MF_MF1_ProblemasResolvidos pdf

PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS I 3º Ano do Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 2 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Prefácio Os problemas que constituem o presente documento são o resultado de uma compilação de enunciados utilizados ao longo dos anos como elemento de base nas aulas práticas da disciplina de Mecânica dos Fluidos I A sua origem é muito diversa e perdese no tempo Alguns deles são idênticos a outros que se encontram em livros de texto outros foram criados para exames em anos letivos anteriores Os alunos têm ao seu dispor um conjunto de problemas e as suas soluções organizados segundo os temas mais importantes do programa da disciplina que se procurou que estivesse livre de gralhas e cobrisse uma variedade de problemas que lhes facilite o estudo e compreensão da disciplina Existe um documento independente com a resolução de exames de anos letivos anteriores e problemas selecionados de entre os que constituem o presente documento Nenhum destes documentos dispensa a frequência das aulas teóricas e práticas e o estudo da matéria através da leitura dos livros recomendados importante para a compreensão dos conceitos essenciais relacionados com esta disciplina Esta edição do ano letivo de 20122013 contém pequenas correções relativamente ao ano anterior O corpo docente da disciplina Professores José Manuel Laginha Mestre da Palma Álvaro Henrique Rodrigues José Alexandre Costa da Silva Lopes e Carlos Alberto Veiga Rodrigues Ano letivo 20122013 Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 3 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 4 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 1 Uma lâmina é arrastada por ação de uma força F no interior de um fluido à distância de 1 cm de uma parede sólida a uma velocidade de 15 m s1 produzindose um escoamento do tipo do de Couette com gradiente longitudinal de pressões nulo a Esboce o perfil de velocidades a que o fluido fica sujeito e a distribuição da tensão de corte aplicada b Sendo a viscosidade dinâmica do fluido µ 15 kg m1s1 e a distância que separa a placa da parede 1 cm determine a tensão de corte aplicada ao fluido PROBLEMA 2 Num escoamento do tipo do de Couette com gradiente longitudinal de pressões nulo determine a força necessária para fazer deslizar a uma velocidade de 1 ms uma placa de 05 m2 de área sobre uma outra fixa sendo o espaço entre as duas de espessura uniforme e igual a 1cm preenchido por mercúrio A viscosidade do mercúrio à pressão de 1 atm e a 20 C de temperatura é de 15x10 3 kg m1 s1 podendo ser considerado como um fluido Newtoniano PROBLEMA 3 Considere que os escoamentos são do tipo de Couette com gradiente de pressões nulo na direção do escoamento a Qual a força necessária para deslocar uma chapa de aço ρ 7800 kgm3 de dimensões 25 m x 09 m e 4 mm de espessura sobre uma película de óleo de densidade relativa d0933 e viscosidade µ 026 kg m1 s1 de espessura 04 mm à velocidade de 15 cms1 b Se em lugar de óleo a película lubrificante fosse constituída por água ρ 1000 kgm3 µ 103 kg m1s1 qual deveria ser a sua espessura para que a tensão de corte aplicada ao fluido fosse a mesma que no caso anterior para os mesmos 15 cm s1 de velocidade de deslocamento c Qual a força necessária nas condições acima PROBLEMA 4 Um bloco de aço ρ 7800 kg m3 de forma cilíndrica e com as dimensões indicadas na figura assenta numa superfície plana horizontal coberta por uma película de óleo de viscosidade µ 10 kg m1 s1 Uma força horizontal F 80 N provoca o deslizamento do bloco à velocidade de 10 cm s1 escoamento Couette gradiente de pressão nulo a Qual a espessura da película lubrificante sob o bloco b Admitindo que a espessura da película é inversamente proporcional à pressão reinante sob o bloco a mesma força F aplicada a um outro bloco do mesmo material mas com 200 mm de diâmetro e 5 mm de espessura igual peso produziria uma velocidade maior ou menor Justifique F H1 cm Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 5 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 5 Um bloco de forma paralelepipédica cujas dimensões da base são de 20 cm 20 cm e que pesa 25 kgf desliza ao longo de uma superfície inclinada 30 em relação à horizontal sobre uma película de óleo µ215103 kg m1 s1 com uma espessura de 25105 m Qual a velocidade terminal que animará o corpo movimento uniforme considerando linear o perfil de velocidades do escoamento produzido no óleo PROBLEMA 6 Um cilindro de 75 mm de diâmetro e 150 mm de geratriz gira no interior de outro fixo com um diâmetro de 7505 mm e a mesma geratriz estando o espaço anelar entre os dois preenchido com um óleo de viscosidade µ8 Po Qual a potência dissipada por atrito viscoso se o cilindro interior girar com uma velocidade periférica de 1 m s1 Considere um escoamento de Couette PROBLEMA 7 Um veio de 25 mm de diâmetro pode deslocarse através de um furo também cilíndrico conforme mostra a figura O fluido lubrificante que preenche o intervalo entre o veio e a parede do furo 03 mm tem uma viscosidade cinemática de 8104 m2 s1 e uma densidade de 091 Considere linear a variação de velocidade no seio do óleo a Qual a força necessária para empurrar o veio ao longo do furo com uma velocidade de 3 m s1 b Qual a potência que se dissiparia por atrito viscoso se o veio girasse com uma velocidade de 1500 rpm Considere em ambos os casos linear a variação da velocidade no seio do óleo 05 m P Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 6 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 8 A figura representa um viscosímetro constituído por um tambor de 50 mm de diâmetro encerrado numa cavidade também cilíndrica O espaço entre as duas superfícies é preenchido pelo fluido cuja viscosidade se pretende medir tendo a película uma espessura de 02 mm esc Couette O motor M produz um binário constante de 005 Nm para qualquer velocidade entre 0 e 100 rpm velocidade máxima A velocidade de rotação é medida por um transdutor montado na extremidade livre do veio e do valor medido deduzse a viscosidade do fluido a Calcule o mínimo valor da viscosidade que é possível medir deste modo b O método de medida poderá ser prejudicado por um eventual aquecimento do fluido dentro do dispositivo Calculando a potência calorífica dissipada faça uma análise quantitativa do problema e diga em que casos grandes ou pequenas viscosidades ele poderá ter mais importância PROBLEMA 9 Um anel ρ 7800 kg m3 desce sob a ação do próprio peso ao longo de um varão Entre as superfícies do varão e do anel há uma folga radial r 02 mm preenchida por um fluido de viscosidade 001 kgm1s1 e massa volúmica igual a 800 kg m3 que se escoa com um perfil de velocidades linear a Calcule a velocidade V de descida em movimento uniforme b Descreva com base num movimento deste tipo um processo prático de medição de viscosidades 500 mm M Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 7 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 10 A figura representa de forma simplificada um dispositivo de medição de viscosidades constituído por dois cilindros concêntricos em que um gira dentro do outro Considerando os dados abaixo indicados e que a velocidade de descida é uniforme desde o início do movimento calcule a viscosidade do fluido contido entre o cilindro exterior e o interior d1 cm D20 cm M50 gr h15 cm e250 µm V5 mms PROBLEMA 11 Um cone sólido de ângulo 2θ e raio de base r0 roda com uma velocidade angular ω0 no interior de uma sede cónica O espaço entre a sede e o cone de espessura constante h está preenchido com um fluido de massa volúmica ρ e viscosidade µ a Desprezando o atrito entre a base do cone e o ar calcule o binário resistente b O dispositivo pode ser utilizado como medidor de viscosidades Faça uma estimativa do erro inerente ao facto de a resistência oposta pelo ar ao movimento de rotação não ser nula M e h D M V d Propriedades dos fluidos Lei de Newton da viscosidade 8 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 12 O dispositivo de cone e prato representado na figura é um dos aparelhos mais utilizados na medição de viscosidades No espaço entre o prato fixo e o cone girando a uma velocidade angular ω está contido o fluido de propriedades ρ e µ que se pretende ensaiar O operador pode controlar a velocidade de rotação e mede por meio de um dispositivo apropriado o binário resistente Obtenha a expressão que por este processo permita quantificar a viscosidade do fluido PROBLEMA 13 No interior de um tubo escoase água ρ e µ sendo o perfil de velocidades do tipo do representado na figura dado pela expressão V b 4m D2 4 r2 onde b é uma constante r a distância radial ao eixo da conduta e V a velocidade para um r qualquer a Qual a tensão de corte na parede e num ponto r D4 b Se o perfil se mantiver ao longo de um comprimento L qual a força de arrasto induzida pela água no tubo na direção do escoamento PROBLEMA 14 A placa que desliza sobre a película de fluido ver figura tem uma massa m e uma superfície de contacto A As propriedades do fluido são µ viscosidade dinâmica e ρ massa volúmica Encontre a lei do movimento sob a forma Vft e calcule a velocidade terminal que a placa atingirá PROBLEMA 15 Considere o escoamento de dois fluidos Newtonianos de massas volúmicas iguais entre placas planas paralelas de dimensão infinita em que a placa do meio se move com uma velocidade U Sabendo que nas duas faces da placa móvel foi medida a mesma tensão de corte encontre uma relação entre as viscosidades dos fluidos 2h h U R φ ω µ2 µ1 D r x Hidrostática 9 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Hidrostática Hidrostática 10 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 16 Considerando os dados da figura seguinte cotas densidades etc calcule o valor da pressão na esfera E e indique o resultado nas seguintes unidades Pa mm Hg kgfcm2 mca Nm2 PROBLEMA 17 O tubo manométrico representado com 1 cm de diâmetro encerra numa das extremidades 50 mg de ar a 15 C ρar287 JkgK ρágua1000 kg m3 a Nas condições da figura determine o valor da pressão em P b Se no ponto P estivesse a ser aplicada a pressão atmosférica 105 Pa qual seria o desnível h0 entre os dois meniscos h100 cm 50 cm ar água P Hidrostática 11 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 18 Um recipiente cilíndrico com o diâmetro indicado contendo 1 grama de ar é mergulhado num tanque com água ρ 1000 kg m3 até à profundidade de 10 m onde a temperatura é de 15 C O peso próprio do reservatório é desprezável e a tampa pode deslocar se livremente na direção axial a Qual o valor do comprimento L nessa posição b Que energia foi necessário despender para transportar o corpo da superfície até aquela profundidade lentamente supondo a compressão isotérmica mantendose a temperatura nos 15 C PROBLEMA 19 O manómetro representado na figura contém um fluido com uma massa volúmica ρ O tubo inclinado faz um ângulo θ com a horizontal e os diâmetros do tubo e do depósito são respetivamente d e D a Qual deverá ser a distância entre linhas l na escala para que a leitura seja feita diretamente em N m2 b Quais os parâmetros de que depende a sensibilidade de um manómetro deste tipo definida como lp PROBLEMA 20 O manómetro da figura contém dois líquidos não miscíveis de massas específicas ρ1850 kg m3 e ρ2910 kg m3 sendo o diâmetro dos reservatórios de ordem de grandeza muito superior ao do tubo que os une a Calcule a diferença de pressões verificada entre os pontos A e B b Vê algumas vantagens neste tipo de configuração de manómetro Quais Hidrostática 12 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 21 O macaco hidráulico representado é acionado por uma bomba que aspira o fluido hidráulico d08 de um reservatório e eleva um prato cilíndrico de peso P230 kgf e área S2250 cm2 a Calcule a pressão à saída da bomba capaz de produzir no prato um impulso útil de 2000 N b O corpo cilíndrico de peso P1 e área de 8 cm2 deslocase livremente e funciona como segurança abrindo o retorno R quando a pressão atingida é de molde a elevar a sua base à altura de 30 cm Calcule P1 para que o impulso máximo do macaco seja limitado a 500 kgf PROBLEMA 22 A figura representa um corte de um amortecedor hidráulico constituído por uma câmara cilíndrica com óleo ρ 900 kgm3 µ 001 kgm1s1 de 200 mm de altura e 100 mm de diâmetro com uma haste vertical de 20 mm de diâmetro Um êmbolo com 30 mm de espessura divide a câmara em duas partes que comunicam entre si externamente por um tubo de diâmetro muito menor que o do amortecedor A velocidade de deslocamento do êmbolo é pois muito pequena podendo ser desprezada nos cálculos aqui necessários a Admitindo que a massa da haste e do êmbolo é de 5 kg calcule a diferença de pressões pApB entre os pontos A e B assinalados na figura quando a haste está submetida a uma força axial F de baixo para cima com a intensidade de 100 N b Para medir a diferença de pressões pA pB utilizouse o manómetro de mercúrio ρ13600 kg m3 de tubo inclinado figurado em que o diâmetro do tubo é muito menor que o da ampola do ramo vertical Qual deverá ser o espaçamento entre divisões da escala para se obter uma leitura direta em kPa Hidrostática 13 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 23 A figura representa esquematicamente um macaco hidráulico de acionamento manual que eleva o prato cilíndrico representado em corte O peso próprio do prato é de 250 N e o óleo no interior da prensa tem de massa volúmica ρ 850 kg m3 e viscosidade dinâmica µ 001 kgms Escreva uma equação representativa da relação entre a carga exterior P em Newton atuando no prato a altura H em metro e a indicação do manómetro M em Pa PROBLEMA 24 Dois êmbolos massa volúmica ρe encerram num recipiente com a forma representada na figura um fluido de massa específica ρf a Calcule a força F necessária para manter os dois êmbolos na posição indicada na figura Considere hH b Para uma força F constante em que medida o ângulo θ afeta a posição dos êmbolos Hidrostática 14 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 25 A figura representa um limitador de pressão constituído por um tubo vertical de 60 mm de diâmetro no interior do qual se aloja um êmbolo de aço ρ7800 kg m3 com as dimensões figuradas O limitador é utilizado numa instalação de bombagem de óleo ρ850 kg m3 para impedir que a pressão p a jusante da bomba B exceda o valor pretendido A limitação ocorre quando o êmbolo se eleva e abre a passagem R para o reservatório Qual deverá ser a altura H na figura apropriada para que a limitação de pressão ocorra quando p 110 kPa pressão absoluta PROBLEMA 26 Considere um reservatório com água ρ103 kg m3 como o representado na figura dividido em duas partes unidas por oito parafusos que apertam as duas flanges Desprezando o peso próprio do recipiente calcule o esforço a que está sujeito cada parafuso quando o reservatório está suspenso pelo topo e quando assente na base Nesta última situação se não houvesse parafusos manterseiam unidas as duas partes Justifique Hidrostática 15 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 27 O nível de gasolina d068 num depósito com 30 cm de profundidade é indicado através do sinal de um manómetro diferencial colocado com a tomada de pressão junto ao fundo a Se acidentalmente tiver entrado no depósito água ρ1000 kg m3 formando uma camada de 2 cm de espessura qual o erro percentual em relação ao volume total do depósito quando o indicador marcar cheio b A sensibilidade de um sistema indicador de nível como o sugerido pode caracterizar se pelo quociente entre as variações correspondentes da leitura do manómetro e do nível de combustível no depósito S p H Exprima S em função da densidade da gasolina utilizada e mostre em que medida a presença da água no fundo afeta a sensibilidade do sistema PROBLEMA 28 A figura representa uma cápsula para recolha de amostras de água do mard1035 A tampa pode rodar em torno de um eixo ao qual é aplicado um momento resistente por meio de uma mola regulável Admitindo desprezável o peso da tampa e supondo que o ar se encontra inicialmente à pressão patm105 N m2 qual a profundidade a que a amostra de água é recolhida se o momento resistente aplicado à mola for de 2104 Nm Hidrostática 16 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 29 A figura representa um reservatório com a forma de um prisma quadrangular contendo três fluidos imiscíveis Sabendo que o sensor A indica uma pressão relativa de 15 kPa e que pBpCpatm determine a As cotas dos meniscos B e C b A força hidrostática resultante exercida sobre uma das paredes verticais e o seu momento em relação à aresta da base PROBLEMA 30 Uma comporta retangular de largura B10 m normal ao plano da figura separa duas zonas de um canal em que o desnível de água ρ1000 kg m3 é HH1H2 a Esboce os diagramas de pressões dos dois lados da comporta bem como o das pressões resultantes b Qual o valor da resultante das forças de pressão patm105 Nm2 PROBLEMA 31 Tendo em atenção as condições da figura exprima em função das outras grandezas o valor de b necessário para que não haja escorregamento da parede ρp devido à ação da água ρa considerandoa simplesmente apoiada no pavimento Em que condições poderá haver perigo de a parede tombar designe por µ o coeficiente de atrito paredepavimento PROBLEMA 32 Ao ascender no reservatório da figura a água ρ103 kg m3 atinge um determinado nível H acima do eixo da comporta que fará com que esta abra automaticamente rodando em torno do eixo Calcule o valor de H desprezando eventuais atritos no eixo de rotação e o peso próprio da comporta B C A 2m 15m 1m 3m ar 20C d068 gasolina d126 glicerina z0 Hidrostática 17 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 33 Uma abertura circular na parede de um reservatório é fechada por um disco que simplesmente cabe na abertura e pode rodar em torno de um eixo que passa pelo seu eixo horizontal a Prove que se o nível de água ρ103 kg m3 no reservatório estiver acima do topo da disco situação da figura o momento necessário para o manter na posição vertical é independente desse nível b Se o diâmetro do disco for de 1 m qual o valor desse momento PROBLEMA 34 Desprezando os eventuais atritos calcule a partir de que altura de água ρ103 kg m3 se verifica a abertura da comporta representada obrigando à sua rotação no sentido dos ponteiros do relógio O peso da comporta é de 1 tonelada e a dimensão na direção normal ao plano da figura igual a 4 m PROBLEMA 35 A comporta da figura pesa 750 kg e tem o seu centro de gravidade a meio da distância L entre o eixo de rotação O e o bordo superior tem forma retangular e a dimensão normal ao plano da figura é B O fluido no reservatório é água ρ103 kg m3 Encontre uma relação entre o nível da água representado por h e o ângulo da comporta com a horizontal αααα para que a comporta permaneça em equilíbrio φφφφ 1 m α Hidrostática 18 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 36 Uma conduta cilíndrica como a indicada retira água de um lago ρ103 kg m3 patm105 Pa Se for fechada com uma tampa circular de 450 mm de diâmetro inclinada a 45 qual a força a que esta ficará sujeita Caracterize convenientemente o ponto de aplicação da dita força PROBLEMA 37 A comporta triangular C D E da figura é articulada em CD e pode ser aberta por uma força normal P aplicada em E O fluido do reservatório é óleo de densidade dade d08 estando o lado exterior da comporta em contacto com a atmosfera patm105 Pa Determine a inten sidade e ponto de aplicação da resultante das forças de pressão sobre a comporta bem como a intensidade da força P necessária para a abrir Hidrostática 19 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 38 No reservatório de água ρ103 kg m3 representado a comporta C tem 2 m de largura direção normal ao plano da figura e está ligada por um sistema de articulações e roldanas a uma esfera de betão E de densidade 24 a Qual deverá ser o diâmetro mínimo da esfera para que a comporta se mantenha fechada b Repita o cálculo da alínea anterior mas considerando a esfera mergulhada na água PROBLEMA 39 Um corpo de forma prismática visto de topo na figura encontrase imerso em água ρ1000 kg m3 µ103 kgms estando ligado ao fundo através de um suporte rígido S O peso do corpo é de 30 kgf e a sua dimensão na direção normal ao plano representado é de 200 mm a Localize o ponto de