Slide - Lajes - Flexão Normal Simples - 2024-1

EES150 Concreto Armado I Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prof. Leandro Lopes da Silva leandro@dees.ufmg.br Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Versão 01 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Introdução Lajes são elementos estruturais laminares (uma dimensão bem menor que as duas demais), normalmente solicitadas por cargas normais ao seu plano. h lmenor 1 m No que diz respeito ao dimensionamento, lajes podem ser interpretadas como compostas por faixas de seção retangular - normalmente de largura unitária - nas duas direções do plano que as define. Interpretando as lajes dessa maneira, pode-se empregar o equacionamento de seção retangular submetida à flexão normal simples, sendo a armadura obtida em cada direção propagada para o restante da laje. Lajes Retangulares: Flexao Normal Simples Introdugao A titulo de estudo da responsabilidade de cada direcao da laje na capacidade da transferéncia de carga para os apoios, pode-se assumir que cada direcao de uma laje retangular (a x b) é responsavel por descarregar um quinhao da carga total, p, ou seja, P=PatPpo em que pa € a carga atuante na faixa na direcdo a e p, na diregao b. Os quinhées de carga p, € py» podem ser determinados, simplificadamente, assumindo-se que cada faixa unitaria se comporta como uma viga isolada, no entanto, impondo-se que a flecha no centro de uma faixa se iguale a da outra. Assumindo laje simplesmente apoiada nas quatro bordas, tem-se — Bpaa* ped 4. 4, 4 4, 0a = gaan ~ °° = 3R4BT J. pob” = paa J. pob =(p Pb) a Qf 4 pa Pp Pb = wtb = 7 p\4 = kop 1+ (2) a em que 1 ka =1—ke e ky = ——-G (2) 1+(- a sao os coeficientes que determinam os quinhdées de carga, pa e po. ka & 0,94 — indicando que a laje trabalha praticamente somente _ Se b/a = 2 na diregao menor. ky & 0,06 Logo, considera-se aqui: lmaior + . ~ . . ~ e se: i... > 2 laje armada em uma diregao, ou seja, na diregao menor; lmaior + . ~ e se: i... <2 laje armada em duas diregdes (ou em cruz). Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em uma direção 1 m a a a a p b p p p M R R M X RA RE X X M R R X R borda livre borda simplesmente apoiada borda engastada a – menor vão em laje armada em uma direção Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em uma direção As reações de apoio e os momentos fletores positivos e negativos referentes aos quatro modelos de lajes armadas em uma direção aqui considerados são facilmente determinados por meio de análise linear elástica, uma das estratégias de análise estrutural para lajes prescritas na NBR 6118:2014. Os valores obtidos são resumidos a seguir: Tipo de laje Regime elástico Apoiada-Apoiada R = 0, 5pa M = pa2/8 Apoiada-Engastada RA = 0, 375pa RE = 0, 625pa M = pa2/14, 22 X = pa2/8 Engastada-Engastada R = 0, 5pa M = pa2/24 X = pa2/12 Em balanço R = pa X = pa2/2 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em uma direção A favor da segurança, é conveniente se considerar que as vigas na direção menor de lajes retangulares armadas em uma direção, caso existam, também recebem carregamentos vindos das lajes (reações de apoio), que podem ser aproximadas como: a b α β R A R = pA a ∴ R = pa 2 ( tgα + tgβ) em que: α = 45o entre dois apoios do mesmo tipo; α = 60o a partir do apoio considerado en- gastado, se o outro for considera- do simplesmente apoiado; α = 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em duas direções a ≤ b a b borda simplesmente apoiada borda engastada vão cuja direção tem o maior número de engastes ou, caso se tenha o mesmo número de engastes nas duas direções, é o menor vão. a a b a – A B a ≤ b C D E a ≤ b F As lajes de concreto apresentam relagao h/lmenor Que as Caracterizam como esbeltas, isto 6, 1/100 < h/Imenor < 1/5, sendo, pois, bem interpretadas pela teoria de placas de Kirchhoff, que se baseia na solugao da seguinte equagao diferencial para o deslocamento transversal da placa (flecha), w: O*w Otw Otw p Exes h? — +2 4 -— = = :D=—S dnt + “dx2ay2* dys Dp? Cmaue 2d?) (1) A partir de solugao numérica da Eq. (1), constroem-se tabelas por meio das quais se determinam os momentos fletores para o dimensionamento. Para tanto, definem-se: Mp 7 Za 2 u, — 2) = mi M, s 2 x, — ") =| 4 x I Z | a<b Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em duas direções Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em duas direções Segundo a NBR 6118:2014, as reações de apoio podem ser aproximadas pe- las resultantes de carga nas áreas delimitadas pelas linhas de ruptura, com base na teoria das charneiras plásticas. As linhas de ruptura podem ser apro- ximadas por retas inclinadas a partir dos vértices com os seguintes ângulos: α = 45o entre dois apoios do mesmo tipo; α = 