Material Didático de Análise Real - Módulo 2

Módulo 2 Volume 2 Módulo 2 Hermano Frid Análise Real Apoio Material Didático F898a Frid Hermano Análise real v 2 Hermano Frid Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2010 182p 21 x 297 cm ISBN 9788576486800 1 Análise real 2 Funções 3 Limites 4 Regra de cadeia 5 Derivada I Título CDD 515 Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte de acordo com as normas da ABNT e AACR2 Copyright 2010 Fundação Cecierj Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Fundação 20102 ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Hermano Frid EDITOR Fábio Rapello Alencar COORDENAÇÃO GRÁFICA Ronaldo dAguiar Silva PRODUÇÃO GRÁFICA Verônica Paranhos Fundação Cecierj Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói 1364 Mangueira Rio de Janeiro RJ CEP 20943001 Tel 21 23341569 Fax 21 25680725 Presidente Masako Oya Masuda Vicepresidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF Regina Moreth UNIRIO Luiz Pedro San Gil Jutuca Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Governador Alexandre Cardoso Sérgio Cabral Filho UENF UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor Almy Junior Cordeiro de Carvalho UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Vieiralves UNIRIO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora Malvina Tania Tuttman UFRRJ UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Motta Miranda UFRJ UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Aloísio Teixeira UFF UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor Roberto de Souza Salles Prefacio O texto que ora introduzimos tem como proposito servir de Notas de Aula para o curso de Analise Real do CEDERJ O texto e dividido em aulas Sao 32 aulas cujos temas serao descritos mais adiante Cada aula contem uma serie de exercıcios propostos Algumas aulas contˆem ao final secoes entituladas Prossiga Essas secoes sao textos complementares e nao fazem parte do conteudo propriamente dito das aulas Elas servem para saciar a curiosidade de leitores mais empenhados com relacao a questoes surgidas no texto da aula ou a topicos relacionados com essas questoes As referˆencias basicas para a elaboracao destas Notas sao os livros 1 2 3 4 que compoem a bibliografia Claramente por tratarse de uma materia tao fundamental objeto de inumeras obras dentre as quais grandes classicos da literatura matematica diversas outras referˆencias alem dessas quatro explicitamente citadas terao influıdo talvez de modo menos direto Como o proposito do texto e somente o de servir de guia para um curso com programa bem definido nao houve de nossa parte nenhuma tentativa de originalidade Assim em grande parte nosso trabalho se resumiu a fazer selecao concatenacao e edicao de material extraıdo das referˆencias citadas a luz do programa a ser desenvolvido no curso A seguir damos a lista dos temas das aulas que compoem o curso Modulo 1 Aula 1 Preliminares Conjuntos e Funcoes Aula 2 Os Numeros Naturais e o Princıpio da Inducao Aula 3 Conjuntos Finitos Enumeraveis e NaoEnumeraveis Aula 4 Os Numeros Reais I Aula 5 Os Numeros Reais II Aula 6 Sequˆencias e Limites Aula 7 Operacoes e Desigualdades com Limites de Sequˆencias 1 Aula 8 Sequˆencias Monotonas e Subsequˆencias Aula 9 Criterio de Cauchy e Limites Infinitos Aula 10 Series Numericas Aula 11 Convergˆencia Absoluta e NaoAbsoluta de Series Aula 12 Limites de Funcoes Aula 13 Teoremas de Limites de Funcoes Aula 14 Funcoes Contınuas Aula 15 Combinacoes de Funcoes Contınuas Aula 16 Funcoes Contınuas em Intervalos Modulo 2 Aula 17 Continuidade Uniforme Aula 18 Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito Aula 19 Funcoes Monotonas e Funcao Inversa Aula 20 A Derivada Aula 21 A Regra da Cadeia Aula 22 O Teorema do Valor Medio Aula 23 O Teorema de Taylor Maximos e Mınimos Locais Funcoes Con vexas Aula 24 Integral de Riemann Aula 25 Funcoes Integraveis a Riemann Aula 26 O Teorema Fundamental do Calculo Aula 27 Sequˆencias de Funcoes Aula 28 Cˆambio de Limites Aula 29 Funcoes Exponenciais e Logaritmos Aula 30 Funcoes Trigonometricas Aula 31 Topologia na Reta Aula 32 Conjuntos Compactos CEDERJ 2 Bibliografia 1 Avila G Analise Matematica para Licenciatura 2a edicao Ed Edgar Blucher Sao Paulo 2005 2 Bartle RG Sherbert DR Introduction to Real Analysis Third Edi tion John Wiley Sons New York 2000 3 Lima EL Analise na Reta 8a edicao Colecao Matematica Univer sitaria Instituto de Matematica Pura e AplicadaIMPA 2006 4 Rudin W Principles of Analysis Third Edition McGrawHill Ko gakusha Ltd 1976 3 Seja X R e seja f X R Dizse que f é uma função Lipschitz ou que f satisfaz uma condição Lipschitz em X se existe uma constante C 0 tal que fx fx Cx x para todos x x X Quando X é um intervalo em R a condição 171 admite a seguinte interpretação geométrica Podemos escrever 171 como fx fx x x C x x I x x A expressão dentro do valor absoluto na desigualdade anterior é o valor da inclinação ou coeficiente angular de um segmento de reta ligando os pontos x fx e x fx do gráfico de f Assim a função f satisfaz uma condição Lipschitz se e somente se as inclinações de todos os segmentos de reta ligando dois pontos quaisquer do gráfico de f sobre I são limitados pelo número C Uma consequência imediata da definição de função Lipschitz é a seguinte proposição Continuidade Uniforme M ODULO 2 AULA 17 Aula 17 Continuidade Uniforme Metas da aula Discutir o conceito de funcao uniformemente contınua estabelecer o Teorema da Continuidade Uniforme e o Teorema da Extensao Contınua Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber a definicao de funcao uniformemente contınua bem como seu uso para demonstrar se uma funcao e ou nao uniformemente contınua Saber os enunciados do Teorema da Continuidade Uniforme e do Teo rema da Extensao Contınua bem como a aplicacao desses resultados em casos especıficos Introducao Nesta aula vamos apresentar o conceito de funcao uniformemente contınua sobre um conjunto dado Como veremos tratase de uma propriedade que determinadas funcoes apresentam que e mais forte que a propriedade de ser contınua sobre o mesmo conjunto Estabeleceremos tambem dois re sultados muito importantes relacionados com esse conceito o Teorema da Continuidade Uniforme e o Teorema da Extensao Contınua Funcoes Uniformemente Contınuas Iniciaremos apresentando a definicao de funcao uniformemente contınua que sera discutida subsequentemente Definicao 171 Dizse que uma funcao f X R R e uniformemente contınua em X se para cada ε 0 existe um δ δε 0 tal que se x e x X satisfazem x x δ entao fx fx ε Como podemos ver a definicao anterior se assemelha muito com a Definicao 141 de funcao contınua em x com x podendo variar em todo conjunto X O ponto crucial que distingue a Definicao 171 da Definicao 141 e que o numero δ 0 na Definicao 141 depende em geral nao apenas de ε 0 mas tambem de x X Ja na Definicao 171 o numero δ 0 deve depender somente de ε 0 Ou seja para que a funcao seja uniformemente contınua 1 CEDERJ ANALISE REAL Continuidade Uniforme em X dado qualquer ε 0 devemos ser capazes de encontrar um δ 0 tal que para todo x X se x Vδx entao fx Vεfx Exemplos 171 a Se fx 3x 1 entao fx fx 3x x Assim dado ε 0 se tomarmos δ ε3 entao para todos x x R x x δ implica fx fx ε Portanto fx 3x 1 e uniformemente contınua em R Da mesma forma verificamos que toda funcao afim isto e da forma fx ax b com a b R e uniformemente contınua em R De fato o caso a 0 e trivial ja que a funcao e constante e se a 0 como fx fx ax x dado ε 0 podemos tomar δ εa para termos que se x x R e x x δ entao fx fx ε b Consideremos a funcao fx 1x em X x R x 0 veja Figura 171 Como fx fx 1 xxx x dado x 0 e ε 0 vemos que se δ min 1 2x 1 2 x2ε entao x x δ implica 1 2 x x 3 2 x Logo se x x δ temos em particular 1xx 2x2 e portanto fx fx 2 x2x x 2 x2δ ε o que prova que f e contınua em x como ja era sabido Observe que o δ que definimos depende nao so ε mas tambem de x Poderıamos ter definido δ de varios outros modos capazes de nos fornecer a desigual dade desejada fx fx ε mas em qualquer uma dessas outras definicoes δ sempre dependeria inevitavelmente de x alem de ε e de tal modo que δ 0 quando x 0 como ficara mais claro quando analisarmos a seguir o criterio de negacao da continuidade uniforme Sera util escrevermos com precisao a condicao equivalente a dizer que uma funcao f nao e uniformemente contınua isto e a proposicao equivalente a negacao da condicao dada pela Definicao 171 Para enfatizar colocaremos essa sentenca como enunciado do seguinte teorema ao qual chamaremos de criterio de negacao da continuidade uniforme A prova sera deixada para vocˆe como simples exercıcio Teorema 171 Criterio de Negacao da Continuidade Uniforme Seja X R e f X R Entao as seguintes condicoes sao equivalentes CEDERJ 2 Continuidade Uniforme M ODULO 2 AULA 17 2 Vδ2 Vε 1 2 1 2 Vε2 1 2 Vδ 1 2 2 Figura 171 Dois graficos de fx 1x para x 0 Observe que o δ maximo e cada vez menor a medida que x se aproxima de 0 i f nao e uniformemente contınua em X ii Existe ε0 0 tal que para todo δ 0 existem pontos xδ xδ em X tais que xδ xδ δ e fxδ fxδ ε0 iii Existe ε0 0 e duas sequˆencias xn e xn em X tais que limxnxn 0 e fxn fxn ε0 para todo n N Exemplos 172 a Podemos aplicar o criterio de negacao da continuidade uniforme 171 para verificar que fx 1x nao e uniformemente contınua em X 0 De fato se xn 1n e xn 1n1 entao limxn xn 0 mas fxn fxn 1 para todo n N b De modo semelhante podemos usar o criterio 171 para verificar que a funcao fx sen1x nao e uniformemente contınua em X 0 Com efeito definimos xn 1nπ e xn 22n 1π Entao limxn xn 0 mas fxn fxn 0 1 1 para todo n N Apresentamos a seguir um importante resultado que assegura que uma funcao contınua num intervalo limitado fechado e uniformente contınua nesse intervalo Teorema 172 da Continuidade Uniforme Seja I a b um intervalo limitado fechado e seja f I R uma funcao contınua em I Entao f e uniformemente contınua em I Prova Se f nao e uniformemente contınua em I entao pelo Teorema 171 existem ε0 0 e duas sequˆencias xn e xn em I tais que xn xn 1n 3 CEDERJ e fxn fxn ε₀ para todo n ℕ Como I é limitado a sequência xn é limitada e pelo Teorema de BolzanoWeierstrass 85 existe uma subsequência xnk que converge a um certo x I Como a xn b segue do Teorema 75 que a x b isto é x I Também é claro que a subsequência correspondente xnk satisfaz lim xnk x já que xnk x xnk xn xn x Agora como f é contínua em I f é contínua em x e portanto ambas as sequências fxnk e fxn têm que convergir a fx Mas isso é absurdo já que fxn fxn ε₀ Temos então uma contradição originada pela hipótese de que f não é uniformemente contínua em I Concluímos daí que f é uniformemente contínua em I Continuidade Uniforme M ODULO 2 AULA 17 Teorema 173 Se f X R e uma funcao Lipschitz entao f e uniformemente contınua em X Prova Se a condicao 171 e satisfeita entao dado ε 0 podemos tomar δ εC Se x x X satisfazem x x δ entao fx fx C ε C ε Portanto f e uniformemente contınua em X Exemplos 173 a Se fx x2 em X 0 b onde b 0 entao fx fx x xx x 2bx x para todos x x 0 b Assim f satisfaz 171 com C 2b em X e portanto f e uniformemente contınua em X Naturalmente como f esta definida e e contınua no intervalo limi tado fechado 0 b entao deduzimos do Teorema da Continuidade Uni forme 172 que f e uniformemente contınua em 0 b e portanto tambem em X 0 b Aqui usamos o fato de que se X Y R e f e uni formemente contınua em Y entao f e uniformemente contınua em X por quˆe b Nem toda funcao uniformemente contınua num conjunto X R e Lipschitz em X Como exemplo disso consideremos a funcao fx x x I 0 1 Como f e contınua em I segue do Teorema da Continuidade Uniforme 173 que f e uniformemente contınua em I Contudo nao existe C 0 tal que fx Cx para todo x I Com efeito se tal desigualdade valesse para todo x 0 1 entao multiplicando a desigualdade por 1x terıamos 1 Cx Como o membro a direita da ultima desigualdade tende a 0 quando x decresce para zero partindo dela chegarıamos a 1 0 que e absurdo Portanto f nao e uma funcao Lipschitz em I c Em certos casos e possıvel combinar o Teorema da Continuidade Uni forme 172 com o Teorema 173 para demonstrar a continuidade uni forme de uma dada funcao num conjunto 5 CEDERJ ANALISE REAL Continuidade Uniforme Por exemplo consideremos a funcao fx x no conjunto X 0 A continuidade uniforme de f no intervalo 0 1 segue do Teo rema da Continuidade Uniforme como vimos em b Se J 1 entao para x x J temos fx fx x x x x x x 1 2x x Logo f e uma funcao Lipschitz em J com C 1 2 e portanto segue do Teorema 173 que f e uniformemente contınua em J Agora X IJ f e contınua em X e IJ 1 Alem disso se x I e x J entao x x Assim dado ε 0 como f e uniformemente contınua em I existe δ1 0 tal que se x x I e x x δ1 entao fx fx ε Da mesma forma como f e uniformemente contınua em J existe δ2 0 tal que se x x J e x x δ2 entao fxfx ε Mais ainda como f e contınua em 1 existe δ3 0 tal que se x x Vδ31 y R y 1 δ3 entao fx fx ε por quˆe Entao tomando δ minδ1 δ2 δ3 deduzimos que se x x X e x x δ entao fx fx ε por quˆe Logo f e uniformemente contınua em X O Teorema da Extensao Contınua Vimos que se f e uma funcao contınua num intervalo limitado fechado a b entao f e uniformemente contınua em a b Em particular se f e uma funcao contınua em a b entao f e uniformemente contınua no intervalo limitado aberto a b por quˆe No que segue vamos provar uma especie de recıproca desse fato isto e que se f e uniformemente contınua no intervalo limitado aberto a b entao f pode ser extendida a uma funcao contınua sobre o intervalo limitado fechado a b Antes porem vamos estabelecer um resultado que e interessante por si so Teorema 174 Se f X R e uniformemente contınua num subconjunto X de R e se xn e uma sequˆencia de Cauchy em X entao fxn e uma sequˆencia de Cauchy em R CEDERJ 6 Continuidade Uniforme M ODULO 2 AULA 17 Prova Seja xn uma sequˆencia de Cauchy em X e seja dado ε 0 Primeiro escolhemos δ 0 tal que se x x X satisfazem x x δ entao fxfx ε Como xn e uma sequˆencia de Cauchy existe N0δ tal que xnxm δ para todos n m N0δ Pela escolha de δ isso implica que para n m N0δ temos fxn fxm ε Portanto a sequˆencia fxn e uma sequˆencia de Cauchy em R Agora sim estamos prontos para estabelecer o resultado sobre a ex tensao de funcoes uniformemente contınuas Teorema 175 da Extensao Contınua Se f e uma funcao uniformemente contınua num intervalo aberto limitado a b ou ilimitado a ou b entao f pode ser estendida como funcao contınua aos intervalos fechados correspondentes a b a e b Prova Vamos considerar o caso de um intervalo aberto limitado a b o caso de um intervalo ilimitado a ou b decorre imediatamente da analise do caso limitado sendo ainda mais simples e sera deixado para vocˆe como exercıcio Suponhamos entao que f seja uniformemente contınua em a b Mostraremos como estender f a a o argumento para estender ao ponto b e semelhante Essa extensao e feita mostrandose que limxa fx L existe Isso por sua vez pode ser alcancado utilizandose o criterio sequencial para lim ites Se xn e uma sequˆencia em a b com lim xn a entao ela e uma sequˆencia de Cauchy e pelo Teorema 174 a sequˆencia fxn tambem e de Cauchy Pelo Teorema 91 Criterio de Cauchy fxn e convergente isto e existe lim fxn L Se xn e uma outra sequˆencia qualquer em a b com lim xn a entao limxn xn a a 0 Assim pela con tinuidade uniforme de f dado ε 0 qualquer existe N0 N tal que se n N0 xn xn δε e portanto fxn fxn ε o que prova que limfxn fxn 0 Logo lim fxn lim fxn L Como obtemos o mesmo limite L para fxn para toda sequˆencia xn em a b convergindo a a concluımos pelo criterio sequencial para limites que f tem limite L em a O mesmo argumento se aplica para b Assim concluımos que f tem extensao contınua ao intervalo a b Exemplos 174 a A funcao fx sen1x em 0 nao possui limite em x 0 concluımos pelo Teorema da Extensao Contınua 175 que f nao e uni 7 CEDERJ ANALISE REAL Continuidade Uniforme formemente contınua em 0 b qualquer que seja b 0 b A funcao fx x sen1x em 0 satisfaz limx0 fx 0 Fazendo f0 0 vemos que f assim estendida e contınua em 0 Portanto f e uniformemente contınua em 0 b qualquer que seja b 0 ja que e a restricao ao intervalo aberto 0 b de uma funcao contınua em 0 b e esta por sua vez e uniformemente contınua pelo Teorema da Continuidade Uniforme 172 Exercıcios 171 1 Mostre que a funcao fx 1x e uniformemente contınua em X a para qualquer a 0 2 Mostre que a funcao fx sen1x e uniformemente contınua em X a para todo a 0 mas nao e uniformemente contınua em Y 0 3 Use o criterio da negacao da continuidade uniforme 172 para mostrar que as seguintes funcoes nao sao uniformemente contınuas a fx x2 em X 0 b fx cos1x2 em X 0 4 Mostre que a funcao fx 11 x2 e uniformemente contınua em R 5 Mostre que se f e g sao uniformemente contınuas em X R entao f g e uniformemente contınua em X 6 Mostre que se f e g sao limitadas e uniformemente contınuas em X R entao fg e uniformemente contınua em X 7 Se fx x e gx sen x mostre que f e g sao ambas uniforme mente contınuas em R mas seu produto fg nao e funcao uniformemente contınua em R Por que o ıtem anterior nao e aplicavel a esse exemplo Dica Investigue os valores da funcao fg para as sequˆencias xn 2πn e yn 2πn 1n 8 Prove que se f g R R sao uniformemente contınuas em R entao sua composta f g R R e uniformemente contınua em R 9 Prove que se f e uniformemente contınua em X R e fx k 0 para todo x X entao a funcao 1f e uniformemente contınua em X CEDERJ 8 Continuidade Uniforme M ODULO 2 AULA 17 10 Prove que se f e uniformemente contınua num conjunto limitado X R entao f e limitada em X 11 Mostre que se f e contınua em 0 e uniformemente contınua em a para algum a 0 entao f e uniformemente contınua em 0 12 Dizse que uma funcao f R R e periodica em R se existe um numero ℓ 0 tal que fx ℓ fx para todo x R Prove que uma funcao contınua periodica em R e limitada e uniformemente contınua em R 9 CEDERJ Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito M ODULO 2 AULA 18 Aula 18 Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito Metas da aula Apresentar algumas extensoes ao conceito de limite de funcoes Especificamente serao definidos os conceitos de limite lateral a esquerda limite lateral a direita convergˆencia de uma funcao a quando x converge a direita ou a esquerda para um ponto de acumulacao do domınio e de limite de funcoes quando x tende a Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber as definicoes de limite lateral a esquerda e limite lateral a direita de uma funcao num ponto de acumulacao do seu domınio Saber o que significa uma funcao tender a quando x x x x e x x Saber o conceito de limite de uma funcao quando x tende a Introducao Nesta aula apresentaremos algumas extensoes uteis do conceito de limi te de uma funcao A primeira dessas extensoes e o conceito de limite lateral de uma funcao f a direita e a esquerda de um ponto de acumulacao x de seu domınio X R Essa nocao se reduz a nocao usual de limite quando em lugar de considerarmos a funcao f definida em X a consideramos como definida em X x no caso do limite a direita e X x no caso do limite a esquerda A segunda extensao sera a introducao de limites e de uma funcao num ponto de acumulacao do seu domınio que por sua vez tambem se estende naturalmente a limites laterais Apesar de e nao serem numeros reais e portanto essa nocao de limite nao corresponder a uma ideia de convergˆencia aproximativa dos valores da funcao para um determinado valor no sentido da distˆancia na reta tratase de um conceito que exprime uma visao bastante intuitiva Mais especificamente essa definicao exprime a ideia natural de tendˆencia de crescimento decrescimento indefinitivo dos valores de uma funcao fx de modo regular embora nao necessariamente monotono quando x se aproxima de um ponto de acumulacao x do domınio de f 11 CEDERJ ANALISE REAL Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito A terceira extensao sera a nocao de limite de uma funcao fx quando x tende a ou no caso em que o domınio de f contem um intervalo ilimitado do tipo a ou b respectivamente Essa nocao exprime a ideia intuitiva de que os valores fx se aproximam mais e mais de um determinado valor L a medida que x cresce sem parar ou decresce sem parar Finalmente essa ultima extensao do conceito de limite tambem admite por seu turno uma extensao aos valores L assim como a nocao original de limite e aquela de limites laterais Todas essas nocoes sao uteis porque exprimem um comportamente espe cial de uma funcao quando x se aproxima unilateralmente ou bilateralmente de um determinado ponto de acumulacao de seu domınio ou quando x cresce ou decresce indefinitivamente Em particular elas sao uteis quando quere mos fazer um esboco do grafico de uma dada funcao Do ponto de vista matematico elas nao acrescentam nenhuma dificuldade particular a analise de questoes em relacao a nocao de limite de funcao ja estudada Por isso mesmo a discussao que faremos aqui pode parecer um pouco tediosa por ser em muitos aspectos repetitiva Por outro lado temos certeza de que vocˆe nao tera qualquer dificuldade em assimilar rapidamente todas essas novas nocoes Limites Laterais A seguir damos a definicao de limite de uma funcao a direita e a es querda de um ponto de acumulacao de seu