Relatório de Processamento de Sinais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Avenida Fernando Correa da Costa Nº 2367 Boa Esperança Telefone 065 36158000 Cuiabá MT CEP 78060900 Internet httpwwwufmtbr Quantização codificação reconstrução do sinal e aplicação da FFT Professor Rafael Zamodzki Disciplina Processamento de Sinais Curso Engenharia de Controle e AutomaçãoEngenharia de Computação Objetivo Criar um sinal com várias componentes de frequência amostrálo digitaliza lo reconstruílo e aplicar a FFT no sinal reconstruído para verificar os valores de amplitude e fase em cada componente de frequência Todo o procedimento deve ser realizado no ambiente Script do MATLAB Passo 1 Crie um sinal com as seguintes componentes a V 10 V f 50 Hz b V 5 V f 200 Hz ϕ 60 c V 75 V f 4 kHz ϕ 45 Passo 2 Amostre este sinal utilizando frequência de amostragem adequada Passo 3 Plote o sinal original e o sinal amostrado em apenas uma janela usando subplot Passo 4 Realize a digitalização do sinal usando um conversor AD de 12 bits conforme exercício realizado em sala de aula verifique a amplitude máxima que o sinal atinge para definir o valor da tensão de referência a ser usado Passo 5 Após a digitalização reconstrua o sinal usando também 12 bits Passo 6 Plote o sinal original e o sinal reconstruído na mesma figura use hold on para realizar a comparação entre as formas de onda Passo 7 Usando a função fft do MATLAB verifique a sintaxe no help calcule um número adequado de pontos lembrando da equação 𝑓𝑚 𝑚𝑓𝑠 𝑁 Passo 8 Calcule o módulo e a fase de cada um dos pontos encontrados a partir da FFT Realize as alterações nas amplitudes e nos ângulos conforme a teoria estudada em sala de aula amplitudes das componentes maiores que zero aparecem multiplicadas por N2 fase aparece somada com 90 etc Passo 9 Utilizando os dados do passo anterior monte os gráficos das amplitudes e das fases nas respectivas componentes de frequência Utilize subplot para plotar ambos os gráficos na mesma janela O gráfico das amplitudes acima do gráfico das defasagens Ajuste os gráficos considerando os aspectos de simetria par e ímpar para que mostrem apenas as informações relevantes do sinal ao usuário final UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Avenida Fernando Correa da Costa Nº 2367 Boa Esperança Telefone 065 36158000 Cuiabá MT CEP 78060900 Internet httpwwwufmtbr RELATÓRIO Com relação a notas e datas a Os trabalhos devem ser realizados no máximo em trios b As notas serão concedidas de acordo com a qualidade do relatório tanto no aspecto visual formatação qualidade das figuras disposição das figuras etc quanto no aspecto relacionado ao conteúdo qualidade e profundidade tanto da porção teórica quanto na discussão dos resultados e nas conclusões c Trabalhos iguais extremamente semelhantes com parágrafos copiados figuras ou discussões dos resultados iguais terão a nota dividida por três d Para cada atividade de simulação deve ser gerado um relatório que contenha os resultados obtidos através dela Entendase resultados por formas de onda aquelas solicitadas nos enunciados das atividades É importante e essencial não apenas mostrar as formas de onda mas também discutir estes resultados Por que a forma de onda ficou assim Qual característica do circuito faz com que a saída se comporte desta forma Como relaciono esse resultado com a teoria vista e Elabore um relatório em formato PDF e entregue até o dia 14032025 f Os códigos construídos devem ser explicados no relatório em blocos linha por linha Relatorio de Processamento de Sinais Nome do Aluno Universidade Federal de Mato Grosso March 7 2025 Contents 1 Introducao 3 2 Objetivos 3 3 Metodologia 3 31 Passo 1 Criacao do Sinal 3 311 Definicao Matematica do Sinal 3 312 Implementacao no MATLAB 4 313 Explicacao do Codigo 4 314 Analise da Forma de Onda 5 32 Passo 2 Amostragem do Sinal 6 321 Teoria da Amostragem e Criterio de Nyquist 6 322 Escolha da Frequˆencia de Amostragem 6 323 Implementacao da Amostragem no MATLAB 6 324 Explicacao do Codigo 7 325 Analise dos Resultados da Amostragem 7 33 Passo 3 Comparacao entre o Sinal Original e Amostrado 8 331 Objetivo da Comparacao 8 332 Visualizacao no Domınio do Tempo 8 333 Explicacao do Codigo 9 334 Analise da Comparacao 9 34 Passo 4 Digitalizacao com 12 Bits 10 341 Fundamentos da Digitalizacao 10 342 Intervalo de Quantizacao e Resolucao 10 343 Quantizacao e Erro de Quantizacao 11 344 Implementacao no MATLAB 11 345 Explicacao do Codigo 11 1 346 Visualizacao do Processo de Digitalizacao 12 347 Analise dos Resultados da Digitalizacao 12 35 Passo 5 Reconstrucao do Sinal 13 351 Fundamentos da Reconstrucao do Sinal 13 352 Implementacao no MATLAB 13 353 Explicacao do Codigo 13 354 Visualizacao da Reconstrucao do Sinal 14 355 Analise da Reconstrucao 14 36 Passo 6 Comparacao do Sinal Original e Reconstruıdo 15 361 Objetivo da Comparacao 15 362 Visualizacao no Domınio do Tempo 15 363 Explicacao do Codigo 16 364 Analise dos Resultados 16 37 Passo 7 Aplicacao da FFT 17 