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; α = 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. As reações podem ser consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos de apoio. A partir dessas prescrições normati- vas, constroem-se tabelas por meio das quais se determinam as reações de apoio. Para tanto, definem-se: Ri = ri (pa) b a ≤ b 60º 45º 30º 45º A1 A2 A3 A4 𝑅𝑎′ 𝑅𝑎′′ 𝑅𝑏 ′ 𝑅𝑏 ′′ 𝑅𝑎′ = 𝑝𝐴1 𝑎 𝑅𝑎′′ = 𝑝𝐴2 𝑎 𝑅𝑏 ′ = 𝑝𝐴3 𝑏 𝑅𝑏 ′′ = 𝑝𝐴4 𝑏 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Lajes Retangulares - Armadas em duas direções Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes i − Espessura mínima das lajes maciças _ 7 cm p/ lajes de forro não em balanço; _ 8 cm p/ lajes de piso não em balanço; _ 10 cm p/ lajes em balanço; _ 10 cm p/ lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; _ 12 cm p/ lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; No dimensionamento de lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn de acordo com: Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes ii − Vãos efetivos de lajes O vão efetivo das lajes deve ser calculado pela seguinte expressão: lef = l0 + a1 + a2 h l0 t1 t2 a1 ≤      t1/2 0, 3h a2 ≤      t2/2 0, 3h Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes iii − Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas (adjacentes) devem ser compatibilizados (compensados) tal como se segue: L1 L2 L1 L2 XL2 XL1 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes iii − Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas (adjacentes) devem ser compatibilizados (compensados) tal como se segue: L1 L2 L1 L2 XL2 XL1 XFinal Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes iii − Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas (adjacentes) devem ser compatibilizados (compensados) tal como se segue: L1 L2 L1 L2 XL2 XL1 XFinal ΔX ΔM = 0,3ΔX Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes iii − Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas (adjacentes) devem ser compatibilizados (compensados) tal como se segue: XF inal ≥      0, 8Xmax (XL1 + XL2) /2 Obs.: A laje que terá o momento fletor negativo reduzido na compatibilização deverá ter o momento fletor positivo acrescido de: ∆M = 0, 3∆X (conforme ilustrado) iv − Armadura longitudinal mínima Para o caso de lajes, define-se: ρs = As,min b · h = As,min (100 · h) cm2 → taxa geométrica de armadura mínima para lajes Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes iv − Armadura longitudinal mínima Obs.: A taxa geométrica de armadura mínima para vigas, ρmin, é determi- nada como apresentado nas prescrições normativas para vigas. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes v − Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes • A armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8; • As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaça- mento no máximo igual a 2h ou 20 cm; • As barras da armadura secundária de flexão devem apresentar espaça- mento no máximo igual a 33 cm; • Nas lajes em que seja dispensada armadura transversal e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura po- sitiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio; • As barras negativas deverão ter o comprimento reto prolongado para cada lado dos eixos dos apoios de, no mínimo, 1/4 do maior dos me- nores lados das lajes contíguas que se engastam (prescrição normativa da versão de 1980 da NBR 6118, não mantida na versão de 2014); Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes v − Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes • Em lajes em balanço, a armadura negativa deve ter o comprimento reto de, no mínimo, duas vezes o vão do balanço; • As armaduras negativas de bordas sem continuidade devem se esten- der até, pelo menos, 0,15 do vão menor da laje a partir da face do apoio; • As armaduras negativas, em suas extremidades, deverão ser dobradas com um comprimento igual a h − 2c, em que c é o cobrimento. vi − Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR 6120:2019) A NBR 6120:2019 tem como objetivo fixar as condições para se determinar os valores das cargas que atuam nos projetos de estruturas de edificações. Essas cargas, representadas pela intensidade em uma superfície de 1 m2, são compostas por: Cargas permanentes (g): devidas ao peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes −→ avaliadas com auxílio das Tabelas 1 a 9 da NBR 6120:2019. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes vi − Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR 6120:2019) 1 m 1 m A A h - espessura h e1 e2 e3 A-A piso contrapiso laje reboco g = p.p.laje + revestimentos + equipamentos fixos (se existir) ∴ g = h × γCA + e1 × γpiso + e2 × γcontrapiso + e3 × γreboco Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes vi − Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR 6120:2019) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes vi − Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR 6120:2019) Obs.: 1 - Quando forem previstas paredes divisórias sem posição definida em pro- jeto, sobre estruturas com adequada capacidade de distribuição dos esforços solicitantes, pode-se considerar, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída adicional da ordem de 0,5 a 1,0 kN/m2, conforme a Tabela 11 da NBR 6120:2019; 2 - Alvenarias com posição bem definida sobre as lajes podem, a título de emprego das tabelas aqui apresentadas, ter o seu peso total diluído sobre a laje, considerando-o como uniformemente distribuído na área da laje. Cargas acidentais (q): são aquelas que podem atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, utensílios, veículos etc) −→ são supostas uniformemente distribuídas, com valores mínimos indicados na Tabela 10 da NBR 6120:2019. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes vi − Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR 6120:2019) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Lajes vi − Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR 6120:2019) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada, pede-se: a) Calcular as reações de apoio e os momentos fletores (regime elástico) das lajes, fazendo a indicação em planta; b) Calcular as armaduras das lajes e fazer o detalhamento. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada, pede-se: a) Calcular as reações de apoio e os momentos fletores (regime elástico) das lajes, fazendo a indicação em planta; b) Calcular as armaduras das lajes e fazer o detalhamento. Para a Planta de Férma Estrutural apresentada, pede-se: a) Calcular as reagdes de apoio e os momentos fletores (regime elastico) das lajes, fazendo a indicagao em planta; b) Calcular as armaduras das lajes e fazer o detalhamento. Dados: _ Obra em area urbana (CAA Il): . For = 25 MPa; —c=25mm; _ Ago CA-60; _d’=3cem .. d=10—3=7cm; yp =1,45 Ye =1,45 Ys = 1,15; __ Espessura do piso, contrapiso e reboco: 1,5 cm; _ Piso em porcelanato: piso = 23 kN/m?; _ Contrapiso e reboco em argamassa de cimento, cal e areia: yar, = 19 kN/m?; _ Carga acidental (sobrecarga): g = 1,5 kN/m?. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L1 = L4: ax 1 ≤      t1/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ax 2 ≤      t2/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 1 ≤      t1/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 2 ≤      t2/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm lx ef = 410 + 3 + 3 = 416 cm ly ef = 290 + 3 + 3 = 296 cm lmaior lmenor = 416 296 = 1, 405 < 2 → laje armada em duas direções Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L1 = L4: b = 416 cm a = 296 cm Tipo C Laje Tipo C: b a = 416 296 = 1, 405 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L2 = L3: ax 1 ≤      t1/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ax 2 ≤      t2/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 1 ≤      t1/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 2 ≤      t2/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm lx ef = 732 + 3 + 3 = 738 cm ly ef = 290 + 3 + 3 = 296 cm lmaior lmenor = 738 296 = 2, 493 > 2 → laje armada em uma direção Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L2 = L3: b = 738 cm a = 296 cm Apoiada-Engastada Laje Apoiada-Engastada Obs.: A borda inferior da L2 (e da L3) tem mais do que 2/3 do comprimento engastado, logo, pode ser considerada engastada. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L5 = L8: ax 1 ≤      t1/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ax 2 ≤      t2/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 1 ≤      t1/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 2 ≤      t2/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm lx ef = 410 + 3 + 3 = 416 cm ly ef = 378 + 3 + 3 = 384 cm lmaior lmenor = 416 384 = 1, 083 < 2 → laje armada em duas direções Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L5 = L8: b = 416 cm a = 384 cm Tipo C Laje Tipo C: b a = 416 384 = 1, 083 Obs.: A borda direita da L5 (borda esquerda da L8) tem mais do que 2/3 do comprimento engastado, logo, pode ser considerada engastada. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L6 = L7: ax 1 ≤      t1/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ax 2 ≤      t2/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 1 ≤      t1/2 = 12/2 = 6 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm ay 2 ≤      t2/2 = 20/2 = 10 cm 0, 3h = 0, 3 × 10 = 3 cm lx ef = 583 + 3 + 3 = 589 cm ly ef = 278 + 3 + 3 = 284 cm lmaior lmenor = 589 284 = 2, 074 > 2 → laje armada em uma direção Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (i) Dimensões e modelo das lajes • Laje L6 = L7: b = 589 cm a = 284 cm Apoiada-Engastada Laje Apoiada-Engastada Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (ii) Carregamento das lajes p = g + q em que g - carga permanente; q - carga acidental (sobrecarga). Obs.: Nesse exemplo, o carregamento total atuante, p, é o mesmo para todas as lajes. De maneira geral, isto não é uma condição obrigatória. 