Slide - Solicitações Tangenciais Na Flexão - Concreto Armado 1 - 2023-1

EES150 Concreto Armado I Solicitações Tangenciais na Flexão Prof. Leandro Lopes da Silva leandro@dees.ufmg.br Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Versão 01 Solicitações Tangenciais na Flexão Introdução Em geral, sob flexão, a seção transversal de uma peça está submetida, além das tensões normais decorrentes do esforço normal e/ou do momento fletor, a tensões de cisalhamento decorrentes dos esforços cortantes. CG As h d b σcc σtc Rcc Rct 𝑧 = 2 3h τ0 (Estádio I) fc Rcc Rst z (Estádio III) LN x λx Solicitações Tangenciais na Flexão Introdução No “Estádio I”, em que se considera a seção bruta de concreto, desconsiderando- se a presença da armadura, tem-se: τ = V Q bI ∴ τmáx = τ0 = V Q0 bI (1) Uma vez que, para seções retangulares, I = bh3 12 e Q0 = bh2 8 ; tem-se: I Q0 = 2 3h = z ∴ τ0 = V bz (2) O dimensionamento estrutural se dá no “Estádio III”, em que não é válida a Eq. (1). No entanto, a Eq. (2) pode ser adotada, desde que se considere z igual ao definido no dimensionamento às tensões normais (vide figura). z = d − λ 2 x = Kzd Conforme a NBR 6118:2014, por simplificação, adota-se um valor médio para Kz, isto é, Kz = 0, 9. Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral As condições preconizadas pela NBR 6118:2014 para o dimensionamento ao cisalhamento pressupõem uma analogia com um modelo de treliça de banzos paralelos (treliça de Mörsch), admitindo-se dois modelos de cálculo a saber, função da inclinação θ das “bielas” de compressão: • Modelo de Cálculo I: θ = 45o • Modelo de Cálculo II: 30o ≤ θ ≤ 45o z Vd Vd banzo comprimido h d Vd Vd θ α ac banzo tracionado diagonal tracionada (aço) diagonal comprimida (concreto) (biela de compressão) ac = z · (cotgθ + cotgα) Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Do equilíbrio dos nós, definem-se: θ Vd Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Do equilíbrio dos nós, definem-se: θ Vd Fc Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Do equilíbrio dos nós, definem-se: θ Vd Fc Força na biela comprimida (Fc): Fc · senθ = Vd ∴ Fc = Vd senθ Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Do equilíbrio dos nós, definem-se: θ Vd α θ Fc Fc Força na biela comprimida (Fc): Fc · senθ = Vd ∴ Fc = Vd senθ Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Do equilíbrio dos nós, definem-se: θ Vd α θ Fc Fc Fs Força na biela comprimida (Fc): Fc · senθ = Vd ∴ Fc = Vd senθ Força na diagonal tracionada (Fs): Fc · senθ = Fs · senα ∴ Vd senθ · senθ = Fs · senα ∴ Fs = Vd senα Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral A resistência da peça ao cisalhamento é verificada avaliando-se a ruína por esmagamento da biela comprimida e a ruptura da diagonal tracionada, isto é, da armadura transversal (dimensionamento). Por hipótese, Fc atua em uma área de concreto dada por: Fc θ ac b Ac = b · h0 em que h0 = ac · senθ Logo, a tensao na biela comprimida de concreto pode ser calculada por > _ Fe _ Va/send Va “Ae bac: sen0 b-z-(cotg@+cotga)- sen26 Fazendo-se z = 0, 9d o- 1,11 + Twa “~~ (cotg@ + cotga)- sen? em que Va ~ : : Twd = DG — tensdao convencional de cisalhamento (nao tem significado fisico) Para se evitar o esmagamento da biela de compressao, a tensao o. deve ser limitada pela resisténcia a compressao reduzida (fea), dada por (CEB/90) fear = 0,6- ( — Fy) : fea = 0,6- ave: fea com f.. em MPa. Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Logo, σc ≤ fcdr ∴ 1, 11 · τwd (cotgθ + cotgα) · sen 2θ ≤ 0, 6 · αv2 · fcd ∴ τwd ≤ 0, 54 · αv2 · fcd · (cotgθ + cotgα) · sen 2θ ∴ τwd ≤ τwd2 em que τwd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · (cotgθ + cotgα) · sen 2θ (tensão convencional de cisalhamento resistente) Embora, na treliça idealizada, as digonais distem de um valor ac, na prática, as armaduras transversais (estribos e/ou barras dobradas) devem apresentar um espaçamento inferior (S), para evitar o surgimento de fissuras: ac diagonais tracionadas modelo idealizado ac disposição real S armadura transversal Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral A área total de armadura transversal no trecho ac é dada por As = ac S · Asw1 em que Asw1 → área da seção transversal de uma barra transversal (no caso de estribos, considerando-se todos os seus ramos) Considerando-se a armadura transversal trabalhando em escoamento, isto é, fywd, e admitindo-se “mecanismos resistentes complementares” ao da treliça idealizada (NBR 6118:2014) representados por um componente adicional, Vc, FsReduzido ≤ As · fywd ∴ Vd − Vc senα ≤ ac S · Asw1 · fywd ∴ Asw1 S ≥ Vd − Vc fywd · ac · senα ∴ Solicitações Tangenciais na Flexão Formulação Geral Asw1 S ≥ Vd − Vc fywd · z · (cotgθ + cotgα) · senα ∴ Fazendo-se z = 0, 9d Asw1 S ≥ Vd − Vc fywd · (0, 9d) · (cotgθ + cotgα) · senα ∴ Multiplicando-se e dividindo-se o lado direito por b, Asw1 S ≥ 1, 11 · (τwd − τc) · b fywd · (cotgθ + cotgα) · senα em que τc = Vc b · d → tensão convencional de cisalhamento referente aos “mecanismos resistentes complementares” Finalmente, fazendo-se S = 100 cm, determina-se a área de aço para a armadura transversal, Asw, em 1 m do elemento estrutural, isto é Asw ≥ 100 × 1, 11 · (τwd − τc) · b fywd · (cotgθ + cotgα) · senα (cm2/m) Solicitações Tangenciais na Flexão Modelo de Cálculo I O Modelo de Cálculo I considera bielas de compressão inclinadas de θ = 45o e que a parcela complementar Vc tem valor constante, independente de Vd. (A) Verificação da ruína por esmagamento da biela comprimida τwd ≤ τwd2 em que τwd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · (cotgθ + cotgα) · sen 2θ sendo αv2 = 1 − fck 250 c/ fck em MPa _ Logo, para θ = 45o, tem-se: τwd2 = 0, 27 · αv2 · fcd · (1 + cotgα) Particularizando para armaduras transversais (estribos e/ou barras dobradas) inclinadas de α = 90o e α = 45o, tem-se _ para α = 90o: τ 90o wd2 = 0, 27 · αv2 · fcd _ para α = 45o: τ 45o wd2 = 0, 54 · αv2 · fcd (B) Calculo da armadura transversal 1,11- (Twa — Te) +6 Agu > 100 x ——P Hwa = te) (cm?/m) Suwa: (cotgé + cotga) - sena No Modelo de Calculo |, V. é constante, independente de Vz, e dado por: _v.=0 nos elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da secao; _ Ve = Veo na flexao simples e na flexo-tragao com a linha neutra cortando a segao; Ve = Veo (1 + ww) < Wey na flexo-compressao. ~ Maymax em que Veg = 0,6- feta: b-d = Teg + b-d sendo feta _ fetk,inf _ 0, Thetym . Teo = 0,6 . 0, Thet,m _ 0, 42 . fet,m Ye Ye Ye Ye Solicitações Tangenciais na Flexão Modelo de Cálculo I (B) Cálculo da armadura transversal M0 é o valor do momento fletor que anula, na borda da seção tracionada por Md,máx, a tensão normal de compressão provocada pelo esforço normal, N, sendo essa tensão calculada com valor de γf igual a 1,0, isto é, M0 = σ(N) · Ic/yt; Md,máx é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise. _ Logo, para θ = 45o, tem-se: Asw ≥ 100× 1, 11 · (τwd − τc) · b fywd · (1 + cotgα) · senα (cm2/m) Particularizando para armaduras transversais (estribos e/ou barras dobradas) inclinadas de α = 90o e α = 45o, tem-se _ para α = 90o: A90o sw ≥ 100 × 1, 11 · (τwd − τc) · b fywd (cm2/m) _ para α = 45o: A45o sw ≥ 100 × 0, 785 · (τwd − τc) · b fywd (cm2/m) Solicitações Tangenciais na Flexão Modelo de Cálculo II O Modelo de Cálculo II considera bielas de compressão com inclinação θ variando de 30o a 45o e que a parcela complementar Vc é função de Vd. (A) Verificação da ruína por esmagamento da biela comprimida τwd ≤ τwd2 em que τwd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · (cotgθ + cotgα) · sen 2θ sendo αv2 = 1 − fck 250 c/ fck em MPa Particularizando para armaduras transversais (estribos e/ou barras dobradas) inclinadas de α = 90o e α = 45o, sendo 30o ≤ θ ≤ 45o, tem-se _ para α = 90o: τ 90o wd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · cotgθ · sen 2θ _ para α = 45o: τ 45o wd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · (cotgθ + 1) · sen 2θ (B) Calculo da armadura transversal 1,11- (twa —-Te) > Agw > 100 x — LU wa = Te) (cm?/m) fyuwa + (cotg@ + cotga) - sena No Modelo de Calculo II, V. é fungao de Va (ou seja, de twa), e dado por: _v.=0 nos elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da secao; _ Ve = Ve, na flexao simples e na flexo-tragao com a linha neutra cortando a segao; Ve = Vey (1 + i) < 2Ve, na flexo-compressao. ~ Maymax em que V2, = 7, -b-d sendo Tc, = Tey = 0,42 - fam para Twa < Teo} Te, =0 Para Twd = Twa2} interpolando-se linearmente para valores intermediarios. Solicitações Tangenciais na Flexão Modelo de Cálculo II (B) Cálculo da armadura transversal τc1 τc0 τc0 τwd τwd2 𝜏𝑐1 = 𝜏𝑐0 1 − 𝜏𝑤𝑑−𝜏𝑐0 𝜏𝑤𝑑2−𝜏𝑐0 Particularizando para armaduras transversais (estribos e/ou barras dobradas) inclinadas de α = 90o e α = 45o, sendo 30o ≤ θ ≤ 45o, tem-se _ para α = 90o: A90o sw ≥ 100 × 1, 11 · (τwd − τc) · b fywd · cotgθ (cm2/m) _ para α = 45o: A45o sw ≥ 100 × 1, 570 · (τwd − τc) · b fywd · (cotgθ + 1) (cm2/m) Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Vigas i − Armadura transversal mínima Asw,mín = 100 × 0, 2 · fct,m · senα · b fywk = ρw,mín · b (cm2/m) em que fywk é a resistência característica ao escoamento da armadura transversal. ii − Resistência de cálculo ao escoamento da armadura transversal fywd = fywk γs p/ estribos ≤ 43, 5 kN/cm2, mesmo se CA-60 fywd = 70%fywk γs p/ barras dobradas ≤ 43, 5 kN/cm2, mesmo se CA-60 iii − Diâmetro da armadura transversal (ϕt) 5 mm ≤ ϕt ≤ b/10 Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Vigas iv − Espaçamento máximo de estribos _ se τwd ≤ 0, 67τwd2 → Smax = 0, 6d ≤ 30 cm _ se τwd > 0, 67τwd2 → Smax = 0, 3d ≤ 20 cm v − Ancoragem de estribos A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos e/ou barras longitudinais soldadas. Os ganchos dos estribos podem ser: a) semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de com- primento igual a 5ϕt, porém não inferior a 5 cm; b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10ϕt, porém não inferior a 7 cm. Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Vigas vi − Emprego de barras dobradas A armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos ou pela com- binação de estribos e barras dobradas, entretanto, essas últimas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura. vii − Espaçamento máximo de barras dobradas Smax = 0, 6d (1 + cotgα) em que α é o ângulo de inclinação da barra dobrada. viii − Ancoragem de barras dobradas No caso de barras dobradas, o trecho reto de ancoragem deve ser maior ou igual ao comprimento de ancoragem necessário, lb,nec, calculado conforme será discutido nas Notas de Aula da Unidade 6, referente à ancoragem de barras longitudinais de vigas. Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Vigas ix − Cargas próximas aos apoios: redução dos esforços cortantes Observa-se por meio de experimentos que a tensão na armadura transversal próxima aos apoios do elemento estrutural em análise é menor que aquela considerada pelo modelo idealizado. Desta forma, para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (a carga e a reação de apoio aplicadas em faces opostas do elemento estru- tural, comprimindo-o), a NBR 6118:2014 permite que se reduza os esforços cortantes na região dos apoios quando ocorrem os seguintes casos de car- gas próximas aos apoios: a) carga distribuída; b) carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo teórico do apoio. As reduções dos esforços cortantes são calculadas como se segue. Obs.: Essas reduções não se aplicam à verificação da biela comprimida, somente ao cálculo da armadura transversal. Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Vigas (a) a força cortante oriunda de carga distribuída, p, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, pode ser considerada constante e igual à dessa seção: p l c c c/2 d/2 c/2 d/2 p desprezado desprezado 𝑝 𝑐 + 𝑑 2 𝑝 𝑐 + 𝑑 2 𝑉Red 𝑝 𝑉Red 𝑝 V V p Red = Vapoio − p(c + d) 2 (b) a forga cortante devida a uma carga concentrada, P, aplicada a uma distancia a < 2d do eixo tedrico do apoio pode, nesse trecho a, ser reduzida multiplicando-a por a/2d: | as<2d i i . 1 i / | / a A , ; sespreado 20-39) Et © P(l-a a Vated = Vapoio _ Pun) (1 _ =) Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 Para a viga ilustrada abaixo, pede-se dimensioná-la à flexão considerando o Modelo de Cálculo I para o cisalhamento e adotando estribos com α = 90o. p = g + q = 20,0 kN/m 520 cm 30 cm 15 cm 50 cm Dados: _ Obra em área urbana (CAA II): _ CA-50; _ d’ = d’’ = 6 cm ⸫ d = 50 – 6 = 44 cm; _ γf = 1,4; _ γc = 1,4; _ γs = 1,15. 