domınio Definicao 181 Seja X R e seja f X R i Se x R e um ponto de acumulacao do conjunto X x x X x x entao dizemos que L R e limite a direita de f em x e escrevemos lim xx f L ou lim xx fx L se dado ε 0 existe um δ δε 0 tal que para todo x X com 0 x x δ entao fx fx ε ii Se x R e um ponto de acumulacao do conjunto X x x X x x entao dizemos que L R e limite a esquerda de f em x e escrevemos lim xx f L ou lim xx fx L CEDERJ 12 Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito M ODULO 2 AULA 18 se dado qualquer ε 0 existe um δ δε 0 tal que para todo x X com 0 x x δ entao fx L ε Os limites lim xx f e lim xx f sao denominados conjuntamente limites uni laterais ou simplesmente limites laterais de f em x Como o limite lateral a direita de uma funcao f num ponto de acu mulacao x de seu domınio X nada mais e que o limite da funcao fX x em x do mesmo modo que o limite lateral a esquerda em x e a mesma coisa que o limite da funcao fX x em x segue que todas as propriedades e proposicoes validas para o limite usual de uma funcao valem tambem para os limites laterais com as devidas adaptacoes Em particular os limites laterais sao unicos e valem os resultados sobre operacoes com limites desigualdades o criterio sequencial etc Por exemplo o criterio sequencial no caso de limites laterais tem o enunciado seguinte cuja demonstracao inteiramente analoga aquela para o limite usual deixamos para vocˆe como exercıcio Teorema 181 Sejam X R f X R e x R um ponto de acumulacao de X x Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes i lim xx f L ii Para toda sequˆencia xn que converge a x tal que xn X e xn x para todo n N a sequˆencia fxn converge a L Deixamos para vocˆe como exercıcio a formulacao e prova do resultado analogo ao anterior para limites a esquerda O seguinte resultado relaciona a nocao de limite de uma funcao aos limites laterais Sua prova e imediata levando em conta a reducao do conceito de limites laterais ao de limite das funcoes fX x e fX x Deixamos os detalhes da prova para vocˆe como exercıcio Teorema 182 Sejam X R f X R e x R um ponto de acumulacao de ambos os conjuntos X x e X x Entao lim xx f L se e somente se lim xx f L lim xx f Exemplos 181 a A funcao fx sgnx veja Exemplo 123b no ponto x 0 constitui um dos mais simples exemplos de funcao que possui ambos os 13 CEDERJ limites laterais em x cujos valores porém são distintos Em particular como já visto no Exemplo 123 b não existe o limite de f em x Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito M ODULO 2 AULA 18 x 1 Figura 181 Grafico de fx e1x x 0 x 1 1 2 Figura 182 Grafico de fx 1e1x 1 x 0 15 CEDERJ ANALISE REAL Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito Limites Infinitos A seguir como mencionamos no inıcio da aula vamos definir limites infinitos Definicao 182 Sejam X R f X R e x R um ponto de acumulacao de X i Dizemos que f tende a quando x x e denotamos lim xx f se para todo M 0 existe δ δM 0 tal que para todo x X se 0 x x δ entao fx M ii Dizemos que f tende para quando x x e escrevemos lim xx f se para todo M 0 existe δ δM tal que para todo x X se 0 x x δ entao fx M Exemplos 182 a lim x0 1 x2 veja Figura 183 Com efeito dado M 0 seja δ 1 M Segue que se 0 x δ entao x2 1M e assim 1x2 M o que prova a afirmacao b Seja fx 1x para x 0 veja Figura 183 Entao se f1 f0 e f2 f 0 temos limx0 f1 e limx0 f2 Em particular f nao tende nem a nem a e nem possui limite quando x 0 O fato de que lim x0 f1 e lim x0 f2 decorre do seguinte Dado M 0 se δ 1M entao 0 x δ implica f1x M e δ x 0 implica f2x M o que prova que lim x0 f1 e lim x0 f2 respectivamente O fato de e nao serem numeros reais faz com que a nocao de limites infinitos nao possa ser tratada da mesma forma como a nocao usual de limite de uma funcao Em particular os resultados sobre operacoes com limites e desigualdades nao se estendem em geral aos limites infinitos De modo informal e possıvel saber em que situacoes aqueles resultados podem CEDERJ 16 Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito M ODULO 2 AULA 18 gx 1 x fx 1 x2 x x Figura 183 Graficos de fx 1x2 x 0 e gx 1x x 0 deixar de ser validos para limites infinitos Nomeadamente sempre que ocor rerem expressoes indefinidas envolvendo os sımbolos como ou os resultados validos para limites usuais podem nao mais valer para limites infinitos A seguir estabelecemos um resultado analogo ao Teorema do Sanduıche para limites infinitos Teorema 183 Sejam X R f g X R e x R um ponto de acumulacao de X Suponhamos que fx gx para todo x X x x i Se lim xx f entao lim xx g ii Se lim xx g entao lim xx f Prova i Se lim xx f e M 0 e dado entao existe δ δM 0 tal que se 0 x x δ e x X segue que fx M Mas como fx gx para todo x X x x temos que se 0 x x δ e x X entao gx M Logo lim xx g ii Segue de modo inteiramente similar a i Vimos no Exemplo 182 b que a funcao fx 1x nao tende nem a nem a quando x 0 porem as restricoes de f a 0 e 0 tendem a e respectivamente quando x 0 Isso e exatamente o analogo da existˆencia dos limites laterais finitos para o caso de limites infinitos Formalizamos essa nocao a seguir Definicao 183 Sejam X R e f X R Se x R e um ponto de acumulacao de X x entao dizemos que f tende a respectivamente quando 17 CEDERJ ANALISE REAL Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito x x e denotamos lim xx f respectivamente lim xx f se para todo M 0 existe δ δM 0 tal que para todo x X com 0 x x δ entao fx M respectivamente fx M Analogamente se x R e um ponto de acumulacao de X x dizemos que f tende a respectivamente quando x x e deno tamos lim xx f respectivamente lim xx f se para todo M 0 existe δ δM 0 tal que para todo x X com 0 x x δ entao fx M respectivamente fx M Exemplos 183 a Seja fx 1x para x 0 Como ja visto no Exemplo 182 b f0 tende a quando x 0 e f 0 tende a quando x 0 Isso claramente e equivalente a lim x0 1 x e lim x0 1 x b Vimos no Exemplo 181 b que a funcao fx e1x para x 0 nao e limitada em nenhum intervalo da forma 0 δ δ 0 Em particular o limite a direita de e1x quando x 0 no sentido da Definicao 181 nao existe Contudo como 1 x e1x for x 0 vemos facilmente que lim x0 e1x no sentido da Definicao 183 Limites no Infinito A seguir definimos a nocao de limite de uma funcao quando x Definicao 184 Sejam X R e f X R Suponhamos que a X para algum a R Dizemos que L R e limite de f quando x e denotamos lim x f L ou lim x fx L se dado ε 0 existe K Kε a tal que se x K entao fx L ε CEDERJ 18 Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito M ODULO 2 AULA 18 Analogamente se b R para algum b R dizemos que L R e limite de f quando x e denotamos lim x f L ou lim x fx L se dado ε 0 existe K Kε b tal que se x K entao fx L ε O limite de uma funcao quando x x possui todas as propriedades do limite de uma funcao quando x tende a um ponto de acumulacao do seu domınio Assim valem a unicidade dos limites limx f limx f os resultados sobre as operacoes com limites desigualdades etc Em particular o criterio sequencial possui uma versao para limites no infinito que enunciamos a seguir Teorema 184 Sejam X R f X R e suponhamos que a X para algum a R Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes i L lim x f ii Para toda sequˆencia xn em a tal que lim xn a sequˆencia fxn converge a L Deixamos para vocˆe como exercıcio a prova desse teorema inteiramente semelhante aquela para o limite de uma funcao num ponto de acumulacao do domınio bem como o enunciado e a prova do resultado analogo para o limite quando x Exemplos 184 a lim x 1 x 0 lim x 1 x Com efeito dado ε 0 se x 1ε entao 1x 1x ε o que prova que lim x 1 x 0 Por outro lado se x 1ε entao 1x 1x ε o que prova que lim x 1 x 0 b lim x 1 x2 0 lim x 1 x2 Com efeito dado ε 0 se x 1ε ou x 1ε entao 1x2 1x2 ε o que estabelece ambos os limites Tambem para o caso de limites em temos a seguinte definicao de limites infinitos analoga a Definicao 182 19 CEDERJ ANALISE REAL Limites Laterais Limites Infinitos e no Infinito Definicao 185 Sejam X R e f X R Suponhamos que a X para algum a R Dizemos que f tende a respectivamente quando x e escrevemos lim x f respectivamente lim x f se dado M 0 existe K KM a tal que se x K entao fx M respectivamente fx M Analogamente se b X para algum b R dizemos que f tende a respectivamente quando x e escrevemos lim x f respectivamente lim x f se dado M 0 existe K KM b tal que se x K entao fx M respectivamente fx M Propomos a vocˆe como exercıcio estabelecer o analogo do Teorema 184 para o caso em que f tende a ou quando x ou x O resultado a seguir e um analogo do Teorema 95 Teorema 185 Sejam X R f g X R e suponhamos que a X para algum a R Suponhamos ainda que gx 0 para todo x a e que para algum L R L 0 temos lim x fx gx L i Se L 0 entao lim x f se e somente se lim x g ii Se L 0 entao lim x f se e somente se lim x g Prova i Como L 0 a hipotese implica que existe a a tal que 0 1 2L fx gx 3 2L para x a Portanto temos 1 2Lgx fx 3 2Lgx para todo x a do qual segue imediatamente a conclusao A prova de ii e semelhante Deixamos para vocˆe como exercıcio o estabelecimento de resultados analogos quando x ou quando x x e x e um ponto de acumulacao de X bem como dos resultados correspondentes para limites laterais CEDERJ 20 a lim x x n para todo n ℕ g lim x x x 2 x x x 0 Fucoes Monotonas e Inversas M ODULO 2 AULA 19 Aula 19 Fucoes Monotonas e Inversas Metas da aula Estudar as funcoes monotonas e suas propriedades Estabelecer a existˆencia em todos os pontos do domınio de limites laterais de funcoes monotonas definidas em intervalos Estabelecer o Teorema da Inversa Contınua Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Conhecer o conceito de funcao monotona nao decrescente crescente nao crescente e decrescente e suas propriedades Saber o significado da existˆencia de limites laterais de funcoes monotonas definidas em intervalos Conhecer o conceito de funcao inversa Saber o significado do Teorema da Inversa Contınua e como aplicalo em exemplos especıficos Introducao Nesta aula estudaremos as funcoes monotonas em geral definidas em intervalos de R e em particular as funcoes estritamente monotonas cres centes e decrescentes Estas ultimas sao injetivas e portanto possuem funcoes inversas Vamos mostrar que as funcoes monotonas definidas em interva los possuem limites laterais em todos os pontos do intervalo de definicao embora possam ser descontınuas em alguns pontos desse intervalo Vere mos tambem que o conjunto dos pontos de descontinuidade das funcoes monotonas definidas em intervalos e um conjunto enumeravel finito ou in finito Recordaremos o conceito de funcao inversa e estabeleceremos o Teorema da Inversa Contınua que afirma que toda funcao estritamente monotona contınua num intervalo possui uma inversa estritamente monotona contınua Finalmente analisaremos o exemplo concreto das raızes nesimas e das potˆencias racionais Funcoes Monotonas Comecemos recordando a definicao de funcao monotona Definicao 191 Se X R entao dizse que f X R e nao decrescente em X se vale a propriedade de que x1 x2 implica fx1 fx2 para x1 x2 X A funcao 23 CEDERJ ANALISE REAL Fucoes Monotonas e Inversas f e dita crescente em X se x1 x2 implica fx1 fx2 para x1 x2 X Similarmente f X R e nao crescente em X se vale a propriedade de que x1 x2 implica fx1 fx2 para x1 x2 X A funcao f e dita decrescente em X se x1 x2 implica fx1 fx2 para x1 x2 X Se f X R e nao decrescente ou nao crescente dizemos que ela e monotona Se f e crescente ou decrescente dizemos que ela e estritamente monotona Notemos que se f X R e nao decrescente entao g f e nao crescente Da mesma forma se f X R e nao crescente entao g f e nao decrescente Portanto em nossa discussao a seguir para evitar repeticoes em excesso enunciaremos os resultados apenas para funcoes nao decrescentes Ficara subentendido que todos esses resultados possuem um analogo para funcoes nao crescentes cuja prova pode tambem ser obtida diretamente da observacao que acabamos de fazer ou usando argumentos semelhantes aos da prova do resultado correspondente para funcoes nao decrescentes Claramente nem toda funcao monotona e contınua como mostra o exemplo da funcao fx sgnx em R que e descontınua em x 0 Porem o seguinte resultado mostra que essas funcoes quando definidas em intervalos sempre possuem ambos os limites laterais finitos em todos os pontos do intervalo de definicao que nao sejam os extremos do intervalo Nestes ultimos sempre existem os limites unilaterais correspondentes Teorema 191 Seja I R um intervalo e seja f I R nao decrescente em I Suponhamos que x I nao e um extremo de I Entao i lim xx f supfx x I x x ii lim xx f inffx x I x x No caso em que x I e um extremo de I entao existe o limite unilateral correspondente a direita se x e um extremo a esquerda e a esquerda se x e um extremo a direita Prova i Inicialmente lembremos que se x I e x x entao fx fx Portanto o conjunto A fx x I x x e limitado superiormente por fx e nao vazio ja que x nao e um extremo a esquerda de I Logo existe L supfx x I x x Se ε 0 e dado entao L ε nao e quota superior de A Entao existe xε I com xε x tal que L ε fxε L Como f e nao decrescente deduzimos que se δ x xε CEDERJ 24 Fucoes Monotonas e Inversas M ODULO 2 AULA 19 e se 0 x x δ entao xε x x de modo que L ε fxε fx L Portanto fx L ε quando 0 x x δ e como ε 0 e arbitrario segue que i vale A demonstracao de ii bem como a do caso em que x e um extremo de I sao inteiramente semelhantes O proximo resultado e um corolario do anterior e fornece um criterio de continuidade para uma funcao nao decrescente f num ponto x de seu intervalo de definicao Teorema 192 Seja I R um intervalo e seja f I R nao decrescente em I Suponha mos que x I nao e um extremo de I Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes i f e contınua em x ii lim xx f fx lim xx f iii supfx x I x x fx inffx x I x x Prova Segue facilmente do Teorema 191 combinado com o Teorema 182 Deixamos os detalhes para vocˆe como exercıcio Seja I um intervalo e f I R uma funcao nao decrescente Se a e o extremo a esquerda de I e um exercıcio facil mostrar que f e contınua em a se e somente se fa inffx x I a x ou se e somente se fa lim xa f Um fato analogo vale para b I se b e um extremo a direita de I Vocˆe deve ser capaz tambem em todos os casos de estabelecer os resultados analogos para funcoes nao crescentes Definicao 192 Se f I R e uma funcao nao decrescente e x I nao e um extremo de I definimos o salto de f em x como veja Figura 191 sfx lim xx f lim xx f 25 CEDERJ ANALISE REAL Fucoes Monotonas e Inversas Se a I e um extremo a esquerda de I entao definimos o salto de f em a por sfa lim xa f fa ao passo que se b I e um extremo a direita de I definimos o salto de f em b por sfb fb lim xb f Segue do Teorema 191 que se x I nao e um extremo de I sfx inffx x I x x supfx x I x x 191 quando f e uma funcao nao decrescente Como um facil exercıcio vocˆe deve estabelecer as definicoes de salto num ponto nao extremo e nos pontos extremos de I no caso de uma funcao nao crescente em I bem como os analogos da formula 191 nos diversos casos sfx x Figura 191 O salto de f em x Teorema 193 Seja I R um intervalo e f I R uma funcao nao decrescente em I Se x I entao f e contınua em x se e somente se sfx 0 Prova Se x nao e um extremo de I o resultado segue do Teorema 192 Se x I e um extremo a esquerda de I entao f e contınua em x se e somente se fc lim xx f o que e equivalente a sfx 0 Argumento semelhante se aplica ao caso em que x e um extremo a direita de I Mostraremos a seguir que o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma funcao monotona e sempre enumeravel CEDERJ 26 Fucoes Monotonas e Inversas M ODULO 2 AULA 19 Teorema 194 Seja I R um intervalo e seja f I R uma funcao monotona em I Entao o conjunto de pontos D I nos quais f e descontınua e um conjunto enumeravel Prova Vamos supor que f e nao decrescente Segue do Teorema 193 que D x I sfx 0 Consideraremos o caso em que I a b e um intervalo fechado e limitado deixando como exrecıcio para vocˆe o caso de um intervalo arbitrario Primeiro notemos que sendo f nao decrescente entao sfx 0 para todo x I Alem disso se a x1 xn b entao temos por quˆe fa fa sfx1 sfxn fb 192 donde segue que veja Figura 192 sfx1 sfxn fb fa Consequentemente dado qualquer k N o conjunto Dk x I a b sfx fb fak pode possuir no maximo k pontos Como D kNDk por quˆe concluımos que D e enumeravel por quˆe Exemplos 191 a Se f R R satisfaz a identidade fx y fx fy para todos x y R 193 e f e contınua num unico ponto x R entao f e contınua em todo ponto de R A demonstracao deste fato nao requer as nocoes aprendidas nesta aula mas vamos usalos no ıtem seguinte Com efeito dados x y R qualquer sequˆencia zn convergindo a x y pode ser escrita na forma zn xn y onde xn zn y e uma sequˆencia convergindo a x Logo se f satisfaz 193 e f e contınua em x R temos lim zxy f lim xx f fy fx fy para todo y R Como todo ponto z R pode ser escrito na forma z xy tomandose y z x segue que f e contınua em R 27 CEDERJ ANALISE REAL Fucoes Monotonas e Inversas fb fa a x1 x2 x3 x4 b fa sfx1 sfx2 sfx3 sfx4 fb Figura 192 sfx1 sfxn fb fa b Portanto se f e monotona e satisfaz 193 entao f e contınua e nesse caso fx cx com c f1 De fato pelo Teorema 193 o conjunto dos pontos de descontinuidade de f e enumeravel Como R e nao enumeravel o conjunto dos pontos onde f e contınua e nao vazio na verdade e infinito nao enumeravel Pelo ıtem anterior f e contınua em R Agora segue de 193 que f0 f0 0 f0 f0 f0 0 0 f0 fx x fx fx fx fx e por quˆe fm f1m para todo m Z Dado r mn Q com m Z n N temos mf1 fm fnr nfr fr f1r Logo vale fx cx com c f1 para todo x Q Dado qualquer x R temos x lim xn com xn Q para todo n N Portanto se f e contınua temos fx lim fxn lim cxn c lim xn cx Funcoes Inversas Notemos que se f X R R e estritamente monotona entao em particular x y implica fx fy para todo x y X Logo f e injetiva CEDERJ 28 Fucoes Monotonas e Inversas M ODULO 2 AULA 19 Portanto se f X R e estritamente monotona e Y fX entao existe uma funcao inversa g Y R isto e g satisfaz gfx x para todo x X e fgy y para todo y Y No teorema a seguir mostraremos que se f I R e uma funcao contınua estritamente monotona entao a funcao inversa g J fI R e contınua em J e tambem e estritamente monotona Se f e crescente entao g e cres cente se f e decrescente entao g e decrescente Teorema 195 da Inversa Contınua Seja I R um intervalo e seja f I R uma funcao estritamente monotona e contınua em I Entao a funcao g inversa de f e estritamente monotona e contınua em J fI Prova Consideraremos o caso em que f e crescente O caso em que f e decrescente fica para vocˆe como exercıcio Seja J fI Como f e contınua o Teorema 165 garante que J e um intervalo Como f e injetiva em I existe a funcao inversa g f 1 J R Mais ainda como x1 x2 inplica fx1 fx2 para todos x1 x2 I entao y1 y2 implica gy1 gy2 para todos y1 y2 J De fato caso valesse y1 y2 e gy1 gy2 para algum par de pontos y1 y2 J entao fazendo x1 gy1 e x2 gy2 terıamos x1 x2 e fx1 y1 y2 fx2 contrariando o fato de que f e crescente Logo g e crescente em J Resta mostrar que g e contınua No entanto isso e uma consequˆencia do fato que J e um intervalo De fato suponhamos que g seja descontınua num ponto y J Para simplificar suponhamos inicialmente que y nao e um extremo de J Entao sgy 0 de modo que lim yy g lim yy g Assim podemos achar um ponto x R satisfazendo x gy e lim yy g x lim yy g Agora como I e um intervalo gJ I e y nao e um extremo de J entao temos que lim yy g I e lim yy g I por quˆe Por outro lado tal ponto x teria a propriedade de que x gy para todo y J veja Figura 193 Logo x I o que contradiz o fato de que I e um intervalo Portanto concluımos que g e contınua em J O caso em que y e um extremo de J e tratado de maneira inteiramente similar bastando observar que neste caso gy e necessariamente um extremo de I por quˆe e deixamos os detalhes para vocˆe como exercıcio 29 CEDERJ A Função Raiz nésima Fucoes Monotonas e Inversas M ODULO 2 AULA 19 para todo x 0 e n par y x x y Figura 194 A esquerda o grafico de fx xn x 0 n par A direita o grafico de gx x1n x 0 n par ii n ımpar Nesse caso fazemos fx xn para todo x R De novo pelo Exemplo 151 a f e contınua em R Da mesma forma que para n par verificamos facilmente que f e crescente e fR R o que deixamos para vocˆe como exercıcio veja Figura 195 a esquerda y x x y Figura 195 A esquerda o grafico de fx xn x R n ımpar A direita o grafico de gx x1n x R n ımpar Segue do Teorema da Inversa Contınua 195 que a funcao g que e inversa de fx xn para x R e crescente e contınua em R E comum denotarse gx x1n ou gx nx para x R n ımpar e chamar x1n nx a raiz nesima de x R Tambem nesse caso temos xn1n x ou x1nn x para todo x R e n ımpar 31 CEDERJ Potências Racionais Fucoes Monotonas e Inversas M ODULO 2 AULA 19 Como um exercıcio vocˆe deve mostrar tambem que se x 0 e r s Q entao xrxs xrs xsxr e xrs xrs xsr Exercıcios 191 1 Se I a b e f I R e uma funcao nao decrescente entao o ponto a respectivamente b e um ponto de mınimo respectivamente maximo absoluto para f em I Se f e crescente entao a respectivamente b e o unico ponto de mınimo respectivamente maximo absoluto 2 Se f e g sao funcoes nao decrescentes num intervalo I R mostre que f g e uma funcao nao decrescente em I Se f e g sao crescentes em I entao f g e crescente em I 3 Verifique que ambas as