10 cm 1,5 cm 1,5 cm 1,5 cm piso contrapiso laje reboco g = 0, 10 × 25 + 0, 015 × 23 + 0, 015 × 19 + 0, 015 × 19 = 3, 41 kN/m2 ∴ p = 3, 41 + 1, 5 ≈ 5, 0 kN/m2 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iii) Reações de apoio • Laje L1 = L4: b/a r′ a r′′ a r′ b r′′ b 1,40 0,183 0,317 0,235 0,408 1,405 0,183 0,317 0,2355 0,4087 1,45 0,183 0,317 0,240 0,415 R′ a = r′ a (pa) = 0, 183 × (5 × 2, 96) = 2, 71 kN/m R′′ a = r′′ a (pa) = 0, 317 × (5 × 2, 96) = 4, 69 kN/m R′ b = r′ b (pa) = 0, 2355 × (5 × 2, 96) = 3, 49 kN/m R′′ b = r′′ b (pa) = 0, 4087 × (5 × 2, 96) = 6, 05 kN/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iii) Reações de apoio • Laje L2 = L3: b = 738 cm a = 296 cm Apoiada-Engastada 45º 30º 45º 30º RA = 0, 375pa = 0, 375 × 5 × 2, 96 = 5, 55 kN/m RE = 0, 625pa = 0, 625 × 5 × 2, 96 = 9, 25 kN/m Resq. = Rdir. = pa 2 ( tgα + tgβ) = 5 × 2, 96 2 ( tg45o + tg30o) = 4, 69 kN/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iii) Reações de apoio • Laje L5 = L8: b/a r′ a r′′ a r′ b r′′ b 1,05 0,183 0,317 0,192 0,332 1,083 0,183 0,317 0,1973 0,3412 1,10 0,183 0,317 0,200 0,346 R′ a = r′ a (pa) = 0, 183 × (5 × 3, 84) = 3, 51 kN/m R′′ a = r′′ a (pa) = 0, 317 × (5 × 3, 84) = 6, 09 kN/m R′ b = r′ b (pa) = 0, 1973 × (5 × 3, 84) = 3, 79 kN/m R′′ b = r′′ b (pa) = 0, 3412 × (5 × 3, 84) = 6, 55 kN/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iii) Reações de apoio • Laje L6 = L7: b = 589 cm a = 284 cm Apoiada-Engastada 45º 45º 30º 60º RA = 0, 375pa = 0, 375 × 5 × 2, 84 = 5, 33 kN/m RE = 0, 625pa = 0, 625 × 5 × 2, 84 = 8, 88 kN/m Resq. = pa 2 ( tgα + tgβ) = 5 × 2, 84 2 ( tg45o + tg30o) = 4, 50 kN/m Rdir. = pa 2 ( tgα + tgβ) = 5 × 2, 84 2 ( tg45o + tg60o) = 2, 60 kN/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iii) Reações de apoio ⇒ Mapa de Reações (iv) Momentos fletores (regime elastico) e Laje L1 =L4: b/a ne 1,40 12,6 1,405 | 22,525 | 41,93 | 10,075 | 12,59 150 | 21,1 | 444 | 96 | 124 2 2 _ (pa*) — (5 x 2,967) _ _ M, = Tm. 3255 = 1,945 kKNm/m = 194, 5 kNcm/m 2 5 x 2,96? My = 20) _ 2,96") _ 1,045 kNm/m = 104,5 kKNem/m mp 41,93 2 2 _ (pa*) — (5 x 2,967) _ _ Xo = ma 10,075 4, 348 KNm/m = 434, 8 kNcm/m 2 5 x 2,96? x, = ©) _ 6x 2,967) _ 3, 480 kNm/m = 348, 0 kKNem/m Nb 12,59 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iv) Momentos fletores (regime elástico) • Laje L2 = L3: a = 296 cm b = 738 cm p M X RA RE M = pa2 14, 22 = 5 × 2, 962 14, 22 = 3, 081 kNm/m = 308, 1 kNcm/m X = pa2 8 = 5 × 2, 962 8 = 5, 476 kNm/m = 547, 6 kNcm/m (iv) Momentos fletores (regime elastico) e Laje L5 =L8: b/a ny 7,00 143 1,083 | 32,303 | 37,366 | 12,972 | 13,719 1,10 13,6 2 2 _ (pa*) — (5 x 3,847) _ _ Ma = ma 32,303 2,282 KNm/m = 228, 2 KNcm/m 2 2 (pa) (5 x 3,847) M, = —— = +——_— = 1 kN =1 kN b ™ 37,306 , 973 KNm/m 97,3 kNcm/m 2 2 _ (pa*) — (5 x 3,847) _ _ Xa = he “72,972 = 5,684 KNm/m = 568, 4 kKNcm/m 2 2 (pa?) (5 x 3,84”) b ma 13,719 5, 37: m/m = 537, cm/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iv) Momentos fletores (regime elástico) • Laje L6 = L7: a = 284 cm b = 589 cm p M X RA RE M = pa2 14, 22 = 5 × 2, 842 14, 22 = 2, 836 kNm/m = 283, 6 kNcm/m X = pa2 8 = 5 × 2, 842 8 = 5, 041 kNm/m = 504, 1 kNcm/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iv) Momentos fletores (regime elástico) ⇒ Compatibilização (compensação) de momentos negativos: Entre X1a. X2a. 0, 8Xmax Xmed XF inal ∆X L1-L5 434,8 568,4 454,7 501,6 501,6 66,8 L2-L6 547,6 504,1 438,1 525,9 525,9 21,7 (kNcm/m) Entre M1a. M2a. ∆M1a. ∆M2a. M corr. 1a. M corr 2a. L1-L5 194,5 228,2 - 20,0 194,5 248,2 L2-L6 308,1 283,6 6,5 - 314,6 283,6 (kNcm/m) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (iv) Momentos fletores (regime elástico) ⇒ Mapa de Momentos Fletores 501,6 194,5 248,2 501,6 194,5 248,2 314,6 525,9 283,6 525,9 314,6 283,6 104,5 104,5 348,0 348,0 197,3 197,3 537,4 537,4 (kNcm/m) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (v) Valores de cálculo fc = αc · fcd = αc · fck γc = 0, 85 × 2, 5 1, 4 = 1, 518 kN/cm2 fyd = fyk γs = 60 1, 15 = 52, 17 kN/cm2 M L1 ad = γf · M L1 a = 1, 4 × 194, 5 = 272, 3 kNcm/m M L1 bd = γf · M L1 b = 1, 4 × 104, 5 = 146, 3 kNcm/m M L2 ad = γf · M L2 a = 1, 4 × 314, 6 = 440, 4 kNcm/m M L5 ad = γf · M L5 a = 1, 4 × 248, 2 = 347, 5 kNcm/m M L5 bd = γf · M L5 b = 1, 4 × 197, 3 = 276, 2 kNcm/m M L6 ad = γf · M L6 a = 1, 4 × 283, 6 = 397, 0 