371 Fundamentos da Transformada de Fourier 17 372 Objetivo da FFT no Experimento 17 373 Implementacao no MATLAB 17 374 Explicacao do Codigo 18 375 Analise do Espectro Obtido 18 38 Passo 8 Ajuste dos Valores da FFT 19 381 Correcao da Amplitude 19 382 Correcao da Fase 19 383 Implementacao no MATLAB 19 384 Explicacao do Codigo 19 385 Analise do Espectro Corrigido 20 39 Passo 9 Graficos Finais 20 391 Objetivo da Visualizacao 20 392 Implementacao no MATLAB 21 393 Explicacao do Codigo 21 394 Interpretacao dos Graficos 21 4 Conclusao 22 41 Principais Observacoes 22 42 Possıveis Melhorias 23 43 Conclusao Final 23 5 Anexos 23 51 Codigo Completo 23 6 Imagem 27 2 1 Introducao Este relatorio tem como objetivo criar um sinal composto por varias frequˆencias amostragem digitalizacao reconstrucao e aplicacao da FFT para analise es pectral 2 Objetivos O objetivo principal e aplicar tecnicas de processamento de sinais no MAT LAB analisando o comportamento do sinal original e sua reconstrucao 3 Metodologia 31 Passo 1 Criacao do Sinal O primeiro passo deste experimento consiste na construcao de um sinal composto por multiplas frequˆencias distintas O objetivo e gerar um sinal que contenha trˆes componentes senoidais cada uma com uma amplitude frequˆencia e fase especıficas O sinal gerado sera posteriormente utilizado para analise em diferentes etapas do processamento digital 311 Definicao Matematica do Sinal Matematicamente o sinal pode ser representado como a soma de trˆes sinais senoidais individuais xt A1 cos2πf1t ϕ1 A2 cos2πf2t ϕ2 A3 cos2πf3t ϕ3 Onde A1 A2 A3 sao as amplitudes dos sinais f1 f2 f3 sao as frequˆencias em Hz ϕ1 ϕ2 ϕ3 sao os deslocamentos de fase em graus t representa o tempo contınuo Para este experimento os valores escolhidos foram Componente 1 A1 10V f1 50Hz ϕ1 0 Componente 2 A2 5V f2 200Hz ϕ2 60 Componente 3 A3 75V f3 4000Hz ϕ3 45 Assim a equacao do sinal composto fica definida como xt 10 cos2π50t 5 cos2π200t 60 75 cos2π4000t 45 3 312 Implementacao no MATLAB Para a geracao deste sinal no ambiente MATLAB utilizamos um vetor de tempo discretizado e a soma das trˆes componentes senoidais A frequˆencia de amostragem escolhida foi de 100 kHz garantindo uma resolucao temporal elevada e evitando problemas de aliasing na visualizacao do sinal contınuo O codigo MATLAB abaixo implementa a geracao do sinal 1 D e f i n i o da f r e q u n c i a de amostragem e tempo de s i m u l a o 2 fs 100000 F r e q u n c i a de amostragem 100 kHz 3 T 1 Tempo total de s i m u l a o 1 segundo 4 t 01 fsT Vetor de tempo com e s p a a m e n t o de 1fs 5 6 D e f i n i o das componentes senoidais 7 V1 10 f1 50 phi1 0 50 Hz 10V fase 0 8 V2 5 f2 200 phi2 deg2rad 60 200 Hz 5V fase 60 9 V3 75 f3 4000 phi3 deg2rad 45 4000 Hz 75V fase 45 10 11 G e r a o do sinal composto 12 sinal V1 cos 2pif1t phi1 13 V2 cos 2pif2t phi2 14 V3 cos 2pif3t phi3 15 16 Plotagem do sinal 17 figure 18 plott sinal 19 xlabelTempos 20 ylabelAmplitudeV 21 titleSinalComposto D o m n i o doTempo 22 grid on 313 Explicacao do Codigo 1 Definicao dos parˆametros principais A frequˆencia de amostragem fs 100 kHz foi escolhida para garantir que todas as componentes do sinal sejam representadas corretamente sem aliasing O vetor de tempo t foi criado com um espacamento de 1fs permitindo uma alta resolucao na representacao do sinal 2 Criacao das componentes senoidais Cada senoide e gerada utilizando a funcao cos onde 2πft representa a oscilacao temporal O desloca mento de fase e convertido de graus para radianos usando deg2rad 4 3 Geracao do sinal final O sinal composto sinal e simplesmente a soma das trˆes senoides individuais 4 Visualizacao do sinal no domınio do tempo O comando plott sinal exibe o grafico da onda resultante permitindo observar as oscilacoes combinadas das trˆes frequˆencias 314 Analise da Forma de Onda A visualizacao do sinal gerado no domınio do tempo apresenta um compor tamento oscilatorio complexo resultante da superposicao das trˆes senoides Devido a grande diferenca de frequˆencias entre as componentes 50 Hz 200 Hz e 4000 Hz percebese uma variacao lenta combinada com oscilacoes rapidas de alta frequˆencia Alem disso as fases introduzem pequenos deslocamentos que afetam a soma dos sinais em determinados instantes No proximo passo realizaremos a amostragem deste sinal para convertˆelo em um formato adequado para processamento digital 5 32 Passo 2 Amostragem do Sinal Apos a geracao do sinal contınuo no passo anterior o proximo passo funda mental no processamento digital de sinais e a amostragem A amostragem consiste na conversao de um sinal contınuo em um conjunto de valores dis cretos medidos em intervalos regulares de tempo Esse processo e crucial para a posterior digitalizacao e processamento computacional 321 Teoria da Amostragem e Criterio de Nyquist Para que um sinal analogico possa ser representado corretamente no domınio digital ele deve ser amostrado de acordo com o Teorema da Amostragem de NyquistShannon Esse teorema estabelece que a frequˆencia