Slide - Espaço Amostral e Eventos 2022-2

Espa¸co Amostral e Eventos Sokol Ndreca Departamento de Estat´ıstica Instituto de Ciˆencias Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Sokol Ndreca (EST - UFMG) 1 / 40 1 Experimentos Aleat´orios 2 Espa¸cos Amostrais 3 Eventos 4 T´ecnicas de Contagem Sokol Ndreca (EST - UFMG) 2 / 40 Nota Esses slides foram preparados para a disciplina EST027. O conte´udo deles ´e baseado no Livro-texto: Montgomery, D. C., Runger, G. C. Estat´ıstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5a Ed., LTC. Deixo claro que esse material n˜ao substitui a consulta do livro texto. Qualquer corre¸c˜ao, sugest˜ao ou critica ser´a sempre bem vinda. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 3 / 40 Experimentos Aleat´orios Outline 1 Experimentos Aleat´orios 2 Espa¸cos Amostrais 3 Eventos 4 T´ecnicas de Contagem Sokol Ndreca (EST - UFMG) 4 / 40 Experimentos Aleat´orios Experimentos aleat´orios Se medimos a corrente em um fio fino de cobre, estamos conduzindo um experimento. Em repeti¸c˜oes di´arias dessas medidas, os resultados poder˜ao diferir levemente. Isso pode ocorrer por causa de varia¸c˜oes em vari´aveis que n˜ao estamos controlando, como: varia¸c˜oes na temperatura; varia¸c˜oes nos medidores; impurezas na composi¸c˜ao qu´ımica do fio. Dizemos ent˜ao que esse experimento tem um componente aleat´orio. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 5 / 40 Experimentos Aleat´orios Experimentos aleat´orios N˜ao importa qu˜ao cuidadosamente o experimento tenha sido planejado, a varia¸c˜ao est´a quase sempre presente. Sua magnitude pode ser t˜ao grande que as conclus˜oes do experimento podem n˜ao ser t˜ao ´obvias. Experimento aleat´orio Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, mesmo sendo repetido toda vez da mesma maneira, ´e cha- mado de um experimento aleat´orio. Precisamos ent˜ao de m´etodos para modelar e analisar os resultados desses experimentos. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 6 / 40 Experimentos Aleat´orios Experimentos aleat´orios Nosso objetivo ´e compreender, quantificar e modelar o tipo de varia¸c˜ao que afeta o comportamento de um sistema f´ısico. Um modelo (ou abstra¸c˜ao) matem´atico do sistema f´ısico ´e desenvolvido. O modelo ´e usado para entender, descrever e quantificar aproximadamente aspectos importantes do sistema fisico e prever a resposta do sistema `a alimenta¸cao de dados (inputs). Sokol Ndreca (EST - UFMG) 7 / 40 Espa¸cos Amostrais Outline 1 Experimentos Aleat´orios 2 Espa¸cos Amostrais 3 Eventos 4 T´ecnicas de Contagem Sokol Ndreca (EST - UFMG) 8 / 40 Espa¸cos Amostrais Espa¸cos Amostrais Para modelar e analisar um experimento aleat´orio devemos entender o conjunto de resultados poss´ıveis de um experimento. Esse conjunto de resultados poss´ıveis ´e chamado de espa¸co amostral. Espa¸co Amostral O conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um experimento aleat´orio ´e chamado de espa¸co amostral do experimento. O espa¸co amostral ´e denotado por S. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 9 / 40 Espa¸cos Amostrais Exemplos de espa¸co amostral A seguir, temos alguns exemplos de espa¸co amostral: 1 Se o experimento consiste em lan¸car uma moeda uma vez sobre uma superf´ıcie plana, ent˜ao o espa¸co amostral ´e o conjunto: S = {c, ˆc}, representando cara por c e coroa por ˆc. 2 Se o experimento consiste em lan¸car um dado uma vez, ent˜ao o espa¸co amostral ´e o conjunto: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3 Se o experimento consiste em lan¸car duas moedas uma vez, ent˜ao o espa¸co amostral ´e o conjunto: S = {(c, c), (c, ˆc), (ˆc, c), (ˆc, ˆc)}. 