kNcm/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (v) Valores de cálculo XL1−L2 d = γf · XL1−L2 = 1, 4 × 348, 0 = 487, 2 kNcm/m XL1−L5 d = γf · XL1−L5 = 1, 4 × 501, 6 = 702, 2 kNcm/m XL2−L6 d = γf · XL2−L6 = 1, 4 × 525, 9 = 736, 3 kNcm/m XL5−L6 d = γf · XL5−L6 = 1, 4 × 537, 4 = 752, 4 kNcm/m (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Obs.1: Armadura longitudinal mínima: As,min = ρs (100 × h) (d/h) = 7 10 = 0, 7 → ρmin = 0, 150% • Armaduras negativas: ρs = ρmin ∴ As,min = 0, 150% (100 × 10) = 1, 5 cm2/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal • Armaduras negativas de bordas sem continuidade: ρs = 0, 67ρmin ∴ As,min = 0, 67 × 0, 150% (100 × 10) = 1, 005 cm2/m • Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções: ρs = 0, 67ρmin ∴ As,min = 0, 67 × 0, 150% (100 × 10) = 1, 005 cm2/m • Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção: ρs = ρmin ∴ As,min = 0, 150% (100 × 10) = 1, 5 cm2/m • Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção: As,sec ≥ 0, 20As,princ As,sec ≥ 0, 9 cm2/m ρs ≥ 0, 5ρmin ∴ As,min ≥ 0, 5 × 0, 150% (100 × 10) = 0, 75 cm2/m Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Obs.2: Espaçamento máximo (Smax): • Armadura principal: SP max ≤      2h = 2 × 10 = 20 cm 20 cm • Armadura secundária: SS max = 33 cm _ Obs.3: Diâmetro máximo (ϕmax): ϕmax = h 8 = 100 mm 8 = 12, 5 mm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M@/) = 272,3 kNcm/m Ma 272,3 ’ K = —— ~~ = ——— © 0,037 < KL =0,295 ».. K'=K f.-b-@ 1,518x100x7 7 SE (armadura simples) Ay = Ag = P41 /1 — 2K’) _ fua 1,518 x 100 x 7 = 2 _ _— ; =U, 2 s,min oe 33,17 (1— /1—2x 0,037) = 0,768 cm?/m < Ag, Logo, As = As,min = 1,005 cm?/m Espacamento maximo: SF, = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M L1 ad = 272, 3 kNcm/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 005 0, 196 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 410 17 = 25 Comprimento: C = 290 + 12 + 20 − 2, 5 − 2, 5 = 317 cm 25 ϕ 5,0 mm c/ 17 cm - C = 317 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: Mj." = 146, 3 kNcm/m Ma 146,3 K = ——— = 2 Kr —0.2 . re fob @ ~ 1,518 % 100 «72 2020 < Kr = 0,295 KK (armadura simples) Ay = Ag = 4 1 — Vi?) = fua 1,518 x 100 x 7 = 2 _ _ ; =U, 2 s,min oe 52,17 (1— /I—2 x 0,020) = 0,412 em*/m < Ag, Logo, As = As,min = 1,005 cm?/m Espacamento maximo: SF... = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M L1 bd = 146, 3 kNcm/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 005 0, 196 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 290 17 = 18 Comprimento: C = 410 + 20 + 12 − 2, 5 − 2, 5 = 437 cm 18 ϕ 5,0 mm c/ 17 cm - C = 437 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: Mi? = 440, 4 kNcm/m Ma 440, 4 , K = — = — WW — 0,059 < kt =0,295 »«. K'=K fob -@ 1,518x100x72 SE ; (armadura simples) Ay = Ag = P41 /1 — 2K’) _ fua 1,518 x 100 x 7 = 2 _ _ ; = 41, 2 s,min oe 52,17 (1— VI —2 x 0,059) = 1,239 em?/m < Ag, Logo, As = As,min = 1,5 cm?/m Espacamento maximo: SF, = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M L2 ad = 440, 4 kNcm/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 5 0, 196 = 8 ∴ S = 100 cm 8 = 12, 5 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 732 12, 5 = 59 Comprimento: C = 290 + 12 + 20 − 2, 5 − 2, 5 = 317 cm 59 ϕ 5,0 mm c/ 12,5 cm - C = 317 cm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Armadura secundária: L2 (SS max = 33 cm) As,sec ≥      0, 20As,princ = 0, 2 × 1, 5 = 0, 3 cm2/m 0, 9 cm2/m ✓ 0, 75 cm2/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 0, 9 0, 196 = 5 ∴ S = 100 cm 5 = 20 cm < SS max ∴ nº barras = vão livre S = 290 20 = 15 Comprimento: C = 732 + 12 + 12 − 2, 5 − 2, 5 = 751 cm 15 ϕ 5,0 mm c/ 20 cm - C = 751 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M@/? = 347,5 kNcm/m M. K= Ebb = TK = 0,047 < Kr = 0,295 ek Ay = An = 2224 (1 — VI 9R) = fya = ea (1 — VI = 2X0, 047) = 0,981 om2/m < Agmin v. Logo, As = As,min = 1,005 cm?/m Espacamento maximo: SF, = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M L5 ad = 347, 5 kNcm/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 005 0, 196 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 410 17 = 25 Comprimento: C = 378 + 20 + 12 − 2, 5 − 2, 5 = 405 cm 25 ϕ 5,0 mm c/ 17 cm - C = 405 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: Mj.” = 276, 2 kNcm/m Ma 276, 2 K = ~~ K = 2 . ’ = Fob 1518x100 x72 0,037 << Ky =0,295 .. K kK (armadura simples) Ay = Ag = 4 1 — Vi?) = fua 1,518 x 100 x 7 = 2 _ _ ; =U, 2 s,min oe 33,17 (1— /1—2x 0,037) = 0,768 cm?/m < Ag, Logo, As = As,min = 1,005 cm?