Questões - Campo Magnético - 2022-2

Qual é a força sobre um elétron com velocidade \( \vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6 m/s \) em um campo magnético \( \vec{B} = (0,8\hat{i} + 0,6\hat{j} - 0,4\hat{k}) \) T? A figura a seguir representa uma espira circular de raio R = 3 cm que transporta uma corrente i = 5 A. Determine o campo magnético total no ponto P indicado na figura (xp = 4 cm). Um fio com raio R1 = 0,5 cm transporta uma corrente elétrica i1 = 100 A e um fio com raio R2 = 0,2 cm, concêntrico ao outro fio, transporta uma corrente i2 = 200 A no mesmo sentido de i1. O espaço entre os dois fios pode ser considerado o vácuo. Determine o campo magnético nas seguintes situações: a) a 0,1 cm do centro; b) a 0,3 cm do centro; c) a 0,8 cm do centro. Justifique sua resposta por meio dos cálculos. A figura a seguir representa a configuração dos fios. Física 3 1) \[ \vec{F} = - e \vec{v} \times \vec{B} \] \[ \vec{F} = - e \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^6 & 3 \times 10^6 & 0 \\ 0,8 & 0,6 & -0,1 \end{vmatrix} \] \[ \vec{F} = - 1,6 \times 10^{-19} \cdot \left( 3 \times 10^6 \cdot 0,4 \hat{i} - 1,6 \times 10^5 \cdot 2 \times 10^6 \cdot 0,1 \hat{j} \right) \] \[ -1,6 \times 10^{-19} \cdot (2 \times 10^6 \cdot 0,6 - 3 \times 10^6 \cdot 0,8) \hat{k} \] \[ \vec{F} = 1,92 \times 10^{-13} \hat{N} \hat{i} - 1,25 \times 10^{-13} \hat{N} \hat{j} + 1,92 \times 10^{-13} \hat{N} \hat{k} \] \( e \é \módulo \) \[ |\vec{F}| = \sqrt{(1,92 \times 10^{-13})^2 + (-1,25 \times 10^{-13})^2 + (1,92 \times 10^{-13})^2} \] \[ |\vec{F}| = 3 \times 10^{-13} \hat{N} \] 2) O campo da espira é dado por, \[ B(x) = \frac{\mu_0 i k^2}{2((k^2 + x^2)^{3/2}) \rightarrow \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 5 \cdot (3 \times 10^{-2})^2}{2((3 \times 10^{-2})^2 + (4 \times 10^{-2})^2)} = B(4 cm) \] \[ B_{TOT} = 1,33 \times 10^{-3} \hat{T} \] 3) a) Pela lei de Ampere, \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i \rightarrow B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100}{2 \pi \times 0,1 \times 10^{-2}} \rightarrow B = 0,02 T\\b) \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{ENC} \rightarrow B = \frac{\mu_0 (i_{ds} + i_{se})}{2 \pi R} \rightarrow B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (100 + 200)}{2 \pi \times 0,3 \times 10^{-2}} \rightarrow \boxed{B = 0,02 T}\\c) B = \frac{\mu_0 (i_{ds} + i_{se})}{2 \pi R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} (100 + 200)}{2 \pi \times 0,5 \times 10^{-2}} \rightarrow \boxed{B = 0,0075 T}\\4) Pela lei da indução\\\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(B A) = -L B \frac{dx}{dt} = -LBv\\\varepsilon = i R \rightarrow i = \frac{LBv}{R} = \frac{5 \times 10^{-2} \times 1,7 \times 0,021}{2,5} \rightarrow \boxed{i = 0,714 \times 10^{-3} A} 5) Temos que,\\-\varepsilon_1 + \dot{i}_2 R_1 + \dot{i}_3 R_3 + \varepsilon_2 + \dot{i}_1 R_5 = 0 \quad (a)\\-\dot{i}_2 R_2 + \varepsilon_3 - \dot{i}_2 R_{21} - \varepsilon_2 - \dot{i}_3 R_3 = 0 \quad (b)\\\dot{i}_1 = \dot{i}_2 + \dot{i}_3 \quad (3)\\De (1)\\-2 + \dot{i}_3 + 2 \dot{i}_3 + 4 + \dot{i}_3 = 0\\2 \dot{i}_3 = 2 - 2 \dot{i}_3 \rightarrow \dot{i}_3 = -1 - \dot{i}_3\\De (2)\\-\dot{i}_2 + 4 - \dot{i}_2 - 4 - 2 \dot{i}_3 = 0 \rightarrow -2 \dot{i}_2 = -2 \dot{i}_3\\\rightarrow \dot{i}_2 = -\dot{i}_3\\Portanto, em (3),\\-1 - \dot{i}_3 = -\dot{i}_3 + \dot{i}_3 \\\boxed{\dot{i}_3 = -1 A} \rightarrow Sentido anti-horário\\\boxed{\dot{i}_2 = 1 A} \rightarrow Sentido horário\\\boxed{\dot{i}_3 = -2 A} \rightarrow Sentido anti-horário