de amostragem fs deve ser no mınimo duas vezes maior que a maior frequˆencia presente no sinal fmax fs 2fmax Caso a condicao de Nyquist nao seja atendida ocorre um fenˆomeno chamado aliasing no qual frequˆencias altas do sinal original sao distorcidas e interpretadas erroneamente no espectro amostrado 322 Escolha da Frequˆencia de Amostragem O sinal gerado no Passo 1 contem trˆes componentes de frequˆencia f1 50 Hz f2 200 Hz f3 4000 Hz maior frequˆencia presente De acordo com Nyquist a frequˆencia mınima de amostragem deve ser fs 2 4000 8000 Hz No entanto para garantir uma margem de seguranca e melhorar a pre cisao da reconstrucao do sinal utilizamos uma frequˆencia de amostragem de 10 kHz fs 10000 Hz que e 25 vezes maior que a frequˆencia mais alta Isso reduz possıveis efeitos indesejados como perdas de informacao e aliasing parcial 323 Implementacao da Amostragem no MATLAB A amostragem do sinal foi realizada definindo um novo vetor de tempo tamostrado onde os valores do sinal sao avaliados apenas em instantes dis cretos espacados por 1fs O codigo MATLAB a seguir implementa esse processo 6 1 D e f i n i o da f r e q u n c i a de amostragem 2 fsamostragem 10000 10 kHz 3 4 C r i a o do vetor de tempo amostrado 5 tamostrado 01 fsamostragemT Pontos discretos no tempo 6 7 C l c u l o do sinal amostrado nos instantes definidos 8 sinalamostrado V1 cos 2pif1tamostrado phi1 9 V2 cos 2pif2tamostrado phi2 10 V3 cos 2pif3tamostrado phi3 11 12 Plotagem do sinal amostrado 13 figure 14 stemtamostrado sinalamostrado r MarkerFaceColor r 15 xlabelTempos 16 ylabelAmplitudeV 17 titleSinalAmostrado D o m n i o Discreto 18 grid on 324 Explicacao do Codigo 1 Definicao da frequˆencia de amostragem Definimos fs 10000 Hz garantindo que o criterio de Nyquist seja atendido com seguranca O espacamento entre os pontos de amostragem e dado por 1fs 2 Criacao do vetor de tempo amostrado tamostrado 0 1fs T Define um conjunto de instantes discretos onde o sinal sera avaliado 3 Calculo do sinal amostrado O sinal contınuo e recalculado apenas nos instantes amostrados gerando uma sequˆencia de valores discretos 4 Plotagem com stem O comando stem e utilizado para mostrar os valores discretos do sinal sem conexao entre os pontos destacando a na tureza da amostragem 325 Analise dos Resultados da Amostragem A amostragem converteu o sinal contınuo em uma sequˆencia de valores dis cretos Algumas observacoes importantes A forma do sinal amostrado segue o comportamento do sinal origi nal porem com valores apenas nos instantes especıficos de amostragem Como a frequˆencia de amostragem foi suficientemente alta fs 10 kHz o sinal amostrado preserva suas principais caracterısticas permitindo uma boa reconstrucao posterior Se tivessemos escolhido uma frequˆencia de 7 amostragem mais baixa exemplo 6 kHz o efeito de aliasing poderia ocor rer distorcendo os componentes de alta frequˆencia No proximo passo realizaremos a visualizacao comparativa entre o sinal contınuo e o sinal amostrado para melhor compreensao do processo 33 Passo 3 Comparacao entre o Sinal Original e Amostrado Apos a amostragem do sinal no Passo 2 e essencial visualizar e comparar as diferencas entre o sinal contınuo original e o sinal discretizado pela amostragem Esta comparacao permite verificar se o processo de amostragem foi realizado corretamente e se a escolha da frequˆencia de amostragem foi adequada 331 Objetivo da Comparacao A superposicao dos dois sinais em um mesmo grafico possibilita analisar Se o sinal amostrado preserva as caracterısticas do sinal original Se a frequˆencia de amostragem foi suficiente para evitar aliasing Se a quantidade de amostras por ciclo e adequada para a reconstrucao posterior 332 Visualizacao no Domınio do Tempo Para comparar o sinal original e o sinal amostrado utilizamos uma visual izacao grafica em subplots onde O sinal original sera exibido na parte superior como uma curva contınua representando sua natureza analogica O sinal amostrado sera exibido na parte inferior como uma sequˆencia de pontos discretos enfatizando os instantes onde o sinal foi capturado O codigo MATLAB para essa visualizacao e apresentado a seguir 1 C o m p a r a o entre o sinal original e o sinal amostrado 2 figure 3 4 Primeiro subplot Sinal c o n t n u o original 5 subplot 211 6 plott sinal b LineWidth 15 7 titleSinalOriginal C o n t n u o 8 xlabelTempos 9 ylabelAmplitudeV 10 grid on 8 11 12 Segundo subplot Sinal discretizado pela amostragem 13 subplot 212 14 stemtamostrado sinalamostrado r MarkerFaceColor r 15 titleSinalAmostradoDiscreto 16 xlabelTempos 17 ylabelAmplitudeV 18 grid on 333 Explicacao do Codigo 1 Criacao de uma nova figura figure Permite exibir os graficos de comparacao em uma janela separada 2 Uso do subplot211 para o sinal original Exibe o sinal contınuo utilizando plot com uma linha azul e largura de 15 para melhor visualizacao 3 Uso do subplot212 para o sinal amostrado Exibe os valores discretos utilizando stem com pontos vermelhos preenchidos destacando os