Lista - Campo Elétrico - Física 3 2022 2

1. Uma haste delgada de vidro ´e dobrada formando um semicírculo de raio R. Uma carga +Q ´e distribuída uniformemente ao longo da metade superior e a carga −Q ´e distribuída uniformemente ao longo da metade inferior, como mostrado na figura. Determine a intensidade e orientação do campo elétrico E⃗ no ponto P, o centro do semicírculo. 2. A figura mostra um plano infinito com uma densidade superficial de cargas σ. Uma esfera não condutora, de raio desprezível, carga q e massa m esta´ pendurada por uma corda não condutora que faz um angulo θ com o plano. A massa m esta´ sob a influência do campo gravitacional da terra. Sabendo que a massa está em equilíbrio, obtenha σ em termos de q, m, θ, da aceleração gravitacional g e da permissividade elétrica do vácuo ϵ0. 3. Considere um fio de densidade linear de carga λ = 4,00µC/m e raio a = 3,0 cm, coaxial a uma casca cilíndrica condutora de raios menor e maior b = 12 cm e c = 16 cm, respectivamente. A casca cilíndrica esta´ carregada com uma densidade linear carga total de −3λ. (a) Determine o campo elétrico para todos os valores de r, onde r ´e a distância perpendicular ao eixo do centro dos cilindros. (b) Quais são as densidades superficiais de cargas induzidas nas superfícies do lado de dentro de fora do cilindro externo. (c) Faça o gráfico de campo elétrico como funcho¸˜ao der e relacione as descontinuidades do campo com as densidades superficiais de cargas induzidas. 4. Uma esfera maciça não condutora de raio a possui uma carga +Q uniformemente distribuída através de seu volume. A superfície da esfera ´e coberta por uma camada muito fina (de espessura desprezível) de ouro. Uma carga total −2Q ´e colocada sobre a camada condutora. (a) Obtenha o campo elétrico em todo espaço. (b) Relacione a descontinuidade com campo elétrico com a densidade superficial de cargas. 5. A figura mostra uma esfera maciça condutora de raio a = 10 cm e carga Q = 8 nC, concêntrica a` uma camada esférica condutora de raios menor e maior b = 15 cm e c = 20 cm respectivamente. A camada esta´ carregada carga total −3Q. (a) Obtenha o campo elétrico em todo espaço (não substituir valores.) (b) Obtenha as densidades superficiais de carga nas superfícies da camada (não substituir valores.) Física 3 Questão 1 : Para calcular o campo elétrico no ponto P, precisamos dividir o semicírculo em pequenos elementos de carga dQ e calcular o campo elétrico produzido por cada elemento em P. A carga é distribuída uniformemente ao longo do semicírculo, podemos integrar da metade superior do semicírculo e depois multiplicar por dois . o semicírculo está no plano xy, com o centro na origem, podemos escrever a posição de um elemento de carga dQ como dQ = λRdθ, onde λ é a densidade linear de carga e θ é o ângulo em relação ao eixo x. A constante λ é dada por λ = Q/πR, onde Q é a carga total distribuída sobre o semicírculo. O campo elétrico produzido por um elemento de carga dQ em P tem uma magnitude dE = k dQ / r², onde r é a distância entre o elemento de carga e P, e k é a constante eletrostática, k = 1 /4πε₀. O campo elétrico total em P, precisamos integrar essas contribuições ao longo da metade superior do semicírculo: E_y = ∫(dE sinθ) = ∫(kλRdθ / r²) sinθ A distância r entre um elemento de carga em θ e P é dada por r = 2R sin(θ/2). Substituindo isso na equação acima, temos: E_y = kλ ∫[sin²(θ/2) / R² sin²(θ/2)] dθ Simplificando a integral usando a identidade trigonométrica sin²(θ/2) = (1 - cosθ) / 2 = E_y = kλ/R ∫[(1 - cosθ) / (2 sin²(θ/2))] dθ integrar essa expressão, de θ = 0 a θ = π, para obter o campo elétrico total em P: E_y = kλ/R ∫[(1 - cosθ) / (2 sin²(θ/2))] dθ = kλ/R [θ + 2 sinθ]₀^π = kλ/R (π + 2) Como o campo elétrico é simétrico em relação ao eixo y, a componente x é zero. Portanto, o campo elétrico total em P é: E⃗ = (0, E_y) = kλ/R (π + 2) ẑ Substituindo λ, temos: E⃗ = kQ/(2πε₀ R) (π + 2) ẑ mais simples: E⃗ = (Q/2ε₀) (π + 2) R^-1 ẑ Portanto, a intensidade do campo elétrico em P é (Q/2ε₀) (π + 2) R^-1 e a orientação é na direção do eixo z (perpendicular ao plano do semicírculo). Questão 2 : A carga q induz um campo F = qE A magnitude do campo elétrico pode ser F = q(σ / 2ε0) A força P = mg q(σ Portanto σ = 2ε0mg/q Questão 3 : (a) Para determinar o campo elétrico, vamos dividir o problema em duas partes: dentro do fio e fora do fio. Dentro do fio, o campo elétrico é dado por: E1 = (1/4πε₀) λ r / (2πa²) Fora do fio, calcular o campo elétrico usando