P1 - Cálculo 1 2022 1

UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso Campus de Sinop Disciplina: Cálculo I Turmas: Agronomia/Engenharia Florestal Período: 2022/1 Professor: Clayton Cristiano da Silva Prova 1: Funções polinomiais 1) (20 pontos) Considerando os polinômios f(x) = x^2 - x - 1 e g(x) = 2x - 1, encontre: a) (2 pts) f(x) + g(x) b) (2 pts) g(x) - f(x) c) (2 pts) f(x) . g(x) d) (3 pts) f(x)^2 e) (3 pts) g(x)^3 f) (4 pts) (f o g)(x) = f(g(x)) g) (4 pts) (g o f)(x) = g(f(x)) 2) (20 pontos) Calcule o quociente q(x) e o resto r(x) na divisão de f(x) por g(x) em cada um das seguintes situações: a) (8 pts) f(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 e g(x) = x - 1 b) (6 pts) f(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 e g(x) = x^2 - x + 1 c) (6 pts) f(x) = x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 e g(x) = x^3 - x^2 + x - 1 Funções exponenciais e logarítmicas 3) (20 pontos) Resolva as equações exponenciais: a) (5 pts) 3 . 2^2x - 5x = 192 b) (5 pts) 3^x+2 - 3^x+1 + 3^x = 63 c) (5 pts) 22^x - 9 . 2^x + 8 = 0 d) (5 pts) 22^x - 7 . 2^x - 8 = 0 4) (20 pontos) Resolva as equações logarítmicas: a) (5 pts) log3(log2 x) = 2 b) (5 pts) log2(x + 3) - log2(-x) = 1 c) (5 pts) log2^2 x + 4 . log2 x - 32 = 0 d) (5 pts) logx-1 x^3 - 3x - 10 = 3 Funções trigonométricas e suas inversas 5) (20 pontos) Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções, para x no intervalo [-4π, 4π]: a) (4 pts) f(x) = 1 - sin(x + π/2) b) (6 pts) g(x) = 1 - tan(x + π/2) c) (10 pts) h(x) = 1 - sec(x + π/2) Questões-bônus: Funções polinomiais 1) (20 pontos) Encontre todas as raízes racionais do polinômio f(x) = 4x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 4x - 1. 2) (20 pontos) Encontre o polinômio interpolador da curva y = f(x) que passa pelos pontos: (0, 1), (1, 2) e (2, 4). A seguir, use esse polinômio para estimar o valor de f(3). Algumas funções algébricas e funções modulares 3) (20 pontos) Encontre o domínio de cada uma das funções: a) (5 pts) f(x) = √(x^2 + 1) b) (5 pts) f(x) = √(2x - 1) c) (5 pts) f(x) = √x / (x - 1) d) (5 pts) f(x) = √(x^2 - x - 2) / (x^2 - x - 6) Funções exponenciais e logarítmicas 4) (20 pontos) Resolva as equações exponenciais: a) (5 pts) 2^3x+9 = 54 b) (5 pts) 2^x+3 - 3 . 2^x = 10 . 2^2x c) (5 pts) 3^2x - 13 . 3^x + 27 = 0 d) (5 pts) 22^x - 7 . 2^x - 8 = 0 5) (20 pontos) Resolva a equação log2 z + log16 x = 5/4. Obs.: A prova vale 100 pontos. A nota obtida nas questões bônus não valerá para nenhuma das outras avaliações! Boa sorte!!! 1) Considerando f(x) = x^2 - x - 1 e g(x) = 2x - 1 a) f(x) + g(x) = (x^2 - x - 1) + (2x - 1) = x^2 + x - 2 b) g(x) - f(x) = (2x - 1) - (x^2 - x - 1) = 2x - 1 - x^2 + x + 1 = -x^2 + 3x c) f(x) . g(x) = (x^2 - x - 1) . (2x - 1) = x^2 . 