Metodo dos Deslocamentos - Analise Estrutural II - UFMG

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS DEES ANÁLISE ESTRUTURAL II MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Professores Alcebíades de Vasconcellos Filho Fernando Amorim de Paula Gabriel de Oliveira Ribeiro Versão 20091 Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação em Vigas Método dos Deslocamentos Viga 3 EXEMPLO 1 Para a viga abaixo calcular os deslocamentos nodais incógnitos rotações nos apoios B e C através do Método da Rigidez Método dos Deslocamentos Em seguida calcular as reações de apoio Dados E 25x107 kN m2 Seção Retangular 15 x 40 cm D D Caso 0 SH com carregamento 14 6 20 12 6 2 8 8 20 2 10 6 12 6 2 2 20 Caso 1 D11 D20 6 EI 7 6 EI 4 8 4EI K11 3 EI 1 6 2EI K21 Método dos Deslocamentos Viga 4 Caso 2 D10 D21 3 EI 1 6 2EI K12 3 EI 2 6 4EI K22 Fase Final 0 KD 0 6 14 β0 4 2 2 7 6 EI K 0 K 1β D rad 75 10 1 rad 5 10 5 3 5 11 EI 1 4 4 D Cálculo das Reações de Apoio Caso 0 10 2 20 A 10 R 16 2 6 02 2 20 A 30 R 20 8 20 8 A 20 R 6 2 6 02 A 40 R Método dos Deslocamentos Viga 5 Caso 1 EI EI ARD 32 3 8 6 2 11 EI EI EI EI ARD 96 7 6 1 32 3 6 6 32 3 2 31 EI EI ARD 4 1 8 2 21 EI EI ARD 6 1 6 6 2 41 Caso 2 0 22 12 RD RD A A EI EI ARD 6 1 6 6 2 32 EI EI ARD 6 1 6 42 Fazendo superposição de efeitos temse D A A A RD R0 R 6 16 20 10 AR0 16 6 1 16 96 7 0 4 1 0 32 3 EI ARD 5 3 11 1 EI D 58 kN 3 39 kN 17 75 kNm 22 03 kN 11 AR Reações de Apoio Método dos Deslocamentos Viga 6 EXEMPLO 2 Calcule as reações de apoio e esforços solicitantes nas extremidades das barras para a viga abaixo utilizando o Método da Rigidez Método dos Deslocamentos Dados E constante IBC 2 IAB D1 rotação no apoio B D2 deslocamento vertical no apoio C Ações nas extremidades das barras Caso 0 SH com carregamento 2 2 2 2 2 10 3 3 3 6 8 6 6 6 12 3 10 8 6 24 12 8 20 β 6804 2063 18 10667 β10 37625 20 5 625 12 20 3 2 6 6 2 3 10 2 24 β 3 3 20 Cálculo dos AR0 80 2 8 20 A 10 R 106 67 12 8 20 A 2 R20 Método dos Deslocamentos Viga 7 116 375 24 375 12 80 3 6 3 2 2 6 6 2 3 10 2 24 2 8 20 A 3 2 3 3 R30 27 375 9 375 18 3 3 6 4 6 12 3 10 8 6 24 A 2 3 R40 Cálculo dos AM0 80 A M 10 80 A M 30 106 67 A M 20 106 67 A M 40 36 375 24 375 12 3 6 3 2 6 2 6 2 3 10 2 24 A 3 2 3 3 M 50 38 625 3 3 3 6 8 6 6 6 12 3 10 8 6 24 A 2 2 2 2 M 60 17 625 3 6 2 6 2 3 10 2 24 A 3 3 M70 27 375 3 3 6 4 6 12 3 10 8 6 24 A 2 3 M 80 Caso 1 D11 D20 6 EI 11 EI 6 8 3 6 EI 8 8 4 6 2EI 4 8 4EI K11 3 EI 1 6 2EI 6 K 2 21 Método dos Deslocamentos Viga 8 Cálculo dos ARD EI EI EI ARD 32 3 64 6 8 6 2 11 EI EI ARD 4 1 8 2 21 EI EI EI EI ARD 96 23 3 1 32 3 6 2 6 8 6 2 2 31 EI EI ARD 3 2 6 2 2 41 Cálculo dos AMD EI EI AMD 32 3 8 6 2 11 EI EI AMD 4 1 8 2 21 EI EI AMD 32 3 8 6 2 31 EI EI AMD 2 1 8 4 41 EI EI AMD 3 1 6 2 6 2 51 EI EI AMD 3 4 6 2 4 61 EI EI AMD 3 1 6 2 6 2 71 EI EI AMD 3 2 6 2 2 81 Caso 2 D10 D21 3 EI 1 6 2EI 6 K K 2 21 12 9 EI 1 216 EI 24 6 2EI 12 K 3 22 Cálculo dos ARD 0 22 12 RD RD A A EI EI EI ARD 9 1 216 24 6 2 12 3 32 EI EI ARD 3 1 6 2 6 2 42 Método dos Deslocamentos Viga 9 Cálculo dos AMD 0 42 32 22 12 MD MD MD MD A A A A EI EI AMD 9 1 6 2 12 3 52 EI EI ARD 3 1 6 2 6 2 62 EI EI AMD 9 1 6 2 12 3 72 EI EI ARD 3 1 6 2 6 2 82 Fase Final 0 KD β0 625 37 68 04 β0 19 3 1 13 6 11 EI K 995 5 18 185 5 6 EI 1 K 1 0 K 1β D 031 500 802 53 EI 1 625 37 04 68 995 5 18 185 5 6 EI 1 D Cálculo das Reações de Apoio D A A A RD R0 R 27375 116375 10667 80 AR0 13 3 2 19 96 23 0 4 1 0 32 3 EI ARD 031 500 53802 1 EI D Método dos Deslocamentos Viga 10 74956 0 53802 32 3 80 1 AR kN 93220 0 53802 4 1 10667 2 AR kNm 159044 500031 9 1 53802 96 23 116375 3 AR kN 103 434 500 031 3 1 53802 3 2 27 375 4 AR kNm Cálculo das Ações nas Extremidades das Barras D A A A MD M0 M 375 27 625 17 625 38 375 36 67 106 80 67 106 80 AM0 13 3 2 19 3 1 13 3 4 19 3 1 0 2 1 0 32 3 0 4 1 0 32 3 EI AMD 031 500 53802 1 EI D AM1 74956 kN AM2 93219 kNm AM3 85044 kN AM4 133571 kNm AM5 74000 kN AM6 133567 kNm AM7 20000 kN AM8 103424 kNm Método dos Deslocamentos Viga 11 EXEMPLO 3 Calcule as reações de apoio para a viga abaixo utilizando o Método dos Deslocamentos e em seguida trace os diagramas finais de força cortante e momento fletor Dados E constante I constante D2 D1 D2 D1 Caso 0 SH com carregamento KNm 75 78 105 2625 12 6 35 8 4 2 50 β 2 10 3655 17 5145 105 12 4 2 35 12 6 35 β 2 2 20 Método dos Deslocamentos Viga 12 Cálculo dos AR0 25 2 50 A 10 R 26 25 8 50 4 2 A 20 R 173 105 25 43 2 6 35 2 50 43 A 30 R 178 5 73 5 105 2 4 2 35 2 35 6 A 40 R 73 5 2 4 2 35 A 50 R 51 45 12 35 4 2 A 2 R60 Caso 1 D11 D20 21 EI 34 6 EI 4 4 2 4EI K11 3 EI 1 6 2EI K21 Cálculo dos ARD 2 94 24 6 2 11 EI EI ARD 12 24 2 21 EI EI ARD EI EI EI ARD 98 17 6 6 24 6 2 2 31 6 6 6 2 41 EI EI ARD 0 61 51 RD RD A A Caso 2 D10 D21 Método dos Deslocamentos Viga 13 21 12 K K 21 EI 34 4 2 EI 4 6 4EI K22 Cálculo dos ARD 0 22 12 RD RD A A 6 6 6 2 32 EI EI ARD EI EI EI ARD 98 17 6 6 24 6 2 2 42 2 94 24 6 2 52 EI EI ARD 12 24 2 62 EI EI ARD Fase Final 0 KD β0 0 0 D D 34 21 3 1 13 21 34 EI 55 36 75 78 2 1 0 K 1β D 032 34 55646 1 EI D Cálculo das Reações de Apoio D A A A RD R0 R 032 34 646 55 EI 1 12 1 0 12 94 0 17 98 6 1 16 98 17 0 2 1 1 0 2 94 1 EI 45 51 5 73 178 5 173 25 26 25 AR 244 kNm 35 925 kN 61 678 kN 193 325 kN 188 248 kNm 0 073 kN 6 Método dos Deslocamentos Viga 14 Diagramas de Esforços Solicitantes 6073 43927 101398 108602 85075 61925 Força Cortante V 0248 13001 79246 67633 100861 83861 19536 35245 Momento Fletor M Método dos Deslocamentos Viga 15 EXEMPLO 4 Calcular os deslocamentos nodais incógnitos para a viga abaixo utilizando o Método da Rigidez Dados E constante I constante Deslocamento nodal incógnito rotação no nó B Caso 0 SH com carregamento 2 1 2 2 2 2 2 1 10 12 q 12 q 12 q β Caso 1 D11 1 2 2 1 2 1 11 4EI 4EI 4EI K 10 K11 Método dos Deslocamentos Viga 16 Fase Final 0 KD β0 0 D EI 4 12 q 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 4EI 12 q 4EI 12 q D EI 48 q D 2 1 1 2 1 Se for considerado o caso particular de viga simétrica 1 2 temse 0 12 q 12 q β 2 2 10 8EI 4EI 4EI K11 0 KD β0 0 D 0 8EI D 0 1 1 ou 0 EI 48 q D 2 1 Este resultado já era esperado pois devido à simetria do problema não há rotação no