momentos de amostragem 4 Configuracao das legendas rotulos e grades Os eixos sao rotulados com xlabel e ylabel grid on melhora a visualizacao dos pontos discretos 334 Analise da Comparacao A observacao do grafico gerado nos permite tirar algumas conclusoes impor tantes O sinal amostrado segue a tendˆencia do sinal original confirmando que a amostragem foi realizada corretamente Como a frequˆencia de amostragem fs 10kHz e bem superior a maior frequˆencia presente no sinal fmax 4kHz cada ciclo do sinal contem varias amostras permitindo uma representacao precisa O sinal de 50Hz e 200Hz apresenta uma amostragem suave e bem dis tribuıda ao longo do tempo O sinal de 4kHz possui menos pontos por ciclo mas ainda assim a amostragem esta dentro dos limites estabelecidos pelo teorema de Nyquist Se a frequˆencia de amostragem fosse reduzida por exemplo para 6 kHz o efeito de aliasing poderia ocorrer causando distorcao nas altas frequˆencias 9 34 Passo 4 Digitalizacao com 12 Bits Apos a amostragem realizada no Passo 2 onde o sinal contınuo foi convertido em uma sequˆencia de valores discretos ao longo do tempo o proximo passo e a digitalizacao Esse processo transforma cada valor amostrado em um codigo binario possibilitando o armazenamento e processamento digital do sinal Esse procedimento e realizado por um Conversor AnalogicoDigital ADC Analog to Digital Converter 341 Fundamentos da Digitalizacao A digitalizacao consiste em representar cada amostra do sinal por um numero finito de nıveis discretos restringindo sua resolucao a um determinado numero de bits O numero de nıveis disponıveis e determinado pela resolucao do con versor ou numero de bits conforme a equacao Nnıveis 2nbits Onde nbits e a quantidade de bits do conversor neste caso 12 bits Nnıveis representa o numero total de nıveis disponıveis para quantizacao Com nbits 12 temos Nnıveis 212 4096 Isso significa que cada amostra do sinal sera mapeada para um dos 4096 valores possıveis 342 Intervalo de Quantizacao e Resolucao A conversao AD e limitada por uma tensao maxima Vmax e uma tensao mınima Vmin O intervalo total de quantizacao e definido como Vref Vmax Vmin Cada nıvel de quantizacao corresponde a um incremento mınimo de tensao denominado resolucao do conversor V calculado por V Vref Nnıveis 1 10 Para este experimento assumimos os seguintes valores Tensao maxima Vmax 10V Tensao mınima Vmin 10V Referˆencia total Vref 10V 10V 20V Resolucao do ADC V 20V 4095 488mV Isso significa que cada nıvel digital representa um passo de aproximada mente 488mV na escala do sinal analogico 343 Quantizacao e Erro de Quantizacao A digitalizacao envolve um processo de quantizacao onde cada amostra do sinal e arredondada para o nıvel discreto mais proximo dentro dos 4096 valores possıveis Esse arredondamento introduz um erro de quantizacao definido como Eq xquantizado xreal Esse erro ocorre porque a conversao nao consegue representar valores entre dois nıveis adjacentes O erro maximo de quantizacao e dado por Eqmax V 2 244mV 344 Implementacao no MATLAB O codigo MATLAB abaixo implementa a digitalizacao do sinal utilizando um ADC de 12 bits 1 D e f i n i o dos p a r m e t r o s do conversor AD 2 nbits 12 R e s o l u o do ADC 12 bits 3 nlevels 2 nbits N m e r o total de n v e i s de q u a n t i z a o 4 Vmax 10 T e n s o m x i m a do sinal 5 Vmin 10 T e n s o m n i m a do sinal 6 7 D i g i t a l i z a o do sinal q u a n t i z a o 8 sinaldigitalizado round sinalamostrado Vmin Vmax Vmin nlevels 1 345 Explicacao do Codigo 1 Definicao da resolucao do ADC nbits 12 Definicao de um ADC de 12 bits Nnıveis 212 4096 Numero total de nıveis de quantizacao 11 2 Definicao dos limites de tensao Definimos Vmax 10V e Vmin 10V garantindo que o sinal fique dentro da faixa utilizavel do conversor 3 Conversao dos valores para nıveis digitais Normalizamos o sinal amostrado dentro do intervalo 0 4095 Utilizamos round para arredondar os valores para os nıveis discretos mais proximos 346 Visualizacao do Processo de Digitalizacao Para visualizar o efeito da digitalizacao o seguinte codigo MATLAB e uti lizado 1 Plotagem do sinal original amostrado 2 figure 3 subplot 211 4 stemtamostrado sinalamostrado b MarkerFaceColor b 5 titleSinalAmostrado A n a l g i c o 6 xlabelTempos 7 ylabelAmplitudeV 8 grid on 9 10 Plotagem do sinal digitalizado 11 subplot 212 12 stairstamostrado sinaldigitalizado r 13 titleSinalDigitalizado12bits 14 xlabelTempos 15 ylabel C d i g o Digital 16 grid on No grafico gerado O sinal amostrado superior ainda apresenta valores contınuos O sinal digitalizado inferior exibe nıveis discretos represen tando os codigos digitais gerados pelo ADC 347 Analise dos Resultados da Digitalizacao Os graficos obtidos permitem observar os seguintes aspectos O sinal digitalizado mantem a forma geral do sinal original porem agora representado por nıveis discretos Como utilizamos um ADC de 12 bits a digitalizacao e bastante precisa reduzindo o erro de quantizacao Se fosse utilizado um ADC de menor resolucao por