2x + x^2 . (-1) + (-x). 2x + (-x) . (-1) + (-1) . 2x + (-1) . (-1) = 2x^3 - x^2 - 2x^2 + x - 2x + 1 = 2x^3 - 3x^2 - x + 1 d) f(x)^2 = (x^2 - x - 1)^2 aplicando a propriedade do expoente a^(b+c) = a^b . a^c = x^2 . x^2 + x^2 . (-1) - x^2 - x . (-x) - x . (-1) - 1 . x^2 - 1 . (-x) = -1 . (-1) x^4 - x^3 - x^2 - x^3 + x^2 + x - x^2 + x + 1 x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 entao: \underline{f(x)^2 = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1} e) g(x)^3 = (2x-1)^3 aplicando a formula do cubo perfeito: (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 (2x-1)^3 = (2x)^3 - 3.(2x)^2.1 + 3.2x(1)^2 - 1^3 \underline{\underline{(2x-1)^3 = 8x^3 - 6x^2 + 6x - 1}} f) (f o g)(x) = f(g(x)) (f o g)(x) = (2x-1)^2 - (2x-1) - 1 = (2x)^2 - 2.2x.(-1) + 1^2 - 2x - 1 - 1 = 4x^2 + 4x + 1 - 2x - 1 - 1 = 4x^2 - 6x + 1 \underline{\underline{(f o g)(x) = 4x^2 - 6x + 1}} g) (g o f)(x) = g(f(x)) (g o f)(x) = 2.(x^2 - x - 1) - 1 \underline{\underline{(g o f)(x) = 2x^2 - 2x - 2 - 1}} 2^o a) f(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 \ e \ g(x) = x - 1 \overline{x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 \ \quad \ \ x - 1} x^5 - x^4 \overline{x^3 - x^2 + x - 1} - x^3 + x^2 \overline{x - 1} - x + 1 \underline{(0)} Logo: \underline{\underline{q(x) = x^4 + x^2 + 1 \ e \ r(x) = 0}} b) f(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \ e \ g(x) = x^2 - x + 1 \overline{x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \ \quad x^2 - x + 1} - x^6 + x^5 - x^4 \overline{- x^3 + x^2 + x + 1 x^3 - x^2} \underline{x - 1} \underline{(0)} Logo: \underline{\underline{q(x) = x^4 - x + \frac{1}{x^2-x+1} \ e \ r(x) = 0}} c) f(x) = x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 \ e \ g(x) = x^3 - x^2 + x - 1 \overline{x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 \ \quad \ \ \ x^4 + 1} - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 \overline{x^3 - x^2 + x - 1} - x^3 + x^2 \underline{x - 1} \underline{(0)} Logo \underline{\underline{q(x) = x^4 + 1 \ e \ r(x) = 0}} 3^o a) 3. 2x^2 - 5x = 192 Dividindo ambos os lados por 3. \frac{3. 2x^2 - 5x}{3} = \frac{192}{3} 2^{x^2 - 5x} = 64 colocando tudo na mesma base(2) sabendo que 2^6 = 64 , então : 2^{x^2 - 5x} = 2^6 => x^2 - 5x = 6 x^2 - 5x - 6 = 0 por baskara : \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} As soluções são x_1 = 6 e x_2 = -1 b) 3^{x+2} - 3^{x+1} + 3^x = 63 3^x \cdot 3^2 - 3^1 \cdot 3^x + 3^x = 63 3^x (3^2 - 3^1 + 1) = 63 3^x \cdot 7 = 63 (/ 7) \frac{3^x \cdot 7}{7} = \frac{63}{7} => 3^x = \frac{63}{7} => 3^x = 9 => x = 2 A