apoio B Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação em Treliças Método dos Deslocamentos Treliça 18 EXEMPLO 1 Calcular os deslocamentos do ponto B e os esforços solicitantes nas extremidades das barras da treliça abaixo usando o Método dos Deslocamentos Dados EA 840 000 kN Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó B direção y D direção x D 2 1 Grau de Indeterminação Cinemática 2 Sistema Hipergeométrico Método dos Deslocamentos Treliça 19 Sistemas de eixos locais Esforços nas extremidades das barras Notando que m m 1414 2 10 3 1 Método dos Deslocamentos Treliça 20 HA VA HB VB são referidos ao sistema de referência global x y AM1 AM2 AM3 AM4 são referidos ao sistema de referência local x y AM1 HAcosγ VAsenγ AM3 HBcosγ VBsenγ AM2 HAsenγ VAcosγ AM4 HBsenγ VBcosγ Caso 0 SH com carregamento Desconsiderando o peso próprio temse 200 β10 β20 300 Esforços solicitantes no sistema local da barra Barra 1 γ 45o Barra 2 γ 90o Barra 3 γ 135o AM10 0 AM50 0 AM90 0 AM20 0 AM60 0 AM100 0 AM30 0 AM70 0 AM110 0 AM40 0 AM80 0 AM120 0 Método dos Deslocamentos Treliça 21 Caso 1 D11 D20 Esforços nas extremidades das barras sistema global Barra 1 γ 45o 1 1414 m 29 703 45º 14 14 840 000 2 1 cos H 29 703 1 2 H H 29 703 45º 45º 14 14 000 840 1 sen cos V 29 703 1 2 V V Barra 2 γ 90o 2 1000 m 0 90º 00 10 840 000 2 2 3 cos H H 0 90º 90º 00 10 000 840 2 3 cos sen V V Método dos Deslocamentos Treliça 22 Barra 3 γ 135o 3 1414 m 29 703 135º 14 14 840 000 2 2 4 cos H H 29 703 135º 135º 14 14 000 840 2 4 sen cos V V Coeficientes de rigidez K11 29 703 0 29 703 59 406 K21 29 703 0 29 703 0 Esforços solicitantes no sistema local da barra na fase 1 Barra 1 γ 45o Barra 2 γ 90o Barra 3 γ 135o AMD11 42 006 AMD51 0 AMD91 42 006 AMD21 0 AMD61 0 AMD101 0 AMD31 42 006 AMD71 0 AMD111 42 006 AMD41 0 AMD81 0 AMD121 0 Caso 2 D10 D21 Método dos Deslocamentos Treliça 23 Esforços nas extremidades das barras no sistema global Barra 1 γ 45o 2 1414 m 29 703 45º 45º 14 14 000 840 1 sen cos H 29 703 1 2 H H 29 703 45º 14 14 840 000 2 2 1 sen V V Barra 2 γ 90o 2 1000 m 0 3 2 H H 84 000 10 000 840 3 2 V V Barra 3 γ 135o 3 1414 m 29 703 135º 135º 14 14 000 840 4 2 sen cos H H 29 703 4 2 V V Coeficientes de rigidez K12 0 K22 29 703 84 000 29 703 143 406 Método dos Deslocamentos Treliça 24 Esforços solicitantes no sistema local da barra na fase 2 Barra 1 γ 45o Barra 2 γ 90o Barra 3 γ 135o AMD12 42 006 AMD52 84 000 AMD92 42 006 AMD22 0 AMD62 0 AMD102 0 AMD32 42 006 AMD72 84 000 AMD112 42 006 AMD42 0 AMD82 0 AMD122 0 Fase Final Equação de equilíbrio 0 KD β0 onde 300 200 β0 143 406 0 0 59 406 K Portanto m 2 092 x 10 D 3 367 x 10 m D 3 2 3 1 Cálculo dos esforços solicitantes finais no sistema local de cada barra AM AM0 AMDD Barra 1 γ 45o Barra 2 γ 90o Barra 3 γ 135o AM1 5355 kN AM5 17572 kN AM9 22930 kN AM2 0 AM6 0 AM10 0 AM3 5355 kN AM7 17572 kN AM11 22930 kN AM4 0 AM8 0 AM12 0 Conclusão 1 Notar que as forças cortantes AM2 AM4 AM6 AM8 AM10 e AM12 são nulas tal como já se sabia no início da solução 2 As forças normais nas extremidades de cada barra são iguais em módulo Observando os sistemas de referências locais nas barras observase que a barra 1 é tracionada com força normal de 5355 kN a barra 2 é comprimida com força normal de 17572 kN e a barra 3 é comprimida com força normal igual a 22930 kN Método dos Deslocamentos Treliça 25 EXEMPLO 2 Calcular as reações nos apoios da treliça abaixo As barras têm a mesma rigidez axial EA e o mesmo peso próprio de 8 kN por unidade de comprimento Dados EA constante Deslocamentos nodais incógnitos Nó B direção y D direção x D 2 1 gic 2 Método dos Deslocamentos Treliça 26 Caso 0 SH com carregamento 3 m 4 3 2 1 2 m 3 6 5 As contribuições para as ações ARi0 e βi0 das cargas aplicadas às barras peso próprio ou diretamente nos nós são 0 A 10 R 40 97 2 p 2 p 2 p A 6 3 1 R20 0 A 30 R 40 97 2 p 2 p 2 p A 6 4 2 R40 0 A 50 R 280 97 240 2 p 2 p 2 p A 5 3 2 R60 480 β10 28097 240 2 p 2 p 2 p β 5 4 1 20 Método dos Deslocamentos Treliça 27 Caso 1 D1 1 D2 0 Sistema de coordenadas locais das barras EA EA ARD 0 3333 0 cos 2 1 11 0 41 31 21 RD RD RD A A A EA EA ARD 01179 135 cos 2 5 51 EA EA ARD 01179 sen 135 135 cos 5 61 Método dos Deslocamentos Treliça 28 04512 EA 135 EA 0 EA K 2 5 2 1 11 cos cos 01179 EA sen 135 135 EA K 5 21 cos Caso 2 D1 0 D2 1 0 32 22 12 RD RD RD A A A EA EA ARD 0 3333 90 sen 2 4 42 EA EA ARD 01179 sen 135 135 cos 5 52 EA EA ARD 01179 135 sen 2 5 62 0 1179 EA K K 21 12 0 4512 EA EA sen 135 EA sen 90 K 2 5 2 4 22 Método dos Deslocamentos Treliça 29 FASE FINAL 0 KD β0 97 280 480 β0 0 4512 1179 0 0 1179 0 4512 EA K 998 369 967148 1 EA D Cálculo das reações de apoio D A A A RD R0 R 97 280 0 97 40 0 97 40 0 AR0 0 1179 1179 0 0 1179 1179 0 0 3333 0 0 0 0 0 0 3333 0 EA ARD 998 369 148 967 EA 1 D AR1 32206 kN AR2 4097 kN AR3 0 kN AR4 16418 kN AR5 15765 kN AR6 43862 kN Método dos Deslocamentos Treliça 30 EXEMPLO 3 Determinar os esforços nas barras e as reações de apoio na treliça da figura usando o Método dos Deslocamentos Dados E constante A1 10 cm2 A2 15 cm2 A3 20 cm2 Grau de indeterminação cinemática GIC 2 Método dos Deslocamentos Treliça 31 Sistemas Locais das Barras 12m 2 315 1 52 m 13 53 2 m 82 0 3 Caso 0 SH com carregamento Desconsiderando o peso próprio temse 15 kN 60 30 β 2598 kN 60 30 β o 20 o 10 cos sen AR10 AR20 AR30 AR4 0 AR50 AR60 0 Método dos Deslocamentos Treliça 32 Caso 1 D11 D20 E 10 11657 EA 5313 EA 315 EA K 4 3 3 2 2 2 2 1 1 11 cos cos E 0 523 10 0 53 13 EA sen 53 13 315 EA sen 315 K 4 2 2 1 1 21 cos cos Cálculo dos ARD E EA ARD 4 2 1 1 11 2 357 10 315 cos E EA sen ARD 4 1 1 21 2 357 10 cos 315 315 E EA ARD 4 2 2 2 31 216 10 5313 cos E EA sen ARD 4 2 2 41 2 88 10 5313 cos 5313 E EA ARD 4 3 3 51 714 10 ARD61 0 Método dos Deslocamentos Treliça 33 Caso 2 D10 D21 21 12 K K E 10 6 197 0 EA sen 53 13 EA sen 315 K 4 2 2 2 2 1 1 22 Cálculo dos ARD E EA ARD 4 1 1 12 2 357 10 sen 315 cos 315 E EA ARD 4 2 1 1 22 2 357 10 315 sen E EA ARD 4 2 2 32 2 88 10 sen 5313 cos 5313 E EA ARD 4 2 2 2 42 3 84 10 5313 sen 0 62 52 RD RD A A Método dos Deslocamentos Treliça 34 Fase Final 0 KD β0 0 2 1 4 4 4 4 D D 10 6 197 523 10 0 0 523 10 10 E 11 657 15 25 98 413 26185 23462724 1 E D Cálculo das Reações de Apoio D A A A RD R0 R 0 16 75 298 3 47 2 70 11 70 11 185 413 26 462 724 23 E 1 0 0 0 10 14 7 10 3 84 10 88 2 10 2 88 10 16 2 10 2 357 10 357 2 10 2 357 10 357 2 E 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 AR Cálculo dos Esforços nas Barras Método dos Deslocamentos Treliça 35 Por equilíbrio temse Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação em Pórticos Método dos Deslocamentos Pórtico 37 EXEMPLO 1 Dado o pórtico abaixo determinar as reações de apoio considerando as deformações devidas à flexão e à força axial Dado E 205 GPa D1 D2 D3 Seção transversal da viga Seção transversal do pilar Barra AD Barra BC Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó B direção z D direção y D direção x D 3 2 1 gic 3 Método dos Deslocamentos Pórtico 38 Propriedades geométricas das seções transversais Viga 2 2 m cm A 9 36 10 3 93 6 29 5 80 125 28 2 4 4 m I cm I 4 3 2 3 826795 10 1 18 26795 12 29 5 80 15375 1 25 28 12 1 25 28 2 Pilar 2 2 m cm A 8 96 10 3 89 6 24 5 80 125 28 2 4 4 4 3 2 3 259312 10 m 1 12 59312 cm 12 24 5 80 12875 1 25 28 12 1 25 28 2 I I Método dos Deslocamentos Pórtico 39 Caso 0 SH com carregamento 40KNm β10 0 81016 40 4 6 4 42 42 4 60 4 6 42 60 60 β 3 20 1625 40 4 6 42 60 4 β 2 2 30 0 A A A A R60 R50 R40 R10 18 984 4 6 4 2 4 2 4 4 60 4 6 2 4 60 A 3 R20 33 75 4 6 2 4 60 4 A 2 2 R30 Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 Método dos Deslocamentos Pórtico 40 E 10 1 4949 E 10 3 239 E 10 1 4625 12EI EA K 3 5 3 3 BC BC AB AB 11 K21 0 E 5 8301 10 6EI K 5 2 BC BC 31 E EA A AB AB RD 3 11 1 4625 10 0 51 31 21 RD RD RD A A A E E EI A BC BC RD 5 3 4 3 41 3 239 10 63 1 259312 10 12 12 E 5 8301 10 EI 6 A 5 2 BC BC 61 RD Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 0 K K 21 12 E 10 2 676 6EI K 5 2 AB AB 32 E 2 4973 10 E 10 2 4889 E 10 8 3624 EA 12EI K 3 3 6 BC BC 3 AB AB 22 0 62 42 12 RD RD RD A A A E EI A AB AB RD 6 3 22 8 3624 10 12 E EI A AB AB RD 5 2 32 2 676 10 6 E EA A BC BC RD 3 52 2 4889 10 Método dos Deslocamentos Pórtico 41 Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 5 8301 10 E K K 5 31 13 10 E 2 676 K K 5 32 23 E 2 541 10 E 10 1 3992 E 10 1 1417 4EI 4EI K 4 4 4 BC BC AB AB 33 0 53 13 RD RD A A E EI A AB AB RD 5 2 23 2 676 10 6 E EI A AB AB RD 5 33 5 7087 10 2 E EI A BC BC RD 5 2 43 5 8301 10 6 E EI A BC BC RD 5 63 6 9962 10 2 Fase Final 0 KD β0 25 16 016 81 0 β0 E 2 541 10 10 2 676 8301 10 5 10 2 676 2 4973 10 0 5 8301 10 0 4949 10 1 4 5 5 5 3 5 3 K Método dos Deslocamentos Pórtico 42 Resolvendose o sistema 897 61150 17 31786 881 2384 1 E D ou seja rad m m 4 4 5 983 10 2 551 10 1 163 10 1 D Cálculo das reações de apoio D A A A RD R0 R 897 61150 786 17 31 384 881 2 E 1 6 9962 10 0 8301 10 5 0 2 4889 10 0 5 8301 10 0 239 10 3 10 5 7087 10 2 676 0 10 2 676 8 3624 10 0 0 0 4625 10 1 E 0 0 0 75 33 984 18 0 5 5 3 5 5 5 5 5 6 3 AR 139 kNm 4 113 kN 79 488 kN 3 092 kNm 38 886 kN 20 488 kN 3 AR Método dos Deslocamentos Pórtico 43 EXEMPLO 2 Calcular através do Método dos Deslocamentos as reações nos apoios e os esforços nas extremidades das barras do pórtico da figura As barras têm seção transversal constante Dados EA 500 000 kN EI 30 000 kNm2 D D D Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó B 3 2 1 direção z D direção y D direção x D gic 3 Método dos Deslocamentos Pórtico 44 Esforços nas extremidades das barras Caso 0 SH com carregamento 100KNm 0 0 0 β10 200 100 2 100 2 2 50 40 β20 110417 100 8 2 50 100 12 2 50 40 β 2 30 Esforços nas extremidades das barras Barra AB γ 0o 0 A M 10 50 2 2 50 40 A M 20 20 833 12 2 50 40 A 2 M 30 0 A M 40 Método dos Deslocamentos Pórtico 45 50 2 2 50 40 A M 50 20 833 12 2 50 40 A 2 M 60 Barra BC γ 322765o 765º 322 º 37235º 360 0 605 796 0 sen cos 30 25 0 605 50 50 sen 0 A 70 M cos 39 80 50 0 796 50 0 sen A M 80 cos 31 25 8 2 50 100 A M 90 30 25 0 605 50 50 sen 0 A M10 0 cos 39 80 50 0 796 50 0 sen A M11 0 cos 31 25 8 2 50 100 A M 12 0 Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 305 150 4 256 100 894 200 000 K sen 30 000 14 3 12 14 3 000 500 2 5 1 500 000 K 11 2 3 2 11 cos 71085 0 605 0 796 147 607 sen 14 3 30 000 12 14 3 500 000 K 3 21 cos Método dos Deslocamentos Pórtico 46 11045 0 605 14 3 30 000 6 K 2 31 Parcela dos esforços solicitantes devidos à translação horizontal no nó B Barra AB 200 000 5 2 000 500 11 AMD AMD21 0 AMD31 0 200 000 5 2 000 500 41 AMD AMD51 0 AMD61 0 Barra BC 126 706 0 605 71085 0 796 4 256 100 894 71 AMD 7 032 71085 0 796 0 605 105150 81 AMD 11045 0 605 14 3 30 000 6 2 91 AMD 126 706 0 605 71085 105150 0 796 101 A MD 7 032 71085 0 796 0 605 105150 111 A MD 11045 0 605 14 3 30 000 6 2 121 A MD Método dos Deslocamentos Pórtico 47 Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 71085 K K 21 12 88 692 0 796 14 3 30 000 12 0 605 14 3 000 500 5 2 30 000 12 K 2 3 2 3 22 14 268 14 532 28 800 14 3 30 000 6 5 2 30 000 6 K 2 2 32 cos Parcela dos esforços solicitantes devidos à translação vertical no nó B Barra AB AMD12 0 23 040 5 2 30 000 12 3 22 AMD 28 800 5 2 30 000 6 2 32 AMD AMD42 0 23 040 5 2 30 000 12 3 52 AMD 28 800 5 2 30 000 6 2 62 AMD Barra BC 96 303 0 796 14 3 12 30 000 0 605 14 3 500 000 085 71 2 3 2 72 sen cos AMD 9 253 0 796 65 652 0 605 71085 82 AMD 14 532 0 796 14 3 30 000 6 2 92 AMD 96 303 10 2 AMD Método dos Deslocamentos Pórtico 48 9 253 11 2 AMD 14 532 12 2 AMD Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 11045 K K 31 13 14 268 K K 32 23 86 217 38 217 48 000 14 3 30 000 4 50 2 30 000 4 K33 Parcela dos esforços solicitantes devidos à rotação no nó B Barra AB AMD13 0 28 800 50 2 30 000 6 2 23 AMD 24 000 50 2 30 000 2 A MD33 AMD43 0 28 800 50 2 30 000 6 2 53 AMD 48 000 50 2 30 000 4 A MD63 Barra BC 0 14 3 30 000 6 14 3 30 000 6 2 2 73 cos sen AMD 18 250 14 3 30 000 6 14 3 30 000 6 2 2 2 2 83 cos sen AMD Método dos Deslocamentos Pórtico 49 38 217 14 3 30 000 4 93 AMD 0 14 3 30 000 6 14 3 30 000 6 2 2 10 3 cos sen A MD 18 250 14 3 30 000 6 14 3 30 000 6 2 2 2 2 113 cos sen A MD 19108 14 3 30 000 2 12 3 A MD Fase Final 0 KD β0 417 110 200 0 β0 86 217 14 268 045 11 14 268 88 692 085 71 11045 71085 150 305 K Resolvendose o sistema 3 10 702 1 