funcoes fx x e gx x1 sao crescentes em 0 1 mas seu produto fg nao e sequer uma funcao monotona em 0 1 4 Mostre que se f e g sao funcoes positivas e nao decrescentes num in tervalo I entao seu produto fg e nao decrescente em I 5 Mostre que se I a b e f I R e uma funcao nao decrescente em I entao f e contınua em a se e somente se fa inffx x a b 6 Seja I R um intervalo e f I R uma funcao nao decrescente em I Suponhamos que x I nao e um ponto extremo de I Mostre que f e contınua em x se e somente se existe uma sequˆencia xn em I tal que xn x se n e ımpar xn x se n e par lim xn x e fx lim fxn 7 Seja I R um intervalo e seja f I R uma funcao nao decrescente em I Se x I nao e um extremo de I mostre que o salto sfx de f em x e dado por sfx inffx2 fx1 x1 x x2 x1 x2 I 8 Sejam f g funcoes nao decrescentes num intervalo I R e seja fx gx para todo x I Se y fI gI mostre que f 1y g1y Dica Primeiro faca o esboco de uma representacao grafica para essa situacao 9 Seja I 0 1 e seja f I R definida por fx x se x e racional e fx 1 x se x e irracional Mostre que f e injetiva em I e que 33 CEDERJ ANALISE REAL Fucoes Monotonas e Inversas ffx x para todo x I Portanto f e inversa de si mesma Mostre que f e contınua somente em x 1 2 10 Seja x R x 0 Mostre que se m p Z e n q N e mq np entao x1nm x1qp 11 Se x R x 0 e se r s Q mostre que xrxs xrs xsxr e xrs xrs xsr CEDERJ 34 A Derivada M ODULO 2 AULA 20 Aula 20 A Derivada Metas da aula Definir a derivada de uma funcao num ponto Apre sentar as propriedades basicas da derivada em relacao as operacoes de soma multiplicacao e quociente de funcoes dar exemplos e aplicacoes Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Conhecer a definicao rigorosa de derivada de uma funcao num ponto e saber utilizala na demonstracao de resultados elementares envolvendo esse conceito Introducao Nesta aula iniciaremos nosso estudo sobre a derivada de uma funcao Ao longo dessa discussao assumiremos que vocˆe ja esta familiarizado com as interpretacoes geometricas e fısicas da derivada como usualmente des critas em cursos introdutorios de Calculo Consequentemente nos concen traremos aqui nos aspectos matematicos da derivada e nao abordaremos suas aplicacoes em geometria fısica economia etc Porem nao sera demais en fatizar a enorme importˆancia desse conceito a qual pode ser medida pela frequˆencia com que o mesmo talvez mais que qualquer outro na Matematica aparece nas mais variadas formas como elemento basico em aplicacoes dessa ciˆencia as demais areas do conhecimento humano Retringiremos nossa discussao ao caso de funcoes definidas em interva los No entanto como veremos a seguir para que o conceito de derivada de uma funcao num determinado ponto faca sentido basta que a mesma esteja definida nesse ponto e em pontos arbitrariamente proximos dele diferentes do mesmo Sendo assim a definicao pode ser estabelecida de modo mais geral para pontos de acumulacao pertencentes ao domınio de uma certa funcao mesmo quando este e um subconjunto qualquer de R nao necessariamente um intervalo A definicao de derivada Iniciamos nosso estudo sobre a derivada de uma funcao com a definicao a seguir 35 CEDERJ ANALISE REAL A Derivada Definicao 201 Seja I R um intervalo f I R e x I Dizemos que f tem derivada em x se existe o limite lim xx fx fx x x Neste caso chamamos tal limite a derivada de f em x e denotamos f x lim xx fx fx x x Este limite deve ser entendido como limite da funcao fx fxx x que esta definida em I x quando x x Quando f tem derivada em x costumase tambem dizer que f e dife renciavel em x ou que f e derivavel em x Outras notacoes para a derivada de f no ponto x sao Dfx e df dxx Usaremos os verbos diferenciar e derivar indistintamente com o sentido de tomar a derivada de uma funcao num determinado ponto Se x I denotemos Ix Ix h R xh I Frequentemente e conveniente escrever o limite anterior como f x lim h0 fx h fx h Neste caso o limite deve ser entendido como limite da funcao fx h fxh que esta definida em Ix 0 quando h 0 Teorema 201 Seja I R um intervalo f I R e x I Entao f e diferenciavel em x se e somente se existe L R e rx Ix R tal que fx h fx L h rxh 201 com lim h0 rxh h 0 202 Neste caso temos L f x Prova Suponhamos que f seja diferenciavel em x Entao tomamos L f x e definimos rx Ix R por meio da equacao 201 Da Definicao 201 segue imediatamente que vale 202 CEDERJ 36 A Derivada Seja fx x sin1x para x in mathbbR setminus 0 e f0 0 Mostraremos que f não é diferenciável em barx 0 mas gx x é diferenciável em barx 0 e g0 0 A Derivada M ODULO 2 AULA 20 Neste caso denotamos tal limite f x Definimos de modo inteiramente analogo a derivada lateral a esquerda de f em x I que denotamos por f x Claramente f sera diferenciavel em x se e somente se existirem ambas as derivadas laterais a esquerda e a direita e essas coincidirem ie f x f x No exemplo que demos ha pouco da funcao fx x em x 0 segue do que foi visto que existem as derivadas laterais a esquerda e a direita em x 0 com f 0 1 e f 0 1 Portanto f 0 f 0 e como havıamos dito f nao e diferenciavel em 0 O seguinte resultado e uma extensao do Teorema 202 cuja demons tracao se faz de modo inteiramente similar ao que foi feito para demonstrar aquele resultado com a diferenca que desta feita devese usar ambos os limites laterais em lugar do limite usual para concluir que lim xx fx fx lim xx fx Deixamos os detalhes para vocˆe como exercıcio Teorema 203 Se f I R possui derivadas laterais a esquerda e a direita em x I entao f e contınua em x Derivadas e operacoes com funcoes A seguir vamos justificar algumas propriedades basicas das derivadas que sao muito uteis nos calculos de derivadas de combinacoes de funcoes Vocˆe certamente ja tera se familiarizado com essas propriedades ao longo de cursos anteriores de Calculo Teorema 204 Seja I R um intervalo x I e sejam f I R e g I R funcoes diferenciaveis em x Entao i Se c R a funcao cf e diferenciavel em x e cfx cf x 204 ii A funcao f g e diferenciavel em x e f gx f x gx 205 39 CEDERJ iii Regra do Produto A função f g é diferenciável em barx e f cdot gbarx fbarxgbarx fbarxgbarx A Derivada M ODULO 2 AULA 20 Usando Inducao Matematica podemos obter facilmente as seguintes extensoes das regras de diferenciacao Corolario 201 Se f1 f2 fn sao funcoes definidas num intervalo I com valores em R que sao diferenciaveis em x I entao i A funcao f1 f2 fn e diferenciavel em x e f1 f2 fnx f 1x f 2x f nx 208 ii A funcao f1f2 fn e diferenciavel em x e f1f2 fnx f 1xf2x fnx f1xf 2x fnx f1xf2x f nx 209 Exemplos 202 a Um caso especial importante da regra do produto estendida 209 ocorre quando f1 f2 fn f Neste caso 209 se torna f nx nfxn1f x 2010 Em particular se tomarmos fx x entao obtemos mais uma vez que a derivada de gx xn e dada por gx nxn1 n N A derivada de hx xn 1gx x R0 n N e obtida usando a regra do quociente ie xn gx gx2 nxn1 x2n nxn1 Portanto vale xm mxm1 para todo m Z 0 com x R 0 se m 0 e x R se m 0 b Se px anxn an1xn1 a1x a0 entao p e diferenciavel em todo x R e px nanxn1 n 1an1xn2 a2x a1 Se qx bmxm bm1xm1 b1x b0 qx 0 e rx pxqx entao pela Regra do Quociente rx e diferenciavel em x e rx pxqx pxqxqx2 e ja sabemos como calcular px qx c Regra de LHˆopital Vamos provar aqui uma versao bastante simples da popular regra de LHˆopital para o calculo de derivadas de formas indeterminadas do tipo 00 41 CEDERJ ANALISE REAL A Derivada Seja I R um intervalo x I f g I R diferenciaveis em x com gx 0 Suponhamos que fx 0 gx Entao lim xx fx gx f x gx De fato temos lim xx fx gx lim xx fx xx gx xx lim xx fxfx xx lim xx gxgx xx f x gx onde usamos a Definicao 201 e a hipotese fx 0 gx d lim x1 x5 2x 1 x7 3x 2 3 4 De fato ponhamos fx x5 2x 2 e gx x7 3x 2 Entao f e g sao diferenciaveis em x 1 f1 0 g1 e g1 4 0 Podemos entao aplicar a Regra de LHˆopital para afirmar que o referido limite e igual a f 1g1 34 Exercıcios 201 1 Use a definicao para encontrar a derivada de cada uma das seguintes funcoes a fx x3 para x R b fx 1x2 para x R x 0 c fx x para x 0 d fx x5 3x2 4 x4 x2 1 para x R 2 Mostre que fx x13 x R nao e diferenciavel em x 0 3 Prove o Teorema 204 i e ii 4 Seja f R R definida por fx x2 para x racional e fx 0 para x irracional Mostre que f e diferenciavel em x 0 e encontre f 0 5 Seja n N n 2 e f R R definida por fx xn para x 0 e fx 0 para x 0 Mostre que f e diferenciavel em todo ponto de R em particular em x 0 6 Suponha que f R R e diferenciavel em x e que fx 0 Mostre que gx fx e diferenciavel em em x se e somente se f x 0 CEDERJ 42 7 Calcule os limites a limx o 2 fracx4 x 14x5 12x 8 b limx o 1 fracx5 2x2 1x6 x 2 8 Seja f mathbbR o mathbbR diferenciável em barx in mathbbR Prove que limh o 0 fracfbarx h fbarx h2h fbarx ANÁLISE REAL A Derivada Figura 201 Construção de função contínua nãodiferenciável em todo ponto Vamos agora provar que f não é diferenciável em nenhum ponto x R Como f é periódica de período 1 bastará considerar o caso em que 0 x 1 Nesse caso podemos escrever x na forma x 0 a1a2 an A ideia será mostrar que existe uma sequência hm com hm 0 tal que a sequência fx hm fxhm não é convergente Distinguimos dois casos i 0 s a1a2 12 ii 12 0 an1an2 1 No primeiro caso temos ϕ010nx 0 an1an2 enquanto no segundo caso temos ϕ010nx 1 0 an1an2 Ponhamos hm 10m se am é igual a 4 ou 9 e hm 10m se am 0 1 2 3 5 6 7 8 Observe que desse modo para cada n 0 1 2 m 1 os números 10nx hm e 10nx estão ambos num mesmo intervalo de comprimento 12 da forma k k 12 ou k 12 k 1 Considere o quociente fx hm fx hm Pela fórmula 2011 esse quociente pode ser expresso por uma série da forma n0 ϕ010nx 10m ϕ010nx 10nm ou da forma n0 ϕ010nx 10m ϕ010nx 10nm dependendo se hm 10m ou hm 10m Em qualquer um dos dois casos é claro que os numeradores são nulos a partir de n m em diante Por outro lado para n m eles se reduzem a 10m no primeiro caso e 10m no segundo portanto o termo correspondente da série será igual a 1 no primeiro caso e 1 no segundo Consequentemente o valor do quociente 2012 é um inteiro positivo ou negativo mas em todo caso per se m 1 for par é ímpar se m 1 for ímpar Logo a sequência dos quocientes 2012 não pode convergir já que é formada por inteiros de paridade alternante A Regra da Cadeia M ODULO 2 AULA 21 Aula 21 A Regra da Cadeia Metas da aula Justificar rigorosamente a Regra da Cadeia para derivacao de funcoes compostas Estabelecer a formula para derivacao da funcao in versa Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado e algumas aplicacoes da Regra da Cadeia para derivacao de funcoes compostas Saber a formula para derivacao da funcao inversa e algumas de suas aplicacoes Introducao Nesta aula vamos justificar rigorosamente a importantıssima Regra da Cadeia a qual vocˆe ja conhece de cursos anteriores de Calculo Tambem estabeleceremos a formula para derivacao de funcoes inversas O Lema de Caratheodory Iniciaremos nossa discussao apresentando um singelo resultado devido ao importante matematico grego C Caratheodory 18731950 que sera util na demonstracao da Regra da Cadeia que veremos a seguir bem como na demonstracao da formula para derivacao de funcoes inversas Tratase na verdade de uma reformulacao do Teorema 201 Lema 211 Lema de Caratheodory Seja I R um intervalo x I e f I R Entao f e diferenciavel em x se e somente se existe uma funcao ϕ em I que e contınua em x e satisfaz fx fx ϕxx x x I 211 Neste caso temos ϕx f x Prova Se f x existe podemos definir ϕ por ϕx fxfx xx para x x x I f x para x x 47 CEDERJ ANALISE REAL A Regra da Cadeia A continuidade de ϕ em x segue do fato que lim xx ϕx f x Se x x entao os dois membros de 211 sao iguais a 0 ao passo que se x x entao multiplicando ϕx por x x nos da 211 para todo x I x Suponhamos agora que exista uma funcao ϕ contınua em x e satisfazendo 211 Se dividirmos 211 por x x 0 entao a continuidade de ϕ em x implica que ϕx lim xx ϕx lim xx fx fx x x existe Portanto f e diferenciavel em x e f x ϕx Exemplos 211 1 Para ilustrar o Lema de Caratheodory consideremos a funcao f definida por fx x para x 0 Para x 0 vale x x 1 x xx x Logo para todo x 0 podemos aplicar o Lema de Caratheodory com ϕx 1x x para concluir que f e diferenciavel em x e f x 12x 2 Por outro lado f definida noıtem anterior nao e diferenciavel em x 0 De fato se f fosse diferenciavel em 0 entao existiria ϕ contınua em 0 tal que x ϕxx Mas entao para x 0 terıamos 1x ϕx o que daria uma contradicao com o fato de ϕ ser contınua em 0 A Regra da Cadeia Em seguida aplicamos o Lema de Caratheodory para provar a famosa Regra da Cadeia para derivacao de funcoes compostas Teorema 211 Regra da Cadeia Sejam I J intervalos em R sejam g I R e f J R funcoes tais que fJ I e seja x J Se f e diferenciavel em x e se g e diferenciavel em fx entao a funcao composta g f e diferenciavel em x e g fx gfx f x 212 Prova Como f x existe o Lema de Caratheodory 211 implica que existe uma funcao ϕ definida em J tal que ϕ e contınua em x e fx fx ϕxxx para x J e ϕx f x Por outro lado como g e diferenciavel CEDERJ 48 em fx existe uma função ψ definida sobre I tal que ψ é contínua em ȳ fx e gygȳ ψyyȳ para y I e e ψȳ gȳ Substituindo y fx e ψ f obtemos gfxgfȳ ψfxfxfȳ ψfxx para todo x J Como a função ψfϕ definida em J é contínua em x e seu valor em x é gfxfx o Lema de Carathéodory nos dá 212 ANALISE REAL A Regra da Cadeia d Calcular f x se fx log1 sen x2 x R Usando as formulas para as derivadas de Sx e Lx no ıtem anterior e aplicando duas vezes a Regra da Cadeia obtemos f x 1 1 sen x22 sen x cos x sen 2x 1 sen x2 onde tambem utilizamos a conhecida formula sen 2x 2 sen x cos x Funcoes Inversas A seguir vamos estabelecer a formula da derivada para a funcao inversa de uma dada funcao estritamente monotona Se f e uma funcao contınua estritamente monotona definida num intervalo I entao sua funcao inversa g f 1 esta definida no intervalo J fI e satisfaz a relacao gfx x para x I 213 Pelo Teorema da Inversa Contınua 195 a funcao g e contınuia em J Se x I e y fx e se f x existe e f x 0 o teorema que veremos a seguir garante a existˆencia de gy Neste caso derivando 213 em x x com o auxılio da Regra da Cadeia segue que gfxf x 1 donde concluımos que gy 1f x Passemos ao enunciado e prova do resultado Teorema 212 Formula da Derivada da Funcao Inversa Seja I um intervalo em R e seja f I R estritamente monotona e contınua em I Seja J fI e g J R a funcao estritamente monotona e contınua inversa de f Se f e diferenciavel em x I e f x 0 entao g e diferenciavel em y fx e gy 1 f x 1 f gy 214 Prova Pelo Lema de Caratheodory 211 obtemos uma funcao ϕ em I contınua em x satisfazendo fx fx ϕxx x x I com ϕx f x Como ϕx 0 por hipotese existe uma vizinhanca V x δ x δ tal que ϕx 0 para todo x V I Se U fV I entao a funcao inversa g satisfaz fgy y para todo y U de modo que y y fgy fx ϕgygy gy Como ϕgy 0 para y U podemos dividir a equacao anterior por ϕgy e obter gy gy 1 ϕgyy y CEDERJ 50 A Regra da Cadeia M ODULO 2 AULA 21 Sendo a funcao 1ϕ g contınua em y aplicamos o Lema de Caratheodory para concluir que gy existe e gy 1ϕgy 1ϕx 1f x Observacao 211 No Teorema 212 a hipotese f x 0 e essencial De fato se f x 0 entao a funcao inversa g nunca e diferenciavel em y fx ja que a hipotese da existˆencia de gy nos levaria a 1 f xgy 0 o que e absurdo A funcao fx x3 em x 0 e um exemplo dessa situacao O resultado seguinte e um corolario do Teorema 212 combinado com resultados anteriores Teorema 213 Seja I um intervalo e f I R estritamente monotona em I Seja J fI e seja g J R a funcao inversa de f Se f e diferenciavel em I e f x 0 para x I entao g e diferenciavel em J e g 1 f g 215 Prova Se f e diferenciavel em I entao o Teorema 202 implica que f e contınua em I e pelo Teorema da Inversa Contınua 195 a funcao inversa g e contınua em J A equacao 215 agora segue do Teorema 212 Se f e g sao as funcoes no enunciado do Teorema 213 entao a relacao 215 pode ser escrita na forma gy 1 f gy y J ou g fx 1 f x x I Exemplos 213 a A funcao f R R definida por fx x3 x 1 e contınua e estri tamente monotona crescente pois e a soma de duas funcoes crescentes f1x x3 e f2x x1 Alem disso f x 3x2 1 nunca se anula Portanto pelo Teorema 212 a funcao inversa g f 1 R R e difer enciavel em todo ponto Se tomarmos x 2 entao como f2 10 obtemos g10 gf2 1f 2 113 b Seja n N par I 0 e fx xn para x I Vimos na Aula 19 que f e crescente e contınua em I de modo que sua inversa gy y1n para y J 0 tambem e crescente e contınua em J Mais ainda temos f x nxn1 para x I Logo segue que se y 0 entao gy existe e gy 1 f gy 1 ngyn1 1 nyn1n 51 CEDERJ Assim deduzimos que gy 1n y1n1 para y 0 No entanto g não é diferenciável em 0 Veja os gráficos de f e g na Figura 194 Seja n ℕ n 1 ímpar seja fx xn para x R e gy y1n sua inversa definida para todo y R Como em b concluímos que g é diferenciável para y 0 que gy 1ny1n1 para y 0 Aqui também g não é diferenciável em y 0 Os gráficos de f e g aparecem na Figura 195 A Regra da Cadeia M ODULO 2 AULA 21 a fx ex2 x R b fx log sen x x 0 π c cos log1 x2 x R 2 Prove que se f R R e uma funcao par isto e fx fx para todo x R e e diferenciavel em todo ponto entao a derivada f e uma funcao ımpar ou seja f x f x para todo x R De modo semelhante se f e ımpar f e par 3 Seja f R R definida por fx x2 sen1x2 para x 0 e f0 0 Mostre que f e diferenciavel em todo x R Mostre tambem que a derivada f nao e limitada em nenhum intervalo contendo 0 4 Se r 0 e um numero racional seja f R R definida por fx xr Mostre que se r 1 entao f x existe para todo x R inclusive x 0 5 Dado que a funcao fx x5 x 2 para x R possui uma inversa g f 1 definida em R encontre gy nos pontos correspondentes a x 0 1 1 6 Dado que a restricao da funcao cosseno a I 0 π e estritamente decrescente e cos 0 1 cos π 1 seja J 1 1 e arccos J R a funcao inversa da restricao de cos a I Mostre que arccos e diferenciavel em 1 1 e D arccos y 1 1 y212 para y 1 1 Mostre que arccos nao e diferenciavel em 1 e 1 7 Dado que a restricao ao intervalo I π2 π2 da funcao tangente tan x sen x cos x e crescente e que tanI R seja arctan R R a funcao inversa de tan em I Mostre que arctan e diferenciavel em R e que D arctany 1 1 y2 para y R 8 Seja r 0 um numero racional e f R R definida por fx xr sen1x para x 0 e f0 0 Determine os valores de r para os quais f e diferenciavel para todo x R inclusive x 0 53 CEDERJ A função seno é crescente no intervalo I π2 π2 e sendo Lx log x x R Nos cursos de Cálculo você aprendeu as fórmulas para as derivadas dessas funções nomeadamente Sx cos x Cx Cx sen x Sx Ex ex Ex Lx 1x Assumindo como válidas tais fórmulas podemos aplicar a Regra da cadeia para calcular derivadas de funções bastante complexas O Teorema do Valor Medio M ODULO 2 AULA 22 Aula 22 O Teorema do Valor Medio Metas da aula Estabelecer o Teorema do Extremo Interior estudar a relacao da derivada com o crescimento local de funcoes e apresentar a pro priedade do valor intermediario das funcoes derivadas Estabelecer o Teorema do Valor Medio e apresentar algumas de suas aplicacoes tais como no estudo dos valores extremos locais de funcoes e na obtencao de desigualdades Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado do Teorema do Extremo Interior e algumas de suas aplicacoes Conhecer as relacoes entre a derivada e o crescimento local de funcoes e a propriedade do valor intermediario das funcoes derivadas Saber o significado do Teorema do Valor Medio e algumas de suas aplicacoes tais como no estudo dos valores extremos locais de funcoes e na obtencao de desigualdades Introducao O principal resultado que veremos nesta aula e o Teorema do Valor Medio que relaciona os valores de uma funcao com os de sua derivada Esse e sem duvida um dos resultados mais uteis de toda a Analise Real Para provar o Teorema do Valor Medio precisaremos primeiro estabelecer o Teorema do Extremo Interior Este ultimo justifica a pratica de se examinar os zeros da derivada para encontrar os extremos locais de uma funcao no interior de seu intervalo de definicao O Teorema do Extremo Interior tambem e usado para demonstrar a propriedade do valor intermediario exibida pelas derivadas de funcoes diferenciaveis ao longo de intervalos O Teorema do Extremo Interior Iniciaremos nossa aula com o enunciado e a demonstracao do Teo rema do Extremo Interior que justifica a pratica de se examinar os zeros da derivada para encontrar os extremos locais de uma funcao Recordemos que se I e um intervalo dizse que a funcao f I R tem um maximo local em x I se existe uma vizinhanca V Vδx de x tal que fx fx para todo x V I Neste caso tambem dizemos que x e um ponto de maximo local de f Analogamente dizemos que f tem um 55 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema do Valor Medio mınimo local em x I se existe uma vizinhanca V Vδx de x tal que fx fx para todo x V I Recordemos tambem que por definicao Vδx x δ x δ Dizemos que f tem um extremo local em x I se ela tem um maximo local ou um mınimo local em x Dizse que o ponto x e um ponto interior de I se x nao e um extremo de I ou equivalentemente se existe uma vizinhanca Vδx tal que Vδx I Teorema 221 Teorema do Extremo Interior Seja I R um intervalo x I e f I R diferenciavel em x i Se x nao e o extremo a direita de I entao f x 0 implica que existe δ 0 tal que fx fx para x x x δ Por outro lado f x 0 implica que existe δ 0 tal que fx fx para x x x δ ii Se x nao e o extremo a esquerda de I entao f x 0 implica