aplicação da força que atua sobre a face A b Determine a solicitação a que está sujeito o suporte S Hidrostática 20 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 40 A figura representa um reservatório de forma cúbica dividido em duas partes por uma placa rígida na direção da sua diagonal Caracterize a resultante das forças de pressão que atuam sobre a divisória direção sentido e intensidade relativamente ao sistema de eixos da figura Dados Hh1h22 m ρ11000 kg m3 ρ2800 kg m3 PROBLEMA 41 A figura representa um depósito de petróleo d085 aberto à atmosfera onde existe uma comporta retangular de 15 m de altura e 11 m de largura A comporta pesa 280 kg e pode rodar em torno do eixo horizontal B No fundo do reservatório acumulase também água doce ρ1000 kg m3 a Para a situação representada na figura esboce o diagrama das pressões que atuam sobre a comporta b Calcule o binário resistente que deve ser aplicado à comporta em B para evitar a sua abertura petróleo água 30 12 m 09 m ²h ar 12 m A B h Hidrostática 21 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 360 mm 735 mm H E PROBLEMA 42 Uma campânula hemisférica é mantida no fundo do mar cheia de ar ρ12 kg m3 a uma pressão de 765 mm Hg A pressão atmosférica à superfície é de 105 Pa e a densidade da água salgada 1032 a Considerando a indicação do manómetro de mercúrio d136 representado qual a profundidade H a que se encontra a campânula b O acesso ao interior é feito através de uma comporta circular com 80 cm de diâmetro podendo rodar em torno de um eixo horizontal E existente no topo superior Qual a força mínima necessária para abrir a comporta PROBLEMA 43 O dique representado tem a forma de um quarto de círculo e um comprimento de 50 m normal ao plano representado Calcule as componentes horizontal e vertical da resultante das forças de pressão sobre o dique e localize o respetivo centro de pressões ρf1035 kg m3 patm105 Pa PROBLEMA 44 Uma comporta com a forma de um quarto de círculo retém água salgada d1035 conforme mostrado esquematicamente na figura Calcule a resultante das forças de pressão por unidade de comprimento e localize o centro de pressões patm105 Pa PROBLEMA 45 Um cilindro d26 com 1 m de diâmetro e 10 m de comprimento separa dois níveis de água conforme o mostrado na figura Calcule as reações vertical e horizontal no ponto C dlíquido1 Hidrostática 22 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 46 A figura representa uma comporta de forma cilíndrica suscetível de rodar sem atrito em torno do ponto A sustentando a água ρ1000 kg m3 de um canal de secção retangular 4m x 2m a Faça uma representação gráfica da distribuição de pressões sobre a superfície da comporta b Determine o módulo da força de pressão exercida pela água sobre a comporta c Desprezando o peso próprio da comporta determine o valor mínimo que deverá ter o peso P para a manter fechada PROBLEMA 47 Uma cuba hemisférica com um peso de 30 kN cheia de água ρ103 kg m3 é apertada ao chão por meio de 12 parafusos igualmente espaçados a Qual a força a que está sujeito cada um dos parafusos b Repita o cálculo considerando agora que na abertura é acoplado um tubo também cheio de água com 3 cm de diâmetro e 4 m de altura conforme indica a figura patm105 Pa PROBLEMA 48 Uma esfera de 305 mm de raio e 173 kg de massa fecha um orifício situado no fundo de um tanque contendo água H914 mm ρ1000 kg m3 a Esboce o diagrama de distribuição de pressão na superfície da esfera b Calcule a resultante da distribuição de pressão em torno da superfície molhada da esfera c Calcule a força mínima necessária para remover a esfera do orifício supondo que a força calculada na alínea a vale 432 N e atua de baixo para cima 4m H2O A P 2m 1m R4m h H R305 mm F Volume da calote esférica 2πR2h3 305 mm Hidrostática 23 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 49 O reservatório da figura é constituído por quatro partes uma tampa semiesférica um fundo plano circular e duas peças encurvadas que unidas formam o corpo cilíndrico de 1 m de altura Está cheio de um líquido de densidade d28 suspenso de um cabo e comunica com a atmosfera através de um orifício respiro na parte superior Considerando desprezável o peso do reservatório a Calcule o valor da pressão absoluta no fundo e a força que poderá ser lida no dinamómetro D b Qual o valor da força a que devido à ação do líquido estão sujeitos os parafusos que unem a tampa ao corpo do reservatório E a força que atua sobre os parafusos que unem o fundo ao corpo c Calcule a intensidade e localize convenientemente a força que ainda devido à ação do líquido atua sobre cada uma das metades que constituem o corpo do reservatório PROBLEMA 50 O tanque cilíndrico representado na figura tem uma tampa hemisférica superfície ABC e contém propano nas fases líquida e gasosa 50 de cada fase em volume A pressão manométrica é igual a 8 bar a Represente a distribuição de pressão nas faces interior e exterior da superfície ABC b Calcule as resultantes horizontal e vertical das forças exercidas na superfície ABC c Comente a seguinte afirmação A força horizontal exercida na tampa ABC é totalmente independente da forma desta PROBLEMA 51 Um bloco sólido de material homogéneo de massa específica ρ flutua entre dois líquidos de massas específicas ρ1 e ρ2 como mostra a figura verificandose entre aquelas a seguinte relação ρ1 ρ ρ2 Encontre uma expressão que quantifique a altura b com que o bloco emerge do fluido inferior A 2 m 2 m Gás ρ195 kgm3 Líquido ρ496 kgm3 B C 8 bar Equações fundamentais formulação integral 24 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Equações fundamentais formulação integral 25 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Equações fundamentais Formulação integral Equações fundamentais formulação integral 26 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 52 Considere o escoamento suposto ideal conforme a representação esquemática da figura abaixo Na extremidade do tubo 9 podem ser roscados três tipos de terminal identificados como A B e C Nestas condições a Em que zona da tubagem pode mais facilmente ser atingida a pressão de vapor Qual o tipo de terminal que mais favorece a ocorrência desse fenómeno b Supondo toda a parede da tubagem constituída pelo mesmo material qual a zona mais sujeita à rotura Com qual dos de terminais seria mais provável que a rotura se verificasse c Os terminais são normalmente roscados na extremidade da tubagem Se em vez desse tipo de fixação eles fossem simplesmente apoiados analise a possibilidade de cada um se manter nessa posição ou de ser empurrado na direção ou contra a direção do escoamento Sugestão esboce os diagramas das pressões atuantes sobre cada terminal e analise qual a direção e sentido da sua resultante d Discuta a veracidade das afirmações seguintes I A altura h1 mede a pressão estática e tem sempre o mesmo valor independentemente do terminal que seja utilizado II A altura h2 é uma medida da pressão total do escoamento e é tanto maior quanto menor for a secção de saída do terminal montado na tubagem Equações fundamentais formulação integral 27 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 53 Considere um escoamento de água ρ103 kg m3 num tubo vertical que integra um troço cónico como o que é representado na figura Supondo que o perfil de velocidades numa qualquer secção transversal é plano desprezando o atrito viscoso e tendo em atenção os seguintes dados H2 m D1 05 m D21 m m 200 kgs a Qual a diferença de pressão entre os extremos do convergente b Qual deveria ser o valor do diâmetro D1 para que as pressões fossem iguais à entrada e à saída do convergente c Obtenha expressões matemáticas para a variação da pressão e da velocidade na direção do escoamento Esboce um diagrama dessa evolução PROBLEMA 54 Um venturi é uma conduta convergente divergente utilizada na medição de velocidades caudais em escoamentos Uma vez que os diâmetros a montante e no estrangulamento são respetivamente D1 e D2nD1 em que n1 sendo as pressões nessas secções p1 e p2 respetivamente mostre que é suficiente medir pp1p2 e conhecer a massa volúmica ρ do fluido para determinar a velocidade V do escoamento PROBLEMA 55 Ar a 20 C R ar 287 J kg1K1 circula através de uma conduta como a figurada sendo a pressão a montante do estrangulamento 6 bar O fluido no reservatório é água ρ103 kgm3 e os diâmetros do tubo e da garganta são respetivamente 25 mm e 10 mm a Calcule qual o mínimo caudal de ar capaz de induzir escoamento no tubo vertical provocando a pulverização da água no escoamento b De que modo a pressão do escoamento a montante do estrangulamento afeta o valor atrás pedido Equações fundamentais formulação integral 28 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 56 Água ρ1000 kg m3 escoase de um tanque por efeito de sifão conforme mostra a figura indicando o tubo barométrico uma leitura de 88 m a Determine a máxima altura h a que é possível localizar a saída do tubo sem que ocorra a cavitação Nota a pressão do vapor no extremo fechado do tubo vertical é igual à pressão de saturação da água à temperatura em questão b Se o diâmetro do tubo de descarga fosse uniforme qual seria o novo valor máximo de h de molde a evitar que o referido fenómeno se verifique PROBLEMA 57 Água ρ1000 kg m3 escoase de um reservatório através de um sifão constituído por um tubo de 25 mm de diâmetro conforme é mostrado na figura patm105 Pa Calcule o caudal mássico escoado e o valor da pressão nos pontos 1 2 e 3 PROBLEMA 58 No fundo de um reservatório com óleo de densidade 087 existe uma camada de água ρ 1000 kg m3 com uma espessura de 70 cm que se escoa através de um furo de 1 cm de diâmetro existente no fundo O reservatório tem de diâmetro 1 m Calcule o tempo que levará a água a escoarse Equações fundamentais formulação integral 29 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 59 Considere um escoamento de ar ρ12 kg m3 ν15105 m2s sobre uma placa plana de 2 m de largura A velocidade à entrada tem o valor de 40 ms e distribuise uniformemente Numa secção S a jusante o perfil de velocidades obedece à lei uy200y 100y2 SI a Determine o caudal mássico m através de uma superfície paralela à placa e situada 200 mm acima dela b Determine a tensão na parede para xxs c A tensão na parede será mais elevada em x0 ou em xxs Justifique S 40 ms m y 200 mm x uy x0 xxs PROBLEMA 60 Água ρ103 kg m3 escoase através de um tubo vertical com uma saída convergente e é lançada na atmosfera conforme se mostra na figura a Nas condições indicadas qual o caudal volúmico escoado b Calcule a altura h a que o jato se eleva considerando o escoamento ideal PROBLEMA 61 A figura representa um escoamento bidimensional e estacionário de um fluido ideal através de uma curva vertical com linhas de corrente circulares A distribuição de velocidades na secção vertical 12 é dada por vrk onde k é uma constante e r é o raio de curvatura O caudal por unidade de comprimento na direção normal ao plano da figura tem o valor de 1000 kgsm a Mostre que a relação entre a velocidade média V na secção 12 e a velocidade no ponto 1 pode ser expressa por 1 2 1 2 1 1 ln r r V V r r r b Determine a velocidade no ponto 2 c Determine a diferença de pressões entre os pontos 1 e 2 Critique o resultado g r2 r1 1 2 C Dados r110 m r212 m ρ1000 kgm3 Equações fundamentais formulação integral 30 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 62 Uma agulheta para extinção de incêndios debita um caudal de água ρ103 kg m3 de 60 m3h Calcular a força de ligação da agulheta com a mangueira se as suas dimensões forem D18 cm e D23 cm Resolva este exercício considerando dois volumes de controlo distintos i tomando como superfície de controlo o a face interior da agulheta e ii tomando como superfície de controlo a face exterior PROBLEMA 63 Dois jatos de água iguais sustentam em equilíbrio à mesma altura dois corpos A e B com a configuração mostrada na figura Nestas condições diga justificando qual dos dois corpos é mais pesado PROBLEMA 64 A placa P da figura pesa 25 kgf Um jato de água ρ103 kg m3 com 1 cm de espessura e 25 cm de dimensão normal ao plano representado incide a meio da mesma Qual a altura H necessária para manter a placa em equilíbrio com uma inclinação de 45 Equações fundamentais formulação integral 31 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 65 Um jato de água ρ1000 kg m3 com uma velocidade de 15 ms e uma secção tranversal de 005 m2 atinge um defletor montado sobre um carro conforme se indica na figura a Qual o valor da massa M para que o carro permaneça em repouso b Se a velocidade do jato de água aumentar para 20 ms mantendose o valor de M qual a velocidade com que o carro se deslocará PROBLEMA 66 Um jato de ar ρ12 kg m3 horizontal com uma velocidade de 50 ms e um diâmetro de 20 mm incide numa calote esférica conforme mostra a figura Calcule a força F necessária para contrariar a ação do jato evitando que o corpo se desloque PROBLEMA 67 Determinar uma expressão para a força que o jato de água ρ103 kg m3 de forma retangular representado na figura exerce sobre a placa na direção k em função do ângulo θ Sendo de 5 cm2 a área do jato qual será o valor de cada uma das áreas de saída Equações fundamentais formulação integral 32 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 68 Óleo d085 escoase através de uma conduta horizontal onde está integrada a curva a 45 com re dução de secção representada na figura sendo a pressão à entrada 15x105 Pa a Qual o caudal máximo admissível sabendo que as flanges só vedam à compressão i e se ppatm patm105 Pa b Calcule a resultante vetor das forças que a curva transmite a montante e a jusante para um caudal de 500 lmin PROBLEMA 69 Óleo ρ 870 kg m3 µ 0104 Pas escoa se em regime laminar numa conduta cilíndrica com 15 mm de diâmetro Um manómetro de coluna de mercúrio d1355 ligado entre duas secções distanciadas de 1 m acusa um desnível de 60 mm conforme indica a figura A lei de distribuição de velocidade para este escoamento é do tipo ur k1r2R2 onde ur é a velocidade num ponto à distância r do eixo k é uma constante e R o raio da conduta a Com base num balanço de quantidade de movimento calcule a tensão de corte na parede e o caudal em circulação b Calcule a velocidade num ponto da conduta distanciado de 5 mm da parede PROBLEMA 70 A figura representa vista em planta uma bomba centrífuga acionada por um motor elétrico destinada a movimentar um caudal de água ρ103 kg m3 de 10 m3minuto As ligações entre a bomba e as condutas são flexíveis para evitar a transmissão de vibrações a montante e a jusante As pressões relativas à entrada e à saída são respetivamente 0 e 25 bar e as secções das condutas 005 m2 e 003 m2 Calcule a força vetor global que o sistema bombamotor exerce sobre os pontos em que está apoiado patm105 Pa φ15 mm Q r d1355 1 m 60 mm Equações fundamentais formulação integral 33 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 71 Considere a bifurcação representada na figura a qual faz parte de uma conduta horizontal em que se escoa água ρ103 kg m3 sendo a pressão relativa na secção de entrada 068 kgfcm2 Determine qual a força necessária in tensidade direção e sentido para manter fixo o acessório PROBLEMA 72 No escoamento suposto ideal de água ρ1000 kgm3 sobre o descarregador representado na figura admitese que nas secções 1 e 2 a velocidade se distribui uniformemente e que a pressão é igual à pressão hidrostática A largura do descarregador é de 1 m a Represente graficamente as distribuições de pressão nas secções 1 e 2 e ao longo da superfície livre da água b Calcule as velocidades v1 e v2 c Calcule a componente horizontal da força exercida pela água no descarregador 5m 07m v2 v1 Equações fundamentais formulação integral 34 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 73 A figura pretende representar esquematicamente o rotor de uma bomba centrífuga destinada a debitar um caudal de 30 litros por minuto entrando a água ρ103 kg m3 no rotor segundo a direção axial O diâmetro do rotor é de 250 mm e as pás são radiais no diâmetro exterior e têm também na periferia 25 mm de altura Calcule a potência transmitida ao rotor quando este girar a uma velocidade de 1000 rpm PROBLEMA 74 Considere o torniquete hidráulico ρágua103 kg m3 representado na figura alimentado a partir de um reservatório pressurizado a uma pressão P0 constante A conduta que sai do depósito tem 5 cm de diâmetro e os ramos do torniquete 2 cm e 1 cm a Em que sentido tende o torniquete a rodar b Qual a pressão necessária para o torniquete começar a rodar sabendo que o binário resistente devido ao atrito no veio é de 150 N m c Qual a velocidade de rotação do torniquete se o binário resistente for igual a zero Equações fundamentais formulação integral 35 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 75 Água ρ1000 kg m3 considerada um fluido ideal é bombada desde um poço conforme mostra a figura O motor de acionamento da bomba B tem uma potência de 10 CV e o rendimento global do motor e bomba é de 75 A conduta de pressão tem um diâmetro de 75 mm e a de aspiração 150 mm Nestas condições a Qual o caudal debitado pela bomba b Qual a componente horizontal da força a que está sujeito o suporte S resultante da ação do escoamento PROBLEMA 76 A figura representa uma instalação de bombagem de água ρ1000 kg m3 entre dois reservatórios ρHg136x103 kg m3 patm105 Pa T15 C a Calcule a potência da bomba B b Para o mesmo valor do caudal determine o valor máximo de H para que se não verifique cavitação c Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes I Para o mesmo valor do caudal aumentando o diâmetro da tubagem de admissão da bomba aumenta a potência necessária à bombagem e diminui o risco de cavitação II Para o mesmo valor do caudal aumentando o diâmetro da conduta de descarga diminui a potência necessária à bombagem mantendose as mesmas possibilidades de cavitação Equações fundamentais formulação integral 36 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 77 A figura representa esquematicamente um sistema de propulsão de barcos constituído por uma bomba B acionada por um motor que aspira água ρ1000 kg m3 na proa do barco e a expele na popa através de orifícios de diâmetros D500mm e d200mm respetivamente a Desprezando as perdas por fricção nos tubos de aspiração e descarga calcule a potência necessária para acionar a bomba quando o barco se encontra parado por forma a produzir um caudal de 1 m3s b Determine nas condições referidas em a o impulso produzido por este sistema de propulsão c No sentido de extrair o máximo de potência do sistema referido pensouse em alterar o diâmetro D da conduta de aspiração Analise o problema e diga qual a alteração que proporia Equações fundamentais formulação integral 37 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 78 Na figura está representada uma turbina reversível podendo portanto funcionar também como bomba em determinados períodos elevando então a água ρ 1000 kg m3 da zona de descarga para a albufeira de captação Admita que o escoamento é ideal quer num quer no outro sentido do fluxo e que em qualquer dos casos o rendimento de conversão é de 100 a Qual a potência debitada pela turbina quando o caudal escoado for de 300 m3h b Considere agora o funcionamento como bomba Se a potência fornecida pelo motor de acionamento for igual à que se obtém em a o caudal em circulação será maior ou menor Justifique c Na situação de funcionamento como turbina se a mesma fosse colocada mais próxima da captação mantendose as restantes condições a potência recolhida seria maior ou menor E se a descarga se desse não à profundidade indicada mas por exemplo livremente para a atmosfera man tendose o desnível de 33 m entre a superfície livre e a descarga de que modo a potência da turbina seria afetada Vê algum interesse em a descarga ser feita em profundidade e a turbina ser colocada no ponto indicado e não a uma cota superior PROBLEMA 79 A figura representa esquematicamente um troço de tubagem que lança um jato de água ρ 1000 kg m3 na atmosfera pa 105 Pa a Qual o desnível h verificado no manómetro de mercúrio d136 quando o caudal escoado for de 15 Ls1 O ramo da esquerda do manómetro está em contacto com a atmosfera b Caracterize intensidade sentido e direção a força exercida pela conduta sobre o suporte para o mesmo valor do caudal não despreze o peso da água 3300 700 h φ25 φ75 