3 049 6485 0 rad m m D Cálculo das ações nas extremidades das barras D A A A MD M0 M 243 kNm 115 634 kN 103 709 kN 241 266 kNm 85 034 kN 24 209 kN 181 718 kNm 14 769 kN 28 7 kN 129 796 kNm 67 231 kN 71 7 kN 129 10 702 1 3 049 6485 0 19 108 14 532 045 11 18 250 9 253 032 7 0 96 303 706 126 38 217 14 532 045 11 18 250 9 253 032 7 0 96 303 706 126 48 000 28 800 0 28 800 23 040 0 0 0 000 200 24 000 28 800 0 28 800 23 040 0 0 0 000 200 25 31 80 39 25 30 25 31 80 39 25 30 20 833 50 0 833 20 50 0 3 AM Método dos Deslocamentos Pórtico 50 Diagramas de esforços solicitantes Força Normal N Força Cortante V Momento Fletor M Método dos Deslocamentos Pórtico 51 EXEMPLO 3 Traçar os diagramas de esforços solicitantes para o pórtico da figura abaixo Além do carregamento indicado considerar também o peso próprio da estrutura Dados Material concreto Módulo de elásticidade E 25 000 MPa Densidade γ 25 kNm3 A barra AC tem altura h 70 cm e a barra BD têm altura h 40 cm Todas as barras têm largura constante b 25 cm D D D Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó B 3 2 1 direção z D direção y D direção x D gic 3 D D D Método dos Deslocamentos Pórtico 52 Propriedades geométricas das seções transversais Barra AC Barra BD 0175 m2 0 70 0 25 A 10 m2 0 40 0 25 A 4 3 3 714583 10 m 12 0 70 0 25 I 4 3 3 133333 10 m 12 0 40 0 25 I Carregamento devido ao peso próprio Barra AC Barra BD 4 375 kNm 0 70 25 0 25 p kNm 52 0 40 25 0 25 p Esboço da estrutura sujeita ao carregamento total Sistema local 1077 4 10 8 62 23 8 2 2 2 2 BC AB 2 º 338 º 21801º 360 21801º 18 27 tan Método dos Deslocamentos Pórtico 53 Caso 0 SH com carregamento Cálculo dos ADL e ARL 3382º 0 0 0 β10 407655 50 2 4 0 52 2 77 10 375 36 2 862 36375 β20 117331 12 77 10 338 º2 375 36 12 862 338 º2 36375 β 2 2 30 cos cos 0 A A A A R70 R60 R40 R10 156 776 2 8 62 36 375 A 20 R 209 128 12 8 62 γ 36 375 A 2 R30 cos 5 0 2 4 0 2 5 A 50 R 195 879 2 10 77 36 375 A 80 R 326 459 12 γ 10 77 36 375 A 2 R90 cos Método dos Deslocamentos Pórtico 54 Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 E 10 3 179 K sen 90 0 4 10 1 33333 12E 90 0 4 0 1 E sen 77 10 10 7 14583 E 12 77 10 0 175 E sen 62 8 10 7 14583 E 12 62 8 0 175 E K 2 11 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 11 º º cos cos cos E 1 253 10 K sen 0 4 1 33333 10 E 12 0 4 0 1 E sen 77 10 E 7 14583 10 12 77 10 0 175 E sen 62 8 E 7 14583 10 12 62 8 0 175 E K 2 21 3 3 3 3 3 3 21 90º cos 90º cos cos E 4 23 10 K sen 90 0 4 1 33333 10 6E sen 77 10 7 14583 10 6E sen 62 8 7 14583 10 6E K 4 31 2 3 2 3 2 3 31 º E sen E E ARD 2 2 3 3 2 11 1752 10 62 8 714583 10 12 cos 62 8 0175 E sen E E ARD 3 3 3 21 6 954 10 cos 62 8 714583 10 12 62 8 0175 E sen E ARD 4 2 3 31 2143 10 62 8 714583 10 6 E sen 90º E A RD 4 2 3 3 41 2 5 10 04 133333 10 12 ARD51 0 Método dos Deslocamentos Pórtico 55 E sen E ARD 4 3 3 61 5 10 90º 04 133333 10 6 E sen E E ARD 2 2 3 3 2 71 1 402 10 77 10 714583 10 12 cos 77 10 0175 E sen E E ARD 3 3 3 81 5 579 10 cos 77 10 714583 10 12 77 10 0175 E sen E ARD 4 2 3 91 1373 10 77 10 714583 10 6 Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 1 253 10 E K K 2 21 12 E 10 3 022 90 0 4 1 33333 10 12E sen 90 0 4 0 1 E 77 10 7 14583 10 E 12 sen 77 10 0 175 E 62 8 7 14583 10 12E sen 62 8 0 175 E K 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 22 º cos º cos cos E 10 1 926 K 90 0 4 1 33333 10 E 6 77 10 7 14583 10 E 6 62 8 7 14583 10 6E K 4 32 2 3 2 3 2 3 32 º cos cos cos E sen E E ARD 3 3 3 12 6 954 10 cos 62 8 714583 10 12 62 8 0175 E cos E sen E ARD 3 2 3 3 2 22 2 915 10 62 8 714583 10 12 62 8 0175 Método dos Deslocamentos Pórtico 56 E cos E ARD 4 2 3 32 5 358 10 62 8 714583 10 6 0 62 42 RD RD A A E sen E ARD 2 2 52 10 52 90º 0 04 10 E sen E E ARD 3 3 3 72 5 579 10 cos 77 10 714583 10 12 77 10 0175 E cos E sen E ARD 3 2 3 3 2 82 2 300 10 77 10 714583 10 12 77 10 0175 E cos E ARD 4 2 3 92 3 432 10 77 10 714583 10 6 Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 E 4 23 10 K K 4 31 13 E 10 1 926 K K 4 32 23 E 7 303 10 0 4 1 33333 10 E 4 77 10 7 14583 10 E 4 62 8 7 14583 10 E 4 K 3 3 3 3 33 E sen E ARD 4 2 3 13 2143 10 62 8 714583 10 6 E cos E ARD 4 2 3 23 5 358 10 62 8 714583 10 6 E E ARD 3 3 33 1658 10 62 8 714583 10 2 Método dos Deslocamentos Pórtico 57 E sen 90º E ARD 4 2 3 43 10 05 04 133333 10 6 ARD53 0 E E ARD 4 3 63 6 667 10 04 133333 10 2 E sen E ARD 4 2 3 73 1373 10 77 10 714583 10 6 E cos E ARD 4 2 3 83 3 432 10 77 10 714583 10 6 E E ARD 3 3 93 1327 10 77 10 714583 10 2 Fase Final 0 KD β0 331 117 655 407 0 β0 E 10 7 303 10 1 926 10 23 4 10 1 926 10 3 022 10 253 1 10 4 23 10 1 253 10 179 3 3 4 4 4 2 2 4 2 2 K Resolvendose o sistema rad 10 454 6 m 10 457 6 m 10 459 2 7639 16135 6669 16141 5199 6147 E 1 4 4 4 D D Cálculo das reações de apoio D A A A RD R0 R E 1 7639 16135 6669 16141 5199 6147 10 1 327 10 3 432 10 373 1 10 3 432 10 2 3 10 579 5 10 1 373 10 5 579 10 402 1 10 6 667 0 10 5 0 10 2 5 0 10 5 0 10 5 2 10 1 658 10 5 358 10 143 2 10 5 358 10 2 915 10 954 6 10 2 143 10 6 954 10 752 1 E 459 326 879 195 0 0 5 0 0 128 209 776 156 0 3 4 4 4 3 3 4 3 2 4 4 2 4 4 3 4 4 4 3 3 4 3 2 AR Método dos Deslocamentos Pórtico 58 kNm kN kN kNm kN kN kNm kN kN AR 27 354 25 204 65 1 83 13 54 408 61 9 34 192 43 152 00 8 Esforços solicitantes nas extremidades das barras Por equilíbrio temse Barra AB γ 3382o kN tração sen cos NA 6404 15243 8 00 kN cos sen VA 13856 15243 8 00 M A 192 34 kNm 52 4 kN compressão 16112 8 00 c sen os NB kN cos sen VB 15257 16112 8 00 252 69 kNm M B Barra BC γ 3382o Método dos Deslocamentos Pórtico 59 kN tração sen cos NB 6810 18751 165 kN cos sen VB 17472 18751 165 277 21 kNm M B kN compressão sen cos NC 7738 20425 165 kN cos sen VC 18903 20425 165 354 27 kNm MC Barra BD γ 90º kN compressão NB 39854 kN VB 9 61 24 60 kNm M B kN compressão ND 40854 kN VD 9 61 13 83 kNm M D Diagramas de esforços solicitantes Força Normal N Método dos Deslocamentos Pórtico 60 Força Cortante V Momento Fletor M Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação em Grelhas Método dos Deslocamentos Grelha 62 EXEMPLO 1 Calcular os deslocamentos nodais incógnitos na grelha abaixo utilizando o Método dos Deslocamentos As barras da