Estatística Básica

EXERCICIOS PROPOSTOS 77 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 173 1 Quatro pneus de cada uma das marcas A Be C foram testados quanto à durabilidade Os resultados obtidos em milhares de quilômetros são os que seguem Marca Durabilidade 2 A 34 38 31 35 B 32 34 31 29 C 30 25 28 23 Ao nivel de 1 de significância há evidência de que os pneus tenham diferentes durabili dades mėdias Numa fábrica com cinco máquinas automáticas de embalagem existe a suspeita de que pelo menos uma delas esteja desregulada em relação às outras quanto ao peso médio embalado Para tirar as dúvidas foram extraidas cinco amostras de quatro elementos cada uma de cada máquina Ao nível 1 de significância qual a conclusão Os dados das cinco amostras em gramas são apresentados a seguir correspondendo cada coluna a uma amostra 230 228 225 231 226 235 233 227 229 230 237 236 230 231 229 230 230 224 225 228 3 Quatro indivíduos com visão perfeita foram submetidos a três determinações do tempo em segundos para a acomodação visual a um dado aumento da luminosidade ambiente Os resultados foram Individuo Tempo 1 36 38 41 2 37 35 37 3 34 39 36 4 39 42 38 Ao nível de 5 de significância existe diferença significativa entre os individuos 4 São dados três grupos de observações Grupo A 15 18 18 20 19 24 19 Grupo B 19 20 16 21 19 15 9 13 19 Grupo C 29 27 23 20 21 Podemos identificar aos níveis de significância usuais a existência de diferença entre as médias das populações das quais provieram essas amostras 174 COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS 5 Os dados que seguem representam o tempo em segundos gasto por cinco operários para realizar certa operação usando três máquinas diferentes Ao nivel de 5 de significância verifique se existe diferença assinalável entre as máquinas e entre os operários Máquina A Máquina В Máquina С Operário 1 32 49 30 Operário 2 41 45 29 Operário 3 35 45 37 Operário 4 30 40 35 Operário 5 31 42 42 6 7 Utilize o modelo correto de Análise de Variância para resolver os seguintes exercicios do Cap 5 a o exercicio 25 b o exercicio 27 c o exercício 31 Um terreno quadrangular foi dividido em dezesseis canteiros sobre os quais semeou se a mesma cultura Os índices que seguem referemse às colheitas obtidas com respeito à posição geográfica de cada canteiro Ao nivel de 5 de significância teste se existe variação na fertilidade do solo segundo as direções da subdivisão 18 15 20 16 20 22 16 17 16 21 18 25 21 22 24 20 8 Numa experiência didática vinte alunos de uma classe considerada muito homogênea receberam aulas de certa disciplina segundo dois métodos diferentes A e B sendo todas as aulas dadas pelo mesmo professor em dois períodos diferentes no comeco da manhã e no fim da tarde Assim o professor ministrou aulas a quatro turmas de cinco alunos cada duas pela manhã e duas a tarde Os alunos foram distribuídos pelas turmas por sorteio As médias finais foram Manhã método A 64 70 73 62 69 Manhã método B 75 80 98 69 84 Tarde método A 68 72 60 77 53 Tarde método B 54 83 90 75 77 Realize a Análise de Variância pertinente Quais as conclusões aos niveis usuais Foi encontrada interação entre horário de aula e método de ensino EXERCICIOS PROPOSTOS 175 9 Trinta e seis peças de uma liga de alumínio foram fabricadas segundo três processos diferentes a quatro niveis de temperatura Três peças foram produzidas sob cada combinação processonível de temperatura A resistência à corrosão foi então deter minada para cada peça obtendose os resultados dados na Tab 714 Use o modelo conveniente de Anâlise de Variância para analisar esses dados ao nível de 5 de significância Quais as conclusões Tabela 714 Resistência á corrosão Nível de temperatura ProcessO 1 2 3 4 79 122 72 131 1 96 128 109 72 110 128 111 111 122 100 115 72 44 117 59 69 82 103 79 130 80 34 126 115 II1 74 50 146 99 72 85 114 133 10 Em uma análise de variância a duas classificações temos quatro linhas e cinco colunas Cada tratamento foi repetido quatro vezes num total de oitenta observações As somas de quadrados obtidas estão resumidas a seguir Entre linhas 1086 Entre colunas 978 Entre tratamentos 2432 Total 3880 Realize a análise de variância fazendo as hipóteses que julgar necessárias e dando as conclusões obtidas aos níveis usuais 11 Utilizando o método de Tukey estabeleça quais médias devem ser consideradas estatisticamente distintas ao nivel de 5 de significância para os dados a do exercício 1 b do exercício 2 c do exercicio 3 d do exercício 5 todos deste capitulo Em qual dos casos o teste proposto parece nitidamente fora de propósito 176 COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS 12 Utilizando o método de Scheffé estabeleca quais médias devem ser consideradas estatisticamente distintas aos níveis de 5 e 1 de significância para os dados a do exercicio 1 b do exercicio 2 c do exercicio 4 d do exercicio 5 e do exercicio 8 todos deste capítulo 13 Com referência aos dados do exercício 8 pedese a estabeleça um contraste com a finalidade de medir a interação porventura existente entre horário de aula e método de ensino b teste a significância desse contraste ao nível a 5 c admitida a nãoexistência de interação estabeleça os contrastes indicados à caracterização das diferenças médias entre os métodos e entre os horários d construa intervalos individuais de 95 de confiança para os contrastes mencionados em c e usando o método de Tukey estabeleça os intervalos em que depositamos 95 de confiança em que ambos os contrastes mencionados em c estarão contidos f idem usando o método de Scheffé g compare os resultados dos itens e e f EXERCICIOS PAOPOSTOS Exemplo Solução Exemplo Solução 77 Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desviopadrão é igual a 4 com 98 de confiança e precisão de 05 Ao definir a precisão da estimativa desejada estamos estabelecendo o errо máximo que desejamos cometer com a confiança dada Logo essa precisão equivale numericamente à própria semiamplitude do intervalo de confiança Portanto 012 π 1 2 232642 05 3463 Logo necessitamos de uma amostra de 347 elementos Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos a proporção de defeituosos fornecidos por uma máquina com precisão de 002 e confiança de 95 sabendo que essa proporção seguramente não é superior a 020 De acordo com o anteriormente exposto temos 2 Z25 n Co PolP1902 2 020080 153664 Logo será suficiente uma amostra de 1537 elementos 46 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por uma certa máquina é normal com desviopadrão igual a 017 mm Uma amostra de seis parafusos retirada ao acaso da produção apresentou os seguintes diâmetros em milimetros 254 252 256 253 250 254 Construa intervalos de 90 95 e 9974 de confiança para o diâmetro médio da produção dessa máquina A 2 Suponha que o diâmetro médio da produção da máquina citada no exercicio 1 tenha sido modificado e que uma amostra de vinte peças tenha sido submetida a um calibre constituido por um orificio com 20 mm de diâmetro Se sete das peças da amostra passaram por esse orificio dê uma estimativa por ponto para o diâmetro médio fornecido pela máquina A 78 ESTIMAÇÃO DE PARAMETROS 3 Uma amostra de quinze elementos retirada de uma população normalmente distribuida forneceu X 324 e s² 256 Construa intervalos de 95 e 99 de confiança para a a média da população b a variância da população c o desviopadrão da população 4 A cronometragem de certa operação forneceu os seguintes valores para diversas determinações em segundos 14 16 13 13 15 15 17 14 15 14 16 14 Construa um intervalo de 98 de confiança para o tempo médio dessa operação Suponha que os tempos medidos tenham distribuição normal 5 Uma amostra extraída de população normal forneceu os seguintes valores 30 32 34 28 31 29 30 32 Construа a IC de 95 para a variância da população b IC de 99 para a variância da população c IC de 95 para a média da população d IC de 99 para a média da população e se a variância da população é 001 como ficarão c e d 스 6 Os valores de uma