Trabalho de Processamento de Sinais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Avenida Fernando Correa da Costa Nº 2367 Boa Esperança Telefone 065 36158000 Cuiabá MT CEP 78060900 Internet httpwwwufmtbr Quantização codificação reconstrução do sinal e aplicação da FFT Professor Rafael Zamodzki Disciplina Processamento de Sinais Curso Engenharia de Controle e AutomaçãoEngenharia de Computação Objetivo Criar um sinal com várias componentes de frequência amostrálo digitaliza lo reconstruílo e aplicar a FFT no sinal reconstruído para verificar os valores de amplitude e fase em cada componente de frequência Todo o procedimento deve ser realizado no ambiente Script do MATLAB Passo 1 Crie um sinal com as seguintes componentes a V 10 V f 50 Hz b V 5 V f 200 Hz ϕ 60 c V 75 V f 4 kHz ϕ 45 Passo 2 Amostre este sinal utilizando frequência de amostragem adequada Passo 3 Plote o sinal original e o sinal amostrado em apenas uma janela usando subplot Passo 4 Realize a digitalização do sinal usando um conversor AD de 12 bits conforme exercício realizado em sala de aula verifique a amplitude máxima que o sinal atinge para definir o valor da tensão de referência a ser usado Passo 5 Após a digitalização reconstrua o sinal usando também 12 bits Passo 6 Plote o sinal original e o sinal reconstruído na mesma figura use hold on para realizar a comparação entre as formas de onda Passo 7 Usando a função fft do MATLAB verifique a sintaxe no help calcule um número adequado de pontos lembrando da equação 𝑓𝑚 𝑚𝑓𝑠 𝑁 Passo 8 Calcule o módulo e a fase de cada um dos pontos encontrados a partir da FFT Realize as alterações nas amplitudes e nos ângulos conforme a teoria estudada em sala de aula amplitudes das componentes maiores que zero aparecem multiplicadas por N2 fase aparece somada com 90 etc Passo 9 Utilizando os dados do passo anterior monte os gráficos das amplitudes e das fases nas respectivas componentes de frequência Utilize subplot para plotar ambos os gráficos na mesma janela O gráfico das amplitudes acima do gráfico das defasagens Ajuste os gráficos considerando os aspectos de simetria par e ímpar para que mostrem apenas as informações relevantes do sinal ao usuário final UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Avenida Fernando Correa da Costa Nº 2367 Boa Esperança Telefone 065 36158000 Cuiabá MT CEP 78060900 Internet httpwwwufmtbr RELATÓRIO Com relação a notas e datas a Os trabalhos devem ser realizados no máximo em trios b As notas serão concedidas de acordo com a qualidade do relatório tanto no aspecto visual formatação qualidade das figuras disposição das figuras etc quanto no aspecto relacionado ao conteúdo qualidade e profundidade tanto da porção teórica quanto na discussão dos resultados e nas conclusões c Trabalhos iguais extremamente semelhantes com parágrafos copiados figuras ou discussões dos resultados iguais terão a nota dividida por três d Para cada atividade de simulação deve ser gerado um relatório que contenha os resultados obtidos através dela Entendase resultados por formas de onda aquelas solicitadas nos enunciados das atividades É importante e essencial não apenas mostrar as formas de onda mas também discutir estes resultados Por que a forma de onda ficou assim Qual característica do circuito faz com que a saída se comporte desta forma Como relaciono esse resultado com a teoria vista e Elabore um relatório em formato PDF e entregue até o dia 14032025 f Os códigos construídos devem ser explicados no relatório em blocos linha por linha Trabalho Modelagem Digitalizacao e Analise via FFT de um Sinal Composto 9 de marco de 2025 Sumario 1 Modelagem do Sinal e Calculos Analıticos 2 11 Definicao do Sinal 2 12 Criterio de Amostragem 3 13 Digitalizacao com Conversor AD de 12 bits 3 14 Analise via FFT 4 2 Discussao dos Resultados 5 21 Analise do Sinal e Amostragem 5 22 Digitalizacao e Reconstrucao 5 23 Analise via FFT 5 3 Consideracoes Finais 6 1 1 Modelagem do Sinal e Cálculos Analíticos 11 Definição do Sinal O sinal xt é definido como a soma de três componentes senoidais xt x1t x2t x3t onde Componente a x1t 10 sin 2π 50 t Amplitude 10 V Frequência 50 Hz Fase 0 fase zero Componente b x2t 5 sin 2π 200 t φ2 Amplitude 5 V Frequência 200 Hz Ângulo de fase 60 Convertendo 60 para radianos φ2 60 60 π180 π3 radianos Componente c x3t 75 sin 2π 4000 t φ3 Amplitude 75 V Frequência 4000 Hz 4 kHz Ângulo de fase 45 Convertendo 45 para radianos