grelha possuem seção transversal retangular em concreto armado Dados E 2 500 kNcm2 Seção Transversal 20 x 40 cm Coeficiente de Poisson 02 Constante de torção Jefetivo 015 x Jpleno Deslocamentos nodais incógnitos Nó B em torno de z rotação em torno de x rotação vertical em y translação 3 2 1 D D D gic 3 Rigidez das barras À flexão 4 3 4 3 3 107 10 106 66667 12 40 20 12 m cm b h I 2 4 3 7 2 667 10 kNm 1 07 10 2 5 10 EI Método dos Deslocamentos Grelha 63 À torção 2 7 7 104 10 20 1 2 10 52 2 1 kN m E G 3 015 015 h b J J J Pleno 0 2289 1 12 0 21 3 1 4 4 h b h b 4 110 10 4 m J 2 3 4 7 10 kNm 1 14 10 1 10 10 1 04 GJ Caso 0 SH com carregamento 27 5 20 2 P β10 β20 0 9375 8 5 15 β30 Método dos Deslocamentos Grelha 64 Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 2 560 32 5 10 2 667 12 L 12EI K 3 4 3 11 5 120 64 2 560 2 560 K11 2 560 32 5 10 2 667 12 L 12EI K 3 4 3 11 K21 0 6 400 8 6 400 0 K21 6 400 8 5 10 2 667 6 L 6EI K 2 4 2 21 6 400 8 5 10 2 667 6 L 6EI K 2 4 2 31 6 400 8 0 6 400 K31 K31 0 Método dos Deslocamentos Grelha 65 Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 K12 0 6 400 8 6 400 8 0 K12 6 400 8 5 10 2 667 6 L 6EI K 2 4 2 12 228 5 10 14 1 L GJ K 3 22 21564 21336 228 K22 21 336 5 10 2 667 4 L 4EI K 4 22 K32 0 0 0 0 K32 K32 0 Método dos Deslocamentos Grelha 66 Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 6 400 8 5 10 2 667 6 L 6EI K 2 4 2 13 6 400 8 0 6 400 8 K13 K13 0 K23 0 0 0 0 K23 K23 0 21336 5 10 2 667 4 L 4EI K 4 33 21564 228 21336 K33 228 5 10 14 1 L GJ K 3 33 Método dos Deslocamentos Grelha 67 Fase final 0 KD β0 9 375 0 50 27 β0 21 564 0 400 8 6 0 21 564 400 8 6 6 400 8 6 400 8 120 6 5 K Resolvendo o sistema de equações obtémse rad D rad D m D 3 3 3 2 2 1 120 10 5 555 10 5 871 10 1 Método dos Deslocamentos Grelha 68 EXEMPLO 2 Calcular as reações de apoio da grelha da figura utilizando o Método dos Deslocamentos Dados EI 4 GJ Deslocamentos nodais incógnitos Nó B rotação em torno de y D rotação em torno de x D 2 1 Nó C D3 translação vertical gic 3 Estrutura equivalente Método dos Deslocamentos Grelha 69 Caso 0 SH com carregamento 045 10 8 12 3 15 β 2 10 375 4 3 1 20 β 2 2 20 22 5 2 3 15 β30 0 A 10 R 11 25 4 1 3 20 A 2 2 R20 16 875 4 3 3 1 3 20 A 3 2 R30 43 625 18 2 3 15 4 1 3 3 1 20 A 3 2 R40 11 25 12 3 15 A 2 R50 0 A 60 R Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 12 GJ 67 3 GJ 16 4 GJ 3 EI 4 4 GJ K11 K21 0 3 GJ 8 9 GJ 24 3 6EI K 2 31 4 11 GJ ARD 0 61 31 21 RD RD RD A A A Método dos Deslocamentos Grelha 70 3 8 9 24 3 6 2 41 GJ GJ EI ARD 3 8 3 2 51 GJ EI ARD Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 0 K K 21 12 3 GJ 13 3 GJ 4GJ 3 GJ 4 4EI K22 K32 0 0 52 12 RD RD A A GJ EI ARD 2 4 2 22 2 3 4 6 2 32 GJ EI ARD 2 3 4 6 2 42 GJ EI ARD 3 62 GJ ARD Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 Método dos Deslocamentos Grelha 71 3 8GJ K K 31 13 0 K K 32 23 9 GJ 16 3 12EI K 3 33 0 33 23 13 RD RD RD A A A 9 16 3 12 3 43 GJ EI ARD 3 8 3 6 2 53 GJ EI ARD ARD63 0 Fase final 0 KD β0 5 22 75 3 45 0 β0 16 9 0 3 8 0 133 0 83 0 12 67 GJ K Resolvendo o sistema de equações obtémse 056 45 0 865 600 21 1 GJ D Cálculo das reações de apoio D A A A RD R0 R 056 45 865 0 600 21 GJ 1 0 13 0 83 0 3 8 16 9 32 3 8 0 32 0 0 2 0 0 0 4 1 GJ 0 25 11 625 43 875 16 11 25 0 AR 288 kNm 0 3 kNm 51 827 kN 64 173 kN 18 981 kNm 12 kNm 45 AR Método dos Deslocamentos Grelha 72 EXEMPLO 3 Calcular as reações de apoio e os esforços nas extremidades das barras da grelha da figura abaixo utilizando o Método dos Deslocamentos As barras têm mesmas rigidezes à flexão EI e à torção GJ Dados EI 840 000 kNm2 GJ 500 000 kNm2 Deslocamentos nodais incógnitos Nó B deslocamento vertical D rotação em torno de y D rotação em torno de x D 3 2 1 gic 3 Esforços nas extremidades das barras Barra BC m m BC AB 6 403 4 5 5 2 2 34º 321 º 3866º 360 Método dos Deslocamentos Grelha 73 Caso 0 SH com carregamento β10 0 154167 50 12 5 50 β 2 20 225 100 2 5 50 β30 0 A 10 R 104 167 12 5 50 A 2 R20 125 2 5 50 A 30 R 0 A A A R60 R50 R40 0 A M 10 104 167 A M 20 125 A M 30 0 A M 40 104 167 A M 50 125 A M 60 0 A A A M 90 M 80 M70 0 A A A M 12 0 M 11 0 M 10 0 Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 Método dos Deslocamentos Grelha 74 352 392 036 321 34 403 6 840 000 4 321 34 403 6 000 500 5 500 000 K11 º sen º cos 2 2 217 881 443 os 321 34 321 34 403 6 840 000 4 403 6 500 000 0 K21 º º c sen 781 76 791 321 34 403 6 840 000 6 0 K 2 31 º sen 100 000 5 000 500 11 ARD 0 31 21 RD RD A A 54 775 090 32134 º 403 6 2 840 000 32134 º 403 6 000 500 41 sen cos A 2 2 RD 166 077464 32134 º 32134 º 403 6 840 000 2 403 6 000 500 51 cos sen ARD 76 791781 32134 º 403 6 840 000 6 2 61 sen ARD 100000 11 AMD AMD21 0 AMD31 0 100000 41 AMD AMD51 0 AMD61 0 60975610 32134 º 217881443 252392036 cos32134 º 71 sen AMD 327804878 217881443 cos32134 º 32134 º 252392036 81 sen AMD 76791781 91 AMD 60975610 32134 º 166077464 54775090 cos32134 º 101 sen AMD 163902439 166077464 cos32134 º 32134 º 54775090 111 sen AMD 76791781 121 AMD Método dos Deslocamentos Grelha 75 Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 217 881 443 K K 21 12 1022 438 685 321 34 os 403 6 840 000 4 321 34 en 403 6 000 500 5 840 000 4 K22 º c º s 2 2 105610 273 os 321 34 403 6 840 000 6 5 840 000 6 K 2 2 32 º c ARD12 0 336 000 5 840 000 2 22 ARD 201600 5 840 000 6 2 32 ARD 166077 464 321 14 sen 321 14 6 403 x840000 2 6 403 500000 A RD42 º º cos 129509949 32134 º 403 6 2 840 000 32134 º 403 6 000 500 52 cos sen A 2 2 RD 95989727 32134 º 403 6 840 000 6 2 62 cos ARD AMD12 0 336000 22 AMD 201600 32 AMD AMD42 0 672 000 52 AMD 201600 62 AMD 48 780487 32134 º 350438385 217 881443 cos32134 º 72 sen AMD 409756098 350 438385 cos32134 º 32134 º 217881443 82 sen AMD 95989727 92 AMD 48780487 32134 º 129509949 166077464 cos32134 º 102 sen AMD 204878049 129509949 cos32134 º 32134 º 166077464 112 sen AMD 95989727 122 AMD Método dos Deslocamentos Grelha 76 Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 76791781 K K 31 13 105610 273 K K 32 23 119 035 891 403 6 840 000 12 5 840 000 12 K 3 3 33 ARD13 0 201600 5 840 000 6 2 23 ARD 80 640 5 840 000 12 3 33 ARD 76 791781 32134 º 403 6 840 000 6 2 43 sen ARD 95989727 32134 º 403 6 840 000 6 2 53 cos ARD 38395891 403 6 840 000 12 2 63 ARD AMD13 0 201600 23 AMD 80640 33 AMD AMD43 0 201600 53 AMD 80640 63 AMD 0 32134 º 95989727 76791781 cos32134 º 73 sen AMD 122926829 95989727 cos32134 º 32134 º 76791781 83 sen AMD 38395891 93 AMD 0 32134 º 95989727 76791781 cos32134 º 103 sen AMD 122926829 95989727 cos32134 º 32134 º 76791781 113 sen AMD 38395891 122 AMD Método dos Deslocamentos Grelha 77 Fase final 0 KD β0 225 167 154 0 β0 119 035891 105 610273 781 791 76 105 610273 1 022 438685 881443 217 781 76 791 217 881443 392036 352 K Resolvendo o sistema de equações obtémse m 6141 10 2 rad 2771 10 0 rad 10 7410 0 3 3 3 D Cálculo das reações de apoio D A A A RD R0 R 3 3 3 6141 10 2 2771 10 0 10 7410 0 38 395891 727 95 989 781 791 76 727 95 989 129509949 077464 166 781 76 791 166 077464 775090 54 80 640 201 600 0 201 600 336 000 0 0 0 100 000 0 0 0 125 167 104 0 AR 070 kN 70 755 kNm 163 181 kNm 206 930 kN 279 051 kNm 538 101 kNm 74 AR Método dos Deslocamentos Grelha 78 Cálculo das ações nas extremidades das barras D A A A MD M0 M 070 kN 70 671 kNm 256 703 kNm 58 070 kN 70 998 kNm 191 703 kNm 58 930 kN 29 597 kNm 236 101 kNm 74 930 kN 279 051 kNm 538 101 kNm 74 10 2 6141 2771 0 7410 0 38 995 891 95 989 727 791781 76 122 926 829 204 878 049 902 439 163 0 48 780 487 975 610 60 38 995 891 95 989 727 791781 76 122 926 829 409 756 098 804 878 327 0 48 780 487 975 610 60 80 640 201600 0 201600 672 000 0 0 0 000 100 80 640 201600 0 201600 336 000 0 0 0 000 100 0 0 0 0 0 0 125 167 104 0 125 167 104 0 3 A A M M Método dos Deslocamentos Grelha 79 Diagramas de esforços solicitantes Barra AB Barra BC Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação em Estruturas sobre Apoios Elásticos Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 81 Apoios Elásticos Apoios Rígidos Apoios Elásticos Tipos de Apoios Elásticos Apoio Rígido Apoio Elástico Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 82 Apoios linearmente elásticos Onde é a rigidez da mola igual ao esforço correspondente a um deslocamento unitário Análise de Estruturas com Apoios Elásticos Considerar os deslocamentos nas direções dos apoios elásticos Observar que a mola contribui apenas para o cálculo dos coeficientes da diagonal principal da matriz de rigidez correspondentes aos deslocamentos da mola Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 83 EXEMPLO 1 Calcular as reações de apoio da viga da figura substituindo a estaca BD por um apoio elástico de rigidez equivalente Desprezar o atrito lateral em BD Dados Barras I 100 000 cm4 Barra A 11 91 cm2 AC e BC E 20 000 MPa BD E 210 000 MPa Grau de indeterminação cinemática 2 Estrutura Equivalente Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 84 Caso 0 SH com carregamento 60 kN 2 6 20 2 wL A AB R10 60 kN 2 6 20 2 wL β AB 10 60 kNm 12 6 20 12 wL A 2 2 AB R20 60 kNm 12 6 20 12 wL β 2 2 AB 20 0 A A A R50 R40 R30 Caso 1 D1 1 D2 0 kN L EI A AB AB RD 1 11111 12 3 11 5 1191 10 210 000 10 4 3 L EA K BD MOLA kNm L EI A AB AB RD 3 33333 6 2 21 kN m KMOLA 50103 kN L EI A BC BC RD 3 750 12 3 31 1 D D K A MOLA RD51 kNm L EI A BC BC RD 7 500 6 2 41 kN m ARD 3 51 5010 54 861 11 K L EI 12 L 12EI K MOLA 3 BC BC 3 AB AB 11 4 166 67 L 6 EI L 6 EI K 2 BC BC 2 AB AB 21 Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 85 Caso 2 D1 0 D2 1 kN L EI A AB AB RD 3 33333 6 2 12 kNm L EI A BC BC RD 10 000 2 42 kNm L EI A AB AB RD 6 666 67 2 22 ARD52 0 kN L EI A BC BC RD 7 500 6 2 32 4 166 67 7 500 3 333 33 K12 33 333 33 20 000 13 333 33 L 4 EI L 4 EI K BC BC AB AB 22 Fase final 0 KD β0 0 0 D D 33 333 33 166 67 4 4 166 67 861 11 54 60 60 2 1 rad m 3 3 9553 10 1 1 2422 10 D D A A A RD R0 R 3 3 9553 10 1 10 2422 1 0 000 50 10 000 500 7 7 500 750 3 6 666 67 333 33 3 3 333 33 111 11 1 0 0 0 60 60 AR 11kN 62 24kNm 10 01kN 10 18kNm 77 9 kN 67 AR Diagrama de Momento Fletor Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 86 EXEMPLO 2 Calcular através do Método da Rigidez Método dos Deslocamentos os deslocamentos nodais incógnitos a reação da mola e traçar os diagramas de esforços solicitantes na barra BC do pórtico da figura abaixo Dados E 3 x 107 kNm2 Seção transversal das barras retangulares b 020 m e h 040 m Rigidez da mola k 15 x 105 kNm Grau de indeterminação cinemática 2 Nó B rotação D deslocamento vertical D 2 1 Propriedades geométricas das seções transversais m2 A 0 08 0 40 0 20 m4 I 3 3 1067 10 12 0 40 0 20 kN EA 2 400000 32000 kNm2 EI Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 87 Esforços solicitantes na barra BC m BC 5 4 3 2 2 60 80 5313º 3 4 tan cos sen Caso 0 SH com carregamento 0 A 10 R 84 48 2 18 4 β10 0 A A A M 30 M 20 M10 24 12 18 4 β 2 20 0 A A A M60 M 50 M 40 Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 88 Caso 1 D1 1 D2 0 464 305 92 10 1 5 1105 92 307 200 6 000 K K 5 0 6 EI 12 5 0 8 EA 4 12EI K 5 11 3 2 2 3 11 7 392 K 4 608 12000 5 0 6 EI 6 4 6EI K 21 2 2 21 5 1 RD11 1 5 10 KD A 384 000 80 307 200 110592 60 60 80 5 12 5 3 11 EI EA AMD 1 843 2 0 6 308 30992 0 8 228 92544 A MD21 AMD31 4 608 384 000 80 60 5 12 80 5 60 60 80 5 12 5 2 3 2 3 41 EI EA EI EA AMD 1 843 2 0 6 308 305 92 0 8 228 925 44 A MD51 AMD61 4 608 Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 89 Caso 2 D1 0 D2 1 7 392 K K 21 12 57 600 25600 32000 5 EI 4 4 4EI K22 ARD12 0 0 80 60 5 6 60 80 5 6 2 2 12 EI EI AMD 7 680 60 4608 80 6114 22 AMD AMD32 25 600 0 80 60 5 6 60 80 5 6 2 2 42 EI EI AMD 7 680 60 4608 80 6114 52 AMD 12 800 5 2 62 EI AMD Fase final Cálculo dos deslocamentos nodais incógnitos 0 KD β0 0 0 D D 57 600 392 7 7 392 305 92 464 24 84 2 1 rad m 4 4 943 10 3 1746 10 D Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 90 Cálculo da reação da mola 26196 kN A 3 943 10 0 10 1746 10 51 0 A D A D A A A 1 R 4 4 5 1 R 2 RD12 1 RD11 R10 1 R Cálculo dos esforços solicitantes na barra BC D A A A MD M0 M 4 4 943 10 3 10 746 1 12800 4608 7680 2 1843 0 384000 25600 4608 7680 2 1843 0 384000 0 0 0 0 0 0 AM 242 kNm 4 706 kN 2 061 kN 67 288 kNm 9 706 kN 2 061 kN 67 AM Diagrama de esforços solicitantes na barra BC Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação em Estruturas Sujeitas à Variação de Temperatura Recalque de Apoio e Deformações Prévias Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 92 EXEMPLO 1 A viga da figura abaixo está submetida a variação de temperatura na barra BC sofrendo acréscimo de 20ºC na face inferior e decréscimo de 20ºC na face superior recalque vertical de 10 cm no apoio B erro de fabricação da barra BC consistindo de um desvio de 05º em relação ao seu eixo a partir do ponto médio carga distribuída de 20 kNm na barra AB Dados E 2 x 108 kN m2 105 ºC Deformação prévia da barra BC 05º y 000873 rad E 2 x 108 kN m2 h 30cm altura da seção transversal I 10 000 cm4 104 m4 EI 2 x 104 kNm2 Caso 0 SH com carregamento 60 12 6 20 β 2 10 60 2 6 20 A 10 R 60 12 6 20 A 2 R20 60 2 6 20 A 30 R 0 A A R50 R40 Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 93 Fase T 26 667 30 0 20 20 000 20 10 A 5 DT1 26 667 5 ART 0 A A A A RT 4 RT 3 RT 2 RT 1 Fase R 41 667 4 0 01 20 000 6 6 0 01 20 000 6 A 2 2 DR1 11111 6 0 01 20 000 12 3 1 ARR 33333 6 0 01 20 000 6 2 2 ARR 48611 4 0 01 20 000 12 111 11 3 3 ARR 3750 4 0 01 20 000 12 3 4 ARR 7500 4 0 01 20 000 6 2 5 ARR Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 94 Fase P A barra BC foi fabricada com um desvio de 05º em relação ao seu eixo a partir do seu ponto médio No processo de montagem a barra é forçada de modo a haver coincidência de sua extremidade na ligação no apoio C Assim a barra é deformada no processo de montagem e são introduzidos esforços internos na estrutura 43 65 2 3 4 2 4 θ EI 2 A 2 DP1 0 A A RP2 RP1 0 2 2 4 4 0 00873 20 000 6 A 2 RP3 0 A 4 RP 43 65 2 3 4 4 0 00873 20 000 2 A 2 RP5 Caso 1 D11 33 333 333 4 20 000 4 6 20 000 4 K11 3 333 333 6 20 000 6 A 2 RD11 6 666 667 6 20 000 2 A RD21 4 166 667 4 20 000 6 3 333 3331 A 2 RD31 7 500 000 4 20 000 6 A 2 RD41 10 000 000 4 20 000 2 A RD51 Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 95 Fase Final Somandose as contribuições da fase L fase T fase R e fase P temos DP1 DR1 DT1 10 DS1 A A A β A 43 65 41 667 26 667 60 00 A DS1 31 35 A DS1 RP RR RT R0 RS A A A A A 0 0 00 60 00 60 00 60 AR0 667 26 0 0 0 0 ART 000 75 500 37 611 48 333 33 111 11 ARR 43 65 0 0 0 0 ARP 317 145 500 37 389 11 333 93 111 71 ARS 11 DS1 A 1 S A D 333 33 33 31 35 D1 0 0009405 rad D1 Cálculo das Reações de Apoio D A A A RD RS R 317 145 500 37 389 11 333 93 111 71 ARS 000 000 10 500 000 7 166 667 4 666 666 6 333 333 3 ARD 91 kNm 135 45 kN 30 31 kN 15 60 kNm 99 25 kN 74 AR Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 96 Diagramas dos esforços solicitantes Força Cortante V Momento Fletor M Método Dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 97 EXEMPLO 2 Calcular por meio do método dos deslocamentos os esforços axiais nas barras da treliça abaixo Além dos carregamentos indicado a estrutura sofre um recalque vertical para baixo de 8 mm no apoio D Desconsiderar o peso próprio da estrutura Dados E 205 GPa Seção transversal das barras cantoneira de abas iguais L 25 x 32 A 219 cm2 4 m 4 3 2 1 Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó E direção y D direção x D 2 1 Grau de Indeterminação Cinemática 2 Método Dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 98 Fase R 0 A 1 DR 10 0 002EA 10 10 8 4 EA A 3 DR2 0 A A A MR3 MR2 MR1 0 002EA 10 8 4 EA A 3 MR4 Método Dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 99 Caso 1 D11 D20 0 5EA 60 4 EA 30 4 EA 4 EA K 2 2 11 º cos º cos 0 2165EA K21 0 25EA A MD11 0 2165EA 30 4 EA A MD21 º cos 0 125EA 60 4 EA A MD31 º cos 0 A MD41 Caso 2 D10 D21 0 2165EA K K 21 12 0 5EA 4 EA sen 60 4 EA sen 30 4 EA K 2 2 22 º º Método Dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 100 0 A MD12 0 125EA sen 30 4 EA A MD22 º 0 2165EA sen 60 4 EA A MD32 º 0 25EA 4 EA A MD42 Fase Final 0 KD ADR 10 002EA 0 0 ADR 0 5 2165 0 0 2165 0 5 EA K Assim DR K 1A D m 471 10 5 10 m 369 2 637 245 364 106 EA 1 3 3 D Cálculo dos esforços axiais nas barras Por superposição de efeitos temos D A A A MD MR M 79 89 0 0 0 AMR 0 25 0 0 2165 125 0 0 125 2165 0 0 25 0 EA AMD Portanto AM1 26591 kN tração AM2 7676 kN compressão AM3 39886 kN compressão AM4 28381 kN tração Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 101 EXEMPLO 3 Traçar os diagramas de esforços solicitantes nas barras do pórtico Além do carregamento indicado considerar a variação na temperatura na barra BC face superior 30ºC e face inferior 10ºC b recalque vertical para baixo no nó C de 6 mm Dados E 30 000 Mpa A 010 m2 I 00021 m4 h 50 cm 105 º C Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó B rotação D deslocamtento vertical D deslocamento horizontal D 3 1 2 Grau de Indeterminação Cinemática 3 Numeração dos esforços nas extremidades das barras Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 102 Caso 0 SH com carregamento 2 08 2 0 5 52 0 5 2 20 52 0 5 20 β 3 10 45 2 6 15 β20 46 6 45 61 12 6 15 52 0 5 2 20 β 2 2 2 30 0 A M 10 2 08 2 0 5 5 2 0 5 2 20 5 2 0 5 20 A 3 M 20 1 6 5 2 0 5 2 20 A 2 2 M 30 0 A M 40 17 92 2 08 20 A M 50 6 4 5 2 0 5 2 20 A 2 2 M 60 0 A M70 45 2 6 15 A M 80 45 12 6 15 A 2 M 90 0 A M 10 0 45 2 6 15 A M 11 0 45 12 6 15 A 2 M 12 0 Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 103 Fase T 300 10 10 10 10 30 5 6 1 T EA ADT ADT 2 0 50 4 50 20 20 0 0021 30 10 10 6 5 2 1 3 h T T EI ADT 0 3 2 1 MT MT MT A A A 0 6 5 4 MT MT MT A A A 300 7 T EA AMT AMT8 0 50 4 2 1 9 h T T EI AMT 300 10 T EA AMT AMT11 0 50 4 2 1 12 h T T EI AMT Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 104 Fase R ADR1 0 21 6 6 10 12 3 3 2 EI ADR 63 6 6 10 6 2 3 3 EI ADR 0 3 2 1 MR MR MR A A A 0 6 5 4 MR MR MR A A A AMR7 0 21 6 6 10 12 3 3 8 EI AMR 63 6 6 10 6 2 3 9 EI AMR AMR10 0 21 6 6 10 12 3 3 11 EI AMR 63 6 6 10 6 2 3 12 EI AMR Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 105 Caso 1 D11 D20 D30 548 384 6 EA 5 2 12EI K 3 11 K21 0 60 480 5 2 6EI K 2 31 AMD11 0 48384 21 AMD 60 480 31 AMD AMD41 0 48384 51 AMD 60 480 61 AMD 500000 71 AMD AMD81 0 AMD91 0 500000 101 A MD 0 1 AMD11 0 1 AMD12 Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 106 Caso 2 D10 D21 D30 0 K K 21 12 1203 500 6 EI 12 2 5 EA K 3 22 10 500 6 6EI K 2 32 1200000 12 AMD 0 32 22 MD MD A A 1200000 42 AMD 0 72 62 52 MD MD MD A A A 3500 82 AMD 10500 92 AMD 0 102 AMD 3500 112 AMD 10500 122 AMD Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 107 Caso 3 D10 D20 D31 60 480 K K 31 13 10500 K K 32 23 142 800 6 EI 4 2 5 4EI K33 0 43 13 MD MD A A 60 480 23 AMD 100800 33 AMD 60 480 53 AMD 50 400 63 AMD 0 10 3 73 MD MD A A 10500 83 AMD 42000 93 AMD 10500 11 3 AMD 21000 12 3 A MD Fase Final 0 KD A A β DR DT 0 0 0 0 D D D 142 800 10 500 480 60 10 500 1203 500 0 60 480 0 384 548 63 21 0 50 4 0 300 46 6 45 08 2 3 2 1 resolvendo o sistema acima temse rad D m D m D 4 3 5 2 4 1 725 10 6 897 10 4 174 10 6 Cálculo dos esforços nas extremidades das barras D A A A A A MD MR MT M0 M Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 108 45 45 0 45 45 0 4 6 92 17 0 61 08 2 0 AM0 4 50 0 300 4 50 0 300 0 0 0 0 0 0 AMT 63 21 0 63 21 0 0 0 0 0 0 0 AMR 21000 10 500 0 10 500 3 500 0 0 0 000 500 42 000 10 500 0 10 500 3 500 0 0 0 000 500 50 400 0 480 60 60 480 0 384 48 0 1200 000 0 100 800 0 480 60 60 480 0 384 48 0 1200 000 0 AMD 764 kNm 53 232 kN 31 717 kN 8 842 kNm 28 768 kN 58 717 kN 8 950 kNm 2 717 kN 28 768 kN 58 842 kNm 28 717 kN 8 768 kN 58 AM Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 109 Diagramas de esforços solicitantes Força Normal N Força Cortante V Momento Fletor M Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 110 EXEMPLO 4 Calcule as reações no engastamento A da grelha da figura abaixo usando o método dos deslocamentos Além do carregamento indicado a grelha está submetida a um recalque de apoio vertical em B de 5mm para baixo e a barra AB sofre uma redução de temperatura de 15ºC na face inferior e um acréscimo de 15ºC na face superior Despreze as deformações devidas à força cortante nas barras Dados E 3 x 107 kNm2 G 125 x 107 kNm2 J βhb3 4 4 h 12 b 1 h 0 21 b 3 1 β 105 º C Seção Transversal Diagrama de variação de temperatura na barra AB Deslocamentos Nodais Incógnitos Nó B rotação em torno do eixo y D rotação em torno do eixo x D1 2 Grau de Indeterminação Cinemática 2 Propriedades geométricas da seção transversal m4 I 0 0036 12 0 6 0 2 3 0 2634 h 12 b 1 h 0 21 b 3 1 β 4 4 4 3 3 3 m 1 264 10 0 2634 0 6 0 2 h b β J Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 111 Caso 0 SH com carregamento Transferindo a carga do balanço para a barra AB temse 10 6 3 20 β10 15 8 6 20 β20 10 6 3 20 A 10 R 15 8 6 20 A 20 R 10 2 20 A 30 R Fase T ADT1 0 54 2 1 2 h T T EI ADT ART1 0 54 2 1 2 h T T EI ART ART 3 0 Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 112 Fase R 202 5 4 5 10 6 0 2 3 1 EI ADR 90 0 6 5 10 6 2 3 2 EI ADR ARR1 0 90 6 5 10 6 2 3 2 EI ARR 30 6 5 10 12 3 3 3 EI ARR Caso 1 D11 D20 110 634 053 4 EI 4 6 GJ K11 K21 0 2 634053 6 11 GJ ARD ARD21 0 ARD31 0 Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura Recalque Deformação 113 Caso 2 D10 D21 0 K K 21 12 75 951 080 4 GJ 6 4EI K22 ARD12 0 36 000 6 2 22 EI ARD 18000 6 6 2 32 EI ARD Fase Final 0 KD A A DR DT 0 0 0 D D 75 951 080 0 0 364 053 110 90 5 202 54 0 15 10 2 1 resolvendo o sistema acima temse rad D rad D 3 2 3 1 698 10 1 740 10 1 Cálculo das reações de apoio no engastamento A D A A A A A RD RR RT R0 R 2 1 D D 18 000 0 36 000 0 0 634 053 2 30 90 0 0 54 0 10 15 10 AR 9428 kN A 10145 kNm A 5 417 kNm A 3 R 2 R 1 R Método dos Deslocamentos Exemplos de Aplicação com Deformação de Cisalhamento Método dos Deslocamentos Deformação de cisalhamento 115 EXEMPLO 1 Calcule as reações de apoio em A da viga da figura abaixo utilizando o Método dos Deslocamentos Considere as deformações devidas à força cortante e ao momento fletor A seção transversal usada tratase de um perfil soldado de aço padrão VS 800x111 conforme figura Dados E 21 x 104 kNcm2 A 142 cm2 G 8 x 103 kNcm2 Aalma 08 x 775 62 cm2 2 29 62 142 A A f alma s I 155 074 cm4 Grau de indeterminação cinemática 1 Caso 0 SH com carregamento 225 2 45 1000 0 2 PL A 10 R 37500 12 1000 45 0 12 PL β 2 2 10 37500 12 1000 45 0 12 PL A 2 2 R20 Método dos Deslocamentos Deformação de cisalhamento 116 Caso 1 D1 1 0 03939 1000 142 10 8 155074 2 1 10 2 29 6 GAL 6 fEI g 2 3 4 2 5799 659 5 2g 1 g 1 L 2EI A RD21 12 312767 5 2g 1 2 g 2 L 4EI K11 18112 427 A RD11 Fase final 0 KD β0 0 12 312767 5D 37500 1 rad 3 045 10 D 3 1 D A A A RD R0 R 799 659 5 D1 5 112 427 18 37500 225 AR 16355 kNcm 55 337 kN 279 AR Portanto VA 279337 kN e MA 55 16355 kNcm Método dos Deslocamentos Deformação de cisalhamento 117 EXEMPLO 2 A viga principal de uma ponte já executada simplesmente apoiada nos topos dos pilares A B e C sofreu recalques verticais para baixo nas fundações dos pilares B e C localizadas no leito do rio de 15 cm e 08 cm respectivamente Avalie os esforços introduzidos na estrutura em decorrência destes recalques usando o Método dos Deslocamentos considerando deformações por flexão e cisalhamento determinar as reações de apoio e traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores Dados E 3 x 107 kNm2 A 04 m2 G 125 x 107 kNm2 f S 12 I 333 x 102 m4 Grau de indeterminação cinemática 3 Caso 0 NÃO HÁ CARREGAMENTO 0 0 0 AR0 0 0 0 0β Fase R 612 7451 1 ADR 428 4376 2 ADR 184 3075 3 ADR 1021242 1 ARR 126 6985 2 ARR 24 5743 3 ARR Método dos Deslocamentos Deformação de cisalhamento 118 Caso 1 D1 1 D2 0 D3 0 Barra BC g Barra AB g GAL f EI g S 0064 0 0 01 6 2 1 2 328 431 3725 K11 161764 7059 K21 K31 0 40849 6732 11 ARD 40849 6732 21 ARD ARD31 0 Caso 2 D1 0 D2 1 D3 0 Barra BC g Barra AB g GAL f EI g S 0064 0 0 01 6 2 1 2 161746 7059 K12 592 570 3930 K22 130 805 6872 K32 40849 6732 12 ARD 14520 0260 22 ARD 26329 6472 32 ARD Caso 3 D1 0 D2 0 D3 1 Barra BC g Barra AB g GAL f EI g S 0064 0 0 01 6 2 1 2 K13 0 130 805 6872 K23 264139 0205 K33 ARD13 0 26329 6472 23 ARD 26329 6472 33 ARD Método dos Deslocamentos Deformação de cisalhamento 119 Fase Final 0 KD A β DR 0 0 0 0 D D D 264 139 0205 130 805 6872 0 130 805 6872 592 570 3930 764 7059 161 0 161764 7059 431 3725 328 3075 184 4376 428 7451 612 3 2 1 0 0009385792 rad D 0 000486277 rad D 0 001626162 rad D 3 2 1 D A A A A RD RR R0 R kN D AR 26 329 6472 26 329 6472 0 26 329 6472 14 520 0260 849 6732 40 0 40 849 6732 849 6732 40 5743 24 6985 126 1242 102 0 0 0 6654 kN 12 4971 kN 28 8317 kN 15 AR Diagramas de esforços solicitantes Força Cortante V Momento Fletor M