que existe δ 0 tal que fx fx para x δ x x Por outro lado f x 0 implica que existe δ 0 tal que fx fx para x δ x x iii Se x e um ponto interior de I e f tem um extremo local em x entao f x 0 Prova i Suponhamos que x nao e o extremo a direita de I Inicialmente consideremos o caso em que f x 0 Neste caso como lim xx fx fx x x f x 0 segue do Teorema 135 na discussao sobre desigualdades e limites de funcoes que existe um δ 0 tal que se x I e 0 x x δ entao fx fx x x 0 221 Como x nao e o extremo a direita de I podemos obter δ 0 suficientemente pequeno tal que vale 221 e x x δ I Sendo assim se x x x δ entao fx fx x x fx fx x x 0 222 ou seja fx fx para x x x δ No caso em que f x 0 teremos a desigualdade oposta isto e em lugar de tanto em 221 como em 222 Isso nos dara que fx fx para x x x δ como afirmado A demontracao de ii e inteiramente analoga a de i e ficara para vocˆe como exercıcio CEDERJ 56 O Teorema do Valor Medio M ODULO 2 AULA 22 iii Seja x um ponto interior de I tal que f e diferenciavel em x e tem um extremo local em x Para fixar ideias suponhamos que x e um ponto de maximo local de f Se f x 0 entao o ıtem i nos da uma contradicao com o fato de x ser um maximo local Por outro lado se f x 0 entao o ıtem ii nos da uma contradicao com o fato de f ter um maximo local em x Logo devemos ter f x 0 O caso em que x e mınimo local segue de maneira semelhante como O ıtem iii do Teorema 221 e o que se refere diretamente ao ponto de extremo interior Observe que uma funcao f I R pode ter um extremo local num ponto x sem que exista f x Um exemplo disso e o caso da funcao fx x para x I 1 1 Observe tambem que se o extremo local x nao for um ponto interior de I entao pode existir f x com f x 0 Um exemplo desta ultima afirmacao e dado pela funcao fx x para x I 0 1 onde x 0 e um ponto de mınimo e x 1 e um ponto de maximo A seguir como primeira aplicacao do Teorema 221 vamos estabelecer a propriedade do valor intermediario exibida pela derivada de funcao dife renciavel em todo ponto de um intervalo I a b Esse resultado e devido ao matematico francˆes Gaston Darboux 18421917 que a ele empresta seu nome Ja vimos que a propriedade do valor intermediario e exibida pelas funcoes contınuas O curioso e que a derivada de uma funcao diferenciavel num intervalo a b pode nao ser contınua nesse intervalo Teorema 222 Teorema de Darboux Se f e diferenciavel em I a b com f a f b e se k e um numero qualquer entre f a e f b entao existe pelo menos um ponto c a b tal que f c k Prova Para fixar ideias suponhamos que f a k f b Definimos g em I por gx kx fx para x I Como g e contınua ela assume um valor maximo em I Como ga k f a 0 segue do Teorema 221i que o maximo de g nao ocorre em x a Similarmente como gb k f b 0 segue do Teorema 221ii que o maximo de g nao ocorre em x b Portanto g assume seu maximo em algum ponto interior c a b Entao do Teorema 221iii temos que 0 gc kf c Logo f c k 57 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema do Valor Medio Exemplos 221 1 A funcao g 1 1 R definida por gx 1 para 0 x 1 0 para x 0 1 para 1 x 0 que e a restricao da funcao sinal a I 1 1 claramente nao satisfaz a propriedade do valor intermediario Por exemplo 0 g0 12 1 g1 mas nao existe c 0 1 tal que gc 12 Portanto pelo Teorema de Darboux nao existe uma funcao f difenciavel em 1 1 tal que f x gx para todo x 1 1 2 Por outro lado ja vimos que a funcao f I 1 1 R definida por fx x2 sen1x e diferenciavel em I Sua derivada e a funcao g I R dada por gx 2x sen1x cos1x que apesar de descontınua em x 0 satisfaz a propriedade do valor intermediario veja Figura 221 gx 05 0 05 1 15 1 05 0 05 1 1 Figura 221 A funcao gx 2x sen1x cos1x O Teorema do Valor Medio A seguir estabeleceremos um resultado famoso conhecido como Teorema de Rolle cujo nome faz referˆencia ao matematico francˆes Michel Rolle 1652 1719 Tratase de um caso particular do Teorema do Valor Medio que lhe e na verdade equivalente CEDERJ 58 O Teorema do Valor Medio M ODULO 2 AULA 22 Teorema 223 Teorema de Rolle Seja f a b R uma funcao contınua no intervalo fechado I a b que e diferenciavel em todo ponto do intervalo aberto a b e satisfaz fa fb 0 Entao existe ao menos um ponto x a b tal que f x 0 Prova Se f se anula identicamente em I entao qualquer x a b satisfaz a conclusao Logo vamos assumir que f nao se anula identicamente Trocando f por f se necessario podemos supor sem perda de generalidade que f e positiva em algum ponto de a b Pelo Teorema do MaximoMınimo 162 f assume o valor supfx x I 0 em algum ponto x I Como fa fb 0 o ponto x deve pertencer ao intervalo aberto a b Logo f x existe Como f tem um maximo relativo em x concluımos do Teorema do Extremo Interior 221iii que f x 0 Veja Figura 222 fx 0 a x b Figura 222 O Teorema de Rolle Como uma consequˆencia do Teorema de Rolle obtemos o fundamental Teorema do Valor Medio Teorema 224 Teorema do Valor Medio Suponhamos que f e contınua num intervalo fechado I a b e que f e diferenciavel em todo ponto do intervalo aberto a b Entao existe ao menos um ponto x a b tal que fb fa f xb a 223 Prova Consideremos a funcao ϕ definida em I por ϕx fx fa fb fa b a x a 59 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema do Valor Medio Observe que ϕ e simplesmente a diferenca entre f e a funcao cujo grafico e o segmento de reta ligando os pontos a fa e b fb veja Figura 223 As hipoteses do Teorema de Rolle sao satisfeitas por ϕ ja que esta e contınua em a b diferenciavel em a b e ϕa ϕb 0 Portanto existe um ponto x a b tal que 0 ϕx f x fb fa b a Logo fb fa f xb a ϕx a x x b Figura 223 O Teorema do Valor Medio A seguir damos algumas aplicacoes do Teorema do Valor Medio que mostram como esse resultado pode ser utilizado para retirar conclusoes sobre a natureza de uma funcao f a partir de informacao sobre sua derivada f Teorema 225 Suponhamos que f e contınua no intervalo fechado I a b diferenciavel no intervalo aberto a b e f x 0 para todo x a b Entao f e constante em I Prova Mostraremos que fx fa para todo x I De fato dado x I com x a aplicamos o Teorema do Valor Medio a f sobre o intervalo fechado a x Obtemos que existe um ponto x a x dependendo de x tal que fx fa f xx a Como f x 0 por hipotese concluımos que fx fa 0 ou seja fx fa como afirmado Corolario 221 Suponhamos que f e g sao contınuas em I a b diferenciaveis em a b e que f x gx para todo x a b Entao existe uma constante C R tal que fx gx C para todo x I Prova Basta considerar a funcao h f g e aplicar o Teorema 225 CEDERJ 60 O Teorema do Valor Medio M ODULO 2 AULA 22 Teorema 226 Seja f I R diferenciavel no intervalo I Entao i f e naodecrescente em I se e somente se f x 0 para todo x I ii f e naocrescente em I se e somente se f x 0 para todo x I Prova i Suponhamos que f x 0 para todo x I Se x1 x2 I satisfazem x1 x2 entao aplicamos o Teorema do Valor Medio a f no intervalo fechado J x1 x2 para obter um ponto x x1 x2 tal que fx2 fx1 f xx2 x1 Como f x 0 e x2 x1 0 segue que fx2 fx1 0 ou seja fx1 fx2 o que prova que f e naodecrescente Para provar a recıproca suponhamos que f e diferenciavel e naodecrescente em I Logo dado qualquer ponto x I para todo x I com x x temos fx fxx x 0 por quˆe Logo pelo Teorema 133 concluımos que f x lim xx fx fx x x 0 ii A prova da parte ii e semelhante e sera deixada para vocˆe como exercıcio Observacao 221 Note que um argumento idˆentico ao da prova do Teorema 226 mostra que se f x 0 para todo x I entao f e crescente em I isto e x1 x2 implica fx1 fx2 para x1 x2 I No entanto a recıproca dessa afirmacao nao e verdadeira ou seja e possıvel ter f crescente num intervalo I com f se anulando em alguns pontos de I Por exemplo a funcao f R R definida por fx x3 e crescente em R mas f 0 0 Claramente uma observacao analoga vale para funcoes decrescentes Teorema 227 Teste da Primeira Derivada Seja f contınua no intervalo I a b e seja c um ponto interior de I Suponhamos que f e diferenciavel nos intervalos abertos a c e c b i Se existe uma vizinhanca c δ c δ I tal que f x 0 para c δ x c e f x 0 para c x c δ entao f tem um maximo local em c ii Se existe uma vizinhanca c δ c δ I tal que f x 0 para c δ x c e f x 0 para c x c δ entao f tem um mınimo local em c 61 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema do Valor Medio Prova i Se x c δ c entao segue do Teorema do Valor Medio que existe x x c dependendo de x tal que fc fx f xc x Como f x 0 concluımos que fx fc para x c δ c Similarmente segue do Teorema do Valor Medio e da hipotese f x 0 para x c c δ que fx fc para x c c δ Portanto fx fc para todo x c δ c δ de modo que f tem um maximo local em c ii A prova de ii e inteiramente analoga e ficara para vocˆe como exercıcio Observacao 222 A recıproca do Teste da Primeira Derivada 227 nao e valida Por exemplo a funcao f R R definida por fx x2sen1x 2 se x 0 e f0 0 e diferenciavel em todo R e satisfaz fx 0 se x 0 ja que sen1x 1 Em particular 0 e um ponto de mınimo local A derivada de f e dada por f x 2xsen1x 2 cos1x se x 0 e f 0 0 Assim se xk 12kπ para k N temos xk 0 quando k e f xk 0 para todo k suficientemente grande ja que cos1xk 1 e lim 2xksen1xk 2 0 Por outro lado se zk 22k 1π para k N temos zk 0 quando k e f zk 0 para todo k N ja que zk 0 cos1zk 0 e sen1zk 1 Portanto existem pontos arbitrariamente proximos de 0 para os quais f e negativa e pontos arbitrariamente proximos de 0 para os quais f e positiva Aplicacoes do Teorema do Valor Medio em desigual dades A seguir estabeleceremos uma aplicacao do Teorema do Valor Medio relacionada com funcoes Lipschitz Concluiremos depois dando outros exem plos de aplicacoes desse resultado para a obtencao de desigualdades Teorema 228 Seja f I R diferenciavel em todo ponto do intervalo I Se existe C 0 tal que f x C para todo x I entao fx fy Cx y para todos x y I Prova Dados x y I pelo Teorema do Valor Medio existe x x y tal que fx fy f xx y Logo fx fy f xx y Cx y CEDERJ 62 O Teorema do Valor Medio M ODULO 2 AULA 22 ja que por hipotese f x C Exemplos 222 1 Como ja foi dito anteriormente as funcoes trigonometricas sen x e cos x satisfazem D sen x cos x e D cos x sen x Alem disso vale a relacao fundamental sen x2 cos x2 1 donde segue que sen x 1 e cos x 1 Esses fatos serao provados rigorosamente em aulas futuras Do Teorema 228 segue que sen x sen y x y para todos x y R Em particular tomando x 0 e y 0 obtemos x sen x x para todo x 0 2 A funcao exponencial fx ex tem derivada f x ex para todo x R Logo f x 1 para x 0 e 0 f x 1 para x 0 A partir dessas relacoes provaremos a desigualdade ex 1 x para x R 224 com igualdade ocorrendo se e somente se x 0 Se x 0 como e0 1 claramente vale a igualdade Se x 0 aplicamos o Teorema do Valor Medio a funcao f no intervalo 0 x o que nos da ex 1 exx para algum x 0 x Segue daı que ex 1 x ou seja ex 1 x se x 0 Se x 0 aplicando o Teorema do Valor Medio a funcao f no intervalo x 0 de novo obtemos ex 1 x Portanto temos ex 1 x para todo x 0 3 Desigualdade de Bernoulli Para qualquer α R definese a funcao fx xα para x 0 por xα eα log x Usando o fato ja mencionado a ser provado em aula futura de que D log x 1x para x 0 juntamente com a Regra da Cadeia obtemos xα eα log x eα log x α x αeα log xe log x αeα1 log x αxα1 63 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema do Valor Medio o que estende a formula que havıamos estabelecido anteriormente para α racional Usando isso provaremos a desigualdade de Bernoulli que estabelece que para todo α 1 vale 1 xα 1 αx para todo x 1 225 com igualdade valendo se e somente se x 0 Observe que para α 1 vale trivialmente a igualdade para todo x R por isso esse caso e descartado Essa desigualdade foi estabelecida anteriormente para α N usando Inducao Matematica Vamos estendˆela a todo α R tal que α 1 usando o Teorema do Valor Medio Se gx 1 xα entao gx α1 xα1 Se x 0 aplicamos o Teorema do Valor Medio a g no intervalo 0 x obtendo gx g0 gxx para algum x 0 x ou seja 1 xα 1 α1 xα1x Como x 0 e α1 0 segue que 1 xα1 1 e portanto 1xα 1 αx Se 1 x 0 uma aplicacao semelhante do Teorema do Valor Medio a funcao g no intervalo x 0 nos da novamente 1 xα 1 αx por quˆe Como o caso x 0 resulta em igualdade concluımos que vale 225 com igualdade ocorrendo se e somente se x 0 4 Se 0 α 1 a 0 e b 0 entao vale a desigualdade aαb1α αa 1 αb 226 onde a igualdade vale se e somente se a b Vamos provar essa afirmacao usando o Teorema 226 Essa desigualdade pode ser provada tambem usandose a concavidade da funcao logaritmo que veremos mais tarde A desigualdade 226 e a afirmacao sobre a ocorrˆencia da igualdade serao obtidas como consequˆencia da afirmacao de que vale a desigual dade xα αx 1 α para todo x 0 e 0 α 1 227 CEDERJ 64 valendo a igualdade se e somente se x 1 tomandose x ab a 0 b 0 como 6 Use o Teorema do Valor Medio e os fatos ja mencionados sobre a funcao exponencial para provar a desigualdade ea eb eaa b para todos a b R 7 Use o Teorema do Valor Medio para provar que x1x log x x1 para x 1 Dica Use o fato de que D log x 1x para x 0 8 Seja f a b R contınua em a b e diferenciavel em a b Mostre que se lim xa f x A entao f a existe e e igual a A Dica Use a definicao de f a e o Teorema do Valor Medio 9 Seja I um intervalo e f I R diferenciavel em I Mostre que se f e positiva em I entao f e crescente em I O Teorema de Taylor M ODULO 2 AULA 23 Aula 23 O Teorema de Taylor Metas da aula Estabelecer o Teorema de Taylor e apresentar suas aplicacoes em aproximacoes de funcoes na investigacao de extremos locais e no estudo de funcoes convexas Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Conhecer o significado do Teorema de Taylor e suas aplicacoes em aproximacoes de funcoes na investigacao de extremos locais e no estudo de funcoes convexas Introducao Se I e um intervalo de R e f I R e uma funcao diferenciavel em todos os pontos de I entao temos definida em I a funcao f I R derivada primeira de f Se a funcao f for diferenciavel em um ponto x I entao teremos definida a derivada de f em x f x que denotamos simplesmente por f x e chamamos a derivada segunda de f em x Se f tambem for diferenciavel em todos os pontos de I entao teremos definida a funcao f I R derivada segunda de f Se f e diferenciavel num ponto x I entao existe f x que denotamos por f x ou f 3x chamada derivada terceira de f em x e se f e diferenciavel em todo ponto de I entao teremos definida a funcao f I R tambem denotada por f 3 e chamada derivada terceira de f Desse modo podemos definir a derivada nesima da funcao f em x I f nx desde que tenhamos definida em todo ponto de I a derivada n 1esima de f f n1 e que esta seja diferenciavel em x Observe que admitimos que x seja um ponto extremo do intervalo I Observe tambem que para que possamos definir f nx basta que tenhamos f n1 definida em x δ x δ I para algum δ 0 A derivada nesima em x f nx tambem e chamada derivada de ordem n de f em x Se a funcao f tem uma derivada nesima num ponto x0 nao e difıcil obter um polinˆomio Pn de grau n tal que Pnx0 fx0 e P k n x0 f kx0 para k 1 2 n De fato o polinˆomio Pnx fx0 f x0x x0 f x0 2 x x02 231 f nx0 n x x0n 232 67 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema de Taylor tem a propriedade de que ele e suas derivadas ate a ordem n no ponto x0 coincidem com a funcao f e suas derivadas ate a ordem n quando avaliadas nesse mesmo ponto Esse polinˆomio Pn e chamado o polinˆomio de Taylor de grau n para f em x0 e seu estudo remonta ao matematico inglˆes Brook Taylor 16831731 embora a formula para o resto Rn f Pn so tenha sido obtida muito mais tarde por JosephLouis Lagrange 17361813 A formula ou Teorema de Taylor com resto de Lagrange e suas aplicacoes constituem o tema desta aula que passamos a estudar em detalhes a seguir A formula de Taylor Seja I a b x0 I e f I R contınua em a b e diferenciavel em a b Fixemos um ponto x0 I Dado um ponto qualquer x I o Teorema do Valor Medio afirma que existe um ponto x xx no intervalo entre x0 e x ie x minx0 x maxx0 x para o qual vale a equacao fx fx0 f xx x0 233 Essa equacao nos diz que o valor fx pode ser aproximado pelo valor fx0 e que ao fazermos essa aproximacao estaremos cometendo um erro dado por R0x fx fx0 f xx x0 Para podermos estimar o erro R0x e preciso ter alguma informacao sobre o comportamento da derivada f x para x num intervalo Iδ x0 δ x0 δ I para algum δ 0 Por exemplo se para algum C 0 tivermos f x C para x Iδ entao teremos R0x Cx x0 para x Iδ Em particular se existe f x0 entao temos que f x e limitado para x Iδ para δ 0 suficientemente pequeno ja que de 233 obtemos lim xx0 f xx lim xx0 fx fx0 x x0 f x0 234 Mais ainda nesse caso e possıvel escrever 233 na forma fx fx0 f x0x x0 r1x para x I 235 onde r1x satisfaz lim xx0 r1x x x0 0 236 bastando para isso tomar r1x f xx f x0x x0 CEDERJ 68 O Teorema de Taylor M ODULO 2 AULA 23 Observe tambem que a equacao 235 nos da r1x fx fx0 f x0x x0 Segue daı que r1x e diferenciavel em x0 e r1x0 r 1x0 0 237 O seguinte resultado mostra em particular que 236 e 237 sao na verdade equivalentes uma vez que r1x e diferenciavel em x0 e estende esse fato a derivadas de ordens mais altas Lema 231 Seja r I a b R n vezes diferenciavel em x0 I As seguintes afirmacoes sao equivalentes i rx0 rx0 rnx0 0 238 ii lim xx0 rx x x0n 0 239 Prova iii Vamos usar Inducao Matematica Mostremos primeiro que a implicacao vale para n 1 Suponhamos entao que rx0 rx0 0 Usando essas hipoteses e a definicao de derivada obtemos lim xx0 rx x x0 lim xx0 rx rx0 x x0 rx0 0 o que prova que a implicacao vale para n 1 Suponhamos que a implicacao valha para n k Temos que mostrar que nesse caso ela vale tambem para n k 1 e para isso assumimos agora que rx0 rkx0 rk1x0 0 A funcao φ r satisfaz φx0 φx0 φkx0 0 Pela hipotese de inducao temos lim xx0 rx x x0k lim xx0 φx x x0k 0 Agora pelo Teorema do Valor Medio dado x I existe x xx no in tervalo aberto Ix entre x0 e x tal que rx rxx x0 Observe que lim xx0 xx x0 ja que x x0 x x0 Logo lim xx0 rx x x0k1 lim xx0 rxx x0 x x0k1 lim xx0 rx x x0k x x0k x x0k 0 69 CEDERJ já que xx0kxx0k 1 e lim xx0 rx rx0 por quê O Teorema de Taylor M ODULO 2 AULA 23 o que conclui a prova da implicacao iii O Teorema de Taylor que veremos a seguir e um refinamento do Teo rema do Valor Medio para o caso em que existam derivadas de ordens maiores do que 1 daı se pode perceber sua fundamental importˆancia Recordemos a definicao de Pnx em 231 Adotamos a convencao de que f 0 f Teorema 231 Teorema de Taylor Seja n N I a b e f I R tal que f f f n1 sao contınuas em I e f n existe em a b Fixemos x0 I Entao A Para todo x I existe x entre x0 e x tal que fx Pn1x f nx n x x0n 2310 B Se existe f nx0 podemos escrever fx Pnx rnx 2311 onde rnx satisfaz lim xx0 rnx x x0n 0 2312 Em particular lim xx0 f nx f nx0 2313 Alem disso o polinˆomio Pnx e o unico polinˆomio px de grau n tal que fx px rx onde rx satisfaz lim xx0 rx x x0n 0 Prova A Fixemos x e definamos o numero M por fx Pn1x Mx x0n 2314 Temos que mostrar que nM f nx para algum x entre x0 e x Conside remos a funcao gt ft Pn1t Mt x0n a t b 2315 Por 231 e 235 temos gnt f nt nM a t b 2316 Portanto a prova estara completa se pudermos mostrar que gnx 0 para algum x entre x0 e x 71 CEDERJ Como P k n1x0 f kx0 para k 0 n 1 temos gx1 0 para algum x0 entre x0 e x Como gx gx0 gn1x0 0 O Teorema de Taylor M ODULO 2 AULA 23 com lim xx0 rf nx x x0n lim xx0 rg nx x x0n 0 Portanto lim xx0 fx gx lim xx0 f nx0 n rf nx x x0n gnx0 n rg nx x x0n f nx0 gnx0 b A funcao definida por fx e1x2 para x 0 e f0 0 satisfaz f k0 0 para todo k N Em particular o nesimo polinˆomio de Taylor para f em 0 e Pnx 0 para todo n N De fato pelo Teorema do Valor Medio aplicado repetidamente a f e as suas derivadas basta mostrar que existem os limites lim x0 f nx e que esses sao iguais a 0 Com efeito pelo Teorema do Valor Medio temos f k1xf k10 f kxx para algum x entre 0 e x Como x 0 quando x 0 vemos que lim x0 f kx lim x0 f kx lim x0 f k1x f k10 x f k0 onde tambem usamos a definicao de derivada Agora usando seus conhecimentos de Calculo vocˆe podera verificar que para x 0 temos f kx pk1 xe1x2 onde pky e um polinˆomio de grau 3k Portanto a afirmacao estara provada se mostrarmos que para todo m N vale lim x0 e1x2 xm 0 2319 Claramente nesse caso particular basta mostrar por quˆe lim x0 e1x2 xm 0 para todo m N Como 1x quando x 0 e 1y 0 quando y isso e equivalente a mostrar que lim y ymey2 0 para todo m N 2320 Agora das desigualdades y 1 y ey obtemos ym emy Assim para y 0 temos ymey2 ey2my eym22m2 em2eym22 0 quando y o que prova 2320 e por conseguinte 2319 73 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema de Taylor c Vamos aproximar o numero e com erro menor que 105 Consideremos a funcao fx ex e tomemos x0 0 e x 1 na formula de Taylor 2310 Precisamos determinar n tal que Rn1 105 onde Rnx fx Pnx f n1x n 1 x x0n por 2310 Para isso usaremos o fato de que f x ex e a limitacao inicial ex 3 para 0 x 1 Claramente de f x fx ex segue que f kx ex para todo k N Em particular f k0 1 para todo k N Consequentemente o nesimo polinˆomio de Taylor e dado por Pnx 1 x x2 2 xn n e o resto para x 1 e Rn1 exn 1 para algum x satisfazendo 0 x 1 Como ex 3 devemos buscar um valor de n tal que 3n 1 105 Um calculo revela que 9 362880 3 105 de modo que o valor n 8 nos dara a desejada acuracia Mais ainda como 8 40320 nenhum valor menor de n sera satisfatorio Assim obtemos e P81 1 1 1 2 1 8 2 71828 com