amostra foram agrupados em classes resultando a seguinte distribuição de frequências Classes Freqüências 100 110 3 110 120 8 120 130 12 130 140 4 140 150 2 1 7 a 150 160 Construa um intervalo de 95 de confiança para a média da população b Comente a validade desse intervalo de vez que podese facilmente observar que a distribuição populacional parece não ser simétrica c Dê um limite minimo com 95 de confiança para a proporção populacional de valores maiores que 130 Um universo é unimodal e fortemente assimétrico Uma amostra de 120 elementos tirada desse universo formeceu as seguintes estimativas para sua média e desviopadrão 3012 s35 É possível estimarse com 95 de confiança um limite mínimo para a média real do universo Caso afirmativo calcule o limite Δ EXERCICIOS PROPOSTOS 79 8 Considere a frase que segue como uma amostra de palavras da lingua portuguesa e com base nela construa um intervalo de 99 de confiança para o número médio de letras por palavra usada nessa língua Admitindo a amostra como representativa da população o intervalo obtido é exato ou aproximado Se não for possível a correção imediata o fato deve ser comunicado ao Controle de Produção e suspenso o envio de peças até o recebimento de novas instruções 9 Considerando o conjunto de dados como amostra proveniente de população normal construa os intervalos de 95 e 99 de confiança para a média da população para os dados dos exercicios 3 4 e 9 do Cap 2 10 Considerando o conjunto de dados como amostra proveniente de população normal construa os intervalos de 95 e 99 de confiança para a variância da população para os dados dos exercícios 3 4 9 e 17 do Cap 2 11 Compare os resultados fornecidos pelas expressões 433 e 434 do intervalo de confiança para o desviopadrão da população nos casos n 10 n 30 e n 100 Em outras palavras verifique nesses casos o comportamento da aproximação n1 1 2n1 2 Xn1P 12 É dada a seguinte distribuição de frequência representativa dos dados de uma amostra de cinquenta elementos 13 10 20 3 20 30 9 30 40 15 40 50 10 5060 8 60 70 5 50 a Calcule a média e o desviopadrão da amostra b Construa um intervalo de 90 de confiança para a média da população c Construa um intervalo de 99 de confiança para a proporção populacional de valores maiores que 45 스 Sabese que a variação das dimensões formecidas por uma máquina independem dos ajustes do valor médio Duas amostras de dimensões das peças produzidas forneceram amostra 1 122 124 amostra 2 140 137 121 139 120 127 124 141 139 Estabeleça um intervalo de 95 de confiança para o desviopadrão com que a máquina opera A 14 Uma moeda abaulada foi jogada 400 vezes obtendose 136 caras Construa intervalos de 95 e 99 de confiança para a probabilidade do resultado cara nessa moeda 15 Uma moeda reconhecidamente sem vício será lançada 400 vezes Construa intervalos de 95 e 99 de confiança para o número de caras a ser obtido nesse experimento Você percebe a diferença de situações entre o caso deste problema e o do problema anterior 16 Numa pesquisa de mercado bem conduzida 57 dentre 150 entrevistados afirmaram que seriam compradores de certo produto a ser lançado Sendo a população de compradores em potencial formada por 2000 elementos dê um limite com 95 de confiança para o número mínimo de pessoas que comprarão o produto 17 Qual o tamanho da amostra necessária para se estimar a média de uma população com precisão de um décimo do desviopadrão e confiança a 95 b 99 18 Foram feitas vinte medidas do tempo total gasto para a precipitação de um sal em segundos numa dada experiência obtendose 13 15 12 14 17 15 16 15 14 16 17 14 16 15 15 13 14 15 16 15 Esses dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto na precipitação com precisão de meio segundo e 95 de confiança Caso negativo qual o tamanho da amostra adicional necessária 19 Desejase estimar a resistência média de certo tipo de peça com precisão de 2 kg e 95 de confiança Desconhecendose a variabilidade dessa resistência romperamse cinco peças obtendose para elas os seguintes valores de sua resistência em kg 50 58 52 49 55 Com base no resultado obtido determinouse que deveriam ser rompidas mais quinze peças a fim de se conseguir o resultado desejado Qual sua opinião a respeito dessa conclusão 20 O erro relativo de estimação é definido como o erro absoluto dividido pelo valor do parâmetro a ser estimado a Mostre que se desejamos estimar uma proporção populacional com o erro relativo fixado a expressão 440 do texto passa a ser n Zα2 er2 1pp onde er é o erro relativo b Qual o tamanho da amostra suficiente para estimar uma proporção populacional que sabemos estar contida entre 030 e 070 com erro relativo máximo de 10 e 95 de confiança c Responda à pergunta anterior admitindo que se exija erro absoluto e nãorelativo máximo de 10 d Interprete a diferença observada entre as respostas dos itens b e c 21 Uma máquina apresenta no mínimo 90 de peças boas em sua produção Desejase através de uma única amostra estimar o diâmetro médio das peças produzidas com 999 de certeza de se ter um erro máximo de estimação igual a 01 do desviopadrão dos diâmetros bem como estimar a verdadeira proporção de defeituosos da máquina com precisão de 002 e no mínimo 95 de confiança Qual o tamanho da amostra necessária para tanto 22 Um automobilista que atravessa freqüentemente uma ponte notou após duzentas travessias que em sessenta delas o último algarismo de seu odômetro marcador de quilometragem havia mudado sobre a ponte a Dê com 95 de confiança um valor máximo para o comprimento da ponte b Se ele atravessa a ponte sempre a 60 kmh estime o tempo gasto na travessia com 96 de confiança c Quantas travessias seriam necessárias para se estimar o comprimento da ponte com 98 de confiança e precisão de 30 metros 23 Uma amostra de dez peças forneceu os seguintes valores de certa dimensão em milímetros 801 800 801 798 800 803 797 800 802 804 Desejase estimar a dimensão média com erro máximo de 005 mm e 98 de confiança bem como a proporção de peças com dimensão acima de 80 mm com precisão de 5 e 90 de confiança Dimensione a amostra total que se deverá tomar Essa amostra é necessária É suficiente 24 Certa produção de pinos metálicos é submetida a um processo de cementação no qual uma camada externa de maior resistência se forma Sessenta pinos nãocementados tiveram seus pesos medidos em gramas precisão de décimos e forneceram a distribuição de frequências após agrupamento em classes correspondente à tabela que segue xi 652 657 662 667 672 677 682 687 fi 2 6 9 15 16 7 4 1 a Construa um intervalo de 95 de confiança para a variância dos pinos nãocementados b Estime o erro máximo que seria cometido ao se fazer a estimação do número de pinos com mais de 672 g existentes em um lote de 10000 com 96 de grau de confiança c Supondo que uma amostra de cem pinos cementados tenha fornecido média de 6920 g e desviopadrão de 180 g estime com 90 de confiança o aumento médio de peso por pino devido à cementação EXERCÍCIOS PROPOSTOS 123 2 Como X1g xx3 X25 599 ainda não podemos tirar uma conclusão pois X 25CX115X25 Devemos pois calcular a constante de correção C para o que a última coluna da Tab 55 será útil Temos C1 01396 1021 32 69 CX174512 1021 72979 x25 Logo podemos rejeitar Ho ao nível de 5 de significância Existe a evidência mencionada 511 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Suponha que os dados do exercício complementar número 3 do Cap 2 sejam provenien tes de uma população cujo desviopadrão é conhecidamente igual a 125 g Nos niveis de 5 e 1 de significância esse resultado experimental permite concluir que o peso médio das embalagens seja superior a 335 g 2 Uma amostra de seis elementos extraida de uma população normal forneceu 3 4 5 Σχ 840 e Σx7² 550 Desejase saber se a média da população pode ser considerada como superior a 11 Qual a conclusão nos níveis de 5 e 1 de significância Uma amostra formeceu os seguintes valores 17 20 14 e 18 Ao nível de 5 de significância há evidência de que a média da população