4 Se o experimento consiste em lan¸car dois dados, ent˜ao o espa¸co amostral ´e o conjunto: S = {(i, j)|i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 5 Se o experimento consiste em observar o n´umero de chamadas telefˆonicas que chegam a uma central durante um determinado intervalo de tempo, ent˜ao o espa¸co amostral ´e o conjunto: S = {0, 1, 2, . . . }. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 10 / 40 Espa¸cos Amostrais Exemplos de espa¸co amostral 1 Se o experimento consiste em medir a espessura de uma pe¸ca pl´astica moldada (tal como conector), ent˜ao o espa¸co amostral ´e o conjunto: S = R+ = {x ∈ R|x > 0} = (0, ∞). Se sabemos que todas pe¸cas tem espessura entre 10 e 11 mil´ımetros, podemos definir S = {x ∈ R|10 < x < 11} Se queremos considerar apenas o fato da pe¸ca ter espessura baixa, m´edia ou alta, pode-se considerar S = {baixa, m´edia, alta} Se queremos avaliar se a pe¸ca obedece ou n˜ao a determinadas especifica¸c˜oes podemos dizer que S = {sim, n˜ao} que indica se as pe¸cas obedecem ou n˜ao. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 11 / 40 Espa¸cos Amostrais Tipos de espa¸cos amostrais Espa¸co Amostrais Discretos e Continuos Um espa¸co amostral ´e discreto se ele consiste em um conjunto finito ou enumer´avel (infinito contavel) de resultados. Um espa¸co amostral ´e continuo se ele consiste em um conjunto n˜ao-enumer´avel de resultados. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 12 / 40 Espa¸cos Amostrais Exemplo 2-2: Se dois conectores s˜ao selecionados e medidos, o espa¸co amostral ser´a o primeiro quadrante do plano S = R+ × R+ Se o objetivo da analise for considerar apenas o fato de pe¸cas obedecerem ou n˜ao `as especifica¸c˜oes de fabrica¸c˜ao, cada pe¸ca pode ou n˜ao obedecer. Abreviamos sim e n˜ao para s e n. Ent˜ao S = {(s, s), (s, n), (n, s), (n, n)} Se estivermos interessados apenas no n´umero de pe¸cas conformes na amostra S = {0, 1, 2} Considere um experimento em que a espessura ´e medida at´e que o conector n˜ao satisfa¸ca as especifica¸c˜oes. Ent˜ao, S = {n, sn, ssn, sssn, e assim por diante} Sokol Ndreca (EST - UFMG) 13 / 40 Espa¸cos Amostrais Espa¸co amostral definido por um diagrama de ´arvore Espa¸cos amostrais podem ser descritos graficamente com diagramas em forma de ´arvore. Quando um espa¸co amostral puder ser constru´ıdo em varias etapas, podemos representar cada uma das n1 maneiras de completar a primeira etapa como um ramo de uma ´arvore. Cada uma das maneiras de completar a segunda etapa pode ser representada por n2 ramos, come¸cando das extremidades dos ramos originais, e assim por diante. Diagrama em forma de ´arvore O diagrama em forma de ´arvore exibe todos os resultados poss´ıveis (i.e., espa¸co amostral) de um experimento aleat´orio. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 14 / 40 Espa¸cos Amostrais Espa¸co amostral definido por um diagrama de ´arvore: Exemplo Cada mensagem em um sistema digital de comunica¸c˜ao ser´a classificada dependendo de ela ser recebida dentro de um tempo especificado pelo sistema. Se trˆes mensagens s˜ao classificadas, temos o seguinte diagrama de arvore para representar o espa¸co amostral: Sokol Ndreca (EST - UFMG) 15 / 40 Espa¸cos Amostrais Espa¸co amostral definido por um diagrama de ´arvore Cada mensagem pode ser recebida em tempo(1) ou atrasada(0). Ent˜ao S = {000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111}, i.e., que os resultados poss´ıveis podem ser mostrados por meio dos oito ramos no diagrama. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 16 / 40 Eventos Outline 1 Experimentos Aleat´orios 2 Espa¸cos Amostrais 3 Eventos 4 T´ecnicas de Contagem Sokol Ndreca (EST - UFMG) 17 / 40 Eventos Eventos s˜ao conjuntos de resultados Considere um experimento aleat´orio. Frequentemente estamos interessados em uma cole¸c˜ao de resultados relacionados (i.e., uma cole¸c˜ao de resultados poss´ıveis do experimento). Resultados relacionados podem ser descritos por subconjuntos do espa¸co amostral. Evento Um evento ´e um subconjunto do espa¸co amostral de um ex- perimento aleat´orio. Em outras palavras, um evento ´e um conjunto formado pelos poss´ıveis resultados de um experimento aleat´orio. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 18 / 40 Eventos Exemplo de Eventos Exemplo: Considere o experimento que consiste em lan¸car um dado e observar o numero da face superior, temos alguns exemplos de eventos: E = “observa-se um numero impar”= {1, 3, 5}; F = “observa-se um numero maior igual a 3”= {3, 4, 5, 6}; G = “observa-se um numero maior que 6”= ∅ Sokol Ndreca (EST - UFMG) 19 / 40 Eventos Opera¸c˜oes com eventos Podemos estar interessados em novos eventos a partir de combina¸c˜oes dos eventos existentes. Como eventos s˜ao subconjuntos, podemos usar opera¸c˜oes b´asicas de conjuntos para formar outros eventos de interesse. As principais opera¸c˜oes: uni˜ao; interse¸c˜ao; complemento. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 20 / 40 Eventos Opera¸c˜oes com Eventos: Uni˜ao Uni˜ao de dois eventos Para quaisquer dois eventos E1 e E2, definimos o novo evento E1 ∪ E2 que consiste em todos os resultados que est˜ao contidos em E1 ou E2 ou em E1 e E2 simultaneamente. O evento E1 ∪ E2 ´e chamado de uni˜ao dos eventos E1 e E2 E1 ∪ E2 = {x ∈ S|x ∈ E1 ou x ∈ E2} Sokol Ndreca (EST - UFMG) 21 / 40 Eventos Opera¸c˜oes com Eventos: Interse¸c˜ao Interse¸c˜ao de dois eventos Para quaisquer dois eventos E1 e E2, definimos o novo evento E1 ∩ E2 que consiste em todos os resultados que est˜ao contidos em E1 e E2 simultaneamente. O evento E1 ∩ E2 ´e chamado de interse¸c˜ao dos eventos E1 e E2 E1 ∩ E2 = {x ∈ S|x ∈ E1 e x ∈ E2} Se E1 ∩ E2 = ∅, ent˜ao dizemos que E1 e E2 s˜ao eventos mutuamente excludentes ou disjuntos. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 22 / 40 Eventos Opera¸c˜oes com Eventos: Complemento Complemento de um evento Para qualquer evento E, definimos o novo evento Ec que consiste em todos os resultados do espa¸co amostral que n˜ao est˜ao contidos em E. O evento Ec ´e chamado de complemento do evento E. Ec = {x ∈ S|x /∈ E} Sokol Ndreca (EST - UFMG) 23 / 40 Eventos Exemplo: Considere o espa¸co amostral do Exemplo 2-2 S = {(s, s), (s, n), (n, s), (n, n)} . Seja E1 o subconjunto dos resultados para os quais no m´ınimo uma pe¸ca ´e conforme E1 = {(s, s), (s, n), (n, s)} . Seja E2 o subconjunto dos resultados para os quais no m´ınimo uma pe¸ca ´e n˜ao-conforme E2 = {(s, n), (n, s), (n, n)} . Ent˜ao E1 ∪ E2 = S, E1 ∩ E2 = {(s, n), (n, s)} e Ec 1 = {(n, n)} . Sokol Ndreca (EST - UFMG) 24 / 40 Eventos Exemplo: Medidas de espessura de um conector pl´astico podem ser modeladas com o espa¸co amostral S = R+. Seja E1 = {x|10 ≤ x < 12} e E2 = {x|11 < x < 15}. Ent˜ao, E1 ∪ E2 = {x|10 ≤ x < 