erro menor do que 105 O Teorema de Taylor pode ser usado para se obter desigualdades como mostram os dois exemplos a seguir Exemplos 232 a 1 1 2x2 cos x 1 1 2x2 1 6x3 para todo x R Em particular temos lim x0 1 cos x x2 1 2 2321 Apliquemos o Teorema de Taylor 231A a funcao fx cos x em x0 0 e n 3 para obter cos x 1 1 2x2 R2x com R2x f x 3 x3 sen x 6 x3 CEDERJ 74 O Teorema de Taylor M ODULO 2 AULA 23 para algum x entre 0 e x A desigualdade cos x 1 1 2x2 1 6x3 segue imediatamente da formula para R2x e do fato de que sen y 1 para todo y R Quanto a desigualdade 1 1 2x2 cos x argumentamos do seguinte modo Se 0 x π entao 0 x π Como x e x3 sao positivos temos R2x 0 Tambem se π x 0 entao π x 0 Como sen x e x3 sao ambos negativos de novo temos R2x 0 Portanto temos 1 1 2x2 cos x para x π Se x π entao 1 1 2x2 3 cos x e a desigualdade vale trivialmente Da desigualdade demonstrada segue que 1 2 1 cos x x2 1 2 1 6x Como o limite do ultimo membro da desigualdade e igual ao primeiro membro isto e 1 2 2321 segue do Teorema 134 O limite em 2321 tambem pode ser obtido diretamente da Regra de LHˆopital no Exem plo 231a b Para todo k N e todo x 0 temos x1 2x2 1 2kx2k log1x x1 2x2 1 2k 1x2k1 2322 Usando o fato de que a derivada de log1 x e 11 x para x 0 vemos que o nesimo polinˆomio de Taylor para log1 x com x0 0 e Pnx x 1 2x2 1n1 1 nxn e o resto e dado por Rnx 1nn 1 1 xn1 xn1 para algum x satisfazendo 0 x x Assim para x 0 se n e par isto e n 2k para algum k N entao temos R2kx 0 se n e ımpar n 2k 1 para algum k N entao R2k1x 0 A desigualdade 2322 segue imediatamente dessas consideracoes Extremos Locais Como foi visto o Teste da Primeira Derivada 227 ajuda a determinar se um ponto onde a derivada de f se anula e um maximo local ou um mınimo 75 CEDERJ ANALISE REAL O Teorema de Taylor local ou simplesmente nao e um extremo local Se existem derivadas de ordens mais altas essas tambem podem ser usadas para essa determinacao Teorema 232 Seja I um intervalo x0 um ponto interior de I e seja n 2 Suponhamos que as derivadas f f f n existam e sejam contınuas numa vizinhanca de x0 e f x0 f n1x0 0 mas f nx0 0 i Se n e par e f nx0 0 entao f tem um mınimo local em x0 ii Se n e par e f nx0 0 entao f tem um maximo local em x0 iii Se n e ımpar entao f nao tem um extremo local em x0 Prova Pelo Teorema de Taylor 231A temos para x I fx Pn1x Rn1x fx0 f nx n x x0n onde x e um ponto entre x0 e x Como f n e contınua se f nx0 0 entao existe um intervalo aberto U contendo x0 tal que f nx tem o mesmo sinal que f nx0 para x U Se x U entao o ponto x tambem pertence a U e consequentemente f nx e f nx0 tˆem o mesmo sinal i Se n e par e f nx0 0 entao para x U temos f nx 0 e x x0n 0 de modo que Rn1x 0 Logo fx fx0 para x U e portanto f tem um mınimo local em x0 ii Se n e par e f nx0 0 entao segue que Rn1x 0 para x U de modo que fx fx0 para x U Portanto f tem um maximo local em x0 iii Se n e ımpar entao x x0n e positivo se x x0 e negativo se x x0 Consequentemente se x U entao Rn1x tera sinais opostos a esquerda e a direita de x0 Logo f nao pode ter extremo local em x0 Funcoes Convexas A nocao de convexidade desempenha um papel fundamental na Matematica assim como em outras ciˆencias Em particular em problemas de otimizacao que surgem em areas diversas como nas varias modalidades de engenharia economia etc CEDERJ 76 Definição 231 Seja I R um intervalo Dizse que uma função f I R é convexa em I se para quaisquer pontos z w I e todo θ S temos f1 θz θw 1 θfz θfw 2323 Observe que se z w então quando θ varia de 0 a 1 o ponto 1θz θw percorre o intervalo de z a w Assim se f é convexa em I se z w I então o segmento de reta unido aos pontos z fz e w fw pertencentes ao gráfico de f se situa acima do gráfico de f veja Figura 231 Figura 231 Uma função convexa Sejam A z fz B w fw C 1 θz θw f1 θz θw AB o segmento de reta ligado A a B AC e CB os segmentos de reta ligados A a C e B a C respectivamente e mAB mAC e mCB as inclinações das retas contendo AB AC e CB respectivamente Observe que mAB fw fz w z mAC f1 θz θw fz θw z mCB f1 θz θw fw 1 θz w Assim somando fz a cada membro de 2323 e em seguida dividindo ambos os membros por θw z obtemos mAC mAB De modo semelhante obtemos mAB mCB onde resultam as desigualdades mAC mAB mCB 2324 ANALISE REAL O Teorema de Taylor Teorema 233 Se f I R e convexa no intervalo I entao existem as derivadas laterais f x0 e f x0 para todo x0 I Em particular f e contınua em todo ponto interior de I Prova Sejam x1 x2 I satisfazendo i x1 x2 x0 ou ii x0 x2 x1 Observemos que a reta contendo o segmento ligando os pontos x1 fx1 e x0 fx0 pode ser descrita pela equacao y fx0 fx1 fx0 x1 x0 x x0 2325 Em ambos os casos i x1 x2 x0 e ii x0 x2 x1 o ponto x2 satisfaz x2 1 θx0 θx1 para algum θ com 0 θ 1 Logo o ponto x2 fx2 pertencente ao grafico de f fica acima do ponto x2 y2 pertencente a reta ligando x0 fx0 a x1 fx1 Usando 2325 isso nos da fx2 fx0 fx1 fx0 x1 x0 x2 x0 2326 Portanto no caso i por 2326 temos fx2 fx0 x2 x0 fx1 fx0 x1 x0 2327 ao passo que no caso ii temos fx2 fx0 x2 x0 fx1 fx0 x1 x0 Entao a funcao gx fx fx0x x0 para x I com x x0 e crescente em ambos os intervalos I x0 I e I x0 I Alem disso usando 2324 deduzimos que g e limitada superiormente em I e inferiormente em I por quˆe Concluımos entao que existem os limites laterais lim xx0 gx e lim xx0 gx que por definicao sao as derivadas laterais f x0 e f x0 O fato de que f e contınua em todo ponto interior de I decorre do Teorema 203 Quando f e duas vezes diferenciavel a convexidade pode ser caracteri zada de modo bastante simples como mostra o resultado seguinte Teorema 234 Seja I um intervalo aberto e suponhamos que f I R e duas vezes diferenciavel em todo ponto de I Entao f e convexa em I se e somente se f x 0 para todo x I CEDERJ 78 O Teorema de Taylor M ODULO 2 AULA 23 Prova Pelo Teorema de Taylor 231B dado a I e h R tal que a h I temos fa h fa f ah 1 2f ah2 rh fa h fa f ah 1 2f ah2 rh onde lim h0 rh h2 0 Somando essas equacoes e dividindo por h2 obtemos fa h 2fa fa h h2 f a rh h2 rh h2 donde segue que f a lim h0 fa h 2fa fa h h2 2328 Se f e convexa como a 1 2a h 1 2a h temos fa f1 2a h 1 2a h 1 2fa h 1 2fa h Portanto fa h 2fa fa h 0 Como h2 0 para todo h 0 vemos que o limite em 2328 deve ser naonegativo Logo f a 0 para todo a I Sejam z w I 0 θ 1 e ponhamos x0 1 θz θw Pelo Teorema de Taylor 231A temos fz fx0 f x0z x0 1 2f x1z x02 2329 fw fx0 f x0w x0 1 2f x2w x02 2330 para algum x1 entre x0 e z e algum x2 entre x0 e w Multiplicando 2329 por 1θ e 2330 por θ e em seguida somando as duas equacoes obtemos 1 θfz θfw fx0 1 θ 2 f x1z x02 θ 2f x2w x02 fx0 f1 θz θw ja que 1 θ 2 f x1z x02 θ 2f x2w x02 0 pelo fato de que f e naonegativa Logo f e convexa em I Exercıcios 231 1 Seja fx sen ax para x R com a 0 Encontre f nx para n N x R 79 CEDERJ 2 Seja gx x2x para x R Encontre gx e gx para x R e gx para x 6 0 Mostre que não existe g0 3 Use Indução para provar a regra de Leibniz para a nésima derivada do produto f gnx n k0 n k fnkxgkx 4 Mostre que se x 0 então 1 1 2 x 1 3 x2 1 x 1 1 2 x 5 Se x 0 mostre que 1 x13 1 1 3 x 1 3 2 x2 581x2 Use essa desigualdade para aproximar 12 e 2 6 Se fx ex mostre que o termo que dá o resto no Teorema de Taylor 231A converge a 0 quando n para cada x e x0 fixados 7 Calcule e com sete casas decimais corretas 8 Determine se z 0 ou não um extremo local das seguintes funções a fx x3 2 b fx x4 1 c fx sen x x d fx cosx 1 1 2 x2 9 Seja I R um intervalo aberto e f duas vezes diferenciável e convexa em I Se x0 I mostre que nenhum ponto do gráfico de f está abaixo da reta tangente ao gráfico em x0 fx0 A Integral de Riemann M ODULO 2 AULA 24 Aula 24 A Integral de Riemann Metas da aula Definir a integral de Riemann e dar varios exemplos onde o calculo da integral de funcoes particulares e feito a partir da definicao Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber a definicao de integral de Riemann de uma funcao Saber utilizar a definicao de integral para o calculo de integrais das funcoes mais simples Saber utilizar a definicao de integral para provar suas propriedades mais elementares Introducao Nesta aula vamos definir a integral de Riemann como limite das somas de Riemann quando a norma das particoes tende a zero como e usualmente feito nos cursos de calculo Nestes e comum se enfatizar a interpretacao geometrica da integral como a area sob o grafico de uma funcao naonegativa bem como suas diversas aplicacoes em fısica engenharia economia etc Aqui vamos focalizar os aspectos puramente matematicos da integral Uma vez definida a integral de uma funcao f num intervalo a b apre sentaremos exemplos onde calculamos a integral de certas funcoes usando apenas a definicao dada Em seguida provaremos o Teorema da Limitacao que afirma que uma funcao integravel a Riemann num intervalo a b e ne cessariamente limitada Estabeleceremos tambem uma propriedade da integral bastante con hecida desde os cursos de Calculo que e o fato de que combinacoes lineares de funcoes integraveis sao tambem funcoes integraveis cujas integrais sao as combinacoes lineares correspondentes das respectivas funcoes Ao final definiremos somas superiores e inferiores de uma funcao e dare mos uma caracterizacao para funcoes integraveis num intervalo a b atraves dessas somas 81 CEDERJ Partições e Partições Aferidas Se I a b é um intervalo limitado em R então uma partição de I é um conjunto finito ordenado P x0 x1 xn1 xn de pontos em I tais que a x0 x1 xn1 xn b Os pontos de P servem para dividir I a b em subintervalos sucessivos I1 x0 x1 I2 x1 x2 In1 xn2 xn1 In xn1 xn Com o objetivo de chamar a atenção para os subintervalos da partição P frequentemente escreveremos P xi1 xini1 Definimos a norma da partição P como o número P maxx1 x0 x2 x1 xn xn1 241 Portanto a norma de uma partição é meramente o comprimento do maior dentre os subintervalos no qual a partição subdivide a b Claramente várias partições podem ter a mesma norma de modo que a partição não é uma função da norma Dada uma partição P xi1 xini1 e uma escolha de n pontos ti Ii xi1 xi chamamos uma partição aferida ao conjunto de pares li ti i 1 n e denotamos P xi1 xi tini1 os pontos selecionados ti Ii são chamados de aferições Num contexto em que tivermos de nos referir a mais de uma partição aferida associada a uma mesma partição P além de P utilizaremos também as notações P ou P para denotar partições aferidas As aferições podem ser escolhidas de maneira totalmente arbitrária Por exemplo podemos escolher como aferições os extremos à esquerda ou os extremos à direita ou os pontos médios ou enfim quaisquer outros pontos nos subintervalos da partição Observe então que mesmo ponto deve servir de aferição para dois intervalos consecutivos xi Ii In1 e podemos tomar ti ti1 xi para algum i 1 n 1 Se P xi1 xi tini1 é uma partição aferida definimos a soma de Riemann de uma função f a b R correspondente a P como sendo o número Sf P n i1 ftixi xi1 242 Vêse facilmente que se f é positiva em a b então a soma de Riemann 242 é a soma das áreas dos n retângulos cujas bases são os subintervalos Ii xi1 xi e cujas alturas são os valores fti correspondentes Veja Figura 241 ANÁLISE REAL Sf P não é uma função de P a palavra limite assim empregada tem um significado distinto daquele que foi estudado anteriormente para funções embora a afinidade entre as situações seja bastante visível Para que a definição de integral que acabamos de dar faça sentido precisamos mostrar antes de tudo que o número L está unicamente definido Teorema 241 Se f Rab então o valor da integral está unicamente determinado Prova Provaremos este fato por contradição Suponhamos então que f Rab e que existam dois números distintos L e L satisfazendo a Definição 241 Seja ℓ L L 0 Tomemos ε ℓ3 na Definição 241 Então existe δ δε 0 tal que se P é uma partição aferida qualquer de a b com P δ então devemos ter Sf P L ε e Sf P L ε Assim fixa uma tal partição aferida P teremos ℓ L L L Sf P L Sf P 2ε 2ℓ3 o que é absurdo e portanto concluí a prova por contradição Exemplos 241 a Toda função constante em a b pertence a Ra b De fato seja fx C para todo x a b onde C é um número real qualquer Se P xi1 xii for uma partição aferida qualquer de a b então é claro que Sf P n i1 Cxi xi1 Cb a Portanto para qualquer ε 0 podemos escolher um δ 0 qualquer por exemplo δ b a de modo que se P δ então Sf P Cb a 0 ε Como ε 0 arbitrário concluímos que f Ra b e b a f Cb a b Seja a c b e R definida por fx C1 para a x c e fx C2 para c x b onde C1 e C2 são dois números reais quaisquer Então f Ra b e b a f C1c a C2b c De fato seja P uma partição aferida qualquer de a b com P δ Temos que c xi1 xi para algum subintervalo xi1 xi da partição P correspondente a P Claramente temos xi xi1 δ e além disso Sf P k i1 xi xi1 ftixi xi1 C2b xi C1c a C2b c k i1 ftixi xi1 C1c xi1 C2xi c Assim dado ε 0 para que tenhamos Sf P C1c a C2b c ε basta tomarmos δ 0 tal que 3C1 C2δ ε ou seja δ ε3C1 C2 Podemos então refazer os passos anteriores e obter que Sf P C1c a C2b c ε Sendo ε 0 arbitrário concluímos que f Ra b e b a f C1c a C2b c como afirmado c Seja fx x² para x a b Mostraremos que f Ra b e b a f 12b² a² De fato dada uma partição qualquer P I1 In de a b com Ii xi1 xi escolhemos inicialmente uma afecção especial para P tomando os pontos qi Ii definidos por qi 12xi xi1 Denotemos P qini1 Temos fqi xi1 12xi xi1xi xi1 12xi² xi1² Vêse facilmente que se f é positiva em a b então a soma de Riemann 242 é a soma das áreas dos n retângulos cujas bases são os subintervalos Ii xi1 xi e cujas alturas são os valores fti correspondentes Veja Figura 241 Figura 241 Uma soma de Riemann Definição de Integral de Riemann A seguir definimos a integral de Riemann de uma função f sobre um intervalo a b Definição 241 Dizse que uma função f a b R é integrável à Riemann em a b se existe um número L R tal que para todo ε 0 existe δ δε 0 tal que se P é uma partição aferida qualquer de a b com P δ então Sf P L ε 243 Quando f é integrável à Riemann em a b usamos as notações para representar o número L correspondente L b a f ou b a fx dx O conjunto de todas as funções integráveis no intervalo a b será denotado Ra b Observação 241 É comum resumir a definição anterior dizendo que a integral b a f é o limite das somas de Riemann Sf P quando a norma P 0 No entanto como Sf P sumi1n frac12 xi2 xi12 frac12 b2 a2 Sg P Sf P left sumi1n gti ftixi xi1 right leq sum ti ti in Fg gti ftixi xi1 leq MN P Sg P Sf P leq fracepsilon3 NMdelta leq epsilon Então g Ra b e b a g b a f O Teorema da Limitação A seguir vamos mostrar que toda função integrável à Riemann é necessariamente limitada Teorema 243 i Se f g Ra b e fx gx para todo x a b então b a f b a g Figura 242 À esquerda uma soma inferior À direita a soma superior correspondente Teorema 244 As duas afirmações seguintes são equivalentes i f Ra b ii Existe um número L R satisfazendo o seguinte Qualquer que seja ε 0 existe δ δε 0 tal que se P é uma partição qualquer de a b com P δ então Sf P L ε e Sf P L ε Exercícios 241 1 Seja I 0 4 calcule as normas das seguintes partições a P1 0 1 2 4 b P2 0 2 3 4 c P3 0 05 15 2 34 4 d P4 0 05 25 35 4 9 Use Indução Matemática e os resultados dos dois itens anteriores para mostrar que se f1 fn estão em Ra b e se c1 cn R então a combinação linear f n i1 ci fi pertence a Ra b e ab f n i1 ci ab fi 10 Se f Ra b e fx M para todo x a b mostre que ab f Mb a Funcoes Integraveis a Riemann M ODULO 2 AULA 25 Aula 25 Funcoes Integraveis a Riemann Metas da aula Provar o Criterio de Cauchy para Integrabilidade e dar algumas de suas aplicacoes na determinacao da integrabilidade de funcoes Demonstrar a integrabilidade do resultado de certas operacoes naolineares com funcoes integraveis Demonstrar a propriedade da aditividade da integral de uma funcao em relacao a uniao de intervalos concatenados Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber o significado do Criterio de Cauchy para Integrabilidade e como aplicalo na investigacao sobre a integrabilidade de funcoes e na de monstracao de certas propriedades das funcoes integraveis Saber a propriedade da aditividade da integral de uma funcao em relacao a uniao de intervalos concatenados e seu uso no calculo de integrais Introducao Nesta aula vamos apresentar o Criterio de Cauchy para Integrabilidade que sera utilizado na determinacao da integrabilidade de certas funcoes e na demonstracao de diversas propriedades A primeira aplicacao do Criterio de Cauchy que daremos sera a demonstracao do fato de que toda funcao contınua e integravel a Riemann Entre outras aplicacoes veremos o Teorema do Sanduıche para Inte grais e a integrabilidade do resultado de certas operacoes naolineares com funcoes integraveis como produto quociente valor absoluto e composicao com funcoes Lipschitz Tambem vamos estabelecer a propriedade da aditividade da integral em relacao a uniao de intervalos concatenados isto e dois intervalos cuja intersecao se reduz a um ponto o qual e um extremo de ambos Criterio de Cauchy para Integrabilidade Se P x0 x1 xn1 xn e uma particao de a b denotemos por P o conjunto x0 x1 xn1 xn Dadas duas particoes P1 e P2 de a b dizemos que P2 refina ou e 97 CEDERJ 14 Seja f 0 1 R dada por f0 0 e fx 12n se 12n1 x 12n para n N 0 Prove que f R0 1 e calcule 10 f Funcoes Integraveis a Riemann M ODULO 2 AULA 25 i f Ra b ii Qualquer que seja ε 0 existe δ δε 0 tal que se P e uma particao qualquer de a b com P δ entao Sf P Sf P ε 251 Prova iii Suponhamos f Ra b Entao pelo Teorema 244 dado ε 0 podemos obter δ δε2 tal que se P e uma particao com P δ entao Sf P L ε2 e Sf P L ε2 Assim tomando δ δε δε2 se P δ entao pela desigualdade triangular Sf P Sf P Sf P L Sf P L ε 2 ε 2 ε o que demonstra a implicacao iii Suponhamos que dado ε 0 podemos obter δ δε 0 tal que para toda particao P de a b com P δ temos 251 Para ε 1k seja δk δ1k k N Podemos supor que δ1 δ2 δ3 pois se isso nao valer podemos trocar por δ k minδ1 δk Agora tomamos particoes Pk com Pk δk tais que P1 P2 P3 Para tanto primeiro tomamos uma particao P1 qualquer com P1 δ1 dividimos cada subintervalo de P1 em subintervalos de comprimento menor do que δ2 para obter P2 P1 em seguida dividimos cada subintervalo de P2 em subintervalos de comprimento menor do que δ3 para definir P3 e assim por diante Temos Sf P1 Sf P2 Sf P3 Mba onde M supfx x a b por quˆe Assim Sf Pk e uma sequˆencia nao decrescente e limitada superiormente Logo existe L limk Sf Pk por quˆe Analogamente temos Sf P1 Sf P2 Sf P3 mb a onde m inffx x a b e portanto Sf Pk e uma sequˆencia naocrescente e limitada inferiormente Segue que existe L limk Sf Pk Por hipotese temos 0 Sf Pk Sf Pk 1k Passando ao limite quando k obtemos L L Ponhamos L L L Seja ε 0 e δ δε3 tal que 251 vale com ε3 em lugar de ε se P δ Seja k N tal que Sf Pk L ε3 Sf Pk L ε3 e Sf Pk Sf Pk ε3 Dada uma particao P de a b com P δ definamos Qk P Pk Temos Sf P Sf Qk Sf Qk Sf P 99 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Integraveis a Riemann e Sf Pk Sf Qk Sf Qk Sf Pk Segue daı e da desigualdade triangular que Sf P L Sf P Sf Qk Sf Qk L Sf P Sf Qk Sf Qk Sf Pk Sf Pk L ε 3 ε 3 ε 3 ε Analogamente obtemos Sf P L ε Entao pelo Teorema 244 concluımos que f Ra b O criterio que acabamos de estabelecer admite a formulacao alternativa seguinte aparentemente distinta porem equivalente Teorema 252 Criterio de Cauchy para Integrabilidade I As duas afirmacoes seguintes sao equivalentes i f Ra b ii Qualquer que seja ε 0 existe δ δε 0 tal que se P e Q sao particoes quaisquer de a b com P δ Q δ entao Sf P Sf Q ε 252 Prova iii Inteiramente semelhante a prova da implicacao correspon dente no Teorema 251 Deixamos os detalhes para vocˆe como exercıcio iii A condicao ii claramente implica a condicao ii do Teo rema 251 que por sua vez implica a condicao i pelo mesmo Teorema 251 Como anunciado daremos a seguir a segunda versao Criterio de Cauchy para Integrabilidade a qual e baseada em somas de Riemann Teorema 253 Criterio de Cauchy para Integrabilidade II Seja f a b R Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes i f Ra b ii Dado qualquer ε 0 existe δ δε 0 tal que dada qualquer particao P xi1 xin i1 de a b com P δ e dois conjuntos quaisquer CEDERJ 100 Prova iii Suponhamos que f Ra b Pelo Teorema 251 existe δ 0 tal que P é uma partição de a b com P δ então 0 Sf P Sf P ε Agora dadas duas partições afei radas P e P com base em P como na afirmação ii temos Sf P Sf P Sf P Sf P ε por quê Prova iii Totalmente semelhante à prova da implicação correspondente no Teorema 253 Deixamos os detalhes para você como exercício iii A condição ii claramente implica a condição ii do Teorema 253 que por sua vez implica a condição i pelo próprio Teorema 253 e tais que ab ωe αe ε 256 De fato dado ε 0 como lim an 0 existe N0 Nε tal que 0 an ε2M para n N0 Definimos αε bn x an an1 n 1 N0 M x 0 aN0 ωε bn x an an1 n 1 N0 M x 0 aN0 Do Teorema 243iv temos que αε e ωε assumidas pertencem à R0 1 e valem 255 e 256 Logo pelo Teorema 256 segue que f R0 1 Além disso do Teorema 243i e da desigualdade 255 segue que b a f b a ωε Como lim ε0 b a αε lim ε0 b a ωε lim N N n1 bnan1 an n1 bnan1 an segue que b a f bnan1 an b O Critério de Cauchy para Integrabilidade 253 pode ser usado para mostrar que uma função f a b R não é integrável à Riemann Para isso basta mostrarmos que