exemplo 8 bits haveria uma maior perda de detalhes e o erro de quantizacao seria mais significativo 12 Como a resolução do ADC é 488mV todas as amostras são arredondadas para múltiplos desse valor Passo 5 Reconstrução do Sinal Após a digitalização realizada no Passo 4 onde cada amostra do sinal foi convertida para um valor digital discreto o próximo passo é a reconstrução do sinal Essa etapa é essencial para avaliar a fidelidade da conversão AD comparando o sinal reconstruído com o sinal original A reconstrução é realizada aplicando o processo inverso à quantização convertendo os valores digitais de volta para uma escala analógica 351 Fundamentos da Reconstrução do Sinal A reconstrução do sinal consiste em transformar os valores digitais armazenados de volta para seus correspondentes níveis de tensão no domínio analógico Isso é feito utilizando a seguinte equação Vreconstruído Vmin Vdigitalizado Vmax Vmin Nníveis 1 Onde Vdigitalizado representa os valores discretos obtidos na digitalização Nníveis 2nbits é o número total de níveis do conversor 4096 para um ADC de 12 bits Vmin e Vmax definem a faixa de tensão do sinal original Esse processo é necessário para converter os valores quantizados de volta à escala original de tensão permitindo comparar o sinal original com o sinal reconstruído e avaliar possíveis perdas devido à quantização 352 Implementação no MATLAB A reconstrução do sinal digitalizado pode ser implementada no MATLAB conforme o código abaixo Reconstru o do sinal a partir dos valores digitalizados sinalreconstruido Vmin sinaldigitalizado Vmax Vmin nlevels 1 353 Explicação do Código 1 Conversão dos valores digitais de volta para a escala de tensão original O termo Vmin sinaldigitalizado Vmax Vmin Nníveis 1 realiza a desnormalização dos valores digitalizados Multiplicamos os valores quantizados pela resolução do ADC ΔV para restaurar os valores analógicos 2 Correcao da faixa de valores Como sinaldigitalizado esta em um inter valo discreto entre 0 e 4095 e necessario escalalo de volta ao intervalo real de 10V a 10V 354 Visualizacao da Reconstrucao do Sinal Para analisar a fidelidade da reconstrucao utilizamos o seguinte codigo para plotar o sinal original o sinal digitalizado e o sinal reconstruıdo 1 C o m p a r a o entre os sinais original digitalizado e r e c o n s t r u d o 2 figure 3 hold on 4 plott sinal b LineWidth 15 Sinal original 5 stemtamostrado sinaldigitalizado r MarkerFaceColor r Sinal digitalizado 6 plottamostrado sinalreconstruido g LineWidth 15 Sinal r e c o n s t r u d o 7 8 title C o m p a r a o entreSinalOriginal Digitalizadoe R e c o n s t r u d o 9 xlabelTempos 10 ylabelAmplitudeV 11 legendSinalOriginal SinalDigitalizado Sinal R e c o n s t r u d o 12 grid on 13 hold off 355 Analise da Reconstrucao A reconstrucao do sinal a partir dos valores digitalizados nao e perfeita pois ha perdas devido ao erro de quantizacao Algumas observacoes importantes O sinal reconstruıdo segue o comportamento do sinal original pois a quantizacao manteve uma boa precisao Pequenas discretizacoes na amplitude sao perceptıveis especialmente em variacoes suaves do sinal devido a limitacao da resolucao de 12 bits O erro de reconstrucao e limitado pelo erro de quantizacao maximo 244mV Se tivessemos utilizado um ADC de menor resolucao exemplo 8 bits o sinal reconstruıdo apresentaria degraus mais evidentes aumentando a perda de fidelidade 14 O aumento da resolucao do conversor exemplo ADC de 16 bits diminuiria os degraus tornando a reconstrucao mais fiel ao sinal origi nal 36 Passo 6 Comparacao do Sinal Original e Recon struıdo Apos a reconstrucao do sinal digitalizado no Passo 5 e necessario comparalo com o sinal original para verificar o impacto da digitalizacao e quantizacao Esse procedimento permite analisar a fidelidade da conversao AD avaliando possıveis perdas e distorcoes introduzidas pelo processo 361 Objetivo da Comparacao A principal meta dessa comparacao e identificar Se o sinal reconstruıdo mantem a forma geral do sinal original Se existem distorcoes perceptıveis devido ao erro de quantizacao Se a resolucao de 12 bits foi suficiente para representar o sinal de forma fiel O impacto da limitacao nos nıveis de quantizacao no comportamento da onda reconstruıda 362 Visualizacao no Domınio do Tempo Para realizar a comparacao plotamos o sinal original e o sinal reconstruıdo no mesmo grafico utilizando cores distintas para facilitar a analise visual O codigo MATLAB a seguir implementa essa visualizacao 1 C o m p a r a o entre o sinal original e o sinal r e c o n s t r u d o 2 figure 3 hold on 4 5 Plotando o sinal original linha azul c o n t n u a 6 plott sinal b LineWidth 15 7 8 Plotando o sinal r e c o n s t r u d o linha vermelha pontilhada 9 plottamostrado sinalreconstruido r LineWidth 15 10 11 C o n f i g u r a o do g r f i c o 12 title C o m p a r a o doSinalOriginale R e c o n s t r u d o 15 13 xlabelTempos 14 ylabelAmplitudeV 15 legendOriginal R e c o n s t r u d o 16 grid on 17 hold off 363 