seja a inferior a 20 e b distinta de 20 Uma amostra de 27 elementos forneceu 7 32 e s2x 212 Desejase saber se é possível afirmar aos níveis de 5 e 1 de significância que a a média da população seja distinta de 15 b o desviopadrão da população seja inferior a 5 Os dados abaixo representam a resistência de dez pedaços de um cabo de aço ensaiados por tração até a ruptura Com base nos resultados obtidos pretendese saber se esse cabo obedece à especificação que exige uma carga média de ruptura de 1500 kg no mínimo Qual sua conclusão ao nivel de 2 de significância 1508 1518 1492 1505 1515 1507 1510 1505 1496 1498 A 124 TESTES DE HIPÓTESES 6 A cronometragem de certa operação industrial forneceu os seguintes valores para diversas determinações dados em segundos 113 124 115 107 120 126 114 110 116 117 118 113 125 119 118 114 122 117 7 Podemos concluir que o tempo médio necessário para realizar essa operação não deve exceder a 2 min ao nível de 5 de significância Em indivíduos normais o consumo renal médio de oxigênio tem distribuição normal com média 12 cm³min e desviopadrão 13 cm³min Supondose que um pesquisador interessado em saber se em indivíduos com insuficiência cardíaca o consumo rena médio de oxigênio é significativamente maior que 12 cm³min fixasse a 5 e B 10 se o consumo médio dos cardiacos é 130 cm³min ou mais a formule o teste de hipóteses em questão b traduza em palavras em termos do atual problema os valores de a e ẞ especifi cados c determine o tamanho da amostra necessária para a realização do teste nas condições especificadas 8 Verifique a válidade da expressão 514 do texto Por que razão essa expressão é aproximada 9 Um produtor deseja obter peso especifico médio 08 kgdm³ para certo material necessário à sua linha de produção Admitindo o produtor a possibilidade de uma partida estar acima da especificação quer saber se poderá ao nível de 5 de significância devolver a partida ao fornecedor Para tanto colheu uma amostra de doze porções do material a qual forneceu média 081 kgdm³ e desviopadrão 002 kgdm³ O fornecedor indicа como sendo de 001 kgdm³ o desviopadrão do peso específico do produto a Aceitando como válido o desviopadrão dado pelo fornecedor comente o tamanho da amostra retirada caso se deseje aceitar que o peso específico é 08 kgdm³ quando na verdade ele é superior a 082 kgdm³ com no máximo 1 de probabilidade b Adotando o desviopadrão da amostra como estimativa do verdadeiro o realize o teste com base na amostra colhida e dê as conclusões 10 Medidos os diâmetros de 32 peças de uma produção resultou a distribuição de frequên cias que segue valores em milímetros Ao nivel de 3 de significância há evidência de que o diâmetro médio não seja 570 mm Ao nível de 5 de significância há evidência de que o desviopadrão seja superior a 017 mm x 565 566 567 568 569 570 571 572 573 Si 1 3 2 4 10 5 4 1 2 A EXERCÍCIOS PROPOSTOS 125 11 Verifique se os dados do exercício complementar número 3 do Cap 2 permitem concluir ao nível a 5 que o desviopadrão da população é superior a 1 g 12 A distribuição de frequências que segue representa uma amostra retirada de uma população praticamente normal Ao nivel de 5 de significância há evidência de que o desviopadrão dessa população seja diferente de 15 Classes Freqüências 6875 3 7582 6 8289 11 8996 15 96103 18 103110 10 110117 5 117124 4 13 Mostre que para podermos afirmar ao nível de 5 de significância que a variância de uma população normal é maior que dez baseados em apenas dois elementos aleatoriamente retirados dessa população é necessário que a diferença entre os valores desses elementos seja maior que 876 14 Uma máquina foi regulada para fabricar placas de 5 mm de espessura em média com coeficiente de variação de no máximo 3 A distribuição das espessuras é normal Iniciada a produção foi colhida uma amostra de tamanho 10 que forneceu as seguintes medidas de espessura em milimetros 51 48 50 47 48 50 45 49 48 52 Ao nivel a 001 podese aceitar a hipótese de que a regulagem da máquina foi satisfatória A 15 Em 600 lançamentos de um dado obtevese o ponto seis em 123 lançamentos Aos níveis de 5 e 1 de significância há razão para se desconfiar de que o dado seja viciado em relação ao ponto seis 16 Um comprador ao receber de um fomecedor um grande lote de peças decidiu inspecionar duzentas delas Decidiu também que o lote será rejeitado se ficar convencido ao nível de 5 de significância de que a proporção de peças defeituosas no lote é superior a 4 Qual será sua decisão aceitar ou rejeitar o lote se na amostra forem encontradas onze peças defeituosas A 126 TESTES DE HIPÓTESES 17 Um industrial considera satisfatório se no máximo 8 das peças produzidas por sua indústria forem defeituosas Se uma amostra de duzentas peças apresentou doze defeituosas pode o industrial satisfazerse com esse resultado ao nivel de 5 de significância 18 Um teste consiste em jogar uma moeda quatro vezes rejeitandose a honestidade da moeda se se obtiverem quatro caras ou quatro coroas Determinar o nivel de significância do teste e esboçar com razoável precisão sua curva característica de operação 19 Numa pesquisa de opinião eleitoral dentre oitenta entrevistados o candidato João obteve 48 votos contra apenas 32 dados a seu opositor Admitindose a amostra como bem representativa do eleitorado podese concluir ao nível de 1 de significância que João será o vencedor da eleição 20 Entre milhares de casos de pneumonia nãotratados com sulfas a porcentagem que desenvolveu complicações foi de 10 Com o intuito de saber se o emprego das sulfas diminuiria essa porcentagem cem casos de pneumonia foram tratados com sulfapiridina e destes cinco apresentaram complicações Admitindo que os pacientes são comparáveis em tudo exceto quanto ao tratamento dizer se a proporção de complicações entre os tratados com sulfas é significativamente menor nivel 5 que entre os nãotratados 21 Um industrial deseja certificarse de que a fração do mercado que prefere seu produto ao de seu concorrente é superior a 70 Para tanto colheu uma amostra aleatória de 165 opiniões das quais 122 lhe foram favoráveis Pode o industrial ficar satisfeito com esse resultado adotado o nivel de 5 de significância Por outro lado o industrial considera um erro grave o chegar a se desiludir no caso admitir que não tem mais de 70 do mercado quando em verdade ele tem mais de 75 Ele gostaria que a probabilidade de cometer esse erro não superasse 10 Perguntase a amostra utilizada seria suficiente para atender essa exigência ao nível de significância adotado 22 Faça uma analogia entre o julgamento de um réu e um teste de hipóteses Quais são as hipóteses Hoe H testadas no caso do julgamento Em que consistem os erros tipo I e II 23 Um dispositivo eletrônico deve ser tal que quando acionado estabeleça contato elétrico com 25 de probabilidade Desejase testar ao nivel de 5 de significância a capacidade desse dispositivo em satisfazer ao especificado dentro de uma margem de erro não superior a 005 quanto ao valor real da probabilidade com que o contato se estabelece A amostra deve ser tal que a probabilidade de se concluir erradamente que o dispositivo satisfaz à especificação dentro da margem de erro estipulada não seja superior а 3 Qual o tamanho da amostra necessária e para quantos contatos obtidos iremos afirmar que o dispositivo não é satisfatório A fim de comparar a eficiência de dois operários foram tomadas para cada um oito medidas do tempo gasto em segundos para realizar uma certa operação Os resultados obtidos são dados a seguir Perguntase se ao nível de 5 de significância os operários devem ser considerados igualmente eficientes ou não Operário 1 35 32 40 36 35 32 33 37 Operário 2 29 35 36 34 30 33 31 34 Um banho de óleo é aquecido aos poucos e sua temperatura medida de meia em meiahora por dois termômetros Tendose obtido os valores abaixo há diferença significativa entre as indicações dos dois termômetros ao nível de 5 de significância Termômetro 1 382 445 530 590 664 713 Termômetro 