Existe ε 0 tal que para qualquer δ 0 existem partições aferidas P P possuindo os mesmos subintervalos de uma partição P de a b com P δ e tais que Sf P Sf P ε0 Aplicaremos essa observação à função de Dirichlet f 0 1 R definida por fx 1 se x 0 1 é racional e fx 0 se x 0 1 é irracional De fato podemos tomar ε0 1 2 Se P e P são partições aferidas correspondentes a uma mesma partição P qualquer de a b tais que as aferições de P são racionais enquanto as aferições de P são irracionais teremos sempre Sf P 1 ao passo que Sf P 0 por quê Devido à densidade dos racionais e dos irracionais em 0 1 podemos tomar partições aferidas P P com normas arbitrariamente pequenas e formar partições aferidas P P como mencionado Concluímos então que a função de Dirichlet não é integrável à Riemann No resultado a seguir vamos estabelecer o bom comportamento de Ra b em relação às operações de produto quociente tomado do módulo ou valor absoluto e composição com funções Lipschitz Teorema 257 Seja f g Ra b então i fg Ra b ii Se gx η 0 para x a b então fg Ra b iii f Ra b e b a f b a f iv Se fa b c d e H c d R é uma função Lipschitz então H f Ra b Prova i Como f g Ra b pelo Teorema 242 existe M 0 tal que fx M e gx M para x a b Além disso pelo Teorema 251 dado ε 0 existe δ δε 0 tal que se P e P são uma partição de a b com P δ então 0 Sf P Sf P ε 2M e 0 Sg P Sg P ε 2M Seja ε 0 dado Tomemos um tal δ δε 0 como mencionado Seja P ti n i1 uma partição de a b com P δ e sejam P ti ti1 n i1 e P li si n i1 duas partições aferidas associadas possuindo os mesmos subintervalos de P li xi1 xi Sejam e Mj f mj f definidos analogamente com g em lugar de f Temos Sfg P Sfg P n i1 ftigti fsigsixi xi1 n i1 ftigti fsigsixi xi1 1 n ftigti ftigsi ftigsi fsigsixi xi1 1 n ftigti gsi gsifti fsixi xi1 M i1 Mj f mj fxi xi1 M i1 M j f m j fxi xi1 MSg P Sg P MSf P Sf P M ε 2M M ε 2M ε Como ε 0 é arbitrário segue do Teorema 253 que fg Ra b ii Basta provar que 1g Ra b e então aplica o item i a f e 1g Provemos então que 1g Ra b Dadas duas partições aferidas de a b P ti n i1 e P li si n i1 possuindo os mesmos subintervalos de uma partição P li si n i1 temos S1g P S1g P n i1 1 gti 1 gsi n i1 gsi gtixi xi1 1 η2 Sg P Sg P por quê Seja ε 0 dado Como g é integrável existe δε 0 tal que P δ então 0 Sg P Sg P εη2 Assim se P e P são partições aferidas com os mesmos subintervalos de uma partição P com P δ pela estimativa que acabamos de fazer teremos S1g P S1g P 1 η2 η2 ε Segue então do Teorema 253 que 1g Ra b o que concluí a prova de ii iii De novo dadas duas partições aferidas de a b P li si n i1 possuindo os mesmos subintervalos de uma partição P Como temos anteriores usamos o Teorema 251 para obter que existe δ 0 tal que o último membro da desigualdade anterior é menor que ε e P δ e então usamos o Teorema 253 para concluir que f Ra b Portanto Sf P Sf P 2ε3 ab ωe αe 2ε3 ε3 ε aferida por a c definida por P1 I1 t1 Ik1 tk1 xk1 c c e P2 a partição aferida de c b definida por P2 c xk c Ik1 tk1 In tn com Ii xi1 xi Um cálculo simples mostra que Sf P Sf1 P1 Sf2 P2 ftkxk xk1 fcxk xk1 ftk fcxk xk1 Segue daí que Sf P Sf1 P1 Sf2 P2 2Mxk xk1 ε3 2512 Mas como P1 δ δ2 e P2 δ δ2 temos que Sf1 P1 L1 ε3 e Sf2 P2 L2 ε3 o qual juntamente com 2512 nos dá 2511 Como ε 0 é arbitrário concluímos que f Ra b e que 2510 vale Definição 251 Se f Ra b e seja α β a b com α β definimos f β a f e α a f 0 2513 Com a definição que acabamos de dar o Teorema da Aditividade facilmente implica o seguinte resultado cuja demonstração se resume à verificação de todos os possíveis casos dependendo do ordenamento entre α β γ e será deixada para você como exercício veja o exercício 12 Teorema 259 Se f Ra b e α β γ são quaisquer números em a b então β a f γ a f β γ f 2514 Aula 26 O Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental Primeira Forma Exemplos 261 O Teorema Fundamental Segunda Forma Prova Inicialmente supomos que x a b e vamos analisar a derivada à direita de F em x Como f é contínua em x dado ε 0 existe δε 0 tal que x δ x x δ então fx ε fx fx ε O Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo Sequˆencias e Series de Funcoes M ODULO 2 AULA 27 Aula 27 Sequˆencias e Series de Funcoes Metas da aula Definir convergˆencia pontual e convergˆencia uniforme para sequˆencias de funcoes Estabelecer o criterio de Cauchy para con vergˆencia uniforme de funcoes Enunciar e demonstrar o Teste de Weierstrass para a convergˆencia uniforme de series de funcoes Estabelecer os resultados basicos sobre series de potˆencias Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber as definicoes de convergˆencia pontual e de convergˆencia uniforme para uma sequˆencia de funcoes Saber distinguir claramente esses dois tipos de convergˆencia de sequˆencias de funcoes Dar exemplos de sequˆencias de funcoes que convergem pon tualmente mas nao convergem uniformemente Saber o criterio de Cauchy para convergˆencia uniforme de sequˆencias de funcoes e algumas de suas aplicacoes Saber o enunciado e algumas aplicacoes do Teste de Weierstrass para a convergˆencia uniforme de series de funcoes Conhecer os fatos basicos sobre series de potˆencias determinacao do raio de convergˆencia convergˆencia uniforme da serie em intervalos fechados contidos no intervalo aberto definido pelo raio de convergˆencia Introducao Dado A R suponhamos que para cada n N tenhamos associada uma funcao fn A R Diremos que fn e uma sequˆencia de funcoes definidas em A tomando valores em R Sequˆencias de funcoes surgem com muita frequˆencia em Analise por exemplo quando desejamos encontrar uma funcao verificando determinadas condicoes e adotamos a estrategia de resolver tal problema obtendo sucessivamente funcoes que satisfazem aproximadamente tais condicoes com aproximacoes cada vez melhores Nesta aula vamos estudar dois tipos importantes de convergˆencia para uma sequˆencia de funcoes fn O primeiro tipo de convergˆencia de funcoes que definiremos e tambem o mais simples a convergˆencia pontual Significa simplesmente que a sequˆencia de numeros reais fnx converge para um numero fx para todo x A nesse caso dizemos que a funcao f A R 121 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias e Series de Funcoes definida por fx lim fnx para x A e o limite pontual da sequˆencia de funcoes fn A R O segundo tipo de convergˆencia que veremos e a convergˆencia uniforme de funcoes fn A R para uma funcao f A R Significa grosso modo que existe uma sequˆencia de numeros positivos Mn satisfazendo lim Mn 0 e fnx fx Mn para todo x A A convergˆencia uniforme e portanto mais restritiva que a convergˆencia pontual no sentido de que a convergˆencia uniforme implica a convergˆencia pontual sendo a recıproca em geral falsa como veremos Uma questao basica quando lidamos com uma sequˆencia de funcoes qualquer fn e saber se certas propriedades verificadas por todos os mem bros fn dessa sequˆencia tais como continuidade e integrabilidade tambem sao verificadas pela funcao limite f no caso em que a sequˆencia fn converge em algum sentido para a funcao f Veremos na proxima aula que o conceito de convergˆencia uniforme de funcoes fornece resposta positiva a essa questao em diversos casos como o da continuidade e da integrabilidade e que o mesmo nao e verdadeiro em relacao ao conceito de convergˆencia pontual Convergˆencia Pontual e Convergˆencia Uniforme Iniciemos a seguir o estudo detalhado desses modos de convergˆencia Comecemos com a definicao da convergˆencia pontual de uma sequˆencia de funcoes Definicao 271 Seja A R fn uma sequˆencia de funcoes definidas em A com valores em R e f A R Dizemos que a sequˆencia fn converge pontualmente para f em A se para cada x A a sequˆencia de numeros reais fnx converge para fx Usando a definicao de limite de uma sequˆencia de numeros reais pode mos reescrever a Definicao 271 na forma fn converge pontualmente para f em A se para todo x A e todo ε 0 existe N0 N0x ε N tal que se n N e n N0 entao fnx fx ε O detalhe a ser destacado e que na definicao de convergˆencia pontual N0 depende nao apenas de ε mas em geral tambem de x A Essa e a diferenca fundamental entre a convergˆencia pontual e a convergˆencia uni forme de funcoes que definimos a seguir CEDERJ 122 Sequˆencias e Series de Funcoes M ODULO 2 AULA 27 Definicao 272 Seja A R fn uma sequˆencia de funcoes definidas em A com valores em R e f A R Dizemos que a sequˆencia fn converge uniformemente para f em A se para todo ε 0 existem N0 N0ε N tal que se n N e n N0 entao fnx fx ε para todo x A f A ε ε fn Figura 271 fnx fx ε para todo x A Portanto como ja havıamos alertado na definicao de convergˆencia uni forme de funcoes o N0 depende apenas de ε e nao de x A E interessante estabelecermos explicitamente a negacao da definicao de convergˆencia uni forme como no lema a seguir cuja demonstracao deixamos para vocˆe como importante exercıcio Lema 271 Seja A R fn uma sequˆencia de funcoes definidas em A com valores em R e f A R Entao fn nao converge uniformemente a f em A se e somente se para algum ε0 0 existe uma subsequˆencia fnk de fn e uma sequˆencia xk em A tal que fnkxk fxk ε0 para todo k N A seguir analisamos alguns exemplos Exemplos 271 a Se fnx xn para x R n N entao lim fnx 0 para todo x R Portanto fn converge pontualmente para a funcao f identi camente nula em R isto e fx 0 para todo x R Neste caso fn nao converge uniformemente a f em R De fato se tomarmos ε0 1 e xn n temos fnxn fxn 1 123 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias e Series de Funcoes e pelo Lema 271 isso implica que fn nao converge uniformemente a f em R Por outro lado e facil ver que essa mesma sequˆencia fn converge uniformemente para a funcao identicamente nula f em todo intervalo L L para qualquer L 0 De fato dado ε 0 como Ln 0 podemos encontrar N0 N tal que LN0 ε Assim se n N0 temos fnx fx x n L N0 ε Como ε 0 e arbitrario isso que mostra que fn converge uniforme mente a f em L L b fnx xn para x 0 1 e n N Para x 0 1 claramente temos xn 0 ao passo que fn1 1 para todo n N Portanto fn converge pontualmente a f em 0 1 com fx 0 para x 0 1 e f1 1 Observe que o limite pontual f 0 1 R e uma funcao descontınua em x 1 0 06 08 1 02 0 1 04 f4x x4 f3x x3 f2x x2 f1x x Figura 272 Os 4 primeiros elementos da sequˆencia fnx xn x 0 1 c Se fn f 0 1 R sao definidas como no ıtem anterior entao fn nao converge a f uniformente em 0 1 Por outro lado para todo 0 δ 1 fn converge uniformemente a f em 0 1 δ De fato aplicando o Lema 271 para ε0 12 podemos tomar a propria sequˆencia fn e a sequˆencia xn em 0 1 dada por xn 121n e obter fnxn fxn 1 2 CEDERJ 124 Sequˆencias e Series de Funcoes M ODULO 2 AULA 27 verificando assim a condicao para que fn nao convirja uniformemente para f em 0 1 Por outro lado fixado δ 0 1 dado qualquer ε 0 como 1 δn 0 podemos encontrar N0 N tal que 1 δn ε para todo n N0 Assim para n N0 temos 0 xn 1 δn ε para todo x 0 1δ o que mostra que fn converge uniformemente a f em 0 1 δ d Seja A 1m m N e fn A R definida por fn1m m m n Claramente fn converge pontualmente a funcao constante f identi camente igual a 0 em A Observe que 0 e um ponto de acumulacao de A e para cada n N fixo temos lim x0 fnx lim m m m n 1 Por outro lado para a funcao f identicamente igual a 0 em A eviden temente temos lim x0 fx 0 Esses fatos podem ser resumidos da seguinte forma lim x0 lim n fnx 0 1 lim n lim x0 fnx e Se fnx nx1 x2n x 0 1 entao fn converge pontualmente para a funcao identicamente nula fx 0 x 0 1 De fato temos fn0 fn1 0 para todo n N Fixado x 0 1 definamos a 1 x2 Temos 0 a 1 e 0 nx1 x2n nxan nan Agora ja vimos nas aulas sobre limites de sequˆencias que o Teste da Razao para Sequˆencias implica que a sequˆencia xn nan converge a 0 se 0 a 1 ja que lim xn1 xn lim n 1an1 nan lim1 1 na a 1 o que mostra que fnx converge a 0 tambem para x 0 1 Veremos na aula que vem como consequˆencia de um resultado sobre o limite das integrais de sequˆencias uniformemente convergentes que a sequˆencia fn nao converge uniformemente em 0 1 A verificacao direta dessa afirmacao seria um tanto complicada 125 CEDERJ ANALISE REAL Sequˆencias e Series de Funcoes 0 05 06 07 08 09 0 02 04 06 08 1 03 02 01 04 f4x 4x1 x24 f3x 3x1 x23 f2x 2x1 x22 f1x x1 x2 Figura 273 Os 4 primeiros elementos da sequˆencia fnx nx1 x2n x 0 1 A Norma Uniforme E conviente introduzirmos a nocao de norma uniforme de funcoes limi tadas para o estudo da convergˆencia uniforme de sequˆencias de funcoes Definicao 273 Se A R e g A R e uma funcao dizemos que g e limitada em A se a imagem de g denotada por gA e um subconjunto limitado de R Se g e limitada definimos a norma uniforme de g em A por g supgx x A 271 Note que decorre da definicao anterior que se ε 0 entao g ε gx ε para todo x A 272 Lema 272 Uma sequˆencia fn de funcoes em A R converge uniformemente em A para f se e somente se fn f 0 Prova Se fn converge uniformemente em A para f entao pela Definicao 272 dado qualquer ε 0 existe N0ε tal que se n N0ε entao fnx fx ε para todo x A Em particular fn f e limitada e da definicao de supremo segue que fn f ε se n N0ε Como ε 0 e arbitrario isso implica que fn f 0 Se fn f 0 entao dado ε 0 existe um natural N0ε tal que se n N0ε entao fn f ε Segue da definicao da norma uniforme CEDERJ 126 Sequˆencias e Series de Funcoes M ODULO 2 AULA 27 que fnx fx ε para todo n N0ε e x A Decorre daı que fn converge uniformemente em A para f Fazendo uso da norma uniforme podemos obter uma condicao necessaria e suficiente para a convergˆencia uniforme semelhante a que vimos para sequˆencias de numeros No enunciado a seguir quando nos referirmos a norma uniforme de uma funcao estara implıcita a afirmacao de que tal funcao e limitada Teorema 271 Criterio de Cauchy para Convergˆencia Uniforme Seja fn uma sequˆencia de funcoes de A R para R Entao fn converge uniformemente em A para uma funcao f A R se e somente se para cada ε 0 existe um numero N0ε N tal que se m N0ε e n N0ε entao fm fn ε Prova Se fn f uniformemente em A entao dado ε 0 existe um natural H0 1 2ε tal que se n H0 1 2ε entao fn f 1 2ε Logo se m H0 1 2ε e n H0 1 2ε entao fmx fnx fmx fx fnx fx 1 2ε 1 2ε ε para todo x A Portanto fm fn ε para m n H0 1 2ε N0ε Reciprocamente suponhamos que para todo ε 0 existe N0ε tal que se m n N0ε entao fm fn ε Segue entao que para cada x A temos fnx fmx fm fn ε para m n N0ε 273 Segue que fnx e uma sequˆencia de Cauchy em R Portanto pelo Criterio de Cauchy para Sequˆencias fnx e uma sequˆencia convergente Definimos f A R por fx lim fnx para x A Fazendo n em 273 segue que para todo x A temos fmx fx ε para m N0ε Portanto a sequˆencia fn converge uniformemente em A para f Series de Funcoes Assim como no caso das sequˆencias numericas e sua relacao com as series numericas um caso particular de sequˆencias de funcoes e o das series 127 CEDERJ Se f 0 1 R é contínua e x 0 f 1 x f para todo x 0 1 mostre que fx 0 para todo x 0 1 Módulo 2 Aula 27 Exemplo 272 Prova A prova da afirmação sobre convergência apenas em x 0 no caso que an não é limitada já foi feita no início desta seção Do mesmo modo o fato que a série converge para x r e diverge para x r se an é limitada segue do Teste da Raiz como foi visto no início desta discussão sobre séries de potências cujo argumento recordamos a seguir De fato se x r então para λ satisfazendo L 1r temos que N0 N tal que anxn λx para todo n N0 pela definição de ínfimo por quê Logo anxn é absolutamente convergente para x r pelo Teste da Raiz Por outro lado se x r então para λ satisfazendo 1 λ 1r x λx satisfazendo anxn ann para todo k N de novo pela definição de ínfimo por quê Logo o Teste da Raiz implica que anxn é divergente se x r Finalmente se an é convergente então para qualquer λ lim an existe N0 N tal que an λ λ para n N0 como se deduz facilmente de lim an na definição de lim Portanto λ é uma cota inferior do conjunto no membro à direita em 276 Logo L lim an Cˆambio de Limites M ODULO 2 AULA 28 Aula 28 Cˆambio de Limites Metas da aula Estabelecer os principais resultados sobre troca de ordem de operacoes de limite os quais fornecem condicoes para a preservacao de propriedades como continuidade integrabilidade e diferenciabilidade na passagem ao limite de uma sequˆencia de funcoes Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Conhecer o resultado que garante a continuidade do limite uniforme de uma sequˆencia de funcoes contınuas e algumas de suas aplicacoes Conhecer o resultado que garante a integrabilidade do limite uniforme de uma sequˆencia de funcoes integraveis e algumas de suas aplicacoes Conhecer o resultado que garante a diferenciabilidade do limite de uma sequˆencia de funcoes diferenciaveis cujas derivadas convergem uni formemente e algumas de suas aplicacoes Introducao Como foi dito na aula anterior a questao central sobre limites de sequˆencias de funcoes e aquela sobre a preservacao na passagem ao limite de certas propriedades verificadas pelos membros das sequˆencias Nesta aula estabeleceremos resultados que tratam dessa questao em relacao as pro priedades de continuidade integrabilidade e diferenciabilidade Todas essas propriedades sao definidas a partir de operacoes de passagem ao limite As sim a questao da sua preservacao no limite de uma sequˆencia de funcoes se reduz ao problema de sabermos em que circunstˆancias podemos trocar a ordem das operacoes de limites referentes a sequˆencia de funcoes e a pro priedade particular verificada por cada membro da sequˆencia Por exemplo se fn e uma sequˆencia de funcoes contınuas num intervalo I que converge a uma funcao f em I a questao de saber se f e contınua em I se reduz ao problema de saber se lim n lim xx fnx lim xx lim n fnx Passemos ao estudo dessa questao 133 CEDERJ ANALISE REAL Cˆambio de Limites Preservacao da Continuidade O seguinte resultado estabelece a possibilidade de executarmos um cˆambio de limites entre o limite no ındice dos membros de uma sequˆencia de funcoes definidas num conjunto A e o limite de cada um dos membros quando x tende a um ponto de acumulacao x de A Teorema 281 Suponhamos que fn f uniformemente num conjunto A R Seja x um ponto de acumulacao de A e suponhamos que lim xx fnx Ln n 1 2 3 281 Entao Ln converge e lim xx fx lim n Ln 282 A equacao 282 pode ser escrita na forma lim xx lim n fnx lim n lim xx fnx 283 Prova Seja ε 0 dado Pelo Criterio de Cauchy 271 para convergˆencia uniforme aplicado a sequˆencia fn existe N0 N tal que se n N0 m N0 entao fnx fmx ε para todo x A 284 Fazendo x x em 284 obtemos Ln Lm ε para n N0 m N0 de modo que Ln e uma sequˆencia de Cauchy e portanto converge digamos para L Agora fx L fx fnx fnx Ln Ln L 285 Primeiro escolhemos n tal que fx fnx ε 3 para todo x A 286 o que e possıvel pela convergˆencia uniforme de fn e tal que Ln L ε 3 287 Entao para esse n escolhemos uma vizinhanca de x V Vδx tal que fnx Ln ε 3 se x V A x x 288 CEDERJ 134 Como consequência do Teste M de Weierstrass temos o seguinte resultado importante fato sobre séries de potências Teorema 274 A série de potências anxn converge uniformemente em todo intervalo fechado s s se 0 s r onde r é o raio de convergência da série Prova A série anxn é absolutamente convergente para todo x π r Em particular a série ansn é convergente Como para x s s temos anxn ansn segue do Teorema 272 que a série anxn converge uniformemente em s s Daí pelo Teorema 243 segue que εb a b a fn b a fm εb a Cˆambio de Limites M ODULO 2 AULA 28 uma sequˆencia de funcoes sN diferenciaveis em todo ponto a qual con verge uniformemente pelo Teste M de Weierstrass 272 Assim apesar da sequˆencia de funcoes diferenciaveis sN convergir uniformemente a funcao limite fx nao e diferenciavel em nenhum ponto Isso mostra que a con vergˆencia uniforme de funcoes diferenciaveis nao implica a diferenciabilidade da funcao limite 1 1 Figura 281 A funcao de Weierstrass Mostramos a seguir que se a sequˆencia fn converge num intervalo li mitado I e a sequˆencia das derivadas f n e uniformemente convergente em I entao a funcao limite de fn e diferenciavel em todo ponto de I Na ver dade como veremos a convergˆencia uniforme de fn decorre da convergˆencia uniforme de f n e da convergˆencia de fnx0 para algum x0 I Teorema 284 Seja I R um intervalo limitado e seja fn uma sequˆencia de funcoes difer enciaveis em I com valores em R Suponhamos que existe x0 I tal que fnx0 converge e que a sequˆencia f n das derivadas converge uniforme mente em I para uma funcao g Entao a sequˆencia fn converge uniforme mente em I para uma funcao f que possui derivada em todo ponto de I e f g Prova Sejam a b os pontos extremos de I e seja x I um ponto arbitrario Se m n N aplicamos o Teorema do Valor Medio 224 a diferenca fmfn no intervalo de extremos x0 e x Concluımos que existe um ponto y dependendo de m n tal que fmx fnx fmx0 fnx0 x x0f my f ny 137 CEDERJ fm fn fmx0 fnx0 b afm fn Vimos na aula passada que o estudo das séries de funções fn se reduz ao estudo das sequências de funções considerandose a sequência das somas parciais sNN1 sN N n1 fn Prova Para qualquer x 0 a série S1 n0 n an xn converge se e somente se a série S2 n0 n an xn1 converge já que S2 x S1 Portanto o raio de convergência de n1 n an xn1 coincide com o raio de convergência de n1 n an xn o qual denotaremos por r Lembrese que dizer que certa propriedade vale ultimadamente para os membros de