solução é x = 2. c) 2^{2x} - 9 \cdot 2^x + 8 = 0 (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 8 = 0 escrevendo 2^x = t t^2 - 9t + 8 = 0 usando baskara: \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{49}}{2} = \begin{cases} t_1 = 3 \\ t_2 = 0 \end{cases} Como t = 2^x => 2^3 = 8 e 2^0 = 1 soluções são x_1 = 3 e x_2 = 0 d) 2^{2x} - 7 \cdot 2^x - 8 = 0 (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 8 = 0 escrevendo 2^x = t t^2 - 7t - 8 = 0 usando bhaskara: \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} \begin{cases} t_1 = 8 \\ t_2 = -1 \end{cases} Como t = 2^x ; \begin{cases} 2^x = 8 => x = 3 \\ 2^x = -1 \text{ sem solução} \end{cases} A solução será x = 3 4°) a) \log_3(\log_2 x) = 2 \log_2 x = 3^2 \log_2 x = 9 x = 2^9 => x = 512 b) \log_2(x + 3) - \log_2(-x) = 1 \log_2\left(\frac{x+3}{-x}\right) = 1 2^1 = \frac{x+3}{-x} 2 = \frac{x+3}{-x} => -2x = x + 3 -2x - x = 3 -3x = 3 x = \frac{3}{-3} => x = -1 c) \log_2^2(x) + 4 \cdot \log_2(x) - 32 = 0 2 \cdot \log_2(x) + 4 \cdot \log_2(x) - 32 = 0 escrevendo \log_2(x) = t t^2 + 4t - 32 = 0 -> usando bhaskara \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} => x_1 = 16 => x_2 = -8 Como t = log_2 (x) log_2(x) = 16 => x = 16 log_2(x) = -8 => x = \frac{1}{256} Então as soluções são x_1 = 16 e x_2 = \frac{1}{256} d) log_{x-1} x^3 - 3x - 10 = 3 x^3 - 3x - 10 = (x-1)^3 x^3 - 3x - 10 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 -3x^2 + 6x + 9 = 0 Usando Bhaskara: -6 \pm \sqrt{144} \over 2.(-3) => x_1 = -1 x_2 = 3 As soluções serão x_1 = -1 e x_2 = 3 5º a) f(x) = 1 - sen\left( x + \frac{\pi}{2} \right), \text{ para } [-4\pi ; 4\pi] b) g(x) = 1 - tan\left( x + \frac{\pi}{2} \right) \text{ para } [-4\pi ; 4\pi] c) h(x) = 1 - sec\left( x + \frac{\pi}{2} \right) Questão bônus 1) f(x) = 4x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 4x - 1 4x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0 fatorando : (x - 1) . 4x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 4x - 1 / x - 1 = (x - 1) . (4x^3 - 3x + 1) onde; 4x^3 - 3x + 1 = (x + 1)(2x - 1)(2x - 1) = (x - 1) .(x + 1) . (2x - 1)(2x - 1) = (x - 1)(x + 1) . (2x - 1)^2 = 0 Para: * x + 1 = 0 => x = -1 * x - 1 = 0 => x = 1 * 2x - 1 = 0 => x = 1/2 Logo as raízes do polinômio são: x1 = -1, x2 = 1 e x3 = 1/2 2º) (0,1) ; (1,2) e (2,4) Como consiste em 3 pontos, o polinômio interpolador é da forma: p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 As condições de interpolação são p(xi) = yi, i = 0,1,2 o que nos leva ao sistema linear: a0 = 1 a0 + a1 + a2 = 2 a0 + 2a1 + 4a2 = 4 então: a0 = 1 { 1 + a1 + a2 = 2 1 + 2a1 + 4a2 = 4 => { a1 + a2 = 1 2a1 + 4a2 = 3 { -2a1 - 2a2 = -2 2a1 + 4a2 = 