2 375 442 516 580 668 724 Dadas duas amostras aleatórias de tamanhos 10 e 12 extraídas de duas populações normais independentes as quais forneceram respectivamente x1 20 x2 24 s1 50 s2 36 teste as hipóteses a de igualdade das variâncias b de igualdade das médias Estabeleça também um intervalo de 95 de confiança para a diferença entre as médias populacionais A fim de comparar duas marcas de cimento A e B fizemos experiência com quatro corpos de prova da marca A e cinco da marca B obtendo as seguintes resistências à ruptura Marca A 184 190 185 186 Marca B 189 188 183 186 184 Verifique se as resistências médias das duas marcas diferem entre si nível de significância de 5 Um aparelho é utilizado para testar a durabilidade de lâmpadas submetidas a diversas tensões O aparelho consta de oito soquetes ligados em paralelo e de um reostato ligado em série com um gerador e com os oito soquetes Oito lâmpadas da marca A e oito da marca B foram ensaiadas nesse aparelho sob as mesmas condições fornecendo as seguintes durações em horas Soquete 1 2 3 4 5 6 7 8 Marca A 35 26 40 35 31 49 38 24 Marca B 23 28 31 35 36 30 27 26 Podemos concordar com a afirmação dos fabricantes da marca A de que suas lâmpadas têm maior durabilidade que as da marca B na tensão utilizada O nível de significância é de 1 Dois candidatos a um emprego A e B foram submetidos a um conjunto de oito questões sendo anotados os tempos que cada um gastou na solução dados a seguir em minutos Podemos ao nível de 5 de significância concluir que B foi mais rápido que A em termos do tempo médio gasto para resolver questões do tipo das formuladas Dados Questão nº 1 2 3 4 5 6 7 8 Tempo de A 11 8 15 2 7 18 9 10 Tempo de B 5 7 13 6 4 10 3 12 Duas amostras apresentaram as seguintes características Amostra 1 Amostra 2 Σxi x²125 ΣYi y²63 x 352 y 367 n 6 n 10 Podese afirmar ao nível de 5 de significância que haja diferença de homogeneidade entre as duas populações E diferença entre as médias Num estudo sobre o metabolismo do citrato no fígado foram tomadas amostras de sangue da veia hepática de dez indivíduos normais e amostras de sangue arterial de outros dez indivíduos normais obtendose as seguintes determinações de citrato em cada amostra em mgmL Sangue da veia hepática Sangue arterial 202 264 246 322 183 378 190 250 295 284 126 262 182 313 308 350 222 297 254 274 As amostras de sangue da veia hepática têm por média 2116 mgmL e por desviopadrão 460 mgmL As amostras de sangue arterial têm por média 2994 mgmL e por desviopadrão 415 mgmL Realize um teste de hipótese a fim de verificar se existe uma diferença significativa no sentido de um maior conteúdo médio de citrato no sangue arterial em relação ao sangue da veia hepática Trabalhe com o nível de significância de 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 129 32 Em uma experiência industrial um trabalho foi executado por dez operários de acordo com o método l e por vinte operários de acordo com o método II Os resultados levaram aos seguintes dados sobre a duração média e variabilidade do tempo necessário à execução do trabalho método 1 x1 53 min s 6 min método II x2 57 min 52 15 min Ao nivel de significância de 5 a teste se os dois métodos devem ser considerados como tendo a mesma variabilidade de tempo b diga se os dados permitem afirmar que o método I fornece um tempo médio menor que o método 11 33 Um revendedor de ventiladores de certa marca anotou as vendas feitas de janeiro de 2000 a outubro de 2001 dadas a seguir cronologicamente Elabore um teste adequado para verificar se as vendas variaram significativamente de 2000 a 2001 As vendas foram 208 142 99 74 70 63 79 75 85 110 156 222 230 158 101 85 66 79 84 87 80 e 130 34 A qualidade de rebites é tanto melhor quanto maiores sua resistência média e sua homogeneidade Seis rebites de duas marcas foram ensaiados ao cisalhamento tendo se obtido as seguintes cargas de ruptura Rebite n 1 2 3 4 5 6 Marca A 349 355 388 392 337 376 Marca B 385 390 407 429 378 414 35 36 Esses resultados ratificam a afirmação do produtor da marca B de que seus rebites são melhores quanto a pelo menos um aspecto a 5 Com o intuito de controlar a homogeneidade da produção de certas partes no tempo amostras semanais são retiradas da produção corrente Uma primeira amostra de dez elementos forneceu média 28455 e desviopadrão 0320 ao passo que uma segunda amostra formeceu nas mesmas unidades os seguintes valores 2846 2839 2848 2852 2843 2837 2840 Ao nivel de 5 de significância podemos concluir que a homogeneidade da produção tenha variado no decorrer das duas semanas investigadas A Uma pesquisa de audiência foi feita num domingo à noite entre telespectadores de São Paulo e do Rio de Janeiro Em São Paulo dentre 100 entrevistados 65 declararam preferir o programa do Mr X enquanto que no Rio dentre 80 entrevistados 45 declararam preferir tal programa Ao nível de 1 de significância podemos concluir que Mr X é mais apreciado em São Paulo que no Rio 130 37 TESTES DE HIPÓTESES Num ensaio de tintas para proteção de superficies metálicas 55 painéis foram pintados com uma tinta A e outros 75 com outra tinta B Decorridos dois anos de exposição ao ar livre verificouse que no primeiro grupo apenas seis painéis apresentavam pro blemas enquanto que no segundo o número de painéis defeituosos era de 19 Pode se concluir desses dados com 5 de significância que as duas marcas ensaiadas diferem em sua capacidade de proteção 38 São dados os seguintes três grupos de observações Grupo A 35 26 31 34 29 37 Grupo B 61 69 58 57 62 64 Grupo C 42 45 41 44 42 43 Com 5 de significância os três grupos têm desviospadrāo equivalentes 39 Três amostras de 5 8 e 7 elementos respectivamente forneceram 5 32 5 76 5 72 Teste a hipótese de que as três amostras provêm de populações de mesma variância Em caso afirmativo estime essa variância 144 65 EXERCÍCIOS PROPOSTOS TESTES NÃOPARAMÉTRICOS 1 O último algarismo de sessenta números telefônicos consecutivos extraidos de uma página das listas foram 0 7 7 5 51 4 3 7 7 09 5 7 5 7 88 8 5 4 5 7 3 7 7 5 9 6 55 1 7 3 5 4 9 9 0 2 80607 3 4 0 8 6 3 0 9 1 8 5 2 6 6 0 Testar se é razoável supor esses números como equiprováveis nivel 5 A 2 Quando se jogam três moedas sem vício a distribuição de probabilidade do número de caras obtidos é binomial e tal que P0 P3 18 P1 P2 38 Três moedas desconhecidas foram lançadas cem vezes anotandose quantas caras surgiram em cada lançamento das três moedas O resultado foi Número de caras 0 1 2 Número de vezes 7 42 35 16 3 3 Ao nível de 5 de significância esses resultados são compatíveis com a hipótese de que as três moedas lançadas não sejam viciadas Δ Uma amostra de cinquenta peças produzidas por uma máquina formeceu a distribuição de comprimentos das peças dada a seguir valores em milimetros A especificação de produção indica que as peças têm comprimento médio 500 mm e que o comprimento se distribui normalmente em torno dessa média Ao nível de 5 de significância concordamos ou discordamos dessa especificação As peças foram medidas com precisão de centésimos de milímetro Comprimentos Frequências 480485 1 485490 5 490495 11 495500 14 500505 9 505510 5 510515 4 515520 1 50 A 4 O resultado de um certo experimento é caracterizado por um ponto luminoso que aparece na tela de um osciloscópio A tela circular de raio R foi dividida em oito partes por um circulo de raio R2 e dois eixos perpendiculares O experimento foi realizado 120 vezes sendo anotado o número de vezes que o ponto apareceu em cada subdivisão Obtiveramse as frequências indicadas na Fig 62 Testar ao nível de 5 de significância se os pontos luminosos se distribuem uniformemente sobre a rela 16 14 8 12 13 17 19 21 Figura 62 Hoje em dia estão bastante difundidas as técnicas de simulação as quais utilizam processos de geração de números aleatórios Numa experiência desse tipo um pesquisador resolveu utilizar os resultados sucessivamente observados em uma determinada roleta do cassino de Monte Carlo Antes porém de iniciar a coleta