uma dada sequência xn significa que existe N0 N tal que an λ para n N0 e L infλ 0 existe M0 N tal que nan λ para n M0 Pelo que foi visto na aula passada temos que r 1L e r 1L Consideremos os conjuntos A λ 0 existe N0 N tal que an λ para n N0 e A λ 0 existe M0 N tal que nan λ para n M0 Agora para todo x rr temos que fx n0 n an xn é dada pela sequência de somas parciais snxn0 com snx n0n an xn enquanto gx n0 n an xn1 é o limite da sequência de somas parciais snxn1 onde s fx é a derivada de snx Como a sequência de funções sn converge uniformemente em s s para todo 0 s r segue do Teorema 284 que g é a derivada de f isto é gx fx para x rr o que equivale a dizer que fx n1 n an xn1 Além disso para qualquer x rr e k N temse fkx nk nn1nk 1an xnk Em particular ak fk0k Aula 29 Funções Exponenciais e Logaritmos Metas da aula Definir rigorosamente a função exponencial e a função logaritmo bem como outras funções obtidas a partir destas Objetivos Ao final desta aula você deverá ser capaz de Conhecer a definição formal da função exponencial e a partir dela provar proposições elementares envolvendo esta função Conhecer a definição formal da função logaritmo e saber usála na prova de propriedades básicas desta função Saber como são definidas as potências para qualquer e os logaritmos para Introdução Nesta aula vamos definir rigorosamente a função exponencial e a função logaritmo e vamos deduzir algumas de suas propriedades mais importantes Em aulas anteriores assumimos alguma familiaridade com essas funções como o propósito de discutir exemplos Consideramos que este é um momento adequado para darmos uma definição matemática rigorosa para essas funções tão importantes a fim de estabelecer em bases firmes sua existência e determinar suas propriedades básicas A Função Exponencial Antes de dar a definição da função exponencial vamos provar o seguinte lema Lema 291 A série de potências onde adotamos a convenção possui raio de convergência Em particular a série converge uniformemente em para todo Prova Neste caso temos Vamos provar que lim segue daí que De fato temos Assim dado existe tal que para todo Logo para temos Como lim o que prova que Segue daí que O fato de que converge uniformemente em para todo segue diretamente do Teorema 274 Com base no Lema 291 definimos a função Teorema 291 A função satisfaz Além disso se também satisfaz i e ii então é a única função em satisfazendo e1 e e2 Prova Pelo Teorema 287 é diferenciável em todo e é dada pela série das derivadas dos termos da série que define Como obtemos o que prova e1 A afirmação e2 decorre trivialmente da definição de Provamos agora a unicidade da função satisfazendo e1 e e2 Observemos inicialmente que qualquer função possui derivada de ordem para todo Funcoes Exponenciais e Logaritmos M ODULO 2 AULA 29 Suponhamos entao que E1 e E2 sao duas funcoes de R em R satisfazendo as propriedades e1 e e2 e seja F R R definida por Fx E1x E2x Temos F x E 1x E 2x E1x E2x Fx para todo x R e F0 E10 E20 1 1 0 Tambem podemos facilmente provar por inducao que F tem derivadas de todas as ordens e F nx Fx para n N e x R Seja x R qualquer e denotemos por Ix o intervalo fechado de extremos 0 e x Como F e contınua em Ix existe K 0 tal que Ft K para todo t Ix Se aplicarmos o Teorema de Taylor a F no intervalo Ix e usarmos o fato de que F k0 F0 0 para todo k N segue que para cada n N existe um ponto cn Ix tal que Fx F0 F 0 1 x F n10 n 1 xn1 F ncn n xn Fcn n xn Portanto temos Fx Kxn n para todo n N Como limxnn 0 por quˆe deduzimos que Fx 0 Como x R foi tomado arbitrariamente concluımos que E1x E2x Fx 0 para todo x R A funcao E R R e chamada funcao exponencial e e usualmente apresentada com as notacoes expx Ex ou ex Ex para x R O numero e E1 e chamado o numero de Euler O nome funcao expo nencial e a notacao ex para Ex se justificam pelo teorema a seguir Teorema 292 A funcao exponencial satisfaz as seguintes propriedades e3 Ex 0 para todo x R 145 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Exponenciais e Logaritmos e4 Ex y ExEy para todos x y R e5 Er er para todo r Q Prova e3 Vamos fazer a prova por contradicao Seja z R tal que Ez 0 e seja Iz o intervalo fechado com extremos 0 e z Pela continuidade de E existe K 0 tal que Et K para todo t Iz O Teorema de Taylor implica que para cada n N existe um ponto cn Iz tal que 1 E0 Ez Ez 1 z En1z n 1 zn1 Encn n zn Encn n zn Assim temos 0 1 Knzn para todo n N o que nos da uma contradicao ja que limKnzn 0 quando n e4 Fixemos y R Por e3 temos que Ey 0 Seja F R R definida por Fx Ex y Ey para x R Claramente temos F x Ex yEy Ex yEy Fx para todo x R Alem disso F0 E0 yEy 1 Segue entao da unicidade da funcao E v Teorema 291 que Fx Ex para todo x R Portanto Ex y ExEy para todo x R Como y R e arbitrario concluımos que vale e4 e5 Do ıtem e4 por Inducao segue que se m N x R entao Emx Exm Em particular fazendo x 1 obtemos Em E1m em para todo m N Por outro lado 1 E0 Em m EmEm donde segue que Em 1Em 1em em para todo m N Alem disso e E1 En 1 n E 1 nn donde obtemos que E1n e1n para todo n N Portanto se m Z n N temos Emn E1nm e1nm emn o que prova e5 Teorema 293 A funcao exponencial E e estritamente crescente em R e tem imagem igual a y R y 0 Alem disso temos CEDERJ 146 Funcoes Exponenciais e Logaritmos M ODULO 2 AULA 29 e6 limx Ex 0 e limx Ex Prova Sabemos que E0 1 0 e Ex 0 para todo x R Como E e contınua em R segue do Teorema do Valor Intermediario 163 que Ex 0 para todo x R Portanto Ex Ex 0 para x R de modo que E e estritamente crescente em R Agora da definicao de E vemos claramente que Ex 1 x se x 0 e portanto e E1 1 1 2 Logo En en 2n para n N donde segue que En quando n por quˆe Como E e crescente segue que lim x Ex por quˆe lim n En Do mesmo modo como 0 En 1En 12n 0 quando n segue que lim x Ex lim n En 0 Segue entao do Teorema do Valor Intermediario 163 que todo y 0 pertence a imagem de E o que conclui a prova A Funcao Logaritmo Vimos que a funcao exponencial E e uma funcao estritamente crescente diferenciavel com domınio R e imagem y R y 0 Segue entao que E possui uma funcao inversa L 0 R A funcao L 0 R inversa de E e chamada logaritmo ou logaritmo natural e e usualmente denotada por log ou ln veja Figura 291 1 0 0 1 Figura 291 A esquerda o grafico da funcao E A direita o grafico da funcao L Como E e L sao funcoes inversas uma da outra temos LEx x para todo x R 147 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Exponenciais e Logaritmos e ELy y para todo y 0 Essas formulas tambem podem ser escritas na forma log ex x elog y y Teorema 294 A funcao logaritmo L 0 R e estritamente crescente possui imagem igual a R e satisfaz as seguintes propriedades ln1 Lx 1x para x 0 ln2 Lxy Lx Ly para x 0 y 0 ln3 L1 0 e Le 1 ln4 Lxr rLx para x 0 r Q ln5 limx0 Lx e limx Lx Prova Que L e estritamente crescente em 0 com imagem igual a R segue do fato de que E e estritamente crescente em R com imagem igual a y R y 0 ln1 Como Ex Ex 0 segue da Formula da Derivacao da Funcao Inversa 212 que L e diferenciavel em 0 e Lx 1 ELx 1 ELx 1 x para x 0 ln2 Se x 0 e y 0 sejam u Lx e v Ly Entao temos x Eu e y Ev Segue da propriedade e4 do Teorema 292 que xy EuEv Eu v de modo que Lxy LEu v u v Lx Ly o que prova ln2 ln3 A propriedade ln3 segue imediatamente das relacoes E0 1 e E1 e ln4 Esse fato decorre de ln2 e Inducao Matematica para r n N e e extendido para r Q por argumentos semelhantes aos usados na prova de 292e5 ln5 Para estabelecer ln5 primeiro observamos que o fato de que 2 e implica lim en e lim en 0 Como Len n e Len n CEDERJ 148 Funções Potenciais Já discutimos em aula passada a função potencial onde é um número racional Por meio das funções exponencial e logaritmo podemos estender a noção de função potencial para além dos racionais abrangendo potências reais arbitrárias Definição Se e então a função é chamada a função potência com expoente Observe que a Definição 291 é claramente consistente com a definição que havíamos dado na Aula 19 no caso em que é racional Nos dois teoremas enunciados a seguir estabelecemos diversas propriedades bem conhecidas das funções potências Suas demonstrações seguem imediatamente das propriedades das funções exponencial e logaritmo e serão deixadas para você como exercício Teorema 295 Se e então Teorema 296 Se então 2 xαβ xαβ xβα 3 xα 1xα 4 se α β então xα xβ para x 1 O próximo resultado trata da diferenciabilidade das funções potências Teorema 297 Seja α R Então a função 0 R x xα é contínua e diferenciável em 0 e D xα αξα1 para x 0 Prova O resultado é consequência da Regra da Cadeia da qual também temos D xα D eα log x eα log x Dlog x xα α x a xα1 para x 0 A Função loga Se a 0 a 1 algumas vezes é útil termos definida a função loga Definição 292 Seja a 0 a 1 Definimos loga x log x log a para x 0 Para x 0 o número loga x é chamado logaritmo de x na base a Observe que loge log já que log e 1 O caso a 10 nos dá o logaritmo na base 10 ou logaritmo comum que é frequentemente usado em computações Exercícios 291 1 Mostre que 0 x a e n N então 1 x 1 x n n e x 1 x 1 x n1 n 1 11 Se a 0 a 1 mostre que a função x loga x é diferenciável em 0 e que D loga x 1x log a para x 0 12 Se a 0 a 1 x 0 e y 0 prove que logaxy loga x loga y 13 Se a 0 a 1 b 0 e b 1 mostre que loga x log b log a logb x para x 0 Em particular mostre que log10 x log elog 10 log x log10 e log x para x 0 Aula 30 Funções Trigonométricas Metas da aula Definir rigorosamente as funções trigonométricas Objetivos Ao final desta aula você deverá ser capaz de Conhecer as definições formais das funções cos x e sen x e a partir delas provar proposições elementares envolvendo esta função Introdução Além das funções exponenciais e logarítmicas existe uma outra família muito importante de funções transcendentes conhecida como funções trigonométricas Essas são as funções seno cosseno tangente cotangente secante e cossecante Em cursos elementares elas são usualmente introduzidas em bases geométricas ora em termos de triângulos ora em termos de círculos unitários Nesta aula vamos definir essas funções de maneira analítica e então estabelecer algumas de suas propriedades básicas Em particular várias propriedades das funções trigonométricas que foram usadas em exemplos em aulas anteriores neste curso serão derivadas rigorosamente nesta aula A série de potências n0 1n 2n x2n 1 fracx22 fracx44 cdots tem raio de convergência r Em particular a série converge uniformemente em todo intervalo da forma A A com A 0 Prova Segue imediatamente do fato de que n0 1n 2n x2n leq sumk0 fracxkk ex Funcoes Trigonometricas M ODULO 2 AULA 30 e como limnKx2n2n limmKxmm 0 deduzimos que Dx 0 Como x R e arbitrario concluımos que Dx 0 para todo x R donde segue que C1x C2x Isto prova a unicidade de Cx com relacao as propriedades Cx Cx para todo x R C0 1 e C0 0 ii A prova de ii e inteiramente semelhante a prova de i e ficara para vocˆe como exercıcio Como consequˆencia da definicao de Sx e do resultado anterior temos que vale iii Sx Cx ja que Sx Cx Cx Cx Teorema 302 As funcoes C e S satisfazem a Identidade de Pitagoras iv Cx2 Sx2 1 para todo x R Prova Seja fx Cx2 Sx2 para x R Entao f x 2CxSx 2SxCx 0 para x R Segue que fx f0 para todo x R Mas f0 1 0 1 e assim concluımos que fx 1 para todo x R Definicao 301 As funcoes C R R e S R R definidas por 301 e 302 sao chamadas funcao cosseno e funcao seno respectivamente e comumente denotadas por cos x Cx e sen x Sx para x R A equacao diferencial f x fx satisfeita por Cx e Sx admite na verdade infinitas solucoes Porem todas sao obtidas como combinacoes lineares das funcoes Cx e Sx como estabelecido no resultado a seguir Teorema 303 Se f R R e tal que f x fx para x R entao existem numeros reais α β tais que fx αCx βSx para x R 155 CEDERJ ANALISE REAL Funcoes Trigonometricas Prova Seja gx f0Cx f 0Sx para x R Vˆese facilmente que gx gx e que g0 f0 e como gx f0Sx f 0Cx segue que g0 f 0 Portanto a funcao h f g e tal que hx hx para todo x R e h0 0 h0 0 Assim segue como na prova do Teorema 301 que hx 0 para todo x R Portanto fx gx para todo x R A seguir vamos deduzir algumas das propriedades basicas das funcoes cosseno e seno Teorema 304 A funcao C e par e S e ımpar no sentido que v Cx Cx e Sx Sx para x R Se x y R entao temos as formulas do cosseno e do seno da soma vi Cx y CxCy SxSy Sx y SxCy CxSy Prova v Se fx Cx para x R entao vemos facilmente que f x fx para x R Alem disso f0 1 e f 0 0 Portanto pela unicidade garantida pelo Teorema 301i concluımos que Cx Cx para todo x R De modo semelhante definindose gx Sx e aplicandose a unicidade de Sx garantida no Teorema 301ii mostrase que Sx Sx vi Seja y R dado e seja fx Cx y para x R Verificamos facilmente que f x fx para x R Portanto pelo Teorema 303 existem numeros reais α β tais que fx Cx y αCx βSx donde obtemos por derivacao f x Sx y αSx βCx para x R Fazendo x 0 obtemos Cy α e Sy β donde segue Cx y CxCy SxSy A segunda formula e provada de forma semelhante A seguir estabelecemos algumas desigualdades que foram usadas em aulas passadas CEDERJ 156 Teorema 305 Se x in mathbbR x geq 0 então temos vii x leq Sx leq x viii 1 frac12 x2 leq Cx leq 1 ix x frac12 x3 leq Sx leq x x 1 frac12 x2 leq Cx leq 1 frac124 x4 Prova O Teorema 302 implica que 1 leq Ct leq 1 para t in mathbbR Assim se x geq 0 então x leq int0x Ct dt leq x onde obtemos A int0x St dt leq int0x 1 dt leq frac12 x2 o que nos dá frac12 x2 leq Cx 1 leq frac12 x2 Assim temos que 1 frac12 x2 leq Cx o que implica viii onde podemos concluir que γ 6 23 Segue da segunda fórmula no Teorema 304vi com x y que S2γ 2SxCx Essa relação implica que S2γ 0 de modo que 2γ é uma raiz positiva de S A mesma relação implica que se 2δ é a menor raiz positiva de S então Cδ 0 Como γ é a menor raiz positiva de C devemos ter δ γ Definitio 302 Denotamos por π 2γ a menor raiz positiva de S Observação 301 A desigualdade 2 γ 6 23 implica que 2828 π 3185 Teorema 306 As funções C e S são periódicas de período 2π no sentido que xi Cx 2π Cx e Sx 2π Sx para x ℝ Além disso temos xii Sx C 1 2π x Cx 1 2π Cx S 1 2π x Sx 1 π para todo x ℝ Prova xi Como S2π 2SxCx S2 0 Além disso se x y em vi C2x Cx2 Sx2 Portanto C2π 1 Logo vi com y 2π nos dá Cx 2π CxC2π SxS2π Cx e Sx 2π SxC2π CxS2π Sx xii Observe que C 1 2π 0 já que γ 1 2π e então iv implica que S 1 2π2 1 Por outro lado ix implica que S1 1 1 b 0 onde segue que Sx 0 para 0 x π já que S0 0 π é a menor raiz positiva de Sx onde 0 1 π Logo S 1 2π 1 Usando as igualdades C 1 2π 0 e S 1 2π 1 juntamente com as fórmulas em vi obtemos as relações desejadas Exercícios 301 1 Mostre que sen x 1 e cos x 1 para todo x ℝ 2 Mostre que a propriedade vii do Teorema 305 não vale se x 0 mas que temos sen x x para todo x ℝ Mostre também que sen x x x³6 para todo x ℝ 3 Mostre que se x 0 então 1 x² 2 x4 24 x6 6 cos x 1 x² 2 x4 24 4 Mostre que se a série de potências n0 1 2n x2n tem raio de convergência r Defina cx n0 1 2n x2n Mostre que c tem derivada de ordem k para todo k ℕ Defina sx cx Mostre que sx n1 1 2n 1 x2n1 Mostre que sx cx Conclua que i e satisfaçam cx cx para todo x ℝ e c0 1 ii sx sx para todo x ℝ e s0 0 5 Mostre que as funções c e s do item anterior satisfazem cx2 sx2 1 para todo x ℝ Mostre ainda que c é a única função satisfazendo i e s é a única função satisfeita ii do item anterior 6 Se f ℝ ℝ é tal que f x f x para todo x ℝ mostre que existem números reais α β tais que x αcx βsx para todo x ℝ Aplique isso às funções f1x eα f2x eβ para x ℝ Conclua a partir daí que cx 1 2 e x e x e sx 1 2 e x e x para x ℝ As funções c e s são chamadas ao cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico respectivamente 7 Mostre que as funções c s nos itens precedentes são par e ímpar respectivamente e que cx y cxcy sxsy sx y sxcy cxsy para todo x y ℝ 8 Mostre que cx 1 para todo x ℝ que ambas c e s são estritamente crescentes em 0 e que limx cx limx sx Topologia na Reta M ODULO 2 AULA 31 Aula 31 Topologia na Reta Metas da aula Apresentar os conceitos basicos de topologia na reta Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber as propriedades que caracterizam os conjuntos abertos e fechados da reta Introducao As nocoes de limite e continuidade que foram estudadas em aulas pas sadas relacionadas a conjutos de pontos da reta e funcoes neles definidas podem ser estendidas para conjuntos abstratos quaisquer A primeira coisa a fazer para realizar essa extensao e dotar esses conjuntos de uma topolo gia Isso significa distinguir uma famılia de subconjuntos do conjunto dado contendo necessariamente o proprio conjunto e o conjunto vazio a qual sera tomada como a famılia dos subconjuntos abertos do conjunto dado Essa famılia devera ter necessariamente as duas seguintes propriedades i a uniao de qualquer colecao de subconjuntos da famılia dos abertos deve ser um sub conjunto pertencente a essa famılia ii o mesmo deve valer para a intersecao de um numero finito de subconjuntos da famılia dos abertos A partir daı se pode facilmente definir as nocoes de limite de uma sequˆencia de pontos bem como limite e continuidade de funcoes definidas nesses conjuntos com valores em R por exemplo o que nao sera feito aqui por estar bem alem dos objetivos deste curso A Topologia Geral e a area da matematica que estuda a topologia dos conjuntos de pontos Ela envolve muitas outras nocoes alem do conceito fun damental de conjuntos abertos E uma area que se situa nos fundamentos da matematica avancada servindo como instrumento basico para diversos ramos dessa vasta ciˆencia As ideias basicas dessa teoria foram todas moti vadas pelos conceitos da Analise Real e por questoes surgidas no estudo dos subconjuntos da reta Nesta aula serao estudados os elementos basicos da topologia na reta Mais especificamente vamos definir quem sao os conjuntos abertos da reta e verificar que os mesmos gozam das propriedades aludidas ha pouco Va mos tambem estudar algumas propriedades basicas dos complementares dos conjuntos abertos da reta chamados conjuntos fechados 161 CEDERJ ANALISE REAL Topologia na Reta Conjuntos Abertos e Fechados em R Iniciamos nosso estudo da topologia da reta com a definicao de vizi nhanca de um ponto que damos a seguir Definicao 311 Uma vizinhanca de um ponto x R e um conjunto V que contem uma εvizinhanca Vεx x ε x ε de x para algum ε 0 Observe que uma vizinhanca de x pode ser um conjunto de qualquer forma cotendo x apenas exigimos que alem de x esse conjunto tambem contenha uma εvizinhanca de x Definicao 312 Um subconjunto G de R e aberto em R se para cada x G existe uma vizinhanca V de x tal que V G Um subconjunto F de R e fechado em R se o complementar de F F c R F e aberto em R Da definicao que acabamos de dar deduzimos facilmente que G e um aberto em R se e somente se G e uma vizinhanca de cada um de seus pontos Assim para mostrar que um conjunto G R e aberto e suficiente mostrar que cada ponto em G tem uma εvizinhanca contida em G para algum ε 0 que em geral dependera de x De fato G e aberto se e somente se para cada x G existe εx 0 tal que x εx x εx G Por outro lado para mostrar que um conjunto F e fechado e suficiente mostrar que cada ponto y F possui uma εvizinhanca disjunta de F De fato F e fechado se e somente se para cada y F existe εy 0 tal que F y εy y εy Exemplos 311 a R e aberto Para cada x R podemos tomar ε 1 b O intervalo I 0 1 e um conjunto aberto em R Com efeito para cada x I podemos tomar εx minx 1 x Deixamos para vocˆe como exercıcio mostrar que se u x εx x εx entao u I c Qualquer intervalo I a b e um conjunto aberto em R De fato nesse caso para cada x I basta tomar εx minx a b x Deixamos tambem para vocˆe a verificacao de que se u x εx x εx entao u I CEDERJ 162 Topologia na Reta M ODULO 2 AULA 31 Do modo semelhante mostrase que os intervalos b e a sao cojuntos abertos d O intervalo I 0 1 nao e aberto De fato qualquer vizinhanca de 0 I contera pontos que nao per tencem a I e O intervalo I 0 1 e fechado Para ver isso seja y I Entao ou y 0 ou y 1 Se y 0 tomamos εy y e se y 1 tomamos εy y 1 Deixamos para vocˆe como exercıcio mostrar que em ambos os casos temos I y εy y εy f Cada um dos intervalos I1 0 1 e I2 0 1 nao e aberto nem fechado g O conjunto vazio e ao mesmo tempo aberto e fechado em R Segue daı que o mesmo vale para o proprio conjunto R De fato o conjunto vazio nao contem ponto algum logo o requisito na Definicao 312 de conjunto aberto e trivialmente satisfeito por ine xistˆencia de x pertencente a O conjunto tambem e fechado porque e o complementar de R que ja vimos ser aberto Finalmente o fato de que R e fechado segue imediatamento do fato de que e aberto Do ultimo exemplo vemos que as nocoes matematicas de aberto e fechado para conjuntos nao sao antˆonimas como ocorre com aquelas palavras na linguagem do dia a dia De fato como vimos no referido exemplo R e sao ambos simultaneamente abertos e fechados A seguir vamos dar uma prova simples de que R e sao os unicos subconjuntos de R com tal pro priedade Teorema 311 R e sao os unicos subconjuntos de R com a propriedade de ser simultane amente aberto e fechado Prova Suponhamos que E R tem tal propriedade com E R e E Entao existe um ponto x E Como E e aberto existe ε 0 tal que xε xε E podemos entao obter 0 M tal que xM xM e o maior intervalo aberto simetrico em torno de x contido em E De fato o conjunto M dos M 0 tais que x M x M