3 + 2a2 = 1 => a2 = 1/2 => 2a1 + 4*1/2 = 3 => 2a1 = 1 => a1 = 1/2 Portanto o polinômio interpolador é: P(x) = 1 + 1/2 x + 1/2 x^2 f(3) = 1 + 1/2 (3) + 1/2 (3)^2 = 7 3º) a) f(x) = √(x^2 + 1) A função não possui pontos indefinidos e nem restrições. Então o domínio é -∞ < x < ∞ ou seja: Df = { x | (-∞, ∞) } b) f(x) = √(2x - 1) Se analisarmos a equação 2x - 1 podemos verifi- car que para x ≥ 1/2 a função não está defi- nida. Então o seu domínio será: Df = { x | [1/2, ∞) } c) f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1} Esta função não está definida para valores x \leq 1 e também para x = 1, pois, causaria uma irregularidade matemática, logo seu domínio será: Df = \{x | [0,1) \cup (1,\infty)\} d) f(x) = \frac{\sqrt{x^2-x-2}}{x^2-x-6} A função não está definida para os valores x \leq -1 e x \geq 2. Além disso os pontos x = 3 e x = -2, pois, causaria uma indeterminação. Df = \{x| (-\infty,-2) \cup (-2,-1] \cup [2,3) \cup (3,\infty) \} 4^o) a)\quad 2.3^{x+3} = 54 \quad dividindo \; tudo \; por \; 2 \frac{2.3^{x+3}}{2} = \frac{54}{2} \Rightarrow 3^{x+3} = 27 \Rightarrow 3^{x+3} = 3^3 \Rightarrow x+3 = 3 \Rightarrow x = -6 b)\quad 2^{x+3} - 3.2^x = 10.2^{x-1} 2^{x+3} - 3.2^x - 10.2^{x-1} = 0 2^x.2^3 - 3.2^x - 10.2^x.2^{-1} = 0 2^{x-1}(2^4 - 3.2^1 - 10) = 0 2^{x-1}.0 = 0 \Rightarrow x = 0 c)\quad 3^{2x} - 13.3^x + 27 = 0 (3^x)^2 - 13.3^x + 27 = 0 \quad fazendo \; t = 3^x t^2 - 13.t + 27 = 0 usando \; bhaskara: \frac{13 \pm \sqrt{61}}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{13 - \sqrt{61}}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{13 + \sqrt{61}}{2} como \; t = 3^x. \; temos: \begin{cases} 3^x = \frac{13 + \sqrt{61}}{2} \Rightarrow x = \ln\left(\frac{13+\sqrt{61}}{2}\right) \ln(3)\\ 3^x = \frac{13 - \sqrt{61}}{2} \Rightarrow x = \ln\left(\frac{13 - \sqrt{61}}{2}\right) \ln(3) \end{cases} As \; soluções \; são \quad x_1 = \frac{\ln\left(13+\sqrt{61}\right)}{\ln(3)} \quad e \quad x_2 = \frac{\ln\left(13+\sqrt{61}\right)}{\ln(3)} d) 2^x - 7.2^x - 8 = 0 (2^x)^2 - 7.2^x - 8 = 0 fazendo t = 2^x t^2 - 7t - 8 = 0 usando bhaskara: \frac{+7 + \sqrt{ }}{2} \rightarrow t_1 = 8 \rightarrow t_2 = -1 sabemos que t = 2^x então: \begin{cases} 2^x = 8 \Rightarrow x = 3 \\ 2^x = -1 \Rightarrow \textrm{ñ há solução}\end{cases} Logo, a solução será x = 3. 5^o) \log_{16}2 + \log_{16}x = \frac{5}{4} \frac{1}{4\log_{16}(x)} + \log_{16}(x) = \frac{5}{4} fazendo \log_{16}(x) = t \frac{1}{4t} + t = \frac{5}{4} \rightarrow t = 1 \quad e \quad t = \frac{1}{4} sabemos que t = \log_{16}(x) \begin{cases} \log_{16}(x) = 1 \Rightarrow x = 16 \\ \log_{16}(x) = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2 \end{cases} \} soluções