dos resultados decidiu realizar testes com base nas frequências observadas na última semana de atividade do cassino Como se sabe uma roleta admite 37 resultados possíveis dados pelos números de 0 a 36 Um dos testes que se resolveu realizar foi baseado na classificação dos resultados da roleta em a zero b primeira dúzia resultados de 1 a 12 c segunda dúzia resultados de 13 a 24 d terceira dúzia resultados de 25 a 36 As estatísticas da última semana para a roleta considerada indicaram que em 540 jogadas a primeira dúzia ocorreu 169 vezes a segunda dúzia ocorreu 172 vezes e a terceira dúzia ocorreu 181 vezes Com base nesses dados fica comprovada ao nível de 10 de significância a existência de algum vício nessa roleta Uma rotina de computador foi usada para gerar quarenta números supostos com distribuição χ² com dez graus de liberdade Obtiveramse os seguintes valores 928 1182 1083 520 1761 556 1594 1006 1299 835 1339 1366 1244 1217 759 1122 812 455 1020 2336 744 1045 951 1170 680 1402 975 910 458 725 1845 888 1115 647 1247 898 1175 701 1485 1213 Teste ao nível de 5 de significância a adequabilidade da rotina usada para o fim proposto Sugestão agrupe convenientemente 7 Os dezesseis valores que seguem são supostamente oriundos de uma distribuição uniforme entre zero e um Teste sua uniformidade pelo método de KolmogorovSmirnov ao nível α 5 065 007 012 010 038 088 014 010 040 022 030 092 025 003 015 012 8 Um vendedor de artigos para jogos afirma possuir um dado tal que a probabilidade de cada face é proporcional ao número da face Em vinte jogadas sucessivas o dado forneceu os seguintes resultados 3 1 1 5 4 6 2 3 2 1 5 2 2 1 3 2 3 4 1 2 Ao nível de 5 de significância devemos concordar ou discordar da afirmação do vendedor 9 Os tempos entre as chegadas de nove fregueses consecutivos ao balcão de informações de uma loja foram em minutos 10 06 12 06 18 03 05 20 Teste grafica e analiticamente a hipótese de que os tempos entre as chegadas obedecem a uma distribuição exponencial Observação A função de distribuição acumulada de uma distribuição exponencial de parâmetros λ é dada por Fx 1eλx 10 Uma certa moléstia pode ser diagnosticada por dois métodos A e B Cada método quando aplicado a um paciente pode fornecer dois resultados positivo acusando a moléstia ou negativo Desejandose estudar a concordância entre os dois métodos duzentos pacientes foram submetidos a ambos os métodos obtendose vinte casos positivos com ambos os métodos trinta casos negativos com ambos os métodos oitenta casos positivos só com o método A e setenta casos positivos só com o método B Ao nível de 1 de significância os métodos são independentes O que você acha sobre a concordância entre os dois métodos 11 Cento e vinte e cinco proprietários de certa marca de automóvel foram entrevistados acerca do desempenho e do consumo de combustível de seus carros O resultado da pesquisa de opinião é resumido na seguinte tabela Consumo Desempenho Mau Regular Bom Alto 232 216 336 Baixo 32 48 136 Verificar ao nível de 5 de significância se devemos considerar que no consenso geral desempenho e consumo não guardam relação entre si 12 A fim de analisar a aceitação de um programa de televisão 250 telespectadores foram entrevistados aleatoriamente em cada uma de quatro cidades A B C e D Em seguida os telespectadores foram classificados em favoráveis e contrários Os números de favoráveis encontrados foram respectivamente nas quatro cidades 120 125 85 90 Com 5 de significância a opinião dos telespectadores depende da cidade 13 Uma pesquisa foi feita com base nas opiniões de 150 alunos de uma escola de Engenharia objetivando saber se existia relacionamento entre as três especializações oferecidas por essa escola Engenharia Mecânica Elétrica e Civil e a opinião dos alunos referente a importância de certa cadeira muita importância pouca importância Para tanto foram entrevistados sessenta alunos de Engenharia Mecânica quarenta de Elétrica e cinquenta de Civil Sabese que 60 de todos os entrevistados considerou a cadeira muito importante que entre os mecânicos as opiniões se dividiram por igual entre as duas avaliações e entre os elétricos 25 consideraram a cadeira muito importante Face a esses dados e trabalhando ao nível de 5 de significância devemos concluir que existe o relacionamento entre as especializações e as opiniões 14 Uma amostra de duzentos adultos foi entrevistada a respeito de certo projeto de lei Os resultados são os que seguem Favoráveis Contrários Homens casados 56 24 Homens solteiros 15 25 Mulheres casadas 24 16 Mulheres solteiras 13 27 Verifique ao nível α 1 se a opinião depende do sexo eou do estado civil dos entrevistados 15 Mostre que a o teste de aderência pelo χ2 aplicado a uma Distributão de Bernoulli é equivalente ao teste bilateral de uma proporção visto na Sec 55 b o teste de homogeneidade aplicado a uma tabela 2 x 2 é equivalente ao teste bilateral da igualdade de duas proporções visto na Sec 58 16 Um dado foi lançado 36 vezes sendo observadas as seguintes ocorrências pela ordem de pontos altos A 5 ou 6 ou não B 1 2 3 ou 4 B B A B B B A B B A B A B B B B A A B B B B A B B B B B B B A B B B B Esses resultados permitem concluir ser casual a ordem de ocorrência dos pontos altos ou não Use α 5 17 Considere a série de trinta valores dada a seguir por linhas 254 301 326 350 358 301 242 223 276 341 245 285 368 321 343 306 258 216 319 280 350 360 250 302 342 388 275 245 304 302 Teste sua aleatoriedade através do teste de sequências ao nível de 10 de significância Sugestão Considere as sequências de valores acima e abaixo da mediana geral 18 Um enxadrista disputou as 23 partidas de um campeonato tendo obtido a seguinte série de resultados apresentados na respectiva ordem em que surgiram sendo que D significa derrota e d vitória ou pelo menos empate D D D d d d d d D D D D d D d d D D D d d d Aplique a esses resultados um teste visando verificar se a ordem de força em que os adversários desse enxadrista foram dispostos deve ser considerada meramente casual Trabalhe ao nível de 5 de significância10 10 Esse exercício bem como os de número 8 9 18 20 23 24 e 33 do Cap 8 é de autoria do professor Boris Schneiderman para provas dadas na Escola de Engenharia Mauá Agradecemos a autorização para utilizálos neste texto 32 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 24 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1 Uma estatística feita nas quarenta lojas de uma cidade tendo em vista um estudo sobre o número de empregados no comércio mostrou os seguintes números de empregados existentes em cada loja 5 8 10 4 2 3 2 3 2 10 2 2 3 5 7 1 12 26 5 3 2 5 3 3 19 9 5 4 1 2 6 14 1 3 6 18 2 4 2 8 Construa a tabela de frequências o respectivo gráfico e o gráfico das freqüências acumu ladas 2 Represente graficamente o seguinte conjunto de dados 226 238 279 289 284 344 417 246 234 204 269 264 279 235 316 231 263 293 204 294 318 248 238 230 293 461 239 235 339 361 324 278 266 227 253 259 321 275 362 275 238 230 270 256 256 288 284 257 224 250 240 261 355 359 223 317 3 Trinta embalagens plásticas de mel foram pesadas com precisão de decigramas Os pesos após convenientemente agrupados forneceram a seguinte distribuição de frequências em gramas Xi Se 315 1 325 5 335 11 345 8 355 3 365 2 4 Construa o polígono de frequências relativas acumuladas para os dados Dados os dez valores seguintes calcule sua média mediana moda variância desvio padrão e coeficiente de variação 75 77 80 70 78 82 85 72 77 82 A 5 Ensaios de uma amostra ao acaso de quarenta corpos de prova de concreto forneceram as seguintes resistências à ruptura 64 61 65 43 45 54 51 74 30 100 91 75 78 68 80 69 72 27 40 93 99 94 78 72 59 78 95 62 42 96 100 95 81 84 78 103 98 60 84 91 Agrupe os dados em classes de frequências e construa o histograma o polígono de frequências e o polígono de frequências acumuladas 6 Calcule a média a mediana a moda e o desviopadrão para os dados a do exercício 1 b do exercício 2 c do exercício 3 d do