Calculo da Velocidade em Corrida de Cadeira de Escritório com Extintor - Mecânica dos Fluidos

2 Seu colega o convidou para uma corrida de cadeira de escritório com rodinhas propelida por jateamento com extintor de incêndio Figura 21 Você como aluno de Mecânica dos Fluidos e prospectivo piloto sentiu a necessidade de compreender como funciona tal mecanismo e estimar a velocidade que se pode atingir em tal situação Para satisfazer esta necessidade a desenvolver uma equação que relaciona a variação da velocidade do sistema cadeiraextintorpiloto com o tempo e b desenvolver uma expressão algébrica que relaciona a distância percorrida pelo referido sistema com o tempo Considerar as seguintes condições a velocidade de ejeção de fluido pelo extintor de incêndio relativa à do sistema cadeiraextintorpiloto é constante a massa do fluido dentro do extintor varia com o tempo o atrito de rolamento das rodinhas da cadeira é desprezível e a força de arrasto devido ao escoamento de ar em todo o sistema é desprezível Utilizar as seguintes variáveis V para a velocidade de ejeção do fluido do extintor de incêndio relativa à do sistema cadeiraextintorpiloto U para a velocidade do sistema cadeira de escritórioextintorpiloto m para a massa total do sistema cadeira de escritórioextintorpiloto que varia no tempo ie mmt m para a vazão em massa do fluido do extintor A para a área do bocal do extintor de incêndio ρ para a massa específica do fluido do extintor de incêndio t para o tempo g para aceleração da gravidade e m0 para massa inicial do sistema cadeiraextintorpiloto Figura 21 Sistema cadeira de escritóriopiloto propelido por jato de extintor de incêndio Solução O volume de controle para a solução do problema é apresentado na Figura P22 Figura P22 Volume de controle para sistema cadeira de escritóriopiloto propelido por jato de extintor de incêndio As equações para a solução do problema são respectivamente as formulações integrais para os princípios de conservação de massa e de quantidade de movimento 0tρdρVxyzdA 1 FSx FBx VC ȧrfxρdtvxyzρdvxyzρVxyzdA 2 As seguintes considerações serão feitas para a solução do problema 1 propriedades uniformes nas seções em que o fluido atravessa a superfície de controle 2 escoamento incompressível 3 taxa de variação de quantidade de movimento dentro do volume de controle é desprezível 4 a força de arrasto do ar é desprezível comparada às outras forças atuantes no sistema 5 trabalhar com pressões manométricas 6 a pressão em ① é p1patm0 e 7 a força de atrito de rolamento das rodas da cadeira é desprezível Da equação para o princípio de conservação de massa podese calcular a variação da massa de fluido dentro do extintor lembrando que para volume de controle não deformável ρdm 0tρdρVxyzdAdmdtρVA1 3 Da equação 3 dmdtρVA1m 4 Aplicando o método de separação de variáveis na equação 4 dmmdt 5 Integrando a equação 5 m0m dm0tmdt 5 Lembrando que a taxa de variação de massa do fluido do extintor é constante a equação 5 se torna mm0mt 6 A equação 6 descreve como a massa do fluido no extintor varia no tempo e como consequencia como a massa total do sistema cadeiraextintorpiloto varia no tempo Da consideração 3 o termo transiente da equação 2 é eliminado A equação 2 fica portanto FSxFBxVC ȧrfxρdvxyzρVxyzdA 7 Pelo fato do eixo Y estar alinhado com a direção da ação da força gravitacional e estarmos interessados na aceleração do sistema cadeiraextintorpiloto estritamente na direção X o termo relativo à força de campo na equação 7 é eliminado FSxVC ȧrfxρdvxyzρVxyzdA 8 Explicitando na equação 8 as forças de superfície atuando no volume de controle e considerando que as velocidades são medidas em relação ao sistema de coordenadas movendose com o volume de controle e aplicando a consideração 1 FaFDp1A1VC ȧrfxρdu1ρV1UA1 9 em que Fa é a força de atrito de rolamento das rodinhas da cadeira e FD é a força de arrasto devido ao escoamento de ar sobre todo o sistema Aplicando as considerações 4 6 e 7 na equação 9 VC ȧrfxρdu1ρV1UA1 10 Definindo a componente da velocidade na direção x u1V1U 11 Substituindo a equação 11 na equação 10 VC ȧrfxρdρA1V1U2 12 A aceleração do sistema de referência móvel ie do volume de controle não é função da massa do volume de controle portanto ȧrfx pode ser removida para fora da integral à esquerda da igualdade na equação 12 ȧrfxVC ρdρA1V1U2 13 Definindo os termos do produto à esquerda da igualdade na equação 13 ȧrfxdUdt VC ρdm 14 em que m é a massa do volume de controle que é igual à massa do sistema cadeiraextintorpiloto e o sinal negativo da aceleração é devido à esta ocorrer no sentido negativo da coordenada X do referencial estacionário Aplicando as definições 14 na equação 13 mdUdtρA1V1U2 14 Dividindo toda a equação 14 por m dUdtρV1U2 A1m 15 Substituindo a equação 6 na equação 15 dUdtρV1U2 A1m0ρV1UA1 t 16 Definindo um novo parâmetro pρA1 17 e substituindoo na equação 16 V V12 pt p pt2 m02 pV1212 m0 30 V V12 pt p2 t2 m02 V1212 m0 31 V V12 pt V12 p2 t2 m02 V1212 m0 32 V V12 pt 1 V1 V1 V12 p2 t2 m0212 m0 33 V V12 pt V1 V12 p2 t2 m0212 m0 34 Da definição do parâmetro p V V12 ρA1 t V1 V12 ρ2 A12 t2 m0212 m0 34 Da equação 34 U V12 ρA1 t V1 V12 ρ2 A12 t2 m0212 m0 V1 35 Da equação 35 U V12 ρA1 t V1 m0 V12 ρ2 A12 t2 m0212 m0 36 A equação 36 é a equação que descreve como a velocidade do sistema cadeiraextintorpiloto varia com o tempo A solução da equação diferencial 21 foi obtida por meio da webpage httpswwwsymbolabcomsolverordinarydifferentialequationcalculator dUdt pV1 U2 m0 pV1 Ut 18 Definindo uma nova variável V V1 U 19 temse que dV dV1 U dU 20 Portanto a equação 18 se torna dVdt pV2 m0 pVt 21 A solução para a equação diferencial ordinária 21 é V pt sqrtppt2 2C1 m0 2C1 p 22 Considerando que o sistema cadeiraextintorpiloto acelera a partir da condição inicial de velocidade zero a equação 22 se torna V pt sqrtppt2 2C1 m0 2C1 p 23 Aplicando a condição inicial V V1 U 0 para t 0 V1 sqrt2pC1 m0 2C1 p 24 Da equação 24 2C1 pV1 sqrt2pC1 m0 25 Elevando ambos os lados da equação 25 ao quadrado 4p2 V12 C12 2pC1 m0 26 Dividindo a equação 26 por C1 4p2 V12 C1 2p m0 27 Da equação 27 C1 m0 2pV12 28 Substituindo a equação 28 na equação 24 V sqrtpt p pt2 m02 pV12 m0 V12 29