos por absurdo que N e finito Nesse caso existe m N e uma bijecao f Jm N Seja n fm Definimos g N N n pondo gk k se k n e gk k 1 se k n Entao g e uma bijecao por quˆe Por outro lado como f e bijecao entao h fJm1 e uma bijecao entre Jm1 e N n Logo g1 h e uma bijecao de Jm1 sobre Jm o que nos da uma contradicao em vista do Teorema 31 Logo N e um conjunto infinito O proximo resultado estabelece algumas propriedades elementares de conjuntos finitos e infinitos Teorema 33 41 CEDERJ ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis a Se A e um conjunto com m elementos e B e um conjunto com n ele mentos e se A B entao A B tem m n elementos b Se A e um conjunto com m elementos e C A e um conjunto com 1 elemento entao A C e um conjunto com m 1 elementos c Se C e um conjunto infinito e B e um conjunto finito entao C B e um conjunto infinito Prova Provemos a Seja f uma bijecao de Jm sobre A e g uma bijecao de Jn sobre B Definimos h Jmn A B pondo hi fi para i 1 m e hi gi m para i m 1 m n Vocˆe podera verificar sem dificuldade que h e uma bijecao de Jmn sobre A B A demonstracao de b segue diretamente de a A prova de c segue tambem de a mas por contradicao supondo por absurdo que C e um conjunto infinito B e um conjunto finito e que C B e um conjunto finito Os detalhes dessas demonstracoes sao deixados para vocˆe como exercıcio veja Exercıcio 2 ao final desta aula O fato de que um subconjunto de um conjunto finito tambem e um conjunto finito e intuitivamente obvio mas precisa ser demonstrado partindo se da definicao dada acima Como veremos a prova embora simples requer um pouco mais de trabalho que o esperado Teorema 34 Suponhamos que A e B sejam conjuntos e que A B a Se B e um conjunto finito entao A e um conjunto finito b Se A e um conjunto infinito entao B e um conjunto infinito Prova Provemos inicialmente a Se A entao ja sabemos que A e finito e nada ha para demonstrar Suponhamos entao que A A prova sera feita por inducao sobre o numero de elementos de B Se B tem 1 elemento entao o unico subconjunto naovazio de B e ele proprio Logo A B e portanto A e finito Suponhamos que todo subconjunto de um conjunto com n elementos e finito essa e a proposicao Pn cuja veracidade tomamos como hipotese Provemos que neste caso vale Pn 1 isto e que todo subconjunto de um conjunto com n 1 elementos e finito Seja entao B um conjunto com CEDERJ 42 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis M ODULO 1 AULA 3 n 1 elementos A B e seja f Jn1 B uma bijecao Se fn 1 A entao A B1 B fn 1 e pelo ıtem b do Teorema 33 B1 tem n elementos Logo pela hipotese de inducao Pn nesse caso A e finito Por outro lado se fn 1 A entao A1 A fn 1 e subconjunto de B1 que tem n elementos Logo A1 e finito Mas entao pelo ıtem a do Teorema 33 A A1 fn 1 e finito A afirmacao b e a contrapositiva de a Recordemos que a contra positiva de uma proposicao da forma p q e a proposicao q p e que essas duas proposicoes sao equivalentes isto e possuem tabelasverdade idˆenticas Conjuntos Enumeraveis Os conjuntos infinitos sao divididos em duas classes complementares a dos que sao enumeraveis e a dos que sao naoenumeraveis Definicao 32 Dizse que um conjunto A e enumeravel se ele e finito ou se existe uma bijecao f N A No segundo caso diremos que A e infinito enumeravel quando quisermos enfatizar o fato do conjunto ser infinito que decorre imediatamente da existˆencia da referida bijecao e do fato de que N e infinito A bijecao f de N sobre A e chamada uma enumeracao dos elementos de A e denotandose ak fk podemos escrever A a1 a2 a3 Dizse que um conjunto A e naoenumeravel se ele nao e enumeravel Pelas propriedades das bijecoes e claro que A e infinito enumeravel se e somente se existe uma bijecao de A sobre N Outrossim A e infinito enumeravel se e somente se existe uma bijecao de A sobre um conjunto B que e infinito enumeravel De modo mais geral A e enumeravel se e somente se existe uma bijecao de A sobre um conjunto B enumeravel Exemplos 31 a O conjunto P 2n n N dos numeros naturais pares e infinito enumeravel ja que f N P definida por fn 2n para n N e uma bijecao de N sobre P Do mesmo modo o conjunto dos numeros naturais ımpares I 2n 1 n N e infinito enumeravel ja que g N I definida por gn 2n 1 e uma bijecao de N sobre I 43 CEDERJ ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis b O conjunto Z dos numeros inteiros e enumeravel Podemos descrever uma enumeracao para Z de modo esquematico na forma 0 1 1 2 1 3 2 4 2 5 3 6 3 7 Isto e o 1 e aplicado sobre 0 os numeros naturais pares sao aplica dos sobre os inteiros negativos e os numeros naturais ımpares sobre os inteiros positivos ou seja os numeros naturais A bijecao correspon dente f N Z e definida de modo explıcito por fk k1 2 se k e ımpar k 2 se k e par c A uniao de dois conjuntos enumeraveis disjuntos e um conjunto enu meravel Sejam A e B conjuntos enumeraveis com A B Se A e B sao finitos AB e finito pelo Teorema 33 e portanto e enumeravel Se um deles digamos A e finito com A a1 ap e o outro B e infinito enumeravel com B b1 b2 b3 entao definimos uma bijecao f N A B pondo fk ak para k 1 p e fk bkp para k p Portanto AB e infinito enumeravel Finalmente se A e B sao infinitos enumeraveis com A a1 a2 a3 e B b1 b2 b3 definimos uma bijecao f N A B pondo fk a k1 2 se k e ımpar e fk b k 2 se k e par De modo esquematico representamos essa enumeracao na forma a1 1 b1 2 a2 3 b2 4 a3 5 b3 6 Teorema 35 Todo subconjunto A N e enumeravel Prova Se A e finito entao A e enumeravel por definicao e nada ha para provar Se A e infinito definimos uma bijecao f de N sobre A pondo f1 a1 onde a1 e o menor elemento de A f2 a2 sendo a2 o menor elemento de Aa1 e assim por diante Isto e supondo que f1 a1 fn an tenham sido definidos com a1 a2 an definimos fn 1 an1 onde an1 e o menor elemento de Aa1 an Afirmamos que f N A assim definida e uma bijecao Claramente f e injetiva pois fm fn se CEDERJ 44 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis M ODULO 1 AULA 3 m n Em particular fN e um conjunto infinito enumeravel pois f e uma bijecao de N sobre fN Por outro lado se houvesse a A tal que a fN entao a seria necessariamente maior que todos os elementos de fN e portanto terıamos fN Ja o que pelo Teorema 34a contradiz o fato de fN ser infinito O resultado a seguir mostra que subconjuntos de conjuntos enumeraveis tambem sao conjuntos enumeraveis Teorema 36 Suponhamos que A e B sao conjuntos e que A B a Se B e enumeravel entao A e enumeravel b Se A e naoenumeravel entao B e nao enumeravel Prova Provemos inicialmente a Se B e finito entao A e finito pelo Teorema 34a e portanto e enumeravel Suponhamos entao que B e infinito enumeravel Nesse caso existe uma bijecao g B N de B sobre N Pondo h gA temos que h e uma bijecao de A sobre um subconjunto de N isto e h e uma bijecao de A sobre um conjunto enumeravel pelo Teorema 35 Logo A e enumeravel A afirmacao b e equivalente a a pois e a sua contrapositiva Teorema 37 As seguintes afirmacoes sao equivalentes a A e um conjunto enumeravel b Existe uma sobrejecao de N sobre A c Existe uma injecao de A para N Prova ab Se A e finito existe uma bijecao f de algum conjunto Jn sobre A e entao definimos g N A por gk fk para k 1 n fn para k n Entao g e uma sobrejecao de N sobre A Se A e infinito enumeravel entao existe uma bijecao f de N sobre A a qual e em particular uma sobrejecao de N sobre A 45 CEDERJ ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis bc Se f e uma sobrejecao de N sobre A definimos g A N pondo ga igual ao menor elemento do conjunto naovazio de numeros naturais f 1a n N fn a Como fga a segue que g e injetiva por quˆe ca Se g e uma injecao de A para N entao g e uma bijecao de A sobre gA N Pelo Teorema 36a gA e enumeravel donde se conclui que o conjunto A e enumeravel Teorema 38 O conjunto N N e infinito enumeravel Prova Lembremos que N N consiste de todos os pares ordenados m n com m n N Obtemos uma enumeracao para os elementos de N N de modo esquematico na forma 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 3 4 2 2 5 3 1 6 1 4 7 no sentido crescente da soma m n e de m Fig 31 23 12 13 14 11 21 22 31 41 32 Figura 31 Enumeracao de N N pelo processo diagonal A formula explıcita para a bijecao de N sobre N N representada es quematicamente como acabamos de descrever sera dada na secao Prossiga ao final desta aula CEDERJ 46 Uma outra forma de mostrar que ℕ ℕ é enumerável é a seguinte Você deve se lembrar de que um número natural é dito primo se os únicos números naturais dos quais ele é múltiplo são o 1 e ele próprio Podese provar sem dificuldade que todo número natural admite uma única decomposição em fatores primos veja Exercício 14 abaixo Observe então que a função gm n 2m3n é uma injeção de ℕ ℕ para ℕ como consequência da unicidade da decomposição dos números naturais em fatores primos Assim pelo Teorema 37c ℕ ℕ é enumerável De passagem observamos que como é usual escrevemos de forma mais simples gm n em vez de gm n Teorema 39 O conjunto dos números racionais ℚ é infinito enumerável Prova Lembrese de que ℚ é definido por ℚ m n m n ℤ n 0 Já provamos que ℤ é infinito enumerável e portanto ℤ 0 também é pelos Teoremas 36a e 36c Assim existem bijeções g1 ℕ ℤ e g2 ℕ ℤ 0 Então Gj k g1j g2k é uma bijeção de ℕ ℕ sobre ℤ ℤ 0 por quê Como ℕ ℕ é enumerável então ℤ ℤ 0 é enumerável Portanto existe uma bijeção h1 ℕ ℤ ℤ 0 Agora a função h2 ℤ ℤ 0 ℚ definida por h2m n m n é uma sobrejeção de ℤ ℤ 0 sobre ℚ por quê Logo f h2 o h1 é uma sobrejeção de ℕ sobre ℚ Pelo Teorema 37b concluímos que ℚ é enumerável Como ℚ contém ℕ e este último é infinito segue também que ℚ é infinito ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis 1 4 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 4 1 1 1 1 2 1 3 Figura 32 Enumeracao de Q pelo processo diagonal g N N A por gm n gmn Afirmamos que g e uma sobrejecao deixaremos a vocˆe a demonstracao sim ples desse fato veja Exercıcio 8 abaixo Como N N e enumeravel existe uma bijecao e portanto uma sobrejecao f N N N donde g f e uma sobrejecao de N sobre A Aplicando o Teorema 37 outra vez concluımos que A e enumeravel Observe que o caso da uniao de uma colecao finita de conjuntos enumeraveis A1 An decorre do que acabamos de provar basta fazer Ak An para k n 1 n 2 Para concluir vamos enunciar e provar um belıssimo teorema devido a Georg Cantor 18451918 a quem tambem devemos a ideia genial do processo diagonal para mostrar que N N e Q sao enumeraveis A prova que daremos e igualmente devida a Cantor e tambem envolve um raciocınio diagonal como veremos Teorema 311 Teorema de Cantor Se A e um conjunto qualquer entao nao existe nenhuma sobrejecao de A sobre o conjunto PA de todos os subconjuntos de A CEDERJ 48 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis M ODULO 1 AULA 3 Prova Suponhamos que g A PA e uma sobrejecao Para cada a A ga e um subconjunto de A e portanto a pode ou nao ser um elemento de ga Entao definimos o conjunto D a A a ga Como D e subconjunto de A e por conseguinte D PA e como g e sobrejecao entao D ga0 para algum a0 A Devemos ter a0 D ou a0 D Se a0 D entao como D ga0 a0 ga0 o que contradiz a definicao de D Da mesma forma se a0 D entao a0 ga0 e pela definicao de D devemos ter a0 D o que tambem nos da uma contradicao Portanto nao pode existir uma tal sobrejecao O Teorema de Cantor implica em particular que PN e naoenumeravel ja que nao pode existir uma bijecao de N sobre PN Exercıcios 31 1 Prove que um conjunto A e finito se e somente se existe uma bijecao de A sobre um conjunto finito B 2 Dˆe os detalhes da prova das partes b e c do Teorema 33 3 Seja A 1 2 e B a b c a Determine o numero de injecoes diferentes de A para B b Determine o numero de sobrejecoes diferentes de A para B 4 Exibir uma bijecao uma bijecao entre N e todos os numeros ımpares maiores que 11 5 Exiba uma bijecao entre N e um seu subconjunto proprio 6 Prove que A e enumeravel se e somente se existe uma bijecao de A sobre um conjunto B enumeravel 7 Dˆe um exemplo de uma colecao enumeravel de conjuntos finitos cuja uniao nao e finita 8 Prove que a funcao g N N A definida na demonstracao do Teorema 310 e de fato uma sobrejecao 49 CEDERJ ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis 9 Prove que o conjunto dos numeros primos e infinito enumeravel Dica Para provar que esse conjunto e infinito argumente por contradicao 10 Obtenha uma representacao N A1 A2 An tal que os conjuntos A1 A2 An sejam infinitos e dois a dois disjuntos 11 Use o Princıpio da Inducao Matematica para provar que se A tem n elementos entao PA tem 2n elementos 12 Seja A N infinito Prove que existe uma unica bijecao crescente f N A m n fm fn Dica Para provar a existˆencia de uma tal funcao use reiteradas vezes o Princıpio da Boa Ordenacao e o fato de que A e infinito 13 Prove que a colecao FN de todos os subconjuntos finitos de N e enumeravel 14 Prove que todo numero natural possui uma unica representacao como produto de potˆencias de numeros primos Dica Use o Princıpio da Inducao Forte para mostrar que existe uma tal representacao A uni cidade decorre da definicao de numero primo e do fato que se n e um multiplo de m entao todo divisor de m e um divisor de n 15 Inspirado pela demonstracao do Teorema de Cantor prove que o con junto das funcoes f N 0 1 e naoenumeravel Prossiga O Processo Diagonal de Cantor Como os grandes gˆenios do futebol Cantor era totalmente investido daquele sentimento diagonal do homemgol evocado nos versos da cancao O futebol de Chico Buarque Em um punhado de momentos de pura genialidade Cantor recorreu a ataques pela diagonal para furar bloqueios que guardavam verdadeiras maravilhas matematicas atras de si Vamos a seguir determinar mais precisamente a bijecao f N N N representada pictoricamente na Figura 31 e com isso completar a prova do Teorem 38 Em vez de buscar diretamente uma expressao para f e bem mais sim ples exibir uma expressao para a inversa de f g NN N Portanto o que temos a fazer e encontrar uma expressao para g e provar que essa expressao CEDERJ 50 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis M ODULO 1 AULA 3 realmente representa uma bijecao neste caso teremos tambem provado que a inversa de g isto e f e uma bijecao de N sobre N N Inicialmente observemos que NN pode ser visto como uma colecao de diagonais a primeira delas contem apenas o ponto 1 1 a segunda contem 2 pontos 1 2 e 2 1 a terceira contem 3 pontos 1 3 2 2 3 1 etc Assim a kesima diagonal contem k pontos m n cuja soma das coordenadas e constante m n k 1 Em particular o numero de pontos incluıdos da primeira ate a kesima diagonal inclusive e Sk 1 2 k 1 2kk 1 A segunda equacao foi verificada no Exemplo 21a Ora para um ponto m n qualquer sabemos que ele pertence a m n 1esima diagonal e a sua ordem na enumeracao estabelecida no processo diagonal sera igual ao numero de pontos contidos nas diagonais que antecedem a diagonal a qual ele pertence isto e Sm n 2 mais o valor de sua primeira coordenada m Sendo assim definimos gm n Sm n 2 m para m n N N 31 Conclusao da Prova do Teorema 38 Vamos entao mostrar que g definida em 31 e uma bijecao de N N sobre N Mostremos inicialmente que g e injetiva Se m n m n entao i m n m n ou ii m n m n e m m De fato chamando de P a proposicao mn m n e Q a proposicao m m entao i e P e ii e P e Q Assim a negacao da proposicao i ou ii e a proposicao P e P ou Q que e equivalente a P e Q isto e m n m n e m m que por sua vez e equivalente a m n m n Caso tenhamos i podemos supor m n m n Notemos que vale Sk 1 Sk k 1 32 Entao usando 32 o fato que daı decorre de que S e crescente e tambem que m 0 temos gm n Sm n 2 m Sm n 2 m n 1 Sm n 1 Sm n 2 Sm n 2 m gm n 51 CEDERJ ANALISE REAL Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis Caso tenhamos ii entao gm n m Sm n 2 Sm n 2 gm n m donde se conclui igualmente que gm n gm n Portanto g e injetiva Mostremos agora que g tambem e sobrejetiva Claramente g1 1 1 Se r N com r 2 encontraremos mr nr N N com gmr nr r Como r Sr entao o conjunto Cr k N Sk r e naovazio Usando o Princıpio da Boa Ordenacao seja kr 1 o menor elemento em Cr Em particular Skr 1 r Assim como r 2 usando 32 temos Skr 1 r Skr Skr 1 kr Seja mr r Skr 1 de modo que 1 mr kr e seja nr kr mr 1 de modo que 1 nr kr e mr nr 1 kr Daı segue que gmr nr Smr nr 2 mr Skr 1 mr r Portanto g e uma sobrejecao de N N sobre N Como ja provamos que g e uma injecao segue que g e uma bijecao e portanto N N e enumeravel Recomendamos fortemente que vocˆe faca uma pesquisa na internet so bre a vida e a obra de Georg Cantor usando um sıtio de buscas como o httpwwwgooglecom ou visitando diretamente por exemplo a pagina da web httpptwikipediaorgwikiGeorg Cantor CEDERJ 52 Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 Aula 4 Os Numeros Reais I Metas da aula Definir os numeros reais tendo por base representacoes decimais Mostrar que os numeros racionais podem ser caracterizados como decimais periodicos Mostrar atraves de exemplos que o sistema dos numeros racionais possui falhas que motivam a introducao de decimais naoperiodicos que correspondem aos numeros irracionais Definir uma relacao de ordem para os numeros reais e mostrar que ela coincide com a ordem dos racionais quando restrita aos decimais periodicos Mostrar que o conjunto dos numeros reais nao e enumeravel Introduzir os conceitos fundamentais de supremo e de ınfimo Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado e o uso das representacoes decimais dos numeros reais Saber o significado e o uso da identificacao dos numeros racionais com os decimais periodicos Demonstrar proposicoes simples envolvendo os conceitos de supremo e ınfimo Introducao Nesta aula vamos iniciar nosso estudo sobre os numeros reais e suas propriedades A discussao aqui contera aspectos informais mas procurara se manter o mais proximo possıvel da argumentacao matematica rigorosa Assim apresentaremos de modo um tanto informal o conjunto dos numeros reais como o conjunto dos decimais Estes ultimos sao expressoes onde aparecem um inteiro naonegativo precedido ou nao por um sinal de menos seguido por um ponto a direita do qual segue uma sucessao infindavel de dıgitos que tomam valores no conjunto dos algarismos 0 1 2 9 No que segue vamos estabelecer essa nocao de forma mais precisa Essa abordagem tem a vantagem de dar aos numeros reais uma forma concreta proxima da ideia que fazemos deles pelo modo como ja estamos habituados a lidar com expressoes decimais do tipo mencionado Porem tem a desvantagem de ter de trabalhar com expressoes pesadas do ponto de vista notacional De qualquer modo logo que concluirmos a apresentacao 53 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais I dos numeros reais na proxima aula ficara claro que esse conjunto fica carac terizado nao pela forma de seus elementos de fato eles poderiam assumir formas completamente distintas mas pela relacao de ordem entre esses ele mentos as operacoes que podemos realizar entre eles e a completude do conjunto que sera explicada mais adiante Assim poderemos dispensar to talmente a representacao dos reais como decimais logo apos o termino dessa apresentacao Observe que adotamos aqui a convencao de apresentar os decimais com a parte inteira separada da fracionaria por um ponto realcado e nao por uma vırgula que e a forma mais usual no Brasil Fazemos isso para dar melhor visibilidade ao mesmo e evitar confusoes uma vez que a vırgula assim como o ponto usual sao utilizados frequentemente com outras finalidades Os numeros reais vistos como decimais Vocˆe certamente ja esta bastante familiarizado com a representacao decimal para os numeros racionais Essa representacao e obtida atraves do conhecido algoritmo da divisao que aprendemos no ensino fundamental O algoritmo para obter a representacao decimal de 57 esta descrito na Fig 41 Seja pq p q N um numero racional positivo Podemos tambem supor que p e q sejam primos entre si isto e nao possuem divisores comuns A representacao decimal de pq tem a forma a0a1a2a3 onde a0 N0 e a1 a2 a3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chamamos algarismos os elementos do conjunto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 De modo geral ou essa representacao termina em zeros isto e an 0 para n k para algum k N ou apresenta um bloco de m algarismos perıodo com m N repetindose indefinidamente a partir da k 1 esima casa decimal para um certo k N isto e an anm para todo natural n k Chamamos tal representacao decimal periodica incluindo nessa denominacao tambem o caso em que a representacao decimal termina em zeros considerando nesse caso m 1 e 0 como o bloco que se repete periodicamente com perıodo 1 CEDERJ 54 O racional 0 tem a representação decimal trivial 0000 Os racionais negativos da forma r pq com p q N têm representação decimal da forma a0a1a2a3 onde a0a1a2a3 é a representação decimal de pq O fato de que a representação decimal de um racional positivo pq fornecida pelo algoritmo da divisão é sempre periódica se explica do seguinte modo Consideremos para simplificar apenas o caso em que 0 pq 1 Suponhamos então x pq com p q N 0 p q como no exemplo da Figura 41 em que p 5 q 7 Notamos que cada passo do algoritmo da divisão de p por q fornece um resto que é um inteiro entre 0 e q 1 Portanto após um número de passos nunca maior que q algum resto ocorrerá uma segunda vez a partir daí os algarismos no quociente começarão a se repetir em ciclos Portanto essa representação decimal é periódica Formalmente a representação decimal de um racional positivo pq deixa de ser sempre única pelo seguinte fato Para cada racional cuja representação decimal obtida através do algoritmo da divisão termina em 0s pq a0a1 ak000 com ak 1 poderíamos também considerar uma representação decimal na forma a0a1 ak 1999 terminando em 9s De fato tal representação também se aplicaria ao mesmo ANALISE REAL Os Numeros Reais I racional pq ja que multiplicandose essa representacao que chamaremos x por 10k1 obterıamos 10k1x a0a1 ak 19999 e multiplicandoa por 10k obterıamos 10kx a0a1 ak 1999 Fazendo a diferenca temos 9 10kx a0a1 ak 19000 a0a1 ak 1000 10 a0a1 ak 1 9 a0a1 ak 1 9 a0a1 ak 1 9 9 a0a1 ak 1 1 9 a0a1 ak donde se conclui que 10kx a0a1 ak isto e x a0a1 ak ou seja x pq Nos calculos anteriores por abuso de notacao denotamos por a0a1 ak o inteiro N cuja representacao decimal e obtida justapondose a direita de a0 os algarismos a1 ak sucessivamente ou seja N a0 10k a1 10k1 ak Por exemplo 12 05 ou 12 049999 1150 022 ou 1150 021999 No que segue estaremos sempre descartando representacoes decimais terminadas em 9s Definicao 41 1 Chamaremos decimal geral naonulo qualquer expressao da forma a0a1a2a3 onde a0 N 0 a1 a2 a3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e para algum k N0 temse ak 0 Em geral escrevese a0a1a2a3 em vez de a0a1a2a3 e estes sao chamados positivos ao passo que os decimais da forma a0a1a2a3 sao chamados negativos 2 O decimal nulo e definido por 0000 3 Decimais gerais naonulos da forma a0a1a2 ak999 onde an 9 se n k ak 9 ou a09999 serao por nos chamados redun dantes e identificados com os decimais que lhes sao equivalentes isto e a0a1a2 ak 1000 e a0 1000 