Ligação flexível V água 4000 Equações fundamentais formulação integral 38 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 80 Gasolina d068 é bombada a um caudal de 012 m3s conforme se indica na figura Sabendo que as perdas verificadas entre as secções 1 e 2 entrada e saída são iguais a 03 V122 qual a diferença de pressão verificada entre essas secções quando a bomba transmite ao fluido uma potência de 20 kW PROBLEMA 81 A figura representa parte de uma instalação de um sistema hídrico O caudal de água ρ1000 kg m3 é de 05 m3s e a turbina tem uma eficiência de 90 a Determine a potência útil da turbina Considere agora que a descarga se faz ao nível da turbina Z20 para a atmosferaz20 p2patm e que a potência útil debitada para o mesmo caudal é de 100 kW b Considerando Z1Z2 determine a força a que está sujeito o suporte de fixação da turbina T 08 m Hg d136 φ02 m φ015 m Z 2 0 Z 1 1 2 g 2 1 Q0122 m3s D202 m D101 m Bomba 3 m Equações fundamentais formulação integral 39 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 82 Na figura está representada parte de uma instalação onde circula água ρ 1000 kg m3 µ 103 kg m1 s1 psat 2337 Pa cuja pressão absoluta na secção 1 é de 105 kPa A conduta de diâmetro 90 mm apresenta um estrangulamento tal que na secção correspondente ao tubo vertical I o diâmetro se reduz para 70 mm Admitindo tratarse de um escoamento ideal a Determine o caudal volúmico que flui na instalação quando hI 50 mm b Calcule a potência que deverá ter o motor de acionamento da bomba sabendo que hII 3 m e que o rendimento do conjunto é de 70 se o caudal em circulação for de 52 m3h c Esboce a evolução das pressões estática e dinâmica ao longo da instalação d Qual o valor mínimo do caudal volúmico suscetível de provocar a cavitação PROBLEMA 83 Uma bomba de água ρ1000 kg m3 tem uma entrada e duas saídas vide figura As ligações da tubagem à bomba são flexíveis pelo que os esforços devidos às forças mássicas e hidrodinâmicas na região da bomba são integralmente transmitidos ao suporte As pressões indicadas são relativas a Determine a cota Z4 b Determine caudal na secção 3 300 kPa B 4524 m3h 1 2 3 φ40 mm φ60 mm φ100 mm H2O Z1Z2Z35 m 490 kPa 6948 kPa Z0 Z4 c Determine a potência fornecida à bomba sabendo que o rendimento desta é igual a 85 d Sabendo que a componente vertical da força exercida pelo suporte sobre a bomba tem o valor de 3 kN sentido de baixo para cima determine o peso da bomba Equações fundamentais formulação integral 40 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 84 Água escoase por gravidade entre dois reservatórios interligados por um sistema de condutas conforme indicado na figura a Esboce qualitativamente a evolução da pressão total ou de estagnação ao longo dos pontos I IIVII b Para um desnível H20 m constante determine o caudal de água que flui entre os dois reservatórios c Considere uma nova condição de H mantendose a cota de 50 m para a qual se verifica um caudal de 450 m3h em cada um dos ramos B e C Determine i a pressão estática no ponto III ii a força exercida sobre a bifurcação para a manter no lugar AB0005 m2 H AC0005 m2 AA001 m2 60º Água ρ1000 kgm3 50 m I II III IV V VII VI Equações fundamentais formulação diferencial 41 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Equações fundamentais Formulação diferencial Equações fundamentais formulação diferencial 42 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 85 Estabeleça a lei de distribuição de velocidades para um escoamento entre duas placas planas e paralelas escoamento laminar permanente e incompressível PROBLEMA 86 Considere o escoamento entre duas placas planas paralelas representado na figura A placa superior movese a uma velocidade constante U estando a inferior fixa A pressão decresce na direção do escoamento sendo o gradiente longitudinal dpdx constante a Encontre uma expressão para o perfil de velocidades ufy b Compare a evolução da tensão de corte verificada neste escoamento com a de um outro em que dpdx é nulo PROBLEMA 87 No escoamento bidimensional laminar e permanente entre duas superfícies sólidas horizontais o perfil de velocidades tem a forma esboçada na figura com a velocidade máxima Um localizada a meia distância entre as duas superfícies a Integrando a equação do movimento segundo Ox exprima Um em função do espaçamento H das propriedades do fluido ρρρρ µµµµ e do gradiente de pressões x p b Será viável utilizar o teorema de Bernoulli para relacionar as pressões em dois pontos distintos deste escoamento Justifique U h H x y O Um Equações fundamentais formulação diferencial 43 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 88 Um líquido de massa volúmica ρρρρ e viscosidade µµµµ escoase sobre uma placa infinitamente larga inclinada de um ângulo θθθθ relativamente à horizontal por ação da gravidade A espessura do líquido sobre a placa é constante e igual a h e o escoamento é permanente a Desprezando a viscosidade do ar em contacto com a superfície superior do líquido determinar a distribuição de velocidades a velocidade média e a tensão de corte junto à parede b Esboce o perfil de velocidades que se obteria no caso de não se ter desprezado o atrito do líquido com o ar PROBLEMA 89 Uma correia de grande largura plano normal ao da figura passa por um recipiente contendo um líquido viscoso de propriedades ρρρρ e µµµµ arrastando uma película de fluido de espessura h que por sua vez se escoa por ação da gravidade Sendo V0 a velocidade vertical da correia encontre uma expressão para a velocidade média da película de fluido admitindo que o escoamento é laminar e permanente Nota O referencial xy é fixo com respeito a um observador exterior PROBLEMA 90 Um fluido de propriedades ρ e µ newtoniano e incompressível escoase entre duas placas planas paralelas conforme se mostra na figura O escoamento é produzido pelo arrastamento da placa superior que se move com uma velocidade U e por um gradiente longitudinal de pressões px sendo o regime laminar e permanente a Esboce o perfil de velocidades para as situações pxo px0 e px0 b Encontre a relação que deve verificarse entre U e px para que a tensão de corte junto à placa fixa seja nula Equações fundamentais formulação diferencial 44 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 91 Um fluido de propriedades ρ 900 kg m3 µ 9x102 kgms escoase em regime laminar entre duas placas planas paralelas e horizontais dando origem a um perfil de velocidades uy traduzido pela expressão uy K y H y K constante a Deduza uma relação entre as velocidades média e máxima deste escoamento b Estabeleça uma relação entre o parâmetro K e as outras grandezas envolvidas no escoamento gradiente de pressão propriedades do fluido etc c Se a transição entre o regime laminar e turbulento se verificar para um valor ReH 2500 e sendo H 5 cm qual o valor de K que corresponde a essa transição PROBLEMA 92 Dois fluidos imiscíveis com a mesma massa volúmica mas diferentes densidades estão contidos entre duas placas planas paralelas conforme se mostra na figura A placa inferior é fixa e a superior deslocase com uma velocidade constante U dando origem a um escoamento laminar e incompressível sem gradiente de pressão na direção do movimento sendo contínua a variação quer da velocidade quer da tensão de corte através da fronteira entre os fluidos a Determine o valor da velocidade na interface entre os dois fluidos exprimindo o resultado em função de U µ1 e µ2 b Esboce o perfil de velocidades para a situação µ2 2µ1 Qual a relação entre as tensões de corte verificadas junto às placas superior e inferior Comente o resultado fundamentando a resposta na relação entre a tensão e o gradiente de velocidades em cada caso H x y O Um Equações fundamentais formulação diferencial 45 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 93 O campo de velocidades de um escoamento ρ12 kg m3 bidimensional invíscido e incompressível é dado por u 2 2 10y x y v 2 2 10x x y w 0 g00g Determine a componente do gradiente de pressões na direção x e calcule o seu valor no ponto 110 Transforme estas velocidades nas componentes polares vr vθ O que pode representar este escoamento PROBLEMA 94 De acordo com a teoria dos escoamentos potenciais na região de aproximação a um cilindro bidimensional a velocidade do fluido na linha de corrente central y0 é dada por uU1R2x2 onde R é o raio do cilindro e U a velocidade do escoamento na região não perturbada a Determine para ρ900 kg m3 µ03 Pas R50 mm e U2 ms a A aceleração máxima do fluido nessa linha de corrente e o local x onde tal valor ocorre b idem para a tensão normal τxx PROBLEMA 95 Considere um escoamento bidimensional estacionário e incompressível de um fluido newtoniano com um campo de velocidades definido por u 2xy v y2 x2 w 0 a Verifique se é satisfeita a lei de conservação da massa b Determine o campo de pressões pxy sabendo que g00g e p00Po y x R U Equações fundamentais formulação diferencial 46 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Análise dimensional 47 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Análise dimensional Semelhança Análise dimensional 48 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 96 A perda de carga p numa placa orifício medidor de caudal é função dos diâmetros do orifício e da conduta d e D da velocidade média do escoamento V das propriedades do fluido ρρρρ e µµµµ Adimensionalize esta dependência utilizando o teorema de Buckingham PROBLEMA 97 Um rotâmetro é um dispositivo medidor de caudal constituído por um tubo cónico vertical e um flutuador A posição deste último x varia de acordo com a velocidade do fluido à entrada do tubo U e é por isso uma medida indireta do caudal escoado Uma análise das variáveis em jogo mostra que x fdF U ρ µ γF em que ρ e µ são as propriedades do fluido dF e γF o diâmetro e o peso específico do flutuador e g a aceleração da gravidade Apresente a mesma relação sob a forma adimensional utilizando o teorema de Buckingham PROBLEMA 98 Genericamente a elevação de pressão p produzida por uma bomba centrífuga depende das propriedades do fluido ρρρρ µµµµ da velocidade de rotação n do diâmetro do rotor D e do caudal volúmico V a Apresente essa dependência sob forma adimensional recorrendo ao teorema de Buckingham b A experiência mostra que para fluidos pouco viscosos o comportamento de uma bomba centrífuga é praticamente independente da viscosidade Tirando partido desse facto mostre que a elevação de pressão p de uma bomba varia proporcionalmente à massa volúmica ρ do fluido que nela circula quando se mantêm constantes a velocidade de rotação e o caudal volúmico PROBLEMA 99 Um reservatório mantido a pressão constante pint descarrega para a atmosfera através de um furo de diâmetro d um líquido de massa específica ρρρρ e viscosidade νννν a Encontre uma relação adimensional entre o caudal de descarga V e os restantes parâmetros relevantes b Uma expressão vulgarmente utilizada para o cálculo do caudal volúmico saindo de um reservatório é V 061 2 2 4 d gH π Investigue a homogeneidade dimensional da relação e comente a sua aplicabilidade à situação descrita em a U dF x H D d p int Análise dimensional 49 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 100 Um elemento da estrutura de uma ponte com um comprimento muito superior às outras dimensões tem a secção transversal mostrada na figura É sabido que com o vento soprando a uma velocidade constante podem formarse na esteira vórtices emitidos de modo regular a uma frequência bem definida podendo o fenómeno dar origem a esforços periódicos importantes sobre a estrutura pelo que é essencial o conhecimento daquela frequência Neste caso concreto as dimensões da estrutura são D01 m e H03 m o vento em causa é de 50 kmh ρar12 kg m3 µar18x105 kgms e pretendese determinar a frequência ensaiando um modelo a escala reduzida num túnel de água ρ1000 kg m3 µ101x103 kgms sendo a dimensão Dm20 mm a Determine a dimensão Hm do modelo bem como a velocidade à qual deverá ser realizado o ensaio b Se a frequência de emissão de vórtices encontrada no ensaio for de 499 Hz qual o valor esperado no protótipo PROBLEMA 101 A turbina de um gerador eólico de diâmetro D roda no ar ρρρρ µ a uma velocidade angular ΩΩΩΩ a Encontre uma relação adimensional entre a potência captada pela turbina e as outras grandezas envolvidas b Suponha que a velocidade de rotação da turbina é de tal forma elevada que os efeitos da compressibilidade do ar não são desprezáveis Em que medida é que este facto vem alterar a relação obtida na alínea anterior Análise dimensional 50 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 102 Pretendese desenvolver um instrumento para medição de velocidades em escoamentos de ar constituído por um cilindro com dois orifícios 1 e 2 onde é medida a diferença de pressões pp1p2 que depende do valor da velocidade U bem como das dimensões do cilindro e das propriedades do fluido a Adimensionalize a dependência atrás enunciada recorrendo ao teorema dos Π de Buckingham b Um destes instrumentos foi aferido num túnel de vento obtendose uma curva como a figurada Diga justificando se poderia converter esta curva numa outra apropriada para utilizar o mesmo instrumento em escoamentos de água PROBLEMA 103 A velocidade de descida de um paraquedista depende do seu peso próprioequipamento do diâmetro do paraquedas e das propriedades do ar a Utilizando o teorema de Buckingham apresente a relação entre as grandezas mencionadas em forma adimensional b Pretendese estudar em escala reduzida o comportamento de um paraquedas que deverá descer carregado com o peso total 1000 N Que peso deverá ser adotado num modelo à escala 15 por forma a assegurar condições de semelhança dinâmica O fluido utilizado na simulação é o mesmo do caso real PROBLEMA 104 Pretendese avaliar o caudal mássico que se escoa por gravidade de um reservatório de altura h ao longo de um tubo vertical de diâmetro D e comprimento Hh O fluido é um líquido de propriedades ρ e µ a Identifique as grandezas que poderão influenciar o valor do caudal escoado e apresente a relação correspondente sob forma adimensional utilizando o teorema de Buckingham b O problema concreto é estudar um escoamento de óleo ρ850 kg m3 µ001 kgms ao longo de um tubo com H50 m e D5 cm num modelo reduzido utilizando como fluido a água ρ1000 kg m3 µ0001 kgms Qual a redução de escala a adotar Análise dimensional 51 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 105 Para determinar a velocidade de queda de uma esfera de alumínio ρ2700 kg m3 com 1 cm de diâmetro mergulhada em água ρ1000 kg m3 µ0001 kgms mediuse a velocidade de queda de uma esfera de aço ρ7800 kg m3 com 2 cm de diâmetro em óleo ρ900 kg m3 µ01 kgms Supondo desprezável a dependência dos fenómenos relativamente ao número de Reynolds coeficiente de arrasto independente do Re relacione as duas velocidades de queda PROBLEMA 106 A figura representa o corte de uma sala onde o ar é insuflado através de uma fenda existente junto ao teto a uma velocidade V a Encontre uma relação entre o comprimento da zona descolada l e os restantes parâmetros relevantes b Se pretendesse estudar num modelo à escala 110 o caso de uma sala com 3 m de pé direito em que se insufla ar ρ12 kg m3 ν151x105 m2s por uma fenda de 5 cm de altura a uma velocidade de 25 ms quais seriam a altura da fenda e a velocidade de ensaio apropriadas para o ensaio se o fluido utilizado fosse água ρ1000 kg m3 ν101x106 m2s PROBLEMA 107 Prove que num escoamento governado simplesmente por forças de inércia gravidade e pressão a razão dos caudais volúmicos de dois sistemas dinamicamente semelhantes é igual à razão dos comprimentos característicos elevada a 52 PROBLEMA 108 Pretendese saber qual a força de arrasto verificada num avião cuja velocidade é de 600 kmh Será possível ensaiar um modelo à escala 120 do avião num túnel de vento à mesma pressão e temperatura a que vai estar sujeito o protótipo com o fim de avaliar a referida força de arrasto Em caso negativo sugira como poderia eventualmente ser contornado o problema V h H l Análise dimensional 52 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 109 Num modelo à escala 1100 de um porto de mar qual o intervalo de tempo que deverá corresponder ao período real de marés de 124 horas PROBLEMA 110 Um avião destinase a voar a uma altitude de 3000 m onde a pressão e a temperatura são respetivamente 702 kPa e 15 C à velocidade de 120 ms Um modelo à escala 120 é ensaiado num túnel de vento pressurizado à temperatura de 15 C Para que exista semelhança dinâmica quais os valores de pressão e velocidade que deverão ser adotados no ensaio Admita que para o ar µ 3 2 117 T T PROBLEMA 111 O binário necessário para operar o leme de um submarino profundamente submerso deslocandose à velocidade de 3 ms é estudado num modelo à escala 120 num túnel de água doce Num teste apropriado o binário medido era de 83 Nm Qual o binário esperado no submarino ρ água slagada 1025 kg m3 ρágua doce 1000 kg m3 µ água slagada µ água doce PROBLEMA 112 O aumento de pressão pp2p1 através da expansão súbita representada na figura e pela qual escoa um líquido pode ser expresso como pƒA1 A2 ρ v1 onde A1 e A2 são as áreas das secções de passagem a montante e a jusante ρ é a massa volúmica do fluido e v1 é a velocidade a montante Alguns dados experimentais obtidos com A2011613 m2 v11524 ms e utilizando água ρ1000 kg m3 são dados na seguinte tabela v1 A1 A2 p1 p2 A1 m2 000929 002323 003437 004831 005667 p Pa 155610 375858 493164 555408 588924 a Represente graficamente estes dados experimentais usando parâmetros adimensionais adequados b Para uma expansão súbita com A1002323 m2 e A2006637 m2 percorrida por um fluido ρ1115 kg m3 com velocidade v11143 ms preveja o valor de p correspondente Análise dimensional 53 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 PROBLEMA 113 A altura h que atinge um líquido num tubo capilar depende do diâmetro do tubo d do peso específico do fluído γ produto da massa específica pela aceleração da gravidade da tensão superficial do fluido σ e do ângulo de contacto θ a Adimensionalize este problema b Se numa experiência for medido um valor de h3 cm qual será a altura atingida noutro caso semelhante em que a tensão superficial é a metade d θ h do caso anterior e onde a massa volúmica do fluído é duas vezes superior para um mesmo ângulo de contacto 54 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Soluções dos exercícios de Mec dos Fluidos I 6º versão 030725 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 1 a H U y u y H U y µ τ b 225 Nm2 2 0075 N 3 a 2194 N b 154µm c 2194 N 4 a 982E5m b igual 5 356 ms 6 1131 W 7 a 286 N b 3667 W 8 a 196E2 Nms b pequenas viscosidades 9 a 1769 ms b medindo a velocidade de descida 10 111E3 kg m1 s1 Não esquecer o momento resistente na base 11 a θ ω πµ hsen r M o o 2 4 12 3 2 3 R sen M πω θ µ 13 a 4 D w β τ 8 4 D D β τ b D L F 4 β 2 π 14 exp 1 m h M At A hMg v t µ µ v 15 µ12µ2 Hidrostática g 98 ms2 Patm 1 bar 16 125807x105 Pa 9451 mmHg 1283 kgfcm2 1285mca 17 a 954857 Pa b 9622 cm c retirando agua 18 a 532 cm b 56 J 19 1 2 2 d D sen f g θ ρ ρ 20 a 2401 Pa 21 a 196E5 Pa b 172 kg 22 a 5265 Pa b 0015 m 23 P M833595xH032π427619 N 24 a 0 N b não afeta 25 079 m Patm101325105 Pa 26 i 77 kN ii 38 kN iii Não 27 a 10 b a água não afeta a sensibilidade 28 1594 m 29 a ZB2725 m ZC1931 m b 30 b 314 MN 55 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 31 i µ ρ ρ L H b p a 2 2 ii L H b p a ρ ρ 3 3 32 17 m 33 b 481 Nm 34 4 m 35 h7875 x cos θ x sen2 θ B13 36 206 kN ycp 068 mm Pressões absolutas 37 4131 kN ycp 962 mm xcp 0 P138 kN 38 a 476 m b 570 m 39 b ycp 194 mm c 0 b Pressões absolutas 40 i 2217 kN ycp 02357 m 41 b 1725 kNm 42 a 95 m b 2414 kgf 43 FH 2015 MN FV259 MN 44 F 63144 kN 45 Fy14207 kN Fx3678 kN Mo 1838 kNm 46 b 292 kN c 194 ton 47 a 444 kgf b 4632 kgf c 1027 kN 48 b 4325 N de baixo para cima c 12632 N 49 a 134300 Pa 641 kgf b 6732 N 50 b FH1008 MN FV4237 kN 51 h b 2 1 2 ρ ρ ρ ρ EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS FORMULAÇÃO INTEGRAL 52 53 a 1913 kPa b 0202 m c V V z 2 2 0 2 0 25 0 25 2 0 255 π 54 V P P D D 1 1 2 1 2 4 2 1 ρ 55 a 293 ls 56 a h 091 m b h 7 m 57 217 kgs P1124500 Pa P2114700Pa P390200Pa 58 1122 s 59 a 1024 kgs b 00036 Pa 60 a 252 ls b 834 m 61 b 4571 ms c P1P22636 Pa 62 105 i kgf 63 O corpo A 64 5 m 65 a 1958 kg b 5 ms 66 189 N 67 a 450sen θ b αA1 1αA1 com α1cos θ2 68 a 407 kgs b 1428 i 2574 j N 69 a 2796 Pa 0321 m3h b 0896 ms 56 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 70 84259i5556j N 71 1198i5709j N 72 b v1130 ms v2927 ms c 683 kN 73 86 W 74 b 712 bar c 63 RPM 75 a 567 ls b 898 i N 76 a 26kW b H 97 m 77 a 5066 KW b 2988 kgf c ver res aula prática 78 a 27 kW b 2986 m3h 79 a 0329 m b 167i 327j kgf 80 216 kgfcm2 81 a 1014 kW b 1415i 2354j kN 82 a 523 m3h b 5034 W c 2493 m3h 83 a 55 m b 1357 m3h c 338 kW d 1135 kg 84 b 713 m3h ci 275105 Pa cii FH1076N FV0 Equações fundamentais Formulação diferencial 85 u dP dx b y 1 2 2 2 µ Eixo dos xx no centro da conduta 86 a u U y h h dP dx y h y h 2 2 1 µ b τ µ U h dP dx h y 2 87 U dP dx H m 1 2 4 2 µ 88 a u h g sen y h y h 2 1 2 ρ θ µ u h g sen 2 3 ρ θ µ τ ρ θ W h g sen 89 V gh 0 2 3 ρ µ 90 b U dP dx h 2 2µ 91 a U U m 2 3 b K dP dx 1 2µ c 12000 m1s1 92 U µ µ µ 1 1 2 93 a 3 2 2 100 y x x x P ρ 15 Pam b vr0 vθ10r 94 a 297 ms2 6455 mm b 48 Pa 0050 m 95 a sim é satisfeita a lcm b 2 2 4 4 2 2 0 y x x y P P ρ 57 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 ANÁLISE DIMENSIONAL SEMELHANÇA 96 2 µ ρ φ ρ VD D d V P 97 U 2 D VD D x F F F ρ γ µ φ ρ 98 a D P V D n V V D 4 2 3 ρ φ ρ µ 99 a int V d g P gd d g d H 5 3 φ ρ ν 100 a fD U UD H D φ ρ µ b 296 Hz 101 a Pot U D D U UD ρ φ ρ µ 3 2 Ω 102 a P U UD ρ φ ρ µ 2 103 a Mg U D UD ρ φ ρ µ 2 2 b MgmMgP 104 a m D H D D g µ φ ρ µ 3 2 2 b 1517 105 V V AL Aço 0 33 106 a l H Vh h h ρ φ µ b hm 0005 m Vm167 ms 107 108 109 124 h 110 1259 ms 163 bar 111 162 Nm 112 b 3269 Pa 113 a 2 h d d σ φ θ γ b 15 cm 58 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Problemas de Mecânica dos Fluidos I 1 5 v A figura dimensões em milímetros representa um reservatório de combustível líquido ρ 800 kgm por uma massa M de forma cilíndrica suscetível de se elevar por ação da pressão abrindo a passagem do combustível para um tubo de descarga D O ar na parte superior do reservatório é pressurizado por um compressor a Calcule o valor da massa M para garantir um nível máximo de enchimento H uma pressão manométrica do ar de 12 bar b Se a tampa circular puder rodar em torno do eixo E perpendicular à figura qual o esforço a que estará sujeito o parafuso de fixação P ainda para a situação referida na alínea anterior c De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido 2 3 v Considere o escoamento entre duas placas planas sujeito a um gradiente de pressão longitudinal processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é Newtoniano a Encontre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando px K com K 0 b Determine a força necessária para arrastar uma placa de área A 1 m2 com uma velocidade U uma película de óleo de espessura h gradiente de pressão px é igual a A massa específica e viscosidade do óleo são ρ 900 kgm3 e µ 03 Nota Caso não tenha respondido à alínea anterior considere que o perfil de velocidade é dado por Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA MECÂNICA DOS FLUIDOS I A figura dimensões em milímetros representa um reservatório de 800 kgm3 provido de um limitador de nível constituído por uma massa M de forma cilíndrica suscetível de se elevar por ação da pressão passagem do combustível para um tubo de descarga D O ar na parte superior do reservatório é pressurizado por um Calcule o valor da massa M para garantir um nível máximo de enchimento Hmáx 2 m e uma pressão manométrica do ar de 12 bar tampa circular puder rodar em torno do eixo E perpendicular à figura qual o esforço a que estará sujeito o parafuso de fixação P ainda para a situação referida na alínea anterior De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido Considere o escoamento entre duas placas planas sujeito a um gradiente de pressão longitudinal px Admita que o escoamento é incompressível que se processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é tre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando Determine a força necessária para arrastar uma placa com uma velocidade U 1 ms sobre uma película de óleo de espessura h 1 cm em que o px é igual a 2000 Pa A massa específica e viscosidade do óleo são 03 kgms respetivamente Nota Caso não tenha respondido à alínea anterior considere que o perfil de velocidade é dado por µ 2 y2 hy x p h U y u 59 2013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Exame 20100112 A figura dimensões em milímetros representa um reservatório de provido de um limitador de nível constituído De que forma a altura do líquido acima da tampa afeta o esforço referido atrás Considere o escoamento entre duas placas planas sujeito a um gradiente px Admita que o escoamento é incompressível que se processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é tre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando 60 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 3 8 v A figura representa um túnel aerodinâmico ar ρ 1225 kgm3 µ 1789105 kgm1s1 em circuito aberto de secção circular à semelhança de um disponível no laboratório em que o ventilador instalado numa das extremidades assegura as condições de funcionamento exigidas Na secção de trabalho foi colocado um objeto de forma irregular Os perfis de velocidade nas secções 1 e 2 na saída do túnel atmosfera são os representados tendose admitido desprezável o efeito das tensões de corte na parede do tubo túnel de vento a Determine o rendimento do conjunto ventiladormotor elétrico sabendo que a potência deste último é de 4 kW b Qual a força necessária para manter fixo o objeto colocado na secção de trabalho c Determine os fluxos de massa quantidade de movimento e energia cinética na saída do túnel d Determine a potência dissipada entre as secções 1 e 2 4 4 v O tempo t necessário para esvaziar um determinado volume de líquido de um pequeno reservatório com a forma de um cilindro vertical depende de vários fatores incluindo a viscosidade Assuma que para fluidos bastante viscosos o tempo necessário para despejar 23 do volume inicial depende da altura inicial do líquido no reservatório h do seu diâmetro D da viscosidade do fluido ν e da aceleração da gravidade g Os dados da tabela seguinte foram obtidos em laboratório para um reservatório com h 45 mm D 60 mm ν m2s t s 112102 15 173102 23 398102 53 622102 83 1092102 145 a Encontre uma relação adimensional entre as variáveis consideradas neste problema b b1 Utilizando os resultados obtidos em laboratório será possível determinar o tempo necessário para esvaziar 23 do volume de um líquido com ν 14110 2 m2s inicialmente à altura h 50 mm de um reservatório com diâmetro D 80 mm b2 E se a altura inicial for h 60 mm Caso alguma das respostas anteriores seja afirmativa estime o tempo necessário para o esvaziamento Problemas de Mecânica dos Fluidos I 1 5 v O reservatório representado contém um líquido sob pressão e os tubos manométricos A1 e A2 d136 têm os seus ramos livres em contacto com a atmosfera Os desníveis representados têm os seguintes valores em milímetros y1 550 y2 500 a Calcule a densidade do líquido contido no reservatório b Admitindo que 1400 kgm3 calcule a posição da superfície livre dentro do reservatório x c Para x200 mm ρ e uma précarga da mola de 45 topo do reservatório sem que o limitador de pressão LP pormenor na figura abra 2 4 v Considere o escoamento com horizontais fixas forçado por um gradiente de pressão que o escoamento se processa em regime permanente laminar e incompressível e que as dimensões das placas horizontais podem ser consideradas infinitas a Indique quais os termos que podem ser considerados nulos na equação diferencial seguinte e porquê y v u x u u t u ρ b Determine o perfil de velocidade c A que distância das placas a velocidade toma um valor igual ao da velocidade média d Calcule a tensão viscosa junto da placa inferior Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA MECÂNICA DOS FLUIDOS I Prova de recurso O reservatório representado contém um líquido sob pressão e os tubos com mercúrio d136 têm os seus ramos livres em contacto com a atmosfera Os desníveis representados têm os seguintes valores em milímetros h1 450 h2 650 Calcule a densidade do líquido contido no reservatório Admitindo que ρlíq é de calcule a posição da superfície livre dentro do ρlíq1400 kgm3 carga da mola de 45 N qual o valor máximo da pressão do gás no topo do reservatório sem que o limitador de pressão LP pormenor na figura Considere o escoamento com Vu00 entre duas placas planas horizontais fixas forçado por um gradiente de pressão px constante Admita que o escoamento se processa em regime permanente laminar e incompressível e que as dimensões das placas horizontais podem ser consideradas infinitas Indique quais os termos que podem ser considerados nulos na equação eguinte e porquê 2 2 2 2 2 2 z u y u x u g x p z u w x µ ρ Determine o perfil de velocidade A que distância das placas a velocidade toma um valor igual ao da velocidade Calcule a tensão viscosa junto da placa inferior y0 61 2013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Prova de recurso 20100205 O reservatório representado contém um líquido sob pressão e os tubos qual o valor máximo da pressão do gás no topo do reservatório sem que o limitador de pressão LP pormenor na figura entre duas placas planas constante Admita A que distância das placas a velocidade toma um valor igual ao da velocidade 62 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 Nota Caso não tenha respondido à alínea b considere que o perfil de velocidade é dado por uy 4Umax h y y2h2 3 3 v Admita que a potência de uma turbina hidráulica P depende apenas das propriedades do fluido e do diâmetro do rotor D da altura útil de queda H e do caudal Q a Diga justificando convenientemente quais os grupos adimensionais mais importantes para a caracterização do escoamento b Pretendendo fazerse um ensaio com um modelo da turbina à escala 110 qual deverá ser a relação entre as alturas de queda no modelo e no protótipo para que se verifiquem as condições de semelhança dinâmica E qual será a relação entre a potência medida no ensaio e a esperada no caso real Nota Suponha que se utiliza no ensaio o mesmo fluido do caso real 4 8 v A figura representa a extremidade de uma tubagem que descarrega para a atmosfera e tem na sua parte vertical um filtro para retenção de impurezas O fluido é água 1000 kgm3 103 Pas e ocupa um volume total de 4000 cm3 a Qual a intensidade da força Rx de fixação da curva na direção horizontal b Determine o valor da pressão antes e depois do filtro c Diga qual a consequência ou as consequências da presença do filtro em termos da potência despendida para que esta instalação possa funcionar Quantifique d Numa outra versão deste mesmo dispositivo o filtro foi substituído por uma hélice acoplada a um pequeno gerador elétrico Determine a potência disponível no eixo desta hélice e o rendimento deste dispositivo sabendo que a potência elétrica é igual a 500 Watt e a pressão na secção de entrada é 30 kPa filtro área 100 cm2 área 60 cm2 V3 ms Ry270 N filtro 63 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Exame 20110118 1 5 v A figura representa uma das instalações experimentais usadas no laboratório em que um corpo com 6 faces duas delas curvas e concêntricas é mergulhado em água ρ 1000 kgm3 a profundidade d variável L 275 mm H 200 mm D 100 mm B 75 mm a a1 Explique o funcionamento e objetivo da experiência realizada a2 Desenhe na folha do enunciado a distribuição de pressão em todas as faces do corpo suspenso b Escreva a expressão matemática que traduz o equilíbrio que permite manter na posição horizontal o braço L que roda em torno do pivot e em cuja extremidade são suspensas as massas c A tabela mostra uma sequência de valores relativos a situações de equilíbrio Determine recorrendo apenas a estes dados a distância h entre o eixo pivot em torno do qual o braço L roda e o ponto de aplicação da força na face vertical retangular BD Complete a coluna respetiva h exp na tabela junto com as figuras pág 3 d Obtenha a expressão da distância entre o pivot e o ponto de aplicação da força repita a alínea b mas baseado nas expressões gerais para o caso de superfícies planas submersas Determine essa distância hteo para os pontos 6 e 7 e preencha a tabela 2 7 v A figura representa a colisão de dois jatos água ρ 1000 kgm3 de secção circular 1 e 2 que confluem para um único jato 3 todos no mesmo plano horizontal a Determine o caudal mássico na secção 3 b Determine o ângulo θ e a velocidade do jato 3 que resulta da colisão de 1 e 2 c Mostre que não se trata de um escoamento ideal e determine a potência dissipada no processo Massa g d mm 103 65 151 80 207 95 225 100 250 105 300 118 340 128 1 2 N 3 4 5 6 7 64 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 3 4 v A queda de pressão por unidade de comprimento pl no escoamento de sangue num tubo horizontal de pequeno diâmetro é uma função do caudal volúmico Q do diâmetro D do tubo e da viscosidade do sangue µ a Efetue a análise dimensional do problema e determine os ou o número adimensional π relevante b A tabela mostra os resultados de um conjunto de testes em que D 2 mm µ 0004 Pas e a queda de pressão p foi medida entre dois pontos afastados da distância l 300 mm N Q m3s1 p Nm2 1 360106 110104 2 491106 150104 3 632106 193104 4 789106 241104 5 850106 245104 6 979106 299104 Analise estes dados com base nas conclusões da alínea a Diga se lhe parece ter havido alguma anomalia que tenha decorrido durante a experiência nomeadamente se algum dos pontos medidos se afasta daquilo que é esperado devendo ser eliminado do conjunto de pontos ou a experiência repetida c Determine a queda de pressão por unidade de comprimento no caso do escoamento num tubo de D 3 mm Q 20106 e µ 0006 Pas 4 4 v Considere o escoamento vertical entre duas placas planas e paralelas com gradiente de pressão pyK1 Admita que o escoamento é incompressível que se processa em regime laminar e permanente e que o fluido em questão é Newtoniano a Encontre uma expressão para o perfil de velocidade e esboce a sua forma quando K1 0 b Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da parede xh Caso não tenha respondido à alínea a considere que o perfil de velocidade é dado pela expressão vxK22μhxx2 65 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Exame 20110118 ALUNO IMPORTANTE esta folha deve ser entregue juntamente com a sua resolução do exame N Massa g d mm hexp hteo 1 103 65 2 151 80 3 207 95 4 225 100 5 250 105 6 300 118 7 340 128 66 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Recurso 20110211 1 7 v A figura dimensões em milímetros representa uma das instalações experimentais usadas no laboratório em que se escoava um caudal constante de água ρágua 1000 kg m3 fixado pela regulação de válvulas a Explique o funcionamento e objetivo da experiência e identifique as técnicas de medição utilizadas b Durante 274 s foram recolhidos num balde 32 kg de água Utilizando esta informação determine o caudal volúmico e a velocidade em cada secção preenchendo a tabela 1 di é o diâmetro da secção c Preencha as restantes colunas da tabela 1 determinando as pressões dinâmica e total em função da altura da coluna de água nos tubos manométricos ligados a cada orifício hi e ao tubo de Pitot hT d Obtenha as expressões que lhe permitem determinar a velocidade e o caudal em qualquer das secções em função da altura das colunas de água hi e hT Utilizando estas expressões preencha a tabela 2 para as secções 3 4 e 6 Compare os resultados com os da tabela 1 justificando eventuais discrepâncias e Sabendo que pressão no ponto 1 é de 2 bar relativamente à atmosfera e1 Determine a pressão do ar encerrado na parte superior dos tubos manométricos e2 Se estes tubos fossem abertos para a atmosfera qual seria o valor de h1 f Determine qual deveria ser a pressão total nas secções 3 4 e 6 usando as medições de pressão estática e a massa de água recolhida no balde 32 kg em 274 s preenchendo a tabela 2 67 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 2 5 v A figura mostra uma instalação de bombagem entre um lago e um reservatório pressurizado pressão manométrica 200 kPa em que se pretende transferir no mínimo 4000 litros de água em 10 minutos A conduta que liga a bomba ao reservatório tem um diâmetro de 50 mm a Mostre que uma bomba que fornece 22 kW assegura as condições de funcionamento desejadas b Se a pressão no interior do reservatório aumentar para 300 kPa será que a mesma bomba é capaz de assegurar as condições de funcionamento pretendidas c Determine as forças na direção vertical e horizontal para suportar a curva assinalada para o caso do reservatório pressurizado a 200 kPa e o caudal mínimo pretendido 3 4 v Um fluido escoase no interior de um tubo conforme figura junto A queda de pressão p entre a entrada e a saída do tubo é uma função da velocidade V do raio de curvatura R e do diâmetro do tubo D e da massa volúmica do fluido ρ a Efetue a análise dimensional do problema e determine o ou os números adimensionais Π relevantes b A tabela mostra o resultado de um conjunto de testes em que ρ1100 kgm3 R150 mm e D30 mm Analise estes dados com base nas conclusões da alínea a e identifique qualquer anomalia que tenha ocorrido durante a experiência ou na elaboração dos grupos adimensionais 4 4 v Considere a expressão uytU0eκycosωtκy em que κω2ν que corresponde ao perfil de velocidade do escoamento laminar e incompressível de um fluido Newtoniano sobre uma parede horizontal oscilante em y 0 a Determine uma expressão para a tensão viscosa junto da parede τw b Prove que este escoamento ocorre sem gradiente de pressão longitudinal px0 Teste V ms p Pa 1 06 574 2 09 1175 3 12 1908 4 16 3112 5 20 4200 68 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Exame 20110118 ALUNO IMPORTANTE esta folha deve ser entregue juntamente com a sua resolução do exame Nota As pressões são relativas à pressão do ar nos tubos manométricos Tabela 1 32 kg em 274 s Secção Li mm di mm hi mm hT mm Caudal m3h Ui ms Pressão dinâmica Pa Pressão total Pa 1 00 250 257 260 2 603 139 230 260 3 687 118 204 260 4 732 107 175 260 5 811 100 150 260 6 1415 250 245 255 Tabela 2 Secção hi mm Ui ms Caudal m3h Pressão estática Pa Pressão total Pa 1 257 2 230 3 204 4 175 5 150 6 245 Problemas de Mecânica dos Fluidos I 1 5 v O reservatório esquematizado na figura contém dois líquidos imiscíveis água d1 e óleo d082 separados por uma placa AB com dimensões 02 1 m que roda em torno de um eixo passando por A perpendicular ao plano da figura a Esboce o diagrama das forças decorrentes da pressão nas faces da placa AB b Admitindo a placa em equilíbrio na posição representada qual a altura h c Considerando agora apenas a face esquerda da placa AB determine o momento em torno de A exercido pelas forças que nela 2 7 v A figura representa uma das instalações usada no laboratório Um jato vertical de água ρ1000 kgm3 emerge de uma agulheta com 8 mm de diâmetro e incide no interior de uma calote esférica diâmetro da base igual a 42 acoplada a uma extremidade oposta tem um prato onde são colocadas massas diversas 1 2 3 N Volume recolhido L Tempo de recolha s 1 10 5665 2 10 4212 3 10 2832 4 20 4625 a Usando as equações fundamentais apropriadas calcule a força que o jato de água exerce sobre a calote preencha a coluna 6 da tabela e compare com os valores medidos em laboratório coluna 5 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS Exame O reservatório esquematizado na figura contém dois líquidos imiscíveis água d1 e óleo d082 separados por uma placa AB com dimensões 02 1 m que roda em torno de um eixo passando por A perpendicular ama das forças decorrentes da pressão nas faces da placa AB Admitindo a placa em equilíbrio na posição representada qual a altura h Considerando agora apenas a face esquerda da placa AB determine o momento em torno de A exercido pelas forças que nela atuam A figura representa uma das instalações usada no laboratório Um jato vertical de água emerge de uma agulheta com mm de diâmetro e incide no interior de uma calote esférica diâmetro da base igual a 42 mm haste vertical que na extremidade oposta tem um prato onde são colocadas massas diversas 4 5 Tempo recolha Força medida N Força teórica N 5665 098 4212 196 2832 392 4625 589 Usando as equações fundamentais apropriadas calcule a força que o jato de água exerce sobre a calote preencha a coluna 6 da tabela e compare com os