Slide - Interpretações e Axiomas de Probabilidade 2022-2

Interpreta¸c˜oes e Axiomas de Probabilidade Sokol Ndreca Departamento de Estat´ıstica Instituto de Ciˆencias Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Sokol Ndreca (EST - UFMG) 1 / 48 1 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade 2 Axiomas da Probabilidade 3 Regras de Adi¸c˜ao 4 Probabilidade Condicional Sokol Ndreca (EST - UFMG) 2 / 48 Nota Esses slides foram preparados para a disciplina EST027. O conte´udo deles ´e baseado no Livro-texto: Montgomery, D. C., Runger, G. C. Estat´ıstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5a Ed., LTC. Deixo claro que esse material n˜ao substitui a consulta do livro texto. Qualquer corre¸c˜ao, sugest˜ao ou critica ser´a sempre bem vinda. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 3 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Outline 1 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade 2 Axiomas da Probabilidade 3 Regras de Adi¸c˜ao 4 Probabilidade Condicional Sokol Ndreca (EST - UFMG) 4 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Probabilidade em espa¸cos discretos Vamos introduzir Probabilidade para espa¸cos amostrais discretos. Para o caso dos espa¸cos amostrais continuas ´e preciso usar conceitos da teoria de medida, que vai al´em do objetivo do nosso curso. Probabilidade quantifica a possibilidade ou chance de ocorrˆencia de um resultado de um experimento aleat´orio. Probabilidade ´e um n´umero no intervalo [0, 1]. Probabilidade zero indica que um evento n˜ao ocorrer, i.e., evento imposs´ıvel. um significa que um evento ocorre com certeza, i.e., evento certo. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 5 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Tipos de Probabilidade: Interpreta¸c˜oes da probabilidade Probabilidade subjetiva ´e ”grau de cren¸ca”de que o resultado ocorrer´a. Por exemplo um pode pensar que a chance de: chover hoje ´e de 75%; estudar esta noite ´e 50%. Indiv´ıduos diferentes podem atribuir probabilidades diferentes para os mesmos resultados. As probabilidades subjetivas n˜ao sempre s˜ao consistentes. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 6 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Tipos de Probabilidade: Interpreta¸c˜oes da probabilidade Probabilidade como uma frequˆencia relativa: A probabilidade de um resultado ´e interpretada como o valor limite da propor¸c˜ao de vezes que o resultado ocorre em n repeti¸c˜oes do experimento aleat´orio, a medida que n aumenta, lim n→∞ n(E) n Exemplo: Se dizemos que a probabilidade de um pulso estar corrompido em um sinal digital ´e 0,2. Podemos interpretar que se analisarmos muitos pulsos 20% deles v˜ao estar corrompidos. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 7 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Espa¸co Amostral com Resultados Igualmente Prov´aveis Exemplo: Suponha que selecionamos aleatoriamente um diodo a laser de uma batelada de 100. Aleatoriamente significa que cada diodo na batelada tem uma chance igual de ser selecionado. A probabilidade de selecionar um diodo ´e 1 100 ou 0,01, pois cada resultado do espa¸co amostral ´e igualmente prov´avel. Resultados Igualmente Prov´aveis Toda vez que um espa¸co amostral consistir em N resultados poss´ıveis que forem igualmente prov´aveis, a probabilidade de cada resultado ´e 1 N . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 8 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Defini¸c˜ao Cl´assica de Probabilidade Consideramos um experimento aleat´orio com espa¸co amostral S = {s1, s2, . . . , sN} com N elementos igualmente prov´aveis, i.e., P({s1}) = P({s2}) = · · · = P({sN}). Ent˜ao, P({si}) = 1 N = 1 |S|, i = 1, 2, . . . , N, P(E) = |E| |S| = # de elementos em E # de elementos em S . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 9 / 48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Defini¸c˜ao Cl´assica de Probabilidade: Exemplo Dois dados honestos s˜ao lan¸cados. Determine a probabilidade de que a soma das faces para cima seja igual a 6. O espa¸co amostral do experimento ´e o conjunto: S = {(i, j)|i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja E = “a soma das faces para cima ´e igual a 6”. Ent˜ao P(E) = |E| |S| = 5 36. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 10 / 48 Probabilidade de um Evento Probabilidade de um Evento Para um espaco amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotado por P(E), é igual a soma das probabilidades dos resultados em FE, i.e., P(E) = >> P({s}). sckH 11/48 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade Probabilidade de um Evento: Exemplo Um experimento aleat´orio pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. Considere as seguintes eventos: A = {a, b}, B = {b, c, d} e C = {d}. Ent˜ao, P(A) = P({a}) + P({b}) = 0, 1 + 0, 3 = 0, 4 P(B) = P({b}) + P({c}) + P({d}) = 0, 3 + 0, 5 + 0, 1 = 0, 9 P(C) = P({d}) = 0, 1 . P(Ac) = P({c, d}) = 0, 5 + 0, 1 = 0, 6 P(A ∩ B) = P({b}) = 0, 3 P(A ∪ B) = P({a, b, c, d}) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 5 + 0, 1 = 1 P(A ∩ C) = P(∅) = 0 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 12 / 48 Amostragem sem reposicao e Frequentemente, mais de um item é selecionado, sem reposicao, de uma batelada quando uma producao é inspecionada. oe Nesse caso aleatoriamente selecionado significa que cada subconjunto possivel de itens é igualmente provavel. e Exemplo: Suponha que uma batelada contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados aleatoriamente, sem reposicaéo. Suponha que o item f é defeituoso e todos demais sao bons. Qual a probabilidade de que o item f apareca na amostra? e O espaco amostral consiste em todos os pares desordenados possiveis selecionados sem reposicao, portanto ha (5) =15 resultados possiveis. e Seja E o evento em que o item f esteja na amostra. Entao, E= {{a, f}, {0 f}, tof}, {4 fh, te SP: 2° Como cada resultado é igualmente provavel, P(/) = 5/15 = 1/3. 13 / 48 Axiomas da Probabilidade Outline 1 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade 2 Axiomas da Probabilidade 3 Regras de Adi¸c˜ao 4 Probabilidade Condicional Sokol Ndreca (EST - UFMG) 14 / 48 Axiomas da Probabilidade Axiomas da Probabilidade Uma vez definido a probabilidade de um evento E de um experimento aleatorio, as suposi¸c˜oes que fizemos sobre as probabilidades podem ser coletadas em conjunto minimo de axiomas que a probabilidade tem que satisfazer. Esses axiomas garantem que as atribui¸c˜oes sejam consistentes com o nosso entendimento intuitivo de frequencia relativa. Tais axiomas n˜ao determinam as probabilidades. As probabilidades s˜ao atribu´ıdas baseadas no conhecimento do sistema sob estudo. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 15 / 48 Axiomas da Probabilidade Probabilidade 6 um ntimero que é atribuido a cada membro de uma colecao de eventos, a partir de um experimento aleatério que satisfaz as seguintes propriedades: oe Se S é0 espaco amostral discreto e EF é um evento qualquer em um experimento aleatério, @ P(S) =1; O 0< P(E) <1; @ Para dois eventos E; e Ez, com Ey Ep = @ P(E, U E2) = P(F\) + P(E2). Se o espaco amostral S$ é um conjunto enumeravel e E,, E2,... 6 uma sequéncia de eventos disjuntos (i.e., E,N £; = @ parai# j), co co P(\J En) = 5> P(En). n=1 n=1 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 16 / 48 Axiomas da Probabilidade Axiomas da Probabilidade: Comentario Interpreta¸c˜oes dos axiomas em termos de frequˆencias relativas: 0 ≤ P(E) ≤ 1 equivale ao requerimento que a frequˆencia relativa deve estar entre 0 e 1. P(S) = 1 ´e consequˆencia de que algum dos resultados do espa¸co amostral ocorre em cada rodada do experimento. Propriedade (3) significa que se E1 e E2 n˜ao tiverem resultados em comum: frequˆencia relativa de E1 ∪ E2 ´e a soma das frequencias relativas de E1 e E2. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 17 / 48 Axiomas da Probabilidade Axiomas da Probabilidade: Exemplo Exemplo. Considere o experimento que consiste em lan¸car uma moeda uma vez. Ent˜ao S = {c, ˆc} o conjunto dos resultados possiveis (espa¸co amostral), representando cara por c e coroa por ˆc. ´E f´acil elencar todos os subconjuntos de S: ∅, {c}, {ˆc}, S. Conjunto das partes de S: P(S) = {∅, {c}, {ˆc}, S} ´e a cole¸c˜ao de eventos do nosso experimento aleat´orio. Se a moeda ´e honesta, ent˜ao P({c}) = 1 2, Sokol Ndreca (EST - UFMG) 18 / 48 Probabilidade ou medida de Probabilidade e A probabilidade P é uma fungéo P : P(S) + [0,1] que satisfaz os trés Axiomas. e Para cada evento E CS, P(E) € [0,1]. 19 / 48 Axiomas da Probabilidade Consequˆencia dos Axiomas Afirma¸c˜ao 1. P(∅) = 0 De fato, seja E um evento. Podemos escrever E = E ∪ ∅. Logo, pelo Axioma 3 P(E) = P(E ∪ ∅) = P(E) + P(∅), que implica P(∅) = 0. Afirma¸c˜ao 2. Para todo E ⊂ S, P(E) = 1 − P(Ec). De fato, 1 = P(S) = P(E ∪ Ec) = P(E) + PEc) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 20 / 48 Axiomas da Probabilidade Consequˆencia dos Axiomas Afirma¸c˜ao 3. Se E1 ⊂ E2, ent˜ao P(E1) ≤ P(E2) . Dado que E1 ⊂ E2, ent˜ao E2 = E1 ∪ (Ec 1 ∩ E2) e E1 ∩ (Ec 1 ∩ E2) = ∅. Logo, pelo Axiomas 3 e 2, P(E2) = P(E1 ∪ (Ec 1 ∩ E2)) = P(E1) + P(Ec 1 ∩ E2) ≥ P(E1). Sokol Ndreca (EST - UFMG) 21 / 48 Axiomas da Probabilidade Exemplo: Problema dos Aniversarios Exemplo. Um grupo de n pessoas est´a numa sala. Qual ´e a probabilidade de que pelo menos duas pessoas celebram aniversario no mesmo dia do ano? Para qual valor de n essa probabilidade ´e maior que 1 2. Solu¸c˜ao. Vamos ignorar aqui a possibilidade de algu´em ter nascido no dia 29 de fevereiro, o ano tem 365 dias. O espa¸co amostral cont´em contem (365)n elementos, i.e., |S| = (365)n, pois cada pessoa pode celebrar seu aniversario em qualquer dia do ano. Seja E o seguinte evento E =“pelo menos duas pessoas celebram aniversario no mesmo dia do ano”. Ent˜ao, P(E) = |E| |S| = 1 − P(Ec) = 1 − |Ec| |S| , onde o complementar do evento E ´e o evento Ec =“todos pessoas celebram aniversario em dias diferentes do ano”. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 22 / 48 Exemplo: Problema dos Aniversarios e@ Note que, |E°| = (365)(365 — 1) --- (365 — (n— 1)). De fato, pessoa “1” pode nascer em qualquer dia do ano, pessoa “2” pode nascer em qualquer dos outros 364 dias do ano, e assim por diante. Portanto, -1 ; 365)(365 — 1)--- (365 — 1 ‘7 365 — (365)” so 365 Logo, a probabilidade desejada é n—-1 : 365 —i P(E) =1- P(E) =1- —. (4) (2) II 365 7=0 Com ajuda de uma calculadora simples, encontramos que essa probabilidade é maior que 5; para n = 23. Isto é, se ha um grupo de pelo menos 23 pessoas, entao a probabilidade de que pelo menos duas delas fagam aniversario no mesmo dia do ano é maior que 5. 23 / 48 Axiomas da Probabilidade Exemplo: Problema dos Aniversarios Esse resultado ´e surpreendente, pois 23 (o n´umero de pessoas) parece ser muito pequeno em rela¸c˜ao ao 365, o numero de dias em um ano. Para um grupo de 50 pessoas, essa probabilidade ´e maior que 0,97 (cerca 0,9704) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 24 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Outline 1 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade 2 Axiomas da Probabilidade 3 Regras de Adi¸c˜ao 4 Probabilidade Condicional Sokol Ndreca (EST - UFMG) 25 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Regras de Adi¸c˜ao Eventos s˜ao gerados pela aplica¸c˜ao de opera¸c˜oes b´asicas de conjuntos a eventos individuais. As principais opera¸c˜oes: uni˜ao; interse¸c˜ao; complemento. A probabilidade de um evento pode frequentemente ser determinada a partir de probabilidades dos eventos individuais que o compreendem. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 26 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Exemplo 2-19: Pastilhas de Semicondutores A tabela a seguir lista a hist´oria de 940 pastilhas em um processo de fabrica¸c˜ao de semicondutores. Suponha que uma pastilha seja selecionada aleatoriamente. H = “a pastilha cont´em altos n´ıveis de contamina¸c˜ao” C =“a pastilha est´a no centro da ferramenta de recobrimento” P(H) = |H| |S| = 358 940; P(C) = |C| |S| = 626 940; P(H∩C) = |H ∩ C| |S| = 112 940, P(H ∪ C) = P(H) + P(C) − P(H ∩ C) = 358 + 626 − 112 940 = 872 940 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 27 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Probabilidade de uma Uni˜ao P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Prova. Note que o evento A ∪ B pode ser escrito como uni˜ao disjunto dos eventos A e Ac ∩ B, i.e., A ∪ B = A ∪ (Ac ∩ B). Pelo Axioma 3, P(A ∪ B) = P(A ∪ (Ac ∩ B)) = P(A) + P(Ac ∩ B). Ora, para encontrar P(Ac ∩ B), note que B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B), i.e., o evento B pode ser escrito como uni˜ao de dois eventos disjuntos A ∩ B e Ac ∩ B. De novo, pelo Axioma 3, P(B) = P((A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B)) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B), ou equivalentemente, P(Ac ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B). Sokol Ndreca (EST - UFMG) 28 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Se os eventos A e B s˜ao mutuamente excludentes ou disjuntos, i.e., A ∩ B = ∅, ent˜ao P(A ∩ B) = P(∅) = 0. Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 29 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Exemplo: Pastilhas de Semicondutores e Localiza¸c˜ao As pastilhas, tais quais aquelas descritas no Exemplo 2-19, foram classificadas mais ainda pelo grau de contamina¸c˜ao. A Tabela 2-2 mostra a propor¸c˜ao de pastilhas em cada categoria. Qual ´e a probabilidade de uma pastilha estar na borda ou conter quatro ou mais part´ıculas? Sokol Ndreca (EST - UFMG) 30 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Exemplo: Pastilhas de Semicondutores e Localiza¸c˜ao Seja E1 o evento em que uma pastilha contem quatro ou mais part´ıculas e E2 o evento em que uma pastilha est´a na borda. Ent˜ao a probabilidade requerida ´e P(E1∪E2) = P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2) = 0, 15+0, 28−0, 04 = 0, 39 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 31 / 48 Regras de Adi¸c˜ao Probabilidade de uma Uni˜ao: Trˆes ou mais Eventos P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) + P(C) − P((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) Probabilidade da uni˜ao trˆes eventos P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) −P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 