30 cm – fck = 25 MPa; – c = 30 mm; 260 cm P = 28,0 kN g – carga permanente q – carga acidental Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (i) Análise estrutural 20,0 kN/m 520 cm 260 cm 28,0 kN 66,0 kN 66,0 kN Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (i) Análise estrutural 20,0 kN/m 520 cm 260 cm 28,0 kN 66,0 kN 66,0 kN M [kNm] 104,0 Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (i) Análise estrutural 20,0 kN/m 520 cm 260 cm 28,0 kN 66,0 kN 66,0 kN V [kN] 66,0 66,0 14,0 14,0 Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (i) Análise estrutural O esforço cortante máximo no vão livre, empregado na verificação da biela comprimida, ocorre na face interna dos apoios, dado por Vmáx,vão = Vapoio − p · c 2 = = 66, 0 − 20, 0 × 0, 30 2 = 63, 0 kN Para o cálculo da armadura transversal, considera-se um esforço cortante reduzido em decorrência da carga distribuída, p = 20, 0 kN/m, isto é VRed = Vapoio − p · (c + d) 2 = = 66, 0 − 20, 0 × (0, 30 + 0, 44) 2 = 58, 6 kN Deve-se observar que a força concentrada P = 28 kN está a uma distância a = 260 cm do eixo teórico do apoio, superior a 2d = 2 × 44 = 88 cm, logo, neste caso, não se tem redução da força cortante devida à força concentrada. Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (ii) Valores de cálculo fcd = fck γc = 2, 5 1, 4 = 1, 786 kN/cm2 fc = αc · fcd = 0, 85 × 1, 786 = 1, 518 kN/cm2 fyd = fyk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 fywd = fywk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 < 43, 5 kN/cm2 ✓ αv2 = 1 − fck 250 = 1 − 25 250 = 0, 90 τ 90o wd2 = 0, 27 · αv2 · fcd = 0, 27 × 0, 90 × 1, 786 = 0, 434 kN/cm2 τc0 = 0, 42 · fct,m γc = 0, 42 × 0, 3 × 252/3 1, 4 = 0, 769 MPa = 0, 0769 kN/cm2 τc = τc0 = 0, 0769 kN/cm2 (Modelo de Cálculo I - Flexão Simples) Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (ii) Valores de cálculo Md = γf · M = 1, 4 × 10.400, 0 = 14.560, 0 kNcm Vd = Vd,máx,vão = γf · Vmáx,vão = 1, 4 × 63, 0 = 88, 2 kN τwd = Vd b · d = 88, 2 15 × 44 = 0, 134 kN/cm2 Vd,Red = γf · VRed = 1, 4 × 58, 6 = 82, 04 kN τwd,Red = Vd,Red b · d = 82, 04 15 × 44 = 0, 124 kN/cm2 (iii) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Obs.: Armadura longitudinal mínima de tração: (d/h) = 44 50 ≈ 0, 90 → ρmin = 0, 150% ∴ As,min = 0, 150% × (15 × 50) = 1, 125 cm2 (iit) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M/; = 14.560,0 kNcm Ma 14.560, 0 , K = —— = — 4 0,330 > kr =0,295 ». K'=K fe-b-@ 1,518x 15x42 7 ES & t (armadura dupla) As = Asi + As2 Ag = fe-b-d (1- V1—2K’) _ fua 1,518 x 15 x 44 = et (1 — VI—2 0, 295) = 8,2 2 13,48 (1— /1—2 x 0,295) = 8, 288 cm fe:b-d (K—K’ Asz = —.— | —,,] = Sua 1—d'/d 1,518 x 15 x 44 (0,330 —0,295\ _ 2 ~ ~~ 33, 48 ( 1—6/44 ) = 0,934 em Az = 8,288 + 0,934 = 9,222 cm? > Asmin V Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (iii) Dimensionamento da armadura longitudinal 8 ϕ 12, 5 mm; As,real = 9, 817 cm2; nϕ/cam = 2 5 ϕ 16, 0 mm; As,real = 10, 053 cm2; nϕ/cam = 2 3 ϕ 20, 0 mm; As,real = 9, 425 cm2; nϕ/cam = 2 ✓ 2 ϕ 25, 0 mm; As,real = 9, 817 cm2; nϕ/cam = 2 d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2/2 = 4, 63 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2 + 2 + 2/2 = 8, 63 cm d′′ Real = 2Aϕ20d′′ 1 + 1Aϕ20d′′ 2 3Aϕ20 = 2 × 4, 63 + 1 × 8, 63 3 = 5, 96 cm dReal = h − d′′ Real = 50 − 5, 96 = 44, 04 cm > d ✓ Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (iii) Dimensionamento da armadura longitudinal Sendo K > KL, A′ s ̸= 0, logo: d′ d = 6 44 ≈ 0, 136 < 0, 184 ⇒ φ = 1 ∴ A′ s = As2 φ = 0, 934 1 = 0, 934 cm2 Para A′ s = 0, 934 cm2 3 ϕ 6, 3 mm; A′ s,real = 0, 935 cm2; nϕ/cam = 3 ✓ 2 ϕ 8, 0 mm; A′ s,real = 1, 005 cm2; nϕ/cam = 3 _ Obs.: Armadura total na seção transversal: As + A′ s = 9, 425 + 0, 935 = 10, 360 cm2 < 4% × (15 × 50) = 30 cm2 ✓ Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (iv) Dimensionamento da armadura transversal Obs.1: Armadura transversal mínima: Asw,mín = 100 × 0, 2 · fct,m · senα · b fywk = = 100 × 0, 2 × (0, 3 × 252/3) × sen90o × 15 500 = 1, 539 cm2/m Obs.2: Espaçamento máximo dos estribos: τwd = 0, 134 kN/cm2 < 0, 67τwd2 = 0, 67 × 0, 434 = 0, 291 kN/cm2 ∴ Smax = 0, 6d = 0, 6 × 44 ≈ 26 cm < 30 cm ✓ Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (iv) Dimensionamento da armadura transversal (A) Verificação da ruína por esmagamento da biela comprimida τwd = 0, 134 kN/cm2 < τwd2 = 0, 434 kN/cm2 ✓ (B) Cálculo da armadura transversal Adotando-se estribos simples (dois ramos verticais) com ganchos em ângulo de 45o, o comprimento do estribo vai ser dado por: C = 2 × [(15 − 2 × 3) + (50 − 2 × 3) + 5] = 116 cm Obs.: A ponta reta do gancho só será maior que 5 cm se ϕt > 10 mm. A90o sw ≥ 100 × 1, 11 · (τwd,Red − τc) · b fywd = = 100 × 1, 11 × (0, 124 − 0, 0769) × 15 43, 48 = 1, 804 cm2/m > Asw,mín ✓ Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 1 (iv) Dimensionamento da armadura transversal ϕ = 6, 3 mm                  nº barras metro = Asw 2 ramos × Aϕ6,3 = 1, 804 2 × 0, 312 = 3 ∴ S = 100 cm 3 = 33 cm > Smax = 26 cm ∴ S = Smax ∴ nº barras = vão livre S = 490 26 = 19 19 ϕ 6,3 mm c/ 26 cm - C = 116 cm (v) Detalhamento 3 f 6,3 mm 3 f 20,0 mm N1 – 3 f 20,0 mm – C = AAA cm N2 – 3 f 6,3 mm – C = BBB cm N3 – 19 f 6,3 mm c/ 26 – C = 116 cm (estribos) A A N3 – 19 f 6,3 mm – 116 9 44 5 N1 – 3 f 20,0 mm A-A N2 – 3 f 6,3 mm Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 Para a viga ilustrada abaixo, pede-se dimensioná-la à flexão considerando o Modelo de Cálculo II para o cisalhamento, adotando estribos com α = 90o e: (a) bielas de compressão com inclinação θ = 30o; (b) bielas de compressão com inclinação θ = 45o. p = g + q = 32,0 kN/m 600 cm 30 cm 22 cm 55 cm Dados: _ Obra em área urbana (CAA II): _ CA-50; _ d’ = d’’ = 6 cm ⸫ d = 55 – 6 = 49 cm; _ γf = 1,4; _ γc = 1,4; _ γs = 1,15. 30 cm – fck = 25 MPa; – c = 30 mm; 40 cm P = 50,0 kN g – carga permanente q – carga acidental Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (i) Análise estrutural 600 cm 142,67 kN 99,33 kN 32,0 kN/m 50,0 kN 40 cm Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (i) Análise estrutural 600 cm 142,67 kN 99,33 kN 32,0 kN/m 50,0 kN 40 cm 289,6 cm M [kNm] 154,17 Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (i) Análise estrutural 600 cm 142,67 kN 99,33 kN 32,0 kN/m 50,0 kN 40 cm V [kN] 142,67 99,33 129,87 79,87 289,6 cm (i) Analise estrutural O esforgo cortante maximo no vao livre, empregado na verificagao da biela comprimida, ocorre na face interna do apoio esquerdo, dado por Cc Vinax,vao = Vapoio —p: 5 = = 142,67 — 32,0 x s = 137,87 kN Para o calculo da armadura transversal, considera-se um esforgo cortante reduzido em decorréncia da carga distribuida, p = 32,0 kN/m, e da carga concentrada, P = 50,0 kN, aplicada a uma distancia a = 40 cm do eixo tedrico do apoio da esquerda, inferior a 2d = 2 x 49 = 98 cm, isto 6 c+d P(l-a a Ved = Vapoio — p- 2+ 5 ) - 22) ) (-) = — 142, 67 — 32,0 x (0,30+0,49) _ 50,0(6,0-0,4) /, 0,4 _ 2 6,0 2x 0,49 = 102,41 kN Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (ii) Valores de cálculo fcd = fck γc = 2, 5 1, 4 = 1, 786 kN/cm2 fc = αc · fcd = 0, 85 × 1, 786 = 1, 518 kN/cm2 fyd = fyk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 fywd = fywk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 < 43, 5 kN/cm2 ✓ αv2 = 1 − fck 250 = 1 − 25 250 = 0, 90 (a) τ 90o wd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · cotgθ · sen 2θ = = 0, 54 × 0, 90 × 1, 786 × cotg30o × sen 230o = 0, 376 kN/cm2 (b) τ 90o wd2 = 0, 54 · αv2 · fcd · cotgθ · sen 2θ = = 0, 54 × 0, 90 × 1, 786 × cotg45o × sen 245o = 0, 434 kN/cm2 Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (ii) Valores de cálculo Md = γf · M = 1, 4 × 15.417, 0 = 21.583, 8 kNcm Vd = Vd,máx,vão = γf · Vmáx,vão = 1, 4 × 137, 87 = 193, 018 kN τwd = Vd b · d = 193, 018 22 × 49 = 0, 179 kN/cm2 Vd,Red = γf · VRed = 1, 4 × 102, 41 = 143, 374 kN τwd,Red = Vd,Red b · d = 143, 374 22 × 49 = 0, 133 kN/cm2 τc0 = 0, 42 · fct,m γc = 0, 42 × 0, 3 × 252/3 1, 4 = 0, 769 MPa = 0, 0769 kN/cm2 (ii) Valores de calculo (a) Te = Te, (Modelo