valores medidos em laboratório coluna 5 69 2013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO 20112012 MECÂNICA DOS FLUIDOS I Exame 20120106 O reservatório esquematizado na figura contém dois líquidos imiscíveis Usando as equações fundamentais apropriadas calcule a força que o jato de água exerce sobre a calote preencha a coluna 6 da tabela e compare com os 70 Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 b De entre as medições efetuadas qual aquela que lhe suscita mais dúvidas e repetiria numa próxima visita ao laboratório Justifique a sua resposta c Determine a espessura da película de água que sai da calote esférica e mostre que é independente da velocidade de saída do jato d Determine a potência da bomba montada na banca necessária para a realização destes ensaios 3 3 v Considere o escoamento de água ρ1000 kgm3 µ103 kgms entre duas placas planas horizontais fixas forçado por um gradiente de pressão px constante Admita que o escoamento se processa em regime permanente é monodimensional laminar e incompressível e que as dimensões das placas são muito maiores que o seu afastamento h e Encontre a expressão do perfil de velocidade neste escoamento justificando as simplificações que entender fazer às equações fundamentais f Qual o caudal escoado por unidade de largura das placas m3sm no caso de h1 cm e sabendo que o gradiente imposto conduz a uma velocidade máxima Umax igual a 1 ms Caso não tenha resolvido a considere o perfil dado pela expressão uy 4 Umax h y y2h2 Problemas de Mecânica dos Fluidos I 4 5 v O dispositivo representado na figura mede a viscosidade de um fluido µ relacionando o ângulo de torção do cilindro interior angular do cilindro exterior θ f ω µ K D1 D2 l onde K é a caraterística da mola de torção dimensões de energia Os dados da tabela foram obtidos na calibração do dispositivo usando fluido de viscosidade µ K14 Nm l03 m D θθθθ rad 089 305 552 640 a Encontre os grupos adimensionais que permitem caraterizar os fenómenos em causa b Determine a viscosidade de um fluido para o qual foi medido um ângulo de torção de 275 rad quando o cilindro exterior roda a uma velocidade de 15 rads c A calibração mencionada foi efetuada usando toda a gama de velocidade angular permitida pelo disposit mínima que podem ser medidas sem o recurso a extrapolações da curva de calibração Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 O dispositivo representado na figura mede a viscosidade de um fluido relacionando o ângulo de torção do cilindro interior θ com a velocidade angular do cilindro exterior ω Assuma a dependência do ângulo de torção l onde K é a caraterística da mola de torção dimensões de Os dados da tabela foram obtidos na calibração do dispositivo usando µ05 Nsm2 m D103 m e D2028 m são constantes ωωωω rads 030 105 186 214 Encontre os grupos adimensionais que permitem caraterizar os fenómenos em Determine a viscosidade de um fluido para o qual foi medido um ângulo de rad quando o cilindro exterior roda a uma velocidade de A calibração mencionada foi efetuada usando toda a gama de velocidade angular permitida pelo dispositivo Determine as viscosidades máxima e mínima que podem ser medidas sem o recurso a extrapolações da curva de 71 2013 O dispositivo representado na figura mede a viscosidade de um fluido com a velocidade Assuma a dependência do ângulo de torção l onde K é a caraterística da mola de torção dimensões de Os dados da tabela foram obtidos na calibração do dispositivo usando um Encontre os grupos adimensionais que permitem caraterizar os fenómenos em Determine a viscosidade de um fluido para o qual foi medido um ângulo de rad quando o cilindro exterior roda a uma velocidade de A calibração mencionada foi efetuada usando toda a gama de velocidade ivo Determine as viscosidades máxima e mínima que podem ser medidas sem o recurso a extrapolações da curva de Problemas de Mecânica dos Fluidos I 1 3 v Uma cápsula de forma esférica com 20 cm de diâmetro exterior é utilizada para recolha de amostras de água do mar d103 em profundidade Um orifício com 2 cm de diâmetro coberto com uma membrana tensão de rotura permite a entrada de água quando a membrana rebenta sob a ação da pressão expulsando o ar contido na cápsula que é então puxada para a superfície a Qual o peso mínimo que deverá ter a cápsula para que sem o auxílio de outros mecanismos se afunde no mar Nota despreze o peso do ar no interior da cápsula b Qual a pressão de enchimento da cápsula para que a recolha da amostra de água ocorra à profundidade mínima de 12 m 2 5 v Considere uma esfera sólida com massa volúmica esf inferior à massa volúmica de um líquido liq onde está imersa Nestas condições largando a esfera de diâmetro D à profundidade H ela elevase até uma altura h acima da superfície do líquido Pretendese estudar a altura h atingida a Indique as grandezas relevantes que poderão influenciar a altura h e apresente a relação correspondente sob a forma adimensional Despreze o efeito da força de resistência aerodinâmica no ar b Pretende com um diâmetro D 1 cm imersa em mercúrio d 3 Pas à profundidade H 02 m Se os testes forem feitos num modelo onde substituímos o mercúrio por água diâmetro e a massa volúmica que deverá ter a esfera Qual a profundidade a que a esfera deve ser largada c Em ensaios deste tipo é possível garantir a semelhança dinâmica usando o mesmo líquido Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Recurso Uma cápsula de forma esférica com 20 cm de diâmetro exterior é utilizada para recolha de amostras de água do mar d103 em profundidade Um orifício com 2 cm de diâmetro coberto com uma membrana tensão de rotura σRot 11 kgfcm2 a entrada de água quando a membrana rebenta sob a ação da pressão expulsando o ar contido na cápsula que é então puxada para a Qual o peso mínimo que deverá ter a cápsula para que sem o auxílio de outros mecanismos se afunde no mar spreze o peso do ar no interior da cápsula Qual a pressão de enchimento da cápsula para que a recolha da amostra de água ocorra à profundidade mínima de 12 m Considere uma esfera sólida com massa inferior à massa volúmica de um onde está imersa Nestas condições largando a esfera de diâmetro D à profundidade H se até uma altura h acima da superfície do se estudar a altura h atingida Indique as grandezas relevantes que poderão influenciar a altura h e apresente a relação correspondente sob a forma adimensional Despreze o efeito da força de resistência aerodinâmica no ar Pretendese estudar o caso de uma esfera de alumínio d 27 com um diâmetro D 1 cm imersa em mercúrio d 136 e Pas à profundidade H 02 m Se os testes forem feitos num modelo onde substituímos o mercúrio por água µ 10110 diâmetro e a massa volúmica que deverá ter a esfera Qual a profundidade a que a esfera deve ser largada Em ensaios deste tipo é possível garantir a semelhança dinâmica usando o mesmo líquido patm Pa 72 2013 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO 20112012 MECÂNICA DOS FLUIDOS I Recurso 20120131 Qual o peso mínimo que deverá ter a cápsula para que sem o auxílio de Qual a pressão de enchimento da cápsula para que a recolha da amostra se estudar o caso de uma esfera de alumínio d 27 136 e µ 152610 Pas à profundidade H 02 m Se os testes forem feitos num modelo 101103 Pas qual o diâmetro e a massa volúmica que deverá ter a esfera Qual a profundidade Em ensaios deste tipo é possível garantir a semelhança dinâmica usando atm105 Pa Problemas de Mecânica dos Fluidos I 3 6 v A figura mostra uma instalação de bombagem de água ρ 1000 kgm3 e pv 3600 Pa de um rio para um reservatório elevado Com a bomba desligada o manómetro M2 indica uma pressão relativa igual a 165 bar As condutas de aspiração e de pressão têm ambas 50 mm de diâmetro a Determine o caudal máximo que é possível bombear sem que ocorra cavitação na instalação b Qual a potência da bomba necessária para bombear um caudal de 10 c Mostre que a pressão M2 só depende da distância entre o manómetro e a superfície livre da água no reservatóri 4 6 v A figura representa uma das instalações usada no laboratório Um jato vertical de água ρ1000 kgm3 emerge de um bucal com 8 diâmetro e incide no interior de uma calote esférica diâmetro da base igual a 42 acoplada a uma haste vertical que na extremidade oposta tem uma plataforma onde são colocadas massas diversas NOTA Não despreze a distância entre a saída do jato e a calote a Recorrendo às equações fundamentais obtenha as expressões matemáticas que relacionam as forças gravíticas exercidas sobre a calote com a velocidade do jato à saída do bucal b Considere a situação de equilíbrio com a base da calote a 12 cm de distância do bucal e 6 unidades de 100 g colocadas na plataforma Determine a velocidade da água na saída do bucal c Determine a altura a que a plataforma se elevaria caso retirasse 1 das 6 unidades de 100 g a massa total de 500 em vez dos 600 gramas NOTA Caso não tenha efetuado a alínea anterior considere a velocidade de saída do bucal igual a 10 ms Problemas de Mecânica dos Fluidos I Ano letivo 20122013 A figura mostra Pa de um rio para um reservatório elevado Com a bomba desligada o manómetro M2 indica uma pressão relativa igual a bar As condutas de aspiração e de pressão têm mm de diâmetro caudal máximo que é possível bombear sem que ocorra cavitação na instalação Qual a potência da bomba necessária para bombear um caudal de 10 Mostre que a pressão M2 só depende da distância entre o manómetro e a superfície livre da água no reservatório A figura representa uma das instalações usada no laboratório Um jato vertical de água emerge de um bucal com 8 mm de diâmetro e incide no interior de uma calote esférica diâmetro da base igual a 42 mm A calote está acoplada a uma haste vertical que na extremidade oposta tem uma plataforma onde são colocadas NOTA Não despreze a distância entre a saída do jato Recorrendo às equações fundamentais obtenha as expressões matemáticas que relacionam as forças gravíticas exercidas sobre a calote com a velocidade do jato à saída do bucal Considere a situação de equilíbrio com a base da calote a 12 cm de o bucal e 6 unidades de 100 g colocadas na plataforma Determine a velocidade da água na saída do bucal Determine a altura a que a plataforma se elevaria caso retirasse 1 das 6 unidades de 100 g a massa total de 500 em vez dos 600 gramas não tenha efetuado a alínea anterior considere a velocidade de saída do bucal igual a 10 ms 73 2013 caudal máximo que é possível bombear sem que ocorra Qual a potência da bomba necessária para bombear um caudal de 10 ls Mostre que a pressão M2 só depende da distância entre o manómetro e a Considere a situação de equilíbrio com a base da calote a 12 cm de o bucal e 6 unidades de 100 g colocadas na plataforma Determine a altura a que a plataforma se elevaria caso retirasse 1 das 6 unidades de 100 g a massa total de 500 em vez dos 600 gramas não tenha efetuado a alínea anterior considere a velocidade de G μ V h 1 ms A 05 m2 h 1 cm G F A μ V h 80 N G F A μ V h 7505 mm 0025 mm Veio φ 25 mm Vₐ𝑖𝑛 8 10⁴ m²s d 091 h 03 mm a F 2 v 3 ms μ D ρ 8 10⁴ 910 0728 kgms G μ v h 0728 3 03e3 7280 Nm² G F A F G A G 2πrl 7280 2π 125e3 05 2859 N b 1500 rpm 1500 rot 60 s 25 rps 1 rot 2π rad ω 25 2π 50π 25 rot ω v ωR 50 π 125e3 1963 ms G μ v h 0728 1963 03e3 47635 Nm² F G A 47635 2π 125e3 05 1870 N P M ω P F r ω 1870 125e3 50π 3672 W φ 50 mm μ e 02 mm esc saivette m 005 N ω 0 100 rpm a G μ v h F A M F r F 0005 50 10³ 2 N A 2πrl 2π 25e3 800e3 0078 m² Mínimo de valor de viscosidade maior velocidade 100 rpm 100 60 rps 1 rot 2π rad ω 10 6 u wr 105 25e3 026 ms μ Fh vA 2 02e3 026 0078 009197 kgms ρ 7800 kgm³ μ 091 kgms h 02 mm p líquido 800 kgm³ a G μ v h F A F mg m ρ líquido V líquido V líquido V forma V rasa πlr² r² π 50e3 005² 0091 37e4 m³ F 7800 37e4 98 283 N V F h μ A 283 02e3 091 2π 005 00049 Nm M m g r 000E3 98 5e3 000245 Nm Como se tem 2M M 2 000245 00049 Nm De 1 00049 μ 2π 1 5e3³ 015 250e6 2π 1 5e3⁴ 4 250e6 μ 103 kgms wo fluido μ M dr sinθ dr dg dg dr sinθ dM dr x ρ GdA x ρ μ V h x 2πRv dr sinθ μ V h x 2πR² x dr sinθ μ w h x 2πR³ x dr sinθ M R₀ μ w h x 2πR³ dr sinθ μ w h x 2πR⁴ 4 μ w πR⁴ 2h sinθ h é função de r dg h tg φ h dr h tg φ dr dM μ w h x 2πR² dr sinφ M R₀ μ w h x 2πR² dr sinφ μ w h x 2πR³ sinφ μ 3 sin φ M w 2π R³ Hidrostática P1 760 mmHg P1 760 mm 076 m P₂hg 13600 kgm³ P1 13600 x 98 x 076 101293 Pa PE PE P1 PE P3 P3 P2 P2 P1 P2 P3 ρg h2 h3 P2 P1 ρg h2 h1 P2 P1 1000 x 98 x 010 980 Pa P1 1m φ 100 mg AR T 15º P1 m RT P1 50E6 x 287 x 15 273 π x 0005² x 050 105241 Pa Pp P1 ρg h Pp P1 ρg h Pp P1 ρg hp h1 h0 P1 50E6 x 287 x 15 273 π x 0005² x h0 2 10⁵ 105241 h0 1000 x 98 x h0 h0 0962 m 962 cm F P x A Pm x Agm Pm20 x g x h 10524L P2lm P20 x g x h 10524L 105 1000 x 98 x 10 L 00532 m 532 m h1 h h2 ΔLsinθ h Δh ΔL ρ pA pB d tubo D depósito PB PA P2g h2 P1g h1 P2g h2 ΔP ρ1g h P2g h2 h1 P2g h P1g h gh P1 P2 ΔP g P1 P2 x ΔL sinθ dD2 ΔLP 1g P1 P2 sinθ d2D2 PA PB PA P1 P2g hA h1 910 x 98 x 03 26754 PB P1 P1g hB h1 850 x 98 x 03 0905 29155 PA PB 26754 29155 2401 Pa Sim permite fazer medição de pequenas diferenças da pressão P2 P3 ρg h2 h3 P3 P2 ρg h2 h3 P2 p2m 2000 294250e4 191760 Pa P3 191760 98 x 1000 x 98 x 06 196 e Pa PA P2 p2m 4900 294250e4 307760 Pa P2 P1 ρg h2 h PA 307760 08 x 1000 x 98 x 03 310112 Pa P3 M ρgH p1 M ρgH F1 M ρgH x A1 De 1 P M 8320H x 093²H 4 2761 ΣF1 0 F Fg ρ2m x A1 p1 x A1 0 p1 F fg ρ2m x A1 A1 F Fg A1 ρ2m Fg mg ρVg ρA1hg p1 F ρA1hg A1 ρ2m F A1 ρhg ρ2m ΣF2 0 Fg ρ2m x A2 p2 x A2 0 P2 Fg A2 ρ2m Fg mg ρVg ρA2hg P2 ρgh ρ2m Para os 2 êmbolos se manterem na posição indicada na figura p1 p2 F A1 ρhg ρ2m ρgH ρ2m F 0N P2 ρ1gh ρ1m o ângulo q mais afeta a posição dos êmbolos Vomb V1 V2 π x 0030² x 0040 π x 0025² x 0020 7383E5 m³ mg ρ2m A1 ρ2leo x A1 0 ρVq A1 ρleo ρ2m 0 ρleo ρ2m ρemb Vq A4 7800 x 7383E5 x 98 1994193 ρleo 199419 101325E5 ρleo p1 ρgH 103319719 110E3 850 x 98 x H H 020m ρ1 10³ kgm³ a Vh2o π x 1² 4 x 1 π x 2² 4 x 1 315 m³ ρh2o mg ρVg 10³ x 315 x 98 30870N ρ2m p ρh2o g h ρ ρ2m ρh2o gh 191325E5 10³ x 98 x 2 1204925N p1 1204925 π x 1² 4 30870 4707671N F1 p1 x A 111125 x π x 1² π x 005² 3482367Pa E 4707671 3482367 8 78163N 78kW b Fp2 Fp1 1204925 x π x 1² 3482367 316604N E 316604 8 39766N 39kW P3P2 ρgh3h2 680 x 98 x 030 002 h 6664 h 028 P2P1 ρ120gh2h1 1000x98 x 002 196 Pa P3P1 6664h028 196 Sustituyendo P3 en P1 101325 1033248 6664 h 028 196 h 00041 m 94 mm erro hsem gasolina 002 00041020 00988 10 Fluidos Água do mar d 1035 P2tm 105 Nm² ΣM 0 Mr Fx r 0 F mg ρVg ρA hg 2x10⁴ ρgh Ar 2x10⁴ 1035 x 98 x h x π0150² x 9175 h 1594 m P1 P2 9996 105 15E3 068 x 1000 x 98 x hBhA hB hA 0225 hB 0225 25 2725 m De 2 105 111496 1260 x 98 x hCh2 hCh2 0931 hC 0931 1 1931 m b FR FAR Fgasolina Fglicerina F ρgas x A ρCgas 15 KPa 1500 Pa ρgasolina ρgasolina hg pc1 680 x 98 x 975 1500 6498 Pa ρglicerina ρg x hg pC2 ρg gas 1260 x 98 x 05 680 x 98 x 15 1500 17670 Pa FAR 15E3 x 2 x 3 9000 N Fgasolina 6498 x 15 x 3 29247 N Fglicerina 17670 x 1 x 3 53010 N FR 9000 29247 53010 x 912 kN P1 P2 P1 ΔH H1 H2 P2tm 105 2m F1 P1 A1 ρg hC A1 1000 x 98 x 10 x 10 x 10 49 E6 N F2 P2 A2 ρg hC A2 1000 x 98 x 6 x 6 x 10 1764 E6 N FR 49 1764 E6 3136 E6 N 314 MN a b Para que não haja escoamento Fa F F ρh b hc A ρh0 g H2 B x H ρh0 g H²2 b Fa μJ N μ m q μ ρ V g μ ρ b x L x B g Ph0 g H²2 b μ ρ b L g g Nas nossa momentos Ph0 g H²2μbL 13 da altura H do fluido H2O ρ 10³ kgm³ Fv x A ρg h c A ρg H2 x H x B ycp ρg sin θ Ixxl ρg x A Ixxl sin θ h c x A F H ρg A x ρg H8 ρg H4 H H 12 bH 1 0 a H2O ρ 10³ kgm³ MR F R x b F R A ρg h c x A ρg H2 x π Φ4 x π Φ² ρg H8 ycp é a distância entre CP e C que é o banco Ixxl Ixxl π R⁴4 π64 ycp π64 H²2 F A ρ G x A 1000 x 98 x h2 sin 70 x 4 x hsin 70 19600 h²g sin 70 M F x b ΣRM M cabo M porta M H2O b h c 1 y c p Mantenida 750 kg p 103 Kgm3 ya 0123 1867 m Problema 7A Problema 8A Forcas verticais FV I1 I2 Fq Rcy Fq I1 I2 Rcy Fq mg ρc g Vt 2600 x 98 x π x 05² x 10 20012 kN I1 ρig V1 1000 x 98 x π x 05² x 10 3848 kN I2 ρig V2 1000 x 98 x π x 05² x 10 1924 kN Rcy 20012 3848 1924 1424 kN Forcas horizontais FH FH1 FH2 FH1 ρg h1cg x A 1000 x 98 x 1 x 1 x 10 49 kN FH2 ρg h2cg x A 1000 x 98 x 1 x 05 x 10 1225 kN FH 49 1225 3675 RCx Escoramento de água ρ 10³ kgm³ H 2m D1 05m D2 1m m 200 kgs Eq Bernoulli entre os pontos 1 e 2 P1 12 ρ V1² ρg h1 P2 12 ρ V2² ρg h2 P1 P2 12 ρ V2² V1² ρg h2 h1 m ρ V V ρ V A V1 m ρ A1 200 10³ x π x 05² 1018 ms V2 m ρ A2 200 10³ x π x 1² 025 ms P1 P2 12 x 10³ x 025² 1018² 40 x 98 x 2 1911 kPa P1 12 ρ V1² ρg h1 P2 12 ρ V2² ρg h2 P1 P2 12 ρ V2² V1² V m m2 ρ V1 ρ V2 A1 V2 A2 V2 V A1 A2 V ρρ2 V A1² A2² Substituindo P1 P2 12 ρ V ρ1ρ2² V² 12 ρ V³ ρ1ρ2 V² 12 ρ² ρ1ρ2 1 V 2 P1 P2 ρρ1ρ2 1 P1 P2 12 ρ Vφ2² v² H2O ρ 1000 kgm³ m3 m1 ρV1 ρV4 V3A3 V4A4 P4 P1 P3 P4 P1 gh1 h2 Pa P1 Pgh1 h2 105 870 x 98 x 19 1162 kPa ρágua 870 kgm³ P1 P2 m P1 P2 Pgh1 h2 Pa P1 Pgh1 h2 105 870 x 98 x 19 116 2 kPa m1 m2 m1 m m3 192 896 1024 kgs p1 p2 12 ρ v2² v1² 10⁵ 12 x 1000 x 2358² 332² 372497 Pa m ρV 1000 x 160 1667 kgs Em 1 372497 10⁵ x π x 008² Fg 1667 x 2358 332 Fg 10319 N 105 kg De 1 0 ρV² A1 cos 45º ρV² A2 ρV² A3 1732 ρV² A1 sin 45º 0 1732 ρV1 A1 cos 45º ρV2 A2 ρV² A3 0 1732 ρV² A1 sin 45º v1 1732 1000 x 00025 sin 45º 989 ms H2O ρ 10³ kgm³ v 60 m³h 603600 160 m³s D1 3cm D2 3cm ΣFent ddt Vc ρ dv Sc ρvv m dA 0 regione permanente ΣFent Σmi vi sair Σmj vj entrar mi vai venta ΣFent Fp Fg 98M m V2 cos 45 V1 m m V cos 45 1 M m V cos 45 198 m ρ V A1 1000 x 15 x 005 750 kgs M 750 x 15 x cos 45 1 1950 kg v 20 ms 4959 x 98 750 V2 V1 V2 35 ms m1 ρ V A1 12 x 50 x π x 20E32 000188 kgs F 2 x 000188 x 50 188 W a m P P atm Eq Bernoulli entre 1 e 2 P1 12 ρ V12 Pgh1 P2 12 ρ V22 Pgh2 P1 P2 12 ρ V22 V12 m1 m2 ρ V1 A1 ρ V2 A2 V2 V1 A1A2 V1 φ1φ22 P1 P2 12 ρ V1 φ1φ22 V12 15E5 105 12 850 V1 01020072 V12 V1 610 ms m1 P1 V1 A1 850 x 610 x π x 0102 4072 kgs p1p2 pa pb pa pc pc pb pa pc pdeo g ha hc 870 x 98 x 0960 50756 Pa pc pb Promedio g hchb 12550 x 98 x 0960 79674 p1 p2 745584 Pa Gproada 745584 x 0005 2796 Pa H2O ρ1000 kgm3 F1 pa x Aa 66640 x π x 04504 105986 N Eq Bernoulli entre 1 e 2 pa 12 p v12 pgh1 pb 12 p v22 pgh2 pa pa 12 x p v12 v22 66640 10002 3142 11322 74986 Pa Eq Bernoulli entre 1 e 3 p1 12 p v12 pgh1 p3 12 p v32 pgh3 p3 p1 12 p v12 v32 606640 12 x 1000 x 3142 4242 62681 Pa m1 m2 m3 p1 v1 p2 v2 v2 v1 A1A2 Eq Bernoulli entre 1 e 2 p1 12 p v12 pgh1 p2 12 p v22 pgh2 1a v22 v12 g h2h1 12 v22 v12 g h2h1 v2 130 x 5 x 1 07 x 1 929 ms H2O ρ1000kgm³ Motor P10CV ηg70 a Escolher volume de controle es ṁ Conservação da energia 1ª Lei pvolumes de controle W ṁ p1pep1 12 v²3v²e gz3ze w ṁ p2m2p2m 12 v²3 gz3ze ṁ12 v₃² gz₃zₑ CA 1CV 7355 W P 10 x 73557355W W7355x075551625 vs ṁρVVA V ṁρA w ṁ12 ṁρA² a² gzsze 551625ṁ12ṁρA²² 98x315 De 1 ρμ ux v uy px μ²ux² ²uy² dudx 2y ²uy² 0 dudy 2x ²uy² 0 ρ2xy2y y²x²2x px 0 ρ4xy² 2xy³ z³ px px ρzxy² 2x³ Diferenciando relativamente a y py ρ4xy py ρxy De 2 ρμ ux v uy py μux² ²yy² dudx 2x ux uy 2y ²uy² ρ2xy2y y²x²2y py μ2 z² py ρ4x²y³ y²x² ρzxy² 2y² Diferenciando relativamente a x p1m ρ4xy Como os resultados são iguais o campo de velocidades dado é uma relação exata da equação de NavierStokes H2O ρ1000 kgm³ μ103 kgms psat2337 Pa p2m p3 p3 p2g hII 105 1000 x 98 x 3 129400 Pa ρ ut u ux v uy w uz px μ ²u a μ ρy v u v w Conservação da massa ux vy wz 0 uy Equação de conservação da massa dydtdxdt μ dydtdxdt v dydtdydy u dydtdydz ρAx Px μ²uy² ²uy² ²uz² ²uy² M Px ²uy² Px 1μ Condições de fronteira a y 0 u 0 7 y h u Um 1ª Iteração uy Px 1μ y C₁ 0 Px 1μ C₁ C₁ Px 1μ H C₁ 2ª Iteração μ Px 1μ y² a v u v w Eq conservação da massa ux vy wz 0 uy Eq conservação da quantidade de movimento Pdydtdxdt μdydxdy wuy ρ3 Px μ²ur² ²uy² ²uz² O Px μ ²uy² ²uy² Px 1μ Condições de fronteira y 0 u 0 y H u Um 1ª Iteração uy Px 1μ y C₁ 0 Px 1μ C₁ C₁ Px 1μ H 2ª Iteração E₁ Para μ Um y H2 Um dPdx 1μ H28 dPdx 1μ H22 dPdx 1μ H28 H24 dPdx 1μ H28 b Não é possível utilizar o teorema de Bernoulli pois como há viscosidade não há conservação de energia escoamento não ideal Liquido ρ μ Escoamento permanente Conservação da massa ux vy wz 0 uy Conservação da quantidade de movimento Pdydtdxdt μ dydydydy wuy ρgx Px μ²uy² ²uz² Pgzx μ ²uy² 0 ²uy² ρgx μ Condições de fronteira y 0 u 0 y h u Umax uy 0 1ª Iteração uy ρg senoθ1 μ y C₁ Como u h uy 0 0 ρg senoθ H C₁ C₁ ρg senoθ H dudy ρg sen θμ y ρg sen θμ h v u v w 1ª Iteração Fluido ρ μ Como y 0 u 0 C₂ 0 1ª integração dy frac1mu fracdpdx y C₁ U 1H 0 to H μy dy 1H 0 to H 12μ Px y² Hy dy 1H 2μ 0 to H Px