Analise-Estrutural-II-Metodo-da-Rigidez-Direta-UFMG

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 Análise Estrutural II Aula 19 Método da Rigidez Direta DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Prof Juliano dos Santos Becho julianobechoufmgbr Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 73 Matriz de rigidez de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 73 Matriz de rigidez de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 73 Matriz de rigidez de uma barra no sistema global Observação Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 73 Matriz de rigidez de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 74 Montagem da matriz de rigidez global do modelo Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 74 Montagem da matriz de rigidez global do modelo Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 74 Montagem da matriz de rigidez global do modelo Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 74 Montagem da matriz de rigidez global do modelo 𝒌𝟏 𝟏𝒌𝟏𝟏 𝟏𝒌𝟏𝟐 𝟏𝒌𝟏𝟑 𝟏𝒌𝟐𝟏 𝟏𝒌𝟐𝟐 𝟏𝒌𝟐𝟑 𝟏𝒌𝟑𝟏 𝟏𝒌𝟑𝟐 𝟏𝒌𝟑𝟑 𝟏𝒌𝟏𝟒 𝟏𝒌𝟏𝟓 𝟏𝒌𝟏𝟔 𝟏𝒌𝟐𝟒 𝟏𝒌𝟐𝟓 𝟏𝒌𝟐𝟔 𝟏𝒌𝟑𝟒 𝟏𝒌𝟑𝟓 𝟏𝒌𝟑𝟔 𝟏𝒌𝟒𝟏 𝟏𝒌𝟒𝟐 𝟏𝒌𝟒𝟑 𝟏𝒌𝟓𝟏 𝟏𝒌𝟓𝟐 𝟏𝒌𝟓𝟑 𝟏𝒌𝟔𝟏 𝟏𝒌𝟔𝟐 𝟏𝒌𝟔𝟑 𝟏𝒌𝟒𝟒 𝟏𝒌𝟒𝟓 𝟏𝒌𝟒𝟔 𝟏𝒌𝟓𝟒 𝟏𝒌𝟓𝟓 𝟏𝒌𝟓𝟔 𝟏𝒌𝟔𝟒 𝟏𝒌𝟔𝟓 𝟏𝒌𝟔𝟔 𝒌𝟐 𝟐𝒌𝟏𝟏 𝟐𝒌𝟏𝟐 𝟐𝒌𝟏𝟑 𝟐𝒌𝟐𝟏 𝟐𝒌𝟐𝟐 𝟐𝒌𝟐𝟑 𝟐𝒌𝟑𝟏 𝟐𝒌𝟑𝟐 𝟐𝒌𝟑𝟑 𝟐𝒌𝟏𝟒 𝟐𝒌𝟏𝟓 𝟐𝒌𝟏𝟔 𝟐𝒌𝟐𝟒 𝟐𝒌𝟐𝟓 𝟐𝒌𝟐𝟔 𝟐𝒌𝟑𝟒 𝟐𝒌𝟑𝟓 𝟐𝒌𝟑𝟔 𝟐𝒌𝟒𝟏 𝟐𝒌𝟒𝟐 𝟐𝒌𝟒𝟑 𝟐𝒌𝟓𝟏 𝟐𝒌𝟓𝟐 𝟐𝒌𝟓𝟑 𝟐𝒌𝟔𝟏 𝟐𝒌𝟔𝟐 𝟐𝒌𝟔𝟑 𝟐𝒌𝟒𝟒 𝟐𝒌𝟒𝟓 𝟐𝒌𝟒𝟔 𝟐𝒌𝟓𝟒 𝟐𝒌𝟓𝟓 𝟐𝒌𝟓𝟔 𝟐𝒌𝟔𝟒 𝟐𝒌𝟔𝟓 𝟐𝒌𝟔𝟔 Observar que a numeração das linhas e das colunas correspondem aos graus de liberdade GL do modelo conforme numeração adotada definido como vetor de espalhamento Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 74 Montagem da matriz de rigidez global do modelo 𝑲 𝟏𝒌𝟏𝟏 𝟏𝒌𝟏𝟐 𝟏𝒌𝟏𝟑 𝟏𝒌𝟐𝟏 𝟏𝒌𝟐𝟐 𝟏𝒌𝟐𝟑 𝟏𝒌𝟑𝟏 𝟏𝒌𝟑𝟐 𝟏𝒌𝟑𝟑 𝟏𝒌𝟏𝟒 𝟏𝒌𝟏𝟓 𝟏𝒌𝟏𝟔 𝟏𝒌𝟐𝟒 𝟏𝒌𝟐𝟓 𝟏𝒌𝟐𝟔 𝟏𝒌𝟑𝟒 𝟏𝒌𝟑𝟓 𝟏𝒌𝟑𝟔 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝟏𝒌𝟒𝟏 𝟏𝒌𝟒𝟐 𝟏𝒌𝟒𝟑 𝟏𝒌𝟓𝟏 𝟏𝒌𝟓𝟐 𝟏𝒌𝟓𝟑 𝟏𝒌𝟔𝟏 𝟏𝒌𝟔𝟐 𝟏𝒌𝟔𝟑 𝟏𝒌𝟒𝟒 𝟐𝒌𝟏𝟏 𝟏𝒌𝟒𝟓 𝟐𝒌𝟏𝟐 𝟏𝒌𝟒𝟔 𝟐𝒌𝟏𝟑 𝟏𝒌𝟓𝟒 𝟐𝒌𝟐𝟏 𝟏𝒌𝟓𝟓 𝟐𝒌𝟐𝟐 𝟏𝒌𝟓𝟔 𝟐𝒌𝟐𝟑 𝟏𝒌𝟔𝟒 𝟐𝒌𝟑𝟏 𝟏𝒌𝟔𝟓 𝟐𝒌𝟑𝟐 𝟏𝒌𝟔𝟔 𝟐𝒌𝟑𝟑 𝟐𝒌𝟏𝟒 𝟐𝒌𝟏𝟓 𝟐𝒌𝟏𝟔 𝟐𝒌𝟐𝟒 𝟐𝒌𝟐𝟓 𝟐𝒌𝟐𝟔 𝟐𝒌𝟑𝟒 𝟐𝒌𝟑𝟓 𝟐𝒌𝟑𝟔 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝟐𝒌𝟒𝟏 𝟐𝒌𝟒𝟐 𝟐𝒌𝟒𝟑 𝟐𝒌𝟓𝟏 𝟐𝒌𝟓𝟐 𝟐𝒌𝟓𝟑 𝟐𝒌𝟔𝟏 𝟐𝒌𝟔𝟐 𝟐𝒌𝟔𝟑 𝟐𝒌𝟒𝟒 𝟐𝒌𝟒𝟓 𝟐𝒌𝟒𝟔 𝟐𝒌𝟓𝟒 𝟐𝒌𝟓𝟓 𝟐𝒌𝟓𝟔 𝟐𝒌𝟔𝟒 𝟐𝒌𝟔𝟓 𝟐𝒌𝟔𝟔 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta Os carregamentos internos em um elemento de barra devem ser transferidos aos nós dando origem às chamadas cargas nodais equivalentes Isso pode ser feito através das reações de engastamento