a Lei de Gauss. Escolher um cilindro gaussiano de raio r e comprimento L, onde r > c e L > 2c. A carga total dentro desse cilindro é zero, já que todo o fio está fora do cilindro e a carga da casca externa é igual e oposta à do fio. Portanto, o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro gaussiano é zero. O fluxo elétrico através das bases do cilindro gaussiano é dado por: Φ = E2 (2πrL) = Q / ε₀ E2 é o campo elétrico fora do fio, Q é a carga total na casca externa e ε₀ é a constante elétrica no vácuo. Resolvendo para E2, obtemos: E2 = Q / (2πε₀Lr) E1 = (1/4πε₀) λ r / (2πa²) para r < a E2 = - (3λ / 2ε₀) para a < r < c E2 = - (λa² / r²ε₀) para r > c (b) densidades superficiais de cargas induzidas nas superfícies do lado de dentro e fora do cilindro externo, usar as equações de Gauss. Na superfície interna do cilindro externo (r = b), o campo elétrico é perpendicular à superfície, a densidade de carga superficial induzida é dada por: σi = ε₀ (E2 - E1) = - 5λ / 2πb Na superfície externa do cilindro externo (r = c), o campo elétrico também é perpendicular à superfície, a densidade de carga superficial induzida é dada por: σe = - ε₀ E2 = (3λ / 2πc²) Questão 4 : (a) dividir o espaço em três regiões: (1) dentro da esfera, (2) entre a esfera e a camada de ouro e (3) fora da camada de ouro. Região 1: Dentro da esfera, usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A esfera é simétrica, então escolhamos uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera. A carga total dentro da superfície gaussiana é +Q, então: Φ = Q / ε0 Φ é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana e ε0 é a constante elétrica do vácuo E1 * 4πa^2 = Q / ε0 Então, o campo elétrico dentro da esfera é: E1 = Q / (4πε0a^2) Região 2: Entre a esfera e a camada de ouro, a carga na camada de ouro induz um campo elétrico E2 radial na direção para fora da esfera. A carga uniformemente distribuída na esfera induz um campo elétrico E1 na direção radial para dentro da esfera. Como resultado, o campo elétrico líquido na região entre a esfera e a camada de ouro é dado por: E2 - E1 = σ / ε0 Onde σ é a densidade superficial de carga na camada de ouro. Então: E2 = E1 + σ / ε0 Substituindo E1 na permissão acima: E2 = Q / (4πε0a^2) + σ / ε0 Região 3: Fora da camada de ouro, a carga total na camada é -2Q. usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. Escolher superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera e a camada de ouro. A carga total dentro da superfície gaussiana é -2Q, então: Φ = -2Q / ε0 E3 * 4πr^2 = -2Q / ε0 Então, o campo elétrico fora da camada de ouro é: E3 = -2Q / (4πε0r^2) (b) A descontinuidade no campo elétrico ocorre na superfície da camada de ouro, onde a densidade superficial de carga é finita. A partir da sinalização para o campo elétrico na região 2, temos: E2 - E1 = σ / ε0 A descontinuidade no campo elétrico é: ΔE = E2 - E1 = σ / ε0 Portanto, a descontinuidade no campo elétrico na superfície da camada de ouro é proporcional Questão 5 : (a) Para a esfera maciça, a carga elétrica contida dentro da superfície gaussiana é Q. Para a camada esférica, a carga elétrica contida dentro da superfície gaussiana é -3Q. Usando a Lei de Gauss, temos: Para a esfera maciça: Fluxo elétrico = Q/ε0 Para a camada esférica: Fluxo elétrico = -3Q/ε0 O fluxo elétrico através da superfície gaussiana deve ser igual em ambos os casos. Portanto: Q/ε0 = -3Q/ε0 + Qint/ε0 Onde Qint é a carga elétrica contida dentro da superfície gaussiana. Resolvendo para Qint, temos: Qint = 2T Assim, o campo elétrico em todo o espaço é dado por: E = Qint/(4πε0r^2) r é a distância do centro das esferas à superfície gaussiana. Substituindo os valores, temos: E = 2Q/(4πε0r^2) para r ≤ a E = Q/(4πε0r^2) para a ≤ r ≤ b E = -3Q/(4πε0r^2) para b ≤ r ≤ c E = 0 para r ≥ c (b) Para as densidades de carga nas superfícies das esferas, podemos usar a relação: σ = Q/A Onde σ é a densidade superficial de carga, Q é a carga elétrica total contida na esfera e A é a área da superfície da esfera. Para a esfera maciça, temos: σmaciça = Q/(4πa^2) Para uma camada esférica, podemos encontrar uma carga elétrica contida dentro da camada subtraindo uma carga elétrica contida dentro da esfera maciça da carga elétrica total da camada: Qcamada = -3T - Qmaciça = -4T Assim, temos: σinterna = Qcamada/(4πb^2) σexterna = Qcamada/(4πc^2) Substituindo os valores para as esferas condutoras, temos: σmaciça = Q/(4πa^2) σinterna = -4Q/(4πb^2) σexterna = -4Q/(4πc^2)