Slide - Probabilidade 2022-2

Probabilidade Sokol Ndreca Departamento de Estat´ıstica Instituto de Ciˆencias Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Sokol Ndreca (EST - UFMG) 1 / 30 1 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total 2 Independˆencia 3 Teorema de Bayes Sokol Ndreca (EST - UFMG) 2 / 30 Nota Esses slides foram preparados para a disciplina EST027. O conte´udo deles ´e baseado no Livro-texto: Montgomery, D. C., Runger, G. C. Estat´ıstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5a Ed., LTC. Deixo claro que esse material n˜ao substitui a consulta do livro texto. Qualquer corre¸c˜ao, sugest˜ao ou critica ser´a sempre bem vinda. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 3 / 30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Outline 1 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total 2 Independˆencia 3 Teorema de Bayes Sokol Ndreca (EST - UFMG) 4 / 30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Regra da Multiplica¸c˜ao Frequentemente precisamos calcular a probabilidade da interse¸c˜ao de dois eventos. A defini¸c˜ao da probabilidade condicional P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) , para P(A) > 0, pode ser reescrita e resultar na regra conhecida como regra da multiplica¸c˜ao. Regra da Multiplica¸c˜ao P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 5 / 30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Exemplo 2-26 Est´agios de Usinagem A probabilidade de que o primeiro est´agio de uma opera¸c˜ao, numericamente controlada, de usinagem para pist˜oes com alta rpm atenda `as especifica¸c˜oes ´e de 0,9. Falhas ocorrem devido a: varia¸c˜oes no metal, condi¸c˜ao da lˆamina de corte, etc. Dado que o primeiro est´agio atende as especifica¸c˜oes, a probabilidade de que o segundo est´agio atenda `as especifica¸c˜oes ´e de 0,95. Qual a probabilidade de ambos os est´agios atendem as especifica¸c˜oes? Solu¸c˜ao: Definimos os eventos: A = “o primeiro est´agio atende as especifica¸c˜oes” B = “o segundo est´agio atende as especifica¸c˜oes” E = “ambos os est´agios atendem as especifica¸c˜oes” Logo, P(E) = P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = 0, 95 · 0, 9 = 0, 855 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 6 / 30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Regra da Probabilidade Total A probabilidade de um evento pode ser dada sob v´arias condi¸c˜oes. A partir dessas probabilidades condicionais podemos recuperar a probabilidade do evento. Para qualquer evento B podemos escrever B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) . Logo, P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac) = P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac) . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 7 / 30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Exemplo 2-27: Contamina¸c˜ao de Semicondutores Suponha que na fabrica¸c˜ao de semicondutores a probabilidade de um chip, que est´a sujeito a altos n´ıveis de contamina¸c˜ao durante a fabrica¸c˜ao, causar uma falha no produto seja de 0,1. A probabilidade de um chip n˜ao esteja sujeito a altos n´ıveis de contamina¸c˜ao durante a fabrica¸c˜ao, causar uma falha no produto seja de 0,005. Em uma batelada particular de produ¸c˜ao, 20% dos chips est˜ao sujeitos a altos n´ıveis de contamina¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade de um produto usando um desses chips vir a falhar? Solu¸c˜ao. Considere os eventos: F = “o produto falha” e H = “o chip est´a sujeito a altos n´ıveis de contamina¸c˜ao”. Por hip´otese P(F|H) = 0, 1 P(F|Hc) = 0, 005 P(H) = 0, 2 . Logo P(F) = P(F|H)P(H) + P(F|Hc)P(Hc) = (0, 1)(0, 2) + (0, 005)(0, 8) = 0, 024. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 8 / 30 Regra da Probabilidade ‘Total e@ Uma colegao de eventos £), Eo,...,H, forma uma partigao do espaco amostral 5S, se E,UR,U::-UE,=S e ENE; =S paraiF¥ 7. e Afirmagao. Para cada evento BC S, P(B)=S— P(BN EB) i=1 ® De fato B= BONS = BN (UL, Ei) = UL, (BN E,). Dado que os eventos FE, sao disjuntos, entao os eventos BM EF; 0 sao. et” / ee, B nEs aa 5/50 Regra da Probabilidade ‘Total e Logo n P(B) = PUL, (BN B)) = 55 P(BNE,) i=1 n = 0 PBIB) PE) i=1 Regra da Probabilidade Total Se Fy, Eo,..., Ey forma uma particao do espaco amostral S (n eventos mutuamente excludentes e exaustivos) tais que P(E;) > 0, 7=1,2,...,n, entao P(B) = P(B\E\)P(E£1) + P(B| £2) P(E2) +--+ + P(B\En)P(En) - 10/30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Exemplo 2-28: Falhas em Semicondutores Continuando com a fabrica¸c˜ao de semicondutores, suponha as seguintes probabilidades para falha no produto sujeito a n´ıveis de contamina¸c˜ao na fabrica¸c˜ao: Probabilidade de Falha N´ıvel de Contamina¸c˜ao 0,1 Alto 0,01 M´edio 0,001 Baixo Em uma batelada particular da produ¸c˜ao, 20% dos chips est˜ao sujeitos a n´ıveis altos de contamina¸c˜ao, 30% a n´ıveis m´edios de contamina¸c˜ao e 50% a n´ıveis baixos de contamina¸c˜ao. Qual ´e a probabilidade de um produto falhar ao usar um desses chips? Sokol Ndreca (EST - UFMG) 11 / 30 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total Solu¸c˜ao. Considere os eventos: F = “produto falha” H = “chip est´a sujeito a altos n´ıveis de contamina¸c˜ao” M = “chip est´a sujeito a n´ıveis medios de contamina¸c˜ao” L = “chip est´a sujeito a n´ıveis baixos de contamina¸c˜ao”. Por hip´otese, P(F|H) = 0, 1 P(F|M) = 0, 01, P(F|L) = 0, 001 P(H) = 0, 2 P(M) = 0, 3 P(L) = 0, 5 . Logo P(F) = P(F|H)P(H) + P(F|M)P(M) + P(F|L)P(L) = (0, 10)(0, 2) + (0, 01)(0, 3) + (0, 001)(0, 5) = 0, 0235. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 12 / 30 Independˆencia Outline 1 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total 2 Independˆencia 3 Teorema de Bayes Sokol Ndreca (EST - UFMG) 13 / 30 Independˆencia Independˆencia Em alguns casos podemos ter que P(B|A) = P(B), i.e., sabendo que o resultado do experimento esteja no evento A n˜ao afeta a probabilidade de que o resultado esteja no B. Nesse caso P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = P(B)P(A), e P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A) . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 14 / 30 Independˆencia Independˆencia Independˆencia (dois eventos) Dois eventos A e B s˜ao independentes se qualquer um das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira: P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B); P(A ∩ B) = P(A)P(B). Isso significa que a ocorrˆencia de um evento n˜ao influencia na ocorrˆencia do outro evento. Observa¸c˜ao: Se A e B s˜ao independentes, ent˜ao Ac e Bc tamb´em s˜ao independentes (e tamb´em A e Bc, e ainda Ac e B). Observa¸c˜ao: Se A ∩ B = ∅, ent˜ao A e B n˜ao s˜ao independentes, a menos que um deles tenha probabilidade zero. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 15 / 30 Independˆencia Independˆencia Se A e B s˜ao independentes, ent˜ao Ac e Bc tamb´em s˜ao independentes. Demonstra¸c˜ao. Precisamos mostrar que P(Ac ∩ Bc) = P(Ac)P(Bc). Note que P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − (P(A) + P(B) − P(A ∩ B)) = 1 − P(A) − P(B) + P(A)P(B) = P(Ac) − P(B)(1 − P(A)) = P(Ac)(1 − P(B)) = P(Ac)P(Bc) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 16 / 30 Independˆencia Example 2.29: Amostragem com Reposi¸c˜ao Suponha que uma produ¸c˜ao di´aria de 850 pe¸cas fabricadas cont´em 50 pe¸cas que n˜ao satisfazem as exigˆencias dos consumidores (i.e., pe¸cas defeituosas). Duas pe¸cas s˜ao selecionadas aleatoriamente, com reposi¸c˜ao, do lote. Qual ´e probabilidade de que a segunda pe¸ca seja defeituosa, dado que a primeira pe¸ca ´e defeituosa? Seja A o evento em que a primeira pe¸ca seja defeituosa e B o evento em que a segunda pe¸ca seja defeituosa. Ent˜ao, P(B|A) = 50 850 = P(B) Os eventos A e B s˜ao independentes. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 17 / 30 Independˆencia Example 2.31: Amostragem sem Reposi¸c˜ao Uma produ¸c˜ao di´aria de 850 pe¸cas fabricadas cont´em 50 pe¸cas que n˜ao satisfazem as exigˆencias dos consumidores (e.g., pe¸cas defeituosas). Duas pe¸cas s˜ao selecionadas aleatoriamente, sem reposi¸c˜ao, do lote. Seja A o evento em que a primeira pe¸ca seja defeituosa e B o evento em que a segunda pe¸ca seja defeituosa. Os eventos A e B s˜ao independentes? Solu¸cao. ´E facil ver que P(A) = 50/850 e P(B|A) = 49/849 . P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac) = 49 849 50 850 + 50 849 800 850 = 50 850 Dado que P(B|A) ̸= P(B), ent˜ao A e B n˜ao s˜ao independentes. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 18 / 30 Independˆencia Exemplo 2-32: Circuito em S´erie O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar ´e mostrada no diagrama. Suponha que os dispositivos falhem independentemente. Qual ´e a probabilidade de o circuito operar? Sejam E e D os eventos em que os dispositivos da esquerda e da direita operem, respectivamente. Ent˜ao os eventos E e D s˜ao independentes. Seja C o evento em que o circuito opera. Logo, P(C) = P(E ∩ D) = P(E)P(D) = (0, 8)(0, 9) = 0, 72. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 19 / 30 Independˆencia Independˆencia com m´ultiplos eventos Independˆencia coletiva Os eventos E1, E2, . . . , En s˜ao independentes se para qualquer subconjunto de eventos Ei1, Ei2, . . . , Eik P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ · · · ∩ Eik) = P(Ei1)P(Ei2) . . . P(Eik) para todo k = 2, 3, . . . , n e todo {i1, i2, . . . , ik} ⊂ {1, 2, . . . , n} tal que i1 < i2 < · · · < ik. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 20 / 30 Exemplo 2-33: Pastilhas Semicondutoras oe Considere que a probabilidade de uma pastilha conter uma grande particula de contaminacao seja 0,01 e que as pastilhas sejam independentes; isto é, a probabilidade de uma pastilha conter uma grande particula nao é dependente das caracteristicas de qualquer uma das outras pastilhas. Se 15 pastilhas forem analisadas, qual é a probabilidade de nenhuma particula grande ser encontrada? e Seja £; o evento em que a i-ésima pastilha nao contém particulas grandes, i = 1,2,...,15. Entao os eventos EF; sao independentes, com P(E£;) = 1— P(E’) = 0,99. Considere Eo evento em que nenhuma particula grande é encontrada. Logo, 15 P(B) = P(N2,E,) = |] P(E) = (0,99) = 0,86. i=1 21/30 Independˆencia Exemplo 2-34: Circuito Paralelo O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar ´e mostrada no diagrama. Suponha que os dispositivos falhem independentemente. Qual ´e a probabilidade de que o circuito operar? Sejam S e I os eventos em que os dispositivos da parte superior e da parte inferior operem, respectivamente. Os eventos S e I s˜ao independentes. Seja E o evento em que o circuito opera. Logo, P(E) = P(S ∪ I) = 1 − P((S ∪ I)c) = 1 − P(Sc ∩ Ic) = 1 − P(Sc)P(Ic) = 1 − (1 − 0, 95)2 = 1 − 0, 052 = 0, 9975 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 22 / 30 Independˆencia Exemplo 2-35: Circuito Avan¸cado O circuito mostrado a seguir opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de cada aparelho funcionar ´e mostrada no