respectivamente CEDERJ 56 Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 4 Um decimal e um decimal geral positivo negativo ou nulo que nao e redundante 5 Um decimal periodico e um decimal que apresenta um bloco de m al garismos perıodo com m N repetindose indefinidamente a partir da k 1esima casa decimal para um certo k N isto e an anm para todo natural n k Em particular o decimal nulo e periodico Quando a representacao decimal periodica termina em 0s e usual omitir os zeros que se repetem indefinidamente A seguir damos uma definicao informal para os numeros reais Definicao 42 Informal Um numero real e um objeto que e representado por um decimal O conjunto de todos os numeros reais e denotado por R O numero real e positivo se e representado por um decimal positivo negativo se e representado por um decimal negativo e nulo ou zero se e representado pelo decimal nulo A todo p Z associamos o decimal p p000 que continuara sendo denotado simplesmente por p Em particular 0 0000 e 1 1000 Dado x R se x a0a1a2a3 denotamos por x o numero real x a0a1a2a3 se x a0a1a2a3 entao pomos x a0a1a2a3 Temos tambem a identidade 0000 0000 0 Dizemos que a definicao anterior e informal porque ela apresenta R apenas como um conjunto cujos elementos podem ser representados de uma forma determinada e nao como uma estrutura algebrica com propriedades que possam caracterizalo sem que precisemos saber exatamente que forma tˆem seus elementos Em particular ela nao fornece nenhuma indicacao do que venha a ser a adicao x y a subtracao x y o produto x y e a divisao xy quando y 0 de dois numeros reais x e y quaisquer Vamos definir essas operacoes de modo geral e dar uma caracterizacao estrutural para R em breve Por enquanto vamos definir as referidas operacoes apenas em alguns casos bastante particulares que nos serao uteis na discussao que faremos logo a seguir Definicao 43 57 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais I a Se x e y sao decimais periodicos representando numeros racionais x pq y pq p p q q Z q 0 q 0 entao xy xy xy e xy quando y 0 sao definidos como sendo os decimais obtidos por meio do algoritmo da divisao para as divisoes pqqpqq pqqpqq pp qq e pq qp respectivamente b A multiplicacao de um numero real positivo x por uma potˆencia posi tiva de 10 qualquer 10k x k N e o numero real cuja representacao decimal e obtida simplesmente deslocandose para a direita k casas decimais o ponto decimal da representacao de x Alem disso se x e um numero real negativo com x y onde y e um numero real positivo entao 10k x 10k y c Se x e y sao dois reais positivos cujas representacoes decimais coincidem a direita de isto e x a0a1a2a3 y b0b1b2b3 entao x y a0 b0 Em particular x x 0 O resultado a seguir fornece uma caracterizacao precisa para a repre sentacao decimal dos numeros racionais Teorema 41 Um numero real e racional se e somente se e um decimal periodico Prova A prova de que todo racional e um decimal periodico ja foi dada no inıcio desta aula Reciprocamente mostraremos que se um decimal e periodico entao ele representa um numero racional A ideia da prova fica mais clara por meio de um exemplo Suponhamos que x 542323 23 Multiplicamos x por uma potˆencia de 10 para mover o ponto decimal ate o primeiro bloco que se repete periodicamente para o nosso exemplo obtemos 10x 54232323 Observe que estamos usando b da Definicao 43 Em seguida multiplicamos x por uma potˆencia de 10 para mover um bloco periodico para a esquerda do ponto decimal no nosso exemplo obtemos 1000x 54232323 Finalmente subtraımos o ultimo numero do primeiro usando o item c da Definicao 43 para obter um inteiro no caso do nosso exemplo 1000x 10x 5369 Segue daı que x 5369990 um numero racional CEDERJ 58 Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 Definicao 44 1 Dizemos que x R e um decimal naoperiodico se x nao e um decimal periodico 2 O conjunto R Q e chamado conjunto dos numeros irracionais O Teorema 41 pode ser reescrito da seguinte forma Teorema 42 Um numero real x e irracional se e somente se e um decimal naoperiodico Agora vem a pergunta que nao quer calar Por que precisamos dos irra cionais Por que nao nos contentamos com os racionais Por que introduzir decimais naoperiodicos Os exemplos a seguir servem como primeiras indicacoes de que os racionais sao insuficientes para os propositos da Analise Matematica Exemplo 41 Vamos mostrar que a equacao x2 2 41 nao e satisfeita por nenhum numero racional x Se existisse um tal racional x poderıamos escrever x pq com p e q inteiros primos entre si Em particular p e q nao sao ambos pares Entao de 41 obtemos p2 2q2 42 Isso mostra que p2 e par Portanto p e par pois se p fosse ımpar p2 seria ımpar por quˆe Assim p 2m para algum inteiro m e portanto p2 4m2 Segue de 42 que q2 2m2 Logo q2 e par e por conseguinte q e par o que nos da uma contradicao Portanto e impossıvel um racional x satisfazer 41 Exemplo 42 Seja A o conjunto de todos os racionais positivos r tais que r2 2 e seja B o conjunto de todos os racionais positivos r tais que r2 2 Vamos mostrar que A nao contem um maior elemento e B nao contem um menor elemento Mais explicitamente para todo r A vamos mostrar que e possıvel encontrar um s A tal que r s e para todo r B vamos mostrar que e possıvel encontrar um s B tal que s r 59 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais I Para isso associamos a cada racional r 0 o numero racional s r r2 2 r 2 2r 2 r 2 43 Entao s2 2 2r2 2 r 22 44 Se r A entao r2 2 0 43 mostra que s r e 44 mostra que s2 2 logo s A Se r B entao r2 2 0 43 mostra que 0 s r e 44 mostra que s2 2 logo s B Os exemplos acima mostram que o sistema dos numeros racionais tem falhas buracos Os numeros irracionais sao introduzidos para preencher essas falhas tapar esses buracos Essa e a razao principal do papel fundamental dos numeros reais na Analise Apesar dos buracos o sistema dos racionais apresenta uma propriedade notavel que e a de ser denso Usamos esse termo para expressar que entre dois racionais existe sempre um outro racional De fato se r s entao r r s2 s Ainda nao nos e possıvel afirmar que existe um numero real satisfazendo a equacao 41 dentre outras razoes porque ainda nao definimos o que e o quadrado de um numero real qualquer No entanto estamos bastante proximos de poder fazˆelo A relacao de ordem dos numeros reais Definicao 45 Seja A um conjunto Uma ordem em A e uma relacao denotada por com as duas seguintes propriedades 1 Tricotomia Se x A e y A entao uma e somente uma das alternativas abaixo e verdadeira x y x y y x 2 Transitividade Se x y z A se x y e y z entao x z A expressao x y pode ser lida como x e menor que y ou x precede y Frequentemente e conveniente escrever y x em vez de x y CEDERJ 60 Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 A notacao x y significa x y ou x y Em outras palavras x y e a negacao de x y Definicao 46 Um conjunto ordenado e um conjunto A no qual esta definida uma ordem Definicao 47 Dados numeros reais positivos x a0a1a2a3 e y b0b1b2b3 dizemos que x e menor que y e escrevemos x y se a0 b0 ou existe k N tal que aj bj para j 0 k 1 e ak bk Se x R e negativo ou igual a 0 e y R e positivo entao por definicao x y Se x y R e ambos sao negativos entao diremos por definicao que x y se y x Teorema 43 Com a relacao entre numeros reais dada pela Definicao 47 R e um conjunto ordenado Prova Claramente a relacao dada pela Definicao 47 satisfaz as duas condicoes da Definicao 45 Logo pela Definicao 46 R e um conjunto orde nado Cabe aqui perguntar se de fato coincidem sobre os numeros racionais a ordem induzida pela definicao anterior quando identificamos os racionais com suas representacoes decimais periodicas e a ordem usual dos racionais vistos como fracoes de inteiros Lembremos que esta ultima e definida como segue Sejam x y Q representados como fracao na forma x pq y pq com p p Z e q q N Entao x y se e somente se pq qp A seguir enunciamos um resultado que estabelece essa coincidˆencia Omitiremos sua demonstracao por ser um pouco extensa embora simples Se vocˆe tiver curiosidade podera vˆela na secao Prossiga ao final desta aula Teorema 44 A relacao x y dada pela Definicao 47 para os numeros reais coincide com a relacao de ordem usual dos numeros racionais se x y Q O resultado a seguir mostra que R com a ordem dada pela Definicao 47 tambem possui a propriedade de ser denso apresentada pelos racionais como vimos anteriormente Teorema 45 Teorema da Densidade Dados dois numeros reais a b com a b existe ξ R satisfazendo a ξ b Mais ainda podemos tomar ξ em Q ou em R Q conforme nossa vontade 61 CEDERJ Prova Bastará analisar o caso em que x e y são positivos Suponhamos a a0a1a2a3 e b b0b1b2b3 Como a b ou a0 b0 ou existe k N tal que aj bj j 0 1 k 1 e ak bk Por concreto suponhamos que acontece o segundo caso isto é existe k N tal que aj bj j 0 1 k 1 e ak bk o primeiro caso pode ser tratado do mesmo modo Obtemos um racional ξ com a ξ b fazendo ξ a0a1a2 ak am1am 1000 onde m k é tal que am 9 o qual sabemos existir pois não é decimal redundante Para obter um irracional ξ satisfazendo a ξ b tomamos para ξ o decimal nãoperiódico ξ a0a1a2 ak am1am 11 00 00 2 3 4 5 onde como antes m k é tal que am 9 Usamos as seguintes notações que definem os diversos tipos de intervalos de R a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b b x R x b b x R x b a x R x a a x R x a R Chamamos atenção para o fato de que e são apenas símbolos convenientes que se lêem menos infinito e mais infinito não representam em hipótese alguma números reais Na lista de tipos de intervalos de R que acabamos de dar os quatro primeiros são ditos limitados ao passo que os cinco últimos são ditos ilimitados O primeiro o quinto e o sétimo intervalos são ditos abertos ao passo que o segundo o sexto e o oitavo são ditos fechados Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 A NaoEnumerabilidade dos Reais A seguir vamos dar uma prova da naoenumerabilidade de R devida a Cantor Mais uma vez assistiremos a um brilhante ataque pela diagonal Teorema 46 O intervalo unitario aberto 0 1 x R 0 x 1 nao e enumeravel Prova A prova e por contradicao Se x 0 1 entao x 0a1a2a3 Suponhamos que exista uma enumeracao x1 x2 x3 de todos os numeros em 0 1 a qual disporemos na forma x1 0a11a12a13 a1n x2 0a21a22a23 a2n x3 0a31a32a33 a3n xn 0an1an2an3 ann Agora definimos um numero real y 0b1b2b3 bn pondo b1 2 se a11 5 e b1 7 se a11 4 em geral definimos bn 2 se ann 5 7 se ann 4 Entao y 0 1 Como y e xn diferem na nesima casa decimal entao y xn para todo n N Portanto y nao esta incluıdo na enumeracao de 0 1 o que nos da a contradicao desejada Supremos e Infimos Definicao 48 Seja C um conjunto ordenado e B C Se existe y C tal que x y para todo x B entao dizemos que B e limitado superiormente e chamamos y uma cota superior de B Se existe z C tal que z x para todo x B entao dizemos que B e limitado inferiormente e chamamos z uma cota inferior de B 63 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais I A seguir uma definicao de importˆancia fundamental para tudo que se seguira no curso de Analise Real Definicao 49 Suponhamos que C seja um conjunto ordenado B C e B e limitado supe riormente Suponhamos que exista um α C com as seguintes propriedades i α e uma cota superior de B ii Se y α entao y nao e uma cota superior de B Entao α e chamado supremo de B Existe no maximo um supremo De fato se α e β sao dois supremos de B devemos ter por ii β α ja que β e cota superior por i e de novo por ii α β ja que α e cota superior por i Logo α β Escrevemos α sup B A definicao a seguir e o analogo da definicao anterior no caso das cotas inferiores Definicao 410 Suponhamos que C seja um conjunto ordenado B C e B e limitado inferi ormente Suponhamos que exista um α C com as seguintes propriedades i α e uma cota inferior de B ii Se y α entao y nao e uma cota inferior de B Entao α e chamado ınfimo de B Da mesma forma que para o supremo existe no maximo um ınfimo Escrevemos α inf B Exemplos 41 a Consideremos os conjuntos A e B do Exemplo 42 como subconjuntos do conjunto ordenado Q O conjunto A e limitado superiormente De fato as cotas superiores de A sao exatamente os elementos de B Como B nao contem nenhum menor elemento A nao possui supremo em Q Analogamente B e limitado inferiormente O conjunto das cotas inferiores de B consiste de A e todos os r Q com r 0 Como A nao possui um maior elemento B nao possui ınfimo em Q CEDERJ 64 Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 b Se α sup B existe entao α pode ou nao ser membro de B Por exemplo seja B1 o conjunto de todos os r Q com r 0 e B2 o conjunto de todos r Q com r 0 Entao sup B1 sup B2 0 e 0 B1 mas 0 B2 c Seja B Q o conjunto dos numeros da forma 1n onde n 1 2 3 Entao sup B 1 o qual pertence a B e inf B 0 que nao pertence a B Definicao 411 Dizemos que um conjunto ordenado C tem a propriedade do supremo se para todo conjunto B C tal que B nao e vazio e B e limitado superiormente entao existe o sup B em C O Exemplo 41a mostra que Q nao tem a propriedade do supremo O resultado a seguir mostra que nao e necessario definir o que venha a ser um conjunto ordenado C ter a propriedade do ınfimo em analogia a propriedade do supremo Ele mostra em suma que a propriedade do supremo implica a propriedade do ınfimo Teorema 47 Suponhamos que C seja um conjunto ordenado com a propriedade do supremo Seja B C tal que B nao e vazio e B e limitado inferiormente Seja A o conjunto de todas as cotas inferiores de B Entao α sup A existe em C e α inf B Em particular inf B existe em C Prova Como B e limitado inferiormente A nao e vazio Como A consiste exatamente daqueles y C que satisfazem y x para todo x B vemos que todo x B e uma cota superior de A Assim A e limitado superiormente Como por hipotese C tem a propriedade do supremo temos que sup A existe em C Seja α sup A Vamos mostrar que α inf B Se γ α entao pela Definicao 49 γ nao e uma cota superior de A e portanto γ B Segue que α x para todo x B Logo α A Se α β entao β A ja que α e uma cota superior de A Em outras palavras α e uma cota inferior de B e se β α entao β nao e cota inferior de B Isso significa que α inf B como querıamos mostrar 65 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais I O fato de um conjunto ordenado C ter a propriedade do supremo tambem pode ser expresso dizendose que C e completo Exercıcios 41 1 Mostre que se ak bk 0 1 9 e se a1 10 a2 102 an 10n b1 10 b2 102 bm 10m 0 entao n m e ak bk para k 1 n 2 Ache a representacao decimal de 13 11 3 Expresse 1 7 e 2 19 como decimais periodicos 4 Que racionais sao representados pelos decimais periodicos 125137137 137 e 3514653653 653 5 Mostre que se F Q e finito entao sup F max F inf F min F onde max F e min F sao respectivamente o maior elemento maximo e o menor elemento mınimo de F 6 Para cada um dos intervalos abaixo diga quais sao limitados superior mente quais sao limitados inferiormente e diga em cada caso justifi cando se existem em R e caso existam quem sao o supremo eou o ınfimo i a b x R a x b ii a b x R a x b iii a b x R a x b iv a b x R a x b v b x R x b vi b x R x b vii a x R x a viii a x R x a 7 Prove que a equacao x2 3 nao possui solucao racional Defina os subconjuntos de Q A x Q x2 3 B x Q x2 3 CEDERJ 66 Os Numeros Reais I M ODULO 1 AULA 4 e mostre que A e limitado superiormente mas nao possui supremo em Q ao passo que B e limitado inferiormente mas nao possui ınfimo em Q Prossiga A ordem usual dos racionais e a ordem dos decimais Prova do Teorema 44 Inicialmente vamos provar que se x y Q e x y de acordo com a Definicao 47 entao x y no sentido usual para numeros racionais se x pq e y pq com p p Z e q q N entao x y se e somente se pq qp Vamos ilustrar essa afirmacao com um exemplo De acordo com a Definicao 47 temos x 542323 23 y 54234234 234 Vamos proceder como na demonstracao do Teorema 41 porem desta feita como temos dois decimais periodicos com perıodos distintos 2 e 3 respecti vamente vamos multiplicar ambos por 107 10 9999990 note que 6 e o mınimo multiplo comum de 2 e 3 Obtemos desse modo os seus multiplos inteiros 9999990x 54232323 54 e 9999990y 54234234 54 Assim temos x 54232323 54 9999990 e y 54234234 54 9999990 Fica entao evidente que de fato x y como querıamos mostrar O argumento que acabamos de dar para demonstrar nesse exemplo particular que a nocao de ordem dada pela Definicao 47 implica a nocao de ordem usual pode ser perfeitamente adaptado para demonstrar que se x y Q e x y de acordo com a Definicao 47 entao x y no sentido usual da ordem entre os numeros racionais descrito anteriormente Reciprocamente se x y Q x pq y pq p p Z q q N e x y no sentido que pq qp entao vale tambem x y no sentido da Definicao 47 Para simplicar vamos considerar apenas o caso em que 0 x y no qual podemos supor p q p q N Observemos que a representacao decimal de x fornecida pelo algoritmo da divisao pq e a mesma fornecida pela divisao pq qq Da mesma forma a representacao decimal de y fornecida pelo algoritmo da divisao p q e a mesma fornecida pela divisao pq qq Observe tambem que no caso das 67 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais I divisoes pq qq e pq qq os divisores sao iguais ao passo que o dividendo da primeiro e menor que o dividendo da segunda Portanto o primeiro quociente obtido pelo algoritmo da divisao para pq qq sera no maximo igual ao primeiro quociente obtido para pq qq Se ele for de fato menor na primeira divisao que na segunda entao teremos x y de acordo com a Definicao 47 Se for igual o resto da primeira divisao tera sido menor do que o resto da segunda divisao e portanto o segundo quociente da divisao pq qq sera no maximo igual ao segundo quociente da divisao pq qq Se ele for menor na primeira divisao que na segunda entao teremos x y de acordo com a Definicao 47 Se for igual o resto da primeira divisao tera sido menor do que o resto da segunda divisao e portanto o terceiro quociente da divisao pq qq sera no maximo igual ao terceiro quociente da divisao pq qq etc Continuando esse processo em no maximo qq passos teremos chegado a um ponto em que o quociente obtido na divisao pq qq tera sido menor que o quociente correspondente na divisao pq qq ao mesmo tempo em que todos os quocientes anteriores terao sido iguais para ambas as divisoes Poderemos entao de qualquer modo concluir que x y de acordo com a Definicao 47 CEDERJ 68 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 Aula 5 Os Numeros Reais II Metas da aula Enunciar o fundamental Teorema do Supremo para os numeros reais Definir as operacoes de adicao subtracao produto e divisao no conjunto R dos numeros reais Mostrar que R com essas operacoes satisfaz as propriedades de um corpo ordenado Estabelecer a caracterizacao dos reais como um corpo ordenado completo Fazer uma breve discussao sobre a propriedade dos intervalos encaixados Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o enunciado do Teorema do Supremo e seu uso na demonstracao de proposicoes simples sobre os numeros reais Em particular saber demonstrar as propriedades elementares das operacoes com os numeros reais Saber o significado e o uso da propriedade dos intervalos encaixados Introducao Nesta aula vamos tornar mais rigorosa nossa discussao sobre os numeros reais iniciada na aula passada O ponto de partida fundamental para tal construcao e o Teorema do Supremo Ele nos permitira definir de maneira rigorosa as operacoes entre os numeros reais e tambem demonstrar suas pro priedades A partir daı tornase possıvel uma caracterizacao do conjunto dos numeros reais que dispensa qualquer referˆencia a uma forma especıfica dos seus elementos O Teorema do Supremo e as Operacoes nos Reais Comecaremos nossa aula enunciando um resultado que estabelece uma propriedade fundamental de R exatamente aquela que da a R uma estrutura superior a dos numeros racionais e que possibilita todo o desenvolvimento posterior da Analise Real Ha dois metodos classicos consagrados de demonstrar esse resultado ambos exigindo uma grande dose de abstracao Um deles que e atraves da introducao dos chamados cortes e devido a R Dedekind 18311916 motivo pelo qual o processo ficou conhecido como cortes de Dedekind O 69 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais II outro que e atraves de classes de equivalˆencia de sequˆencias de Cauchy con ceito este que sera estudado em aulas futuras e devido a Cantor nome que ja encontramos diversas vezes nas aulas anteriores Deixaremos sua demon stracao para a secao Prossiga ao fim desta aula onde faremos uma exposicao resumida do processo devido a Dedekind Vejamos agora o enunciado do importantıssimo Teorema do Supremo Teorema 51 Teorema do Supremo O conjunto ordenado R tem a propriedade do supremo De posse do Teorema do Supremo agora nos e possıvel definir as operacoes de adicao subtracao produto e divisao nos reais Definicao 51 Dados a b R sejam A a Q x Q x a B b Q x Q x b Ponhamos A B x Q x r s r A s B Definimos a b supA B 51 Para a b 0 sejam A 0 a Q x Q 0 x a B 0 b Q x Q 0 x b Ponhamos A B x Q x rs r A s B 1A x Q x 1r r A Definimos a b supA B 52 1a inf 1A 53 Para a b R definimos a b a b 54 0 a a 0 0 55 CEDERJ 70 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 e para a b 0 a b a b a b 56 a b a b 57 1a 1a 58 Se b 0 definimos ab a 1b 59 Na definicao anterior observe que os conjuntos AB e AB sao nao vazios e limitados superiormente portanto pelo Teorema 51 os supremos nas definicoes de a b e a b existem Observe tambem que o conjunto 1A x Q x 1r r A nao e limitado superiormente mas e limitado inferiormente por quˆe a existˆencia do ınfimo e garantida pelo Teorema 51 Os quatro resultados seguintes se destinam em particular a mostrar que a Definicao 51 e coerente com a b c e d da Definicao 43 Teorema 52 As operacoes de adicao e multiplicacao em R dadas pela Definicao 51 co incidem com as operacoes correspondentes em Q quando a b Q Isso confirma a da Definicao 43 Prova A afirmacao segue imediatamente da densidade de Q e das definicoes para ab e ab na Definicao 51 ja que nesse caso AB abQ e A B ab Q como e facil constatar Teorema 53 Se r Q e B Q B naovazio e limitado superiormente entao r sup B sup B r supB r 510 Prova Observe inicialmente que tanto r sup B como sup Br sao cotas superiores de B r Alem disso se β r sup B entao existe s Q com β s r sup B pela densidade de Q Como s r sup B existe t B tal que s r t Logo β s r t e r t r B donde β nao e cota superior de r B se β r sup B Da mesma forma β nao e cota superior de r B se β sup B r Concluımos que vale 510 Teorema 54 Se r Q r 0 B Q0 B nao e vazio e e limitado superiormente entao r sup B sup B r supr B 511 71 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais II onde r B x Q x rs para algum s B Decorre daı em particular a confirmacao de b da Definicao 43 Prova A primeira igualdade em 511 decorre da propria Definicao 51 ja que se A 0 r Q e B 0 sup B Q entao claramente A B B A x Q x rs r A s B e r sup B sup A B ao passo que sup B r sup B A Provemos a segunda igualdade em 511 Primeiro notemos que r sup B e cota superior de r B De fato se x r B entao x rs para algum s B Como B B e r sup A segue