Explicacao do Codigo 1 Criacao de uma nova figura figure Permite exibir os graficos em uma nova janela 2 Uso do hold on Permite sobrepor os dois sinais na mesma figura 3 Plotagem do sinal original Representado como uma linha azul contınua b Utiliza uma espessura de 15 LineWidth 15 para melhor visualizacao 4 Plotagem do sinal reconstruıdo Representado como uma linha ver melha pontilhada r Essa escolha facilita a distincao entre o sinal original e o reconstruıdo 5 Adicao de legendas e rotulos xlabel e ylabel identificam os eixos legend adiciona a legenda para diferenciar os sinais grid on melhora a legibilidade do grafico 364 Analise dos Resultados Ao analisar o grafico gerado algumas observacoes importantes podem ser feitas O sinal reconstruıdo segue o comportamento do sinal original confir mando que a conversao AD foi realizada corretamente Pequenas distorcoes na amplitude podem ser observadas principal mente em regioes de transicao devido ao erro de quantizacao Como a resolucao do ADC e de 12 bits os valores reconstruıdos apre sentam degraus discretos mas a aproximacao ao sinal contınuo ainda e bastante precisa O erro de quantizacao tem impacto maior nas partes suaves do sinal onde pequenas variacoes na amplitude sao arredondadas para o nıvel mais proximo O uso de um ADC com mais bits exemplo 16 bits reduziria essas imperfeicoes tornando a reconstrucao ainda mais precisa 16 Se tivéssemos utilizado um ADC de menor resolução exemplo 8 bits os efeitos da quantização seriam mais perceptíveis aumentando a diferença entre o sinal original e reconstruído 37 Passo 7 Aplicação da FFT Após a reconstrução do sinal o próximo passo consiste em analisar suas componentes espectrais utilizando a Transformada Rápida de Fourier FFT Fast Fourier Transform A FFT é uma técnica fundamental para converter um sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência permitindo identificar as frequências que compõem o sinal reconstruído 371 Fundamentos da Transformada de Fourier A Transformada de Fourier contínua é definida matematicamente como Xf from to xtej2πft dt Entretanto como estamos lidando com um sinal discreto utilizamos a versão discreta conhecida como Transformada Discreta de Fourier DFT que é definida como Xk Σ from n0 to N1 xnej2πknN k0 1 2 N1 A DFT requer um tempo computacional significativo especialmente para sinais longos Para otimizar esse cálculo utilizamos a Transformada Rápida de Fourier FFT que reduz o tempo de processamento de ON² para ON log N 372 Objetivo da FFT no Experimento Aplicamos a FFT no sinal reconstruído para verificar se suas frequências principais ainda estão presentes e para identificar possíveis distorções espectrais causadas pela digitalização 373 Implementação no MATLAB O código MATLAB abaixo aplica a FFT ao sinal reconstruído Defini o do n mero de pontos da FFT N 2nextpow2lengthsinalreconstruido Ajusta N para ser pot ncia de 2 3 4 C l c u l o da FFT do sinal r e c o n s t r u d o 5 fftsinal fftsinalreconstruido N 6 7 C l c u l o do eixo de f r e q u n c i a 8 frequencias 0N21 fsamostragem N 9 10 C l c u l o do m d u l o e fase da FFT 11 modulofft absfftsinal 1N2 N2 12 fasefft anglefftsinal 1N2 180 pi Convertendo para graus 374 Explicacao do Codigo 1 Definicao do tamanho da FFT O numero de pontos N e ajustado para a proxima potˆencia de 2 nextpow2 otimizando o desempenho da FFT 2 Calculo da FFT O comando fftsinalreconstruido NcalculaaTransformadadeFourierdosinalreconstruıdo 3 Definicao do eixo de frequˆencias As frequˆencias associadas aos coe ficientes da FFT sao calculadas por fm mfs N m 0 1 2 N 2 1 Isso nos da apenas a metade positiva do espectro 0 ate fs2 pois a FFT e simetrica 4 Calculo do modulo e da fase O modulo da FFT representa a intensi dade de cada frequˆencia no sinal A fase da FFT representa o deslocamento de fase de cada componente de frequˆencia 375 Analise do Espectro Obtido Ao visualizar o espectro da FFT devemos encontrar trˆes picos principais nas frequˆencias esperadas 50 Hz componente de 10V 200 Hz componente de 5V 4 kHz componente de 75V Se houver frequˆencias adicionais ou picos inesperados isso pode indicar artefatos de quantizacao ruıdo introduzido pelo processo de digitalizacao ou distorcoes devido ao erro de reconstrucao 18 38 Passo 8 Ajuste dos Valores da FFT Os valores obtidos na FFT devem ser corrigidos para que os modulos e fases correspondam as amplitudes reais das componentes senoidais do sinal origi nal 381 Correcao da Amplitude Na FFT os valores de amplitude sao escalados pelo numero de pontos N Portanto e necessario normalizar a amplitude real dividindo pelo tamanho da FFT e multiplicando por 2 Acorrigido 2 N modulo da FFT 382 Correcao da Fase A fase da FFT sofre um deslocamento de 90 devido a convencao de repre sentacao de Fourier em sinais discretos Assim ajustamos a fase da seguinte maneira ϕcorrigido ϕFFT 90 Alem disso e necessario garantir que os valores da fase fiquem no intervalo adequado ϕcorrigido mod ϕcorrigido 360 383 Implementacao no