32 / 48 Probabilidade de uma Uniao: Tres ou Mais Eventos e@ Vale o seguinte resultado em geral, conhecido como identidade da inclusao - exclusao: n n P(U Bi) =>) P(E) -— SO P(E: { ) Fiz) i=l i=l in<ie r tet (=D ST PP) Big) VW <1 << k=1 n $e (1) P(() Bi). i=l e Uma forma sucinta de escrever a identidade da inclusao-exclusao: n n Tr P\UJB)=So-1"* SO PCP) Bix): i=1 r=1 ty <dQ <0 <p k=1 33/48 Probabilidade de uma Uniao: ‘Trés ou Mais Eventos e@ Esse resultado para trés ou mais eventos é simplificado consideravelmente se eles forem mutuamente excludentes ou disjuntos. e O eventos £1, F2,...,E, sao ditos ser mutuamente excludentes se nao houver superposicao entre qualquer um deles, i.e., E,QNE;=2 para i¥j. Logo, nesse caso k P(UL Ei) = 5° P(E). i=1 34/48 Regras de Adi¸c˜ao Exemplo: pH de uma amostra Seja X o pH de uma amostra. Considere o evento em que X seja maior do que 6,5 e menor ou igual a 7,8. A probabilidade desse evento pode ser calculada como a soma de eventos mutuamente excludentes P(6, 5 < X ≤ 7, 8) = P(6, 5 < X ≤ 7, 0) + P(7, 0 < X ≤ 7, 5) +P(7, 5 < X ≤ 7, 8) ou P(6, 5 < X ≤ 7, 8) = P(6, 5 < X ≤ 6, 6) + P(6, 6 < X ≤ 7, 1) +P(7, 1 < X ≤ 7, 4) + P(7, 4 < X ≤ 7, 8) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 35 / 48 Probabilidade Condicional Outline 1 Interpreta¸c˜oes de Probabilidade 2 Axiomas da Probabilidade 3 Regras de Adi¸c˜ao 4 Probabilidade Condicional Sokol Ndreca (EST - UFMG) 36 / 48 Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Algumas vezes as probabilidades precisam ser reavaliadas `a medida que informa¸c˜oes adicionais se tornam dispon´ıveis. A probabilidade de um evento B, sabendo qual ser´a o resultado de um evento A, ´e denotada por P(B|A) e ´e chamada de probabilidade condicional de B dado A. Por exemplo, um canal digital de comunica¸c˜ao tem uma taxa de erro de um bit por mil transferidos. Erros s˜ao raros, mas quando ocorrem tendem a acontecer em explos˜ao que afetam muitos bits consecutivos. Se o bit anterior estivesse com erro, ´e esperado que a probabilidade de que o pr´oximo bit tamb´em ser com erro deve ser maior que 1/1000. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 37 / 48 Probabilidade Condicional Exemplo: Falhas na Superficie A Tabela 2-3 fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas na superf´ıcie e como defeituosos (funcionalmente) Sejam D =“um item ´e defeituoso” e F =“um item tem uma falha na superf´ıcie”. Por exemplo, dos itens com falhas na superf´ıcie (40 itens), o n´umero de itens defeituosos ´e 10. Logo, P(D|F) = 10 40 = 1 4. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 38 / 48 Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional: Defini¸c˜ao Probabilidade Condicional A probabilidade condicional de um evento B, dado um evento A, denotada por P(B|A) ´e P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) para P(A) > 0. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 39 / 48 Probabilidade Condicional Probabilidade como frequˆencia relativa Considere que todos resultados do experimento s˜ao igualmente prov´aveis. Se houver n resultados poss´ıveis P(A) = n´umero de resultados em A n P(A ∩ B) = n´umero de resultados em A ∩ B n Logo P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) = n´umero de resultados em A ∩ B n´umero de resultados em A P(B|A) ´e pode ser interpretado como a frequˆencia relativa do evento B entre as tentativas que produzem um resultado no evento A. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 40 / 48 Probabilidade Condicional A Tabela 2-3 fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas na superf´ıcie e como defeituosos. Seja D o evento em que um item seja defeituoso e F o evento em que um item tenha uma falha na superf´ıcie. Logo, P(D|F) = P(D ∩ F) P(F) = 10/400 40/400 = 1 4, P(F|D) = P(F ∩ D) P(D) = 10/400 28/400 = 10 28. Note que: P(D) = 7 100 e P(D|F) = 1 4 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 41 / 48 Probabilidade Condicional Diagrama em forma de Arvore O diagrama em forma de ´arvore pode tamb´em ser usado para calcular as probabilidades condicionais. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 42 / 48 Probabilidade Condicional Amostras Aleat´orias e Probabilidade Condicional Lembre-se que selecionar um item aleatoriamente proveniente de uma batelada significa que cada item ´e igualmente prov´avel. Se mais de um item for selecionado aleatoriamente, implica que que cada elemento do espa¸co amostral ´e igualmente prov´avel. Por exemplo, se dois itens forem selecionados aleatoriamente de uma batelada {a, b, c}, sem reposi¸c˜ao, cada um dos seis resultados em um espa¸co amostral ordenado {ab, ac, ba, bc, ca, cb} tem probabilidade igual a 1/6. cada um dos trˆes resultados em um espa¸co amostral desordenado {ab, ac, bc, } tem probabilidade igual a 1/3. Se uma amostra ´e selecionada aleatoriamente a partir de uma batelada grande? Nesse caso, em geral, ´e mais simples evitar a numera¸c˜ao do espa¸co amostral e calcular probabilidades a partir de probabilidades condicionais. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 43 / 48 Probabilidade Condicional Amostragem Evitando a Numera¸c˜ao Exemplo: Suponha que em uma batelada contenha: 10 itens da ferramenta 1 40 da ferramenta 2. Se dois itens s˜ao selecionados aleatoriamente, sem reposi¸c˜ao, qual a probabilidade condicional de um item da ferramenta 2 seja selecionado (E2), dado que um item da ferramenta 1 tenha sido selecionado (E1) primeiro? Um item da ferramenta 1 ´e retirado, sobram 49 itens: 9 da ferramenta 1, 40 da ferramenta 2, logo P(E2|E1) = 40 49 . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 44 / 48 Probabilidade Condicional Exemplo: Podemos calcular tamb´em a probabilidade de selecionarmos um par de itens no qual o primeiro vem da ferramenta 1 e o segundo da ferramenta 2. Temos ent˜ao que como P(E2|E1) = P(E1 ∩ E2) P(E1) ent˜ao P(E1 ∩ E2) = P(E2|E1)P(E1) = 40 49 10 50 = 8 49 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 45 / 48 Probabilidade Condicional Amostras Aleat´orias Amostras Aleat´orias Selecionar aleatoriamente implica que, em cada etapa da amos- tragem, os itens que permanecem na batelada s˜ao igualmente prov´aveis de serem selecionados. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 46 / 48 Probabilidade Condicional Exemplo 2-24 Uma produ¸c˜ao di´aria de 850 pe¸cas fabricadas cont´em 50 pe¸cas que n˜ao satisfazem as exigˆencias dos consumidores. Duas pe¸cas s˜ao selecionadas aleatoriamente, sem reposi¸cao, a partir da batelada. Qual ´e a probabilidade de que a segunda pe¸ca seja defeituosa, dado que a primeira pe¸ca ´e defeituosa? Solu¸cao: Seja A o evento em que a primeira pe¸ca selecionada ´e defeituosa e seja B o evento em que a segunda pe¸ca selecionada ´e defeituosa. Entao a probabilidade desejada ´e P(B|A) = 49 849 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 47 / 48 Probabilidade Condicional Exemplo 2-24: Continua¸c˜ao Ora, se trˆes pe¸cas forem selecionadas aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de que as duas primeiras pe¸cas sejam defeituosas e a terceira seja n˜ao defeituosa? P(ddn) = 50 850 49 849 800 848 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 48 / 48