y³3 Hy²2 0 to H 12Hμ Px H³3 H²H2 12μ Px H² 0 to 6 172μ Px H² Umái existe quando y H2 logo substituindo em 1 Umái 12μ Px H²4 H²2 12μ Px H²4 18μ Px H²3 112μ Px H²4 872 46 23 U 32 Umá uy 12μ Px y² Hy Ky H y 42μ Px y H KyH y 12μ ²ux² KH y K 12μ Px H y 12μ Px 0 Campo da velocidades u 2xy v y² x² w 0 a Equação da conservação da massa ux vy wz 0 0 0 0 2y 2y 0 0 0 Verificase a lei da conservação da massa b pxy Sabendo que g 00g e p00 P₀ Equações da conservação da quantidade de movimento x ρ ut u ux v uy w uz ρgk Px μ ²ux² ²uy² ²uz² 1 y ρ vt u vx v vy w vz ρgy Py μ ²vx² ²vy² ²vz² 2 z ρ wt u wx v wy w wz ρgz Pz μ ²wx² ²wy² ²wz² 3 De 3 ρg zz Pz dP ρg z dz integrando P ρg z²2 ρ₀ xy como z 0 P ρ₀xy 975 E F 2194 N ρ 751 mm ρ 7800 kgm³ Problema 16 Problema 18 Problema 20 Problema 24 a F 0 F ρatm x A1 mg μ1 x A1 0 c1 F ρatm A1 mg Fg ρ1 A1 Jg mg 0 c Fg ρV1g ρ A1g m ρV1 μ1 F ρatmLg ρ1 F A1 pHg ρatm F 0 ρatm x A2 μ2 x A2 Fg 0 μ2 Fh ρg A2 Jg ρV2g ρ A2hg μ2 ρhg ρatm μ1 μ2 equilibrio F ρhg ρatm ρhg ρatm g F 0 b No sé qué pasa Problmasa 25 A1 289 x 103 A2 186 x 103 Fg mg ρg V1 ρg V1 m ρg V1 V1mV1 V2 V2 194 x 105 vρ0 μ1 μ2 ρ0g H Fg ρatm x A1 A0 ρatm x A1 Fg A1 A2 0 105 x 289 x 103 7800 x 74 x 104 x 98 3253337 Pci μ1 VERS AO 6 PROBLEMAS E EXAMES RESOLVIDOS DE MEC ˆANICA DOS FLUIDOS I Mestrado Integrado em Engenharia Mecˆanica Versao 6 ANO LECTIVO DE 20122013 7 DE JANEIRO DE 2013 Jose M Laginha M Palma DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MEC ˆANICA VERS AO 6 Prefacio O presente documento com a resolucao de problemas e exames e co locado ao dispor dos alunos como elemento auxiliar para o estudo da dis ciplina da Mecˆanica dos Fluidos I do Mestrado Integrado em Engenharia Mecˆanica na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Sobre este documento que resultou de uma revisao profunda de contri buic oes de alunos abaixo identificados e necessario que se note o seguinte Apesar do muito uso e utilidade que se espera venha a ter junto dos alunos este documento nao substitui a participacao e frequˆencia das aulas teoricas ou praticas nem a leitura e estudo da materia a partir dos livros recomendados O detalhe da resolucao dos problemas vai para alem do que se exige numa prova escrita de avaliacao Naqueles casos em que a resolucao exige explicac oes complementa res para evitar resoluc oes demasiado longas para explicacao mais detalhada dos conceitos envolvidos remetese para leitura das secc oes relevantes dos livros recomendados Apesar do cuidado com que foi produzido este documento pode con ter algum erro ou gralha que a existir passou despercebido Perante alguma frase ou calculo que admita tratarse de erro ou gra lha solicitase e agradecese que contacte de imediato qualquer mem bro do corpo docente da disciplina Correcc oes modificac oes melhorias etc serao introduzidas em edi c oes futuras A versao mais actualizada sera mantida na pagina da disciplina acom panhada de uma errata que identifique as alterac oes em relacao a qualquer versao anterior quando ela exista Pelos motivos acima recomendase que perante copias deste docu mento obtidas por fotocopia simples se assegure que se trata da sua versao mais recente O responsavel da disciplina Jose Manuel Laginha Mestre da Palma Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 i VERS AO 6 Versoes anteriores Este documento teve inıcio no ano lectivo de 20102011 e foi pela pri meira vez disponibilizado a todos os alunos em 13 de Janeiro de 2011 Versao 2 14 de Novembro de 2011 Problemas 7 9 10 12 15 32 33 40 49 e 50 Exame 18 de Janeiro de 2011 Versao 3 15 de Dezembro de 2011 Problemas acrescem a versao 2 os problemas 79 83 86 87 89 92 99 100 104 e 112 Exames acresce a versao 2 o exame recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Versao 5 13 de Dezembro de 2012 Problemas correcao do problema 104 Versao 6 8 de Janeiro de 2013 Problemas correc oes na manipulacao algebrica de problemas 40 e 87 sem implicac oes no resultado final inclusao da resolucao em Matlab no problema 104 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 ii VERS AO 6 Agradecimentos Este documento teve inıcio no ano lectivo de 20102011 e foi pela pri meira vez disponibilizado a todos os alunos em 13 de Janeiro de 2011 Este documento juntamente com a producao de base de dados de perguntas no Moodle para alunos foi o resultado da participacao voluntaria de alunos cu jos nomes se listam aqui como forma de agradecimento e reconhecimento do seu trabalho Andre Pinto Ademar Leite Catarina Mendes Catia Martins Cesar Ferreira Daniel Oliveira Diogo Cabral Francisco Figueiredo Joao Cardoso Jorge Sousa Jose Jacinto Jose Ribeiro Karla Goncalves Mar celo Costa Marieta Rocha Pedro Pinto Pedro Carneiro Rafael Cor reia Susana Moreira e Tiago Nunes Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 iii VERS AO 6 Sumario 1 Problemas 1 11 Problema 7 1 111 Resolucao 2 112 Resolucao em Matlab 4 12 Problema 9 5 121 Resolucao 5 122 Resolucao em Matlab 7 13 Problema 10 8 131 Resolucao 8 132 Resolucao em Matlab 10 14 Problema 12 11 141 Resolucao 11 15 Problema 15 13 151 Resolucao 13 16 Problema 32 14 161 Resolucao 14 17 Problema 33 16 171 Resolucao 16 18 Problema 40 18 181 Resolucao 18 182 Resolucao em Matlab 20 19 Problema 49 21 191 Resolucao 22 iv VERS AO 6 SUM ARIO SUM ARIO 192 Resolucao em Matlab 24 110 Problema 50 25 1101 Resolucao 25 1102 Resolucao em Matlab 29 111 Problema 79 30 1111 Resolucao 30 1112 Resolucao em Matlab 34 112 Problema 83 35 1121 Resolucao 35 1122 Resolucao em Matlab 38 113 Problema 86 39 1131 Resolucao 39 114 Problema 87 43 1141 Resolucao 43 115 Problema 89 45 1151 Resolucao 45 116 Problema 92 47 1161 Resolucao 47 117 Problema 99 51 1171 Resolucao 51 118 Problema 100 55 1181 Resolucao 55 1182 Resolucao em Matlab 60 119 Problema 104 61 1191 Resolucao 61 1192 Resolucao em Matlab 65 120 Problema 112 66 1201 Resolucao 66 2 Exames 69 21 Exame de 18 de Janeiro de 2011 71 211 Problema 1 74 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 v VERS AO 6 SUM ARIO SUM ARIO 212 Problema 2 79 213 Problema 3 84 214 Problema 4 87 22 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 90 221 Problema 1 93 222 Problema 2 102 223 Problema 3 108 224 Problema 4 110 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 vi VERS AO 6 Capıtulo 1 Problemas 11 Problema 7 Um veio de 25 mm de diˆametro pode deslocarse atraves de um furo tambem cilındrico conforme mostra a figura O fluido lubrificante que pre enche o intervalo entre o veio e a parede do furo 03 mm tem uma visco sidade cinematica de 8 104 m2 s1 e uma densidade de 091 Considere linear a variacao da velocidade no seio do oleo a Qual a forca necessaria para empurrar o veio ao longo do furo com uma velocidade de 3 m s1 b Qual a potˆencia que se dissiparia por atrito viscoso se o veio girasse com uma velocidade de 1500 rpm 1 VERS AO 6 Problema 7 111 Resolucao Alınea a Aplicando o somatorio de forcas ao esquema acima obtemse Fx 0 P τA 11 em que A e a area de contacto A πDl e τ e a tensao de corte que de acordo com a lei de Newton da viscosidade simplificada τ µdu dy 12 Porque o perfil de velocidades e linear no seio do oleo como indicado no enunciado obtemse Uy Up y h e du dy Up h 13 porque a viscosidade cinematica se relaciona com a viscosidade dinˆamica pela equacao µ ρν 14 e a equacao 12 referente a tensao de corte fazendo uso de 13 e 14 resulta em τ ρνUp h que substituıda em 11 se obtem P πD l ρνUp h Procedendo a resolucao numerica P π 0025 05 091 103 8 104 3 00003 286 N Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 2 VERS AO 6 Problema 7 112 Resolucao em Matlab Problema 7 Grupo I I ano l e c t i v o 20102011 DADOS densidade 091 nu 8010ˆ 4 mˆ 2 s v i s c o s i d a d e c i n e m a t i c a do o l e o rhodensidade 10ˆ3 l 0 5 m comprimento do e i x o a l t u r a do c i l i n d o D 25 mm di ˆametro do e i x o di ˆametro do c i l i n d o D D1000 Converte em SI m U p 3 v e l o c i d a d e de d e s l o c a c a o do e i x o h 03 i n t e r v a l o e n t r e o v e i o e a parede do furo hh1000 Converte em SI m omega1500 v e l o c i d a d e de r o t a c a o em rpm Resolucao a l i n e a a For ca para empurrar o e i x o Area piD l murhonu dudy U ph taumududy PAreamududy a l i n e a b Potencia d i s s i p a d a vomega2 pi60D2 Potmuhvˆ2 Area Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 4 VERS AO 6 Problema 9 12 Problema 9 Um anel ρ 7800kgm3 desce sob a accao do proprio peso ao longo de um varao Entre o varao e o anel ha uma folga radial r 02mm preenchida por um fluido de viscosidade 001 kg m1 s1 e massa volumica igual a 800 kg m3 que se escoa com um perfil de velocidades linear a Calcule a velocidade V de descida em movimento uniforme b Descreva com base num movimento deste tipo um processo pratico de medicao de viscosidades 121 Resolucao Alınea a O balanco de forcas na direccao vertical do movimento e Pesoanel Fatrito ρVg τA 16 em que ρ e V sao a massa volumica e volume do anel e τ e A a tensao de corte e a area de contacto entre o anel e o varao De acordo com a lei de Newton da viscosidade simplificada τ µdv dr 17 Porque o perfil de velocidades e linear no seio do fluido como indicado no enunciado v Vr D12 r D12 r D12 r 18 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 5 VERS AO 6 Problema 9 em que D1 e o diˆametro do varao e donde se conclui que dv dr V r e a tensao de corte 17 resulta em τ µ V r 19 Substituindo 19 em 16 obtemse a equacao 110 da velocidade ρ πD2 2 D2 1L 4 g µ V r πD1L V ρgrD2 2 D2 1 4µD1 110 que entre outras mostra que a velocidade nao e funcao da altura do anel e da massa volumica do fluido Procedendo a resolucao numerica V 7800 981 00002012 002 2 000022 4 001002 2 00002 V 17974ms1 Alınea b A partir da medicao da velocidade pode ser determinada a viscosidade do fluido A equacao que estabelece esta relacao pode ser obtida explicitando 110 em funcao da viscosidade µ µ ρgrD2 2 D2 1 4VD1 111 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 6 VERS AO 6 Problema 9 122 Resolucao em Matlab Resolucao do Problema 9 Mecanica dos Fl u i d o s I R e s o l v i d o por J o s e Laginha Palma Todos os v a l o r e s em unidades SI DADOS rho 7800 massa volumica do anel kg mˆ3 mu 0 0 1 v i s c o s i d a d e do f l u i d o kg m s g 9 8 1 a c e l e r a c a o da gravidade m s ˆ2 L0050 a l t u r a do anel m Dvarao 0020 diametro do varao m D20100 diametro e x t e r i o r do anel m dr 00002 f o l g a r a d i a l m D1Dvarao2dr diametro de o r i f i c i o do anel m Resultado Velrhogdr D2ˆ2D1ˆ24muD1 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 7 VERS AO 6 Problema 10 13 Problema 10 A figura representa de forma simplificada um dispositivo de medicao de viscosidades constituıdo por dois cilindros concˆentricos em que um gira dentro do outro Considerando os dados abaixo indicados e que a velocidade de descida e uniforme desde o inıcio do movimento calcule a viscosidade do fluido contido entre o cilindro exterior e o interior d 1 102 mD 20 102 m M 50 103 kgh 15 102 me 250 106 mV 5mms1 131 Resolucao O momento MM associado a rotacao provocada pelas duas massas M sus pensas e igual ao momento resistente devido a rotacao do cilindro interior MM Mlat Mbase 112 em que Mlat e Mbase sao as contribuic oes da superfıcie lateral e da base do cilindro O momento MM e MM 2 Mg d 2 Mgd 113 e o momento que actua na superfıcie lateral do cilindro Mlat τ A1 D 2 µdVD dr A1 D 2 114 O cilindro roda a mesma velocidade angular ω que o seu eixo de diˆametro d cuja velocidade tangencial Vd igual a velocidade V a que desce qualquer Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 8 VERS AO 6 Problema 15 15 Problema 15 Considere o escoamento de dois fluidos Newtonianos de massas volumicas iguais entre placas planas paralelas de dimensao infinita em que a placa do meio se move com uma velocidade U Sabendo que nas duas faces da placa movel foi medida a mesma tensao de corte encontre uma relacao entre as viscosidades dos fluidos 151 Resolucao Alınea a Conhecida a lei de Newton da viscosidade 126 que estabelece a relacao entre a taxa de deformacao dUdy a viscosidade µ e a tensao de corte no fluido τ τ µdU dy 126 e porque a tensao de corte no fluido 1 e no fluido 2 sao iguais µ1 dU1 dy1 µ2 dU2 dy2 Assumindo a existˆencia de um perfil linear de velocidades escoamento do tipo Couette1 entre a placa separadora movel e as duas placas fixas obtemse a relacao abaixo µ1 U 2h µ2 U h µ1 2µ2 1Sobre o escoamento Couette consultese a seccao 692 de Munson et al 2010 pag 311 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 13 VERS AO 6 Problema 32 16 Problema 32 Ao ascender no reservatorio da figura a agua ρ 103 kgm3 atinge um determinado nıvel H acima do eixo da comporta que fara com que esta abra automaticamente rodando em torno do eixo Calcule o valor de H desprezando eventuais atritos no eixo de rotacao e o peso proprio da comporta 161 Resolucao As distribuic oes da forcas associadas ao fluido sobre as superfıcies da comporta sao as representadas na figura Para que a comporta nao se mova o equilıbrio de momentos relativo ao seu eixo de rotacao deve ser igual a zero ΣM 0 ou seja FRA L 2 FRB H 3 que se pode escrever pCGA AA L 2 pCGB AB H 3 0 127 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 14 VERS AO 6 Problema 32 e em que AA e AB as areas do lado A e B da peca onde a forca do fluido actua sao AA Lb e AB Hb Assim a partir de 127 temos ρgH Lb L 2 ρg H 2 Hb H 3 simplificando L2 H2 3 e resolvendo em ordem a H H 3L2 e para L 1 m vem H 3 m Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 15 VERS AO 6 Problema 33 17 Problema 33 Uma abertura circular na parede de um reservatorio e fechada por um disco que simplesmente cabe na abertura e pode rodar em torno de um eixo que passa pelo seu eixo horizontal a Prove que se o nıvel de agua ρ 103 kgm3 no reservatorio estiver acima do topo do disco situacao da figura o momento necessario para o manter na posicao vertical e independente desse nıvel b Se o diˆametro do disco for de 1 m qual o valor desse momento 171 Resolucao Alınea a Sabemos que a forca resultante das forcas de pressao que actuam no disco e igual a pressao que actua no seu centro de massa multiplicada pela area do disco e que actua no centro de pressao do disco O momento resultante no centro de gravidade do disco e MCG ρghCGAdCP 128 Em que MCG e o momento no centro de gravidade hCG e a profundi dade do centro de gravidade do disco A e a area do disco e dCP e a distˆancia entre o centro de gravidade e o centro de pressao Desenvolvendo 128 obtemos MCG ρghCGAdCP ρghCGAρgsin90Ixc F ρghCGAρgsin90Ixc ρghCGA ρgsin90Ixc ρgI 129 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 16 VERS AO 6 Problema 33 O momento de inercia do disco Ixc e dado pela expressao Ixc Iyc πD4 64 130 Substituindo 130 em 129 obtemos a expressao MCG ρgπD4 64 CONSTANTE Alınea b MCG ρgπD4 64 103 981 314 14 64 481Nm Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 17 VERS AO 6 Problema 40 182 Resolucao em Matlab PROBLEMA 40 20101202 Grupo 3 Cesar F e r r e i r a GIMFMFIDEMEcFEUP Dados g 981 a c e l e r a c a o da gravidade H2 m h2H h1H rho 1 1000 kgmˆ3 rho 2 800 kgmˆ3 C alculo da I n t e n s i d a d e da f o r c a r e s u l t a n t e diagsqrt 2Hˆ 2 m d i a g o n a l da f a c e do cubo AHdiag mˆ2 Area Pcg 1 rho 1gh2 Pa Press ao no c e n t r o de gravidade F 1Pcg 1 A N Pcg 2rho 2gh1 Pa Press ao no c e n t r o de gravidade F 2Pcg 2 A N For ca r e s u l t a n t e F RF 1 F 2 N Ponto de a p l i c a c a o das f o r c a s IxxH diag ˆ312 mˆ4 Y cp 1rho 1g Ixx sin pi 4 F 1 m Y cp 2rho 2g Ixx sin pi 4 F 2 m Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 20 VERS AO 6 Problema 49 19 Problema 49 O reservatorio da figura e constituıdo por quatro partes uma tampa semiesferica um fundo plano circular e duas pecas encurvadas que unidas formam o corpo cilındrico de 1 m de altura Esta cheio de um lıquido de densidade d28 suspenso de um cabo e comunica com a atmosfera atraves de um orifıcio respiro na parte superior Considerando desprezavel o peso do reservatorio a Calcule o valor da pressao absoluta no fundo e a forca que podera ser lida no dinamometro D b Qual o valor da forca a que devido a accao do lıquido estao sujeitos os parafusos que unem a tampa ao corpo do reservatorio E a forca que actua sobre os parafusos que unem o fundo ao corpo c Calcule a intensidade e localize convenientemente a forca que ainda devido a accao do lıquido actua sobre cada uma das metades que consti tuem o corpo do reservatorio Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 21 VERS AO 6 Problema 49 192 Resolucao em Matlab PROBLEMA 49 20111030 Dados g 981 m s ˆ2 a c e l e r a c a o da gravidade h1000 mm a l t u r a do corpo c i l i n d r i c o do r e s e r v a t o r i o d500 mm diametro do r e s e r v a t o r i o hh1000 dd1000 c o n v e r t e mm em m den 28 densidade patm10ˆ5 p r e s s a o a t m o s f e r i c a Alinea a Pressao no fundo do r e s e r v a t o r i o p fundopatmden10ˆ3ghd2 Forca no dinamometro V11243pi d 2 ˆ 3 V2pi d2ˆ2h Peso Nden 10ˆ3V1V2g Peso kgfPeso Ng Alinea b Forca nos p a r a f u s o s da tampa p parden10ˆ3gd2 peso fluidoden10ˆ3gV1 F parp parpidˆ24 peso fluido F parden10ˆ3gpi 3d2ˆ3 Forca nos p a r a f u s o s do fundo F fundo p fundopatm pidˆ24 Alinea c Forca nas duas metades do corpo c i l i n d r i c o p ladoden10ˆ3gd2h2 F ladop ladodh Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 24 VERS AO 6 Problema 50 110 Problema 50 O tanque cilındrico representado na figura tem uma tampa hemisferica superfıcie ABC e contem propano nas fases lıquida e gasosa 50 de cada fase em volume A pressao manometrica da fase gasosa e igual a 8 bar a Represente a distribuicao de pressao nas faces interior e exterior da superfıcie ABC b Calcule as resultantes horizontal e vertical das forcas exercidas na superfıcie ABC c Comente a seguinte afirmacao A forca horizontal exercida na tampa ABC e totalmente independente da forma desta 1101 Resolucao Alınea a Na face exterior da superfıcie ABC e exercida a pressao atmosferica a azul de igual valor ao longo do perımetro da superfıcie Na face interior de ABC acresce a pressao atmosferica a pressao de 8 bar indicada no manometro O manometro e sensıvel a diferenca entre a pressao no interior e a pressao no exterior do reservatorio pressao rela tiva Esta distribuicao de pressao na metade superior de ABC quarto de cırculo AB e quase constante porque se trata de propano na fase gasosa e a variacao de pressao com a profundidade pode ser desprezada Na metade inferior quarto de cırculo BC acresce a pressao atmosferica e aos 8 bar o aumento da pressao com o aumento da profundidade da fase lıquida Em qualquer dos casos a pressao e sempre perpendicular a superfıcie Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 25 VERS AO 6 Problema 50 de contacto ou seja na direccao radial da superfıcie hemisferica ABC Alınea b O equilıbrio de forcas estabelece que o somatorio das forcas na direccao vertical e horizontal e igual a zero FH 0 FHg Fg FHl Fl 0 FH FHg FHl Fg Fl 135 FV 0 FVg FVl Wg Wl 0 FV FVg FVl Wg Wl 136 Wg e Wl sao os pesos das fases gasosa Wg ρggVolg Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 26 VERS AO 6 Problema 50 Alınea c A afirmacao e verdadeira se a posicao do centro de massa for idˆentica Nesse caso as forcas horizontais 137 e 138 sao funcao apenas da area projectada e qualquer forma da tampa desde que a area projectada seja idˆentica tera forca horizontal idˆentica Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 28 VERS AO 6 Problema 50 1102 Resolucao em Matlab Problema 50 Ano l e c t i v o 20102011 28122010 Grupo I I GIMFMFIDEMecFEUP DADOS pman8 bar Press ao manometrica no i n t e r i o r do tanque pman810ˆ5 Converte bar em Nmˆ2 rhog 195 kg mˆ3 rho do g as rhol 496 kg mˆ3 rho do lı q u i d o R2 m r a i o da c i r c u n f e r ˆe n c i a g 981 m s ˆ2 a c e l e r a c a o da gravidade ApiRˆ22 mˆ2 area de metade de c ı r c u l o Vol43 piRˆ314 mˆ3 volume de quarto de c ı r c u l o Resolu c ao hgR4R3 pi hl 4R3 pi Forcas v e r t i c a i s WgrhoggVol Peso do g as Wlrhol gVol Peso do lı q u i d o FvWgWl N FvFv1000 Converte para kN Forcas h o r i z o n t a i s Press ao nas s u p e r f i c i e s v e r t i c a i s em c o n t a c t o com f a s e gasosa e f a s e l i q u i d a P gpmanrhogghg P lpmanrhoggRrhol g hl F g P gpmanA F l P lpmanA FmanpmanAA FH12rhoggRA FH2 rholrhog g4R3piA FHFmanF gF l N