/m Espacamento maximo: SF... = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M L5 bd = 276, 2 kNcm/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 005 0, 196 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 378 17 = 23 Comprimento: C = 410 + 20 + 12 − 2, 5 − 2, 5 = 437 cm 23 ϕ 5,0 mm c/ 17 cm - C = 437 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M@/° = 397,0 kNcm/m Ma 397, 0 ’ K = — = — WM 0,053 < Kt =0,295 »«. K'=K fb -@ 1,518x100x72 SE ; (armadura simples) Ay = Ag = P41 /1 — 2K’) _ fua 1,518 x 100 x 7 = 2 _ _ ; = 41, 2 s,min oe 52,17 (1— /I—2 x 0,053) = 1,110 em*/m < Ag, Logo, As = As,min = 1,5 cm?/m Espacamento maximo: SF, = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento positivo: M L6 ad = 397, 0 kNcm/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 5 0, 196 = 8 ∴ S = 100 cm 8 = 12, 5 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 583 12, 5 = 47 Comprimento: C = 278 + 20 + 12 − 2, 5 − 2, 5 = 305 cm 47 ϕ 5,0 mm c/ 12,5 cm - C = 305 cm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Armadura secundária: L6 (SS max = 33 cm) As,sec ≥      0, 20As,princ = 0, 2 × 1, 5 = 0, 30 cm2/m 0, 9 cm2/m ✓ 0, 75 cm2/m ϕ = 5, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ5,0 = 0, 9 0, 196 = 5 ∴ S = 100 cm 5 = 20 cm < SS max ∴ nº barras = vão livre S = 278 20 = 14 Comprimento: C = 583 + 12 + 20 − 2, 5 − 2, 5 = 610 cm 14 ϕ 5,0 mm c/ 20 cm - C = 610 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: X/1~'? = 487, 2 kNcm/m Ma 487, 2 K = —S— = —"__ 2 0,065 < Kp = 0,295 »«. K'’=K fb @ 1,518x100x7 7 SE “ (armadura simples) Ay = As = £224 (1 — VI= 3’) = Sua 1,518 x 100 x 7 = OO 1 VT 2 = ? symin 52.17 (1— /I1—2 0,065) = 1,370 cm*/m < Ag, Logo, As = As,min = 1,5 cm?/m Espacamento maximo: SF... = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: XL1−L2 d = 487, 2 kNcm/m ϕ = 6, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ6,0 = 1, 5 0, 283 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 290 17 = 18 ℎ − 2𝑐 = 5 cm ൗ 1 4 × L1: 296 cm L2: 296 cm = 74 cm 74 cm 5 cm maior . Comprimento: C = 2 × (74 + 5) = 158 cm 18 ϕ 6,0 mm c/ 17 cm - C = 158 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: X/1~/° = 702, 2 kNcm/m Ma 702, 2 K = ——* = —___"—___ © 0,094 < Kr =0,295 »«. K’=K fb @ 1,518x100x7 7 SE (armadura simples) Ay = As = £224 (1 — VI= 3’) = Sua 1,518 x 100 x 7 = ee (1 VT 2x 0,094) = ? symin 52.17 ( x 0,094) = 2,014 cm?/m > Az, Logo, A; = 2,014 cm?/m Espacamento maximo: SF... = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: XL1−L5 d = 702, 2 kNcm/m ϕ = 6, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ6,0 = 2, 014 0, 283 = 8 ∴ S = 100 cm 8 = 12, 5 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 410 12, 5 = 33 ℎ − 2𝑐 = 5 cm ൗ 1 4 × L1: 296 cm L5: 384 cm = 96 cm 96 cm 5 cm maior . Comprimento: C = 2 × (96 + 5) = 202 cm 33 ϕ 6,0 mm c/ 12,5 cm - C = 202 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: X/?~'° = 736, 3 kKNcm/m Ma 736, 3 K = —S— = —""__ 2 0,099 < K, = 0,295 «. K'’=K fb @ 1,518x100x7 7 SE “ (armadura simples) Ay = As = £224 (1 — VI= 3’) = Sua 1,518 x 100 x 7 = OO 1 VT 2 = ? symin 52.17 (1— /I—2x 0,099) = 2,128 cm?/m > Ag, Logo, A; = 2,128 cm?/m Espacamento maximo: SF... = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: XL2−L6 d = 736, 3 kNcm/m ϕ = 6, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ6,0 = 2, 128 0, 283 = 8 ∴ S = 100 cm 8 = 12, 5 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 583 12, 5 = 47 ℎ − 2𝑐 = 5 cm ൗ 1 4 × L2: 296 cm L6: 284 cm = 74 cm 74 cm 5 cm maior . Comprimento: C = 2 × (74 + 5) = 158 cm 47 ϕ 6,0 mm c/ 12,5 cm - C = 158 cm (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: X/°~'° = 752, 4 kNem/m Ma 752, 4 K = —S— = sh 0101 < Kp = 0,295 «. K'=K fb @ 1,518x100x7 7 SE (armadura simples) Ay = As = £224 (1 — VI= 3’) = Sua 1,518 x 100 x 7 = oe * (1 VT 2x0, 101) = ? symin 52.17 ( x 0,101) = 2,173 em?/m > As, Logo, A, = 2,173 cm?/m Espacamento maximo: SF... = 20cm Diametro Maximo: ¢dmaz = 12,5 mm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Momento negativo: XL5−L6 d = 752, 4 kNcm/m ϕ = 6, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ6,0 = 2, 173 0, 283 = 8 ∴ S = 100 cm 8 = 12, 5 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 278 12, 5 = 23 ℎ − 2𝑐 = 5 cm ൗ 1 4 × L5: 384 cm L6: 284 cm = 96 cm 96 cm 5 cm maior . Comprimento: C = 2 × (96 + 5) = 202 cm 23 ϕ 6,0 mm c/ 12,5 cm - C = 202 cm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Armadura negativa L2-L3: As = As,min = 1, 5 cm2/m ϕ = 6, 0 mm                      nº barras metro = As Aϕ6,0 = 1, 5 0, 283 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ nº barras = vão livre S = 290 17 = 18 ℎ − 2𝑐 = 5 cm ൗ 1 4 × L2: 296 cm L3: 296 cm = 74 cm 74 cm 5 cm maior . Comprimento: C = 2 × (74 + 5) = 158 cm 18 ϕ 6,0 mm c/ 17 cm - C = 158 cm Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Armaduras negativas bordas sem continuidade: As = As,min = 1, 005 cm2/m ϕ = 5, 0 mm          nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 