exercício 4 e do exercício 5 7 Agrupe convenientemente os dados a seguir em classes de frequências e construa o polígono de frequências acumuladas Com os dados assim agrupados calcule a média a mediana a moda e o desviopadrão 170 182 173 184 170 162 174 160 175 171 185 155 169 176 171 172 182 177 187 178 176 187 179 163 180 159 170 188 166 168 176 169 172 179 176 177 172 175 181 172 164 173 173 165 164 172 166 184 167 181 8 Os números seguintes representam as notas de Estatística de trinta alunos Construa o histograma o polígono de frequências acumuladas e calcule a média e o desviopadrão dos dados A variável é contínua ou discreta 55 30 40 45 70 65 35 45 30 75 45 00 45 35 45 70 90 60 40 50 80 95 45 45 45 25 20 50 60 45 9 Medindose o diâmetro externo de uma engrenagem foram obtidos valores em milímetros de acordo com a seguinte distribuição Classes fi 1001 1010 3 1011 1020 12 1021 1030 28 1031 1040 82 1041 1050 74 1051 1060 30 1061 1070 17 1071 1080 4 Calcule a média o desviopadrão e a mediana desse lote de peças 10 Um certo índice econômico necessariamente maior que 1 foi determinado para um conjunto de n empresas analisadas Os resultados são dados a seguir Calcule a média a mediana e o desviopadrão desses dados Determine também um valor para a moda usando a relação empírica vigente entre esta a média e a mediana Classes Frequências 100 107 14 107 114 22 114 121 16 121 128 13 128 135 7 135 142 3 142 149 4 149 156 1 11 Uma amostra apresentou a seguinte distribuição de frequências Classes Frequências 85 94 3 95 104 11 105 114 15 115 124 21 125 134 24 135 144 13 145 154 8 155 164 5 Calcule a média a mediana a moda e o desviopadrão 12 Dada a distribuição de frequências que segue determine a mediana e a proporção de elementos maiores que quatro supondo a variável discreta e b variável contínua x 1 2 3 4 5 6 7 8 f 2 4 9 12 10 8 4 1 O coeficiente de variação será o mesmo nos casos a e b 13 Os quartis Q1 Q2 e Q3 de uma distribuição de frequências correspondem à generalização da idéia de mediana e dividem as frequências em quatro partes iguais Numa distribuição com seis classes de tamanho h cada uma sendo x0 o limite inferior da primeira classe e as frequências das classes de pela ordem 2 5 6 4 2 e 1 determine Q1 Q2 e Q3 em função de x0 e h 14 Dado o histograma da Fig 214 e sabendo que todas as classes têm igual amplitude calcule a moda a mediana e o coeficiente de variação da distribuição 15 Mostre que a utilização da expressão 27 do texto para o cálculo da moda de uma distribuição em classes de frequências equivale ao procedimento gráfico indicado na Fig 215 16 Uma amostra de chapas produzidas por uma máquina forneceu as seguintes espessuras em milímetros para os itens examinados 634 638 640 630 636 636 638 620 642 628 638 Há razões estatísticas para se afirmar que a distribuição das espessuras seja assimétrica Figura 214 x 305 355 405 455 505 555 Figura 215 17 Uma amostra de oitenta peças retiradas de um grande lote forneceu a seguinte distribuição de comprimentos Classes Freqüências absolutas simples 50 60 1 60 70 3 70 80 6 80 90 15 90 100 25 100 110 20 110 120 7 120 130 3 A especificação para esse tipo de material exige que o comprimento médio das peças esteja compreendido entre 92 e 96 mm que o coeficiente de variação seja inferior a 20 e que a distribuição dos comprimentos seja simétrica Quais dessas exigências parecem não estar satisfeitas no presente caso 18 Uma distribuição de freqüências é constituída por cinco classes de igual amplitude cujas frequências relativas são respectivamente 20 375 30 10 e 25 Calcule seu índice de assimetria de Pearson 19 Calcule o coeficiente de assimetria o índice de assimetria de Pearson e o coeficiente de curtose para os dados a do exercício 1 b do exercício 4 c do exercício 10 d do exercício 11 e do exercício 12 1 Lista exercícios Estatística Básica módulo 1 1 O que é população estatística 2 O que é uma amostra estatística 3 O que é uma variável 4 As variáveis podem ser classificadas em qualitativa nominal qualitativa ordinal quantitativa discreta quantitativa contínua classifique as variáveis abaixo a Quantidade de caloria em um alimento b Classificação de uma lesão lesão fatal severa moderada pequena c Grupo sanguíneo ABABO d Paridade primeira gestação segunda gestação terceira e Escolaridade f Altura de um indivíduo g Número de bezerros nascidos vivos em certa propriedade h Idade i Cor dos cabelos j Concentração de flúor na água 5 Os dados abaixo referemse ao número de sementes em vagens de soja de uma amostra de 72 vagens 2 3 4 4 5 3 4 5 6 5 3 1 5 5 1 3 7 4 5 5 5 3 2 2 5 4 4 2 3 5 4 5 4 2 4 6 4 5 5 6 3 2 2 5 4 4 2 3 5 4 5 4 2 4 6 2 3 4 4 5 3 4 5 6 5 3 1 5 5 1 3 7 a Construa uma distribuição de frequências b Determine as frequências simples acumuladas c Determine as frequências relativas d Determine as frequências relativas acumuladas e Faça uma representação gráfica f Utilizando a distribuição de frequências qual o valor da moda O que ela nos informa g Qual é a mediana O que ela significa h Determine a média Interprete i Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação 6 Os dados a seguir referemse ao tempo em horas que 80 vacas estiveram em trabalho de parto durante a administração de medicamento que auxilia o parto Tempo horas Nde vacas 0 4 8 4 8 15 8 12 24 12 16 20 16 20 13 a Encontre a frequência relativa de cada classe b Determine a frequência acumulada de cada classe c Determine o ponto médio de cada classe j Dê a interpretação para a frequência relativa de 3a classe k Faça uma representação gráfica l Utilizando a distribuição de frequências qual o valor da moda O que ela nos informa m Qual é a mediana O que ela significa n Determine a média Interprete d Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação 54 35 EXERCÍCIOS PROPOSTOS AMOSTRAGEM DISTRIBUICÕES AMOSTRAIS 1 Suponha que você vai retirar uma amostra casual simples de 30 elementos a partir de uma população constituída por 120 elementos usando o procedimento descrito em 821 Levando em conta que a probabilidade de cada grupo de três algarismos precisar ser abandonado por formar um número superior a 120 é 088 o que retardaria em demasia o processo sugira uma forma válida de acelerálo 2 Indique como seria possivel retirar uma amostra sistemática de 35 elementos a partir de uma população ordenada formada por 2590 elementos Na ordenação geral qual dos elementos abaixo seria escolhido para pertencer à amostra sabendose que o elemento de ordem 1546 a ela pertence 1028 242 636 2323 1841 3 Uma população se encontra dividida em três estratos com tamanhos respectivamente N₁ 80 N2 120 e N 60 Ao se realizar uma amostragem estratificada proporcional doze elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato Qual o número total de elementos da amostra 스 4 Uma amostragem entre os moradores de uma cidade é realizada da seguinte forma em cada subdistrito sorteiase um certo número de quarteirões proporcional à área do subdistrito de cada quarteirão são sorteadas cinco residências cujos moradores são entrevistados a Essa amostra será representativa da população ou poderá apresentar algum vicio b Que tipos de amostragem foram usados no procedimento 5 Uma indústria especializada em montagem de grandes equipamentos industriais recebeu setenta dispositivos de controle do fornecedor A e outros trinta dispositivos do mesmo tipo do fornecedor B O aspecto relevante que se deseja controlar relativo a esses dispositivos é a resistência elétrica de certo componente crítico Vamos admitir que os cem dispositivos recebidos foram numerados de um a cem ao darem entrada no almo xarifado e que os setenta primeiros foram os recebidos do fornecedor A Vamos admitir também que os valores reais da variável de interesse a resistência elétrica do com ponente crítico dos cem dispositivos recebidos sejam os dados seguintes respec tivamente na ordem de entrada no almoxarifado lêse segundo as linhas tal como se lê um livro EXERCÍCIOS PROPOSTOS 33 38 34 34 34 31 