que x r sup B Facamos α r sup B Dado qualquer β α com β 0 temos que existe ξ Q com β ξ α Mas entao existe ξ A B tal que ξ ξ α Em particular ξ rs onde r r e s sup B Logo ξ rs para algum s B Como β ξ rs com rs r B segue que β nao e cota superior de r B Portanto α supr B o que prova 511 Se r 10k para algum k N e B 0 x Q para um dado numero real x 0 a relacao 511 nos da 10k x sup10k B Seja x a0a1a2a3 Se r B entao existe m N com m k tal que r a0a1a2 am x Logo 10kr 10k B e 10kr a0a1 akak1 am a0a1 akak1 amam1 onde a0a1 ak representa o inteiro N a0 10k a1 10k1 ak Logo a0a1 akak1ak2 e uma cota superior de 10k B Por outro lado e facil ver que se β α a0a1 akak1ak2 entao β a0a1 akak1 am 10ka0a1a2 am para algum m N Como 10ka0a1a2 am 10k B entao β nao e cota superior de 10k B Logo α sup10k B 10k x o que confirma b da Definicao 43 Teorema 55 A Definicao 51 tambem e coerente com d da Definicao 43 Prova Suponhamos a e b ambos positivos com representacoes decimais co incidindo a direita de a a0a1a2a3 b b0a1a2a3 CEDERJ 72 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 Para fixar ideias suponhamos a0 b0 Devemos provar que a b a0 b0 Seja A a Q B b Q e A B A B isto e A B x Q x r s r a s b Temos a b a b supA B Consideremos as sucessoes de elementos de Q r1 r2 rn a e s1 s2 sn b dadas por r1 a0a1 s1 b0a1 1 r2 a0a1a2 s2 b0a1a2 1 r3 a0a1a2a3 s3 b0a1a2a3 1 rn a0a1a2 an sn b0a1a2 an 1 onde nas representacoes para sn n 1 2 3 adotamos a convencao que quando ak 9 a representacao decimal de sk terminando com ak1 deve ser substituıda pela representacao decimal correta Esta ultima como sabemos e obtida pela regra que manda pˆor 0 na kesima casa decimal e somar 1 a casa decimal imediatamente anterior procedendo dessa forma ate a primeira casa decimal anterior a kesima cujo algarismo correspondente seja menor que 9 ou se nao existir tal casa concluir o processo substituindo b0 por b0 1 Dado r A qualquer e possıvel encontrar n1 N tal que r rn a para todo n n1 por quˆe Da mesma forma dado qualquer s B e possıvel encontrar n2 N tal que s sn b para todo n n2 Assim dado qualquer x A B x r s com r A s B e portanto se n0 maxn1 n2 entao x rn sn a b para todo n n0 Assim a b supR S onde R S r1 s1 r2 s2 r3 s3 Agora verificamos facilmente que rn sn a0 b0 1999 9000 onde todas as casas decimais a direita do ponto decimal ate a nesima sao iguais a 9 e todas as seguintes sao iguais a 0 Daı segue que a b a0 b0 73 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais II De fato a0 b0 e uma cota superior de R S Alem disso se y a0 b0 entao pela densidade de Q existe q Q com y q a0 b0 e usando a representacao decimal de q deduzimos facilmente que existe n0 N tal que q rn sn para todo n n0 Logo se y a0 b0 y nao e cota superior de R S e portanto a0 b0 supR S a b como querıamos mostrar Antes de passarmos a verificacao das propriedades das operacoes de adicao e multiplicacao em R introduzidas na Definicao 51 vamos enunciar um resultado que estabelece um fato conhecido como Propriedade Arquime diana de R cuja demonstracao decorre diretamente do Teorema 54 Teorema 56 Propriedade Arquimediana Se x R y R e x 0 entao existe n N tal que nx y Prova Claramente podemos supor y 0 Seja y b0b1b2b3 e x a0a1a2a3 Como pelo Teorema 54 10kx a0a1a2 akak1ak2 basta tomar n 10k com k grande o suficiente de modo que a0a1a2 ak b0 1 y o que sempre e possıvel Propriedades Algebricas e Caracterizacao dos Reais O resultado seguinte estabelece as propriedades fundamentais das operacoes de adicao e multiplicacao em R definidas anteriormente Teorema 57 As operacoes de adicao R R R e multiplicacao R R R definidas conforme a Definicao 51 satisfazem as seguintes propriedades A Propriedades da Adicao A1 Se a R e b R entao a b R A2 Comutatividade da adicao a b b a para todos a b R A3 Associatividade da adicao a b c a b c para todos a b c R CEDERJ 74 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 A4 R contem um elemento 0 tal que 0 a a para todo a R A5 Para todo a R existe um elemento a R tal que aa 0 M Propriedades da Multiplicacao M1 Se a R e b R entao o produto a b R M2 Comutatividade da multiplicacao a b b a para todos a b R M3 Associatividade da multiplicacao a b c a a c para todos a b c R M4 R contem um elemento 1 0 tal que 1 a a para todo a R M5 Para todo a R com a 0 existe um elemento 1a R tal que a 1a 1 D A Lei Distributiva a b c a b a c para todos a b c R Um conjunto C dotado de operacoes e satisfazendo A M e D e uma estrutura algebrica chamada corpo Em particular R e um corpo Prova As propriedades A1 e M1 seguem imediatamente do Teorema do Supremo Vamos provar A3 e M3 as demais serao deixadas como exercıcio A3 Devemos mostrar que a b c a b c para todos a b c R Consideremos os conjuntos A e B dados na Definicao 51 e definimos C c Q Vamos mostrar que a b c supA B C a b c para todos a b c R 512 Observe que os conjuntos A B e C sao subconjuntos de Q e como a adicao em Q e associativa podemos escrever ABC ABC ABC Mostremos entao a primeira igualdade em 512 Temos de provar que supsupA B C supA B C Denotemos α supsupA B C Para todo x A B C temos x r s t com r A s B e t C Em particular x r s t supA B t α portanto α e uma cota superior de A B C 75 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais II Suponhamos que β R e β α Vamos mostrar que β nao e cota superior de A B C Com efeito pelo Teorema 45 existe um p Q satisfazendo β p α Como α supsupABC pelas propriedades do supremo existe um t C tal que p supABt supABt onde usamos o Teorema 53 na ultima igualdade Pelas propriedades do supremo existem r A s B tais que p r s t e r s t A B C Como β p r s t concluımos que β nao e cota superior de A B C se β supsupABC Portanto fica provado que supsupABC supA B C Da mesma forma verificamos que supA supB C e cota superior de A B C e se β supA supB C entao β nao e cota superior de ABC Segue desses fatos que vale supAsupBC supABC o que conclui a prova de 512 Em particular vale A3 M3 O caso em que 0 a b c e imediato Assim basta analisar o caso 0 a b c Mais ainda basta considerar o caso em que a b e c sao positivos em vista de 56 e 57 Neste caso a demonstracao e totalmente analoga a de A3 Definicao 52 1 Um corpo ordenado e um corpo C com relacao as operacoes e nele definidas o qual tambem e um conjunto ordenado segundo uma relacao de ordem nele definida tal que i se x y z C e y z entao x y x z ii se x y C x 0 e y 0 entao xy 0 Se x 0 dizemos que x e positivo e se x 0 dizemos que x e negativo 2 Um corpo C que satisfaz a propriedade do supremo e dito um corpo completo Teorema 58 R e um corpo ordenado completo Prova Basta provar que as operacoes e a ordem de R satisfazem i e ii na Definicao 52 i Se y z entao A y Q B z Q Seja C xQ Claramente temos AC BC Mais ainda vamos mostrar que a densidade de Q implica que existe r B C tal que r x y Basta CEDERJ 76 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 tomar r Q tal que x y r x z Como r x z r nao e cota superior de B C e portanto existem p B e q C tal que r p q Logo r p q x donde r p C e entao r p r p B C Segue daı que x y supA C supB C x z ii Segue imediatamente da definicao Notacao No que segue em vez de x y vamos simplesmente escrever xy Tambem vamos denotar x2 xx x3 xxx De modo geral podemos definir por inducao x1 x e xn1 xxn Uma vez estabelecida a caracterizacao de R como corpo ordenado com pleto e perfeitamente possıvel desenvolver toda a Analise Real sem jamais precisar fazer qualquer referˆencia a nossa definicao de numeros reais como decimais esse sera naturalmente nosso procedimento daqui para diante De fato embora nao vamos fazˆelo aqui e possıvel provar que se C1 e C2 sao dois corpos ordenados completos quaisquer entao eles sao isomorfos Com isso queremos dizer que existe uma bijecao φ de C1 sobre C2 tal que φx y φx φy φxy φxφy Em particular podese mostrar sem muita dificuldade que para um tal isomorfismo vale φ0 0 φ1 1 φx φx φ1x 1φx se x 0 e φx 0 se x 0 Mais ainda decorre tambem dessas observacoes que todo corpo orde nado completo contem Q como um subcorpo isto e contem um subcorpo isomorfo a Q que para todos os efeitos podemos perfeitamente considerar como sendo o proprio Q Logo o que importa nao e a forma que os elementos de R tˆem individ ualmente mas as propriedades das operacoes e da relacao de ordem e o fato de que vale a propriedade do supremo Existˆencia de 2 Mostramos na aula passada que a equacao x2 2 nao possui solucao em Q Vamos mostrar a seguir que a mesma equacao possui solucao em R Teorema 59 Existe um numero real positivo x tal que x2 2 77 CEDERJ Prova Lembremos que 0 x R x 0 Seja A y 0 y² 2 Como 1 A este último não é vazio Outrosim A é limitado superiormente pois se x 2 então x² 4 de modo que x A Portanto a propriedade do supremo implica que A tem um supremo em R Seja x sup A Observe que x 1 Mostraremos que x² 2 mostrando que são falsas as duas outras possibilidades x² 2 e x² 2 Primeiramente suponhamos x² 2 Mostraremos que essa hipótese nos permite achar n N tal que x 1n A contradizendo o fato de que sendo x sup A x é cota superior de A Para saber como escolher tal n observemos que 1n² 1n de modo que x 1n² x² 2xn 1n² x² 1n2x 1 Portanto se pudermos escolher n de modo que 1n2x 1 2 x² então teremos x 1n² x² 2 x² 2 Por hipótese temos 2 x² 0 de modo que 2 x²2x 1 0 Logo a Propriedade Axiomática nos permite encontrar n N tal que 1n 2 x²2x 1 Podemos agora inverter a ordem dos passos e começando por 515 obtemos 514 que utilizamos em 513 para concluir que x 1n² 2 isto é x 1n A o que nos dá a contradição desejada Portanto não é possível termos x² 2 Agora suponhamos x² 2 Vamos procurar encontrar m N tal que x 1m² 2 o que implica x 1m² y² para todo y A Usaremos o fato de que se a b são números reais positivos e a² b² então a b veja o Exercício 13 Assim concluímos que x 1m é cota superior de A e é menor que x contradizendo o fato de que x sup A Com efeito observamos que x 1m² x² 2xm 1m² x² 2xm Logo se pudermos escolher m de modo que 2xm x² 2 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 entao teremos x1m2 x2x22 2 Agora por hipotese temos x2 2 0 de modo que x2 22x 0 Logo pela Propriedade Arquimediana existe m N tal que 1 m x2 2 2x 518 De novo podemos inverter a ordem dos passos acima comecando com 518 obtendo 517 e usando este ultimo em 516 Logo a hipotese x2 2 tambem nos leva a uma contradicao Como as possibilidades x2 2 e x2 2 estao excluıdas necessaria mente vale x2 2 A Propriedade dos Intervalos Encaixados Comecamos essa secao conclusiva de nossa quinta aula com um resul tado simples que caracteriza os subconjuntos de R que sao intervalos Teorema 510 Caracterizacao dos Intervalos Seja S um subconjunto de R que contem ao menos dois pontos Entao S e um intervalo se e somente se tem a propriedade se x y S e x y entao x y S 519 Prova O fato de que todo intervalo de R possui tal propriedade segue da propria descricao dos 8 possıveis tipos de intervalo alem do proprio R que descrevemos na aula passada Vamos provar que se S satisfaz 519 entao S e um intervalo Existem quatro casos possıveis i S e limitado ii S e limitado superiormente mas nao inferiormente iii S e limitado inferiormente mas nao superiormente iv S nao e limitado nem superiormente nem inferiormente Caso i Seja a inf S e b sup S Entao S a b e mostraremos que a b S Se a z b entao z nao e uma cota inferior de S portanto deve existir x S com x z Tambem e verdade que z nao e uma cota superior de S portanto deve existir y S com z y Consequentemente z x y e 519 implica z S Como z e abitrario concluımos que a b S Agora se a S e b S entao S a b Se a S e b S entao S a b As outras possibilidades nos dao S a b e S a b Caso ii Se b sup S Entao S b e mostraremos que b S De fato se z b entao existem x y S tais que z x y S 79 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais II por quˆe Portanto b S Se b S entao S b se b S entao S b Os casos iii e iv sao semelhantes e serao deixados como exercıcio Dizemos que uma sequˆencia de intervalos In n N e encaixada se I1 I2 In In1 Teorema 511 Propriedade dos Intervalos Encaixados Seja In an bn n N uma sequˆencia encaixada de intervalos fechados e limitados Entao existe um numero ξ R tal que ξ In para todo n N Prova Como os intervalos sao encaixados temos In I1 para todo n N de modo an b1 para todo n N Logo o conjunto nao vazio A ak k N e limitado superiormente e pela propriedade do supremo existe ξ sup A Por definicao de supremo temos an ξ para todo n N Afirmamos que ξ bn para todo n N Vamos mostrar que para qualquer n N bn e uma cota superior de A Fixemos n N Temos dois casos a considerar i k n ii k n Se k n entao In Ik e portanto temos ak bk bn Se k n entao como Ik In temos ak an bn Portanto concluımos que ak bn para todo k N de modo que bn e uma cota superior de A qualquer que seja n N Logo ξ bn para todo n N Portanto temos an ξ bn para todo n N isto e ξ In para todo n N Teorema 512 Seja In an bn n N uma sequˆencia encaixada de intervalos fechados e limitados tais que os comprimentos bn an de In satisfazem infbn an n N 0 Entao o numero ξ contido em In para todo n N e unico Prova Se η infbn n N entao um argumento semelhante ao da prova do Teorema 511 mostra que an η para todo n N e portanto que ξ η De fato nao e difıcil mostrar que x In para todo n N se e somente se ξ x η veja Exercıcio 17 Se tivermos infbn an n N 0 entao para qualquer ε 0 existe um m N tal que 0 ηξ bmam ε Como isso vale para todo ε 0 segue que η ξ 0 por quˆe veja o Exercıcio 16 Portanto concluımos que ξ η e o unico ponto que pertence a In para todo n N CEDERJ 80 Os Numeros Reais II M ODULO 1 AULA 5 Exercıcios 51 1 Use o Teorema 53 para provar que se x e numero real positivo com x a0a1a2 e y b0000 entao x y a0 b0a1a2 Aqui como no texto da aula a0 b0 N e a1 a2 0 1 9 em particular y b0 N 2 Prove A2 e M2 do Teorema 57 Dica Para A2 defina A a Q B b Q e C a b Q Mostre que C A B Para M2 basta fazer o caso em que a e b sao positivos Defina A 0 a Q B 0 b Q e C 0 ab Q Mostre que C A B 3 Prove M3 do Teorema 57 4 Prove A4 do Teorema 57 5 Prove M4 do Teorema 57 6 Prove A5 do Teorema 57 7 Prove M5 do Teorema 57 8 Prove D do Teorema 57 Faca primeiro o caso mais simples em que a b e c sao positivos 9 Prove que as propriedades A1A5 da adicao num corpo qualquer C implicam as seguintes proposicoes a Se x y x z entao y z b Se x y x entao y 0 c Se x y 0 entao y x d x x A proposicao a e a lei do cancelamento Observe que b estabelece a unicidade do elemento neutro da adicao cuja existˆencia e dada por A4 e c a unicidade do simetrico aditivo que existe por A5 81 CEDERJ ANALISE REAL Os Numeros Reais II Dica Para provar a por exemplo os axiomas A nos dao y 0 y x x y x x y x x z x x z 0 z z 10 Prove que as propriedades M1M5 da multiplicacao num corpo qual quer C implicam as seguintes proposicoes a Se x 0 e xy xz entao y z b Se x 0 e xy x entao y 1 c Se x 0 e xy 1 entao y 1x d Se x 0 entao 11x x 11 Prove que os axiomas de corpo A M e D implicam as seguintes afirmacoes para x y z C a 0x 0 b Se x 0 e y 0 entao xy 0 c xy xy xy d xy xy Dica a e consequˆencia de 0x 0x 0 0x 0x Prove b por contradicao usando os inversos 1x e 1y Use a lei distributiva para provar c fazendo xy xy d e consequˆencia de c 12 Mostre que num corpo ordenado qualquer vale xy 0 se e somente se x 0 e y 0 ou x 0 e y 0 13 Mostre que se a b sao numeros reais positivos e a2 b2 entao a b Dica Use b2 a2 b ab a 14 Use a Propriedade Arquimediana para mostrar que inf1n n N 0 CEDERJ 82 15 Complete a prova do Teorema 510 fazendo os casos iii e iv 16 Mostre que se a ℝ é tal que 0 a ε para todo ε 0 então a 0 17 Com a notação das provas dos Teoremas 511 e 512 mostre que η n1 In Mostre também que ξ η n1 In ANALISE REAL Os Numeros Reais II vale no maximo uma das trˆes alternativas α β α β β α Para mostrar que pelo menos uma vale suponhamos que as duas primeiras sejam falsas Entao α nao e subconjunto de β Logo existe um p α com p β Se q β segue que q p ja que p β e entao q α por ii Logo β α Como β α concluımos β α Lema 52 O conjunto ordenado R tem a propriedade do supremo Prova Seja A um subconjunto naovazio de R e suponhamos que β R e uma cota superior de A Definimos γ como a uniao de todos os α A Provaremos que γ R e que γ sup A Inicialmente provemos que γ e um corte Como A nao e vazio existe um α0 A Esse α0 nao e vazio Como α0 γ γ nao e vazio Em seguida temos γ β ja que α β para todo α A e portanto γ Q Logo γ satisfaz a condicao i da Definicao 53 Para provar ii e iii tomemos p γ Entao p α1 para algum α1 A Se q p entao q α1 logo q γ o que prova ii Se r α1 e escolhido de modo que r p vemos que r γ ja que α1 γ e portanto γ satisfaz iii Assim γ R Provemos agora que γ sup A Claramente α γ para todo α A Suponhamos δ γ Entao existe um s γ tal que s δ Como s γ s α para algum α A Logo δ α e δ nao e uma cota superior de A Isso nos da o resultado desejado γ sup A Nosso objetivo agora sera mostrar que existe uma identificacao natural entre o conjunto ordenado R que pelo Lema 52 tem a propriedade do supremo e o conjunto ordenado dos numeros reais R ie decimais dotados da ordem dada na Definicao 47 Definicao 55 Dados dois conjuntos ordenados C1 e C2 dizemos que uma funcao φ C1 C2 preserva a ordem se para quaisquer x y C1 vale x y implica φx φy Lema 53 Sejam C1 e C2 dois conjuntos ordenados e φ C1 C2 uma bijecao de C1 sobre C2 preservando ordem Entao C1 tem a propriedade do supremo se e somente se C2 tem a propriedade do supremo Prova Primeiramente notemos que a inversa φ1 C2 C1 tambem preserva ordem Isso e claro uma vez que denotando tambem por φ o CEDERJ 84 Portanto basta provarmos que se C1 tem a propriedade do supremo então C2 também a tem Suponhamos então que C1 tem a propriedade do supremo e seja A C2 um conjunto nãovazio e β uma cota superior de A Então φ1A C1 não é vazio e como φ1 preserva ordem φ1B é cota superior de φ1A Logo como C1 tem a propriedade do supremo existe α sup φ1A ANALISE REAL Os Numeros Reais II Claramente α 1 α e pelas propriedades do supremo existe m N tal que α 1 m Verificase facilmente que daı segue que α m 1 o que nos da uma contradicao Assim dado qualquer α R com α 0 o conjunto A n N n α nao e vazio e Pelo Princıpio da Boa Ordenacao contem um mınimo mα Verificamos entao facilmente que α mα 1 mα Se α R 0 defina α q Q existe r α q r Verifica se facilmente que α e um corte e que se α 0 α 0 tarefa que deixamos como exercıcio Pelo que ja foi provado α m m 1 para algum m N 0 Entao verificase facilmente que α m 1 m o que conclui a demonstacao Prova do Teorema 51 Vamos provar que φ R R φa a e sobrejetiva Dado α R pelo Lema 55 existe a0 Z tal que a0 α a0 1 Para simplificar vamos supor que a0 0 Por inducao podemos facilmente definir a1 a2 an 0 1 2 9 tais que a0 a1 10 a2 102 an 10n α a0 a1 10 a2 102 an 1 10n 520 Seja a R a a0a1a2 an Afirmamos que α a a Q Provemos primeiro que α a Seja q α Como q q e por ii da Definicao 53 q α vemos que q e subconjunto proprio de α isto e q α Por iii da Definicao 53 existe r α tal que q r Claramente existe n tal que 10nr q 1 isto e r q 110n Logo ou r a0 e neste caso q a0 ou existe n N tal que q a0 a1 10 a2 102 bn 10n r com bn an Portanto q a Concluımos que α a Provemos agora que a α Seja q a Entao q a e pela definicao da ordem para os decimais dada pela Definicao 47 ou q a0 ou existe n N tal que q a0 a1 10 a2 102 bn 10n com bn an Assim de 520 vemos que existe r Q com r q e r α Daı decorre que q α donde concluımos que a α Portanto α a como querıamos demonstrar CEDERJ 86 Sequˆencias e Limites M ODULO 1 AULA 6 Aula 6 Sequˆencias e Limites Metas da aula Apresentar a definicao rigorosa de limite de uma sequˆencia de numeros reais bem como seu uso na demonstracao de limites elementares e algumas propriedades basicas envolvendo esse conceito Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Usar a definicao de limite de uma sequˆencia de numeros reais para demonstrar a convergˆencia de uma sequˆencia convergente a um dado limite Demonstrar certas propriedades basicas envolvendo o conceito de limite de uma sequˆencia de numeros reais e usalas na verificacao de limites dados Introducao Nesta aula iniciamos propriamente o estudo dos conceitos basicos da Analise Real O primeiro destes e mais elementar de todos e o de limite de uma sequˆencia de numeros reais cuja definicao rigorosa e propriedades basicas constituem o conteudo desta aula Sequˆencias de Numeros Reais Uma sequˆencia de elementos de um conjunto X qualquer e uma funcao x N X cujo domınio e N e cujos os valores estao contidos no conjunto X Nesta aula estaremos interessados em sequˆencias de numeros reais e no significado de convergˆencia dessas sequˆencias Definicao 61 Uma sequˆencia de numeros reais e uma funcao x N R definida no con junto N 1 2 3 dos numeros naturais e tomando valores no conjunto R dos numeros reais Se x N R e uma sequˆencia usaremos a notacao xn em lugar de xn para denotar seu valor em n N Os valores xn sao chamados os termos ou elementos da sequˆencia Usaremos frequentemente as notacoes xnnN xn ou simplesmente xn como formas alternativas de representar a sequˆencia x 87 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias e Limites Claramente poderao ser usadas outras letras como y ykkN z zjjN a allN etc O uso de parˆenteses em vez de chaves serve para distinguir a sequˆencia xn do conjunto de seus valores xn n N Assim por exemplo a sequˆencia 1 1nnN tem infinitos termos x1 0 x2 2 x3 0 x100 2 x101 0 ao passo que o conjunto 1 1n n N coincide com o conjunto 0 2 que tem apenas dois elementos E muito comum definirse uma sequˆencia dandose uma formula para o nesimo termo xn como acabamos de fazer com xn 1 1n Quando tal formula pode ser facilmente deduzida a partir do conhecimento de seus primeiros termos e tambem comum listarse os termos da sequˆencia ate que a regra de formacao pareca evidente Assim a sequˆencia dos numeros ımpares pode ser apresentada na forma 1 3 5 que e o mesmo que 2n 1nN Uma outra forma de se definir uma sequˆencia e especificar o valor de x1 e dar uma formula para xn1 em termos de xn para n 1 ou de modo equivalente dar uma formula para xn em termos de xn1 para n 2 Mais geralmente para p N dado podemos especificar os valores de x1 x2 xp e dar uma formula para xn em funcao de xn1 xnp para n p 1 Nos casos em que sequˆencias sao definidas dessa forma quase sempre p 3 Dizemos nesses casos que a sequˆencia esta definida recursivamente ou indutivamente Um exemplo disso e obtido se definirmos a sequˆencia 12n na forma x1 1 2 xn1 xn 2 para n 1 Outro exemplo e fornecido pela sequˆencia definida por y1 1 y2 1 e yn yn1 yn2 para n 3 que e conhecida como sequˆencia de Fibonacci cuja importˆancia reside em fatos alheios ao contexto do presente curso E facil verificar que os 10 primeiros termos da sequˆencia de Fibonacci sao os que aparecem na lista 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Limite de uma Sequˆencia A nocao de limite de uma sequˆencia constitui o eixo fundamental de toda a Analise Matematica Nesta aula apresentaremos esse conceito na sua forma mais basica que e aquela aplicada as sequˆencias de numeros reais CEDERJ 88 Sequˆencias e Limites M ODULO 1 AULA 6 Definicao 62 Dizse que