Prova - Cálculo 1 2022 2

UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso 20222 - AG - Cálculo I Seja f(x) = \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^2 determine: • as equações das retas tangente e normal ao gráfico de da função em P = (-1, f(-1)); • a coordenada x no gráfico em que a tangente é horizontal. UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso 20222 - AG - Cálculo I Seja f(x) = (2x - 4)^3, determine: • as equações das retas tangente e normal ao gráfico de da função em P = (3, f(3)); • a coordenada x no gráfico em que a tangente é horizontal. UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso 20222 - AG - Cálculo I Questão 6 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questão Seja \(f(x) = x \arcsen x\). Determine: • \(f'(x)\) • \(f'(0)\) A B I UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso 20222 - AG - Cálculo I Questão 5 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questão Seja \(f(x) = \frac{\sen x}{1+x}\). Determine: • \(f'(x)\) • \(f'(0)\) A B I UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso 20222 - AG - Cálculo I Questão 4 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Marcar questão Seja \(f(x) = x \cos x\). Determine: • \(f'(x)\) • \(f'(0)\) A B I UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso 20222 - AG - Cálculo I Questão 3 Ainda não respondida Vale 1,00 pontos) Seja \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \). Determine: - \( f' \left( \frac{1}{2} \right) \) - \( f'' \left( \frac{1}{2} \right) \) Questão 2 Ainda não respondida Vale 1,00 pontos) Seja \( f(x) = \sqrt{2x^2} + 4x + 4 \). Determine: - as equações das retas tangente e normal ao gráfico de da função em \( P = (0, f(0)) \). - a coordenada x no gráfico em que a tangente é horizontal. Seja \( f(x) = \sqrt{2x^2} + 4x + 4 \). Determine: - as equações das retas tangente e normal ao gráfico de da função em \( P = (0, f(0)) \). - a coordenada x no gráfico em que a tangente é horizontal. f(x) = (2x - 4)^3 , P = (3, f(3)) i) Reta tangente: m_t = f'(3) = 3 * (2.3 - 4)^2 . 2 = 3 . 2^2 . 2 = 24 Logo. y - f(3) = 24 . (x - 3) y = 24x - 72 + 8 y = 24x - 64 ii) Reta normal: mn . mt = -1 mn = -1/24 Logo, y - 8 = -1/24 . (x - 3) y = -x/24 + 1/8 + 8 y = -x/24 + 65/8 iii) A tangente é horiz. qnd f'(x) = 0: f'(x) = 3 * (2x - 4)^2 . 2 = 0 => x = 2 Questão 8 f(x) = x cos x => f'(x) = cos x - x sen x d^2f/dx^2 = -sen x - sen x - x cos x = -2 sen x - x cos x d^3f/dx^3 = -2 cos x - cos x + x sen x = -3 cos x + x sen x d^4f/dx^4 = 3 sen x + sen x + x cos x = 4 sen x + x cos x d^5f/dx^5 = 4 cos x + cos x - x sen x = 5 cos x - x sen x f(x) = x sen x f'(x) = (x sen x)' = sen x + x cos x f'(0) = sen 0 + 0 . cos 0 = 0 f(x) = sen x/1+x f'(x) = (sen x)'/1+x = (cos x . (1+x) - 1 . sen x)/(1+x)^2 f'(x) = (cos x + x cos x - sen x)/(1+x)^2 f'(0) = (cos 0 + 0 . cos 0 - sen 0)/(1+0)^2 f'(0) = 1 f(x) = x cos x \Rightarrow f'(x) = (x cos x)' = cos x - x \sen x \Rightarrow f'(0) = cos 0 - 0 \sen 0 f'(0) = 1 --------- // ------------ f(x) = \frac{\ln x}{x} \Rightarrow f'(x) = \left( \frac{\ln x}{x} \right)' = \frac{1}{x} . x - 1 . \ln x \over x^2 = \frac{1 - \ln x}{x^2} \Rightarrow f'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = 1 f(x) = \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^2 , \ P = (-1, f(-1)) (i) Reta tangente: M_t = f'(-1) = 2 . \left( 1 - \frac{1}{-1} \right) . \frac{1}{(-1)^2} = 2 . 2 . 1 = 4 Logo, y - f(-1) = 4 . (x - (-1)) y - 4 = 4 (x + 1) Y = 4x + 8 (ii) Reta normal: M_N . M_t = -1 M_N = \frac{-1}{4} Logo, y - 4 = -\frac{1}{4} (x + 1) y = -\frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 4 y = -\frac{x}{4} + \frac{15}{4} (iii) A tangente é horiz. qnd f'(x) = 0, ou seja, f'(x) = 2 . \left( 1 - \frac{1}{x} \right) . \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 1 f(x) = \sqrt{2x^2 - 4x + 4} , \ P = (0, f(0)) (i) Reta tangente: M_t = f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{2.0^2 - 4.0 + 4}} . (4.0 - 4) = \frac{-4}{2 . 2} = -1 Logo, Y - f(0) = -1 . (x - 0) Y = -X + 2 (ii) Reta normal: M_N . M_t = -1 M_N = \frac{-1}{-1} = 1 Logo, Y - 2 = 1 . (x - 0) Y = X + 2 (iii) A tangente é horiz qnd f'(x) = 0: f'(x) = \frac{4x - 4}{2\sqrt{2x^2 - 4x + 4}} = 0 \Rightarrow x = 1 f(x) = \sqrt{2x^2 + 4x + 4}, \ P = (0, f(0)) ii) Nota tangente: m_{t} = f'(0) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 4}} \cdot (4 \cdot 0 + 4) = \frac{4}{2 \cdot 2} = 1 logo, y - f(0) = 1 \cdot (x - 0) y - 2 = x y = x + 2 ii) Nota normal: m_{N} \cdot m_{t} = -1 m_{N} = \frac{-1}{1} = -1 logo, y - 2 = -1 \cdot (x - 0) y = -x + 2 iii) A tangente é horiz. qnd f'(x) = 0: f'(x) = \frac{4x + 4}{2 \sqrt{2x^2 + 4x + 4}} = 0 => x = -1