Lista de Exercícios Resolvidos - Física III UFMT - Potencial Elétrico e Distribuição de Cargas

Faculdade de Engenharia UFMT Campus Várzea Grande Física III 20141 3 Lista de Problemas 1 Dois planos innitos não condutores uniformimentes carregados são paralelos ao plano yz e posicionados em x 50cm e x 50cm As densidades de cargas nos planos são 50nCm2 e 25nCm2 respectivamente Qual é o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo x em x 90cm Resposta 26kV 2 Na gura 1 partículas de cargas q1 5e e q2 15e são mantidas xas no lugar separadas por uma distância d 24 0cm Considerando V 0 no in nito determine o valor de x a positivo e b negativo para o qual o potencial elétrico no eixo x é nulo Resposta a 6cm b 12cm Figura 1 Problema 2 3 A gura 2 mostra uma barra na de plástico que coincide com o eixo x A barra tem um comprimento L e uma carga po sitiva Q uniformimente distribuída Com V 0 no innito determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo x a uma dis tância d de uma das extremidades da barra Resposta V Q 4πϵ0 ln1 Ld Figura 2 Problema 3 4 Uma esfera condutora de 3 0cm de raio posssui uma carga de 30nC distribuída na superfície Seja A um ponto situado a 1 0cm do centro da esfera S um ponto da superfície da esfera e B um ponto situado a 5 0cm do centro da esfera aQual é a diferença de potencial VS VB b Qual é a diferença de potencial VA VB Resposta a 13 103V b 36kV 5 A gura 3 mostra um anel com um raio externo R 13 0cm um raio interno r 0 200R e uma densidade supercial de cargas uniforme σ 6 20pCm2 Com V 0 no innito determine o potencial elétrico no ponto P situado no eixo central do anel a uma distância z 2 00R do centro do anel Resposta 13kV Figura 3 Problema 5 6 Duas cargas puntinformes q1 1 2 40nC e q2 6 50nC estão separadas por uma distância igual a 0 100m O ponto A está localizado na metade da distância entre as duas cargas o ponto B está a uma distância 0 080m da carga q1 e a 0 060m da carga q2 gura 4 Considere zero o po tencial a uma distância innita das cargas Calcule a o potencial no ponto A b o potencial no ponto B c o trabalho rea lizado para deslocar uma carga de 2 50nC do ponto B até o ponto A Resposta a 737V b 704V c 8 2 108J Figura 4 Problema 3 7 Uma carga positiva q está localizada no ponto x 0 e y a e uma carga negativa q está localizada no ponto x 0 e y a aDeduza uma relação para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo Ox em função da coordenada x Considere zero o potencial a uma distância innita das cargas b Qual seria a resposta do item a se as cargas trocassem de posição ou seja q fosse localizada em y a e q em y a c Agora deduza uma relação para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo Oy em função da coordenada y Considere zero o potencial a uma distância innita das cargas d Mostre que quando y a o potencial em qualquer ponto sobre a parte positiva do eixo Oy é dado por V 2qa4πϵ0y2 Resposta a 0 c 2kqa y2a2 d 2kqa y2 8 Mostre que V para uma casca esférica de raio R com carga q uniformimente distribuída pela sua superfície é o mesmo que V para um condutor maciço com raio R e carga q bVocê atrita um balão inado sobre o carpete fazendoo adquirir um potencial que é 1560V inferior ao seu potencial antes de se tornar carregado Caso a carga seja uniformimente distri buída pela superfície do balão e caso o raio do balão seja igual a 15 0cm qual é a carga líquida sobre o balão Resposta a V 1 4πϵ0QR b 26nC 9 Uma esfera metálica com raio ra está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio ex terno rb Existe uma carga q na esfera in terna e uma carga q na esfera externa a Determine o potencial V r para as regiões i r ra ii ra r rb iii r rb su gestão O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera Considere V igual a zero para r innito b Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por Vab q 4πϵ0 1 ra 1 rb 1 c A partir do resultado