36 35 32 37 35 34 30 37 36 33 34 34 32 39 35 33 33 34 31 32 36 33 29 36 34 35 34 33 31 35 35 35 37 32 34 34 36 35 34 33 32 38 34 33 33 32 34 35 37 35 35 30 35 34 36 36 33 34 33 32 31 37 35 34 39 40 40 42 39 38 40 40 40 40 40 41 45 41 40 39 41 41 40 42 39 40 41 40 40 42 39 39 38 40 a Uma amostra simples ao acaso de dez dispositivos foi retirada da população de cem dispositivos com auxílio dos números aleatórios da Tab A65 O processo de utilização da tabela foi o usual com início no dígito situado na interseção da quinta linha com a oitava coluna da referida tabela A seguir foi calculada a resistência elétrica média da amostra de dez dispositivos Que valor você acha que foi obtido para essa média b Suponha agora que se pensasse em fazer amostragem estratificada Em sua opinião seria isso razoável no caso Caso afirmativo indique como você procederia ainda utilizando os números aleatórios Suponha que o número total de dispositivos a examinar na amostra continue sendo dez c Suponha agora que tivesse sido utilizada amostragem estratificada uniforme num total ainda de dez dispositivos examinados e que tivessem sido obtidos no primeiro e no segundo estratos respectivamente x₁ 338 e x₂ 402 Em quanto você estimaria a média da população de cem dispositivos d Suponha agora que dos setenta dispositivos provenientes do fornecedor A tenha sido colhida uma amostra sistemática de dez dispositivos sendo constante o período de retirada dos elementos para a amostra e sendo conhecido que o segundo dispositivo a entrar no almoxarifado cujo valor da resistência elétrica é 38 pertencia a essa amostra Calcule a média dos valores da resistência elétrica observados nessa amostra 6 A média e a variância de uma população equiprovável cujos possíveis valores são os inteiros 1 2 3 e 4 são μ 25 e σ² 125 Considere a distribuição amostral de x para amostras de n 2 elementos e determine sua média e variância supondo a população infinita b população finita formada por doze elementos e amostragem com reposição Verifique a validade das expressões 32 e 33 do texto 7 Resolva o problema anterior supondo amostragem sem reposição e população finita formada por a doze elementos b quatro elementos Verifique a validade das expressões 32 e 35 do texto em cada caso 8 Para qualquer um dos casos a ou b do exercício 6 construa a distribuição amostral de x supondo agora n 3 Faça o gráfico dessa distribuição e interprete sua forma 9 Para a mesma situação descrita no exercício 6 construa a distribuição amostral das amplitudes das amostras 10 Uma população equiprovável de valores inteiros que podem variar de 0 a 99 tem média μ 495 e desviopadrão σ 29 Usando a tabela de números ao acaso para simular a obtenção de valores dessa população retire uma amostra de n 25 Calcule sua média e desviopadrão Obtenha por processo análogo mais cinco amostras aleatórias dessa população e calcule suas médias Calcule o desviopadrão da amostra formada pelos seis valores de x obtidos e compare com o desviopadrão da primeira amostra retirada Como interpretar o resultado dessa comparação EXERCICIOS PROPOSTOS Solução Para o referido exemplo jå conhecemos Syy 9793 n6 221 395 bSy bzS2y 9455 e podemos portanto montar o quadro da Análise de Variância dado na Tab 814 0 quadro nos mostra que a regressão é significativa ao nível de 1 de significância Tabela 814 Quadro da Análise de Variância Fonte de variação Soma de quadrados Graus de liberdade Quadrado médio F F1 Devido à regressão 9455 2 47275 4196 3082 Residual 0338 3 01127 Total 9793 5 89 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson para os oito pontos seguintes 11 34 41 42 53 32 14 33 Construa o diagrama de dispersão e comente o resultado obtido 스 2 Para cinco volumes de uma solução foram medidos os tempos de aquecimento em um mesmo bico de gás e as respectivas temperaturas de ebulição Tempo min 20 22 19 23 17 Temperatura C 75 80 75 82 78 a Calcule o coeficiente de correlação b A correlação é significativa ao nível de 5 de significância 222 3 Para os doze pares x y apresentados a seguir a calcule o coeficiente de correlação CORRELAÇÃO E REGRESSÃO b verifique se podemos afirmar que as variäveis tendem a variar inversamente ao nível de 1 de significância ل x y 356 1124 348 1130 377 1091 382 1085 373 1088 368 1120 352 1112 375 1102 382 1094 390 1079 364 1106 363 1094 4 5 Jogue dois dados distintos vinte vezes e anote os pares de pontos obtidos nessa experiên cia Sabendo que os pontos dos dois dados são variáveis teoricamente independentes calcule o coeficiente de correlação entre os pontos obtidos e interprete o resultado Oito alunos sorteados entre os da segunda série de um curso de Engenharia obtiveram as seguintes notas nos exames de Cálculo e Física Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 Cálculo 45 60 30 25 50 55 15 70 Física 35 45 30 20 55 50 15 60 Com base nesses dados podese ter praticamente 99 de certeza de que os alunos mais bem preparados em Cálculo também o sejam em Física 6 Sete pares de valores formeceram 1 2 У 10 7 3 9 4 6 8 10 5 6 3 2 a Calcule o coeficiente de correlação linear b Verifique se podemos afirmar que o coeficiente de correlação populacional é infe rior a 04 aos níveis a 5 ea 1 7 Calcule o coeficiente de correlação de postos para os dados do exercicio anterior 8 Sabese de longa experiência anterior que o coeficiente de correlação entre a densidade e a resistência à flexão de um certo tipo de chapa de madeira prensada difere um tanto de lote para lote permanecendo porém sempre dentro do intervalo 060 a 080 Tendo chegado um grande carregamento dessas chapas desejase sortear um certo número delas para determinar através dessa amostra o citado coeficiente de correlação para esse lote específico dentro de 003 O nível de confiança minimo exigido é de 90 Quantas chapas devem ser sorteadas EXERCICIOS PROPOSTOS 223 9 Temos a seguir as alturas em centímetros de dez atletas que participaram de uma competição de salto em distância dadas em função das classificações obtidas pelos atletas Esses dados indicam uma influência favorável da altura nos resultados obtidos ao nivel de 5 de significância Classificação Altura Classificação Altura 19 178 6 172 29 180 79 170 39 172 89 167 4 168 99 170 59 175 10 171 10 Um banco possui oito agências em certa praça Desejando verificar a afirmação de que um maior número de funcionários leva a uma ineficiência maior no serviço o gerente geral relacionou o número de funcionários por agência r e a classificação das agências segundo sua eficiência dentre todas as agências do banco y Ao nivel de 5 de significância qual a conclusão Os resultados obtidos foram X 9 15 12 12 13 20 22 17 لا 891396 229159369299319 11 Dados os sete pares de valores experimentais abaixo x y estabelecer a regressão lineary a bx calculando os coeficientes a e pelo método dos mínimos quadrados supondo os valores x isentos de ето xi 이 2 4 6 8 10 12 Yi 1 2 6 9 11 14 20 12 Ajuste uma reta de minimos quadrados aos dados abaixo adotando a X como variável independente b Y como variável independente Verifique se as duas equações obtidas correspondem à mesma função implicita x 2 4 5 6 7 10 12 y 9 9 7 4 5 3 1 Δ 13 A velocidade máxima de automóveis Fórmula 1 com motores de mesma potência é função entre outras variáveis do peso do veículo no intervalo entre 700 e 800 kgs Assim verificouse qual a velocidade máxima atingida em uma reta de 1200 m Os resultados foram Peso kg 790 780 770 760 750 Velocidade 280 284 291 295 301 máxima kmh Qual a velocidade esperada para um veículo de 730 kg Sugestão transforme as variáveis 14 Obtenha uma equação de regressão adequada para os dados que seguem Represente a equação obtida em um diagrama de dispersão x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 14 23 52 44 92 110 170 224 15 O alongamento de uma mola foi medido em função de seis valores de carga aplicada Obtiveramse Carga kg 1 2 3 4 5 6 Alongamento cm 05 10 20 25 40 50 a Estabeleça a equação da regressão linear aplicável b Por um