15} E1 ∩ E2 = {x|11 < x < 12} Ec 1 = {x|x < 10 ou x ≥ 12} Sokol Ndreca (EST - UFMG) 25 / 40 Eventos Diagramas de Venn Podemos usar diagramas de Venn para: representar um espa¸co amostral e eventos em um espa¸co amostral; descrever rela¸c˜oes entre eventos. Figura: Diagramas de Venn Sokol Ndreca (EST - UFMG) 26 / 40 Eventos Leis de opera¸c˜oes entre eventos As opera¸c˜oes de forma¸c˜ao de uni˜oes, interse¸c˜oes e complementos de eventos obedecem a certas regras similares `as regras de ´algebra, i.e., Pela defini¸c˜ao de complemento (Ec)c = E Lei comutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Lei associativa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 27 / 40 Eventos Leis de opera¸c˜oes entre eventos Lei distributiva (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) Sokol Ndreca (EST - UFMG) 28 / 40 Eventos Leis de opera¸c˜oes entre eventos Lei de DeMorgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc e (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (∪n i=1Ai)c = ∩n i=1Ac i e (∩n i=1Ai)c = ∪n i=1Ac i Sokol Ndreca (EST - UFMG) 29 / 40 T´ecnicas de Contagem Outline 1 Experimentos Aleat´orios 2 Espa¸cos Amostrais 3 Eventos 4 T´ecnicas de Contagem Sokol Ndreca (EST - UFMG) 30 / 40 T´ecnicas de Contagem Introdu¸c˜ao Muitos problemas de probabilidade podem ser resolvidos simplesmente contando o n´umero de elementos de um certo evento. Em muitos exemplos que vimos ´e f´acil determinar o n´umero de resultados em cada evento. Em exemplos mais complicados podem ser necess´arias algumas t´ecnicas de contagem. Essas tecnicas s˜ao: Regra da multiplica¸c˜ao ou principio b´asico da contagem Permuta¸c˜oes Combina¸c˜oes Sokol Ndreca (EST - UFMG) 31 / 40 T´ecnicas de Contagem Regra da Multiplica¸c˜ao Regra da Multiplica¸c˜ao ou Principio B´asico da Contagem Considere uma opera¸c˜ao que possa ser descrita como uma sequen- cia de k etapas e o n´umero de maneiras de completar a etapa 1 for n1; e o n´umero de maneiras de completar a etapa 2 for n2 para cada maneira de completar a etapa 1; e o n´umero de maneiras de completar a etapa 3 for n3 para cada maneira de completar a etapa 1 e 2; e assim por diante Ent˜ao, o n´umero total de maneiras de completar a opera¸c˜ao ser´a n1 × n2 × · · · × nk Sokol Ndreca (EST - UFMG) 32 / 40 T´ecnicas de Contagem Regra da Multiplica¸c˜ao: Exemplo Exemplo: Quantas diferentes placas de autom´ovel com 7 caracteres s˜ao poss´ıveis se os trˆes primeiros campos s˜ao ocupados por letras e os 4 campos finais por n´umeros? Pela regra da multiplica¸c˜ao o resultado ´e 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 Se a repeti¸c˜ao fosse proibida? 26 · 25 · 24 · 10 · 9 · 8 · 7 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 33 / 40 T´ecnicas de Contagem Permuta¸c˜oes Exemplo: Quantos diferentes arranjos ordenados dos elementos do conjunto S = {a, b, c} s˜ao poss´ıveis? Por enumera¸c˜ao direta ´e f´acil ver que s˜ao 6, i.e., abc, acb, bac, bca, cab, cba. Permuta¸c˜oes Uma permuta¸c˜ao de elementos de um conjunto S ´e uma sequˆencia ordenada dos elementos de S. Se |S| = n, ent˜ao o n´umero de permuta¸c˜oes dos elementos de S ´e n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 1. Permuta¸c˜oes Coloca-se na primeira posi¸c˜ao um dos n elementos. Seleciona-se para segunda posi¸c˜ao um dentre os n − 1 restantes. E assim sucessivamente. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 34 / 40 T´ecnicas de Contagem Permuta¸c˜oes de subconjuntos Estamos frequentemente interessados em determinar o n´umero de subconjuntos de r elementos que podem ser formados a partir de um conjunto de n elementos (r < n). Aqui, a ordem ´e importante. Exemplo: Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos n´umeros de 3 algarismos distintos podem ser formados? =⇒ Pela regra da multiplica¸cao o resultado ´e 5 · 4 · 3 Permuta¸c˜oes de subconjuntos O n´umero de permuta¸c˜oes de subconjuntos de r elementos seleci- onados de um conjunto de n elementos ´e P n r = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × (n − r + 1) = n! (n − r)! Sokol Ndreca (EST - UFMG) 35 / 40 T´ecnicas de Contagem Exemplo: Uma placa de circuito impresso tem oito localiza¸c˜oes diferentes em que um componente pode ser colocado. Se quatro componentes distintos s˜ao colocados na placa, quantos projetos diferentes s˜ao poss´ıveis? Usando a formula de permuta¸c˜ao de subconjuntos para n = 8, r = 4, obtemos P 8 4 = 8! (8 − 4)! = 1680 Precisamos selecionar uma localiza¸c˜ao entre as 8 para a primeira componente. Uma localiza¸c˜ao dentre as sete restantes para a segunda e assim por diante. O n´umero de projetos poss´ıveis ´e dado por P 8 4 = 8 × 7 × 6 × 5 = 8! 4! Sokol Ndreca (EST - UFMG) 36 / 40 Combinacoes e Estamos interessados em determinar o numero de subconjuntos de r elementos que podem ser formados a partir de um conjunto de n elementos, r <n. Nesse caso, a ordem nao é importante. e Exemplo: Quantos subconjuntos de 3 elementos possui o conjunto S = {1,2,3,4,5}? R. 5:4-3 5-4-3-2!) © 5! 3! 3K(5— 3)! 315 — 3)! OfoyanlernaeeKeeles) O ntimero de combinacoes, subconjuntos de tamanho r, que pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos, é denotado como (”) ou C? n n! Cx = DS OO " (") (n—r)!r! Sokol Ndreca (EST - UFMG) 37/40 T´ecnicas de Contagem Exemplo: Um componente pode ser colocado em oito localiza¸c˜oes diferentes em uma placa de circuito impresso. Se cinco componentes idˆenticos forem colocados na placa, quantos projetos diferentes s˜ao poss´ıveis? Cada projeto ´e um subconjunto das oito localiza¸c˜oes que devem conter os componentes, i.e., a ordem dos componentes n˜ao ´e relevante. Portanto, o n´umero total de projetos ´e C8 5 = 8! 5!3! Sokol Ndreca (EST - UFMG) 38 / 40 Amostragem sem reposicao e Um silo de 50 itens sao fabricados contem 3 itens defeituosos e 47 sao nao defeituosos. Uma amostra de 6 itens é selecionada a partir dos 50 itens sem reposicao. Quantas amostras de tamanho 6 que contem exatamente 2 itens defeituosos existem? e Primeiro selecionamos 2 dos 3 itens defeituosos 3 2 e Depois selecionamos 4 dentre os 47 itens nao defeituosos 47 4 e O numero total de possibilidades, usando a regra da multiplicacao é dado por 3 x AT 2 4 39/40 T´ecnicas de Contagem Permuta¸c˜oes de objetos similares Algumas vezes estamos interessados em contar o n´umero de sequˆencias ordenadas de objetos que n˜ao s˜ao todos diferentes. Permuta¸c˜oes de objetos similares O n´umero de permuta¸c˜oes de n = n1 + n2 + · · · + nr objetos dos quais n1, n2, . . . , nr s˜ao identicos ´e n! n1!n2! · · · nr! Exemplo: Um item ´e codificado pela impress˜ao de 4 linhas espessas, 3 linhas m´edias e 2 linhas finas. Se cada ordena¸c˜ao das 9 linhas representa um c´odigo diferente, quantos c´odigos diferentes podem ser gerados pelo uso desse esquema? Usando a formula de permuta¸c˜oes de objetos similares, o numero de c´odigos poss´ıveis dos itens ´e 9! 4!3!2!. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 40 / 40