do item a mos tre que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por Er Vab 1ra 1rb 1 r2 2 d A partir do item a calcule o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro sendo r rb 2 Resposta b 0 c E Vab 1ra 1rb 1r2 10 Um longo cilindro metálico de raio a está apoiado sobre um suporte isolante ao longo do eixo de uma longo tubo cilíndrico metálico de raio b A carga positiva por unidade de comprimento no cilindro interno é λ e existe uma quantidade de carga negativa por unidade de comprimento no cilindro externo a Determine o potencial Vr para as regiões i r aiia r b iii r b Sugestão O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada condutor Considere V 0 para r b b Mostre que o potencial do cilindro interno em relação ao cilindro externo é dado por Vab λ 2πɛ0 lnba 3 c A partir do item a calcule o campo elétrico em qualquer ponto entre os dois cilindros Resposta a r a V λ 2πε0 lnab a r b V λ 2πε0 lnar r b0 b Vab λ 2πε0 lnab c Er Vab lnab 1r 11 Um disco de raio R possui uma densidade superficial de carga uniforme igual a σ a Imaginando o disco como um conjunto de anéis finos concêntricos calcule o potencial elétrico sobre os pontos do eixo do anel a uma distância x do centro do disco Considere o potencial igual a zero no infinito b Calcule o campo elétrico Ex Resposta a V σ 2ɛ0 x2 R2 x b E σ 2ɛ0 1x 1 x2 R2 12 Uma carga elétrica total Q é uniformemente distribuída ao longo de uma barra fina de comprimento a Considere o potencial igual a zero no infinito Calcule o potencial nos seguintes pontos a no ponto P a uma distância x à direita da barra b no ponto R a uma distância y acima da extremidade direita da barra c Como se reduzem os resultados da parte a e b quando x ou y se tornam muito maiores do que a Resposta a V Q 4πε0 a lnxax b V Q 4πε0 a lny y2 a2 y c V Q 4πε0 y Figura 5 Problema 12 13 Considere uma distribuição de carga esférica não uniforme dada por ρr ρ0 1 rR para r R 0 para r R 4 onde ρ0 3QπR3 é uma constante positiva O campo elétrico desse problema foi calculado na lista 1 Com base nisso a Mostre que para r R o potencial é idêntico ao produzido por uma carga puntiforme Q Considere o potencial igual a zero no infinito bObtenha uma expressão para o potencial elétrico válido na região r R Resposta a V Q 4πε0 r b V 2Q 4πε0 R 2 r3 R3 2r2 R2 14 Usando a Lei de Gauss e a relação do potencial elétrico e o campo elétrico mostre que o potencial do lado externo de uma esfera uniformimente carregada é idêntico ao potencial criado por uma carga puntiforme localizada no centro da esfera e de mesma carga total que ela Qual é o potencial da superfície da esfera De que maneira variará o potencial se a distribui ção de carga não uniforme mas possuir uma simetria esférica radialResposta V Q 4πϵ0r na superície V Q 4πϵ0R 15 Determine o potencial no centro de curvatura do arame no em arco mostrado na gura 6 Ele possui uma carga de com primento λ 3 00 108Cm uniformi mente distribuída e um raio de curvatura R 8 00cm Resposta V λ 4ϵ0 Figura 6 Problema 15 16 Um anel dotado de carga Q e de raio R encontrase no plano yz centrado na origem Qual é o potencial elétrico a uma distância x acima do centro do anel A partir da relação obtida derive o campo elétrico correspondente Resposta Ex Q 4πϵ0 x x2R232 17 Dois anéis circulares de mesmo raio L perpendiculares ao eixo X veja gura abaixo têm seus centros em x L e x L Ambos possuem a mesma carga total Q uniformimente distribuída aDetermine o potencial elétrico devido aos aneis em um ponto genérico do eixo X com abscissa x tomando tal potencial como zero no innito b Usando o item a determine o campo elétrico devido aos anéis no mesmo ponto supracitado c Considere agora uma partícula de carga q ainda no mesmo ponto supraci tadoDetermine a energia potencial asso ciada à interação dessa partícula com o campo elétrico produzido pelos anéis Figura 7 Problema 17 4