φ3 45 45 π180 π4 radianos Portanto o sinal total é expresso por xt 10 sin 2π 50 t 5 sin 2π 200 t π3 75 sin 2π 4000 t π4 12 Critério de Amostragem Segundo o Teorema de Nyquist para evitar o aliasing a frequência de amostragem fs deve ser no mínimo o dobro da maior frequência presente no sinal A maior frequência do sinal é de 4000 Hz Assim o mínimo necessário é fsmin 2 4000 8000 Hz Para obter uma melhor resolução e garantir margem optase por fs 50 000 Hz O período de amostragem Ts é dado por Ts 1fs 150000 20 μs 13 Digitalização com Conversor AD de 12 bits Um conversor analógicodigital AD de 12 bits possui Níveis de quantização 212 4096 Determinação do Vref e do incremento por nível ΔV Definese Vref 10 V para a faixa de tensão a ser quantizada Mesmo que o sinal contenha componentes com amplitudes de 10 V 5 V e 75 V o sinal xt pode variar entre valores negativos e positivos Para ajustar o sinal à faixa do conversor deslocase o sinal para a faixa Vref2 Vref2 O incremento de tensão por nível é ΔV Vref4096 104096 000244 V Mapeamento do sinal A quantização é realizada utilizando a seguinte expressão xdig roundx Vref2 ΔV ΔV Vref2 Essa fórmula realiza os seguintes passos 1 Desloca x para uma faixa positiva somando Vref2 2 Divide pelo incremento ΔV para obter o número do nível 3 Arredonda para o inteiro mais próximo simulando a quantização 4 Reconverte para a escala de tensão original deslocando de volta 14 Análise via FFT Após a digitalização e reconstrução do sinal a Transformada Rápida de Fourier FFT é aplicada Se xrec representa o sinal reconstruído e N é o número de pontos tamanho do vetor de tempo temos 1 Cálculo da FFT Xk FFTxrect k 01N1 2 Construção do eixo de frequências fk k fs N k 01N1 3 Correção das Amplitudes Devido à simetria da FFT para sinais reais o componente DC k 0 não é duplicado enquanto as demais componentes positivas de k 1 até N2 devem ser multiplicadas por 2 para refletir a energia total do sinal Xmagk XkN if k0 2XkN if k1N2 4 Ajuste das Fases Para alinhar as fases conforme a teoria levando em conta possíveis deslocamentos introduzidos pelo processamento é aplicado um ajuste de 90 ou π2 radianos θk Xk π2 Esses passos permitem identificar claramente os picos de amplitude nas frequências de 50 Hz 200 Hz e 4000 Hz além de exibir as fases associadas a cada componente 2 Discussão dos Resultados 21 Análise do Sinal e Amostragem Sinal Original O sinal xt é composto por três senóides com frequências distintas 50 Hz 200 Hz e 4000 Hz Cada componente possui amplitude e fase bem definidas Critério de Amostragem Com fs 50 kHz muito acima do mínimo de 8000 Hz evitase o aliasing e garantese alta resolução com um intervalo de amostragem de 20 μs 22 Digitalização e Reconstrução Digitalização Utilizase 4096 níveis 12 bits com Vref 10 V resultando em um incremento por nível de aproximadamente ΔV 000244 V A expressão aplicada ajusta o sinal para a faixa Vref2 Vref2 e simula os erros de quantização Reconstrução O sinal reconstruído xrec é obtido a partir dos valores quantizados preservando a forma geral do sinal original embora com pequenas imprecisões decorrentes da quantização 23 Análise via FFT Cálculo da FFT A FFT aplicada ao sinal reconstruído revela os picos de frequência O eixo de frequência é construído pela relação fk k fs N k 01N1 Correção das Amplitudes Após a normalização por N os componentes exceto o DC são multiplicados por 2 para considerar a energia dos espectros negativos evidenciando os picos nas frequências de 50 Hz 200 Hz e 4000 Hz Ajuste das Fases A subtracao de π 2 ou 90 nas fases calculadas corrige eventuais deslo camentos introduzidos pelo processamento alinhando as fases com os valores teoricos 3 Consideracoes Finais De forma completa demonstramos os seguintes pontos 1 Criacao do Sinal A modelagem analıtica gerou um sinal composto por trˆes senoides com amplitudes frequˆencias e fases definidas rigorosamente 2 Criterio de Amostragem A escolha de fs 50 kHz assegura a integridade do sinal e evita o aliasing com um perıodo de amostragem de 20 µs 3 Digitalizacao e Reconstrucao A quantizacao utilizando um conversor AD de 12 bits foi detalhada mente explicada desde o calculo do incremento por nıvel ate o mape amento do sinal na faixa adequada 4 Analise via FFT A aplicacao da FFT com a devida correcao das amplitudes e ajuste das fases permitiu identificar claramente as componentes espectrais do sinal validando os calculos teoricos 6