Slide - Operadores Lineares - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

Operadores Lineares ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Daniel Leite IENG - UFMT Agosto 2019 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Sum´ario 1 Operadores Lineares Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Defini¸c˜ao Um operador linear ´e uma transforma¸c˜ao linear T : Rn → Rn, ou seja, uma transforma¸c˜ao linear de Rn em Rn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs O objetivo desta se¸c˜ao ´e estudar operadores lineares T : Rn → Rn tais que a matriz do operador [T]β, em alguma base β, seja uma matriz diagonal. Isto ´e, operadores lineares tais que [T]β =   λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 0 0 · · · λn   para alguma base β de Rn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs Para isso, precisamos aprender a determinar autovalores, autovetores e polinˆomio caracter´ıstico de um operador linear, os quais passaremos a definir na sequˆencia. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Defini¸c˜ao Seja T : Rn → Rn um operador linear. Se um vetor v ∈ Rn n˜ao nulo ´e tal que T(v) = λ v, para algum escalar λ, ent˜ao dizemos que λ ´e um autovalor (ou valor pr´oprio, valor caracter´ıstico) de T e que v ´e um autovetor (ou vetor pr´oprio, vetor caracter´ıstico) de T associado a λ. Obs Observe que um autovetor ´e aquele cuja imagem ´e um m´ultiplo escalar dele mesmo, T(v) = λ v, λ ∈ R. Em outras palavras, para que v seja autovetor de T ´e preciso que v e sua imagem T(v) sejam paralelos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exemplos (Exerc´ıcios) Vamos determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: (a) O operador linear identidade, I : R2 → R2 tal que I(x, y) = (x, y). (b) A reflex˜ao em rela¸c˜ao `a origem, R : R2 → R2 tal que R(x, y) = (−x, −y). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exemplos (Exerc´ıcios) Vamos determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: (c) A reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo x, Rx : R2 → R2 tal que Rx(x, y) = (x, −y). (d) A rota¸c˜ao em torno da origem por um ˆangulo θ no sentido anti-hor´ario, Rθ : R2 → R2 tal que Rθ(x, y) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exemplos (Exerc´ıcios) (e) A reflex˜ao em rela¸c˜ao ao plano xy, Rxy : R3 → R3 tal que Rxy(x, y, z) = (x, y, −z). (f) A proje¸c˜ao sobre o plano xy, Pxy : R3 → R3 tal que Pxy(x, y, z) = (x, y, 0). (g) A rota¸c˜ao em torno do eixo z por um ˆangulo θ no sentido anti-hor´ario quando visto de cima, Rθz : R3 → R3 tal que Rθz(x, y, z) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ, z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs Seja T : Rn → Rn um operador linear. Suponha que v seja um autovetor de T associado a um autovalor λ, ou seja, T(v) = λ v, v ̸= 0. Ent˜ao, Se k ´e n´umero real, T(kv) = k T(v) = k (λ v) = λ (k v). Isso implica que m´ultiplos escalares de v tamb´em s˜ao autovetores associados ao mesmo autovalor λ. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs Se v e w s˜ao autovetores associados ao autovalor λ, T(v + w) = T(v) + T(w) = λ v + λ w = λ (v + w). Isso implica que a soma de dois autovetores associados a um mesmo autovalor λ, ainda ´e um autovetor associado ao mesmo autovalor. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs Portanto, se tomarmos o conjunto de todos os autovetores associados a um mesmo autovalor, e acrescentarmos o vetor nulo a ele, teremos um subespa¸co vetorial de Rn. Esse conjunto ser´a denotado por Wλ. Assim, Wλ = {v ∈ Rn; T(v) = λ v} ´e um subespa¸co vetorial de Rn, chamado de autoespa¸co de T associado ao autovalor λ. Esta observa¸c˜ao justifica o seguinte teorema Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Teorema 15 Seja T : Rn → Rn um operador linear. Se λ ´e um autovalor de T, ent˜ao o conjunto Wλ = {v ∈ Rn; T(v) = λ v} ´e um subespa¸co vetorial e ´e formado por todos os autovetores de Rn associados a λ mais o vetor nulo. Esse subespa¸co ´e chamado de autoespa¸co de T associado ao autovalor λ. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exemplos (Exerc´ıcios) Para cada operador dos exemplos acima, determine seus autoespa¸cos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Defini¸c˜ao Seja A uma matriz n × n. Sejam v ∈ Rn um vetor, n˜ao nulo, escrito na forma de matriz coluna e λ um escalar. Dizemos que λ ´e um autovalor de A e que v ´e um autovetor associado a λ se A v = λ v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs Observe que a equa¸c˜ao matricial A v = λ v, v ̸= 0, ´e equivalente a (A − λ In) v = 0. Isto ´e, exigir que v seja um autovetor de A associado a λ ´e equivalente a exigir que v seja uma solu¸c˜ao n˜ao trivial do sistema linear homogˆeneo Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs (A − λ In) X = 0. Mas, para que isso aconte¸ca devemos ter det(A − λ In) = 0. Como det(A − t In) ´e um polinˆomio na vari´avel t, ent˜ao esta equa¸c˜ao diz que o autovalor λ deve ser raiz do polinˆomio. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Obs Resumindo, Um escalar λ ´e autovalor de uma matriz A se, e somente se, λ ´e raiz do polinˆomio det(A − t In). Um vetor v ∈ Rn ´e autovetor de A associado a λ se, e somente se, v ´e solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo (A − λ In)X = 0. Desta observa¸c˜ao, surge a seguinte defini¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Defini¸c˜ao Seja A uma matriz n × n. O polinˆomio P(t) = det(A − t In) ´e chamado de polinˆomio caracter´ıstico da matriz A. Segue da observa¸c˜ao que as suas ra´ızes s˜ao os autovalores da matriz A. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Essas defini¸c˜oes relacionadas a uma matriz, juntamente com o teorema a seguir, transfere os conceitos de autovetores e autovalores de um operador linear T para os autovetores e autovalores da matriz do operador, [T]β, em alguma base β de Rn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Teorema 16 Seja T : Rn → Rn um operador linear. Suponha que λ ´e um autovalor de T e que v seja um autovetor associado a λ. (a) Se α ´e a base canˆonica de Rn, ent˜ao T(v) = λ v ⇐⇒ [T]α [v]α = λ [v]α. (b) Se β ´e qualquer outra base de Rn, ent˜ao [T]α [v]α = λ [v]α ⇐⇒ [T]β [v]β = λ [v]β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Surge, a partir desse teorema, uma defini¸c˜ao equivalente `a anterior para autovetores e autovalores de um operador linear. Defini¸c˜ao Seja T : Rn → Rn um operador linear. Dizemos que um escalar λ ´e autovalor de T e que um vetor v ∈ Rn ´e autovetor associado a λ, se [T]β [v]β = λ [v]β, em alguma base β de Rn. Al´em disso, o polinˆomio Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Defini¸c˜ao P(t) = det([T]β − t In) ´e chamado de polinˆomio caracter´ıstico do operador linear T. ´E importante destacar a relevˆancia do polinˆomio caracter´ıstico. Lembre que para determinar os autovalores de um operador requereu de n´os, at´e agora, o conhecimento da geometria envolvida na transforma¸c˜ao, o que nem sempre ´e poss´ıvel saber. De agora em diante, basta determinar as ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores A defini¸c˜ao ´e consistente devido ao item (b) do ´ultimo teorema. Ele diz que os conceitos de autovalores e autovetores, bem como o de polinˆomio caracter´ıstico, independem da base escolhida. Isso significa que podemos fixar a base canˆonica de Rn para determinarmos o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e os autovetores de um operador linear. Particularmente, interessa-nos determinar os autoespa¸cos associados aos autovalores. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Encerramos esta se¸c˜ao com as defini¸c˜oes que seguem. Defini¸c˜ao Sejam T : Rn → Rn um operador linear, λ um autovalor de T e P(t) o polinˆomio caracter´ıstico de T. Ent˜ao, Multiplicidade Alg´ebrica de λ: ´e a multiplicidade de λ como raiz do polinˆomio caracter´ıstico, ou seja, o n´umero de vezes que o autovalor λ aparece como raiz de P(t). Esse n´umero ´e igual `a m´axima potˆencia do fator (t − λ) na fatora¸c˜ao do polinˆomio P(t). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Defini¸c˜ao Multiplicidade Geom´etrica de λ: ´e a dimens˜ao do autoespa¸co associado ao autovalor λ, Wλ, ou seja, a quantidade de vetores em uma base do subespa¸co Wλ. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exemplos Determine o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e os autoespa¸cos de cada operador linear. (a) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (y, x). (b) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x − y, 2x + 4y). (c) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x, 2x + y). (d) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x, −x + 3y, 3x + 2y − 2z). (e) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (2x + 3y, y, 2z). (f) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (2x + 2y + z, y − z, 2z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exerc´ıcios Determine o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e os autoespa¸cos de cada operador linear. (1) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x + y, x). (2) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (y, −x + 2y). (3) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x, 2x + y). (4) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x + 2y, 2x + y). (5) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x + y, x − y). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exerc´ıcios Determine o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e os autoespa¸cos de cada operador linear. (6) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, z). (7) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (y, z, −x). (8) T : R3 → R3 tal que T(x, y) = (3x − 3y − 4z, 3y + 5z, −z). (9) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x + 3y − 3z, 4y, −3x + 3y + z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exerc´ıcios Determine o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e os autoespa¸cos de cada operador linear. (10) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x + z, −x + z, x + y + z). (11) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, z). (12) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x + y + 2z, x + 2y + z, 2x + y + z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exerc´ıcios Determine o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e os autoespa¸cos de cada operador linear. (13) T : R4 → R4 tal que T(x, y, z, w) = (2x + z, 2y + w, 12x + 3z, −y). (14) T : R4 → R4 tal que T(x, y, z, w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Autovalores e Autovetores Exerc´ıcios Encontre o operador linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (−2y, y), respectivamente. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Teorema 17 Seja T : Rn → Rn um operador linear. Sejam λ1, λ2, · · · , λk autovalores distintos de T tais que v(1) 1 , v(1) 2 , · · · , v(1) n1 s˜ao autovetores LI associados a λ1; v(2) 1 , v(2) 2 , · · · , v(2) n2 s˜ao autovetores LI associados a λ2; ... v(k) 1 , v(k) 2 , · · · , v(k) nk s˜ao autovetores LI associados a λk. Ent˜ao, o conjunto formado por todos esses vetores, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Teorema 17 {v(1) 1 , v(1) 2 , · · · , v(1) n1 , v(2) 1 , v(2) 2 , · · · , v(2) n2 , · · · , v(k) 1 , v(k) 2 , · · · , v(k) nk } ´e LI. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Obs O teorema ensina a obter uma base do espa¸co Rn formada inteiramente por autovetores do operador. Para isso, basta tomar uma base para cada autoespa¸co e, em seguida, un´ı-las. Se essa uni˜ao contiver n autovetores, teremos uma base de Rn. Infelizmente, nem sempre teremos n autovetores, mas somente uma quantidade inferior. No entanto, se a quantidade de autovalores distintos for n, isso sempre ser´a poss´ıvel, conforme o teorema abaixo. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Teorema 18 Se T : Rn → Rn ´e um operador linear que possui n autovalores distintos, ent˜ao Rn possui uma base formada inteiramente por autovetores do operador T. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Veremos, a seguir, a importˆancia dos operadores que nos permite obter uma base de autovetores para Rn. Suponha que β = {v1, v2, · · · , vn} seja uma base de Rn formada por autovetores de um operador linear T : Rn → Rn. Vejamos como fica a matriz do operador com rela¸c˜ao a esta base. Para isso, podemos supor que vi ´e autovetor associado ao autovalor λi, i = 1, 2, · · · , n. Ent˜ao, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis T(v1) = λ1v1 = λ1v1 + 0v2 + 0v3 + · · · + 0vn T(v2) = λ2v2 = 0v1 + λ2v2 + 0v3 + · · · + 0vn T(v3) = λ3v3 = 0v1 + 0v2 + λ3v3 + · · · + 0vn ... ... ... T(vn) = λnvn = 0v1 + 0v2 + 0v3 + · · · + λnvn Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Assim, teremos a matriz diagonal [T]β =   λ1 0 0 · · · 0 0 λ2 0 · · · 0 0 0 λ3 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 0 · · · λn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Reciprocamente, suponha que T : Rn → Rn seja um operador linear tal que em rela¸c˜ao `a uma base β = {v1, v2, · · · , vn} a sua matriz seja diagonal, digamos [T]β =   λ1 0 0 · · · 0 0 λ2 0 · · · 0 0 0 λ3 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 0 · · · λn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Vamos mostrar que β ´e uma base de autovetores v1, v2, · · · , vn associados, respectivamente, aos autovalores λ1, λ2, · · · , λn. De fato, isso segue das equa¸c˜oes abaixo: T(v1) = λ1v1 + 0v2 + 0v3 + · · · + 0vn = λ1v1 T(v2) = 0v1 + λ2v2 + 0v3 + · · · + 0vn = λ2v2 T(v3) = 0v1 + 0v2 + λ3v3 + · · · + 0vn = λ3v3 ... ... ... T(vn) = 0v1 + 0v2 + 0v3 + · · · + λnvn = λnvn Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis O que acabamos de mostrar ´e a demonstra¸c˜ao do seguinte teorema: Teorema 19 Um operador linear T : Rn → Rn admite uma base β de Rn em rela¸c˜ao `a qual sua matriz [T]β ´e diagonal se, e somente se, a base β ´e formada por autovetores do operador T. Segue do teorema, a defini¸c˜ao: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Defini¸c˜ao Seja T : Rn → Rn um operador linear. Dizemos que T ´e diagonaliz´avel se ele admite uma base β formada por seus autovetores, ou seja, tal que [T]β seja uma matriz diagonal. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Obs A ordem dos autovalores na diagonal da matriz, λ1, λ2, · · · , λn, respeita a ordem dos autovetores v1, v2, · · · , vn na base β. Al´em disso, os autovalores λ1, λ2, · · · , λn n˜ao precisam ser todos distintos. Na verdade, um autovalor ir´a repetir tantas vezes quanto existirem autovetores associados a ele na base β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Diagonaliz´aveis Obs (a) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (y, x). (b) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x − y, 2x + 4y). (c) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x, 2x + y). (d) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x, −x + 3y, 3x + 2y − 2z). (e) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (2x + 3y, y, 2z). (f) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (2x + 2y + z, y − z, 2z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Defini¸c˜ao Seja A = (aij)n×n um matriz n × n. (a) Dizemos que A ´e sim´etrica se At = A, ou seja, se aij = aji para todo par i, j = 1, 2, · · · , n. (b) Dizemos que A ´e ortogonal se At = A−1, ou seja, se A At = In e At A = In, onde In ´e a matriz identidade n × n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (a) As matrizes   0 1 1 −2   e   2 −1 4 −1 −3 0 4 0 7   s˜ao sim´etricas; (b) As matrizes   3 −5 1 0   e   0 2 3 −1 1 1 4 1 5   n˜ao s˜ao sim´etricas; Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (c) As matrizes   cosθ −senθ senθ cosθ   e   cosθ −senθ 0 senθ senθ 0 0 0 1   s˜ao ortogonais qualquer que seja o n´umero real θ; (d) As matrizes   1 1 0 1   e   0 1 −1 1 0 2 3 1 10   n˜ao s˜ao ortogonais. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Teorema 20 Uma matriz A, n × n, ´e ortogonal se, e somente se, as suas colunas (ou as linhas) formam um conjunto ortonormal de vetores. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Defini¸c˜ao Sejam T : Rn → Rn um operador linear e β uma base ortonormal de Rn. Ent˜ao, (a) Dizemos que T ´e autoadjunto se [T]β for uma matriz sim´etrica; (b) Dizemos que T ´e ortogonal se [T]β for uma matriz ortogonal. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Obs Se [T]β ´e uma matriz sim´etrica (resp. ortogonal), ent˜ao ela ser´a sim´etrica (resp. ortogonal) em rela¸c˜ao a qualquer outra base ortonormal de Rn. Isto ´e, nos itens (a) e (b), a matriz [T]β n˜ao depende da base ortonormal fixada. Sendo assim, podemos usar a base canˆonica sempre que for conveniente. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (a) O operador linear T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (y, x) ´e autoadjunto. De fato, se α ´e a base canˆonica de R2, ent˜ao [T]α =   0 1 1 0   ´e uma matriz sim´etrica. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (b) O operador linear T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ) ´e ortogonal. De fato, se α ´e a base canˆonica de R2, ent˜ao   cosθ −senθ senθ cosθ   ´e uma matriz ortogonal. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Teorema 21 Se α e β s˜ao bases ortonormais de Rn, ent˜ao as matrizes de mudan¸cas de bases, [I]α β e [I]β α, s˜ao ortogonais. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Teorema 22 Seja T : Rn → Rn um operador autoadjunto. Se v1 e v2 s˜ao autovetores associados a autovalores distintos λ1 e λ2, respectivamente, ent˜ao v1 e v2 s˜ao ortogonais. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Teorema 23 T : Rn → Rn ´e um operador autoadjunto se, e somente se, T admite uma base ortonormal de Rn formada por autovetores. Obs Para obter uma base ortonormal de Rn, aplicamos o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt na base de cada autoespa¸co , ou seja, ´e preciso ortonormalizar a base de cada autoespa¸co. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Conclus˜ao Seja T : Rn → Rn um operador linear. Ent˜ao, (a) T ´e diagonaliz´avel se, e somente se, T admite uma base de Rn formada por autovetores. (b) Se α ´e uma base qualquer (a base canˆonica, por exemplo) e β uma base de autovetores de T, ent˜ao T ´e diagonaliz´avel se, e somente se, [T]α = P [T]β P−1, onde [T]β ´e diagonal e P = [I]β α. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Conclus˜ao (c) T ´e autoadjunto se, e somente se, T admite uma base ortonormal de Rn formada por autovetores. (d) Se α ´e uma base ortonormal qualquer (a base canˆonica, por exemplo) e β uma base ortonormal de autovetores de T, ent˜ao T ´e autoadjunto se, e somente se, [T]α = P [T]β Pt, onde [T]β ´e diagonal e P = [I]β α (porque [I]β α ´e matriz ortogonal). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (Exerc´ıcios) Verifique que cada operador linear T : Rn → Rn ´e autoadjunto. Em seguida, obtenha uma base ortonormal de Rn formada por autovetores de T e determine as matrizes [I]β α e [T]β. (a) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (y, x). (b) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (5x − 2y, −2x + 8y). (c) T : R2 → R2 tal que T(x, y) = (x + y, x − y). (d) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (Exerc´ıcios) (e) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (2x − 2y, −2x − y, z). (f) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (y, x, z). (g) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (z, y, x). (h) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (x, z, y). (i) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (z, x, y). (j) T : R3 → R3 tal que T(x, y, z) = (y, x, 0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Operadores Lineares Operadores Autoadjuntos e Ortogonais Exemplos (Exerc´ıcios) (k) T : R4 → R4 tal que T(x, y, z, w) = (2x − 2y, −2x − y, w, z). (l) T : R4 → R4 tal que T(x, y, z, w) = (x, w, y, z). (m) T : R4 → R4 tal que T(x, y, z, w) = (0, 0, w, z). (n) T : R4 → R4 tal que T(x, y, z, w) = (y, x, w, z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica