Slide - Aula 2 - Grau de Indeterminação Estática - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 02: Grau de Indeterminação Estática (GIE) e Princípio dos trabalhos virtuais DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Revisão: Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Introdução aos métodos de análise: Como observado as condições básicas para análise estrutural são: • Condições de equilíbrio • Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações • Comportamento do material (leis constitutivas) A imposição destas condições, como neste exemplo simples, pode ser uma tarefa árdua dependendo da complexidade da estrutura analisada. Portanto, a imposição destas condições, de forma sistematizada, é a base dos métodos básicos de análise estrutural: • Método das forças (ou método da flexibilidade, ou método da compatibilidade) • Método dos deslocamentos (ou método da rigidez, ou método do equilíbrio) Revisão: Revisão: Introdução ao método das forças: Na prática, a metodologia utilizada pelo método das forças para analisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de compatibilidade. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura isostática auxiliar (sistema principal [SP]), obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos excedentes. As forças ou momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e recebem a nomenclatura de hiperestáticos. Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Este curso tem por enfoque a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, abordando métodos básicos para este fim, sendo importante identificar se a estrutura é hiperestática (GIE 0). Além disso, como pôde ser observado, no método das forças é fundamental o conhecimento do Grau de Indeterminação Estática (GIE) para se definir o número de hiperestáticos (incógnitas do problema). O Grau de Indeterminação Estática (GIE) de uma estrutura pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas do problema e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis para o modelo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Este curso tem por enfoque a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, abordando métodos básicos para este fim, sendo importante identificar se a estrutura é hiperestática (GIE 0). Além disso, como pôde ser observado, no método das forças é fundamental o conhecimento do Grau de Indeterminação Estática (GIE) para se definir o número de hiperestáticos (incógnitas do problema). O Grau de Indeterminação Estática (GIE) de uma estrutura pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas do problema e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis para o modelo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Este curso tem por enfoque a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, abordando métodos básicos para este fim, sendo importante identificar se a estrutura é hiperestática (GIE 0). Além disso, como pôde ser observado, no método das forças é fundamental o conhecimento do Grau de Indeterminação Estática (GIE) para se definir o número de hiperestáticos (incógnitas do problema). O Grau de Indeterminação Estática (GIE) de uma estrutura pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas do problema e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis para o modelo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Este curso tem por enfoque a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, abordando métodos básicos para este fim, sendo importante identificar se a estrutura é hiperestática (GIE 0). Além disso, como pôde ser observado, no método das forças é fundamental o conhecimento do Grau de Indeterminação Estática (GIE) para se definir o número de hiperestáticos (incógnitas do problema). O Grau de Indeterminação Estática (GIE) de uma estrutura pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas do problema e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis para o modelo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Este curso tem por enfoque a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, abordando métodos básicos para este fim, sendo importante identificar se a estrutura é hiperestática (GIE 0). Além disso, como pôde ser observado, no método das forças é fundamental o conhecimento do Grau de Indeterminação Estática (GIE) para se definir o número de hiperestáticos (incógnitas do problema). O Grau de Indeterminação Estática (GIE) de uma estrutura pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas do problema e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis para o modelo: Com base no GIE, os modelos estruturais podem ser classificados como: GIE < 0 Estrutura hipostática e instável (condição suficiente) GIE = 0 Estrutura isostática e estável (condição necessária) GIE > 0 Estrutura hiperestática e estável (condição necessária) 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 4 - Conceitos básicos: Estruturas hipostáticas possuem número de vinculações inferior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações insuficientes). Neste caso, a estrutura se torna um mecanismo com movimento de corpo rígido e incapacidade de permanecer em equilíbrio estático (instável). Estrutura isostáticas possuem número de vinculações igual ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações suficientes). Em geral, podem ser analisadas (calculado reações de apoio e esforços internos) levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente determinada). Estruturas hiperestáticas possuem número de vinculações superior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações excedentes). Nestes casos, são necessárias equações adicionais para analisar a estrutura, não sendo possível analisar a estrutura levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente indeterminadas). Tais equações são obtidas a partir de considerações sobre compatibilidade entre deslocamentos e deformações e sobre o comportamento dos materiais. 