método à sua escolha teste a significância dessa regressão ao nível α 1 16 No começo de um determinado mês as cotações de uma empresa na Bolsa de Valores apresentaramse como no quadro que segue Considerado um modelo linear qual a melhor estimativa para o sétimo dia Podese concluir ao nível de significância de 5 que essa ação esteja num período de baixa Dia Valor da ação 1 38 2 34 5 31 4 24 5 20 17 Dados os valores seguintes de t horas de tratamento térmico e de R resistência à tração de um aço em kgmm² podese afirmar ao nível de 2 de significância que R depende de t Admitida uma dependência linear qual seria a equação da reta de regressão de R em função de t t 1 2 3 4 5 6 7 8 R 487 502 498 510 517 512 516 518 18 A teoria de certo fenômeno prevê que a variável adimensional y varia em função da temperatura absoluta T segundo a lei linear y gT F onde g e F são dois parâmetros fixos Determine um intervalo de 90 de confiança para g e teste a existência da regressão com base nos seguintes dados T K 300 350 400 450 500 550 600 y 52 54 57 62 66 68 70 19 Numa experiência determinouse o coeficiente de correlação linear de Pearson entre a resistência elétrica e a dissipação térmica dada em joules por segundo para dez dispositivos eletrônicos tendose obtido r 088 Verifique se esse resultado experimental permite afirmar ao nível de 5 de significância que a regressão linear da dissipação térmica em função da resistência elétrica explica mais de 50 da variação observada na dissipação térmica É admitido de antemão que a dissipação térmica não deve ser negativamente correlacionada com a resistência elétrica 20 Dez pares de valores experimentais xi yi i 1 2 10 quando representados num papel quadriculado se distribuíram aproximadamente segundo uma linha reta O coeficiente de correlação entre x e y calculado a partir desses dados resultou igual a 0707 e o coeficiente de regressão linear b admitindose a variável x sem erro igual a 160 Sabese ainda que Syy 400 Por experiências anteriores envolvendo milhares de dados esperavase obter para b o valor 250 Podese afirmar ao nível de 5 que a presente experiência contradiz a expectativa 21 Numa determinada experiência foram obtidos os seguintes pares de valores x y x 2 4 6 8 10 12 y 11 9 6 9 7 4 a Escreva a equação da melhor reta de regressão de y em relação a x b Verifique ao nível de 5 de significância se existe evidência suficiente a partir dos dados experimentais para contradizer a hipótese de que a reta de a é paralela à reta y 15 045x 22 O faturamento de uma loja durante seus primeiros oito meses de atividades é dado a seguir em milhares de reais Meses Faturamento Meses Faturamento Março 20 Julho 10 Abril 22 Agosto 40 Maio 22 Setembro 45 Junho 25 Outubro 60 a Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson para os dados apresentados b Elimine o dado referente ao mês de julho considerando que foi anormalmente baixo devido a uma brusca porém passageira recessão no mercado e com base nos demais pontos equacione a reta de regressão que melhor se adapte aos dados c Com base na equação da reta determinada em b faça uma previsão para o faturamento do mês de dezembro Na sua opinião essa previsão é otimista ou pessimista 23 Uma teoria física faz prever que y dependerá de x segundo a expressão y C x²2p onde C e p são duas constantes numéricas Sabendose que x é medido sem erro e que a precisão da medida de y no intervalo experimental aqui considerado é constante estime os melhores valores de C e p a partir dos seguintes dados x 1 2 3 4 5 6 7 y 02 06 08 14 26 32 50 Sugestão trate a expressão proposta como um caso particular de regressão curvilinear redutível a uma regressão linear 24 Um certo fenômeno físico segue a lei xy γ C x e y variáveis C e γ constantes Sabendo que a determinação experimental de x é muito mais precisa do que a de y estime o melhor valor para a constante C a partir dos pares de valores experimentais dados a seguir Com base nesses dados ao nível α 5 de significância existe evidência de que a constante γ seja realmente diferente de zero x 1 2 5 10 20 50 y 270 120 100 60 63 48 25 Ao se testar tanto pela Análise de Variância como pelo teste da hipótese β 0 a significância da reta de regressão entre duas variáveis z e w concluiuse ao nível α 5 que a regressão não era significativa Entretanto o coeficiente de correlação linear de Pearson entre z e w foi calculado obtendose r 0664 Sendo ρ o valor teórico do coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis podemos concluir ao nível de 5 de significância que ρ 027 Justifique sua resposta 26 Com referência aos dados do exercício 18 estabeleça intervalos de 95 e 99 de confiança para a o valor que se esperaria para a média de muitas determinações do valor de y à temperatura de 700 K b o valor que se esperaria para y se a presente experiência prosseguisse até 700 K 27 As vendas de duas firmas A e B estão relacionadas a seguir em milhares de unidades Ano 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Vendas de A 10 15 30 35 45 50 Vendas de B 45 50 55 55 60 60 Ao nível α 5 podese afirmar que em 2006 as vendas de A serão maiores que as vendas de B Sugestão suponha linearidade das vendas com o tempo 28 Sabese que z varia linearmente tanto com x como com y Estime com base nos resultados experimentais que seguem o valor mais provável de z para x 3 e y 1 x 2 2 0 1 2 y 2 0 5 3 4 z 4 6 1 3 2 29 Estabeleça a equação da regressão para os dados que seguem sabendo que a equação teórica é da forma z aybxc x 1 1 2 3 y 2 3 2 1 z 40 75 160 18 30 Dados os pontos experimentais que seguem verifique pela Análise de Variância se há regressão da variável Y sobre a variável X y 2 5 6 7 8 10 11 x 7 4 6 3 3 2 1 31 Para os pares x y seguintes determine a a reta de mínimos quadrados b a parábola de mínimos quadrados c se existe melhoria significativa de ajuste x 1 2 3 4 5 y 02 05 15 30 50 32 Na determinação experimental de sete pares z w obtiveramse os seguintes resultados z 2 4 6 8 10 12 14 w 24 20 15 15 18 35 50 a Determine a equação da reta de regressão de mínimos quadrados aplicável ao caso Use um teste apropriado para verificar se essa regressão linear é significativa ao nível a 5 Qual a conclusão b Uma parábola de mínimos quadrados foi determinada após o que foram calculadas as diferenças d entre os valores dados pela reta e os dados pela parábola para cada entrada z bem como as diferenças d entre os valores dados pela parábola e a média w para as mesmas entradas z Os resultados foram z 2 4 6 8 10 12 14 d 124 000 075 101 075 000 124 d 007 078 115 100 036 078 244 Verifique se a parábola oferece uma representação do fenômeno melhor do que a reta aos níveis usuais 33 Desconfiandose de que uma certa propriedade w de um dado material variava com a temperatura x e a pressão z de processamento foi realizada uma experiência que conduziu aos seguintes resultados x ºC 20 35 50 65 80 95 z atm 125 125 250 250 375 375 w 17 35 58 65 86 109 a Podese afirmar ao nível a 0005 que w depende pelo menos de uma das variáveis x e z b Quanto vale o coeficiente de correlação múltipla ligando w a x e z c Qual a melhor estimativa de w para x 20C e z 575 atm 34 Calcule os coeficientes de correlação totais e parciais para os dados do problema anterior Interprete os resultados 35 Um revendedor de automóveis abriu duas lojas em uma cidade e anotou as vendas de cada uma durante os primeiros cinco meses de funcionamento Os resultados foram Mês Loja 1 Loja 2 Total 1 15 12 27 2 24 8 32 3 20 15 35 4 22 22 44 5 31 16 47 Foi contratada uma promotora de vendas que permanece em cada mês nas lojas cujas vendas estão assinaladas por asterisco a Estabeleça a previsão de vendas para o sexto mês através da regressão linear baseada nas vendas totais b Idem através de regressões lineares baseadas nas vendas das duas lojas individualmente e na introdução de uma variável fictícia No sexto mês a promotora de vendas ficará na loja 1 c Estime o efeito proporcional da presença da promotora sobre as vendas