uma sequˆencia x xn em R converge para x R ou que x e limite de xn se para todo ε 0 existe um numero natural N0ε tal que para todo n N0ε xn satisfaz xn x ε Se uma sequˆencia possui limite dizemos que ela e convergente caso contrario dizemos que ela e divergente Usaremos as seguintes notacoes para expressar que x e limite de xn lim n xn x lim xn x ou ainda xn x quando n Na definicao que acabamos de dar denotamos N0ε e nao simples mente N0 apenas para enfatizar o fato de que o referido numero natural N0 dependera em geral do numero ε 0 que tenha sido escolhido Fre quentemente vamos usar a notacao mais simples N0 deixando de explicitar a dependˆencia desse numero em relacao a ε Como veremos nos exemplos que daremos a seguir de modo geral quanto menor for o ε escolhido maior tera de ser o valor de N0 para que tenhamos para todo n N0 xn x ε Apenas por curiosidade observamos que a definicao anterior de limite de uma sequˆencia xn pode ser escrita somente com sımbolos matematicos na forma ε 0N0 Nn Nn N0 xn x ε ou mais compactamente ε 0N0 Nn N0xn x ε Em termos coloquiais a definicao de limite pode ser traduzida da seguinte maneira a medida que os valores de n se tornam mais e mais altos os elementos xn se tornam mais e mais proximos de x Matemati camente a verificacao dessa sentenca assume um formato semelhante ao de um jogo em que um jogador A que afirma ser x limite de xn e desafiado por um outro jogador B a provar tal afirmacao Sendo assim B escolhe um ε 0 arbitrariamente pequeno e desafia A a encontrar um numero natural N0 nao importando quao grande ele seja tal que para todo n N0 valha que xn x ε Se A conseguir mostrar que para qualquer ε 0 escolhido ele e capaz de exibir N0 verificando tal propriedade entao ele ganha o jogo provando que x e limite de xn Caso contrario ele perde e quem ganha e B ficando provado que x nao e limite de xn O resultado seguinte afirma que se uma sequˆencia possui limite entao esse limite e unico 89 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias e Limites Teorema 61 Unicidade dos Limites Uma sequˆencia em R pode ter no maximo um limite Prova Suponhamos que x e x sejam ambos limites de xn Para cada ε 0 existe um N 0 tal que xn x ε2 para todo n N 0 e existe um N 0 tal que xn x ε2 para todo n N 0 Seja N0 maxN 0 N 0 Entao para n N0 temos x x x xn xn x x xn xn x ε 2 ε 2 ε Como ε 0 pode ser tomado arbitrariamente pequeno concluımos que x x 0 Decorre imediatamente da Definicao 62 que a sequˆencia xn converge a x se e somente se a sequˆencia yn xn x converge a 0 por quˆe A desigualdade triangular implica diretamente o seguinte resultado Teorema 62 Se a sequˆencia xn converge para x entao a sequˆencia xn converge para x Se x 0 entao vale tambem a recıproca isto e se xn 0 entao xn 0 Em particular xn x se e somente se xn x 0 Prova Pela desigualdade triangular temos xn x xn x Dado ε 0 se xn x podemos obter N0 N tal que para todo n N0 xn x ε e portanto xn x ε Logo xn x No caso particular em que x 0 suponhamos xn 0 Dado ε 0 podemos encontrar N0 N tal que se n N0 entao xn xn 0 ε Assim para n N0 temos xn 0 xn ε e portanto xn 0 Em particular pelo que vimos anteriormente xn x se e somente se xn x 0 que por sua vez vale se e somente se xn x 0 Exemplos 61 a lim n 1 n 0 Com efeito seja ε 0 arbitrariamente dado Pela Propriedade Arqui mediana dos numeros reais existe N0 N tal que N0 1ε Assim se n N0 entao 1 n 0 1 n 1 N0 ε Portanto 1n converge para 0 CEDERJ 90 Sequˆencias e Limites M ODULO 1 AULA 6 b lim n1 1n n 1 Pelo Teorema 62 1 1n n 1 se e somente se 1 1n n 1 1 n 0 o qual e verdadeiro pelo exemplo anterior c lim n n2 n 2 0 Com efeito seja ε 0 arbitrariamente dado Como 1n 0 podemos obter N0 N tal que se n N0 entao 1n ε Logo para todo n N0 temos n n2 n 2 0 n n2 n 2 n n2 1 n ε o que prova a afirmacao d lim 5n 3 n 2 5 De novo pelo Teorema 62 basta provar que 5n 3 n 2 5 7 n 2 0 Agora dado ε 0 qualquer como 1n 0 podemos encontrar N0 N tal que se n N0 entao 1n ε7 Portanto para todo n N0 7 n 2 7 n 7ε 7 ε o que prova a afirmacao Procedimento analogo ao adotado neste exemplo nos leva a um resul tado geral bastante util descrito no exemplo a seguir e Seja xn uma sequˆencia de numeros reais e x R Se an e uma sequˆencia de numeros reais positivos com lim an 0 e se para alguma contante C 0 e algum M N tivermos xn x Can para todo n M entao lim xn x Com efeito dado ε 0 qualquer como lim an 0 sabemos que existe N 0 N tal que se n N 0 entao an an 0 ε C Daı segue que se n N0 maxM N 0 entao xn x Can C ε C ε o que prova que lim xn x 91 CEDERJ f Se a 0 então lim 1 1 na 0 De fato temos 1 1 na 0 1 a 1 n para todo n ℕ Assim o item e com C 1a 0 e an 1n juntamente com o item a implicam a afirmação g Se 0 b 1 então lim bn 0 de modo que c1n 1 1c 1n para todo n ℕ De novo aplicamos os itens a e e para concluir que lim c1n 1 também quando 0 c 1 i lim n1n 1 Primeiramente recordemos a fórmula binomial 1 hn 1 n 1 h n 2 h2 n n 1 hn 1 hn onde como de costume n k n kn k Como n1n 1 para n 1 podemos escrever n1n 1 kn onde kn n1n 1 0 para n 1 Pela fórmula binomial se n 1 temos n 1 knn 1 kn 12 nn 1kn2 1 12 nn 1kn2 onde segue que n 1 12 nn 1kn2 para n 1 Portanto kn 2n para n 1 Dado ε 0 segue da Propriedade Arquito de R que existe um número natural N0 tal que N0 2ε2 Segue que se n N0 então 2n ε2 o que implica 0 n1n 1 kn 2n12 ε Como ε 0 é arbitrário concluímos que lim n1n 1 ANALISE REAL Sequˆencias e Limites l Seja x xn uma sequˆencia de numeros reais tal que o conjunto de seus valores xn n N e um conjunto finito Mostraremos que x e convergente se e somente se existe m N tal que a mcauda de x xm e uma sequˆencia constante isto e xnm x1m para todo n N Pelo item anterior fica claro que se para algum m N a mcauda de x xm e uma sequˆencia constante com xnm x1m para todo n N entao x converge para x1m Reciprocamente suponhamos que F xn n N e um conjunto finito e que x xn e convergente Pelo menos um elemento do conjunto finito F e igual a xn para todo n pertencente a um subconjunto infinito de N Suponhamos que x F e x F satisfazem x xn para todo n N e x xn para todo n N onde N e N sao dois subconjuntos infinitos de N Como sao infinitos os conjuntos N e N sao ilimitados por quˆe Assim para qualquer N0 N existem n1 N0 tal que n1 N o que nos da xn1 x e n2 N0 com n2 N o que implica xn2 x Portanto se x x tomando ε x x2 obtemos uma contradicao com o fato de que xn e convergente como demostramos a seguir De fato supondo que lim xn x para um certo x R sera impossıvel encontrar N0 N tal que xn x ε x x2 para todo n N0 pois nesse caso terıamos x x x xn1 xn1 xn2 xn2 x x xn1 xn1 x x xn2 xn2 x 0 ε ε 0 2ε x x o que e absurdo Logo existe um unico elemento x F tal que xn x para uma infinidade de ındices n N Como F F x e finito o conjunto J x1F n N xn F e um subconjunto finito de N por quˆe donde m sup J Portanto xnm x para todo n N isto e xm e uma sequˆencia constante m A sequˆencia 1 1n nao e convergente Como xn 0 se n e ımpar e xn 2 se n e par segue do item anterior que 1 1n nao e convergente CEDERJ 94 Exercícios 61 1 Escreva os cinco primeiros termos da sequência xn em cada um dos casos seguintes a xn 1 1nn b xn 1nn 1 c xn nn2 3 2 Liste os cinco primeiros termos das seguintes sequências definidas indutivamente a x1 1 xn 1 3xn 1 b y1 2 yn 1 12yn 2yn c z1 3 z2 5 zn 2 zn zn 1 3 Para qualquer b ℝ prove que lim bn 0 4 Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites a lim n2n3 2 0 b lim 3nn 4 3 c lim 2n2 35n 1 25 d lim 3n2 12n2 1 32 5 Mostre que a lim 23n 1 0 b lim 2n 3 0 c lim 1nmn2 1 0 d lim n 1n 2 1 ANALISE REAL Sequˆencias e Limites 6 Se lim xn x 0 mostre que existe um numero natural M tal que se n M entao xn 1 2 x 7 Mostre que limn 1 n 0 Dica Multiplique e divida por n 1 n 8 Se 0 b 1 use a formula binomial como no exemplo 61 i para mostrar que limnbn 0 9 Dizse que uma sequˆencia xn e periodica se existe p N tal que xnp xn para todo n N Prove que toda sequˆencia periodica convergente e constante 10 Dizse que uma sequˆencia x satisfaz ultimadamente uma determinada propriedade ou que a satisfaz para n suficientemente grande se existe M0 N tal que para todo m M0 a mcauda xm satisfaz tal pro priedade Prove que toda sequˆencia ultimadamente periodica conver gente e ultimadamente constante 11 Dado x R definimos a εvizinhanca de x como o conjunto Vεx x R x x ε x ε x ε Prove que a sequˆencia x converge a x se e somente se para todo ε 0 ultimadamente todos os elementos de x pertencem a Vεx ou equivalentemente para todo ε 0 xn Vεx para n suficientemente grande CEDERJ 96 Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias M ODULO 1 AULA 7 Aula 7 Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias Metas da aula Apresentar os principais resultados sobre limites de sequˆencias de numeros reais envolvendo desigualdades e as operacoes de adicao subtracao multiplicacao e divisao Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Usar os resultados sobre operacoes com limites para estabelecer limites de sequˆencias cujos termos gerais envolvem expressoes racionais bem como outras expressoes algebricas mais complexas Usar os resultados sobre limites e desigualdades para estabelecer limites de expressoes complexas por meio de reducao a casos mais simples Introducao Nesta aula vamos estabelecer resultados que simplificarao bastante a verificacao da convergˆencia ou nao de uma dada sequˆencia bem como a demonstracao do limite correspondente Esses resultados versam sobre a relacao entre limites desigualdades e as quatro operacoes entre numeros reais Operacoes com Limites Comecaremos estabelecendo uma propriedade basica das sequˆencias convergentes que sera muito util em discussoes subsequentes Definicao 71 Dizse que uma sequˆencia de numeros reais xn e limitada se o conjunto xn n N e limitado ou seja se existe M 0 tal que xn M para todo n N Teorema 71 Toda sequˆencia de numeros reais convergente e limitada Prova Suponhamos que lim xn x e tomemos ε 1 Entao existe um numero natural N0 tal que xn x 1 para todo n N0 Aplicando a desigualdade triangular com n N0 obtemos xn xn x x xn x x 1 x 97 CEDERJ ANALISE REAL Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias Pondo M supx1 x2 xN0 1 x concluımos que xn M para todo n N Examinaremos a seguir como o processo de tomar o limite interage com as operacoes de adicao subtracao multiplicacao e divisao de sequˆencias Se x xn e y yn sao sequˆencias de numeros reais definimos sua soma diferenca produto e quociente como e feito para funcoes em geral Assim temos x y xn yn x y xn yn x y xnyn xy xnyn desde que yn 0 para todo n N Observe que o quociente xy so esta definido se os elementos de y forem todos naonulos Dada c R a multiplicacao da sequˆencia x xn por c e trivialmente definida por cx cxn Mostraremos agora que sequˆencias obtidas aplicandose essas operacoes a sequˆencias convergentes sao tambem convergentes e seus limites sao obtidos aplicandose as mesmas operacoes aos limites das sequˆencias envolvidas Teorema 72 Sejam x xn e y yn sequˆencias de numeros reais que convergem a x e y respectivamente e c R Entao as sequˆencias x y x y x y e cx convergem a x y x y xy e cx respectivamente Alem disso se y 0 e yn 0 para todo n N entao xy converge para xy Prova Mostremos inicialmente que limxn yn x y Pela desigualdade triangular temos xn yn x y xn x yn y xn x yn y Seja dado ε 0 qualquer Como xn x e yn y podemos encontrar N1 N e N2 N tais que para todo n N1 xn x ε 2 e para todo n N2 yn y ε 2 Seja N0 supN1 N2 Entao para todo n N0 temos xn yn x y xn x yn y ε 2 ε 2 ε CEDERJ 98 Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias M ODULO 1 AULA 7 o que prova que xn yn converge para x y A prova de que xy converge para xy segue dos mesmos argumentos Mostremos agora que x y converge para xy Usando de novo a de sigualdade triangular obtemos xnyn xy xnyn xyn xyn xy ynxn x xyn y ynxn x xyn y Pelo Teorema 71 existe M1 0 tal que yn M1 para todo n N Seja M supM1 x Assim a desigualdade anterior implica xnyn xy Mxn x yn y Como xn x 0 e yn y 0 segue do que acabamos de mostrar para o limite da soma que an xn x yn y 0 Como xnyn xy Man segue do exemplo 61e que xnyn xy 0 Pelo Teorema 62 concluımos que xnyn xy A prova de que cxn cx para c R qualquer segue diretamente do que acabamos de demonstrar para o limite do produto tomandose por y yn a sequˆencia constante c c c Observe em particular que c 1 nos da que xn x Finalmente para provar que xn yn x y vamos primeiro mostrar que 1 yn 1 y desde que y 0 e yn 0 para todo n N Para simplificar suponhamos inicialmente que y 0 Como yn y para n suficientemente grande temos que yn Vy2y y2 3y2 Em particular para n suficien temente grande ou seja n N1 para um certo N1 N temos yn y2 Assim para todo n N1 temos 1 yn 1 y y yn yyn 1 ynyyn y 2 y2yn y Seja entao dado ε 0 qualquer Existe N2 N tal que yn y 1 2 y2ε Facamos N0 supN1 N2 Assim para todo n N0 temos 1 yn 1 y 2 y2yn y 2 y21 2 y2ε ε 99 CEDERJ o que concluí a prova de que 1 yn 1y quando y 0 No caso em que y 0 pelo que já foi provado temos yn y e como y 0 1yn 1y Segue daí que 1yn 1y também no caso em que y 0 A prova de que xnyn xy segue agora do fato que xy x 1y e então pelo que já foi demonstrado lim xnyn lim xn 1yn lim xn lim 1yn x 1y xy o que concluiu a demonstração Observação 71 As afirmações do Teorema 72 sobre o limite da soma e do produto de duas sequências convergentes podem ser facilmente estendidas para um número finito qualquer de sequências convergentes por Indução Matemática Assim se a an b bn c cn z zn são sequências convergentes então sua soma a b c z an bn cn zn é uma sequência convergente e liman bn cn zn lim an lim bn lim cn lim zn 71 Da mesma forma seu produto a b c z an bn cn zn é uma sequência convergente e liman bn cn zn lim anlim bnlim cn lim zn 72 Em particular se k ℕ e x xn é uma sequência convergente então lim xnk lim xnk 73 Esperamos que você mesmo seja capaz de provar sem dificuldades as fórmulas 71 72 e 73 usando o Teorema 72 e Indução Matemática Exemplos 71 a A sequência n é divergente De fato pelo Teorema 71 se n fosse convergente então seria limitada isto é existiria um número real M 0 tal que n n M para todo n ℕ Mas isso estaria em contradição com a Propriedade Arqui Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias M ODULO 1 AULA 7 Como b 1 temos b 1 r com r b 1 0 A desigualdade de Bernoulli implica bn 1 rn 1 nr Se bn fosse convergente entao terıamos bn bn M para algum M 0 para todo n N Assim 1nr bn M ou seja n M 1r para todo n N Isso contradiz a Propriedade Arquimediana e portanto temos que bn e divergente c A recıproca do Teorema 71 e falsa De fato a sequˆencia 1 1n e limitada e como vimos no exem plo 61 m nao e convergente d Seja xn uma sequˆencia de numeros reais que converge a x R Seja p um polinˆomio isto e pt aktk ak1tk1 a1t a0 onde k N e aj R j 0 1 k Entao a sequˆencia pxn converge a px Segue do Teorema 72 e da Observacao 71 Deixamos os detalhes para vocˆe como exercıcio e Seja xn uma sequˆencia convergente a x R Seja r uma funcao racional isto e rt ptqt onde p e q sao polinˆomios Suponha mos que qxn 0 para todo n N e qx 0 Entao a sequˆencia rxn converge a rx Segue tambem do Teorema 72 e da Observacao 71 Os detalhes ficam como exercıcio para vocˆe f lim 5n3 2n 3 2n3 3n2 1 5 2 Fazendo an 5n3 2n 3 2n3 3n2 1 para poder aplicar o Teorema 72 em sua versao estendida pela Observacao 71 e necessario escrever a sequˆencia an de modo mais conveniente para tornala uma expressao racional envolvendo apenas sequˆencias convergentes Obtemos essa forma di vidindo por n3 o numerador e o denominador da fracao que define an Assim encontramos an 5 2n2 3n3 2 3n 1n3 101 CEDERJ Agora podemos aplicar o Teorema 72 obtendo lim an lim 52n²3n³ 23n1n³ 52lim1n²3lim1n³ 23lim1nlim1n³ 52 Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias M ODULO 1 AULA 7 Teorema 74 Se xn e yn sao sequˆencias convergentes de numeros reais e se xn yn para todo n N entao lim xn lim yn Prova Seja zn yn xn Entao zn 0 para todo n N Segue dos Teoremas 73 e 72 que 0 lim zn lim yn lim xn de modo que lim xn lim yn O resultado que acabamos de ver implica em particular que uma de sigualdade da forma a xn b valida para todos os termos de uma dada sequˆencia convergente e tambem satisfeita pelo seu limite como estabelecido no enunciado seguinte Teorema 75 Se xn e uma sequˆencia convergente e se a xn b para todo n N entao a lim xn b Prova Se an e a sequˆencia constante com an a para todo n N entao temos an xn e pelo Teorema 74 a lim an lim xn Da mesma forma tomando bn b para todo n N de xn bn concluımos que lim xn b Observacao 72 Como para todo m N a mcauda de uma sequˆencia convergente converge para o mesmo limite as hipoteses xn 0 xn yn e a xn b para todo n N nos Teoremas 73 74 e 75 respectivamente podem ser enfraquecidas substituindose em cada um dos enunciados a expressao para todo n N pela expressao para n suficientemente grande que significa precisamente para todo n m para algum m N O proximo resultado e um dos mais uteis para a demonstracao da con vergˆencia de sequˆencias indicando sempre que for possıvel a estrategia de limitalas por baixo e por cima por sequˆencias convergentes que possuem o mesmo limite Teorema 76 Teorema do Sanduıche Suponhamos que xn yn e zn sao sequˆencias tais que xn yn zn para todo n N e que lim xn lim zn Entao yn e convergente e lim xn lim yn lim zn 103 CEDERJ Limites e Desigualdades A seguir vamos apresentar alguns resultados muito úteis envolvendo limites e desigualdades Teorema 73 Se xn é uma sequência convergente de números reais e se xn 0 para todo n N então x lim xn 0 Exemplos 72 a lim sen n n 0 Lembremos que 1 sen n 1 Então temos 1n sen n n 1n para todo n N Logo podemos aplicar o Teorema 76 do Sanduíche para concluir a verificação da afirmação Mostraremos que se r é um número racional positivo qualquer então lim 1nr 0 Primeiro consideramos o caso em que r 1q q N Dado ε 0 pela Propriedade Arquimediana existe um N0 N tal que N0 1εq Então n N0 n 1εq n1q 1ε 1n1q 0 1n1q ε Segue que lim 1n1q 0 Consideremos agora o caso geral em que r pq onde p e q são números naturais Procedemos por indução em p Acabamos de ver que a afirmação é válida para p 1 Suponhamos então que vale lim 1nkq 0 Segue que lim 1nk1q lim 1nkq 1n1q lim 1nkqlim 1n1q 0 o que conclui a prova por indução d lim 10nn 0 De fato ponho xn 10nn temos xn1xn 10n1n 1 n10n 10n 1 Logo limxn1xn 0 Podemos então aplicar o Teorema 77 para concluir que lim xn 0 1 Para a dado xn pelas fórmulas seguintes estabeleça se a sequência xn é convergente ou divergente a xn nn 1 b xn 1nn 1 c xn n2n 1 ANALISE REAL Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias 7 Use o Teorema 76 do Sanduıche para determinar os seguintes limites a lim n1n2 b limn1n2 8 Aplique o Teorema 77 as seguintes sequˆencias onde a b satisfazem 0 a 1 b 1 a nbn b 23n32n c n2an d bnn2 e bnn f nnn 9 Seja xn uma sequˆencia de numeros reais positivos tal que s lim x1n n 1 Mostre que existe um r R com 0 r 1 tal que 0 xn rn para todo n N suficientemente grande Use isso para mostrar que lim xn 0 10 Mostre que se xn e yn sao sequˆencias convergentes entao un e vn definidas por un maxxn yn e vn minxn yn tambem sao convergentes CEDERJ 108 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias M ODULO 1 AULA 8 Aula 8 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias Metas da aula Apresentar o conceito de sequˆencia monotona e estabele cer o Teorema da Sequˆencia Monotona Introduzir o conceito de subsequˆencia e estabelecer o Teorema de BolzanoWeierstrass Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o enunciado do Teorema da Sequˆencia Monotona e o uso desse resultado para estabelecer a existˆencia do limite de sequˆencias Entender o conceito de subsequˆencias e seu uso em conexao com o estabelecimento da convergˆencia e da divergˆencia de sequˆencias Saber o enunciado do Teorema de BolzanoWeierstrass e seu uso para estabelecer a existˆencia de subsequˆencias convergentes Introducao Nesta aula vamos aprender um resultado muito importante que nos permitira afirmar a convergˆencia de certas sequˆencias chamadas monotonas mesmo em situacoes em que nao temos candidatos a limites dessas sequˆencias nas quais portanto nao seria possıvel verificar a convergˆencia diretamente usando a Definicao 62 Vamos tambem estudar o conceito de subsequˆencias e seu uso no estabelecimento de limites bem como na prova da divergˆencia de sequˆencias Por fim vamos enunciar e provar o famoso Teorema de Bolzano Weierstrass Sequˆencias Monotonas Vamos iniciar nossa aula definindo sequˆencias monotonas Definicao 81 Seja x xn uma sequˆencia de numeros reais Dizemos que x e nao decrescente se xn xn1 para todo n N isto e x1 x2 x3 Dizse que x e crescente se xn xn1 para todo n N ou seja x1 x2 x3 Em particular sequˆencias crescentes constituem um caso especial de sequˆencias naodecrescentes 109 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias Analogamente dizemos que x e naocrescente se xn xn1 para todo n N isto e x1 x2 x3 e x e decrescente se xn xn1 para todo n N ou seja x1 x2 x3 De novo temos que sequˆencias decrescentes constituem um caso especial de sequˆencias naocrescentes Dizemos de modo geral que x e monotona se x e naodecrescente ou naocrescente As sequˆencias 1 2 2 3 3 3 n 1 12 12 13 13 13 e 1n sao exemplos de sequˆencias monotonas a primeira e naodecrescente a segunda e crescente a terceira e naocrescente e a quarta e decrescente A seguir enunciamos o resultado mais importante sobre sequˆencias monotonas Teorema 81 Teorema da Sequˆencia Monotona Uma sequˆencia monotona de numeros reais e convergente se e somente se e limitada Alem disso a Se x xn e uma sequˆencia naodecrescente limitada entao lim xn supxn n N b Se x xn e uma sequˆencia naocrescente limitada entao lim xn infxn n N Prova Vimos no Teorema 71 que toda sequˆencia convergente e limitada Portanto basta mostrar que se uma sequˆencia monotona e limitada entao ela e convergente Seja entao x uma sequˆencia monotona limitada Entao ou x e naodecrescente ou x e naocrescente a Vamos tratar primeiro o caso em que x xn e uma sequˆencia limitada naodecrescente Como xN xn n N e um conjunto limitado pelo Teorema 57 do Supremo existe x sup xN Afirmamos que lim xn x Com efeito seja dado ε 0 qualquer Entao x ε nao e cota superior de xN e portanto existe N0 N tal que x ε xN0 Como xn e naodecrescente temos que xN0 xn para todo n N0 e assim segue que x ε xN0 xn x x ε para todo n N0 ou seja xn x ε para todo n N0 CEDERJ 110 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias M ODULO 1 AULA 8 Como ε 0 e arbitrario fica provado que xn x b Consideremos agora o caso em que x xn e naocrescente De novo como xN e limitado segue do Teorema do Supremo que existe x inf xN A prova de que lim xn x e inteiramente analoga a que acabamos de dar para o caso em que xn e naodecrescente e deixaremos para vocˆe como exercıcio Exemplos 81 a lim1n13 0 Esse e um caso particular do Exemplo 72 c contudo daremos aqui uma outra demonstracao usando o Teorema da Sequˆencia Monotona A sequˆencia x 1n13 e decrescente e claramente 0 e uma cota inferior de x Nao e difıcil mostrar que de fato temos 0 inf xN