Calculo da Velocidade do Ar e Potencia Minima em Helicóptero com Carga - Exercicio Resolvido

1 34 A massa total de um helicóptero é M 3500 kg O helicóptero carrega uma carga adicional de massa m 1000 kg na forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 3 4 1 m Figura P2 Em situação de voo a pressão no plano horizontal abaixo da carga sendo elevada de diâmetro D 8 m é atmosférica e no extradorso das pás é a pressão dinâmica manométrica dada por p 12 ρV² em que V é a velocidade do fluido que é coletado pelas pás relativa à velocidade do helicóptero a Desenhar o volume de controle a ser utilizado para solução do problema e explicitar as forças que atuam no volume de controle arbitrado e o sistema de coordenadas inercial XY e o sistema de coordenadas xy que se move juntamente com o volume de controle b Explicitar as considerações a serem feitas para a solução problema Considerando o volume de controle arbitrado e as considerações apresentadas c calcular a velocidade do ar abaixo das pás do rotor e d calcular a potência mínima a ser fornecida pelo rotor para manter o helicóptero em ascensão estritamente vertical a uma velocidade constante VH 3 ms utilizando a equação para o princípio de conservação de energia e pelo produto força velocidade A massa específica do ar a ser considerada é ρ 125 kgm³ e a aceleração da gravidade é g 981 ms² Figura P1 a Helicóptero com carga em ascensão vertical à velocidade constante e b vista Equações básicas 0 t VC ρ d SC ρVxy dA 1 F FB Fs t VC ρVxy d SC Vxy ρVxy dA 2 Q Ws t VC e ρ d SC e pρ ρVxy dA 3 e u V²2 g z 4 em que Vxy é a velocidade do fluido relativa às coordenadas de volume de controle xy ρ é a massa específica do ar A é a área da superfície de controle através da qual o fluido escoa é o volume do volume de controle Fsx e Fbx representam respectivamente as forças de superfície e de campo atuando no volume de controle a é a aceleração do volume de controle com relação ao sistema de coordenadas inercial XY Q é a taxa de calor que atravessa as fronteiras do volume de controle W é a taxa de trabalho que atravessa as fronteiras do volume de controle e é a energia específica u é a energia interna específica z é a cota do fluido com relação ao sistema de coordenadas inercial XY Solução O Volume de Controle para o problema é apresentado na Figura P11 Figura P11 Volume de Controle para o problema do helicóptero com carga em ascensão vertical à velocidade constante Considerações 1 escoamento incompressível 2 escoamento em regime permanente 3 não há variação significativa de quantidade de movimento dentro do volume de controle 4 volume de controle com diâmetro igual ao das pás do rotor na seção ① 5 propriedades uniformes nas seções em que o fluido atravessa a superfície de controle 6 pressão na parte inferior do volume de controle é atmosférica 7 a única forma de trabalho é aquela devido ao eixo do rotor 8 não há variações significativas de entalpia da seção ① para a seção ② 9 não há perdas significativas de calor 10 não há variação significativa de cota entre a seção ① e a seção ② e 11 não há efeito da calda do helicóptero na direção Y uma vez que esta atua somente na estabilização da aeronave Da equação de conservação de massa 0 SC ρV dA 5 Portanto 0 SC ρV dA ṁ ρV₁ VH A₁ ρV₂ VH A₂ 6 V₂ VH A₁A₂ V₁ VH 7 As áreas das seções ① e ② são respectivamente A₁ π4 D₁² π4 8² 5027 m² 8 A₂ π4 D₂² 3 4 π4 8² 12 3827 m² 9 Portanto V₂ VH A₁A₂ V₁ VH 50273827 V₁ VH 10 V₂ VH 132 V₁ VH V₁ VH 076 V₂ VH 10a Da equação de conservação de quantidade de movimento FBy FSy SC V ρV dA 11 De 11 Ry p₁ A₁ p₂ A₂ Mg mg v₁ ρV₁ VH A₁ v₂ ρV₂ VH A₂ 12 As componentes das velocidades são v₁ V₁ VH e v₂ V₂ VH 13 A justificativa para a pressão dinâmica na porção superior das pás do rotor ser negativa é descrita a seguir Considerando um ponto ⓿ zero no ar um pouco acima da porção superior das pás do rotor e o ponto ① como delineado na Figura P11 podese aplicar o princípio de conservação de energia sob a forma da equação de Bernoulli entre estes pontos para encontrar a pressão em ① p₀ρ V₀²2 g z₀ p₁ρ V₁²2 g z₁ 14 Da equação 14 p₁ρ p₀ρ 12 V₀² V₁² g z₀ z₁ 15 Considerando que a contribuição da pressão estática do ponto ⓿ para o ponto ① é desprezível e que p₀ patm 0 e que V₀ 0 temse que p₁ 12 ρV₁² ou seja para o problema p₁ 12 ρ V₁ VH² 16 Substituindo 13 e 16 em 12 e considerando que não há forças atuando na superfície de controle que não as pressões em ① e em ② Ry 0 p₂ patm 0 e que da equação de conservação de massa ρ V₁ VH A₁ ρ V₂ VH A₂ 12 ρ V₁ VH² A₁ Mg mg V₁ VH ρ V₂ VH A₂ V₂ VH ρ V₂ VH A₂ 17 Substituindo a equação 10a em 17 12 ρ 076 V₂ VH² A₁ Mg mg 1 076 V₂ VH ρ V₂ VH A₂ 18 De 18 029 ρ V₂ VH² A₁ M m g 024 ρ V₂ VH² A₂ 19 ρ 024 A₂ 029 A₁ V₂ VH² M m g 20 V2 VH2 M mgρ024A2 029A1 3500 10009811230243827 0295027 151034 21 V2 VH 3886 V2 3586 ms 22 Da equação de conservação de energia e segundo as considerações 4 5 6 e 7 ẆS SC V222 ρρ ρV dA 23 De 23 ẆS ṁ V2 VH22 V1 VH22 p2ρ p1ρ 24 Da equação 24 considerando a equação 16 e a consideração 6 ẆS ṁ V2 VH22 V1 VH22 V1 VH22 25 Portanto a equação 25 se torna ẆS ṁ V2 VH22 ρV2 VHA2V2 VH22 ρA2V2 VH32 26 ẆS 1233827388632 27 WS 1814067 kJs kW 2433 HP 28 Para calcular a potência utilizando o produto força velocidade considerase que a força que o helicóptero deve fazer para carregar a carga à uma velocidade constante é igual ao peso total do conjunto helicópterocarga considerando que o arrasto é desprezível Portanto WS FV2 VH M mgV2 VH 29 WS 4500 981 3886 17154747 kJs kW 2301 HP 30 A diferença de valores das potências calculadas pela formulação integral para o princípio de conservação de energia e pelo produto força velocidade se justifica pelas diferenças nas respectivas forças consideradas para o cálculo da potência