de Calculo II - Flexao Simples) Teo = 0,0769 KN/cm? < Ta = 0,179 KN/cm? < Twa2 = 0,376 KN/cm?, Te = Tey = Teo * — (2 )] = Twd2 — Teo 0,179 — 0,0769 2 = 1 _ ee = 0, 0769 x | Ge =O, was 0, 0506 kN/cm (b) te = Te, (Modelo de Calculo II - Flexao Simples) Teo = 0,0769 KN/cm? < Ta = 0,179 KN/cm? < Twas = 0,434 KN/cm?, Te = Tey = Teo * — (= )] = Twd2 — Teo 0,179 — 0,0769 2 = 1- TT = 0, 0769 x | (Sr pas) 0,0549 kKN/cm (iit) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Obs.: Armadura longitudinal minima de tragao: 49 (d/h) = 55 0,90 > pmin =0,150% «. As,min = 0,150% x (22 x 55) = 1,815 cm? _ Momento positivo: Mq = 21.583, 8 kNcm Ma 21.583, 8 ’ fe-b-d2 1,518 x 22 x 492 0,269 < Kr = 0,295 (armadura simples) Ay = An = P41 /T — 2K") = fua 1,518 x 22 x 49 = 2 ~~ VI —2 x 0, 269 = ? 2 s,min 73,48 (1— VI —2 0, 269) = 12,055 cm? > Ag, v Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (iii) Dimensionamento da armadura longitudinal 10 ϕ 12, 5 mm; As,real = 12, 272 cm2; nϕ/cam = 5 6 ϕ 16, 0 mm; As,real = 12, 064 cm2; nϕ/cam = 4 ✓ 4 ϕ 20, 0 mm; As,real = 12, 566 cm2; nϕ/cam = 4 3 ϕ 25, 0 mm; As,real = 14, 726 cm2; nϕ/cam = 3 d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 6/2 = 4, 43 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 6 + 2 + 1, 6/2 = 8, 03 cm d′′ Real = 4Aϕ16d′′ 1 + 2Aϕ16d′′ 2 6Aϕ16 = 4 × 4, 43 + 2 × 8, 03 6 = 5, 63 cm dReal = h − d′′ Real = 55 − 5, 63 = 49, 37 cm > d ✓ Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (iv) Dimensionamento da armadura transversal Obs.1: Armadura transversal mínima: Asw,mín = 100 × 0, 2 · fct,m · senα · b fywk = = 100 × 0, 2 × (0, 3 × 252/3) × sen90o × 22 500 = 2, 257 cm2/m Obs.2: Espaçamento máximo dos estribos: (a) τwd = 0, 179 kN/cm2 < 0, 67τwd2 = 0, 67 × 0, 376 = 0, 252 kN/cm2 ∴ Smax = 0, 6d = 0, 6 × 49 ≈ 29 cm < 30 cm ✓ (b) τwd = 0, 179 kN/cm2 < 0, 67τwd2 = 0, 67 × 0, 434 = 0, 291 kN/cm2 ∴ Smax = 0, 6d = 0, 6 × 49 ≈ 29 cm < 30 cm ✓ Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (iv) Dimensionamento da armadura transversal (A) Verificação da ruína por esmagamento da biela comprimida (a) τwd = 0, 179 kN/cm2 < τwd2 = 0, 376 kN/cm2 ✓ (b) τwd = 0, 179 kN/cm2 < τwd2 = 0, 434 kN/cm2 ✓ (B) Cálculo da armadura transversal Adotando-se estribos simples (dois ramos verticais) com ganchos em ângulo de 45o, o comprimento do estribo vai ser dado por: C = 2 × [(22 − 2 × 3) + (55 − 2 × 3) + 5] = 140 cm Obs.: A ponta reta do gancho só será maior que 5 cm se ϕt > 10 mm. Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (iv) Dimensionamento da armadura transversal (a) A90o sw ≥ 100 × 1, 11 · (τwd,Red − τc) · b fywd · cotgθ = = 100×1, 11 × (0, 133 − 0, 0506) × 22 43, 48 × cotg30o = 2, 672 cm2/m > Asw,mín ✓ ϕ = 6, 3 mm                  nº barras metro = Asw 2 ramos × Aϕ6,3 = 2, 672 2 × 0, 312 = 5 ∴ S = 100 cm 5 = 20 cm < Smax ∴ nº barras = vão livre S = 570 20 = 29 29 ϕ 6,3 mm c/ 20 cm - C = 140 cm Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (iv) Dimensionamento da armadura transversal (b) A90o sw ≥ 100 × 1, 11 · (τwd,Red − τc) · b fywd · cotgθ = = 100×1, 11 × (0, 133 − 0, 0549) × 22 43, 48 × cotg45o = 4, 386 cm2/m > Asw,mín ✓ ϕ = 6, 3 mm                  nº barras metro = Asw 2 ramos × Aϕ6,3 = 4, 386 2 × 0, 312 = 8 ∴ S = 100 cm 8 = 12, 5 cm < Smax ∴ nº barras = vão livre S = 570 12, 5 = 46 46 ϕ 6,3 mm c/ 12,5 cm - C = 140 cm Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Viga 2 (v) Detalhamento (a) 2 f 6,3 mm (montagem) 6 f 16,0 mm N1 – 6 f 16,0 mm – C = AAA cm N2 – 2 f 6,3 mm – C = BBB cm N3 – 29 f 6,3 mm c/ 20 – C = 140 cm (estribos) A A N3 – 29 f 6,3 mm – 140 16 49 5 N1 – 6 f 16,0 mm A-A N2 – 2 f 6,3 mm (montagem) (b) 2 f 6,3 mm (montagem) 6 f 16,0 mm N1 – 6 f 16,0 mm – C = AAA cm N2 – 2 f 6,3 mm – C = BBB cm N3 – 46 f 6,3 mm c/ 12,5 – C = 140 cm (estribos) A A N3 – 46 f 6,3 mm – 140 16 49 5 N1 – 6 f 16,0 mm A-A N2 – 2 f 6,3 mm (montagem) Solicitações Tangenciais na Flexão Verificação de Lajes ao Cisalhamento As placas, de maneira geral, e as lajes (isto é, placas de concreto armado), em particular, fazem parte de um grupo de elementos estruturais (blocos, sapatas, consolos curtos, vigas-parede etc) cujo comportamento, em relação aos esforços cortantes, difere substancialmente do apresentado pelas vigas. As lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência ao esforço cortante fazendo com que seu efeito não seja crítico, sendo, geralmente, apenas o concreto suficiente para resisti-lo, com armaduras transversais necessárias somente em situações especiais. As recomendações da NBR 6118:2014 para a verificação do efeito da força cortante em lajes preveem duas situações, a saber: (a) lajes sem armadura para força cortante; (b) lajes com armadura para força cortante. Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Lajes (a) Lajes sem armadura para força cortante Permite-se prescindir da armadura transversal para resistir aos esforços de tração devidos à força cortante em lajes quando a força cortante de cálculo, Vd, a uma distância d da face do apoio for menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento, VRd1, isto é Vd ≤ VRd1 ou τwd ≤ τwd1 em que VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = τwd1 · b · d sendo τRd = 0, 25 · fctd = 0, 25 · fctk,inf γc = 0, 25 · 0, 7 · fct,m γc = 0, 175 · fct,m γc k = (1, 6 − d) ≥ 1 lajes, uma vez que, na ausência de armadura transversal, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios; d em metros. ρ1 = As1 b · d ≤ 0, 02 taxa da armadura de tração As1 definida a seguir. Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Lajes (a) Lajes sem armadura para força cortante As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada, com lb,nec calculado conforme será discutido nas Notas de Aula da Unidade 6, referente à ancoragem de barras longitudinais de vigas. A verificação da compressão diagonal do concreto (bielas comprimidas), em elementos sem armadura de cisalhamento, é feita comparando-se a força cortante solicitante de cálculo, Vd, com a resistência de cálculo, VRd2, sendo VRd2 = 0, 5 · αv1 · fcd · b · 0, 9 · d = 0, 45 · αv1 · fck γc · b · d em que αv1 = 0, 7 − fck 200 ≤ 0, 5 com fck em MPa. Solicitações Tangenciais na Flexão Prescrições Normativas - Lajes (b) Lajes com armadura para força cortante Aplicam-se os mesmos critérios estabelecidos para vigas, considerando-se para a resistência de cálculo ao escoamento da armadura transversal, fywd, os seguintes valores máximos: _ 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; _ 435 MPa, para lajes com espessura maior que 35 cm. Para valores intermediários de espessura, permite-se interpolação linear: fywd = 250 + 435 − 250 20 (h − 15) com h em cm. Algumas alternativas para armadura transversal em lajes são estribos abertos ou fechados simples ou múltiplos, ganchos isolados ou mesmo conectores. Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada a seguir (cujas armaduras longitudinais das lajes foram dimensionadas na Unidade 4), pede-se verificar as lajes ao cisalhamento. Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada a seguir (cujas armaduras longitudinais das lajes foram dimensionadas na Unidade 4), pede-se verificar as lajes ao cisalhamento. Para a Planta de Férma Estrutural apresentada a seguir (cujas armaduras longitudinais das lajes foram dimensionadas na Unidade 4), pede-se verificar as lajes ao cisalhamento. Dados: . — fer = 25 MPa; _ Obra em area urbana (CAA Il): Fer * —c=25mm; _ Ago CA-60; _d’=3cem .~. d=10—-3=7cm; __ Espessura do piso, contrapiso e reboco: 1,5 cm; _ Piso em porcelanato: piso = 23 kN/m?; _ Contrapiso e reboco em argamassa de cimento, cal e areia: yarg = 19 kN/m’; _ Carga acidental (sobrecarga): g = 1,5 kN/m?. Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (i) Análise estrutural O comportamento de interesse para verificação ao cisalhamento consiste na distribuição de esforços cortantes nas lajes, que pode ser interpretada por meio do Mapa de Reações, obtido na Unidade 4 e aqui reproduzido. ⇒ Mapa de Reações Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (ii) Detalhamento da armadura positiva Para a verificação das lajes ao cisalhamento, faz-se necessário conhecer a armadura positiva em cada direção da laje, a fim de se determinar a taxa ρ1. Logo, reproduz-se aqui o detalhamento da armadura positiva das lajes obtido na Unidade 4. ⇒ Armadura positiva N1 - 25  5 c/ 17 - 317 N1 - 25  5 c/ 17 - 317 N2 - 18  5 c/ 17 - 437 N2 - 18  5 c/ 17 - 437 N3 - 59  5 c/ 12,5 - 317 N3 - 59  5 c/ 12,5 - 317 N4 - 15  5 c/ 20 - 751 N4 - 15  5 c/ 20 - 751 N5 - 25  5 c/ 17 - 405 N5 - 25  5 c/ 17 - 405 N6 - 23  5 c/ 17 - 437 N6 - 23  5 c/ 17 - 437 N7 - 47  5 c/ 12,5 - 305 N7 - 47  5 c/ 12,5 - 305 N8 - 14  5 c/ 20 - 610 N8 - 14  5 c/ 20 - 610 Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iii) Valores de cálculo fcd = fck γc = 2, 5 1, 4 = 1, 786 kN/cm2 τRd = 0, 175 · fct,m γc = 0, 175 × 0, 3 × 252/3 1, 4 = 0, 321 MPa = 0, 0321 kN/cm2 k = (1, 6 − d) = (1, 6 − 0, 07) = 1, 53 > 1, 0 ✓ αv1 = 0, 7 − fck 200 = 0, 7 − 25 200 = 0, 575 > 0, 5 ∴ αv1 = 0, 5 VRd2 = 0, 45 · αv1 · fcd · b · d = 0, 45 × 0, 5 × 1, 786 × 100 × 7 = 281, 3 kN/m fywd = fywk γs = 60 1, 15 = 52, 17 kN/cm2 > 25 kN/cm2 (h < 15 cm) ∴ fywd = 25 kN/cm2 Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L1 = L4: _ direção x Vdmáx = 1, 4 × 4, 69 = 6, 57 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/17 × 0, 196 100 × 7 = 0, 00165 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 00165)] × 100 × 7 = 43, 52 kN/m ∴ Vdmáx = 6, 57 kN/m < VRd1 = 43, 52 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 6, 57 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L1 = L4: _ direção y Vdmáx = 1, 4 × 6, 05 = 8, 47 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/17 × 0, 196 100 × 7 = 0, 00165 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 00165)] × 100 × 7 = 43, 52 kN/m ∴ Vdmáx = 8, 47 kN/m < VRd1 = 43, 52 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 8, 47 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L2 = L3: _ direção x Vdmáx = 1, 4 × 4, 69 = 6, 57 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/20 × 0, 196 100 × 7 = 0, 0014 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 0014)] × 100 × 7 = 43, 18 kN/m ∴ Vdmáx = 6, 57 kN/m < VRd1 = 43, 18 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 6, 57 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L2 = L3: _ direção y Vdmáx = 1, 4 × 9, 25 = 12, 95 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/12, 5 × 0, 196 100 × 7 = 0, 00224 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 00224)] × 100 × 7 = 44, 34 kN/m ∴ Vdmáx = 12, 95 kN/m < VRd1 = 44, 34 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 12, 95 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L5 = L8: _ direção x Vdmáx = 1, 4 × 6, 09 = 8, 53 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/17 × 0, 196 100 × 7 = 0, 00165 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 00165)] × 100 × 7 = 43, 52 kN/m ∴ Vdmáx = 8, 53 kN/m < VRd1 = 43, 52 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 8, 53 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L5 = L8: _ direção y Vdmáx = 1, 4 × 6, 55 = 9, 17 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/17 × 0, 196 100 × 7 = 0, 00165 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 00165)] × 100 × 7 = 43, 52 kN/m ∴ Vdmáx = 9, 17 kN/m < VRd1 = 43, 52 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 9, 17 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L6 = L7: _ direção x Vdmáx = 1, 4 × 4, 50 = 6, 30 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/20 × 0, 196 100 × 7 = 0, 0014 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 0014)] × 100 × 7 = 43, 18 kN/m ∴ Vdmáx = 6, 30 kN/m < VRd1 = 43, 18 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 6, 30 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão Solicitações Tangenciais na Flexão Exemplo - Lajes (iv) Verificação ao cisalhamento • Laje L6 = L7: _ direção y Vdmáx = 1, 4 × 8, 88 = 12, 43 kN/m ρ1 = As1 b · d = 100/12, 5 × 0, 196 100 × 7 = 0, 00224 < 0, 02 ✓ VRd1 = [τRd · k · (1, 2 + 40 · ρ1)] · b · d = = [0, 0321 × 1, 53 × (1, 2 + 40 × 0, 00224)] × 100 × 7 = 44, 34 kN/m ∴ Vdmáx = 12, 43 kN/m < VRd1 = 44, 34 kN/m → dispensa armadura transversal Vdmáx = 12, 43 kN/m << VRd2 = 281, 3 kN/m → não há colapso à compressão