e portanto a afirmacao segue do referido teorema De outro modo sabemos pelo Teorema da Sequˆencia Monotona que existe x lim xn Como x3 n 1n e lim 1n 0 temos x3 lim xn3 lim x3 n lim 1 n 0 x lim 1 n13 0 b Seja x xn definida indutivamente por x1 1 xn1 xn3 1 para todo n N Mostraremos que lim xn 32 Provemos usando Inducao Matematica que vale 1 xn xn1 2 para todo n N Como x2 x13 1 13 1 43 a afirmacao e valida para n 1 Suponhamos por inducao que vale 1 xk xk1 2 Temos 1 xk xk1 xk31 xk131 xk2 231 53 2 e portanto vale 1 xk1 xk2 2 o que conclui a prova por inducao de que 1 xn xn1 2 para todo n N Assim temos que xn e crescente e limitada Pelo Teorema da Sequˆencia Monotona existe x lim xn Como a 1cauda x1 xn1 con verge para o mesmo limite que x tomando o limite na relacao xn1 xn3 1 obtemos x x 3 1 e daı segue que x 32 c Seja x xn definida indutivamente por x1 0 xn1 2 xn para todo n N Vamos mostrar que lim xn 2 111 CEDERJ Provemos por indução que vale 0 xn xn1 2 para todo n N Como x2 2 0 2 a afirmação é claramente verdadeira para n 1 Suponhamos por indução que vale 0 xk 2 Então 0 xk xk1 2 xk 2 xk1 xkk 2 2 2 e portanto 0 xk1 xk2 2 o que concluí a prova por indução de que 0 xn xn1 2 para todo n N Assim temos que xn é uma sequência crescente e limitada Logo pelo Teorema da Sequência Monótona existe x lim xn e x sup xN Como a 1caud a x1 xn1 converge para o mesmo limite que x tomando o limite na relação xn1 2 xn usando o Exemplo 72 b e o Teorema 75 obtemos x 2 x e 0 x 2 Vemos então que x é uma raiz nãonegativa da equação x2 x 2 0 cujas raizes são 1 e 2 Logo x 2 como afirmado d Seja sn 1 12 13 1n A sequência sn é conhecida como série harmônica Como sn1 sn 1n 1 sn essa é uma sequência crescente e pelo Teorema da Sequência Monótona será convergente se e somente se for limitada superiormente Mostraremos a seguir que sn é ilimitada e portanto divergente O interessante nessa questão é que ela nos traz um exemplo claro de um caso em que um argumento simples puramente matemático mostrase muito mais poderoso que a tentativa de se fazer previsões baseadas exclusivamente no cálculo massivo de computadores de última geração De fato um cálculo com computador exibirá valores aproximados de sn em torno de 114 para n 50 000 e sn 121 para n 100 000 Tais dados poderiam nos levar a concluir que a sequência é limitada No entanto podemos provar que vale o contrário observando que s2n 1 12 13 14 12n1 12n 1 12 14 14 12n1 12 1 12 12 12 2n1 vezes 1 n2 Os termos sn crescem de modo extremamente lento Por exemplo podese mostrar que para obtermos sn 50 seriam necessárias aproximadamente 52 10²¹ adições trabalho esse que levaria cerca de 400 000 anos num computador normal da atualidade e mais de 160 anos num supercomputador capaz de realizar um trilhão de adições por segundo Cálculo de Raízes Quadradas Agora daremos uma aplicação do Teorema da Sequência Monótona relacionada com o cálculo de raízes quadradas de números positivos Seja a 0 Apresentaremos um método de aproximação de a por meio da construção de uma sequência sn que converge a esse número Esse processo para calcular raízes quadradas já era conhecido na Mesopotâmia antes do ano 1500 AC Seja s₁ 0 arbitrariamente escolhido e definamos sn1 12 sn asn para todo n N Mostraremos que sn converge a a Primeiramente mostramos que sn² a para n 2 De fato da relação s²n 2sₙsₙ₁ a 0 vemos que sn é raiz da equação de segundo grau x²2sₙ1₂ a 0 cujo discriminante é 4s²n14a Como tal equação possui raízes reais seu discriminante deve ser não negativo e portanto devemos ter s²n1 a para todo n N Agora mostramos que sn é ultimamente nãocrescente mais precisamente que sn1 sn para n 2 Com efeito sn sn1 sn 12 sn asn 12 s²n a sn 0 se n 2 Portanto sn1 sn para todo n 2 O Teorema da Sequência Monótona implica que s lim sn existe Além disso os Teoremas 72 e 75 nos dão que s deve satisfazer as relações s 12 s as s a onde segue que s as ou seja s² a Logo s a O Número e Seja sn definida indutivamente por s₁ 1 sn1 sn 1n e portanto sn1 1 11 12 1n para todo n N Como para todo n N sn sn1 e sn1 1 1 11 12 12n1 1 1 21 12n 1 1 12 122 12n1 1 1 21 12n 3 segue do Teorema da Sequência Monótona que sn converge Definimos e lim n sn lim n 1 11 12 1n O número e assim definido é o número transcendental mais importante da Matemática depois de π O termo transcendental significa que esses números não são raízes de polinômios com coeficientes racionais e não ser obviamente o polinômio identicamente nulo Em particular os números transcendentes são irracionais A prova de que e é transcendental embora possa ser feita de modo relativamente simples escapa dos objetivos deste curso Pelo que acabamos de ver vale 2 e 3 A sequência acima nos permite obter aproximações de e com erros arbitrariamente pequenos Por exemplo s₁₀ nos dá a aproximação 27182818 com erro menor que 10⁷ O número e é às vezes chamado de número de Euler em homenagem a Leonhard Euler 17071783 considerado até hoje um dos maiores matemáticos de todos os tempos Ele é a base dos assim chamados logaritmos naturais o logaritmo natural de um número real positivo x denotado por log x é definido através da equação eˡⁱⁿˣ x Fazendo o mesmo para tn1 e comparando as respectivas fórmulas vemos que a segunda fórmula para tn1 contém uma parcela positiva a mais que a segunda fórmula para tn e que as parcelas restantes são todas maiores que as parcelas correspondentes na fórmula para tn Portanto temos que tn tn1 para todo n Claramente temos que tn sn onde sn 1 1 12 1n Como vimos há pouco sn 3 e assim segue que tn 3 Logo pelo Teorema da Sequência Monótona segue que tn converge Afirmase que lim tn lim sn e Com efeito o fato de que lim tn lim sn e decorre diretamente do Teorema 74 uma vez que vale tn sn para todo n N Agora tomando n m vale tn 1 1 12 1 1n 1m 1 1n 1 2n 1 m 1n Fixando m e fazendo n obtemos lim tn 1 12 1m sm Fazendo agora m obtemos lim tn lim m sm e Segue então que lim tn e Subsequências e o Teorema de BolzanoWeierstrass Como uma sequência de números reais é por definição uma função x N R dada uma função qualquer n N N isto é uma sequência de números naturais a função composta x n N R é também sequência de números reais As subsequências de uma dada sequência x constituem os casos especiais em que a função n é crescente dessa forma de obter novas sequências a partir de uma sequência dada ANALISE REAL Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias sao as sequˆencias 12k e 1k com nk 2k e nk k respectivamente Por outro lado a sequˆencia 1 3 1 2 1 1 1 6 1 5 1 4 1 3k 1 3k 1 1 3k 2 nao e subsequˆencia de 1n pois a sequˆencia nk correspondente nao e crescente O resultado seguinte afirma que todas as subsequˆencias de uma sequˆencia convergente convergem para o mesmo limite da sequˆencia Teorema 83 Se uma sequˆencia de numeros reais xn converge para x R entao qualquer subsequˆencia xnk de xn tambem converge para x Prova Seja dado ε 0 qualquer Existe N0 tal que se n N0 entao xn x ε Como n1 n2 nk e facil mostrar usando Inducao Matematica que nk k Portanto se k N0 entao nk k N0 e portanto xnk x ε Decorre daı que xnk tambem converge para x Uma consequˆencia imediata porem bastante util do Teorema 83 e o seguinte criterio para testar a divergˆencia de sequˆencias Teorema 84 Suponhamos que x xn e uma sequˆencia e que xnk e xmk sao duas subsequˆencias de x satisfazendo existe ε0 0 tal que xnk xmk ε0 para todo k N suficientemente grande Entao x e divergente Prova Com efeito se existe x lim xn entao pelo Teorema 82 x lim xnk lim xmk Daı terıamos pelos resultados da aula anterior 0 x x lim k xnk xmk ε0 0 o que e um absurdo provando assim que x e divergente Exemplos 82 a lim1 1 n2n2 e A sequˆencia yk com yk 1 1 k2k2 e uma subsequˆencia da sequˆencia tn com tn 1 1nn Logo pelo Teorema 83 lim1 1 k2k2 lim1 1nn e b A sequˆencia x 1 1n2 1nn e divergente CEDERJ 116 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias M ODULO 1 AULA 8 Com efeito x xn com x2k1 1k e x2k 1 1k para k N de modo que as subsequˆencias x2k1 e x2k convergem para 0 e 1 respectivamente Portanto pelo Teorema 84 x e divergente A seguir vamos enunciar e provar o celebre Teorema de BolzanoWeier strass assim nomeado em referˆencia aos matematicos Bernhard Bolzano 17811848 e Karl Weierstrass 18151897 que foram os primeiros a estabelecˆelo Ele foi na verdade provado primeiramente por Bolzano mas essa prova se perdeu Foi depois redemonstrado por Weierstrass e se tornou uma peca central da Analise Mais tarde descobriuse que o teorema havia sido provado por Bolzano muito antes de Weierstrass e daı veio seu nome Teorema 85 Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequˆencia limitada de numeros reais possui uma subsequˆencia conver gente Prova Como o conjunto de valores xN xn n N e limitado ele esta contido num intervalo fechado I1 a b Facamos n1 1 Agora dividimos o intervalo I1 em dois intervalos fechados de igual comprimento I 1 e I 1 isto e I 1 a a b2 e I 1 a b2 b Distinguimos assim dois subconjuntos de N a saber N 1 n N n n1 xn I 1 e N 1 b N n n1 xn I 1 Como N 1 N 1 N1 n N n n1 e um subconjunto infinito de N temos que pelo menos um dos dois conjuntos N 1 e N 1 e infinito Chamemos de N2 um desses dois subconjuntos que seja infinito denotemos por I2 o subintevalo correspondente e chamemos de n2 o menor elemento de N2 cuja existˆencia e dada pelo Princıpio da Boa Ordenacao Observe que xn2 I2 Vamos mostrar por Inducao Matematica que e possıvel construir dessa forma uma famılia de intervalos fechados limitados I1 I2 Ik com I1 I2 Ik Ik1 e uma sequˆencia de numeros naturais nk com n1 n2 nk nk1 tais que xnk Ik Suponhamos por inducao que I1 I2 Ik e n1 n2 nk tenham sido definidos satisfazendo I1 I2 Ik n1 n2 nk e tais que xnj Ij j 1 k Sejam N1 N2 Nk definidos indutivamente por Nj n Nj1 n nj1 xn Ij1 De novo dividimos o intervalo Ik em dois subintervalos de igual comprimento I k e I k e definimos N k n Nk n nk xn I k N k n Nk n nk xn I k 117 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias Chamemos de Nk1 a um desses dois subconjuntos de Nk que seja infinito denotemos por Ik1 o subintervalo de Ik correspondente e facamos nk1 inf Nk1 Temos entao que Ik Ik1 nk nk1 e xnk1 Ik1 Fica assim provada por inducao a existˆencia da famılia de intervalos fechados encaixados I1 I2 Ik Ik1 e da sequˆencia de numeros naturais nk com n1 n2 nk nk1 tais que xnk Ik Como o comprimento de Ik e igual a ba2k1 segue do Teorema 512 Propriedade dos Intervalos Encaixados que existe um unico ponto ξ Ik para todo k N Como ambos xnk e ξ pertencem a Ik temos xnk ξ b a 2k1 donde concluımos que a subsequˆencia xnk converge para ξ O proximo resultado e uma aplicacao do Teorema de BolzanoWeierstrass Em sua prova vamos utilizar o fato de que se x e uma subsequˆencia de x entao x e com todo direito tambem uma sequˆencia e sendo assim tambem possui subsequˆencias Observamos que se x e uma subsequˆencia de x entao x tambem e uma subsequˆencia de x Teorema 86 Seja x xn uma sequˆencia limitada de numeros reais e x R tendo a propriedade de que toda subsequˆencia convergente de x converge a x Entao a sequˆencia x converge a x Prova Como xn e limitada podemos obter M 0 tal que xn M para todo n N Suponhamos por absurdo que x nao converge a x Entao existe um ε0 0 e uma subsequˆencia xnk de xn tal que xnk x ε0 para todo k N 83 De fato a negacao da afirmacao ε 0N0 Nn Nn N0 xn x ε 84 que e a definicao formal de xn x e a proposicao ε0 0k Nnk Nnk k e xnk x ε0 85 que equivale a afirmacao que fizemos contendo 83 Observe que apenas por conveniˆencia ao escrever a negacao de 84 trocamos as variaveis ε N0 n pelas variaveis ε0 k nk o que e plenamente de nosso direito CEDERJ 118 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias M ODULO 1 AULA 8 Agora temos xnk M para todo k N Logo o Teorema de Bolzano Weierstrass implica que a sequˆencia x xnk possui uma subsequˆencia convergente x Como x tambem e subsequˆencia de x a qual por hipotese converge a x devemos ter lim x x Portanto todos os termos de x devem ultimadamente pertencer a ε0vizinhanca de x Vε0x x R x x ε0 o que contradiz 83 e conclui a prova do teorema Exemplos 83 a Suponhamos que x xn e uma sequˆencia tal que as suas sub sequˆencias x x2k1 e x x2k correspondentes aos ındices ımpares e pares respectivamente convergem ambas para x Entao xn converge para x Essa afirmacao pode ser provada sem nenhuma dificuldade usandose diretamente a Definicao 62 Em vez disso vamos provala aplicando o Teorema 86 Com efeito as subsequˆencias x e x sao convergentes e portanto sao limitadas Como o conjunto dos valores de x xN e a uniao do conjunto dos valores de x xN com o conjunto dos valores de x xN segue que x e limitada Agora dada qualquer subsequˆencia convergente z xnk de xn entao pelo menos uma das duas afirmacoes seguintes e verdadeira i nk e ımpar para uma infinidade de subındices k N ii nk e par para uma infinidade de subındices k N Em qualquer caso sera possıvel obter uma subsequˆencia z de z cujos ındices sao todos ımpares ou todos pares Entao z sera uma subsequˆencia de x e assim pelo Teorema 81 converge a x Mas entao pela mesma razao devemos ter lim z x Logo podemos usar o Teorema 86 para concluir que lim xn x Sugerimos que vocˆe dˆe uma demonstracao dessa mesma proposicao usando diretamente a Definicao 62 b Seja xn a sequˆencia definida indutivamente por x1 1 xn1 1 1 xn para todo n N Os termos dessa sequˆencia tˆem a forma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 119 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias e por isso constituem o que chamamos fracao contınua ou fracao con tinuada Mostraremos que lim xn 1 5 2 Por inducao provamos facilmente que 0 xn 1 para todo n N De fato isso e verdade para n 1 e supondo que 0 xk 1 segue da formula xk1 11 xk que 0 xk1 1 o que prova que 0 xn 1 para todo n N Vemos por substituicao direta que x2 12 x3 23 e x4 35 Portanto x1 1 x3 23 e x2 12 x4 35 Seja yk x2k1 e zk x2k Agora temos xn2 1 1 xn1 1 1 1 1xn 1 xn 2 xn 1 1 2 xn 86 Desta ultima expressao para xn2 em funcao de xn segue que se xn xn2 entao xn2 xn4 Da mesma forma se xn xn2 entao xn2 xn4 Portanto temos x1 x3 x2k1 x2k1 e x2 x4 x2k x2k2 Assim a subsequˆencia yn e decrescente e a subsequˆencia zn e crescente Alem disso ambas sao limitadas e portanto sao convergentes pelo Teorema da Sequˆencia Monotona Mais ainda de 86 temos yn1 1 1 2 yn e zn1 1 1 2 zn Sejam y lim yn e z lim zn Segue do que foi visto na aula anterior que 0 y 1 0 z 1 y 1 12 y e z 1 12 z Logo y e z sao ambos raızes naonegativas da equacao de segundo grau t2 t 1 0 cujas raızes sao 1 52 Assim y z 1 52 Segue do exemplo anterior que lim xn 1 52 Exercıcios 81 1 Seja x1 3 e xn1 1 5xn 4 para todo n N Mostre que xn e limitada e monotona Encontre o limite 2 Seja x1 1 e xn1 2 1xn para todo n N Mostre que xn e limitada e monotona Encontre o limite CEDERJ 120 3 Seja x1 2 e xn1 1 xn 1 para n N Mostre que xn é decrescente e limitada inferiormente por 2 Encontre o limite 4 Seja x1 1 e xn1 2xn para n N Mostre que xn converge e encontre o limite 5 Seja y1 p onde p 0 e yn1 p yn para n N Mostre que yn converge e encontre o limite Dica Primeiro mostre por indução que 1 2 p é uma cota superior 6 Seja a 0 e xn1 xn 1xn para n N Determine se xn diverge ou converge Dica Mostre que xn é crescente e veja o que acontece quando se supõe que xn converge 7 Estabeleça a convergência e encontre o limite das seguintes sequências a 1 1nn1 b 1 1n2n c 1 1n 1n d 1 1nn Dica Use 1 1n 1 1n 11 8 Estabeleça a convergência e ache os limites das seguintes sequências a 1 1n22n2 b 1 19n2n2 c 1 12nn d 1 2nn 9 Determine os limites das seguintes sequências a 3n12n b 1 2n3n 10 Suponha que toda subsequência de x xn possui uma subsequência que converge a um mesmo número real x Mostre que lim xn x 11 Seja x xn definida indutivamente por x1 1 e xn1 12 xn Mostre que x converge e encontre o limite ANALISE REAL Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias 12 Considere a sequˆencia de Fibonacci definida indutivamente por y1 1 y2 1 e yn2 yn1 yn para todo n N Seja x xn definida por xn ynyn1 Mostre que x converge e encontre o limite 13 Considere a sequˆencia xn definida indutivamente por x1 1 e xn1 1an xn para todo n N onde a2k1 1 e a2k 2 para todo k N a Mostre que 0 xn 1 para todo n N b Mostre que x x2k1 e decrescente e x x2k e crescente c Encontre x lim k x2k1 e x lim k x2k d Observe que x x e justifique a conclusao de que xn e diver gente CEDERJ 122 Criterio de Cauchy e Limites Infinitos M ODULO 1 AULA 9 Aula 9 Criterio de Cauchy e Limites Infinitos Metas da aula Enunciar e provar o criterio de Cauchy e apresentar al gumas de suas aplicacoes no estabelecimento da convergˆencia e da divergˆencia de sequˆencias Apresentar o conceito de sequˆencias propriamente divergentes com limites infinitos bem como alguns resultados relacionados com esse con ceito Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o enunciado do criterio de Cauchy e o uso desse resultado para estabelecer a convergˆencia e a divergˆencia de sequˆencias Saber o conceito de sequˆencias propriamente divergentes com limites infinitos bem como a resolucao de questoes simples envolvendo essa nocao Introducao Nesta aula vamos concluir nosso estudo sobre sequˆencias de numeros reais com a apresentacao do celebre criterio de Cauchy Esse criterio per mite determinar a convergˆencia de uma sequˆencia sem o conhecimento previo do limite ou a divergˆencia da mesma O nome do criterio se refere ao matematico francˆes AugustinLouis Cauchy 17891857 um dos maiores contribuidores para o desenvolvimento da Analise Matematica no seculo XIX que foi quem primeiro o publicou Vamos tambem apresentar o conceito de sequˆencias propriamente divergentes O Criterio de Cauchy Apesar da frequˆencia com que nos deparamos com sequˆencias monotonas e portanto da enorme importˆancia do Teorema da Sequˆencia Monotona e importante que tenhamos uma condicao implicando a convergˆencia de uma sequˆencia que nao requeira conhecer de antemao o limite e que nao seja restrita a sequˆencias monotonas O criterio de Cauchy e uma tal condicao Ele se baseia no conceito de sequˆencia de Cauchy que apresentamos a seguir Definicao 91 Dizse que uma sequˆencia de numeros reais x xn e uma sequˆencia de Cauchy se para todo ε 0 existe N0 N tal que para todos m n N se 123 CEDERJ m N0 e n N0 então xm xn ε Em símbolos escrevemos ε 0N0 Nm n N m N0 e n N0 xm xn ε Assim como na Definição 62 aqui também depende em geral de ε Para enfatizar esse fato é usual escreverse N0 N0ε Observe que dizer que x xn não é uma sequência de Cauchy significa dizer que existe ε0 0 tal que para todo k N existem mk nk N tais que mk N0 nk N0 e xmk xnk ε0 Em símbolos escrevemos ε0 0k Nmk Nmk N0 e nk N0 xm xm ε0 Notemos que apenas por conveniência na fórmula do negação as variáveis ε N0 m n foram trocadas por ε0 k mk nk o que é de nosso pleno direito fazer Exemplos 91 a A sequência 1n é uma sequência de Cauchy De fato dado ε 0 escolhemos N0 N0ε N tal que N0 2ε Então se m n N0 temos 1n 1N0 ε2 e do mesmo modo 1m ε2 Daí segue que m n N0 então 1m 1n 1m 1n ε2 ε2 ε o que demonstra que 1n é sequência de Cauchy uma vez que ε 0 é arbitrário b A sequência 1 1n não é uma sequência de Cauchy Com efeito seja ε0 2 Então qualquer que seja k N podemos tomar mk 2k k e nk 2k 1 k Como 2xk 2 e 2xk1 0 para todo k N temos xm xn x2k x2k1 2 0 2 ε0 o que demonstra que 1 1n não é uma sequência de Cauchy O seguinte resultado constitui a parte mais imediata do critério de Cauchy estabelecendo uma condição necessária para que uma sequência seja convergente Lema 91 Se x xn é uma sequência convergente de números reais então x é uma sequência de Cauchy Criterio de Cauchy e Limites Infinitos M ODULO 1 AULA 9 Prova Seja x lim x Entao dado ε 0 existe N0 N0ε2 N tal que se n N0 entao xn x ε Logo para todos m n N satisfazendo m N0 n N0 temos xm xn xn x x xm xn x xm x ε2 ε2 ε Sendo ε 0 arbitrario fica provado que x e uma sequˆencia de Cauchy Para provar a recıproca do Lema 91 que juntamente com este constitui o referido criterio de Cauchy precisaremos do seguinte resultado Lema 92 Toda sequˆencia de Cauchy e limitada Prova Seja x xn uma sequˆencia de Cauchy e ε 1 Se N0 N01 e n N0 entao xn xN01 1 Logo pela deiguadade triangular temos xn xN01 1 para todo n N0 Seja M supx1 x2 xN0 xN01 1 Entao temos que xn M para todo n N Apresentamos agora o importante criterio de Cauchy Teorema 91 Criterio de Cauchy Uma sequˆencia de numeros reais e convergente se e somente se ela e uma sequˆencia de Cauchy Prova Vimos no Lema 91 que toda sequˆencia convergente e uma sequˆencia de Cauchy Reciprocamente seja x xn uma sequˆencia de Cauchy vamos mostrar que x e uma sequˆencia convergente Inicialmente observemos que pelo Lema 92 x e limitada Portanto pelo Teorema de BolzanoWeierstrass 86 existe uma subsequˆencia x xnk de x que converge para algum x R Vamos mostrar que toda a sequˆencia x converge para x Como xn e uma sequˆencia de Cauchy dado ε 0 existe N0 N0ε2 N tal que se n m N0 entao xn xm ε2 91 Por outro lado como x converge a x existe N1 N0 pertencente ao con junto nk k N tal que xN1 x ε2 125 CEDERJ ANALISE REAL Criterio de Cauchy e Limites Infinitos Como N1 N0 segue de 91 com m N1 que xn xN1 ε2 para n N0 Daı segue que se n N0 entao xn x xn xN1 xN1 x xn xN1 xN1 x ε2 ε2 ε Como ε 0 e arbitrario concluımos que lim xn x A seguir damos alguns exemplos de aplicacao do criterio de Cauchy Exemplos 92 a Seja x xn definida por x1 1 x2 2 e xn 1 2xn2 xn1 para n 2 Geometricamente essa sequˆencia e formada tomandose o ponto medio de sucessivos intervalos cujos extremos sao os dois ultimos termos da sequˆencia ate entao definidos a comecar pelo intervalo 1 2 Fica claro entao que 1 xn 2 fato que pode ser provado rigorosamente usando se Inducao Matematica Com efeito a afirmacao vale para n 1 e n 2 por definicao e supondo que seja valida para j 1 2 k com k 2 vemos facilmente que xk1 xk xk12 1 12 1 xk1 xk xk12 2 22 2 Provemos tambem por inducao que vale xn xn1 1 2n1 De fato a afirmacao e verdadeira para n 1 e supondo que xk xk1 12k1 temos xk1 xk2 xk1 xk xk1 2 1 2xk xk1 1 2k o que conclui a prova por inducao da afirmacao CEDERJ 126 Assim dados m n temos xn xm xn xn1 xn1 xn2 xm1 xm 12n1 12n 12m2 12n1 1 12 12mn1 12n2 Portanto dado ε 0 qualquer tomandose N0 N tal que 12N02 ε se m N0 n N0 e m n obtemos que xn xm 12n2 12N02 ε Logo x é uma sequência de Cauchy Pelo critério de Cauchy concluímos que x converge para algum x R o qual pelo Teorema 75 deve satisfazer 1 x 2 Observe que não adiantará usar a regra de formação xn xn1 xn22 para tentar saber o valor de x já que tomandose o limite nessa relação obtemos x x x2 o que é uma identidade trivialmente verdadeira porém inútil Para se conhecer o valor de x é necessário observar que vale x2n1 x2n1 x2n2 x2n para todo n N que pode ser facilmente provado por indução Exercício Em particular a subsequência x x2n1 é crescente e a subsequência x x2n é decrescente Segue daí que para a subsequência x x2n temos x2n1 x2n1 x2n x2n1 x2n x2n1 12n2 12n1 12n1 ou seja x2n1 x2n1 12n1 e assim x2n1 1 12 123 12n1 1 12 12n11 122 1 23 1 14n 53 onde foi usada a conhecida fórmula