perfeito reações de apoio de barras biengastadas com sinais opostos 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta Observação Gerando o chamado vetor de forças nodais equivalentes 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 𝑭𝟒 𝑭𝟓 𝑭𝟔 𝑭𝟕 𝑭𝟖 𝑭𝟗 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑨 𝑽𝑨 𝑴𝑨 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝑯𝑨 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝑽𝑨 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝑴𝑨 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝑯𝑪 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝑽𝑪 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝑴𝑪 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 𝑭𝟒 𝑭𝟓 𝑭𝟔 𝑭𝟕 𝑭𝟖 𝑭𝟗 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑨 𝑽𝑨 𝑴𝑨 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝑯𝑨 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝑽𝑨 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝑴𝑨 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝑯𝑪 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝑽𝑪 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝑴𝑪 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 𝑭𝟒 𝑭𝟓 𝑭𝟔 𝑭𝟕 𝑭𝟖 𝑭𝟗 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑨 𝑽𝑨 𝑴𝑨 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝑯𝑨 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝑽𝑨 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝑴𝑨 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝑯𝑪 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝑽𝑪 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝑴𝑪 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 𝑭𝟒 𝑭𝟓 𝑭𝟔 𝑭𝟕 𝑭𝟖 𝑭𝟗 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟏 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟐 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟏 𝒇𝟑 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟒 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟓 𝒆𝒒 𝟐 𝒇𝟔 𝒆𝒒 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑨 𝑽𝑨 𝑴𝑨 𝟎 𝟎 𝟎 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo 𝑲 𝑫 𝑭 𝐾11 𝐾12 𝐾13 𝐾21 𝐾22 𝐾23 𝐾31 𝐾32 𝐾33 𝐾14 𝐾15 𝐾16 𝐾24 𝐾25 𝐾26 𝐾34 𝐾35 𝐾36 𝐾17 𝐾18 𝐾19 𝐾27 𝐾28 𝐾29 𝐾37 𝐾38 𝐾39 𝐾41 𝐾42 𝐾43 𝐾51 𝐾52 𝐾53 𝐾61 𝐾62 𝐾63 𝐾44 𝐾45 𝐾46 𝐾54 𝐾55 𝐾56 𝐾64 𝐾65 𝐾66 𝐾47 𝐾48 𝐾49 𝐾57 𝐾58 𝐾59 𝐾67 𝐾68 𝐾69 𝐾71 𝐾72 𝐾73 𝐾81 𝐾82 𝐾83 𝐾91 