MATLAB 1 C o r r e o da Amplitude 2 modulofftcorrigido 2N absfftsinal 1N2 3 4 C o r r e o da Fase 5 fasefftcorrigida modanglefftsinal 1N2 180 pi 90 360 6 fasefftcorrigida fasefftcorrigida 180 fasefftcorrigida fasefftcorrigida 180 360 384 Explicacao do Codigo 1 Correcao da Amplitude Multiplicamos o modulo da FFT por 2 e di vidimos pelo numero total de pontos N para normalizar corretamente 2 Correcao da Fase Adicionamos 90 para corrigir o deslocamento da FFT Ajustamos os valores no intervalo 180 180 usando mod 19 385 Analise do Espectro Corrigido Apos a correcao os valores de amplitude e fase devem refletir os valores esperados das componentes do sinal original Amplitude esperada 50 Hz 10V 200 Hz 5V 4 kHz 75V Fases esperadas 50 Hz 0 200 Hz 60 4 kHz 45 Se houver desvios nos valores de amplitude ou fase isso pode indicar Erros na digitalizacao e reconstrucao Artefatos de quantizacao Distorcoes devido a aliasing ou efeitos numericos 39 Passo 9 Graficos Finais Apos a aplicacao da Transformada Rapida de Fourier FFT e o ajuste dos valores de amplitude e fase geramos os graficos finais que representam a distribuicao espectral do sinal reconstruıdo Esses graficos sao essenciais para visualizar e interpretar as componentes de frequˆencia do sinal permitindo verificar se o processo de digitalizacao e reconstrucao preservou corretamente as informacoes originais 391 Objetivo da Visualizacao Os graficos finais exibem Espectro de Amplitude Mostra os nıveis de intensidade das compo nentes de frequˆencia presentes no sinal reconstruıdo Espectro de Fase Indica os deslocamentos de fase correspondentes a cada frequˆencia identificada no espectro 20 392 Implementacao no MATLAB O seguinte codigo MATLAB gera os graficos finais da analise espectral 1 Criar figura para e x i b i o dos g r f i c o s finais 2 figure 3 4 G r f i c o do Espectro de Amplitude 5 subplot 211 6 stemfrequencias modulofftcorrigido b MarkerFaceColor b 7 titleEspectrodeAmplitude 8 xlabel F r e q u n c i a Hz 9 ylabelMagnitude 10 grid on 11 12 G r f i c o do Espectro de Fase 13 subplot 212 14 stemfrequencias fasefftcorrigida r MarkerFaceColor r 15 titleEspectrodeFase 16 xlabel F r e q u n c i a Hz 17 ylabelFasegraus 18 grid on 393 Explicacao do Codigo 1 Criamos uma nova figura figure Permite exibir os graficos de ampli tude e fase em uma unica janela 2 Geramos o grafico do Espectro de Amplitude Utilizamos stem para destacar os valores discretos das frequˆencias detectadas A cor azul b facilita a distincao do grafico xlabel e ylabel rotulam os eixos para melhor interpretacao 3 Geramos o grafico do Espectro de Fase Utilizamos stem com cor vermelha r para representar os deslocamentos de fase O eixo das fases esta em graus para facilitar a compreensao 4 Ativamos a grade grid on Facilita a leitura dos valores no grafico 394 Interpretacao dos Graficos Apos a geracao dos graficos analisamos as seguintes caracterısticas O espectro de amplitude apresenta picos visıveis nas frequˆencias esper adas 50 Hz 200 Hz e 4 kHz confirmando que o sinal reconstruıdo preservou as componentes do sinal original 21 O espectro de fase exibe os deslocamentos esperados para cada frequˆencia identificada Caso aparecam componentes espectrais inesperadas isso pode indicar Introducao de ruıdo no processo de digitalizacao Erros de quantizacao que geraram distorcoes no sinal Artefatos numericos no calculo da FFT Se a amplitude das componentes principais for reduzida pode ter ocor rido perda de energia no processo de reconstrucao Se as fases nao corresponderem aos valores teoricos esperados pode ter ocorrido distorcao na reconstrucao do sinal 4 Conclusao O experimento permitiu analisar todo o processo de conversao de um sinal analogico para digital e sua posterior reconstrucao abordando desde a criacao do sinal composto ate sua analise espectral no domınio da frequˆencia 41 Principais Observacoes O sinal amostrado preservou suas principais caracterısticas pois a frequˆencia de amostragem escolhida fs 10 kHz foi suficiente para evitar aliasing A digitalizacao com um ADC de 12 bits introduziu pequenas distorcoes devido ao erro de quantizacao mas manteve uma boa precisao na re construcao do sinal A reconstrucao do sinal foi bemsucedida com o sinal reconstruıdo apresentando boa similaridade com o sinal original A aplicacao da FFT no sinal reconstruıdo confirmou que as compo nentes de frequˆencia originais foram preservadas com picos nıtidos em 50 Hz 200 Hz e 4 kHz Pequenas diferencas na fase das componentes espectrais foram obser vadas o que pode indicar efeitos da quantizacao e discretizacao do sinal 22 42 Possıveis Melhorias Para obter uma reconstrucao ainda mais fiel ao sinal original algumas mel horias poderiam ser implementadas Aumento da resolucao do ADC Utilizar um conversor com 16 bits ou mais reduziria o erro de quantizacao tornando o sinal digital mais proximo do original Uso de tecnicas de interpolacao na reconstrucao Metodos como inter polacao de sinc poderiam melhorar a suavidade do sinal