para a soma de uma progressão geométrica Portanto temos que x lim x lim x 53 b A sequência do exemplo anterior pertence a uma classe especial de sequências que vamos definir agora Dizemos que uma sequência de números reais x xₙ é contrativa se existe uma constante λ com 0 λ 1 tal que xₙ₂ xₙ₁ λxₙ₁ xₙ para todo n ℕ O número λ é chamado a constante de contração da sequência Toda sequência contrativa x xₙ é uma sequência de Cauchy e portanto convergente para algum x ℝ Além disso temos x xₙ λⁿ1λ x₂ x₁ para todo n ℕ x xₙ λ1λ xₙ xₙ₁ para todo n ℕ Com efeito é fácil provar por indução que xₙ₂ xₙ₁ λⁿx₂ x₁ para todo n ℕ De fato a desigualdade 94 vale para n 1 pela definição Suponhamos que a desigualdade vale para n k Então temos xₖ₃ xₖ₂ λxₖ₂ xₖ₁ λ λx₂ x₁ λⁿ¹x₂ x₁ o que prova 94 para todo n ℕ Para m n aplicamos a desigualdade triangular e a fórmula da soma de uma progressão geométrica para obter xₘ xₙ xₘ₁ xₘ₂ xₘ₁ xₘ₂ xₙ₁ xₙ λⁿ² λⁿ³ λⁿ¹x₂ x₁ λⁿ¹ 1 λⁿn1λx₂ x₁ λⁿ¹11λ x₂ x₁ Como 0 λ 1 sabemos que lim λⁿ 0 Portanto deduzimos que xₙ é uma sequência de Cauchy Pelo critério de Cauchy segue que xₙ converge para algum x ℝ Agora fazendo m na desigualdade xₘ xₙ λⁿ¹ 11λ x₂ x₁ Criterio de Cauchy e Limites Infinitos M ODULO 1 AULA 9 obtemos x xn λn 1 λx2 x1 para todo n N Quanto a desigualdade 93 notemos que xm xn λmn λ2 λxn xn1 λ 1 λxn xn1 Fazendo m obtemos a desigualdade 93 c Considere a equacao px x3 5x 3 0 Como p0 3 0 e p1 1 0 somos levados a conjecturar que existe uma solucao x da equacao satisfazendo 0 x 1 Seja x1 um numero qualquer satisfazendo 0 x1 1 Definimos a sequˆencia xn indutivamente por xn1 1 5x3 n 3 para todo n N Por inducao provamos sem dificuladade que vale 0 xn 1 para todo n N Exercıcio Alem disso usando a formula a3 b3 a ba2 ab b2 obtemos xn2 xn1 1 5x3 n1 3 1 5x3 n 3 1 5x3 n1 x3 n 1 5x2 n1 xn1xn x2 nxn1 xn 3 5xn1 xn Portanto xn e uma sequˆencia contrativa e sendo assim converge para algum x R Tomando o limite na equacao xn1 1 5x3 n 3 obtemos x 1 5x3 3 Logo x e raiz da equacao x3 5x 3 0 As relacoes 92 e 93 podem ser usadas para se estimar o erro cometido ao se aproximar o valor de x pelo de xn d Seja y yn a sequˆencia de numeros reais dada por y1 1 1 y2 1 1 1 2 yn 1 1 1 2 1n1 n Claramente y nao e uma sequˆencia monotona Porem se m n entao ym yn 1n2 n 1 1n3 n 2 1m1 m Como 2r1 r para todo r N segue que se m n entao ym yn 1 n 1 1 n 2 1 m 1 2n 1 2n1 1 2m1 1 2n1 129 CEDERJ ANALISE REAL Criterio de Cauchy e Limites Infinitos Portanto temos que yn e uma sequˆencia de Cauchy Logo ela con verge para algum y R Nao temos ainda elementos para saber o valor de y Passando ao limite quando m na desigualdade ante rior obtemos y yn 1 2n1 o que nos permite estimar o erro cometido ao aproximarmos o valor de y pelo valor de yn Apenas por curiosidade podemos adiantar que o valor exato de y e 1 1e Limites Infinitos Em alguns casos e conveniente termos uma definicao para o significado de uma sequˆencia xn de numeros reais tender a Definicao 92 Seja xn uma sequˆencia de numeros reais i Dizemos que xn tende a e escrevemos lim xn se para todo M 0 existe N0 N0M N tal que se n N0 entao xn M ii Dizemos que xn tende a e escrevemos lim xn se para todo M 0 existe N0 N0M N tal que se n N0 entao xn M Dizemos que xn e propriamente divergente no caso em que temos lim xn ou lim xn Observe que lim xn se e somente se limxn Exemplos 93 a lim n De fato dado M 0 existe um N0 N com N0 M pela Propriedade Arquimediana e assim n M para todo n N0 b Se b 1 entao lim bn Escrevamos b 1c com c b1 0 Pela desigualdade de Bernoulli temos bn 1 cn 1 nc Portando dado M 0 tomando N0 Mc obtemos bn 1 nc 1 M M para todo n N0 CEDERJ 130 Criterio de Cauchy e Limites Infinitos M ODULO 1 AULA 9 Chamamos sua atencao para o fato de que sequˆencias propriamente divergentes constituem um caso particular de sequˆencias divergentes As propriedades validas para o limite de sequˆencias convergentes que vimos em aulas anteriores podem nao valer quando alguma das sequˆencias envolvidas tem limite No entanto temos o seguinte resultado Teorema 92 i Se lim xn e yn e uma sequˆencia limitada inferiormente entao limxn yn ii Se lim xn e existe c 0 tal que yn c para todo n N entao limxnyn iii Se xn c 0 yn 0 para todo n N e lim yn 0 entao lim xn yn Prova i Existe c R tal que yn c para todo n N Dado M 0 qualquer existe N0 N tal que xn M c para todo n N0 Logo se n N0 entao xn yn M c c M o que mostra que limxn yn ii Analogamente dado M 0 existe N0 N tal que xn Mc para todo n N0 Logo se n N0 entao xnyn Mcc M o que demonstra que limxnyn iii Dado M 0 existe N0 N0Mc N tal que se n N0 entao yn yn cM Logo se n N0 entao xnyn ccM M o que mostra que limxnyn Observe que se lim xn e lim yn entao nada pode ser afirmado sobre a divergˆencia ou convergˆencia da sequˆencia xn yn Por exemplo se xn n 1n e yn n entao xn yn e convergente e limxn yn 0 Se xn 2n e yn n entao limxn yn Finalmente se xn n 1n e yn n entao xn yn e divergente mas nao propriamente divergente O seguinte resultado estabelece um criterio que determina quando uma sequˆencia monotona e propriamente divergente Teorema 93 Uma sequˆencia monotona de numeros reais e propriamente divergente se e somente se e ilimitada i Se xn e uma sequˆencia ilimitada naodecrescente entao lim xn 131 CEDERJ ANALISE REAL Criterio de Cauchy e Limites Infinitos ii Se xn e uma sequˆencia ilimitada naocrescente entao lim xn Prova Suponhamos que xn e uma sequˆencia naodecrescente Sabemos que se xn e limitada entao ela e convergente Portanto se ela e propri amente divergente entao tem que ser ilimitada Se xn e ilimitada ela nao e limitada superiormente ja que e limitada inferiormente por ser nao decrescente Entao dado M 0 existe N0 N tal que xN0 M Como xn e naodecrescente se n N0 entao xn xN0 M Logo lim xn A afirmacao ii se reduz a i considerandose a sequˆencia xn O seguinte criterio de comparacao e frequentemente utilizado para demonstrar que uma sequˆencia e propriamente divergente Teorema 94 Sejam xn e yn sequˆencias satisfazendo xn yn para todo n N 95 i Se lim xn entao lim yn ii Se lim yn entao lim xn Prova i Se lim xn dado M 0 existe N0 N tal que n N0 implica xn M Mas entao se n N0 de 95 segue que temos yn M o que mostra que lim yn A afirmacao ii se reduz a i considerandose as sequˆencias xn e yn Observacao 91 O Teorema 94 continua verdadeiro se a condicao 95 e ultimadamente verdadeira isto e se existe M0 N tal que xn yn para todo n M0 O seguinte resultado tambem serve como um criterio de comparacao e e bastante util nos casos em que nao se tem a condicao 95 Teorema 95 Sejam xn e yn duas sequˆencias de numeros reais positivos e suponhamos que para algum L 0 tenhamos lim xn yn L 96 Entao lim xn se e somente se lim yn CEDERJ 132 Prova Se a condição 96 vale então existe M₀ ℕ tal que 12 L xₙyₙ 32 L para todo n M₀ Portanto temos L2yₙ xₙ 3L2yₙ para todo n ℕ A conclusão segue então do Teorema 94 Exercícios 91 1 Mostre diretamente da definição que as seguintes sequências são sequências de Cauchy a n 1n b 1 12 1n 2 Mostre diretamente da definição que as seguintes sequências não são sequências de Cauchy a 1ⁿ b n 1ⁿ 3 Mostre diretamente da definição que se xₙ e yₙ são sequências de Cauchy então xₙ yₙ e xₙyₙ são sequências de Cauchy 4 Seja p ℕ Mostre que uma sequência xₙ com xₙ n satisfaz limxₙₚ xₙ 0 mas ela não é uma sequência de Cauchy 5 Seja xₙ uma sequência de Cauchy satisfazendo xₙ ℤ para todo n ℕ Mostre que xₙ é ultimadamente constante 6 Se C 0 0 r 1 e xₙ₂ xₙ Crⁿ para todo n ℕ mostre que xₙ é uma sequência de Cauchy 7 Se x₁ x₂ são números reais arbitrários e xₙ 13 xₙ₁ 23 xₙ₂ para n 2 mostre que xₙ é uma sequência de Cauchy e encontre lim xₙ ANALISE REAL Criterio de Cauchy e Limites Infinitos 9 Defina uma sequˆencia contrativa para aproximar uma raız r da equacao polinomial x3 3x 1 0 satisfazendo 0 r 1 Encontre um valor aproximado de r com erro menor que 104 10 Mostre que se xn e uma sequˆencia ilimitada entao ela possui uma subsequˆencia propriamente divergente 11 Dˆe exemplos de sequˆencia propriamente divergentes xn e yn com yn 0 para todo n N tais que a xnyn e convergente b xnyn e propriamente divergente 12 Mostre que as sequˆencias n e nn 1 sao propriamente diver gentes 13 Mostre que se lim xn 0 e xn 0 para todo n N entao lim1xn 14 Mostre que se limxnn L onde L 0 entao lim xn 15 Suponha que xn e uma sequˆencia propriamente divergente e yn e uma sequˆencia tal que existe limxnyn R Mostre que lim yn 0 CEDERJ 134 Aula 10 Séries Numéricas Metas da aula Definir séries numéricas Apresentar os primeiros resultados para estabelecer a convergência e a divergência de séries numéricas bem como exemplos de aplicação dos mesmos Objetivos Ao final desta aula você deverá ser capaz de Saber resultados básicos estabelecendo convergência e a divergência de séries numéricas bem como suas aplicações em exemplos concretos Introdução Nesta aula iniciaremos nosso estudo sobre as séries numéricas Estas nada mais são que sequências sₙ onde o termo geral é escrito na forma sₙ x₁ x₂ xₙ para alguma sequência de números reais xₙ Séries Numéricas Comecemos com a definição formal do que vem a ser uma série numérica Definição 101 Se x xₙ é uma sequência em ℝ então a série gerada por x é a sequência s sₙ definida por s₁ x₁ e sₙ₁ sₙ xₙ₁ Assim temos sₙ x₁ x₂ xₙ para todo n ℕ Os números xₙ são chamados os termos da série e os números sₙ são chamados das somas parciais dessa série Se lim sₙ existe dizemos que a série é convergente e chamamos esse limite a soma dessa série Se o referido limite não existe dizemos que a série é divergente É usual se adotar as notações xₙ ou ₙ₁ xₙ 101 para designar a série sn gerada por xn como na Definição 101 No caso de uma série xn convergente é usual também usarse as notações em 101 para denotar o lim sn Portanto as expressões em 101 poderão ser usadas tanto para denotar a série seja ela convergente ou divergente como o limite da mesma no caso em que for convergente Quando houver risco de confusão será mencionado explicitamente o significado dessas expressões no contexto em questão Em alguns casos a sequência x geradora da série pode ser definida a partir de um índice inicial n0 ℕ 0 diferente de 1 como n0 2 5 etc isto é x xnnn0 Em tais casos usaremos a notação nn0 xn para denotar tanto a série como o seu limite no caso em que este existe Por exemplo n0 1 n n4 n n 1n 2n 3 etc Exemplos 101 a Você certamente já está bastante familiarizado com as séries geométricas Uma tal série é gerada por uma sequência da forma x rnn0 onde r ℝ e portanto se escreve n0 rn 1 r r2 rn 102 Como já foi visto em aula anteriormente se r 1 então a série converge a 11 r De fato se sn 1 r r2 rn para n 0 tomando a diferença entre sn e r vezes sn obtemos após simplificações sn1 r 1 rn1 Portanto sn 1 1 r rn1 1 r donde segue que sn 1 1 r rn1 1 r Como rn1 0 quando r 1 concluímos que a série 102 converge a 11 r se r 1 b Consideremos a série gerada por 1nn0 n0 1n 1 1 1 1 103 Temos então que sn 1 se n 0 é par e sn 0 se n é ímpar isto é a sequência de somas parciais é 1 0 1 0 Como essa sequência não é convergente a série 103 é divergente c Consideremos a série 1nn 1 e investiguemos a existência do limite n1 1 nn 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 104 O truque para analisar essa série é observar que 1 kk 1 1 k 1 k 1 Portanto somandose essas igualdades de k 1 até n e notandose que os membros à direita formam uma soma telescópica ie a1 a2 a2 a3 a3 a4 an1 an an an1 com ak 1k obtemos sn 1 1 n 1 donde segue que sn 1 Portanto a série 104 converge a 1 Apresentamos a seguir uma condição necessária imediata para a convergência de uma série que é bastante útil para determinar casos em que há divergência porém não é suficiente para determinar convergência Teorema 101 Se a série xn converge então lim xn 0 Prova Pela Definição 101 a convergência de xn significa que lim sn existe Agora xn sn sn1 Como sn e sn1 convergem ao mesmo limite xn converge e lim xn lim sn lim sn1 0 Uma outra forma engenhosa de mostrar a divergência da série harmônica é a seguinte prova por contradição Supomos que 1n seja convergente e ponhamos s n1 1n Como tn n12k 1 s2n1 e un n1 12k s2n temos então que as séries 12n 1 e 12n também são convergentes por quê Ponhamos t lim tn lim un lim un n1 12n Como un sh2 e s2n tn un temos u s2 e t s2 por quê Agora tn un nk1 12k 1 12k nk1 12k2k 1 12 e portanto temos 0 s2 s2 lim tn lim un 12 0 o que nos dá uma contradição provando que 1n diverge b A 2série n1 1n² é convergente Como as somas parciais formam uma sequência crescente sn basta mostrar que sn possui uma subsequência que é limitada por quê Seja kn 2n 1 e mostremos que sk é limitada Temos sk1 s1 1 e para n 1 skn 11 12² 13p 14² 15p 16p 17p 12n 1² 1 22p 44p 2n 12n 1² 1 12 12² 12n1 k1 12p 1 k 2 Logo sk é limitada o que mostra que 1n² converge A demonstração é totalmente similar à que foi feita para o caso p 2 De novo vamos mostrar que a subsequência sn é limitada onde nk 2k 1 e sn nk1 1kp e dessa forma provar a convergência da sequência crescente sn Como no caso p 2 temos skn 11 12p 13p 14p 15p 16p 17p 12n 1² 1 22p 44p 2n 12n 1² 1 12 12² 12n1 k1 12p 1 k 11 2p1 Portanto o Teorema 103 implica que a psérie converge quando p 1 d A psérie n1 1np diverge quando 0 p 1 Como np 1n quando 0 p 1 temos que as somas parciais da psérie sn n1 1np são maiores que as somas parciais correspondentes da série harmônica hn n1 1n sn hn Como a sequência hn o mesmo vale para sn por quê o que prova que a psérie diverge se 0 p 1 e A série harmônica alternada dada por n1 1n1n 1 12 13 1ⁿn é convergente Ponhamos sn nk1 1k1k Temos s2n 11 12 13 14 12n 1 12n o que mostra que a subsequência s2n é crescente Da mesma forma vemos que a subsequência s2n1 é decrescente já que s2n1 11 12 13 14 15 12n 1 Como 0 s2n s2n 12n 1 s2n1 1 concluímos que essas duas subsequências convergem pois limitadas inferiormente por 1 e superiormente por 1 e para o mesmo limite devido à igualdade s2n 12n 1 s2n1 Logo a sequência de somas parciais sn converge provando que a série harmônica alternada é convergente Se r 0 então xn é convergente se e somente se yn é convergente A série 1n é convergente Aqui usamos a convenção 0 1 1 2 x1 2x2 2nxn s2n sgn x1 2x2 2n1xn1 xn Aula 11 Convergência Absoluta e NãoAbsoluta de Séries Metas da aula Definir os conceitos de séries absolutamente convergentes e séries condicionalmente convergentes Apresentar o Teorema dos Rearranjos para séries absolutamente convergentes Apresentar os principais testes para a convergência absoluta de séries Apresentar o teste para convergência de séries alternadas Objetivos Ao final desta aula você deverá ser capaz de Saber os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional ou nãoabsoluta de séries Saber o Teorema dos Rearranjos para séries absolutamente convergentes Conhecer e saber aplicar os principais testes para estabelecer a convergência absoluta de séries bem como o teste para a convergência de séries alternadas Introdução Nesta aula vamos estudar a importante noção de convergência absoluta de uma série assim como os principais testes para a verificação dessa convergência Convergência Absoluta de Séries Iniciemos com a definição de convergência absoluta de uma série numérica Definição 111 Seja x xn uma sequência em R Dizemos que a série xn é absolutamente convergente se a série xn é convergente Dizemos que a série é condicionalmente convergente ou nãoabsolutamente convergente se ela é convergente mas não é absolutamente convergente mas cuja série de valores absolutos é a série harmônica 1n cuja divergência já verificamos em várias oportunidades O seguinte resultado mostra que a noção de convergência absoluta de uma série é mais forte que a de convergência simplesmente Teorema 111 Se uma série xn é absolutamente convergente então ela é convergente Prova Como xn converge o Critério de Cauchy para Séries 102 implica que dado ε 0 existe N0 N tal que se m n N0 então xn1 xn2 xm ε Mas então se sn é a sequência das somas parciais de xn a desigualdade triangular nos dá sm sn xn1 xn2 xm xn1 xn2 xm ε Como ε 0 é arbitrário segue do Critério de Cauchy que xn converge Dada uma série xn e uma bijeção ϕ N N obtemos uma nova série xn fazendo xn xϕn Os termos da nova série xn são iguais aos da série xn mas estão ordenados de modo distinto Definição 112 Dizemos que uma série xn é um rearranjo de uma série xn se existe uma bijeção ϕ N N tal que xn xϕn para todo n N O seguinte resultado afirma que os rearranjos não alteram as somas das séries absolutamente convergentes Teorema 112 Teorema dos Rearranjos Seja xn uma série absolutamente convergente Então qualquer rearranjo xn de xn converge ao mesmo valor Prova Suponhamos que xn converge a s R e seja sn a sequência das somas parciais Assim dado ε 0 existe N1 tal que se n N1 e m N1 então s sn ε e m nN11 xk ε A série 1n1n2 é absolutamente convergente pois os valores absolutos de seus termos formam a 2série 1n2 que já vimos que é convergente no Exemplo 103 b Logo as séries xn e xn consideradas neste exemplo convergem ao mesmo limite pelo Teorema 112 Como 3m 2 n 3m temos que se n então m e viceversa Daí deduzimos facilmente que toda a sequência sn converge e lim sn s Além disso temos s lim sk s3 56 s Segue desse lema de Riemann em particular que séries condicionalmente convergentes não são comutavelmente convergentes o que prova a recíproca do Teorema 112 ou seja que se uma série é comutavelmente convergente então ela é absolutamente convergente Apresentamos a demonstração do lema na seção Prossiga ao final desta aula Prova i Se 112 vale então temos xn rn para n N0 Como a série geométrica rn é convergente para 0 r 1 o Teste da Comparação 104 implica que xn é convergente No caso em que existe r lim xn1n e r 1 dado 0 ε 1 r podemos obter N0 N tal que xn1n r ε 1 para todo n N0 e assim vale 112 com r r ε 1 ii Se 113 vale para uma subsequência xnk de xn então xn não converge a zero e o Teorema 101 implica que xnk é divergente Observação 111 Quando lim xn1n 1 o Teste da Raiz não permite que se tire qualquer conclusão quanto à convergência ou divergência da série Por exemplo ambas as séries 1n2 e 1n satisfazem xn1n 1 por quê No entanto a primeira série é convergente enquanto a segunda é divergente como já vimos O seguinte teste é também conhecido como Teste de DAlembert em referência ao grande matemático e físico francês Jean Le Rond dAlembert 17171783 que foi quem primeiro o enunciou e provou Teorema 115 Teste da Razão Seja x xn uma sequência de números reais nãonulos i Se existe r R com 0 r 1 e N0 N tais que xn1xn r para n N0 então a série xn é absolutamente convergente Em particular se existe r limxn1xn e r 1 então vale a mesma conclusão ii Se existe N0 N tal que xn1xn 1 para n N0 então a série xn é divergente Em particular se existe r limxn1xn e r 1 então xn é divergente Prova i Se vale 114 então podemos provar usando Indução Matemática que xn1m xn1m para todo m N De fato a afirmação vale para m 1 e supondo que ela valha para algum k N temos xn1k1 rxn1k rxn1k1 xn1k1 o que concluí na prova por indução Assim para n N0 os termos em xn são dominados por uma constante xN01 multiplicando os termos na série Contudo existem casos em que o Teste da Raiz pode afirmar a convergência de uma série para os quais o Teste da Razão não é aplicável Um exemplo disso é fornecido pela série s 12 1 18 14 132 116 1128 164 que é um rearranjo da série geométrica s 12n1 onde a bijeção ϕ ℕ ℕ é definida por ϕ2k 2k 1 ϕ2k 1 2k para todo k ℕ Como s é absolutamente convergente sabemos do Teorema dos Rearranjos 112 que s converge para uma soma igual a à s A convergência de s é confirmada pelo Teste da Raiz já que lim x2k112k1 lim 22k22k1 12 lim 212k1 12 e portanto lim x1n1n 12 1 Por outro lado o Teste da Razão não é aplicável já que x2kx2k1 2 1 x2k1x2k 18 1 para todo k ℕ Série Alternadas Grande parte das séries condicionalmente convergentes é formada por séries alternadas cuja definição damos a seguir Definição 113 Dizse que a sequência de números reais x xn é alternada se xn xn1 0 para todo n ℕ Assim x1 0 x2 0 x3 0 e x1 0 x2 0 x3 0 Se a sequência xn é alternada dizemos que a série xn é uma série alternada Tipicamente uma série alternada é escrita na forma 1n1an ou 1n an onde an é uma sequência de números positivos O principal resultado sobre séries alternadas é o seguinte teorema que nos fornece em particular um modo muito simples de construir e de identificar séries condicionalmente convergentes Esse teorema é também conhecido como Teste de Leibnitz em referência ao grande filósofo e matemático Gottfried von Leibniz 16461716 a quem sua descoberta é atribuída Teorema 116 Teste das Séries Alternadas Seja an uma sequência decrescente de números estritamente positivos com lim an 0 Então a série 1n1an é convergente Prova Seja sn a sequência de somas parciais da série 1n1an Como s2n a1 a2 a3 a4 a2n1 a2n e ak ak1 0 segue que a subsequência s2n de sn é crescente Como s2n a1 a2 a3 a2n2 a2n1 a2n segue também que s2n s para todo n ℕ Portanto o Teorema da Sequência Monótona 81 implica que a subsequência s2n converge para algum s ℝ Agora temos s2n1 s2n a2n e portanto s2n1 s s2n1 s2n s s2n a2n s s2n para todo n ℕ Daí decorre facilmente usando o fato de que a2n 0 e s s2n 0 que a subsequência s2n1 também converge a s Concluímos então que toda a sequência sn converge a s por quê Logo 1n1an é convergente 10 Use o Teste da Raiz ou o Teste da Razão para determinar os valores de x para os quais as seguintes séries convergem a n3x n b 2n n x n c 2n n x n d n3 3n x n 11 Discuta a convergência e a convergência absoluta das seguintes séries a 1n1 n2 1 b 1n1 n 1 c 1n1n n2 d 1n1 log n n Prossiga Rearranjos de Séries Condicionalmente Convergentes Nesta seção complementar vamos provar o seguinte lema devido a Riemann e mencionado no Exemplo 111 e Lema 111 Se x n é condicionalmente convergente então dado qualquer c R existe um rearranjo x n de x n que converge para c Prova Vamos supor para simplificar que x n 0 para todo n N Sejam p n e q n definidos como no Exemplo 111 a Vimos que as séries p n e q n são divergentes crescendo ambas para Sejam N n N p n 0 e N n N q n 0 Como estamos supondo x n 0 para todo n N segue que N N N e N N Além disso como as séries p n e q n crescem para os conjuntos N e N são infinitos Denotemos por n 1 n 2 n 3 os elementos de N e por m 1 m 2 m 3 os elementos de N Para não carregar demais a notação ponhamos pk p nk e qk q mk Começamos somando p1 p2 até encontrarmos o índice j1 N tal que o valor da soma p1 p2 pj1 se torna pela primeira vez c Note que j1 1 se p1 c O índice j2 existe já que pj Fazemos ϕ1 n1 ϕj1 nj1 Ponhamos sj1 p1 p2 pj1 Em seguida começamos a subtrair snj1 q1 q2 até encontrarmos o primeiro índice k1 tal que sj1 q1 q2 qk1 c De novo o índice k1 existe já que qk Fazemos ϕj1 1 m1 ϕj1 k1 mk1 e pomos sj1 k1 sj1 q1 q2 qk1 Retornamos ao procedimento de adição dos pj fazendo sj1 k1 pj11 pj12 até encontrarmos o primeiro índice j2 j1 tal que sj1 k1pj11 pj12 pj2 c Fazemos ϕj1 k1 1 nj11 ϕj1 k1 2 nj12 ϕj1 k1 j2 nj2 Então pomos sj1 k1 j2 sj1 k1 pj11 pj12 pj2 Retomamos então o procedimento de subtração dos qk fazendo sj1 k1 j2 qk11 