𝐾92 𝐾93 𝐾74 𝐾75 𝐾76 𝐾84 𝐾85 𝐾86 𝐾94 𝐾95 𝐾96 𝐾77 𝐾78 𝐾79 𝐾87 𝐾88 𝐾89 𝐾97 𝐾98 𝐾99 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝐹5 𝐹6 𝐹7 𝐹8 𝐹9 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 75 Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo 𝐻𝐴 𝑞𝑙2 𝑉𝐴 𝑞𝑙212 𝑀𝐴 0 𝑞𝑙2 100 𝑞𝑙212 100 𝐻𝐶 𝑉𝐶 𝑀𝐶 Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟏𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 Fornecendo D4 D5 e D6 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑨 𝒒𝒍𝟐 𝑽𝑨 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑨 𝑯𝑪 𝑽𝑪 𝑴𝑪 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝒒𝒍𝟐𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 Permitindose obter HA VA MA HC VC e MC 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 76 Partição do sistema de equações Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 77 Cálculo dos deslocamentos Solução para os graus de liberdade livres deslocamentos desconhecidos Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 𝟎 𝒒𝒍𝟐 𝒒𝒍𝟏𝟐𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 78 Cálculo das reações de apoio Solução para os graus de liberdade fixos forças desconhecidas Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 79 Cálculo dos esforços internos Prof Juliano dos Santos Becho 7 Método da Rigidez Direta 78 Cálculo dos esforços internos Prof Juliano dos Santos Becho Itens abordados Livro Análise de Estruturas conceitos e métodos básicos Luiz Fernando Martha 1ª ed Elsevier Editora Ltda Rio de Janeiro 2010 Leitura essencial Capítulo 13 Item 131 Discretização no método da rigidez direta Capítulo 13 Item 132 Representação do carregamentos como cargas nodais Capítulo 13 Item 135 Sistema de coordenadas generalizadas Capítulo 13 Item 136 Matriz de rigidez local no sistema global Capítulo 13 Item 137 Montagem da matriz de rigidez global Capítulo 13 Item 138 Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais Capítulo 13 Item 139 Interpretação do sistema de equações finais como imposição de equilíbrio aos nós isolados Capítulo 13 Item 1310 Consideração das condições de apoio Capítulo 13 Item 1311 Determinação de reações de apoio Capítulo 13 Item 1312 Determinação de esforços internos nas barras Capítulo 13 Item 1313 Considerações finais 37 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado Prof Juliano dos Santos Becho julianobechoufmgbr