P2 - Cálculo 1 2022 1

UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso Campus de Sinop Disciplina: Cálculo I Turmas: Agronomia e Engenharia Florestal Período: 2022/1 Professor: Clayton Cristiano da Silva Prova 2 Limites 1) (20 pontos) Encontre os limites a) (5 pts) \lim_{x→-1} \frac{x^2+6x+5}{x^2-3x-4} b) (5 pts) \lim_{x→2} \frac{x^2-4x+4}{x^2+x-6} c) (5 pts) \lim_{x→0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} d) (5 pts) \lim_{x→0} \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x} Funções Contínuas 2) (30 pontos) Use o Teorema do Valor Intermediário para encontrar um intervalo [a, b] no qual a equação 3^x-x^2 = 0 possui (ao menos) uma solução. Derivadas 3) (20 pontos) Encontre a derivada \frac{dy}{dx} em cada caso: a) (5 pts) y = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 b) (5 pts) y = \frac{1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6}{x^3} c) (5 pts) y = (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) d) (5 pts) y = x^{24} + 2x^{12} + 3x^8 + 4x^6 4) (30 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = \tan x no ponto (x_0, y_0) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right). Questões Bônus: Limites 5) (20 pontos) Encontre os limites a) (5 pts) \lim_{x→2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} b) (5 pts) \lim_{x→-1} \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 3x - 4} c) (5 pts) \lim_{u→2} \frac{\sqrt{4u+1}-3}{u-2} d) (5 pts) \lim_{t→0} \frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t} Funções Contínuas 6) (30 pontos) Use o Teorema do Valor Intermediário para encontrar um intervalo [a, b] no qual a equação x - \cos x = 0 possui (ao menos) uma solução. Derivadas 7) (20 pontos) Encontre f'(x): a) (5 pts) f(x) = \frac{\sin x}{x^2 + \sin x} b) (5 pts) f(x) = \frac{\sec x}{1 + \tan x} c) (5 pts) f(x) = (x^3 + 2x)^{37} d) (5 pts) f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^2}\right) 8) (30 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = \frac{1}{x} no ponto (x_0, y_0) = (1, 1). Obs.: A prova vale 100 pontos. A nota obtida nas questões bônus não valerá para nenhuma das outras avaliações! Boa sorte! 1) \(a) \lim_{x\to-1} \frac{x^2+6x+5}{x^2-3x-4} = \lim_{x\to-1} \frac{(x+3)(x+5)}{(x+1)(x-4)} = \lim_{x\to-1} \frac{x+5}{x-4} = \frac{4}{5} \\ (b) \lim_{x\to2} \frac{x^2-4x+4}{x^2+x-6} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+3)} = \lim_{x\to2} \frac{x-2}{x+3} = 0 \\ (c) \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \lim_{x\to0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x\to0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x\to0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4} \\ (d) \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x} = \lim_{x\to0} \frac{(\sqrt{x^2+4}-2)(\sqrt{x^2+4}+2)}{x(\sqrt{x^2+4}+2)} = \lim_{x\to0} \frac{x^2}{x(\sqrt{x^2+4}+2)} = \lim_{x\to0} \frac{x}{\sqrt{x^2+4}+2} = 0 2) Vej, que, sendo f(x) = 3^x-x^2 , \(f(x)\) é contínuo e \(f(-1)=3^{-1}-(-1)^2=\frac{1}{3}-1= -\frac{2}{3} < 0\), e \(f(0)=3^0-0^2 = 1\). Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \(x \in (-1, 0)\) tal que \(3^x-x^2 = 0\). 3) a) y = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 dy/dx = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 b) y = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) / x^3 dy/dx = (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5) * x^-3 - 3 * x^2 * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) / (x^3)^2 = (x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 4x^6 + 5x^7 + 6x^8 - 3x^2 - 3x^3 - 3x^4 - 3x^5 - 3x^6 - 3x^7 - 3x^8) / x^6 = (-3x^2 - 2x^3 - x^4 + x^6 + 2x^7 + 3x^8) / x^6 = -3 - 2x - x^2 + x^4 + 2x^5 + 3x^6 / x^4 c) dy/dx = (-1) * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4) + (1 - x) * (1 + (1 + x^2) * (1 + x^4) + (1 + x) * (2x * (1 + x^4) + (1 + x^2) * 4x^3) ) = -x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1 + (1 - x) * ((x^6 + x^5 + x^4 + x + 1) (6x^5 + 4x^3 + 2x)) = -x^7 - x^6 - x^5 - x^3- x^2 - x - 1 + (1 - x) (7x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) = -x^7 - 7x^7 - x^6 + x^6 + 6x^5 - x^5 + x^5 - x^4 + 5x^4 - x^3 - x^2 - x + 1 = -8x^7 d) dy/dx = 24x^23 + 24x^11 + 24x^7 + 24x^3 = 24(x^23 + x^11 + x^7 + x^3) 4) A equacao da reta tangente e: y = f(x0) + f'(x0) (x - x0) x0 = pi/4 f(x0) = y0 = 1 f'(x) = (tan x)^1 = sec^2 x f'(x0) = sec^2(pi/4) = (sqrt(2))^2 = 2 y = 1 + 2 (x - pi/4) = 1 + 2x - pi/2 [ y = 2x + 1 - pi/2 ] 5) a) lim x->2 x^2 + x - 6 / x - 2 = lim x->2 (x - 2)(x + 3) / (x - 2) = lim x->2 x + 3 = 5 b) lim x->-1 x^2 - 4x / x^2 - 3x - 4 = lim x->-1 x^2 - 4x / (x + 3)(x - 4) = +/- infinity c) lim u->2 sqrt(4u + 1) - 3 / u - 2 = lim u->2 (sqrt(4u + 1) - 3)(sqrt(4u + 1) + 3) / (u-2)(sqrt(4u + 1) + 3) = lim u->2 4u - 8 / (u-2)(sqrt(4u + 1) + 3) = lim u->2 (u - 2) . 4 / (u-2)(sqrt(4u + 1) + 3) = lim u->2 4 / sqrt(4u + 1) + 3 = 4/6 = 3/2 d) lim t->0 sqrt(3 + t) - sqrt(3 - t) / t = lim t->0 (sqrt(3 + t) - sqrt(3 - t)) / t + sqrt(3 + t) + sqrt(3 - t) = lim t->0 2t / t(sqrt(3 + t) + sqrt(3 - t)) = lim t->0 2 / sqrt(3 + t) + sqrt(3 - t) = 2/2 = 1 6) Veja que, sendo f(x) = x - cos x, f(x) e continuo e f(-pi/2) = -pi/2 - cos(-pi/2) = -pi/2 < 0, e f(pi) = pi - cos pi = pi > 0. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe x E (-pi/2, pi) tal que x - cos x = 0 7) a) f'(x) = (sin x)^1(x^2 + sin x) - (sin x)(x^2 + sin x)^1 / (x^2 + sin x)^2 = x^2 cos x + sin x cos x - 2 x sin x - sin x - cos x = x^4 + 2x^2 sin x + sin^2 x = x^2 cos x - 2 x sin x / x^4 + 2x^2 sin x - sin^2 x b) f'(x) = tan x sec x + tan^2 x sec x - sec^3 x / 1 + 2 tan x + tan^2 x c) f'(x) = 37 (x^3 + 2x)^36 . (3x^2 + 2) = (1113x^2 + 74 )(x^3 + 2x)^36 d) f'(x) = cos(1/x^2) . (x^-2)^1 = cos(1/x^2) . (-2) . x^-3 = -2/x^3 . cos(1/x^2) 8) A equação da reta tangente é: y = f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀) x₀ = 3 f(x₀) = y₀ = 1 f'(x) = (1/x)' = -1/x² f'(x₀) = -1/3² = -1 y = 1 - 1 (x - 3) = 1 - x + 3 y = -x + 2