FHFmanFH1FH2 N Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 29 VERS AO 6 Problema 79 111 Problema 79 A figura representa esquematicamente um troco de tubagem que lanca um jacto de agua ρ 1000kgm3 na atmosfera patm 1 105 Pa a Qual o desnıvel h verificado no manometro de mercurio d 136 quando o caudal escoado for de 15 L s1 O ramo da esquerda do manometro esta em contacto com a atmosfera b Caracterize intensidade sentido e direccao a forca exercida pela conduta sobre o suporte para o mesmo valor do caudal nao despreze o peso da agua 1111 Resolucao Alınea a Atraves da equacao de energia entre os pontos 1 e 2 na saıda da tuba gem e no eixo da seccao alinhada com a tomada de pressao estatica do manometro p1 1 2ρv2 1 ρgz1 p2 1 2ρv2 2 ρgz2 que resolvida em ordem a p2 vem p2 p1 1 2ρv2 1 v2 2 ρgz1 z2 141 Porque se trata de regime permanente e de acordo com o princıpio de conservacao da massa m ρA1v1 ρA2v2 ρ Q onde Q e o caudal volumico v1 4Q πD2 1 e v2 4Q πD2 2 142 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 30 VERS AO 6 Problema 79 1112 Resolucao em Matlab Problema 79 Dados rho 1000 massa volumica da agua d136 densidade do mercurio z3 0 z2 700 z1z2 3300 a l t u r a em mm D1 25 D275 diametros em mm L1 4000 L2z1z2 comprimentos em mm c o n v e r t e mm em m D1D11000 D2D21000 z1z1 1000 z2z2 1000 L1L11000 L2L21000 p1 1 1 0 ˆ 5 patmp1 p r e s s a o em Pa Q 1 5 caudal volumico em l s Q Q1000 c o n v e r t e l s em mˆ 3 s g 9 8 1 a c e l e r a c a o da gravidade m s ˆ2 Resolucao a l i n e a a rho Hg rho d massa volumica do mercurio p2p1 rho8Qˆ2 pi ˆ21D1ˆ2 1D2ˆ 2 rhog z1z2 p2 relp2p1 p3 p2 rhog z2z3 hp3p1 drhog h8rhoQˆ2 rho Hggpi ˆ21D1ˆ2 1D2ˆ2 rhorho Hg z1z3 a l i n e a b v2Q piD2ˆ24 v e l o c i d a d e na s e c c a o 2 mrhoQ caudal massico f o r c a na d i r e c c a o x flux qmxv2m A2piD2ˆ24 FPres p2patmA2 FSxFPresflux qmx FSx kgfFSxg f o r c a na d i r e c c a o y v1Q piD1ˆ24 v e l o c i d a d e na s e c c a o 1 LL1L2 Peso agrhoA2Lg flux qmyv1m FSyPeso agflux qmy FSy kgfFSyg i n t e n s i d a d e Fmodsqrt FSxˆ2FSy ˆ 2 Fmod kgfFmodg angatan FSyFSx ang degang180pi Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 34 VERS AO 6 Problema 83 112 Problema 83 Uma bomba de agua ρ 103 kgm3 tem uma entrada e duas saıdas vide figura As ligacoes da tubagem a bomba sao flexıveis pelo que os esforcos devidos as forcas massicas e hidrodinˆamicas na regiao da bomba sao integralmente transmitidos ao suporte As pressoes indicadas sao relativas a Determine a cota z4 b Determine caudal na seccao 3 c Determine a potˆencia fornecida a bomba sabendo que o rendimento desta e igual a 85 d Sabendo que a componente vertical da forca exercida pelo suporte sobre a bomba tem o valor de 3 kN sentido de baixo para cima determine o peso da bomba 1121 Resolucao Alınea a A equacao de energia entre os pontos 3 e 4 e dada por p3 1 2ρv2 3 ρgz3 p4 1 2ρv2 4 ρgz4 que resolvida em ordem a z4 e porque v4 0 resulta em z4 p3 p4 ρg v2 3 2g z3 151 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 35 VERS AO 6 Problema 83 Porque se trata apenas da direccao vertical ρv2 3A3 Fs Fp Peso que resolvida em ordem ao Peso da bomba Peso Fs ρv2 3A3 p3A3 11356kg 1122 Resolucao em Matlab Problema 83 Dados rho 1000 massa volumica da agua z1 5 z2 5 z3 5 a l t u r a d1 0100 d2 0040 d3 0060 diametro p1 694810ˆ3 p2 30010ˆ3 p3 49010ˆ3 p r e s s a o Q2452460ˆ2 caudal volumico em 2 mˆ 3 s g 981 a c e l e r a c a o da gravidade m s ˆ 2 rend 085 rendimento da bomba F310ˆ3 f o r c a do s u p o r t e s o b r e a bomba N Resolucao a l i n e a a A1pi d1 2 ˆ 2 A2pi d2 2 ˆ 2 A3pi d3 2 ˆ 2 v1a2rhogz1 v1b2p1 v1sqrt 2 rhop1rhogz1 v e l o c i d a d e em 1 m s v3A1v1Q2A3 v e l o c i d a d e em 3 m s z4p3 rhog12g v3ˆ2 z3 Resultado f i n a l a l i n e a b Q3v3A3 Q3 m3hQ33600 a l i n e a c v2Q2A2 v e l o c i d a d e em 2 m s m1rhov1A1 m2rhoQ2 m3rhov3A3 caudal massico em 1 2 e 3 Wm2 p2rho v2 ˆ22m3 p3rhov3ˆ22m1 p1rhov1 ˆ22 WfWrend p o t e n c i a e l e c t r i c a a l i n e a d PesoFp3A3rhov3 ˆ2A3 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 38 VERS AO 6 Problema 86 113 Problema 86 Considere o escoamento entre duas placas planas paralelas representadas na figura A placa superior movese a uma velocidade constante U estando a inferior fixa A pressao decresce na direccao do escoamento sendo o gradiente longitudinal dpdx constante a Encontre uma expressao para o perfil de velocidades u f y b Compare a evolucao da tensao de corte verificada neste escoamento com a de um outro em que dpdx e nulo 1131 Resolucao Alınea a A equacao da conservacao da massa para escoamento tridimensional em regime permanente de fluido incompressıvel e dada por u x v y w z 0 que neste caso se reduz a u x 0 155 Porque admitimos que as placas sao infinitamente longas nas direcc oes lon gitudinal e transversal x e z em que as componentes de velocidade em Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 39 VERS AO 6 Problema 86 Para determinacao das constantes de integracao a partir da condicao de fronteira 157 concluise que C2 deve ser igual a zero 0 dp dx 1 µ 02 2 C10 C2 C2 0 e fazendo uso da segunda condicao de fronteira 158 U dp dx 1 µ h2 2 C1h 0 C1 U h 1 µ dp dx h 2 Finalmente u dp dx 1 µ y2 2 Uy h 1 µ dp dx h 2y ou numa forma final mais compacta u 1 2µ dp dx y2 hy Uy h 160 Alınea b A tensao de corte para fluido Newtoniano e τ µdU dy ou seja fazendo uso de 160 τ 1 2 dp dx 2y h µU h que no caso de dpdx 0 se reduz a τ µU h com valor constante na direccao perpendicular as superfıcies das placas No escoamento do enunciado a tensao de corte varia linearmente com y com os valores em cada uma das superfıcies dados por se y 0 τ 1 2 dp dx h µU h se y h τ 1 2 dp dx h µU h Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 41 VERS AO 6 Problema 86 Sugestao para trabalho adicional 1 Esboce o perfil de velocidade para o caso de dpdx 0 e para valores crescentes de dpdx 0 e dpdx 0 2 Idem mas para o perfil de tensao de corte Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 42 VERS AO 6 Problema 87 114 Problema 87 No escoamento bidimensional laminar e permanente entre duas su perfıcies solidas horizontais o perfil de velocidades tem a forma esbocada na figura com a velocidade maxima Um localizada a meia distˆancia entre as duas superfıcies a Integrando a equacao do movimento segundo Ox exprima Um em funcao do espacamento H das propriedades do fluido ρ µ e do gradiente de pressoes Px b Sera viavel utilizar o teorema de Bernoulli para relacionar as pressoes em dois pontos distintos deste escoamento Justifique 1141 Resolucao Alınea a A equacao de conservacao da quantidade de movimento de um fluido Newtoniano na direccao do escoamento e dada por uu x vu y wu z 1 ρ P x µ ρ 2u x2 2u y2 2u z2 gx que apos simplificacao4 resulta em 0 1 ρ P x µ ρ 2u y2 Porque a pressao e a velocidade dependem apenas de x e de y 1 ρ dP dx µ ρ d2u dy2 161 em que as condic oes de fronteira sao uy0 0 162 uyH 0 163 Integrando 161 du dy dP dx y µ C1 4Ver problema 86 na pagina 39 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 43 VERS AO 6 Problema 87 e integrando de novo u dP dx y2 2µ yC1 C2 164 As duas constantes sao determinadas a partir das condic oes 162 e 163 Condicao 162 0 dP dx 0 2µ 0C1 C2 165 Condicao 163 0 dP dx H2 2µ HC1 C2 166 donde se conclui que C2 0 e C1 dP dx H 2µ que apos substituicao em 164 u dP dx 1 2µy2 yH Um e a velocidade em y H2 a meia distˆancia entre as placas Um UyH2 dP dx H2 8µ Alınea b Nao e viavel utilizar o teorema de Bernoulli Para isso seria necessario que se tratasse de um fluido invıscido ou ideal ou seja sem viscosidade Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 44 VERS AO 6 Problema 92 116 Problema 92 Dois fluidos imiscıveis com a mesma massa volumica mas diferentes densidades estao contidos entre duas placas planas paralelas conforme se mostra na figura A placa inferior e fixa e a superior deslocase com uma velocidade constante U dando origem a um escoamento laminar e in compressıvel sem gradiente de pressao na direccao do movimento sendo contınua a variacao quer da velocidade quer da tensao de corte atraves da fronteira entre os fluidos a Determine o valor da velocidade na interface entre os dois fluidos exprimindo o resultado em funcao de U µ1 e µ2 b Esboce o perfil de velocidades para a situacao µ2 2µ1 Qual a relacao entre as tensoes de corte verificadas junto as placas superior e inferior Comente o resultado fundamentando a resposta na relacao entre a tensao e o gradiente de velocidades em cada caso 1161 Resolucao Alınea a O vector velocidade e dado por V uvw que deve satisfazer a equacao de conservacao de massa ou continuidade que no caso de escoamento incompressıvel e igual a u x v dy w z 0 174 Mas porque so ha movimento no eixo dos x e as componentes v e w do vector velocidade sao nulas V u00 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 47 VERS AO 6 Problema 92 Determinacao das constantes As quatro constantes sao determinadas a partir das condic oes 179 a 182 Condicao 179 0 C30 C4 183 Condicao 180 U C1 2h C2 184 Condicao 181 C1 h C2 C3 h C4 185 Condicao 182 µ1C1 µ2C3 186 A partir da equacao 187 concluise que C4 0 187 as trˆes equac oes 184 185 e 186 conduzem a determinacao das cons tantes C1 C2 e C3 C1 U h µ2 µ1 µ2 188 C2 U µ1 µ2 µ1 µ2 189 C3 U h µ1 µ1 µ2 190 que apos substituicao em 177 em 178 resulta u1 U µ2 µ1 µ2 y h U µ1 µ2 µ1 µ2 191 u2 U µ1 µ1 µ2 y h 192 qualquer uma destas equac oes nos permite determinar o valor da veloci dade na interface entre os dois fluidos igual a u1yh U µ2 µ1 µ2 h h U µ1 µ2 µ1 µ2 U µ1 µ1 µ2 u2yh U µ1 µ1 µ2 h h U µ1 µ1 µ2 Alınea b Para µ2 2µ1 as equac oes 191 e 192 simplificamse e o perfil de velo cidades e u1 U 2 3 y h U 1 3 h y 2h u2 U 1 3 y h 0 y h Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 49 VERS AO 6 Problema 99 Outro dos Πs e definido a partir da pressao Pint Π2 PintHaρbgc 195 e repetindo os procedimentos usados atras ML1T2 La ML3bLT2c L0 L0 T0 M L T 1 b 0 1 a 3b c 0 2 2c 0 a 1 b 1 c 1 resulta Π2 PintH1ρ1g1 Pint Hρg 196 O terceiro Π e baseado na adimensionalizacao de d Π3 dHaρbgc 197 L La ML3b LT2c L0 L0 T0 L M T 1 a 3b 2c 0 b 0 2c 0 a 1 b 0 c 0 Π3 dH1 d H 198 Finalmente o ultimo Π Π4 νHaρbgc 199 L2T1 La ML3b LT2c L0 L0 T0 1100 L T M 2 a 3b c 0 1 2c 0 b 0 a 32 b 0 c 12 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 53 VERS AO 6 Problema 100 118 Problema 100 Considerese um elemento da estrutura de uma ponte com um com primento dimensao perpendicular ao plano do papel muito superior as dimensoes H e D da seccao transversal na figura E sabido que com o vento soprando a uma velocidade constante podem formarse na esteira vortices emitidos de modo regular a uma frequˆencia bem definida Este fenomeno pode originar esforcos periodicos importantes sobre a estrutura pelo que e essencial o conhecimento da frequˆencia de desprendimento de vortices Neste caso concreto as dimensoes da estrutura sao D 01m e H 03m a velocidade do vento em causa e igual a 50 km h1 ρar 12kgm3µar 18 105 kgm1 s1 e pretendese determinar a frequˆencia real ensaiando um modelo a escala reduzida Dm 20mm num tunel de agua ρ 103 kgm3µ 101 103 kgm1 s1 a Determine as dimensoes Hm do modelo bem como a velocidade a qual devera ser realizado o ensaio b Se a frequˆencia de desprendimento de vortices encontrada no ensaio for de 499 Hz qual o valor esperado no prototipo 1181 Resolucao A resolucao esta organizada em duas partes I e II relativas a adimensi onalizacao e a semelhanca Tratamse de dois assuntos que estao forte mente interligados e constituem um capıtulo unico na maioria dos livros de texto sobre Mecˆanica dos Fluidos A identificacao destas duas partes fazse por razoes pedagogicas com o objectivo de distinguir a determinacao dos numeros adimensionais adimensionalizacao das regras a respeitar para assegurar a semelhanca entre casos reais e modelos Os modelos que pre tendem replicar os fenomenos fısicos reais em condic oes que apesar de nao serem iguais sao iguais quando referidas em parˆametros adimensionais ou seja sao semelhantes Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 55 VERS AO 6 Problema 100 Parte I Adimensionalizacao Alınea a Da leitura do enunciado resultam as variaveis fD Hvρ e µ cujas di mensoes basicas sao as seguintes f T1 D L H L v LT1 ρ ML3 µ ML1T1 Temos uma relacao f FD Hvρµ 1104 entre 6 variaveis k 6 que no seu conjunto recorrem a 3 dimensoes de re ferˆencia M L e T r 3 em que de acordo com o teorema de Buckingham k r 6 3 3 a relacao entre elas pode ser descrita de uma forma mais simples com base em apenas 3 variaveis 3 numeros adimensionais Π Π1 ΦΠ2Π3 1105 NOTA 1 Neste problema usase uma tecnica expedita para determinar os numeros adimensionais em que nao e necessaria a resolucao de qual quer sistema de equac oes como e o caso da tecnica de 8 passos uti lizada por exemplo na resolucao dos problemas 99 e 104 paginas 51 e 61 cuja leitura se aconselha Sao duas tecnicas alternativas em que a usada nesta resolucao normalmente exige menos tempo mas exige mais cuidado durante a resolucao porque e mais facil cometer qual quer erro Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 56 VERS AO 6 Problema 100 Parte II Semelhanca Para assegurar a semelhanca entre modelo e caso real os numeros adimensionais de modelo e caso real tˆem que ser iguais Como e dada a dimensao Dm e e pedida a dimensao Hm e so o termo Π3 e que relaciona essas duas variaveis da imposicao da condicao de semelhanca entre os Π3 do modelo e do caso real Π3m Π3r Dm Hm Dr Hr resulta o valor de Hm Hm DmHr Dr 002 03 01 006m A condicao de semelhanca dos termos Π2 Π2m Π2r ρmvmHm µm ρrvrHr µr estabelece a velocidade a qual o ensaio deve ser realizado vm ρrvrHr µr µm ρmHm 12 50 03 18 105 101 103 103 006 1683kmh1 O ensaio deve ser realizado a velocidade de 1683 km h1 com um mo delo de altura H igual a 006 m Alınea b Como o termo Π1 e o unico que tem a variavel frequˆencia a partir da condicao de semelhanca do Π1 Π1m Π1r fmHm vm frHr vr conhecida a frequˆencia medida em laboratorio fm e possıvel conhecer a frequˆencia do caso real fr fmHm vm vr Hr 499 006 1683 50 03 296Hz Nestas condic oes e esperada uma frequˆencia de emissao de vortices de 296 Hz no caso real Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 59 VERS AO 6 Problema 100 1182 Resolucao em Matlab Problema 100 Dados rho m 10ˆ3 massa volumica da agua mu m10110ˆ 3 v i s c o s i d a d e da agua rho r 12 massa volumica do ar mu r 1810ˆ 5 v i s c o s i d a d e do ar vr 50 v e l o c i d a d e 50 km h Hr03 Dr 01 dimensoes r e a i s Dm002 dimensao do modelo fm499 f r e q u e n c i a do modelo Resolucao a l i n e a a HmDmHrDr vmrho r vrHrmu rmu mrho mHm a l i n e a b f r fmHmvmvrHr Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 60 VERS AO 6 Problema 104 119 Problema 104 Pretendese avaliar o caudal massico que se escoa por gravidade de um reservatorio de altura h ao longo de um tubo vertical de diˆametro D e comprimento H h O fluido e um lıquido de propriedades ρ e µ a Identifique as grandezas que poderao influenciar o valor do caudal escoado e apresente a relacao correspondente sob a forma adimensional utilizando o teorema de Buckingham b O problema concreto e estudar um escoamento de oleo ρ 850kgm3µ 001kgm1 s1 ao longo de um tubo com H 50m e D 5cm num modelo reduzido utilizando como fluido a agua ρ 1000kgm3 µ 0001kgm1 s1 Qual a reducao de escala a adoptar c O caudal de agua de 1 litro por cada 10 minutos foi o resultado das medicoes em laboratorio no modelo reduzido Determine o caudal no modelo real 1191 Resolucao Alınea a As variaveis relevantes para a analise sao mD Hρgµ cujas dimensoes sao m MT1 D L H L Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 61 VERS AO 6 Problema 104 ρ ML3 g LT2 µ ML1T1 Temos uma relacao entre 6 variaveis k 6 que recorrem a trˆes di mensoes de referˆencia r 3 e de acordo com o Teorema de Buckingham k r 6 3 3 e equivalente a uma outra relacao entre trˆes variaveis grupos adimensio nais Π As trˆes variaveis escolhidas para adimensionalizar as restantes sao ρ µ e D Π1 adimensionaliacao do caudal m variavel principal Usando as variaveis ρ µ e D a adimensionalizacao de m sera Π1 mρaµbDc que em termos adimensionais e M0L0T0 MT1ML3aML1T1bLc em que a determinacao dos expoentes a b e c se efectua a partir da resolucao do sistema de trˆes equac oes M L T 1 a b 0 3a b c 0 1 b 0 a 0 b 1 c 1 e Π1 e dado por Π1 m µ D 1110 Π2 adimensionalizacao da aceleracao da gravidade g Π2 gρaµbDc que em termos adimensionais e M0L0T0 LT2ML3aML1T1bLc donde resulta o sistema de trˆes equac oes Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 62 VERS AO 6 Problema 104 1192 Resolucao em Matlab PROBLEMA 104 Dados g 981 a c e l e r a c a o da gravidade H r 50 m D r 5 cm rho ag 1000 rho ol 850 kgmˆ3 mu ag 0001 mu ol 001 kgmˆ1sˆ1 m m 1 0 1 l i t r o 10 min C alculo do di ˆametro do tubo no modelo Scale D rho olmu olmu agrho ag ˆ 2 3 D m Scale DD r D ratioD rD m C alculo da a l t u r a do tubo no modelo H m H rD rD m H ratioH rH m C alculo do caudal no caso r e a l Scale m mu olD r mu agD m m r Scale mm m Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 65 VERS AO 6 Problema 112 120 Problema 112 O aumento de pressao p p2 p1 atraves da expansao subita re presentada na figura e pela qual escoa um lıquido pode ser expresso como p f A1 A2ρv1 onde A1 e A2 sao as areas das seccoes de passagem a montante e a jusante ρ e a massa volumica do fluido e v1 e a velocidade a montante Alguns dados experimentais obtidos com A2 011613m v1 1524ms1 e utilizando agua ρ 1000kgm3 sao dados na seguinte ta bela A1 m2 000929 002323 003437 004831 005667 p Pa 155610 375858 493164 555408 588924 a Represente graficamente estes dados experimentais usando parˆametros adimensionais adequados b Para uma expansao subita com A1 002323m e A2 006637m percorrida por um fluido ρ 1115kgm3 com velocidade v1 1143ms1 preveja o valor de p correspondente 1201 Resolucao Alınea a As variaveis relevantes tal como resulta da leitura do enunciado sao p A1 A2ρ e v1 cujas dimensoes basicas sao p FA MLT2L2 ML1T2 A1 L2 A2 L2 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 66 VERS AO 6 Problema 112 v1 LT1 ρ ML3 Temos uma relacao entre 5 variaveis k 5 que recorrem a trˆes di mensoes de referˆencia r 3 e de acordo com o Teorema de Buckingham k r 5 3 2 e equivalente a uma outra relacao entre duas variaveis grupos adimensio nais Π Usando as variaveis ρ A1 e v1 a adimensionalizacao de p sera Π1 pρa Ab 1 vc 1 que em termos adimensionais e M0L0T0 ML1T2ML3aL2bLT1c em que a determinacao dos expoentes a b e c se efectua a partir da resolucao do sistema de trˆes equac oes M L T 1 a 0 1 3a 2b c 0 2 c 0 a 1 b 0 c 2 e Π1 e dado por Π1 P ρv2 1 1113 combinacao de variaveis designada de numero de Euler De entre as variaveis ainda nao utilizadas apenas resta A2 donde re petindo o procedimento acima Π2 A2 ρa Ab 1 vc 1 que em termos adimensionais e M0L0T0 L2ML3aL2bLT1c M L T a 0 2 3a 2b c 0 c 0 a 0 b 1 c 0 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 67 VERS AO 6 Problema 112 e Π2 sera Π2 A2 A1 1114 Notese que a resolucao deste sistema era desnecessaria porque da simples observacao das variaveis disponıveis concluise que para adimensionalizar A2 bastaria dividir A2 por A1 A representacao da Tabela 11 em variaveis adimensionais Π1 e Π2 na forma tabular ou grafica resulta nas Tabela 11 e Figura 12 Π2 A2A1 125 5 338 24 205 Π1 pρv2 1 102 67 1618 2123 2391 2536 Tabela 11 Dados experimentais em variaveis adimensionais Π1 e Π2 Figura 12 Dados experimentais ttt em variaveis adimensionais Π1 e Π2 Alınea b Para uma nova expansao subita com as areas A1 002323m e A2 006637m o numero adimensional Π2 sera A2 A1 006637 002323 286 a que pelo grafico corresponde o valor de Π1 p ρv2 1 225 102 que resolvido em ordem a p se obtem p 225 102 ρv2 1 225 102 1115 11432 32775Pa Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 68 VERS AO 6 CAPITULO 2 EXAMES Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 70 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 211 Problema 1 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 74 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 Alınea a O ensaio experimental consiste na medicao da altura de agua no reser vatorio que mantem na horizontal o braco L Este braco tem suspenso numa das suas extremidades massas de valores diversos Sao registadas sequˆen cias de valores pares