Lista - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

1. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S = {u1, u2} de R2. (a) u1 = (1, 0), u2 = (0, 1); w = (3, −7) (b) u1 = (2, −4), u2 = (3, 8); w = (1, 1) (c) u1 = (1, 1), u2 = (0, 2); w = (a, b) 2. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = {v1, v2, v3} de R3. (a) v1 = (2, −1, 3); v = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 0) (b) v1 = (5, −12, 3); v1 = (1, 2, 3), v2 = (−4, 5, 6), v3 = (7, −8, 9) 3. Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de p em relação à base S = {p1, p2, p3} de P2. (a) p1 = 4 − 3x + x2; p1 = 1, p2 = x, p3 = x2 (b) p2 = x − x + x; p1 = 1 + x, p2 = 1 + x2, p3 = x + x2 4. Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = {A1, A2, A3, A4} de M22. A = [2 1; 3 4], A1 = [1 0; 0 0], A2 = [0 1; 0 0], A3 = [0 0; 1 0], A4 = [0 0; 0 1] 5. Considere os vetores de coordenadas [w]S = [6 7; −1 4], [B]S = [8 −7; 6 3] (a) Encontre w e S for a base no Exercício 2(a). (b) Encontre q se S for a base no Exercício 3(a). (c) Encontre B se S for a base no Exercício 4. 6. Considere as bases B = {u1, u2} e B′ = {u′1, u′2} de R2, em que u1 = [1 0], u2 = [0 1], u′1 = [2 1], u′2 = [−3 4] (a) Encontre a matriz de transição de B′ para B. (b) Encontre a matriz de transição de B para B. (c) Calcule o vetor de coordenadas [w]B, em que w = [−3 5] 7. Repita as orientações do Exercício 6 com o mesmo vetor w, mas com u1 = [2 2], u2 = [4 −1], u′1 = [1 3], u′2 = [−1 1] 8. Considere as bases B = {u1, u2, u3} e B′ = {u′1, u′2, u′3} de R3, em que u1 = [−3 −1], u2 = [1 1], u3 = [1 6] u′1 = [−6 −7], u′2 = [−1 7], u′3 = [4 7] (a) Encontre a matriz de transição de B para B′. (b) Calcule o vetor de coordenadas [w]B, em que w = [−5 −8 5] 9. Repita as orientações do Exercício 8 com o mesmo vetor w, mas com u1 = [1 1], u2 = [1 −2], u3 = [1 2 1] 10. Considere as bases B = {p1, p2} e B′ = {q1, q2} de P1, em que p1 = 6 + 3x, p2 = 10 + 2x, q1 = 2, q2 = 3 + 2x (a) Encontre a matriz de transição de B′ para B. (b) Encontre a matriz de transição de B para B. (c) Calcule o vetor de coordenadas [p]B, em que p = −4 + x, e use a fórmula (12) para calcular [p]B. (d) Confira seu trabalho calculando [p]B diretamente. 11. Seja V o espaço gerado por f1 = sen x e f2 = cos x. (a) Mostre que g1 = 2 sen x + cos x e g2 = 3 cos x formam uma base de V. (b) Encontre a matriz de transição de B′ = {g1, g2} para B = {f1, f2}. (c) Encontre a matriz de transição de B para B′. (d) Calcule o vetor de coordenadas [h]B, em que h = 2 sen x − 5 cos x, e use a fórmula (12) para calcular [h]B. 12. Sejam S a base canônica de R2 e B′ = {v1, v2} a base dada por v1 = (1, 2), v2 = (−3, 4). (a) Encontre a matriz de transição PB→S, por inspeção. (b) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PB→S. (c) Confirme que PB→S e PS→B são inversas uma da outra. (d) Seja w = (5, −3). Encontre [w]B e então use a fórmula (11) para calcular [w]B. (e) Seja w = (5, −3). Encontre [w]B e então use a fórmula (12) para calcular [w]B. 13. Sejam B = {u1, u2} e B′ = {v1, v2} as bases de R2 dadas por u1 = (1, 2), u2 = (3, 4), v1 = (3, 2), v2 = (1, 4). (a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PB→B′. (b) Confirme que PB→B′ e PB′→B