P3 - Análise Estrutural 2 - 2017-2

Escola de Engenharia da UFMG Departamento de Engenharia de Estruturas EES 024: Ana1ise Estrutural II - 3a. Prova - 2o. semestre 2017 - 01/1212017 la. Questio (10 pontos) Para o p6rtico piano da figura. empregando o Metodo da Rigidez Direta. pede-se determinar o sistema de equa~OCs estritamente necesPrio para o c:ilculo dos deslocamentos desconhecidos ([Ku]. {Di}= {Fi}). Obs.: Nioprecisaresolverosistemadeequai;fies. (i) 40m ,f EA = 2,4x 1<>6kN EI = 6,4x iO"'kNm2 4,0m q/2/12 q q/1/12 ( fllllllllllllllllll\) Rem;OCs de engastamento de barras prismii.ticas com fo~a transversal unifonnemente distribuida 2a. Questio (10 pontos) Para a treli'ra plana da figura, aplicando o Primeiro Teorema de Castigliano, pede- se deterrninar o deslocamento desconhecido e o esfor'ro normal na barra (2). especificando se C de trai;ao ou de compressao. As barras tCm se<;iio transversal constante A e o material C e13.stico niio-linear cuja lei tens1io- deformai;3.o e dada por: a = Bc3, em que Be uma constante do material. 3,0m 3,0m (i) 50kN 4,0m ,f 3a. Questio ( 10 pontos) Para a viga da figura, pede•se calcular a rota~io aprox.imada no ponlo B empregando o Metodo de Rayleigh•Rilz. Considere o momento de inercia do trecho AB igual a 2/ e do trecho BC igual a / e adote o material el.istico linear com modulo de elasticidade igual a E. Adotar a fun~iio de aprox.ima~iio indicada. Obs.: Desprezar a parcela da energia de defonna~io devida ao esfor~o cortante. v(x) = Ax3 + Bx2 + Cx+ D 35 kN/m ~O kNm F=A ==,==2£/=l =l =l I=~'--'. j_,_l_._;,--"--1-l J y 3 0 m 20m 1l 20m l1 oml 'l 'l Matriz de Rigidez de Barras Prism&ticas de POrtico Plano: c = cos6 s = sen6 (¥- 1~f 1)es ¥ s2 + 1~f/& - (¥ - 1~f 1)es - (-9!s 2 + ~ c-1-) -Ws We Ws -We -(¥& + l~fls' ) -(¥- '~fl) cs -9!c-1-+ '~f1s2 (¥-~ )cs We Ws Energia de Deforma~io: U - f udV - f 1" mk dV lv lv o Energia Potencial Total de uma Estrutura Linear trabalhando a Flexio: (Desprezando-se a parcela da energia de defonna~ao devida ao esfo~o conanie) We d,y m I <l>,z 41-:I I ¢;z 1, M(x)' J" de n = ~dx - q(x)v(x) dx - Pv(x:1) - M d (x4); O :q X emque: .M (x ) = - EI~(x) (1) y , ' 3 ("' L, :: " ., rn, ~6,Jo'1<J fJ= C,~, 1o 1 IUJ,.,' ! OJ/o t <. ) rrn"""'J\S'""' dt /YY)(J,.,j d, 10{yud...(Sd, U<., J • ~Q: ; c m-0 1 =) C , 0 j ~' 1 0,· ~::,' .Q E/:'.l. ,'. t,0,1/ 't § -, I/Er_ ',4,1o4 , _(/ - ,., 7 K' <1 -4-4 \( ' . I/ /, >( JZ-j J' ./1 \ ,., \._ I < ( j ' ,( '. "· [k]~ - ·--1-· · - . --·-· . < I ,I ,I_ 1-2,1,.tu' (,.,11,JO,. ' '· j ? _)_ : v . ! ,: /· .) .J._ i >1 .