massa suspensa versus altura da superfıcie vertical submersa O objectivo e constatar o aumento da forca de pressao na face BD com o nıvel da agua no reservatorio e a parte submersa de BD aumenta O ob jectivo e conhecida esta forca determinar experimentalmente o seu ponto de aplicacao Devido a forma circular do corpo com o centro no pivot eixo em torno do qual o braco L roda as forcas de pressao nas superfıcies curvas nao contribuem para o equilıbrio A influˆencia do peso do corpo foi elimi nada atraves do equilıbrio da barra L antes de iniciar o ensaio e com o reservatorio vazio sem agua usando o contrapeso na extremidade oposta aquela onde as massas foram suspensas Alınea b O braco L mantemse na posicao horizontal em equilıbrio se o momento das forcas em torno do seu eixo de rotacao pivot for zero Peso L Fcg h porque Fcg pcg A mg L pcg Ah e porque pcg ρghcg mg L ρ ghcg Ah O resultado final e m L ρhcg Ah 21 Alınea c Resolvendo a equacao 21 em ordem a h vem h m L ρhcg A 22 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 75 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 Aqui ha que considerar duas situac oes que dependem da superfıcie es tar parcial ou totalmente submersa No caso de parcialmente submersa quando d D A Bd 23 hcg d2 24 e apos substituicao de 23 e 24 em 22 sera h 2m L ρ Bd2 se d D 25 No caso de totalmente submersa quando d D A BD 26 hcg d D2 27 e apos substituicao de 26 e 27 em 22 sera h m L ρ BDd D2 se d D 28 As equac oes 25 e 28 permitem assim a determinacao de h e do centro de pressao por via experimental e para efeito de distinguir da alınea seguinte passamos a designar o h determinado por qualquer destas equac oes por h exp NOTA 1 1 Como seria de esperar quando d D as equac oes 25 e 28 sao idˆenticas 2 O ponto de aplicacao da forca Fcg e o designado centro de pressoes aqui em funcao da distˆancia ao eixo de rotacao do braco L em vez de em relacao ao centro de gravidade da superfıcie sub mersa Alınea d A posicao ycp do centro de pressoes da forca na superfıcie vertical em relacao ao centro de gravidade e dada por ycp ρ gsinθ Ixx pcg A Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 76 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 N Massa g d mm h exp mm h teo mm 1 103 65 17878 eq 25 2 151 80 17302 eq 25 3 207 95 16821 eq 25 4 225 100 16500 eq 25 5 250 105 16667 eq 25 6 300 118 16176 eq 28 16225 eq 210 7 340 128 15983 eq 28 16068 eq 210 porque1 Ixx BD3 12 e pcg ρgd D2 ycp ρ gsinθBD312 ρgd D2BD ycp sinθD2 12d D2 porque θ 900 e sinθ 1 ycp D2 12d D2 29 porque h hcg ycp e hcg H D2 h H D2 D2 12d D2 210 Ao h determinado por esta equacao passamos a designar por h teo pelo mesmo motivo que designamos h exp o h na equacao 28 1Vejase por exemplo a figura 218a de Munson et al 2010 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 77 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 Resolucao em Matlab Ano l e c t i v o 20102011 Exame de 18 de J a n e i r o de 2011 Problema 1 DADOS Dimensoes em mm D100 B75 Altura e l a r g u r a da s u p e r f i c i e v e r t i c a l H200 L275 Comprimento do braco e d i s t a n c i a a s u p e r f i c i e Conversao de mm em m DD1000 BB1000 HH1000 LL1000 rho 1000 kg mˆ3 massa volumica da agua g 981 m s ˆ2 a c e l e r a c a o da gravidade Dados e x p e r i m e n t a i s p a r c i a l m e n t e submerso d D m49 103 151 207 225 massas d44 65 80 95 100 a l t u r a da s u p e r f i c i e submersa mm1000 conversao de gr em kg dd1000 conversao de mm em m Resolu c ao Area Bd area da s u p e r f i c i e v e r t i c a l submersa h cgd2 profundidade do c e n t r o de gravidade F cgrhogArea h cg f o r c a na s u p e r f i c i e submersa hll expgLm F cg h l l t e o r Hd3 hll exphll exp 1000 conversao de m em mm h l l t e o r h l l t e o r 1000 conversao de m em mm Dados e x p e r i m e n t a i s t o t a l m e n t e submerso d D m225 250 300 340 400 475 555 d100 105 118 128 143 160 180 mm1000 conversao de gr em kg dd1000 conversao de mm em m Resolu c ao Area BD area da s u p e r f i c i e v e r t i c a l submersa h cgdD2 profundidade do c e n t r o de gravidade F cgrhogArea h cg f o r c a na s u p e r f i c i e submersa hll expgLm F cg h l l t e o r HD2Dˆ 2 1 2 dD2 hll exphll exp 1000 conversao de m em mm h l l t e o r h l l t e o r 1000 conversao de m em mm Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 78 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 que origina o sistema de equac oes M T L 1 b 0 2 a b 3c 0 2 b c 0 a 1 b 1 c 4 O parˆametro adimensional e Π1 plD4 µQ Notese que como apenas ha um unico parˆametro adimensional indepen dente podemos concluir que plD4 µQ const NOTA 2 Um erro frequente nos exames foi identificar esta constante com o va lor 1 talvez por ma interpretacao da equacao 211 Conforme vamos verificar na alınea b o valor desta constante ronda os 40728 Alınea b Reproduzindo a tabela em dados dimensionais parte integrante do enun ciado em termos adimensionais podemos constatar de imediato uma ano malia no 5o ponto N Qm3s1 p Nm2 plNm3 Π1 1 360 106 110 104 367 104 4074 2 491 106 150 104 500 104 4073 3 632 106 193 104 643 104 4071 4 789 106 241 104 803 104 4073 5 850 106 245 104 817 104 3843 6 979 106 299 104 997 104 4072 Alınea c Para um tubo com D 3mm Q 20 106 ms3 e µ 0006kgm1 s1 a queda de pressao por unidade de comprimento devera ser dada por pl 40728 2 106 0006 00034 6034 103 Nm3 Notese que usamos para valor de Π1 o valor medio das medic oes aceites excluindo a quinta Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 85 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 Resolucao em Matlab Ano l e c t i v o 20102011 Exame de 18 de J a n e i r o de 2011 Problema 3 DADOS L300 mmm comprimento do tubo D2 mm Diametro do tubo visco 0004 N s mˆ2 v i s c o s i d a d e dinamica do f l u i d o LL1000 DD1000 Converte mm em m Valores e x p e r i m e n t a i s Q36010ˆ 6 49110ˆ 6 63210ˆ 6 78910ˆ 6 85010ˆ 6 97910ˆ 6 mˆ 3 s Dp11010ˆ4 15010ˆ4 19310ˆ4 24110ˆ4 24510ˆ4 29910ˆ4 Nmˆ2 Resolu c ao a l i n e a b Pi 1 DpQDˆ4 viscoL a l i n e a c Db0003 Qb210ˆ 6 visco b 0002 DppPi 1 QbDbˆ4 visco bL Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 86 VERS AO 6 Exame de 18 de Janeiro de 2011 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 89 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 22 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 20102011 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Recurso 20110211 1 7 v A figura dimensões em milímetros representa uma das instalações experimentais usadas no laboratório em que se escoava um caudal constante de água ρágua 1000 kg m3 fixado pela regulação de válvulas a Explique o funcionamento e objectivo da experiência e identifique as técnicas de medição utilizadas b Durante 274 s foram recolhidos num balde 32 kg de água Utilizando esta informação determine o caudal volúmico e a velocidade em cada secção preenchendo a tabela 1 di é o diâmetro da secção c Preencha as restantes colunas da tabela 1 determinando as pressões dinâmica e total em função da altura da coluna de água nos tubos manométricos ligados a cada orifício hi e ao tubo de Pitot hT d Obtenha as expressões que lhe permitem determinar a velocidade e o caudal em qualquer das secções em função da altura das colunas de água hi e hT Utilizando estas expressões preencha a tabela 2 para as secções 3 4 e 6 Compare os resultados com os da tabela 1 justificando eventuais discrepâncias e Sabendo que pressão no ponto 1 é de 2 bar relativamente à atmosfera e1 Determine a pressão do ar encerrado na parte superior dos tubos manométricos e2 Se estes tubos fossem abertos para a atmosfera qual seria o valor de h1 f Determine qual deveria ser a pressão total nas secções 3 4 e 6 usando as medições de pressão estática e a massa de água recolhida no balde 32 kg em 274 s preenchendo a tabela 2 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 90 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Recurso de Mecânica dos Fluidos I 11 de Fevereiro de 2011 Ano lectivo 20102011 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 3º ANO MECÂNICA DOS FLUIDOS I Exame 20110118 ALUNO IMPORTANTE esta folha deve ser entregue juntamente com a sua resolução do exame Nota As pressões são relativas à pressão do ar nos tubos manométricos Tabela 1 32 kg em 274 s Secção Li mm di mm hi mm hT mm Caudal m3h Ui ms Pressão dinâmica Pa Pressão total Pa 1 00 250 257 260 2 603 139 230 260 3 687 118 204 260 4 732 107 175 260 5 811 100 150 260 6 1415 250 245 255 Tabela 2 Secção hi mm Ui ms Caudal m3h Pressão estática Pa Pressão total Pa 1 257 2 230 3 204 4 175 5 150 6 245 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 92 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 221 Problema 1 Alınea a A experiˆencia consistiu na medicao da altura da coluna de agua em tubos piezometricos pressao estatica ligados em diversos pontos na superfıcie de uma tubagem com um tubo de Venturi O objectivo deste trabalho foi constatar a variacao da pressao com a variacao da seccao da tubagem area de passagem da agua velocidade do fluido e a validade do teorema de Bernoulli Foram registados valores da altura da coluna de lıquido para valores diversos do caudal de agua na instalacao A medicao de pressao fezse por tomadas de pressao estatica orifıcios na parede da tubagem e uma tomada de pressao total tubo de Pitot tubo metalico que se deslocou ao longo do eixo da tubagem O caudal de agua foi medido com um balde onde se recolheu a agua durante um tempo determinado com recurso a cronometro A massa de agua foi determinada atraves de uma balanca digital Palavraschave tubo de Pitot tubo de Venturi pressao estatica pressao dinˆamica pressao total caudal velocidade equacao de Bernoulli Alınea b Conhecida a massa de agua e o tempo que demorou a recolhela condic oes do ensaio o fluxo massico e mexp massa tempo 320 2740 0117kgs1 212 ou em m3hora tal como e pedido na tabela Qexp mexp 3600 ρ 042m3 h1 213 Este valor e igual para todas as secc oes porque as medic oes de pressao so foram efectuadas depois de a altura da coluna de agua nos tubos pie zometricos ter estabilizado Isto era uma indicacao de que o escoamento da agua ocorria em regime permanente ou seja em condic oes de caudal constante A velocidade em ms em cada seccao e dada por Ui Qexp Ai Qexp3600 π d2 i 4 214 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 93 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Alınea c Pressao total A pressao total pTi foi medida pelo tubo de Pitot deslocado ao longo do eixo da tubagem e o valor registado foi aquele na coluna 5 da Tabela 1 do enunciado em termos de mca metros de coluna de agua Pressao dinˆamica A pressao medida em cada um dos 6 orifıcios na pa rede da tubagem coluna 4 da Tabela 1 e a designada pressao estatica pEsti A pressao dinˆamica pDini e uma variavel que nao foi medida directamente mas pode ser obtida a partir da diferenca entre as pressao total e a pressao estatica pDini pTi pEsti em que o ındice i se refere a qualquer das secc oes 1 a 6 onde existem to madas de pressao estatica e o ındice T se refere a tomada de pressao total tubo de Pitot As pressoes pTi e pEsti sao conhecidas a partir da leitura dos manometros respectivos pEsti ρghEsti par 215 pTi ρghTi par 216 em que par e a pressao do ar encerrado na extremidade dos tubos ma nometricos Recorrendo as equac oes 215 e 216 e usando como exemplo os valores na seccao 3 da tubagem a pressao dinˆamica e pDin3 ρghT3 h3 9810 0260 0204 5494Nm2 No caso da pressao total tratase apenas de todos os valores na co luna 5 depois de convertidos em metro serem multiplicados pela cons tante ρg 1000 981 9810kgm2 s2 como seja por exemplo o caso da pressao total na seccao 3 pT3 ρghT3 9810 0260 25506Nm2 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 94 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Tabela 21 Resultados das alıneas a b e c Dados experimentais Valores calculados Coluna 1 2 3 4 5 6 7 8 Seccao Li di hi hT Qexp Ui pDin pTexp mm mm mm mm m3 h1 m s1 m3 h1 N m2 eq 213 eq 219 eq 221 1 000 2500 257 260 042 024 2943 25506 2 6030 1390 230 260 042 077 29430 25506 3 6870 1180 204 260 042 107 54936 25506 4 7320 1070 175 260 042 123 83385 25506 5 8110 1000 150 260 042 149 107910 25506 6 14150 2500 245 255 042 024 9810 25016 NOTA 1 1 Qualquer dos valores de pressao sao relativos a pressao do ar en cerrado no topo dos tubos manometricos tal como esta escrito na pagina 3 do enunciado 2 A pressao dinˆamica nao e mais do que o termo de energia cinetica na equacao de Bernoulli 217 pDini 1 2ρU2 i e alguns alunos determinaram esta pressao deste modo a partir do conhecimento da velocidade em cada seccao determinada na alınea b No entanto esta nao era a resolucao pedida O texto na alınea c que passamos a transcrever era muito claro determinando as pressoes dinˆamica e total em funcao da altura da coluna de agua nos tubos manometrico ligados a cada orifıcio hi e ao tubo de Pitot hT Alınea d Atraves da aplicacao da equacao de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente no eixo da tubagem pi 1 2ρU2 i pTi 1 2ρU2 Ti 217 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 95 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 NOTA 2 1 Na proposta de resolucao nao e feita qualquer referˆencia a erros experimentais Apesar de eles estarem presentes sempre qual quer justificacao de diferencas a erros sem que a quantificacao desses erros tenha sido realizada e incorrecta 2 A quantificacao de erros experimentais faz parte de outras disci plinas como seja por exemplo Metodos Experimenatais em Enge nharia Termica EM0053 e por isso e ignorada aqui Alınea e1 A pressao estatica num ponto no eixo2 e dada por 215 donde se pode obter a pressao do ar par p1 ρghEsti 222 que determinado com base nos valores medidos na seccao 1 e par 2 105 1000 981 0257 19747883 Nm2 NOTA 3 1 Porventura notou que quando nao passava agua na instalacao ex perimental quando a valvula de saıda estava fechada a altura da agua nos tubos manometricos era constante Logo que abriu a valvula o escoamento se estabeleceu e a velocidade da agua na tubagem foi diferente de zero a altura da agua nos tubos ma nometricos a pressao estatica na seccao diminui Isto aconte ceu na proporcao do quadrado da velocidade mas a pressao total mantevese 2 Em momento algum foi preciso conhecer a pressao do ar no inte rior dos tubos manometricos para determinar o caudal ou a velo cidade da agua no interior da tubagem 3 O dispositivo experimental com os tubos manometricos fechados com ar no seu interior destinase a evitar que a agua nos tubos suba demasiado e dificulte a sua leitura 2Recomendase a leitura das paginas 100 a 105 de Munson et al 2010 para explicacao de que em condic oes a pressao medida atraves do orifıcio na parede da tubagem e a pressao no eixo da tubagem Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 97 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Tabela 22 Resultados das alıneas d e f Dado experimental Valores calculados Coluna 1 2 3 4 5 Seccao hi Ui Qexp pEst pTteo mm m s1 m3 h1 m3 h1 N m2 eq 213 eq 219 eq 221 eq 225 1 257 2 230 3 204 1048 0413 200124 257148 4 175 1291 0418 171675 256019 5 150 6 245 0443 0783 240345 243175 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 99 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Resolucao em Matlab Ano l e c t i v o 20102011 Recurso de 11 de F e v e r e i r o de 2011 Problema 1 Venturi l a b o r a t o r i o DADOS Constantes rho 1000 kg mˆ3 massa volumica da agua g 981 m s ˆ2 a c e l e r a c a o da gravidade Geometria Dimensoes em mm L00 603 687 732 811 1 4 1 5 d i s t a n c i a d250 139 118 107 100 2 5 0 diametro LL1000 dd1000 Conversao de mm em m Valores medidos massa 320 em kg tempo 2 7 4 0 em segundos Alturas da coluna de agua em mm h e s t 2600 2300 1550 1050 450 1400 a l t u r a h est 2570 2300 2040 1750 1500 2 4 5 0 a l t u r a h tot 2600 2600 2600 2600 2600 2 5 5 0 a l t u r a t o t a l Conversao de mm para m h esth est 1000 h toth tot 1000 Pressao em 1 em bar e c o n v e r t e pata Pa p12 p1p1 10ˆ5 RESOLUCAO a l i n e a b Caudal e x p e r i m e n t a l e v e l o c i d a d e Qm expmassatempo Caudal m assico kg seg Qv expQm exprho Caudal vol umico mˆ 3 seg Qv exp m3hQv exp3600 Caudal vol umico mˆ 3 h Areapidˆ24 Vel expQv exp pid ˆ 2 4 a l i n e a c Pressao din ˆamica e p r e s s a o t o t a l p dinrhog h toth est Pa p totrhog h tot Pa a l i n e a d Velsqrt 2g h toth est Vel d2sqrt 2g h toth estd2 QvArea Vel Qv d2Area Vel d2 Qv d2 m3hQv d23600 Qv m3hQv3600 a l i n e a e1 Pressao do ar nos tubos manometricos p arp1rhog h est 1 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 100 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 a l i n e a e2 Altura a que a agua s u b i r i a nos tubos manometrico se e s t e s e s t i v e s s e m a b e r t o s h ar abp ar rhog h est 1 a l i n e a f p est exph est rhog p t o t t e op est exp 12rhoVel exp ˆ 2 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 101 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 acelerar o fluido cuja energia cinetica termo 2 e perdida na entrada do reservatorio dissipacao viscosa vencer a diferenca de altura entre a superfıcie do lago e o reservatorio termo 3 Resolvendo 228 numericamente com p5 p1 200 kPa z5 z1 6 m ρ 1000 kgm3 A4 π 50 1032 4 196 103 m2 WB 22 kW obtemos Q 822 103 m3s 4932 lmin 229 Conclusao uma bomba capaz de fornecer 22 kW satisfaz as condic oes de funcionamento pretendidas de 4000 litros de agua em 10 minutos NOTA 6 Uma vez que nao se pergunta qual o caudal que a bomba fara circular apenas se e capaz de garantir o mınimo pretendido a resposta a este problema poderia ser obtida de outra forma partindo de 228 determinavase a potˆencia da bomba ne cessaria para fazer circular o caudal volumico mınimo pre tendido 400 lmin obtendose WB 176 kW Sendo a potˆencia da bomba em questao superior concluıase que sa tisfazia as condicoes de funcionamento pretendidas Alınea b Esta alınea resolvese de modo idˆentico a alınea a Deste modo pode mos partir de 228 e resolver novamente numericamente mas desta vez considerando p5 p1 300 kPa todos os outros parˆametros permanecem iguais Assim sendo obtemos Q 605 103 m3s 3630 lmin 230 Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 104 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Desprezando o peso da agua e da tubagem contidos no interior do vo lume de controlo notamos que a pressao atmosferica actua sobre toda a superfıcie exterior da conduta O seu efeito pode ser contabilizado conside rando pressoes relativas alias como temos vindo a fazer na resolucao deste exercıcio Deste modo os somatorios das forcas exteriores que actuam nas direcc oes x e y sao Fextx p2A2 Fx Fexty Fy p3A3 Note que a resultante da forca de pressao na seccao 2 tem o sentido do eixo dos xx positivo enquanto na seccao 3 tem o sentido contrario ao do eixo dos yy negativo As pressoes p2 e p3 podem ser determinadas usando o Teorema de Bernoulli p2 1 2ρV2 2 ρgz2 p4 1 2ρV2 4 ρgz4 Uma vez que entre 2 e 4 nao ha variacao de seccao diˆametro V2 V4 A pressao p4 ja foi obtida anteriormente Assim sendo p2 ρgz2 p5 ρgz5 z4 ρgz4 p2 p5 ρgz5 z2 p2 200 103 1000 981 3 p2 229430 Pa NOTA 8 Embora se obtivesse o mesmo resultado considerando uma variacao hidrostatica da pressao entre 5 e 2 ou entre 4 e 2 tal e incorrecto uma vez que o fluido esta em movimento entre 2 e 4 O valor obtido e uma pressao relativa visto que foi calculado a partir da pressao relativa no ponto 4 Desprezando a diferenca de altura entre as secc oes 2 e 3 e ja que nao ha variacao de seccao da conduta V3 V2 o teorema de Bernoulli permite concluir que p3 p2 229430 Pa Fazendo agora o balanco dos fluxos que atravessam a fronteira do vo lume de controlo e considerando primeiro a componente segundo o eixo Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 106 VERS AO 6 Recurso de 11 de Fevereiro de 2011 Conhecido o perfil de velocidades conforme enunciado uyt U0 eκy cosωt κy as diferentes parcelas da equacao 233 sao u t U0ωeκy sinωt κy µ2u y2 2U0κ2νeκy sinωt κy Como κ2 ω2ν concluımos que p x 0 que era o resultado pedido no enunciado Mecˆanica dos Fluidos I Versao 6 Ano lectivo 20122013 111 VERS AO 6 Referˆencias Bibliograficas B R Munson D F Young T H Okiishi and W W Huebsch Fundamentals of Fluid Mechanics John Wiley Sons Inc 6 edition 2010 ISBN 9780 470398814 112