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): 𝐺𝐼𝐸 = −1 𝐺𝐼𝐸 = 0 𝐺𝐼𝐸 = 1 4 - Conceitos básicos: Estruturas hipostáticas possuem número de vinculações inferior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações insuficientes). Neste caso, a estrutura se torna um mecanismo com movimento de corpo rígido e incapacidade de permanecer em equilíbrio estático (instável). Estrutura isostáticas possuem número de vinculações igual ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações suficientes). Em geral, podem ser analisadas (calculado reações de apoio e esforços internos) levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente determinada). Estruturas hiperestáticas possuem número de vinculações superior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações excedentes). Nestes casos, são necessárias equações adicionais para analisar a estrutura, não sendo possível analisar a estrutura levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente indeterminadas). Tais equações são obtidas a partir de considerações sobre compatibilidade entre deslocamentos e deformações e sobre o comportamento dos materiais. 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): 𝐺𝐼𝐸 = −1 𝐺𝐼𝐸 = 0 𝐺𝐼𝐸 = 1 4 - Conceitos básicos: Estruturas hipostáticas possuem número de vinculações inferior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações insuficientes). Neste caso, a estrutura se torna um mecanismo com movimento de corpo rígido e incapacidade de permanecer em equilíbrio estático (instável). Estrutura isostáticas possuem número de vinculações igual ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações suficientes). Em geral, podem ser analisadas (calculado reações de apoio e esforços internos) levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente determinada). Estruturas hiperestáticas possuem número de vinculações superior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações excedentes). Nestes casos, são necessárias equações adicionais para analisar a estrutura, não sendo possível analisar a estrutura levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente indeterminadas). Tais equações são obtidas a partir de considerações sobre compatibilidade entre deslocamentos e deformações e sobre o comportamento dos materiais. 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): 𝐺𝐼𝐸 = −1 𝐺𝐼𝐸 = 0 𝐺𝐼𝐸 = 1 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Para estruturas reticuladas planas como os pórticos e grelhas, as incógnitas do problema estático dependem dos vínculos de apoio da estrutura e da existência de ciclos fechados de barras (anéis): Exemplo: 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 5 + 1 ∙ 3 = 8 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Para estruturas reticuladas planas como os pórticos e grelhas, as incógnitas do problema estático dependem dos vínculos de apoio da estrutura e da existência de ciclos fechados de barras (anéis): Exemplo: 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 5 + 1 ∙ 3 = 8 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Com relação ao número de equações, tem-se as equações de equilíbrio global da estrutura aplicáveis ao modelo e as equações provenientes de liberações de continuidade interna (por exemplo, rótulas): 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 Número de barras que convergem na liberação “k” 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Com relação ao número de equações, tem-se as equações de equilíbrio global da estrutura aplicáveis ao modelo e as equações provenientes de liberações de continuidade interna (por exemplo, rótulas): 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 Número de barras que convergem na liberação “k” 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Com relação ao número de equações, tem-se as equações de equilíbrio global da estrutura aplicáveis ao modelo e as equações provenientes de liberações de continuidade interna (por exemplo, rótulas): Exemplo: 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 Número de barras que convergem na liberação “k” 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Com relação ao número de equações, tem-se as equações de equilíbrio global da estrutura aplicáveis ao modelo e as equações provenientes de liberações de continuidade interna (por exemplo, rótulas): Exemplo: 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 Número de barras que convergem na liberação “k” 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 3 + 2 − 1 = 4 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 3 + 3 − 1 = 5 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Com relação ao número de equações, tem-se as equações de equilíbrio global da estrutura aplicáveis ao modelo e as equações provenientes de liberações de continuidade interna (por exemplo, rótulas): Exemplo: 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 Número de barras que convergem na liberação “k” 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Com relação ao número de equações, tem-se as equações de equilíbrio global da estrutura aplicáveis ao modelo e as equações provenientes de liberações de continuidade interna (por exemplo, rótulas): Exemplo: 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 Número de barras que convergem na liberação “k” 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 3 + 3 − 1 + 2 − 1 = 6 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 9 + 3 ∙ 1 = 12 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 = 12 − 6 = 6 Estrutura hiperestática com GIE = 6 (6 vinculações excedentes) 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): De uma forma geral, para estruturas reticuladas planas, como pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): De uma forma geral, para estruturas reticuladas planas, como pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): De