qk12 até encontrarmos o primeiro índice k2 tal que sj1 k1 j2 qk11 qk12 qk2 c Fazemos então ϕj1 k1 j2 1 mk11 ϕj1 k1 j2 2 mk12 ϕj1 k1 j2 k2 mk2 Continuando esse procedimento indefinidamente definimos uma bijeção ϕ N N e um rearranjo xn de xn com xn ϕxn Como xn 0 quando n segue que pj 0 quando j e qk 0 quando k Assim temos que xn 0 quando n Façamos sl n1 i xn e sejam l0 0 l1 l2 l3 com lj N para todo j N definidos da seguinte forma O número l1 é o primeiro índice l tal que sl c l2 é o primeiro índice l l1 tal que sl c de modo indutivo l2k1 é o primeiro índice l l2k2 tal que sl c e l2k é o primeiro índice l l2k1 tal que sl c para todo k N Temos sl 1 c sl c para l lj1 ao passo que slj c xlj para todo j N com j 1 já que sl2k c sl2k1 e sl2k11 c sl2k1 para todo k N Como lj quando j e xlj 0 quando n deduzimos de 1110 e 1111 que sl c 0 quando l e portanto xn converge para c Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 12 Aula 12 Limites de Funcoes Metas da aula Definir o conceito de ponto de acumulacao de um sub conjunto da reta Definir limite de uma funcao num ponto de acumulacao do seu domınio Apresentar os resultados basicos sobre a existˆencia e a inexis tˆencia do limite de uma funcao num ponto de acumulacao do seu domınio Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado dos conceitos de ponto de acumulacao de um sub conjunto da reta e de limite de uma funcao num ponto de acumulacao do seu domınio Entender e saber aplicar os criterios basicos para a existˆencia e a in existˆencia do limite de uma funcao num ponto de acumulacao do seu domınio Saber demonstrar a partir da definicao a validade ou falsidade de limites para funcoes simples Introducao Nesta aula vamos iniciar o estudo do importante conceito de limite de uma funcao Tal nocao e o ponto de partida de todo o Calculo Diferencial ja que o conceito de derivada nela se baseia A ideia intuitiva de uma funcao f ter um limite L num ponto a e que os valores fx se tornam mais e mais proximos de L a medida que os valores de x se aproximam mais e mais mas sao diferentes de x Em sımbolos intuitivos costumase abreviar isso pondose fx L quando x x Para exprimir essa ideia da aproximacao de fx vinculada a de x de modo matematicamente rigoroso e necessario recorrer a celebre dupla dinˆamica ε δ como faremos dentro de poucos instantes Pontos de Acumulacao Para que a ideia do limite de uma funcao f num ponto x faca sentido e preciso que f esteja definida em pontos arbitrariamente proximos de x Porem ela nao tem necessariamente que estar definida no proprio ponto x Essa e a razao de introduzirmos a seguinte definicao 161 CEDERJ ANALISE REAL Limites de Funcoes Definicao 121 Seja X R Um ponto x R e um ponto de acumulacao de X se para todo δ 0 existe ao menos um ponto x X com x x tal que x x δ Essa definicao pode ser traduzida para a linguagem das vizinhancas do seguinte modo Um ponto x e um ponto de acumulacao do conjunto X se toda δvizinhanca Vδx x δ x δ de x contem ao menos um ponto de X diferente de x Note que x pode ou nao ser elemento de X mas mesmo quando x X esse fato e totalmente irrelevante para que se julgue se ele e ou nao um ponto de acumulacao de X ja que explicitamente requeremos que existam pontos em Vδx X distintos de x para que x seja ponto de acumulacao de X Por exemplo se X 1 1 R entao nenhum dos elementos 1 ou 1 e ponto de acumulacao de X ja que se δ 1 entao V11 X 1 e V11 X 1 e portanto essas vizinhancas nao contˆem nenhum ponto de X distinto do proprio ponto x com x 1 e x 1 respectivamente Teorema 121 Um numero x R e um ponto de acumulacao de um subconjunto X de R se e somente se existe uma sequˆencia xn em X tal que lim xn x e xn x para todo n N Prova Se x e um ponto de acumulacao de X entao para qualquer n N a 1nvizinhanca V1nx contem ao menos um ponto xn em X distinto de x Entao xn X xn x e xn x 1n o que implica lim xn x Reciprocamente se existe uma sequˆencia xn em X x com lim xn x entao para qualquer δ 0 existe N0 N tal que se n N0 entao xn Vδx Portanto a δvizinhanca de x contem os pontos xn para n N0 que pertencem a X e sao distintos de x A seguir alguns exemplos onde enfatizamos o fato de um ponto de acumulacao de um conjunto poder ou nao pertencer a esse conjunto Exemplos 121 a Se X 0 1 intervalo aberto de extremos 0 e 1 entao todos os pontos do intervalo fechado 0 1 sao pontos de acumulacao de X Note que 0 e 1 sao pontos de acumulacao de X embora nao pertencam a X Aqui todos os pontos de X sao pontos de acumulacao de X b Para qualquer conjunto finito em R o conjunto de seus pontos de acu mulacao e vazio por quˆe CEDERJ 162 Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 12 c O conjunto infinito N nao tem pontos de acumulacao por quˆe d O conjunto X 1n n N tem um unico ponto de acumulacao que e o 0 por quˆe Nenhum dos pontos em X e ponto de acumulacao de X e Se X 0 1 Q entao todo ponto do intervalo 0 1 e ponto de acumulacao de X por causa da densidade de Q em R Limites de Funcoes Vamos agora dar a definicao rigorosa de limite de uma funcao f num ponto x E importante observar que nessa definicao e irrevelante se f esta ou nao definida em x Definicao 122 Seja X R e x um ponto de acumulacao de X Para uma funcao f X R um numero real L e um limite de f em x se dado qualquer ε 0 existe um δ 0 tal que se x X e 0 x x δ entao fx L ε Observe que o δ depende em geral de ε e algumas vezes para enfatizar isso escrevemos δε ou δ δε Observe tambem que a desigualdade 0 x x equivale a dizer que x e diferente de x Se L e um limite de f em x entao tambem dizemos que f converge a L em x ou que f tende a L quando x tende a x E comum usarse o simbolismo fx L quando x x Se o limite de f em x nao existe dizemos que f diverge em x Como primeiro uso da Definicao 122 vamos provar que o limite quando existe e unico Assim podemos dizer que L e o limite de f em x em vez de dizer que L e um limite de f em x Teorema 122 Se f X R e se x e um ponto de acumulacao de X entao f pode ter no maximo um limite em x Prova Suponhamos por contradicao que os numeros L e L satisfacam a Definicao 122 e que L L Tomemos ε L L2 0 Pela definicao existe δε 0 tal que se x X e x x δε entao fx L ε Da 163 CEDERJ ANALISE REAL Limites de Funcoes mesma forma existe δε tal que se x x δε entao fx L ε Assim fazendo δ minδε δε temos que se x x δ entao L L L fx L fx ε ε L L 2 L L 2 L L o que e absurdo Tal contradicao foi originada com a nossa hipotese de que L L Logo o limite quando existe e unico A definicao de limite ganha uma forma bem interessante em termos de vizinhancas como representado pictoricamente na Figura 121 x L y x fx dada VεL existe Vδx y fx Figura 121 O limite de f em x e L Observe que aqui L fx Notemos que a desigualdade 0 x x δ e equivalente a dizer que x x e x pertence a δvizinhanca Vδx de x Similarmente a desigualdade fx L ε e equivalente a dizer que fx pertence a εvizinhanca VεL de L Desse modo segue imediatamente o seguinte resultado cujos detalhes da prova deixamos para vocˆe como exercıcio Teorema 123 Seja f X R e seja x um ponto de acumulacao de X As seguintes afirmacoes sao equivalentes CEDERJ 164 Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 12 i lim xx fx L ii Dada qualquer εvizinhanca VεL de L existe uma δvizinhanca Vδx de x tal que se x x e qualquer ponto de VδxX entao fx pertence a VεL Observe que pela Definicao 122 o limite de uma funcao f num ponto x depende apenas de como f e definida numa vizinhanca qualquer de x Isso significa em particular que se f e g sao duas funcoes quaisquer cujos domınios contˆem uma vizinhanca Vrx para algum r 0 e sao tais que fVrx gVrx entao lim xx fx L se e somente se lim xx gx L Deixamos a vocˆe como exercıcio a simples verificacao desse fato A seguir damos alguns exemplos que ilustram como a definicao de limite e aplicada Exemplos 122 a Se f R R e a funcao constante fx c para todo x R com c R entao lim xx fx c De fato dado qualquer ε 0 tomamos qualquer δ 0 digamos δ 1 Entao se 0 x x 1 temos fx c c c 0 ε Como ε 0 e arbitrario concluımos da Definicao 122 que lim xx fx c b lim xx x x Aqui f e a funcao dada por fx x que podemos supor definida em todo R Seja dado ε 0 qualquer Tomemos δ ε Entao se 0 x x δ ε temos fx x x x ε Logo como ε 0 e arbritrario segue que lim xx fx x c lim xx x2 x2 Nesse caso temos fx x2 e podemos supor f definida em R Dado ε 0 qualquer devemos exibir δ 0 tal que se x x δ entao x2 x2 ε Agora x2 x2 x xx x x xx x Se x x 1 entao x x 1 e teremos x2 x2 2x 1x x ε se x x ε 2x 1 Assim se fizermos δ min1 ε2x 1 entao x x δ implica x2 x2 ε Como ε 0 e arbitrario obtemos lim xx x2 x2 165 CEDERJ Limites de Funções Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 12 O Criterio Sequencial para Limites A seguir estabelecemos uma importante formulacao para o limite de uma funcao em termos de limites de sequˆencias Com base nessa caracteri zacao sera possıvel aplicarmos a teoria vista nas Aulas 69 sobre limites de sequˆencias para estudar limites de funcoes Teorema 124 Criterio Sequencial Seja f X R e seja x um ponto de acumulacao de X Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes i lim xx f L ii Para toda sequˆencia xn em X que converge a x tal que xn x para todo n N a sequˆencia fxn converge a L Prova iii Suponhamos que f tem limite L em x e que xn e uma sequˆencia em X com lim xn x tal que xn x para todo n N Vamos mostrar que lim fxn L Seja ε 0 dado Pela Definicao 122 existe δ 0 tal que se x X satisfaz 0 x x δ entao fx satisfaz fx L ε Agora aplicamos a Definicao 62 de sequˆencia convergente com o δ dado fazendo o papel de ε naquela definicao Assim obtemos um numero natural N0 tal que se n N0 entao xn x δ Mas entao para um tal xn temos fxn L ε Portanto se n N0 entao fxn L ε o que prova que a sequˆencia fxn converge a L iii Equivalentemente vamos provar a contrapositiva iii Se i nao e verdade entao existe um ε0 0 tal que qualquer que seja δ 0 sempre existira ao menos um numero xδ X satisfazendo 0 xδ x δ e fxδ L ε0 Portanto para todo n N podemos tomar δ 1n e obter xn X satisfazendo 0 xn x 1 n tal que fxn L ε0 para todo n N Concluımos entao que a sequˆencia xn em X x converge para x porem a sequˆencia fxn nao converge para L Assim mostramos que se i nao e verdade entao ii tambem nao e verdade o que equivale a provar que ii implica i 167 CEDERJ d lim 1 x x 1 x se x 0 Podemos tomar f R 0 R definida por fx 1 x Para provar que lim 1 x x devemos mostrar que 1 x x é menor que um ε 0 arbitrariamente dado se x x é suficientemente pequeno De antemão podemos supor x x x 2 o que implica x x 2 por quê Assim 1 x 1 x 1 xxx x 2 x2 x x Portanto fazendo δ min x 2 x2 3ε temos que se x x δ então 1 x 1 x ε Como ε 0 é arbitrário isso prova que lim 1 x x 1 x ANALISE REAL Limites de Funcoes O resultado anterior pode ser usado para se obter limites de funcoes usandose as propriedades conhecidas sobre limites de sequˆencias Assim do fato de que se xn x entao x2 n x2 concluımos facilmente que lim xx x2 x2 como mostramos no Exemplo 122 c usando a Definicao 122 Da mesma forma se xn 0 para todo n N e x 0 entao xn x implica 1xn 1x donde concluımos pelo resultado anterior que lim xx 1 x 1 x confirmando o que foi provado no Exemplo 122 d usando a Definicao 122 Na proxima aula veremos que diversas propriedades basicas do limite de funcoes podem ser facilmente estabelecidas usandose as propriedades cor respondentes do limite de sequˆencias Com o uso do Teorema 124 e possıvel tambem estabelecer facilmente criterios de divergˆencia isto e formas simples de verificar ou que um numero dado L nao e o limite de uma dada funcao num certo ponto ou que a funcao dada nao possui um limite no ponto em questao Deixamos a vocˆe como im portante exercıcio os detalhes da prova dos seguintes criterios de divergˆencia Teorema 125 Criterios de Divergˆencia Sejam X R f X R e x R um ponto de acumulacao de X a Se L R entao f nao converge a L quando x tende a x se existe uma sequˆencia xn em X com xn x para todo n N tal que xn converge a x mas a sequˆencia fxn nao converge a L b A funcao f nao possui um limite em x se existe uma sequˆencia xn em X com xn x tal que xn converge a x mas a sequˆencia fxn nao converge em R A seguir damos algumas aplicacoes desse resultado que mostram como ele pode ser usado Exemplos 123 a Nao existe lim x0 1 x De fato a sequˆencia xn definida por xn 1n para todo n N satisfaz xn 0 para todo n N e lim xn 0 Agora se fx 1x para x X R 0 entao fxn n Como a sequˆencia fxn n nao converge em R concluımos pelo Teorema 125 que fx 1x nao possui limite em x 0 CEDERJ 168 e lim x0 x³ 8 x² 3x 2 4 Fazendo fx x³ 8 x² 3x 2 vemos que f está definida para todo x R com exceção de x 1 e x 2 já que esses valores são as raízes da equação x² 3x 2 0 Logo podemos tomar esta função f definida em X R 1 2 ou X 1 1 por exemplo o valor do limite em x 0 não será afetado pela escolha que fizermos Observe que x³ 8 x 2x² 2x 4 e x² 3x 2 x 2x 1 Portanto se x 1 2 então temos fx x 2x² 2x 4 x 2x 1 x² 2x 4 x 1 Assim temos fx 4 x² 2x 4 x 1 4 x² 6x x 1 Se x 12 então x 1 12 e x 6 132 por quê Logo fx 4 132 12 13x Portanto dado ε 0 qualquer fazendo δ min12 ε13 temos que se x δ então fx 4 ε o que prova a afirmação já que ε 0 é arbitrário Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 12 b Nao existe lim x0 sgnx onde sgn R R e a funcao definida por veja Figura 122 sgnx 1 se x 0 0 se x 0 1 se x 0 O sımbolo sgn e uma abreviatura para a palavra latina signum que quer dizer sinal e por isso lˆese a expressao sgnx como sinal de x fx sgnx x2k x2k1 1 1 10 5 0 5 10 0 05 05 Figura 122 A funcao sinal De fato seja xn a sequˆencia definida por xn 1nn para n N de modo que lim xn 0 e xn 0 para todo n N Como sgnxn 1n para n N segue que sgnxn nao converge Portanto do Teorema 125 segue que nao existe lim x0 sgnx c Nao existe lim x0 sen1x veja Figura 123 Aqui usaremos algumas propriedades bem conhecidas da funcao sen u A definicao analıtica rigorosa das funcoes trigonometricas e exponencial bem como o estudo de suas principais propriedades serao feitos em aula futura quando tivermos de posse dos instrumentos teoricos necessarios 169 CEDERJ ANALISE REAL Limites de Funcoes No entanto a fim de dispor de aplicacoes interessantes algumas vezes vamos fazer uso dessas funcoes e de suas principais propriedades apenas como exemplos o que nao afeta em nada o desenvolvimento logico da teoria Provemos agora a afirmacao De fato seja xn a sequˆencia definida por xn 1 nπ se n N e ımpar 1 1 2 πnπ se n N e par Seja fx sen1x para x X R 0 Temos que lim xn 0 e xn 0 para todo n N Por outro lado fx2k1 sen2k 1π 0 para todo k N ao passo que fx2k sen 1 2π 2kπ 1 para todo k N Assim fxn e a sequˆencia 0 1 0 1 a qual sabemos que nao converge Logo pelo Teorema 125 nao existe lim x0 sen1x oscilante terrivelmente 1 02 0 02 04 06 08 1 1 05 0 05 1 06 08 04 sen1x Figura 123 A funcao fx sen1x Exercıcios 121 1 Determine um δ 0 tal que se 0 x x δ entao fx L ε para x f L e ε dados como segue a x 1 fx x2 L 1 ε 12 CEDERJ 170 Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 12 b x 1 fx x2 L 1 ε 1n para um n N dado c x 2 fx 1x L 12 ε 12 d x 2 fx 1x L 12 ε 1n para um n N dado e x 4 fx x L 2 ε 12 f x 4 fx x L 2 ε 1100 2 Seja x um ponto de acumulacao de X R e f X R Prove que lim xx fx L se e somente se lim xx fx L 0 3 Seja f R R e x R Mostre que lim xx fx L se e somente se lim x0 fx x L 4 Mostre que lim xx x3 x3 para qualquer x R 5 Mostre que lim xx x x para qualquer x 0 6 Mostre que lim x0 x1p 0 x 0 7 Sejam I um intervalo em R f I R e x I Suponha que existem K 0 e L R tais que fxL Kx x para todo x I Mostre que lim xx fx L 8 Use a definicao ε δ ou o criterio sequencial para estabelecer os seguintes limites a lim x2 1 1 x 1 b lim x1 x 1 x 1 2 c lim x1 x2 1 x3 1 2 3 d lim x2 x 2 x2 3x 2 1 9 Mostre que os seguintes limites nao existem a lim x0 1 x2 x 0 b lim x0 1 x x 0 c lim x0x sgnx d lim x0 sen1x2 171 CEDERJ Teoremas de Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 13 Aula 13 Teoremas de Limites de Funcoes Metas da aula Estabelecer as propriedades fundamentais dos limites de funcoes face as operacoes de soma subtracao produto e quociente de funcoes bem como em relacao as desigualdades envolvendo funcoes Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber as propriedades dos limites de funcoes no que diz respeito as operacoes de soma subtracao produto e quociente de funcoes assim como em relacao as desigualdades envolvendo funcoes e suas aplicacoes no estabelecimento de limites de funcoes Introducao Nesta aula vamos estabelecer as principais propriedades dos limites de funcoes relativas as operacoes e as desigualdades envolvendo funcoes Os resultados aqui obtidos serao extremamente uteis no calculo de limites de funcoes Esses resultados sao analogos aos teoremas de limites de sequˆencias vistos na Aula 7 De fato na maioria dos casos eles podem ser provados usandose o Criterio Sequencial Teorema 124 juntamente com os resulta dos da Aula 7 Claramente eles tambem podem ser provados por meio de argumentos do tipo ε δ que sao muito semelhantes aos utilizados na Aula 7 Operacoes com Limites de Funcoes Inicialmente vamos estabelecer um resultado sobre a limitacao de funcoes na vizinhanca de pontos nos quais elas possuam limites Antes porem vamos introduzir a seguinte definicao Definicao 131 Sejam X R f X R e x um ponto de acumulacao de X Dizemos que f e limitada numa vizinhanca de x se existe uma δvizinhanca Vδx de x e uma constante M 0 tal que fx M para todo x X Vδx Teorema 131 Se X R x e ponto de acumulacao de X e f X R possui um limite em x R entao f e limitada em alguma vizinhanca de x 173 CEDERJ Prova Seja L limx o x f Tomando ε 1 existe δ 0 tal que 0 x x δ então fx L 1 e portanto fx fx L L fx L L L 1 Logo se x X Vδx e x x então fx L 1 Façamos M L 1 caso x X ou então M maxfx L 1 caso x X Segue que se x X Vδx então fx M o que mostra que f é limitada numa vizinhança de x Dadas duas funções f g X R R definimos sua soma f g diferença f g e produto fg de modo natural pondo f gx fx gx f gx fx gx fgx fxgx respectivamente para todo x X Se gx 0 para todo x X definimos o quociente fg também de modo natural pondo f gx fx gx para todo x X Finalmente se c R definimos a função cf de maneira óbvia pondo cfx cfx para todo x X A seguir estabelecemos o principal resultado sobre operações com limites de funções Teorema 132 Seja X R sejam f g X R c R e x R um ponto de acumulação de X Suponhamos que existam Lf limx o x f e Lg limx o x g Então existem Lfg limx o xf g Lfg limx o xf g Lfg limx o xfg Lf Lg Lcf limx o xcf e valem as seguintes igualdades Lfg Lf Lg Lfg Lf Lg Lfg Lf Lg Lcf cLf Além disso se Lg 0 e gx 0 para todo x X então existe Lfg limx o xf g e vale Lf g fracLfLg Prova A prova desse teorema pode ser feita com argumentos do tipo ε δ iterativamente análogos àqueles usados na prova do Teorema 72 De modo alternativo podemos usar o Teorema 72 e o Teorema 124 Critério Sequencial De fato seja xn uma sequência qualquer em X com xn x para todo n N e tal que xn x Segue do Teorema 124 que lim fxn Lf lim gxn Lg Assim pelo Teorema 72 temos que limf gxn limfxn gxn Lf Lg limf gxn limfxn gxn Lf Lg limfgxn limfxngxn Lf Lg limcfxn limcfxn cLf Do mesmo modo se Lg 0 e gx 0 para todo x X temos pelo Teorema 72 que leftfracfgrightxn fracfxngxn fracLfLg o que concluí a demonstração Observação 131 i Observemos que a hipótese Lg 0 é essencial para que valha a regra para o limite do quociente fg no Teorema 132 Se essa hipótese não é satisfeita o limite pode existir ou não Porém mesmo no caso em que ele existe não podemos usar o Teorema 132 para calculálo ii Seja X R sejam f1 f2 fn X R e x R um ponto de acumulação de X Se Lk limx o x fk para k 1 2 n então segue do Teorema 132 por Indução Matemática que limx o xf1 f2 fn L1 L2 Ln e limx o xf1f2 fn L1L2 Ln Em particular deduzimos que se L limx o x f N então limx o xfxn Ln Teoremas de Limites de Funcoes M ODULO 1 AULA 13 Portanto limxx px px para qualquer funcao polinomial p f Se p e q sao funcoes polinomiais em R e se qx 0 entao lim xx px qx px qx Como q e uma funcao polinomial segue de um teorema bastante con hecido em Algebra que existem no maximo um numero finito de valores α1 αm tais que qαj 0 e tais que qx 0 se x α1 αm Portanto se x α1 αm podemos definir rx px qx Pelo item e temos que lim xx qx qx 0 Logo podemos aplicar o Teorema 132 para concluir que lim xx px qx lim xx px lim xx qx px qx como afirmado Desigualdades e Limites de Funcoes O proximo resultado e o analogo do Teorema 75 Teorema 133 Sejam X R f X R e x R um ponto de acumulacao de X Se a fx b para todo x X x x e se lim xx f existe entao a lim xx f b Prova De fato se L lim xx f entao segue do Teorema 124 que se xn e qualquer sequˆencia em R tal que xn x para todo n N e se xn x entao a sequˆencia fxn converge a L Como a fxn b para todo n N segue do Teorema 75 que a L b A seguir estabelecemos o analogo do Teorema do Sanduıche 76 A prova e uma aplicacao imediata do Teorema 124 combinado com o Teo rema 76 Deixamos os detalhes da prova para vocˆe como exercıcio 177 CEDERJ ANALISE REAL Teoremas de Limites de Funcoes Teorema 134 Sejam X R f g h X R e x R um ponto de acumulacao de X Se fx gx hx para todo x X x x e se lim xx f lim xx h L entao lim xx g L O proximo resultado e as vezes chamado de Princıpio da Preservacao do Sinal pois ele afirma que se o limite de uma funcao num certo ponto e positivo negativo entao a funcao e positiva negativa em toda uma vizinhanca do ponto com excecao possivelmente do seu valor no proprio ponto Teorema 135 Sejam X R f X R e x R um ponto de acumulacao de X Se lim xx f 0 respectivamente lim xx f 0 entao existe uma vizinhanca Vδx de x tal que fx 0 respectivamente fx 0 para todo x X Vδx x x Prova Seja L lim xx f e suponhamos que L 0 Tomemos ε 1 2L na Definicao 122 para obter δ 0 tal que se 0 x x δ e x X entao fx L 1 2L Segue daı que fx 1 2L 0 por quˆe se x X Vδx e x x Argumento inteiramente semelhante se aplica no caso em que L 0 Exemplos 132 a lim x0 x54 x32 x12 1 0 x 0 Se 0 x 1 entao 1 x32 x12 1 3 e x2 x54 x por quˆe Portanto temos 1 3x2 x54 x32 x12 1 x Como lim x0 x2 lim x0 x 0 a afirmacao segue do Teorema 134 b lim x0x sen1x 0 Seja fx x sen1x para x 0 Como 1 sen u 1 para todo u R temos a desigualdade fx x ou seja x fx x sen1x x para todo x R x 0 Como lim x0 x 0 segue do Teorema 134 que lim x0 fx 0 Veja o grafico de f na Figura 131 CEDERJ 178 Teoremas de Limites de Funções ANÁLISE REAL Funcoes Contınuas M ODULO 1 AULA 14 Aula 14 Funcoes Contınuas Metas da aula Introduzir o fundamental conceito de funcao contınua Apresentar os criterios basicos para o estabelecimento da continuidade e da descontinuidade de funcoes Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado do conceito de funcao contınua e seu uso na veri ficacao da continuidade de funcoes Conhecer os criterios basicos de continuidade e descontinuidade e suas aplicacoes para a verificacao dessas propriedades Introducao Nesta aula vamos definir o que significa uma funcao ser contınua num ponto ou sobre um conjunto Essa nocao e um dos conceitos centrais da analise matematica e sera usada em quase todo o material seguinte deste curso Sera portanto decisivo