E e limitado ja que E R e e nao vazio ja que ε M Logo existe M sup M Observe que se 0 M M entao x M x M E 163 CEDERJ ANALISE REAL Topologia na Reta Agora uma das duas alternativas seguintes deve necessariamente valer i u1 x M E ii u2 x M E De fato se i e ii fossem ambas falsas como E e aberto poderıamos obter ε1 0 e ε2 0 tais que u1 ε1 u1 ε1 E e u2 ε2 u2 ε2 E Assim tomando ε0 minε1 ε2 terıamos x M ε0 x M ε0 E e portanto M ε0 M contrariando o fato de que M e o supremo de M Suponhamos que u1 E Como E e fechado entao existe εu1 0 tal que u εu1 u εu1 Ec R E Naturalmente podemos supor que εu12 M caso contrario basta tomar em lugar de εu1 um numero positivo qualquer menor que 2M Em particular nenhum ponto do intervalo u1 u1 εu1 pertence a E Porem como u1 εu12 x M εu12 e 0 M εu12 M entao x M εu12 x M εu12 E e em particular x M εu12 E o que esta em contradicao com o fato de que x M εu12 u1 u1 εu1 Ec Supondo que vale u2 E chegamos a uma contradicao de maneira semelhante Logo se E R e E entao E nao pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo O seguinte resultado basico mostra que os conjuntos abertos de R definidos pela Definicao 312 gozam das propriedades relacionadas com as operacoes de uniao e de intersecao mencionadas no inıcio desta aula Teorema 312 a A uniao de uma colecao arbitraria de conjuntos abertos em R e um conjunto aberto b A intersecao de uma colecao finita qualquer de conjuntos abertos em R e um conjunto aberto Prova a Seja Gλ λ Λ uma famılia de conjuntos abertos em R e seja G a sua uniao Considere um elemento x G Pela definicao de uniao x deve pertencer a Gλ0 para algum λ0 Λ Como Gλ0 e aberto existe uma vizinhanca V de x tal que V Gλ0 Porem Gλ0 G de modo que V G Como x e um elemento arbitrario de G concluımos que G e aberto em R b Suponhamos que G1 e G2 sejam arbertos e seja G G1 G2 Para mostrar que G e aberto consideremos x G portanto x G1 e x G2 Como G1 e aberto existe ε1 0 tal que x ε1 x ε1 esta contido em G1 Similarmente como G2 e aberto existe ε2 0 tal que x ε2 x ε2 esta CEDERJ 164 O conteúdo em G2 Se tomarmos ε como o menor entre ε1 e ε2 ε minε1 ε2 então a vizinhança U x ε x ε satisfaz ambos U G1 e U G2 Assim x é um elemento arbitrário de G concluímos que G é aberto em R Agora dada uma coleção finita qualquer de conjuntos abertos podemos usar um argumento simples de Indução para deduzir que a interseção dessa coleção é aberta Deixamos a elaboração de tal argumento para você como exercício As propriedades correspondentes para conjuntos fechados serão estabelecidas a seguir com auxílio das identidades de De Morgan para conjuntos e seus complementares Teorema 313 a A interseção de uma coleção arbitrária de conjuntos fechados em R é um conjunto fechado b A união de uma coleção finita qualquer de conjuntos fechados em R é um conjunto fechado ANALISE REAL Topologia na Reta uma colecao infinita de conjuntos fechados pode muito bem nao ser um conjunto fechado Caracterizacao dos Conjuntos Fechados Estabelecemos a seguir uma caracterizacao dos subconjuntos fechados de R em termos de sequˆencias Como veremos os conjuntos fechados sao pre cisamente aqueles conjuntos F que contˆem os limites de todas as sequˆencias convergentes cujos elementos pertencem a F Teorema 314 Seja F R Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes i F e um subconjunto fechado de R ii Se xn e uma sequˆencia convergente qualquer de elementos em F entao lim xn pertence a F Prova i ii Seja xn uma sequˆencia de elementos em F e x lim xn Vamos mostrar que x F Suponhamos ao contrario que x F isto e x F c o complementar de F Como F c e aberto e x F c segue que existe uma εvizinhanca Vε de x tal que Vε esta contida em F c Como x lim xn segue que existe um numero natural N0 N0ε tal que xn Vε para n N0 Em particular xN0 Vε F c e portanto xN0 F c o que contradiz a hipotese de que xn F para todo n N Portanto concluımos que x F ii i Suponhamos ao contrario que F nao e fechado de modo que G F c nao e aberto Entao existe um ponto y0 G tal que para cada n N existe um ponto yn Gc F tal que yn y0 1n Segue que y0 lim yn e como yn F para todo n N a hipotese ii implica que y0 F o que contraria o fato de que y0 F c Logo a hipotese de que F nao e fechado implica que a afirmacao ii nao e verdadeira Consequentemente ii implica i como afirmado Recordemos que um ponto x e um ponto de acumulacao de um conjunto F se toda εvizinhanca de x contem um ponto de F diferente de x Vimos em aula passada que todo ponto de acumulacao de um conjunto F e o limite de uma sequˆencia de pontos em F Pelo que acabamos de dizer o resultado seguinte e uma consequˆencia imediata do Teorema 314 Deixamos para vocˆe como exercıcio dar uma prova direta desse resultado usando apenas as definicoes envolvidas CEDERJ 166 Teorema 315 Um subconjunto de R é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação Caracterização dos Conjuntos Abertos em R O resultado seguinte mostra que os conjuntos abertos de R nada mais são do que uniões enumeráveis de intervalos abertos Teorema 316 Um subconjunto não vazio de R é aberto se e somente se ele é a união de uma coleção enumerável de intervalos abertos em R Prova Como pelo Exemplo 311c qualquer intervalo aberto é um conjunto aberto em R segue do Teorema 312 que a união de uma coleção qualquer enumerável ou não enumerável de intervalos abertos é um conjunto aberto em R Suponhamos que G é um conjunto aberto em R Para cada x G seja Ax a R a x G e Bx b R x b G Como G é aberto segue que Ax e Bx são conjuntos não vazios por quê Se o conjunto A é limitado inferiormente definimos ax infA se A não é limitado inferiormente definimos ax Observe que em qualquer caso ax G por quê contradiz o fato de que ay G De modo semelhante caso ocorra ii então ax Iy ay by G o que contradiz o fato de que az ay Portanto devemos ter az ay De modo inteiramente análogo provamos que bz by Logo concluímos que se Iz Iy então Iz Iy Resta mostrar que a coleção de intervalos distintos Ix x G é enumerável Agora E Q G é enumerável e para cada r E existe um único intervalo Iz tal que r Iz já que os intervalos Iz distintos são disjuntos Por outro lado pela densidade de Q em R e pelo fato de que G xG Ix cada Ix contém pelo menos um r E Logo a função f E Ix x G definida por fr Iz se fr Iz é sobrejetiva Logo pelo que vimos na Aula 3 concluímos que a família Iz x G é uma coleção enumerável de intervalos Se A R seja A a união de todos os conjuntos abertos contidos em A o conjunto A é chamado o interior de A Mostre que a A é um conjunto aberto b A é o maior conjunto aberto contido em A c um ponto x A se e somente se x é um ponto interior de A a A A b A A c A B A B d A B A B Dê um exemplo para mostrar que a inclusão no último item do exercício anterior pode ser própria e portanto em geral não vale A B A B Conjuntos Compactos M ODULO 2 AULA 32 Aula 32 Conjuntos Compactos Metas da aula Definir e apresentar os principais fatos sobre conjuntos compactos na reta Apresentar o conjunto de Cantor e suas propriedades basicas Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Saber a definicao de um conjunto compacto na reta bem como os principais fatos sobre essa classe de conjuntos na reta Saber a caracterizacao dos conjuntos compactos na reta dada pelo Teo rema de HeineBorel Saber definir o conjunto de Cantor e deduzir suas propriedades basicas Introducao Alem dos conjuntos abertos e fechados uma nocao fundamental em topologia geral extremamente importante na analise matematica avancada e a de conjunto compacto Seja X um conjunto arbitrario dotado de uma topologia isto e uma famılia de subconjuntos distinguida como sendo a famılia dos subconjuntos abertos de X Dizemos que um subconjunto K de X e compacto se qualquer colecao de subconjuntos abertos cuja uniao contem K possui uma subcolecao finita cuja uniao ainda contem K Nesta aula va mos estudar as propriedades basicas dos subconjuntos compactos da reta O teorema de HeineBorel que veremos no decorrer desta aula fornece uma caracterizacao bastante simples para os conjuntos compactos em R um con junto e compacto em R se e somente se e fechado e limitado Este resultado nao e verdadeiro para espacos topologicos arbitrarios isto e conjuntos ar bitrarios dotados de topologia Porem os metodos utilizados na investigacao das propriedades dos conjuntos compactos em R servem de inspiracao para a investigacao dessa classe de conjuntos em espacos topologicos gerais que e feita em cursos mais avancados Veremos ainda nesta aula a definicao e as propriedades basicas do famoso conjunto de Cantor Este vem a ser um subconjunto compacto con tido no intervalo 0 1 com muitos aspectos curiosos que motivaram as mo dernas teorias dos conjuntos fractais do caos etc 171 CEDERJ Seja A R seja A a interseção de todos os conjuntos fechados contidos em A o conjunto A é chamado o fecho de A Mostre que a A é um conjunto fechado b A é o menor conjunto fechado contendo A c um ponto x pertence a A se e somente se ou x é interior a A ou x é um ponto fronteira de A definição anterior devemos mostrar que dada uma coleção arbitrária de conjuntos abertos cuja união contém K sempre é possível extrair dessa coleção um número finito de conjuntos cuja união ainda contém A Por outro lado para mostrar que um dado subconjunto Y de R não é compacto basta exibirmos uma coleção de conjuntos abertos cuja união contém Y da qual não é possível extrair uma subcoleção finita que ainda contenha Y Um exemplo deste último caso é fornecido pela cobertura Gs do conjunto A 0 3 que vimos no ponto O Teorema de HeineBorel A seguir vamos apresentar uma caracterização dos conjuntos compactos de R Essa caracterização é fornecida pelo Teorema de HeineBorel Inicialmente vamos enunciar e provar a primeira parte da caracterização estabelecendo como condição necessária para um conjunto ser compacto em R que ele seja fechado e limitado Essa implicação é um fato geral válido para conjuntos compactos em espaços topológicos bem mais gerais que R chamados espaços métricos cuja definição precisa foge aos objetivos deste curso Já o fato de que essa condição também é suficiente no caso de R é o conteúdo do Teorema de HeineBorel e não pode ser estendido a todos os espaços métricos Conjuntos Compactos M ODULO 2 AULA 32 Teorema 322 Teorema de HeineBorel Um subconjunto K de R e compacto se e somente se e fechado e limitado Prova Ja provamos no Teorema 321 que se K e um subconjunto compacto de R entao K e fechado e limitado Resta portanto provar a recıproca ou seja que se K e um subconjunto de R fechado e limitado entao K e compacto Suponhamos entao que K R e fechado e limitado e seja G Gα uma cobertura aberta de K Desejamos provar que G possui uma subcober tura finita Vamos fazer a demonstracao por contradicao Vamos entao assumir que K satisfaz a propriedade P Nao esta contido na uniao de qualquer subcolecao finita de G Por hipotese K e limitado e portanto existe r 0 tal que K r r Seja I0 r r Dividimos I0 em dois subintervalos fechados de igual comprimento r I 0 r 0 e I 0 0 r Ao menos um dos dois sub conjuntos K I 0 e K I 0 deve ser nao vazio e herdar a propriedade P satisfeita por K Do contrario cada um dos conjuntos K I 0 e K I 0 estaria contido na uniao de uma subcolecao finita de conjuntos em G e portanto K K I 0K I 0 tambem estaria contido na uniao de uma subcolecao finita de G o que contradiz o fato de que K satisfaz P Se P for satisfeita por K I 0 definimos I1 I 0 senao P sera necessariamente satisfeita por K I 0 e entao definimos I1 I 0 Agora dividimos I1 em dois subintervalos fechados de igual compri mento r2 I 1 e I 1 Como K I1 K I 1 K I 1 entao ao menos um dos dois subconjuntos K I 1 e K I 1 deve ser nao vazio e herdar a propriedade P que e satisfeita por K I1 Se K I 1 satisfaz P defini mos I2 I 1 senao P tem de ser satisfeita por K I 1 e entao definimos I2 I 1 Denotando por I o comprimento de um intervalo I observe que temos I0 I1 I2 e I0 2r I1 r e I2 r2 Continuando esse processo obtemos uma sequˆencia de intervalos en caixados In Pela Propriedade dos Intervalos Encaixados vista na Aula 5 existe um ponto x0 pertencente a todos os In n N Como cada In contem uma infinidade de pontos em K por quˆe o ponto x0 e um ponto de acu mulacao de K Alem disso como por hipotese K e fechado segue do Teo rema 315 que x0 K Portanto existe um conjunto Gα0 em G com x0 Gα0 Como Gα0 e aberto existe ε 0 tal que x0 ε x0 ε Gα0 175 CEDERJ Por outro lado como os intervalos In são obtidos por bisseções repetidas de I0 r r segue que In r2n1 Segue que se n for suficientemente grande de modo que r2n1 ε então K In está contido em Ga0 que é um membro de G o que contradiz o fato de que K In satisfaz P por construção Essa contradição se originou no fato de termos assumido que K satisfazia a propriedade P Assim deve valer a negação de P e desse modo concluímos que K é compacto Conjuntos Compactos M ODULO 2 AULA 32 possui subsequˆencia alguma convergindo para um ponto de K Primeiro se K nao e fechado entao pelo Teorema 314 existe uma sequˆencia xn de pontos em K que converge para um ponto x que nao pertence a K Como qualquer subsequˆencia de xn tem que convergir tambem para x e x K segue que nenhuma subsequˆencia de xn converge para um ponto de K Segundo se K nao e limitado entao existe uma sequˆencia yn em K tal que yn n para todo n N por quˆe Entao toda subsequˆencia de yn e ilimitada logo nenhuma subsequˆencia de yn pode convergir a um ponto de K O Conjunto de Cantor Concluiremos esta aula com uma breve discussao sobre o celebre con junto de Cantor que denotaremos C Ele e um exemplo muito interessante de um conjunto compacto em R que e diferente de todos os subconjuntos de R que vimos ate o momento Ele tem inspirado modernas teorias matematicas como a geometria fratal e a teoria do caos entre outras Tambem serve fre quentemente como contraexemplo para as mais variadas e falsas suposicoes sobre conjuntos da reta que brotam de nossa intuicao algumas vezes inade quada para nos dar uma ideia precisa desses objetos O conjunto de Cantor C e obtido como resultado de um processo recor rente de remocao dos tercos medios abertos de intervalos fechados remanes centes comecando pelo intervalo fechado unitario 0 1 Assim primeiramente removemos o terco medio aberto 1 3 2 3 do inter valo 0 1 para obter o conjunto F1 0 1 3 2 3 1 A seguir removemos o terco medio aberto de cada um dos intervalos fechados que compoem F1 para obter o conjunto F2 0 1 9 2 9 1 3 2 3 7 9 8 9 1 Vemos que F2 e a uniao de 22 4 intervalos fechados cada um dos quais e da forma k32 k 132 Em seguida removemos os tercos medios abertos de cada um dos intervalos fechados que compoem F2 para obter o conjunto F3 0 1 27 2 27 1 9 2 9 7 27 8 27 1 3 2 3 19 27 20 27 7 9 8 9 25 27 26 27 1 que e a uniao de 23 8 intervalos fechados da forma k33 k 133 177 CEDERJ Continuamos desse modo se Fn tiver sido construído na nésima etapa e consiste na união de 2n intervalos da forma k3n k 13n então Fn1 é obtido removendose o terço médio aberto de cada um desses intervalos O conjunto de Cantor C é então definido por C n1 Fn Temos então pelo Teorema 323 que C é um conjunto compacto A seguir listamos várias propriedades do conjunto de Cantor C Exemplos 322 a O comprimento total dos intervalos removidos no processo de construção de C é igual a 1 De fato observamos que o primeiro terço médio tem comprimento 13 os próximos dois têm comprimentos que somam 23 os quatro seguintes têm comprimentos que somam 2232 e assim por diante De modo geral temos que os terços médios abertos removidos de Fn para que seja obtido Fn1 têm comprimentos que somam 2n3n1 para n 0 1 2 com F0 0 1 O comprimento total dos intervalos removidos é então dado por L n0 2n3n1 13 11 23 1 Logo C é um subconjunto do intervalo unitário 0 1 cuja complemento tem comprimento total igual a 1 Note também que o comprimento total dos intervalos que compõem Fn é 23n que tem limite 0 quando n Como C Fn para todo n N vemos que se a noção de comprimento total de um conjunto formado de intervalos puder ser estendida a C o comprimento total de C terá necessariamente que ser igual a 0 A assim chamada medida de Lebesgue criada pelo célebre matemático francês Henri Lebesgue 18751941 cujo estudo está além dos objetivos deste curso fornece uma extensão da noção de comprimento total para um conjunto formado de intervalos que pode ser aplicada a C e como esperado atribui o valor 0 a C Conjuntos Compactos M ODULO 2 AULA 32 b O conjunto de Cantor C nao contem nenhum intervalo aberto naovazio De fato se C contivesse um intervalo aberto naovazio a b entao como a b Fn para todo n N deverıamos ter 0 b a 23n para todo n N o que nos da uma contradicao ja que lim23n 0 c O conjunto de Cantor C tem uma quantidade infinita de pontos vere mos a seguir que ele e nao enumeravel Os pontos extremos dos intervalos fechados que compoem cada um dos conjuntos Fn pertencem a C Por outro lado cada Fn e composto de 2n intervalos fechados disjuntos e portanto possui pelo menos 2n1 pontos em C que sao os referidos extremos dos intervalos Assim se assumıssemos que C possui um numero finito qualquer N de elementos poderıamos escolher n suficientemente grande tal que 2n1 N e assim chegar a uma contradicao Logo C possui uma quantidade infinita de pontos d O conjunto de Cantor e nao enumeravel Primeiro vamos mostrar que existe uma bijecao ϕ entre C e o conjunto de todas as sequˆencias annN com an 0 1 que denotamos por 0 1N Definimos ϕ C 0 1N da seguinte forma Dado c C definimos ϕc1 0 se c pertence ao intervalo fechado 0 13 F1 e pomos I1 0 13 Caso contrario temos necessariamente c 23 1 e entao definimos ϕc1 1 e pomos I1 23 1 Para definir ϕc2 observamos que F2 I1 I 1 I 1 onde I 1 e I 1 sao os dois intervalos fechados a esquerda e a direita respectivamente que restam apos removermos o terco medio aberto de I1 Definimos entao ϕc2 0 se c I 1 e pomos I2 I 1 do contrario temos necessariamente c I 1 e entao definimos ϕc2 1 e pomos I2 I 1 De modo semelhante temos F3 I2 I 2 I 2 onde I 2 e I 2 sao os dois intervalos fechados a esquerda e a direita respectivamente que restam apos removermos o terco medio aberto de I2 Daı entao definimos ϕc3 0 se c I 2 e pomos I3 I 2 do contrario temos necessariamente c I 2 e entao definimos ϕc3 1 e pomos I3 I 2 Prosseguimos esse processo indutivamente Supondo que tenhamos definido ϕcn e In entao teremos Fn1 In I n I n e definimos ϕcn1 0 se c I n e pomos In1 I n caso contrario c I n definimos ϕcn1 1 e pomos In1 I n Isso completa a definicao de ϕc ϕcnnN A funcao ϕ e injetiva De fato se ϕc1 ϕc2 entao c1 e c2 estao 179 CEDERJ A função ϕ é sobrejetiva De fato se ann ℕ então usando a notação anterior fazse I1 I1 0 13 se a1 1 Fazemos I2 I2 se a2 0 ou I2 I2 se a2 1 De modo similar fazemos I3 I2 se a3 0 ou I3 I2 se a3 1 Prosseguindo dessa forma definimos uma sequência de intervalos fechados encaixados In para n N com comprimento de In igual a 3n Logo existe um único c C tal que c n1 In Vemos então claramente que ann ℕ ϕc Agora afirmamos que o conjunto 0 1ℕ não é enumerável Provaremos isto utilizando mais uma vez um argumento do tipo diagonal originalmente devido a Cantor Suponhamos por contradição que 0 1ℕ seja enumerável e seja xm m ℕ uma enumeração para 0 1ℕ com xm anmn ℕ anm 0 1 Definimos a sequência x xn 0 1ℕ da seguinte forma Se anm 0 pomos xn 1 Dessa forma temos que x xm para todo m ℕ o que nos dá uma contradição Logo 0 1ℕ é não enumerável Já que ϕ C 0 1ℕ é uma bijeção e 0 1ℕ é não enumerável com acabamos de mostrar concluímos que C é não enumerável por quê 7 Dê um exemplo de uma coleção infinita enumerável de conjuntos compactos cuja união não é um conjunto compacto 8 Prove usando o Teorema de HeineBorel que a interseção de uma coleção arbitrária Kλ λ Λ de conjuntos compactos é um conjunto compacto 9 Seja Kn n ℕ uma sequência de conjuntos compactos não vazios em R tal que K1 K2 Kn Prove que n1 Kn 10 Seja K compacto em R e seja x0 R Mostre que existem a K e b K satisfeitos x0 a infx0 x x K e x0 b supx0 x x K 11 Mostre que 13 19 C e 12 15 16 17 18 C onde C é o conjunto de Cantor 12 Mostre que cada ponto do conjunto de Cantor C é um ponto de acumulação de C e é também um ponto de acumulação do complemento Cc 13 Mostre que o conjunto dos pontos extremos dos intervalos fechados que compõem os conjuntos Fn n ℕ na construção de C formam um subconjunto enumerável denso em C Mais especificamente todo ponto c C é limite de uma sequência xn onde xn é um extremo de um dos intervalos fechados que compõem Fn 14 Mostre que cada x 0 1 pode ser escrito numa expansão ternária base 3 na forma x k1 ak3k com ak 0 1 2 para todo k ℕ 15 Mostre que a expansão do exercício anterior é única exceto para os números da forma x m3n com m n ℕ e 1 m 3n que admite uma expansão finita ANÁLISE REAL com an 1 2 ou uma expansão infinita m 3n k1 bk 3k com bk ak para k 1 n 1 bn an 1 e bk 2 para k n 1 Se x m3n com m n ℕ e 1 m 3n convencionaremos escolher a expansão finita se an 2 e a infinita se an 1 e denotaremos x a1a2an₃ 16 Usando a notação x a1a2an introduzida no exercício anterior prove que x C se e somente se an 0 2 para todo n ℕ 17 Determine os an em 14 a1a2an com a notação adotada nos dois exercícios anteriores e diga x 14 C ou 14 C 182 ISBN 9788576446900 9788576468800