uma forma geral, para estruturas reticuladas planas, como pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 9 + 3 ∙ 1 − 3 + 0 = 9 Estrutura hiperestática com GIE = 9 (9 vinculações excedentes) 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): De uma forma geral, para estruturas reticuladas planas, como pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): De uma forma geral, para estruturas reticuladas planas, como pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 3 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 + 2 − 1 + 2 − 1 = 0 Estrutura isostática (número de vinculações suficiente) 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Para treliças, a maneira mais simples de determinar o GIE é considerando que o equilíbrio global é alcançado pelo equilíbrio dos nós individualmente. Dessa forma, tem-se: • Incógnitas: reações de apoio e esforço axial em cada barra. • Equações: equilíbrio de forças nodais em cada direção do plano. Lembrando-se que: Tem-se: Ou, para treliças planas: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 𝑁 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑛ó ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Para treliças, a maneira mais simples de determinar o GIE é considerando que o equilíbrio global é alcançado pelo equilíbrio dos nós individualmente. Dessa forma, tem-se: • Incógnitas: reações de apoio e esforço axial em cada barra. • Equações: equilíbrio de forças nodais em cada direção do plano. Lembrando-se que: Tem-se: Ou, para treliças planas: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 𝑁 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑛ó ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 3 + 5 − 2 ∙ 4 = 8 − 8 = 0 Estrutura isostática (número de vinculações suficiente) 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 4 + 5 − 2 ∙ 4 = 9 − 8 = 1 Estrutura hiperestática com GIE = 1 (1 vinculação excedente) 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 4 + 5 − 2 ∙ 4 = 9 − 8 = 1 Estrutura hiperestática com GIE = 1 (1 vinculação excedente) Para analisar pelo método das forças é necessário eliminar vínculos em número igual ao GIE. Nesse caso, é necessário eliminar 1 vínculo. Dessa forma o Sistema Principal [SP] pode ser representado por: 𝑋1 Hiperestático associado 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 4 + 6 − 2 ∙ 4 = 10 − 8 = 2 Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 4 + 6 − 2 ∙ 4 = 10 − 8 = 2 Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) Para analisar pelo método das forças é necessário eliminar vínculos em número igual ao GIE. Nesse caso, é necessário eliminar 2 vínculos. Dessa forma o Sistema Principal [SP] pode ser representado por: 𝑋1 𝑋2 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 4 + 6 − 2 ∙ 4 = 10 − 8 = 2 Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) Para analisar pelo método das forças é necessário eliminar vínculos em número igual ao GIE. Nesse caso, é necessário eliminar 2 vínculos. Dessa forma o Sistema Principal [SP] pode ser representado por: 𝑋1 𝑋2 Esse [SP] não é possível. A estrutura fica instável. 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸 = 4 + 6 − 2 ∙ 4 = 10 − 8 = 2 Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) Para analisar pelo método das forças é necessário eliminar vínculos em número igual ao GIE. Nesse caso, é necessário eliminar 2 vínculos. Dessa forma o Sistema Principal [SP] pode ser representado por: 𝑋1 𝑋2 𝑋2 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Observa-se que, em alguns casos, não basta determinar o Grau de Indeterminação Estática, é necessário determinar o Grau de Indeterminação Estática interno e externo. Para tal, tem-se: 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Observa-se que, em alguns casos, não basta determinar o Grau de Indeterminação Estática, é necessário determinar o Grau de Indeterminação Estática interno e externo. Para tal, tem-se: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Observa-se que, em alguns casos, não basta determinar o Grau de Indeterminação Estática, é necessário determinar o Grau de Indeterminação Estática interno e externo. Para tal, tem-se: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 + 6 − 2 ∙ 4 = 10 − 8 = 2 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 4 − 3 = 1 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2 − 1 = 1 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Observa-se que, em alguns casos, não basta determinar o Grau de Indeterminação Estática, é necessário determinar o Grau de Indeterminação Estática interno e externo. Para tal, tem-se: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 + 6 − 2 ∙ 4 = 10 − 8 = 2 Estrutura hiperestática com GIE = 2, com 1 vinculação externa excedente e 1 vinculação interna excedente. 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 4 − 3 = 1 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2 − 1 = 1 𝑋1 𝑋2 𝑋2 Sistema Principal [SP] para o método das forças 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Observa-se que, em alguns casos, não basta determinar o Grau de Indeterminação Estática, é necessário determinar o Grau de Indeterminação Estática interno e externo. Para tal, tem-se: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Observa-se que, em alguns casos, não basta determinar o Grau de Indeterminação Estática, é necessário determinar o Grau de Indeterminação Estática interno e externo. Para tal, tem-se: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 + 7 − 2 ∙ 5 = 12 − 10 = 2 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 5 − 3 = 2 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2 − 2 = 0 Estrutura hiperestática com GIE = 2, com 2 vinculações externas excedentes e nenhuma vinculação interna excedente. No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Como determinar? Com o auxílio do PTV (MCU) 𝐺𝐼𝐸 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + (3 − 1) 𝐺𝐼𝐸 = 1 No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade 4 - Conceitos básicos: 4.8 - Grau de indeterminação estática (GIE): Como determinar? Com o auxílio do PTV (MCU) 𝐺𝐼𝐸 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + (3 − 1) 𝐺𝐼𝐸 = 1 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Serve de subsídio para a obtenção das soluções básicas utilizadas no método das forças e no método dos deslocamentos, através de suas duas formulações: • Princípio das forças virtuais (permite o cálculo de deslocamentos) • Princípio dos deslocamentos virtuais (permite o cálculo de forças) Princípio das forças virtuais: É uma das principais ferramentas para determinação de deslocamentos em estruturas. Neste princípio, tem-se: Em termos dos esforços internos pode-se escrever: ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 Forças virtuais Correspondentes deslocamentos reais Esforços internos virtuais Correspondentes deslocamentos relativos reais 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Serve de subsídio para a obtenção das soluções básicas utilizadas no método das forças e no método dos deslocamentos, através de suas duas formulações: • Princípio das forças virtuais (permite o cálculo de deslocamentos) • Princípio dos deslocamentos virtuais (permite o cálculo de forças) Princípio das forças virtuais: É uma das principais ferramentas para determinação de deslocamentos em estruturas. Neste princípio, tem-se: Em termos dos esforços internos pode-se escrever: ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 Forças virtuais Correspondentes deslocamentos reais Esforços internos virtuais Correspondentes deslocamentos relativos reais 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Serve de subsídio para a obtenção das soluções básicas utilizadas no método das forças e no método dos deslocamentos, através de suas duas formulações: • Princípio das forças virtuais (permite o cálculo de deslocamentos) • Princípio dos deslocamentos virtuais (permite o cálculo de forças) Princípio das forças virtuais: É uma das principais ferramentas para determinação de deslocamentos em estruturas. Neste princípio, tem-se: Em termos dos esforços internos pode-se escrever: ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 Forças virtuais Correspondentes deslocamentos reais Esforços internos virtuais Correspondentes deslocamentos relativos reais 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀 𝑑𝜃 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀 𝑑𝜃 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtual são compostas de uma força (ou momento), escolhido arbitrariamente, na direção do deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cálculo dos deslocamentos. ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀 𝑑𝜃 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐷2 = 1 ത𝑃2 න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: De uma fora geral, o deslocamento (ou rotação) em um ponto qualquer de uma estrutura reticulada, com comportamento elástico linear, pode ser dado por: ∆= 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀 𝑑𝜃 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐷2 = 1 ത𝑃2 න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Método da carga unitária (MCU): Princípio das forças virtuais onde o sistema de forças virtuais é definido como uma carga unitária ( ത𝑃 = 1): ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ𝑀 𝑑𝜃 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐷2 = 1 ത𝑃2 න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 5 + 3 ∙ 0 − 3 + 0 = 2 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Problema original Sistema Principal [SP] 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Problema original Solicitação externa no [SP] 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Problema original Solicitação externa no [SP] 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: s s 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Diagramas de esforços solicitantes: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿10 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿10 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → 𝛿10 = 1 𝐸𝐼 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀1𝑀0 𝑑𝑥 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ∆= න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿10 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀1𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → 𝛿10 = 1 𝐸𝐼 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀1𝑀0 𝑑𝑥 ? 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: Carga virtual unitária 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Reações de apoio: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Esforços solicitantes: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Diagramas de esforços solicitantes: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Para determinação de 𝛿10 pode-se aplicar o MCU: 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Cálculo utilizando a tabela de integração (Tabela 7.1 do livro 𝐼1 𝐼2 𝐼3 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Cálculo utilizando a tabela de integração (Tabela 7.1 do livro 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Cálculo utilizando a tabela de integração (Tabela 7.1 do livro 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Cálculo utilizando a tabela de integração (Tabela 7.1 do livro 4 - Conceitos básicos: 4.9 - Princípio dos trabalhos virtuais: Exemplo: Cálculo utilizando a tabela de integração (Tabela 7.1 do livro 𝐼1 𝐼2 𝐼3 Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 3: Item 3.8: Determinação do grau de hiperestaticidade Capítulo 7: Princípio dos trabalhos virtuais Leitura sugerida: Capítulo 5: Idealização do comportamento de barras Obs.: Capítulo 6 não será tratado no curso 106 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!