que vocˆe domine esse conceito Funcoes Contınuas Comecemos com a definicao de continuidade de uma funcao num ponto de seu domınio Definicao 141 Sejam X R f X R e x X Dizemos que f e contınua em x se dado qualquer ε 0 existe δ 0 tal que se x X satisfaz x x δ entao fx fx ε Se f nao e contınua em x dizemos que f e descontınua em x Como no caso da definicao de limite a definicao de continuidade num ponto tambem pode ser formulada de modo muito interessante em termos de vizinhancas Isso e feito no proximo resultado cuja verificacao bastante simples deixamos como um importante exercıcio para vocˆe Veja Figura 141 Teorema 141 Uma funcao f X R e contınua num ponto x X se e somente se dada qualquer εvizinhanca Vεfx de fx existe uma δvizinhanca Vδx 181 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Contınuas dada Vεfx existe Vδx x fx Figura 141 A funcao f e contınua em x de x tal que se x e um ponto qualquer em X Vδx entao fx pertence a Vεfx isto e fX Vδx Vεfx Observacao 141 i Se x X e um ponto de acumulacao de X entao uma comparacao da Definicao 122 com a Definicao 141 mostra que f e contınua se e somente se lim xx fx fx 141 Logo se x e um ponto de acumulacao de X entao trˆes condicoes devem valer para f ser contınua em x i1 f deve estar definida em x de modo que fx faca sentido i2 o limite de f em x deve existir de modo que lim xx fx faca sentido e i3 a equacao 141 deve ser valida ii Se x X nao e um ponto de acumulacao de X entao existe uma vinhanca Vδx de x tal que X Vδx x Assim concluımos que a funcao f e automaticamente contınua num ponto x X que nao e ponto de acumulacao de X Tais pontos sao frequentemente CEDERJ 182 Funcoes Contınuas M ODULO 1 AULA 14 chamados pontos isolados Eles sao de pouco interesse para nos ja que nao tˆem relacao com qualquer processo limite Como a continuidade e automatica para tais pontos em geral verificamos a continuidade apenas em pontos de acumulacao Por isso encaramos a condicao 141 como sendo caracterıstica para a continuidade em x Uma leve adaptacao na prova do Teorema 124 para limites nos leva a seguinte versao sequencial para a continuidade num ponto Teorema 142 Criterio Sequencial para Continuidade Uma funcao f X R e contınua num ponto x X se e somente se para toda sequˆencia xn em X que converge a x a sequˆencia fxn converge para fx O seguinte Criterio de Descontinuidade e uma consequˆencia imediata do teorema anterior Vocˆe deve prover sua demonstracao detalhada Teorema 143 Criterio de Descontinuidade Sejam X R f X R e x X Entao f e descontınua em x se e somente se existe uma sequˆencia xn em X tal que xn converge para x mas a sequˆencia fxn nao converge para fx A seguinte definicao estende de forma natural a nocao de continuidade num ponto para a de continuidade num subconjunto qualquer de R Definicao 142 Seja X R e seja f X R Se Y e um subconjunto de X dizemos que f e contınua no conjunto Y se f e contınua em todo ponto de Y Exemplos 141 a Dado c R a funcao constante fx c e contınua em R Vimos no Exemplo 122 a que se x R entao lim xx fx c Como fx c temos que lim xx fx fx e portanto f e contınua em todo x R Logo f e contınua em R b A funcao fx x e contınua em R Vimos no Exemplo 122 b que se x R entao lim xx f x Como fx x segue que f e contınua para todo x R Logo f e contınua em R c A funcao fx x2 e contınua em R 183 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Contınuas Vimos no Exemplo 122 c que se x R entao lim xx f x2 Como fx x2 segue que f e contınua em todo ponto x R Logo f e contınua em R d A funcao fx 1x e contınua em X x R x 0 Vimos no Exemplo 122 d que se x X entao lim xx f 1x Como fx 1x temos que f e contınua em todo ponto x X Logo f e contınua em X e Dado qualquer c R a funcao f X 0 R definida por fx c se x 0 1x se x 0 e descontınua em x 0 De fato a sequˆencia 1n converge para 0 mas f1n n nao con verge em R Pelo Teorema 143 concluımos que f e descontınua em x 0 f A funcao fx sgnx e descontınua em x 0 Veja Figura 122 Vimos no Exemplo 123 b que se xn 1nn entao xn 0 mas a sequˆencia fxn nao converge Entao pelo Teorema 143 concluımos que f e descontınua em x 0 Sera um bom exercıcio para vocˆe mostrar que sgnx e contınua em todo ponto x 0 g Seja X R e seja f a funcao descontınua de Dirichlet definida por fx 1 se x e racional 0 se x e irracional Afirmamos que f e descontınua em todo ponto x R Essa funcao foi introduzida por P G L Dirichlet 18051859 um grande matematico do seculo XIX De fato seja x um numero racional Pelo Teorema da Densidade 45 existe um numero irracional ξn satisfazendo x ξn x1n para todo n N Assim a sequˆencia ξn converge a x e ξn R Q para todo n N Como fξn 0 para todo n N temos que lim fξn 0 enquanto fx 1 Portanto f nao e contınua em x se x e um numero racional CEDERJ 184 Funcoes Contınuas M ODULO 1 AULA 14 Por outro lado se x e um numero irracional pelo Teorema da Den sidade 45 similarmente podemos obter uma sequˆencia rn tal que rn Q para todo n N e rn x Como frn 1 para todo n N temos lim frn 1 enquanto fx 0 Portanto f nao e contınua em x se x e um numero irracional Como todo numero real ou e racional ou e irracional concluımos que f e descontınua em todo ponto em R h Seja X x R x 0 Para todo numero irracional x 0 definimos fx 0 Dado um numero racional em X podemos es crevˆelo na forma pq com p q N primos entre si ie sem divi sores comuns exceto 1 e entao definimos fpq 1q Afirmamos que f e contınua em todo numero irracional em X e descontınua em todo numero racional em X Essa funcao foi introduzida em 1875 por K J Thomae De fato se x 0 e racional tomemos uma sequˆencia xn de numeros irracionais em X que converge para x Entao lim fxn 0 mas fx 0 Logo f e descontınua em x Por outro lado se x e um numero irracional e ε 0 entao pela Pro priedade Arquimediana existe um numero natural N0 tal que 1N0 ε Note tambem que existe apenas um numero finito de racionais com denominador menor que N0 no intervalo x1 x1 ja que para cada q 1 N0 1 existem no maximo 2q racionais com denominador igual a q nesse intervalo por quˆe Portanto podemos escolher δ 0 pequeno o bastante de modo que a vizinhanca xδ xδ nao contenha nenhum racional com denominador menor que N0 Segue entao que para x x δ com x X temos fxfx fx 1N0 ε Portanto f e contınua no numero irracional x Consequentemente deduzimos que a funcao de Thomae f e contınua exatamente nos pontos irracionais de X i Sejam f X R e x um ponto de acumulacao de X tal que x X Se f tem um limite L no ponto x e se definimos f X x R por f L para x x fx para x X entao f e contınua em x 185 CEDERJ ANÁLISE REAL Funcoes Contınuas M ODULO 1 AULA 14 5 Seja fx x2 2x 3x 3 para x 3 E possıvel definir f em x 3 de modo que f seja contınua nesse ponto 6 Seja f R R contınua em x e fx 0 Mostre que existe uma vizinhanca Vδx de x tal que se x Vδx entao fx 0 7 Seja f R R contınua em R e seja Z x R fx 0 o conjunto zero de f Se xn e uma sequˆencia tal que xn Z para todo n N e x lim xn mostre que x Z 8 Sejam X Y R f Y R e g X R a restricao de f a X ie g fX a Se f e contınua em x X mostre que g e contınua em x b Dˆe um exemplo em que a restricao g e contınua num ponto x mas sua extensao f nao e contınua em x 9 Seja K 0 e suponhamos que f R R satisfaz fx fy Kx y para todo x y R Mostre que f e contınua em todo ponto x R 10 Suponhamos que f R R e contınua em R e que fr 0 para todo r Q Prove que fx 0 para todo x R 11 Sejam f g R R funcoes contınuas em R e seja h R R definida por hx fx para x Q e hx gx para x R Q Prove que h e contınua em x se e somente se fx gx 187 CEDERJ Combinacoes de Funcoes Contınuas M ODULO 1 AULA 15 Aula 15 Combinacoes de Funcoes Contınuas Metas da aula Estabelecer os principais fatos sobre operacoes com funcoes contınuas bem como sobre composicao dessas funcoes Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Conhecer os resultados sobre operacoes com funcoes contınuas e sobre composicao dessas funcoes bem como suas aplicacoes no estabeleci mento da continuidade de funcoes Introducao Nesta aula vamos estabelecer os principais resultados sobre operacoes com funcoes contınuas assim como sobre a composicao dessas funcoes Operacoes com Funcoes Contınuas Seja X R sejam f e g funcoes de X em R e seja c R Vamos iniciar esta aula estabelecendo a preservacao da continuidade pelas operacoes de soma f g diferenca f g produto fg multiplicacao por constante cf e quando gx 0 para todo x X do quociente fg Subsequentemente vamos analisar a questao sobre a continuidade da composicao de funcoes contınuas Teorema 151 Sejam X R f g X R c R Suponhamos que f e g sao contınuas em x X i Entao f g f g fg e cf sao contınuas em x ii Se gx 0 para todo x X entao o quociente fg e contınua em x Prova Se x nao e um ponto de acumulacao de X entao a conclusao e automatica Portanto vamos assumir que x e um ponto de acumulacao de X i Como f e g sao contınuas em x entao lim xx fx fx lim xx gx gx 189 CEDERJ Combinacoes de Funcoes Contınuas M ODULO 1 AULA 15 Portanto se x R entao temos sen x sen x 2 1 2x x 1 x x Isto nos da uma outra maneira de mostrar a continuidade de sen x para todo x R Da mesma forma cos x cos x 2 1 1 2x x x x o que tambem nos da uma outra prova da continuidade de cos x para todo x R x cos x sen x raio 1 Figura 151 A interpretacao geometrica de sen x e cos x Composicao de Funcoes Contınuas Vamos agora mostrar que se f X R e contınua num ponto x e se g Y R e contınua em y fx entao a composta g f e contınua em x Para que tenhamos g f definida em todo X e preciso tambem que fX Y Teorema 153 Sejam X Y R e sejam f X R e g Y R funcoes tais que fX Y Se f e contınua num ponto x X e g e contınua em y fx Y entao a funcao composta g f X R e contınua em x 193 CEDERJ ANALISE REAL Combinacoes de Funcoes Contınuas Prova Seja W uma εvizinhanca de gy Como g e contınua em y existe uma δvizinhanca V de y fx tal que se y V Y entao gy W Como f e contınua em x existe uma δvizinhanca U de x tal que se x UX entao fx V Veja Figura 152 Como fX Y segue que se x U X entao fx V Y de modo que g fx gfx W Mas como W e uma εvizinhanca de gy arbitraria isso implica que g f e contınua em x W U x y fx f V gy g Figura 152 A composicao de f e g O teorema seguinte e uma consequˆencia imediata do Teorema 153 Porem vamos enuncialo devido a sua importˆancia Teorema 154 Sejam X Y R f X R contınua em X e g Y R contınua em Y Se fX Y entao a funcao composta g f X R e contınua em X Os Teoremas 153 e 154 sao muito uteis para estabelecer a continuidade de certas funcoes Eles podem ser usados em diversas situacoes em que seria difıcil aplicar a definicao de continuidade diretamente Exemplos 152 a Seja gx x para x R Segue da desigualdade triangular que gx gx x x CEDERJ 194 ANALISE REAL Combinacoes de Funcoes Contınuas 7 Seja h R R contınua em R satisfazendo hm2n 0 para todo m Z n N Mostre que hx 0 para todo x R 8 Se f e g sao contınuas em R seja S x R fx gx Se sn S e lim sn s mostre que s S 9 Seja g R R satisfazendo a relacao gx y gxgy para todo x y R Mostre que se g e contınua em x 0 entao g e contınua em todo ponto de R Alem disso se tivermos gx0 0 para algum x0 R entao gx 0 para todo x R 10 Sejam f g R R contınuas num ponto x R e seja hx maxfx gx para x R Mostre que hx 1 2fx gx 1 2fx gx para todo x R Use esse fato para mostrar que h e contınua em x CEDERJ 196 Funcoes Contınuas em Intervalos M ODULO 1 AULA 16 Aula 16 Funcoes Contınuas em Intervalos Metas da aula Estabelecer o Teorema do MaximoMınimo para funcoes contınuas em intervalos fechados limitados Estabelecer o Teorema do Valor Intermediario para funcoes contınuas em intervalos Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado do Teorema do MaximoMınimo para funcoes contınuas em intervalos fechados limitados Saber o significado do Teorema do Valor Intermediario para funcoes contınuas em intervalos Introducao Nesta aula vamos apresentar os principais resultados sobre funcoes contınuas em intervalos Primeiramente vamos ver o Teorema do Maximo Mınimo para funcoes contınuas em intervalos fechados limitados Esse re sultado estabelece que funcoes contınuas em intervalos fechados limitados assumem os seus valores maximo e mınimo nesses intervalos Em seguida vamos ver o tambem muito importante Teorema do Valor Intermediario que estabelece que dada uma funcao contınua definida num intervalo e dois val ores dessa funcao assumidos em dois pontos desse intervalo entao qualquer valor entre esses dois valores e assumido num ponto do intervalo entre os dois pontos onde sao assumidos os valores dados O Teorema do MaximoMınimo Iniciaremos mostrando que a imagem por uma funcao contınua de um intevalo limitado e fechado e um conjunto limitado Definicao 161 Dizse que uma funcao f X R R e limitada em X se existe uma constante M 0 tal que fx M para todo x X Teorema 161 Seja I a b um intervalo fechado limitado e seja f I R contınua em I Entao f e limitada em I 197 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Contınuas em Intervalos Prova Suponhamos que f nao e limitada em I Entao para cada n N existe um xn I tal que fxn n Como I a b a sequˆencia x xn satisfaz a xn b para todo n N Portanto o Teorema de Bolzano Weierstrass 85 implica que existe uma subsequˆencia x xnk de x que converge a um numero x e pelo Teorema 75 temos a x b ou seja x I Entao f e contınua em x de modo que fxn converge a fx Do Teorema 71 segue que a subsequˆencia convergente fxnk tem que ser limitada Mas isso nos da uma contradicao ja que fxnk nk k para todo k N Portanto a hipotese de que a funcao contınua f nao e limitada no intervalo fechado limitado I nos leva a uma contradicao o que prova que f e limitada em I Definicao 162 Seja X R e seja f X R Dizemos que f tem um maximo absoluto em X se existe um ponto x X tal que fx fx para todo x X Dizemos que f tem um mınimo absoluto em X se existe um ponto x X tal que fx fx para todo x X Dizemos que x e um ponto de maximo absoluto para f em X e que x e um ponto de mınimo absoluto para f em X caso eles existam Teorema 162 Teorema do MaximoMınimo Seja I a b um intervalo fechado limitado e seja f I R contınua em I Entao f tem um maximo absoluto e um mınimo absoluto em I Prova Considere o conjunto naovazio fI fx x I de valores de f sobre I O Teorema 161 estabelece que fI e um subconjunto limitado de R Seja y sup fI e y inf fI Afirmamos que existem pontos x e x em I tais que y fx e y fx Vamos provar a existˆencia do ponto x sendo a prova da existˆencia de x inteiramente semelhante e deixada para vocˆe como exercıcio Como y sup fI dado n N o numero y 1n nao e uma cota superior de fI Sendo assim existe xn I tal que y 1 n fxn y para todo n N CEDERJ 198 Funcoes Contınuas em Intervalos M ODULO 1 AULA 16 Como I e limitado a sequˆencia x xn e limitada Portanto pelo Teorema de BolzanoWeierstrass 85 existe uma subsequˆencia x xnk de x que converge para um x R e pelo Teorema 75 temos x I Logo f e contınua em x de modo que lim fxnk fx Como y 1 k y 1 nk fxnk y para todo n N concluımos pelo Teorema do Sanduıche 76 que lim fxnk y Portanto temos que fx lim fxnk y sup fI e entao concluımos que x e um ponto de maximo absoluto de f em I A Figura 161 ilustra o fato estabelecido no Teorema 162 x sup fI fa fb inf fI a x b Figura 161 fI fx inf fI fx sup fI A seguir damos alguns exemplos mostrando que as hipoteses dos Teo remas 161 e 162 nao podem ser relaxadas Exemplos 161 a Nos Teoremas 161 e 162 a hipotese de que o intervalo e limitado nao pode ser relaxada 199 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Contınuas em Intervalos De fato a funcao fx x para x no intervalo fechado ilimitado I 0 e contınua mas nao e limitada Em particular ela nao possui um maximo absoluto em I b Nos Teoremas 161 e 162 a hipotese de que o intervalo e fechado nao pode ser dispensada De fato a funcao gx 1x para x no intervalo semiaberto I 0 1 e contınua mas nao e limitada Em particular essa funcao tambem nao possui um maximo absoluto no intervalo I em questao c Nos Teoremas 161 e 162 a hipotese de que a funcao e contınua nao pode ser descartada De fato a funcao f definida no intervalo fechado limitado I 0 1 por fx 1x para x 0 1 e f0 0 e descontınua em x 0 e e ilimitada em I De novo a funcao f assim definida nao possui um maximo absoluto no intervalo fechado limitado I d A funcao fx 1x nao possui nem um maximo absoluto nem um mınimo absoluto no intervalo I 0 Essa funcao e ilimitada superiormente em I e assim nao pode ter um maximo absoluto Por outro lado nao existe nenhum ponto em I onde f assuma o valor 0 inffx x I e Os pontos de maximo e de mınimo absolutos cuja existˆencia e garantida pelo Teorema 162 nao sao necessariamente unicos De fato um exemplo extremo e o de uma funcao constante fx c num intervalo fechado limitado I a b Nesse caso todo ponto de I e ao mesmo tempo um ponto de maximo absoluto e um ponto de mınimo absoluto para f Um outro exemplo menos drastico e fornecido pela funcao fx x2 em 1 1 onde x 1 e x 1 sao ambos pontos de maximo absoluto para f ao passo que x 0 e o unico ponto de mınimo absoluto para f O Teorema do Valor Intermediario O proximo resultado devido a Bolzano mostra uma propriedade fun damental das funcoes contınuas definidas em intervalos CEDERJ 200 Funcoes Contınuas em Intervalos M ODULO 1 AULA 16 Teorema 163 Teorema do Valor Intermediario Seja I um intervalo em R e f I R contınua em I Se a b I e se k R satisfaz fa k fb entao existe um ponto c I tal que fc k Prova Se a b a funcao gx fx k satisfaz ga 0 e gb 0 Se b a a funcao g k fx satisfaz gb 0 e ga 0 Em qualquer um dos dois casos se acharmos um ponto c pertencente ao intervalo aberto de extremos a e b tal que gc 0 entao teremos fc k como afirmado Assim sem perda de generalidade podemos supor que k 0 a b fa 0 e fb 0 O teorema ficara provado se mostrarmos que existe c satisfazendo a c b e fc 0 Com efeito seja X x a b fx 0 Entao X e nao vazio e limitado Logo existe c sup X Afirmamos que a c b e fc 0 De fato fa 0 e lim xa xa fx fa Assim pelo Teorema 135 temos que existe δ 0 tal que fx 0 para x a a δ Logo a nao e cota superior de X e portanto c a Por outro lado fb 0 lim xb xb fx fb e de novo o Teorema 135 implica que existe δ 0 tal que fx 0 para x b δ b Logo b nao e a menor cota superior de X e portanto c b Agora se fc 0 entao o Teorema 135 implica que para δ 0 suficientemente pequeno temos a c δ c c δ b e fx 0 se x c δ c δ contradizendo o fato de c ser cota superior de X Similarmente se fc 0 entao do Teorema 135 segue que para δ 0 suficientemente pequeno temos a c δ c c δ b e fx 0 se x c δ c δ contradizendo o fato de c ser a menor cota superior de X Portanto necessariamente devemos ter fc 0 o que conclui a prova O proximo teorema resume num so enunciado os resultados forneci dos pelo Teorema do MaximoMınimo 162 e pelo Teorema do Valor Inter mediario 163 Teorema 164 Seja I um intervalo fechado limitado e f I R uma funcao contınua em I Entao o conjunto fI fx x I e um intervalo fechado limitado Prova Se m inf fI e M sup fI entao sabemos pelo Teorema do MaximoMınimo 162 que existem x x I tais que m fx M fx Portanto m e M pertencem a fI Alem disso temos fI 201 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Contınuas em Intervalos m M Agora se k e qualquer elemento de m M entao o Teorema do Valor Intermediario 163 implica que existe c x x I tal que k fc Portanto k fI e concluımos entao que m M fI Logo fI e o intervalo fechado limitado m M O ultimo resultado que apresentaremos a seguir estabelece a propriedade das funcoes contınuas de levar intervalos em intervalos Vimos no resultado anterior que intervalos fechados limitados sao levados por funcoes contınuas em intervalos fechados limitados Em geral porem quando um intervalo nao e fechado e limitado sua imagem podera ser de um tipo diferente do dele Por exemplo a imagem do intervalo aberto 1 1 pela funcao contınua fx 11 x2 e o intervalo semiaberto 12 1 Ja o intervalo fechado 0 e levado por essa mesma funcao no intervalo semiaberto 0 1 Veja Figura 162 1 2 1 1 1 Figura 162 Grafico da funcao fx 11 x2 para x R Teorema 165 Seja I um intervalo e seja f I R contınua em I Entao o conjunto fI e um intervalo Prova Vimos no Teorema 510 que um conjunto X R e um intervalo se e somente se dados α β X com α β entao α β X Assim sejam α β fI com α β Pela definicao de fI existem a b I tais que α fa e β fb O Teorema do Valor Intermediario 163 implica que se CEDERJ 202 Funcoes Contınuas em Intervalos M ODULO 1 AULA 16 k α β entao existe c I tal que k fc fI Logo α β fI o que mostra que fI e um intervalo Exercıcios 161 1 Seja I a b e f I R uma funcao contınua tal que fx 0 para cada x I Prove que existe um numero k 0 tal que fx k para todo x I 2 Seja I a b e sejam f g I R funcoes contınuas em I Mostre que o conjunto E x I fx gx tem a propriedade de que se xn E e xn x entao x E 3 Sejam I a b e f I R tal que para cada x I existe y I satisfazendo fy 1 2fx Prove que existe um ponto c I tal que fc 0 4 Seja f R R contınua em R e β R Mostre que se x0 R e tal que fx0 β entao existe uma δvizinhanca U Vδx0 de x0 tal que fx β para todo x U 5 Considere o polinˆomio px a3x3a2x2a1xa0 com a0 a1 a2 a3 R e a3 0 Mostre que existe N0 N tal que se n N e n N0 entao pn 0 e pn 0 Use esse fato para mostrar que p possui ao menos uma raiz em R Generalize esse resultado para qualquer polinˆomio de grau ımpar 6 Mostre que o polinˆomio px x4 5x3 7 possui ao menos duas raızes reais 7 Seja f contınua no intervalo 0 1 e tal que f0 f1 Prove que existe um ponto c 0 1 tal que fc fc 1 2 Dica Considere gx fx fx 1 2 no intervalo 0 12 8 Metodo da Bisseccao para Localizar Raızes Sejam I a b e f I R contınua em I tal que fa 0 fb Vamos gerar por bisseccao uma sequˆencia de intervalos encaixados I1 I2 I3 com Ik ak bk e ak bk I a serem definidos Seja I1 a1 b1 onde a1 a b1 b e seja p1 o ponto medio p1 1 2a1 b1 Se fp1 0 teremos encontrado uma raiz de fx 0 e o processo termina Se fp1 0 entao ou fp1 0 ou fp1 0 Se fp1 0 entao pomos a2 a1 e b2 p1 enquanto se fp1 0 entao fazemos a2 p1 203 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Contınuas em Intervalos b2 b1 Em qualquer dos casos definimos I2 a2 b2 temos I2 I1 b2 a2 1 2b1 a1 e fa2 0 fb2 a Mostre por inducao como definir os intervalos In an bn para n 2 de modo que se fan1 0 fbn1 entao In In1 bn an 1 2bn1 an1 e fan 0 fbn e se fan1fbn1 0 entao In In1 b Caso nao exista n0 N tal que pn0 1 2an0bn0 satisfaz fpn0 0 entao prove que existe c I tal que lim an lim bn c e fc 0 c Defina as sequˆencias an e bn com an bn obtidos pelo metodo da bisseccao fazendo an bn pn0 para n n0 caso exista n0 N tal que fpn0 0 onde pn0 e definido como no item anterior Mostre que dado ε 0 existem an e bn tais que an c fan 0 e c an ε e bn c fbn 0 e bn c ε Conclua que o metodo da bisseccao fornece um modo de encontrar aproximacoes para uma raiz da equacao fx 0 com erro arbitrariamente pequeno d Verifique que valem resultados totalmente analogos no caso em que fa 0 fb 9 a A funcao fx x 1x 2x 3x 4x 5 tem cinco raızes no intervalo 0 7 Se o metodo da bisseccao for aplicado nesse intervalo que raiz sera localizada b A mesma questao para gx x 2x 3x 4x 5x 6 no intervalo 0 7 10 Mostre que se f 0 1 R e contınua e tem apenas valores racionais entao f e constante CEDERJ 204