P1 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

Questão 1 Ainda não respondida Vale 6,00 ponto(s). • 1. Suponha que o espaço \( \mathbb{R}^3 \) tenha o produto interno canônico. O subespaço gerado pelos vetores \( v_1 = (4, 0, -3) \) e \( v_2 = (0, 1, 1) \) é um plano que passa pela origem. Seja \( w = (1, 2, 3) \) um vetor de \( \mathbb{R}^3 \). (1.1) Escolha um vetor \( v_3 \), não colinear com \( w \), de modo que o conjunto \( \{v_1, v_2, v_3\} \) seja uma base de \( \mathbb{R}^3 \). (1.2) Escreva o vetor \( w \) como combinação linear dessa base. (1.3) Aplique Gram-Schmidt nessa base para obter uma base ortonormal de \( \mathbb{R}^3 \). • 2. Seja \( V \) um espaço vetorial e \( W \) um subespaço de \( V \). Definimos o complemento ortogonal de \( W \), denotado por \( W^\perp \), como sendo o conjunto de todos os vetores de \( V \) que são ortogonais a todo vetor de \( W \). Isto é, \( W^\perp = \{v \in V; \langle v, w \rangle = 0, \) para todo \( w \in W\} \). (2.1) Mostre que \( W^\perp \) é um subespaço vetorial de \( V \). (2.2) Encontre \( W^\perp \) sendo \( W \) o plano gerado por \( v_1 \) e \( v_2 \). (2.3) Escreva o vetor \( w = (1, 2, 3) \) na forma \( w = w_1 + w_2 \) sendo \( w_1 \) um vetor de \( W \) e \( w_2 \) de \( W^\perp \). Questão 2 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). Qual dos seguintes conjuntos de vetores em \( \mathbb{R}^3 \) são linearmente dependentes? Escolha uma opção: ○ a. \{(-3, 0, 1), (3, 2, 5), (6, -1, 1), (7, 0, -2)\} ○ b. \{(0, 1, 2)\} ○ c. \{(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)\} ○ d. \{(-3, 0, 4), (5, -1, 2), (1, 1, 3)\} ○ e. \{(4, -1, 2), (-4, 10, 2)\} Qual afirmação está correta? Escolha uma opção: ○ a. Existe um conjunto de 11 vetores que gera \mathbb{R}^{17}. ○ b. O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. ○ c. Qualquer conjunto ortogonal de vetores num espaço com produto interno é linearmente independente. ○ d. O conjunto das soluções de um sistema linear consistente \mathbf{AX} = \mathbf{B} de \quad m \quad equações e \quad n \quad incógnitas é um subespaço de \quad \mathbb{R}^n. ○ e. Cada subconjunto de um espaço vetorial \quad V \quad que contenha o vetor nulo de \quad V \quad é um subespaço vetorial de \quad V. Se \quad \mathbf{v} \quad e \quad \mathbf{w} \quad são vetores em \quad \mathbb{R}^n, então \quad \mathbf{w} \quad é paralelo a \quad \operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v}, ortogonal a \quad \mathbf{v} - \operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} \quad e tem módulo igual a \quad \frac{|\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle|}{\|\mathbf{w}\|}. Escolha uma opção: ○ Verdadeiro ○ Falso Se \quad \mathbf{U} \quad e \quad \mathbf{W} \quad são subespaços de um espaço vetorial \quad \mathbf{V}, então a interseção \quad \mathbf{U} \cap \mathbf{W} \quad é um subespaço de \quad \mathbf{V}. Além disso, se \quad \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_r\} \quad é base de \quad \mathbf{U} \quad e \quad \{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \cdots, \mathbf{w}_s\} \quad é base \quad \mathbf{W}, a interseção \quad \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_r\} \cap \{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \cdots, \mathbf{w}_s\} \quad é uma base para \quad \mathbf{U} \cap \mathbf{W}. Escolha uma opção: ○ Verdadeiro ○ Falso Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT Secretaria de Tecnologia da Informação - STI Av. Fernando Correa da Costa, nº 2367 - Bairro Boa Esperança. Cuiabá - MT - 78060-900 Fone: +55 (65) 3615-8028