•, \ _. '; I \ ', \ ',( ' \( '>< . ) i \ I ·,( I V ,,, I l J U<,, J = 11/' f_i;J,_2_ :?&J [ ,, J V ' ] -- !,,. ) 'Yl1=:\~f'"' clo ,_,Li ct,J"'r""{::f ,ba,,,"'c1,.ucl fl-~1 £ r-, ·1, k [ r . .r~), [ 1 • ~L [ ftJ~, [ o 3 x . ,.· ~ . hv.J 4 8 i 2. . JI. .: ~ ,Jl. kiJm x ··, 12 )( . )( 1: [ r, L ~· .. l1fi '/ + _r - 'w 11 = f -H 7 1 L u J L o (, -Jz j 2 OJ • I 5o,J Tj), .. · ·1t (I) J,O"' . . -· zlll rj. J,.oiJ0· V, Ua- 11,n <il, i". ·. -4-.J' Lb. tr.:i (D, 4 log e, r,ll.11 1O4/0t J, ' () J0.1J,c:,o0, U, g21,qq it1 (ij,4 HJ'r5oo (;; ) r:Jplv_s,:,, d.:, (i),,;l\'Y)u,;,_) i,,.,~,c. n(, Cc~,,~\ r,n •vJ _d,_Jj_ _ 50 . . . 8 z ~q 9 11 R {i)/ 50 d,1), - 2. lC, ll J.'1.5 - (,;, ) C:.j,JJf' ~{'(>)). I'" t);.M, @ . f )QJ , r~ i a r-1. 1) 1'.1 (-J;i_:_,S1 )', ill:l._ (Jcl __ ,s,)'_ .. . e . .Q' -- - ~ -..tn (_]_ n )l· M [£.-10. K&3 r1 r:e~:i -l{,r 1 1 · 5' 5 J25 5 (}B1.-,J /k ,;,, J - L_ ....,J_ Y(.9.,,,,.;J,;;j 8 ~,9 ,_y( , I. r-Ji', 1h' , Ct, 1) Cl \lj,cc"_r;,,_, d"b J,_ w,,L1,""' 1\)-'( t,•ci ) , o 1) . 0 <;: . (j n. s'+ n./: 6 . ·. t •- si:, IOG / Oic, /\i'(t) . Jr'.-l t,'- 1() /'./L rJ"( t l • b r:J 1, - fo rJ c, .. , t,rfw.,,;, v,.,~,p~o 'Y, IJ err J - . . ,_) . .. !, . g ,, r(j, M1:1~ J." J M1:1 ,,l e, -f us ),.ri t )Glt, _ (J&o)dt!'..._( b&).·. 0 !1, (2L·l. ) l.2<EI) l nit ~nuk c, ,fJ d \, 11, ';' f .,•,uJJ,. ~r JL·,,ri'J, f s.,,.,J,_ • s _ 1 tu J ,,,, <, , g J J~ 5 l iQ'J /OJ· r( ~E r_J( 6 1'.l t-1or:dd,, • U f< (,(-) L- lo~/ )'c)t _ 2 0 .2 -f s ( r-h/-5/'.'.I t-' )Jt _ ,Ho ( ~8 i'-Jo~p,J/., • . W. 1&:0.2 £ r n' _ .£../,QMi_ . 3 (;;, ) rrn..,,.,.,""Cfj':J r), '11' i:91!'..o .··. cJ,'T( ,. 360 1/ LIJ )_ Mo&o ,0 . ·. s.'.JJ ; ct. n 2' Yl 0 16 5-'!o . ·. ,i,,'c1.1. :!> ,(U520 )v,,'_ Jo(1i s2.o \t .. -2'io.wl ~'101 U ~-:-!'1mn ') ,v"ci,J_ J65ZO_i'_ J1,.'.)2oc, u . · . .. qOJ f; I ;/'1QJFJ: rJ''Ct,5), 0t,JU;.zo , -'.i~ J(.S;!oo ,s qoJEl .!2)uiu· d'(•I , Q ~, 4-L5CX)O c' JS!2'1'/ l]cJ •~ ;{'K, Jl: l [I ________ .. (J':J,J s£.,c,;,,, c.v.::rnJ.,.,.,: ._/'(1,, 5), (;it , 3ns' Jor:1.5 .. -I .· i s r:.i . · r:1 , f- 5 /Ok / OJ r-Y"c,, _ __f,_O,r., _JL_c;,o 25 5 1/'(c Hr!.Z Ll G~ _ . .llbLJ. GB (; 2 J j S (;;; ) /)11,,,,,;JY"<:Jc(..'.J oC 'fY s21L O .. M . .J£ili£.I. Gi - 1JtJl, C 0 ~9J' . . · d,(31, I: 2 5 1 .S On "; ~(~~~~. <! 1-7f-___ • J ]