reconstruıdo Filtragem do sinal apos a digitalizacao Aplicacao de filtros passa baixa poderia reduzir ruıdos e artefatos introduzidos no processo de quantizacao 43 Conclusao Final A experiˆencia realizada demonstrou a importˆancia do correto processo de amostragem digitalizacao e reconstrucao de sinais reforcando os conceitos fundamentais do Processamento de Sinais O uso da Transformada Rapida de Fourier FFT permitiu validar a preservacao das componentes espectrais e identificar eventuais distorcoes no sinal processado Dessa forma foi possıvel compreender os desafios e limitacoes envolvidos na conversao de sinais para o formato digital e as tecnicas que podem ser aplicadas para minimizar perdas e distorcoes no processo 5 Anexos 51 Codigo Completo O codigo MATLAB a seguir implementa todas as etapas do processamento do sinal incluindo criacao amostragem digitalizacao reconstrucao e analise espectral com FFT 1 PASSO 1 C R I A O DO SINAL COMPOSTO 2 3 D e f i n i o da f r e q u n c i a de amostragem e tempo de s i m u l a o 4 fs 100000 F r e q u n c i a de amostragem 100 kHz 5 T 1 Tempo total de s i m u l a o 1 segundo 6 t 01 fsT Vetor de tempo com e s p a a m e n t o de 1fs 7 8 D e f i n i o das componentes senoidais 23 9 V1 10 f1 50 phi1 0 50 Hz 10V fase 0 10 V2 5 f2 200 phi2 deg2rad 60 200 Hz 5V fase 60 11 V3 75 f3 4000 phi3 deg2rad 45 4000 Hz 75V fase 45 12 13 G e r a o do sinal composto 14 sinal V1 cos 2pif1t phi1 15 V2 cos 2pif2t phi2 16 V3 cos 2pif3t phi3 17 18 Plotagem do sinal original no d o m n i o do tempo 19 figure 20 plott sinal b 21 xlabelTempos 22 ylabelAmplitudeV 23 titleSinalComposto D o m n i o doTempo 24 grid on 25 26 PASSO 2 AMOSTRAGEM DO SINAL 27 28 D e f i n i o da f r e q u n c i a de amostragem 29 fsamostragem 10000 10 kHz 30 31 C r i a o do vetor de tempo amostrado 32 tamostrado 01 fsamostragemT Pontos discretos no tempo 33 34 C l c u l o do sinal amostrado nos instantes definidos 35 sinalamostrado V1 cos 2pif1tamostrado phi1 36 V2 cos 2pif2tamostrado phi2 37 V3 cos 2pif3tamostrado phi3 38 39 C o m p a r a o do sinal original e amostrado 40 figure 41 subplot 211 42 plott sinal b LineWidth 15 43 titleSinalOriginal C o n t n u o 44 xlabelTempos 45 ylabelAmplitudeV 46 grid on 47 48 subplot 212 49 stemtamostrado sinalamostrado r MarkerFaceColor r 50 titleSinalAmostradoDiscreto 51 xlabelTempos 52 ylabelAmplitudeV 24 53 grid on 54 55 PASSO 3 D I G I T A L I Z A O COM 12 BITS 56 57 D e f i n i o dos p a r m e t r o s do conversor AD 58 nbits 12 R e s o l u o do ADC 12 bits 59 nlevels 2 nbits N m e r o total de n v e i s de q u a n t i z a o 60 Vmax 10 T e n s o m x i m a do sinal 61 Vmin 10 T e n s o m n i m a do sinal 62 63 D i g i t a l i z a o do sinal q u a n t i z a o 64 sinaldigitalizado round sinalamostrado Vmin Vmax Vmin nlevels 1 65 66 Plotagem do sinal digitalizado 67 figure 68 subplot 211 69 stemtamostrado sinalamostrado b MarkerFaceColor b 70 titleSinalAmostrado A n a l g i c o 71 xlabelTempos 72 ylabelAmplitudeV 73 grid on 74 75 subplot 212 76 stairstamostrado sinaldigitalizado r 77 titleSinalDigitalizado12bits 78 xlabelTempos 79 ylabel C d i g o Digital 80 grid on 81 82 PASSO 4 R E C O N S T R U O DO SINAL 83 84 R e c o n s t r u o do sinal a partir dos valores digitalizados 85 sinalreconstruido Vmin sinaldigitalizado Vmax Vmin nlevels 1 86 87 C o m p a r a o do sinal original e r e c o n s t r u d o 88 figure 89 hold on 90 plott sinal b LineWidth 15 Sinal original 91 plottamostrado sinalreconstruido r LineWidth 15 Sinal r e c o n s t r u d o 92 title C o m p a r a o doSinalOriginale R e c o n s t r u d o 93 xlabelTempos 94 ylabelAmplitudeV 95 legendOriginal R e c o n s t r u d o 96 grid on 25 97 hold off 98 99 PASSO 5 A P L I C A O DA FFT 100 101 D e f i n i o do n m e r o de pontos da FFT 102 N 2 nextpow2length sinalreconstruido Ajusta N para ser p o t n c i a de 2 103 104 C l c u l o da FFT do sinal r e c o n s t r u d o 105 fftsinal fftsinalreconstruido N 106 107 C l c u l o do eixo de f r e q u n c i a 108 frequencias 0N21 fsamostragem N 109 110 C l c u l o do m d u l o e fase da FFT 111 modulofft absfftsinal 1N2 N2 112 fasefft anglefftsinal 1N2 180 pi Convertendo para graus 113 114 PASSO 6 AJUSTE DA FFT 115 116 C o r r e o da Amplitude 117 modulofftcorrigido 2N absfftsinal 1N2 118 119 C o r r e o da Fase 120 fasefftcorrigida modanglefftsinal 1N2 180 pi 90 360 121 fasefftcorrigida fasefftcorrigida 180 fasefftcorrigida fasefftcorrigida 180 360 122 123 PASSO 7 G R F I C O S FINAIS 124 125 Criar figura para e x i b i o dos g r f i c o s finais 126 figure 127 128 G r f i c o do Espectro de Amplitude 129 subplot 211 130 stemfrequencias modulofftcorrigido b MarkerFaceColor b 131 titleEspectrodeAmplitude 132 xlabel F r e q u n c i a Hz 133 ylabelMagnitude 134 grid on 135 136 G r f i c o do Espectro de Fase 137 subplot 212 138 stemfrequencias fasefftcorrigida r MarkerFaceColor r 139 titleEspectrodeFase 26 140 xlabel F r e q u n c i a Hz 141 ylabelFasegraus 142 grid on 6 Imagem 27