são inversas uma da outra. (c) Seja w = (−5, 3). Encontre [w]B e então use a matriz PB′→B para calcular [w]B. (d) Seja w = (2, 5). Encontre [w]B e então use a matriz PB→B′ para calcular [w]B. 14. Sejam B, B′, B = {u1, u2, u3} e B′ = {v1, v2, v3} as bases de R3 dadas por u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, −1, 0), v1 = (3, 4, 1), v2 = (−1, −1, 2). (a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PB→B′. (b) Confirme que PB→B′ e PB′→B são inversas uma da outra. 15. Sejam B, B′ = {u1, u2} e B′ = {v1, v2} as bases de R2 dadas por u1 = (1, 2), u2 = (3, 4), v1 = (3, 2), v2 = (1, 4). (a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PB→B′. (b) Confirme que PB→B′ e PB′→B são inversas uma da outra. 16. Sejam B = {u1, u2, u3} e B′ = {v1, v2, v3} as bases de R3 dadas por u1 = (−3, 0, 3), u2 = (−3, 2, −1), u3 = (1, 6, −1), v1 = (−6, 0, 1), v2 = (4, 4, −7), v3 = (2, −3, 7). (a) Encontre a matriz de transição PB→B′. (b) Seja w = (−5, 8, 5). Encontre [w]B e então use a matriz de transição obtida na parte (a) para calcular [w]B diretamente. 17. Repita as orientações do Exercício 16 com o mesmo vetor w, mas com v1 = (2, 1, 1), v2 = (2, −1, 1), u3 = (1, 2, 4), v1 = (3, −1, 5), v2 = (1, −3, e), v2 = (−1, 0, 2). 18. Sejam S = {e1, e2} a base canônica de R2 e a base que resulta quando os vetores de S são refletidos nos torno do ret a y = x. (a) Encontre a matriz de transição PB→S. (b) Seja P = PB→S e mostre que πP = PB→S. 19. Sejam S = {e1, e2} e a base canônica de R2 e a base que resulta quando os vetores de S são refletidos nos torno da reta que faz um ângulo θ com o eixo x positivo. (a) Encontre a matriz de transição PB→S. (b) Seja P = PB→S e mostre que πP = PB→S. 20. Se B1 e B2 forem bases de R2 e se Pn = {B1→B2, P = P2→B3, e P3 = P2→B1, então P = Sn−1}. 21. Se P for a matriz de transição de uma base B′ para uma base B e Q a matriz de transição de B para uma base C, qual é a matriz de transição de B′ para C? Qual é a matriz de transição de C para B′? 22. Para escrever o vetor de coordenadas de um vetor u, é necessário especificar um ordenamento dos vetores das bases. Se for a matriz de transição de uma base B′ para uma base B, qual é o efeito sobre Pi de uma inversão da ordem dos vetores de B e v1, v2, ..., vn para v1, ..., vi? Qual é o efeito sobre P se invertemos a ordem dos vetores de B e S e B? 23. Considere a matriz P = [1 0; 0 2]. (a) P é a matriz de transição de qual base B para a base canônica S = {e1, e2}, e qual é a base B se B = {e1, e2}? 24. A matriz de transição da base canônica S = {e1, e2, e3, e4} para qual base B é 1. Exercício verdadeiro/falso Nas partes (a)-(f), determina se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se B e B2 forem bases de um espaço vetorial V, então existe uma matriz de transição de B′ para B. (b) Matrizes de transição são invertíveis. (c) Se B e B forem base do espaço vetorial V, então PB→B é a matriz identidade. (d) Se PB→B2 for uma matriz diagonal, então cada vetor em B e B2 é um múltiplo escalar de algum vetor em B1. (e) Se cada vetor em B e B' for um múltiplo escalar de algum vetor em B, então PB→B1 é uma matriz diagonal. (f) Se A for uma matriz quadrada, então A = PB→B se transitarmos bases B e B'.