diagrama. Suponha que os dispositivos falhem independentemente. Qual ser´a a probabilidade de o circuito operar? Sokol Ndreca (EST - UFMG) 23 / 30 Independˆencia Exemplo 2-35: Circuito Avan¸cado Considere os seguintes eventos: E =“existe uma rota de dispositivos funcionais somente atrav´es das trˆes unidades da esquerda” M =“existe uma rota de dispositivos funcionais somente atrav´es das duas unidades do meio” D =“ o dispositivo a direita e funcional”. Os eventos E, M e D s˜ao independentes. Seja C o evento em que o circuito opera. Finalmente, P(C) = P(E ∩ M ∩ D) = P(E)P(M)P(D) = (1 − (1 − 0, 9)3)(1 − (1 − 0, 95)2)(0, 99) = 0, 987 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 24 / 30 Teorema de Bayes Outline 1 Regra da Multiplica¸c˜ao e da Probabilidade Total 2 Independˆencia 3 Teorema de Bayes Sokol Ndreca (EST - UFMG) 25 / 30 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Vimos que a informa¸c˜ao muitas vezes ´e apresentada em termos de probabilidades condicionais. Por exemplo a probabilidade condicional: P(B|A) onde B =“falha no semicondutor” e A =“alta contamina¸cao”. Depois de um experimento aleat´orio gerar um resultado estamos naturalmente interessados em calcular P(A|B). Esse tipo de problema ´e tratado usando o importante resultado conhecido como Teorema de Bayes. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 26 / 30 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Da defini¸c˜ao de probabilidade condicional sabemos que P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) . Logo obtemos o seguinte resultado: P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) , para P(B) > 0 . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 27 / 30 Teorema de Bayes Reconsidere o Exemplo 2-27 que a informa¸c˜ao ´e resumida aqui: Probabilidade de Falha N´ıvel de contamina¸c˜ao Probabilidade do N´ıvel 0,1 0,005 Alto N˜ao Alto 0,2 0,8 Determinar a probabilidade condicional de um alto n´ıvel de contamina¸c˜ao existir quando uma falha ocorrer. Relembrando: F = “o produto falha” e H = “o chip est´a sujeito a altos n´ıveis de contamina¸c˜ao”, P(F|H) = 0, 1 P(F|Hc) = 0, 005 P(H) = 0, 2, P(F) = P(F|H)P(H) + P(F|Hc)P(Hc) = (0, 1)(0, 2) + (0, 005)(0, 8) = 0, 024. Logo, P(H|F) = P(F|H)P(H) P(F) = (0, 1)(0, 2) 0, 024 = 0, 83 . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 28 / 30 Teorema de Bayes e Sejam Fj, Eo,..., EH, eventos mutuamente excludentes e exaustivos, com P(E£;) > 0, i =1,2,...,k.. Considere B um evento qualquer com P(B) > 0. Entao, k P(B) = 5° P(B|Ei) P(E), i=1 P(E;QB) P(B\E;)P(E;) . P(E;|B) = ———— = ——_— = 1,2,...,k. ( ‘il ) P(B) P(B) ’ para 2 9m) ’ Teorema de Bayes Sob as hipdteses acima vale, P(B\E;) P(E; P(E;|B) = —PBIE) PE) para i=1,2,...,k. dint P(BIE:) P( Ei) 29/30 Teorema de Bayes Exemplo 2-37: Diagn´ostico M´edico Pelo fato de um novo procedimento m´edico ter se mostrado efetivo na detec¸c˜ao pr´evia de uma doen¸ca, propˆos-se um rastreamento m´edico da popula¸c˜ao. A probabilidade de o teste identificar corretamente algu´em com a doen¸ca, dando positivo, ´e 0,99 e a probabilidade de o teste identificar corretamente algu´em sem a doen¸ca, dando negativo, ´e 0,95. A incidˆencia da doen¸ca na popula¸c˜ao em geral ´e 0,0001. Vocˆe fez o teste e o resultado foi positivo. Qual ´e a probabilidade de vocˆe ter a doen¸ca? Seja D o evento em que vocˆe tem a doen¸ca e seja E o evento em que o teste ´e positivo. Ent˜ao, a probalidade desejada ´e P(D|E) = P(E|D)P(D) P(E|D)P(D) + P(E|Dc)P(Dc) = 0, 99 · 0, 0001 0, 99 · 0, 0001 + 0, 05 · 0, 9999 = 0, 002 Teste leva a um resultado “falso positivo” com P(E|Dc) = 0, 05. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 30 / 30