005 0, 196 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ • L1: Vão menor: 296 cm ∴ C = 5 + (20 − 2, 5) + 0, 15 × 296 + 5 ≈ 72 cm Borda superior: nº barras = vão livre/S = 410/17 = 25 Borda esquerda: nº barras = vão livre/S = 290/17 = 18 • L2: Vão menor: 296 cm ∴ C = 5 + (20 − 2, 5) + 0, 15 × 296 + 5 ≈ 72 cm Borda superior: nº barras = vão livre/S = 732/17 = 44 Borda inferior (trecho): nº barras = vão livre/S = 129/17 = 8 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vi) Dimensionamento da armadura longitudinal _ Armaduras negativas bordas sem continuidade: As = As,min = 1, 005 cm2/m ϕ = 5, 0 mm          nº barras metro = As Aϕ5,0 = 1, 005 0, 196 = 6 ∴ S = 100 cm 6 ≈ 17 cm < SP max ∴ • L5: Vão menor: 384 cm ∴ C = 5 + (20 − 2, 5) + 0, 15 × 384 + 5 ≈ 86 cm Borda esquerda: nº barras = vão livre/S = 378/17 = 23 Borda inferior: nº barras = vão livre/S = 410/17 = 25 Borda direita (trecho): nº barras = vão livre/S = 80/17 = 5 • L6: Vão menor: 284 cm ∴ C = 5 + (20 − 2, 5) + 0, 15 × 284 + 5 ≈ 71 cm Borda inferior: nº barras = vão livre/S = 575/17 = 34 Borda direita: nº barras = vão livre/S = 278/17 = 17 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vii) Detalhamento ⇒ Armadura positiva N1 - 25  5 c/ 17 - 317 N1 - 25  5 c/ 17 - 317 N2 - 18  5 c/ 17 - 437 N2 - 18  5 c/ 17 - 437 N3 - 59  5 c/ 12,5 - 317 N3 - 59  5 c/ 12,5 - 317 N4 - 15  5 c/ 20 - 751 N4 - 15  5 c/ 20 - 751 N5 - 25  5 c/ 17 - 405 N5 - 25  5 c/ 17 - 405 N6 - 23  5 c/ 17 - 437 N6 - 23  5 c/ 17 - 437 N7 - 47  5 c/ 12,5 - 305 N7 - 47  5 c/ 12,5 - 305 N8 - 14  5 c/ 20 - 610 N8 - 14  5 c/ 20 - 610 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vii) Detalhamento ⇒ Armadura positiva: Lista de barras Posição ϕ Quantidade Comprimento (cm) N1 5,0 50 317 N2 5,0 36 437 N3 5,0 118 317 N4 5,0 30 751 N5 5,0 50 405 N6 5,0 46 437 N7 5,0 94 305 N8 5,0 28 610 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vii) Detalhamento ⇒ Armadura negativa N9 - 18  6,0 c/ 17 - 158 148 5 5 N9 - 18  6,0 c/ 17 - 158 148 5 5 5 5 192 N10 - 33  6,0 c/ 12,5 - 202 5 5 192 N10 - 33  6,0 c/ 12,5 - 202 5 5 148 N11 - 47  6,0 c/ 12,5 - 158 5 5 148 N11 - 47  6,0 c/ 12,5 - 158 N12 - 23  6,0 c/ 12,5 - 202 192 5 5 N12 - 23  6,0 c/ 12,5 - 202 192 5 5 N13 - 18  6,0 c/ 17 - 158 148 5 5 5 5 N15 - 18  5 c/ 17 - 72 5 5 N14 - 25  5 c/ 17 - 72 5 5 N15 - 18  5 c/ 17 - 72 5 5 N14 - 25  5 c/ 17 - 72 62 62 62 62 5 5 N16 - 44  5 c/ 17 - 72 62 5 5 N16 - 44  5 c/ 17 - 72 62 5 5 N17 - 8  5 c/ 17 - 72 62 5 5 N17 - 8  5 c/ 17 - 72 62 5 5 N18 - 23  5 c/ 17 - 86 76 5 5 N18 - 23  5 c/ 17 - 86 76 N19 - 25  5 c/ 17 - 86 5 5 76 N19 - 25  5 c/ 17 - 86 5 5 76 5 5 76 5 5 76 N20 - 5  5 c/ 17 - 86 N20 - 5  5 c/ 17 - 86 5 5 61 N21 - 34  5 c/ 17 - 71 5 5 61 N21 - 34  5 c/ 17 - 71 5 5 61 5 5 61 N22 - 17  5 c/ 17 - 71 N22 - 17  5 c/ 17 - 71 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vii) Detalhamento ⇒ Armadura negativa: Lista de barras Posição ϕ Quantidade Comprimento (cm) N9 6,0 36 158 N10 6,0 66 202 N11 6,0 94 158 N12 6,0 46 202 N13 6,0 18 158 N14 5,0 50 72 N15 5,0 36 72 N16 5,0 88 72 N17 5,0 16 72 N18 5,0 46 86 N19 5,0 50 86 N20 5,0 10 86 N21 5,0 68 71 N22 5,0 34 71 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (vii) Detalhamento ⇒ Quadro de Resumo (Armaduras positiva e negativa) - Aço CA-60 ϕ Comprimento Massa Nominal Massa (m) (kg/m) (kg) 5,0 2.076,58 0,154 319,8 6,0 460,08 0,222 102,1 Total 422 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Verificação de Flechas (ELS-DEF) Com base nos Estados Limites de Serviço, deve-se verificar a flecha das lajes, isto é, verificar o “Estado Limite de Serviço de Deformações Excessivas” (ELS-DEF). A flecha total da laje, ftotal, é composta por uma parcela imediata, fi, e uma parcela adicional diferida no tempo, fdif, decorrente da fluência do concreto, ou seja, ftotal = fi + fdif (2) A flecha diferida no tempo, fdif, se relaciona com a flecha imediata, fi, por meio de um fator αf, de modo que fdif = αf · fi (3) Logo, das Eqs. (2) e (3), tem-se ftotal = fi + αf · fi ∴ ftotal = (1 + αf) fi (4) O fator af = fuit/ fi € determinado por ay = €(t) — € (to) em que to idade em meses relativa a data de aplicagao da carga de longa duragao; t idade em meses em que se deseja o valor da flecha diferida; é(t) = 0,68 - (0,996)’. 49°? para. = t < 70 meses ~ )2 para t>70meses T t - meses- Coefici- ente 0,68 | 0,84 &(t) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Verificação de Flechas (ELS-DEF) Para situações práticas usuais em que se deseja a flecha no tempo “infinito”, isto é, ftotal = f∞, supondo t0 = 14 dias = 0, 5 mês, αf = ξ (∞) − ξ (0, 5) = 2 − 0, 54 = 1, 46 Logo, da Eq. (4), f∞ = (1 + 1, 46) fi ∴ f∞ = 2, 46fi (5) A flecha admissível das lajes, fadm, é definida pela NBR 6118:2014 como fadm = ℓ 250 (6) em que ℓ é o menor vão da laje retangular, com exceção de lajes em balanço, em que ℓ é o dobro do comprimento do balanço. Obs.: Os deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contra-flechas, entretanto, a atuação isolada da contra- flecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que ℓ/350. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Verificação de Flechas (ELS-DEF) A verificação do ELS-DEF se dá considerando “Combinações de Serviço Quase Permanentes” (NBR 6118:2014), isto é, as cargas para os cálculos são compostas pela parcela permanente, g, sem majoração e pela parcela acidental, q, minorada pelo fator de redução ψ2, ou seja, pi = g + ψ2q −→ Mserv = Mg + ψ2Mq em que ψ2 = 0, 3 → edifícios residenciais; ψ2 = 0, 4 → edifícios comerciais, de escritório e públicos; ψ2 = 0, 6 → bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens. Segundo a NBR 6118:2014, as “Combinações de Serviço” são classificadas de acordo com sua permanência na estrutura, sendo as “Combinações Quase Permanentes” aquelas que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura. Lajes Retangulares: Flexao Normal Simples Verificagao de Flechas (ELS-DEF) Em relagao ao comportamento material, a verificagao do ELS-DEF se da, tal como na etapa de projeto de analise estrutural, considerando material linear elastico regido pelo mddulo de deformagao secante do concreto, dado por Eos =0iEci, sendo a; =0,8+ 0,24 < 1,0 (few em MPa), em que E-; 6 0 mddulo de elasticidade tangente inicial do concreto, dado por _Grupol: Foi = ag 5.600 V fer (fer em MPa) _Grupoll: E.; = 21,5 x 10° ag fe +1,25 (fcr em MPa) O parametro az 6 fungao do agregado graudo, isto é, @ wz =1,2 paraconcreto produzido com brita de basalto ou diabasio; e af-=1,0_ paraconcreto produzido com brita de granito ou gnaisse; e az =0,9 paraconcreto produzido com brita de calcario; e af =0,7 paraconcreto produzido com brita de arenito. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Verificação de Flechas (ELS-DEF) A flecha imediata, fi, é calculada, no caso de lajes armadas em uma direção, a partir da teoria clássica de vigas de Euler-Bernoulli, ao passo que, no caso de lajes armadas em duas direções (ou em cruz), a partir da teoria clássica de placas de Kirchhoff, tal como discriminado a seguir. ⇒ Lajes Retangulares - Armadas em uma direção fi = K pi · a4 384 (EI)eq,t0 = K pi · a4 384EcsIeq (7) em que K = 5 → para laje “Apoiada-Apoiada”; K ≈ 2, 079 → para laje “Apoiada-Engastada”; K = 1 → para laje “Engastada-Engastada”; K = 48 → para laje “Em balanço”. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Verificação de Flechas (ELS-DEF) ⇒ Lajes Retangulares - Armadas em duas direções fi = f1 pi · a4 Ecsh3eq sendo f1 = K1 (b/a)3 + K2 (b/a)2 + K3 (b/a) + K4 1000 (8) Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Verificação de Flechas (ELS-DEF) Alternativamente, f1 pode ser extraído diretamente da tabela abaixo: Lajes Retangulares: Flexao Normal Simples Verificagao de Flechas (ELS-DEF) A inércia equivalente, J-,, presente no calculo da flecha imediata, f;, de lajes armadas em uma diregao - Eq. (7), bem como a espessura equivalente, heg, no caso de lajes armadas em duas diregdes - Eq. (8), 6 determinada em fungao do estado de degradacao do concreto, por sua vez, avaliado por meio de um momento chamado de “momento de fissuragao”, 1/,, dado por M,. = a . tet . Te Ut em que a €0 fator que correlaciona aproximadamente a resisténcia a tragao na flexao com a resisténcia a tragao direta, valendo 1,5 para o caso de secdes retangulares (observar que a faixa de largura unitaria 100 xh cm? considerada para a analise da laje tem secao retangular); fet €aresisténcia a tragao direta do concreto, igual ao fern NO ELS-DEF. Logo, Mo a15.foum 100K? 150h? fetm — [0,75 h? (fex)?/* kNcm (Grupo 1) “10 6 60 5,3 h? In(1+0,11fcx) kNem (Grupo Il) kN/cm2 Lajes Retangulares: Flexao Normal Simples Verificagao de Flechas (ELS-DEF) _ Se Msew < M;, — Estadio | - admite-se concreto nao fissurado, trabalhando em comportamento linear elastico a compressao e a tragao: leq =I, oe heq =h _ Se Msew > M;, — Estadio Il - admite-se concreto fissurado, trabalhando em comportamento linear elastico € compressao e nao trabalhando a tragao: M 3 M 3 Teg = | —~ Jie + J1 — (| — ) [I <I. Formula de Branson (1966 a () (a) us ( ) 100h2, 3/12Leq Sendo Jeg = 7 tem-se: heg = 00° (cm) Obs.1: O momento de servigo, Msery, 6 0 Momento fletor maximo (em servigo) no vao para lajes apoiadas e continuas (engastadas) e no engaste para lajes em balanco. Obs.2: O momento de inércia da segao fissurada, I7, 6 determinado tal como discutido a seguir. Assumindo-se uma faixa de largura unitaria da laje em Estadio II, tem-se: b=100cm hd MW LLLLLLLLLLLL LLL LALLA ALLL LLL YE, Oe eee ee ~~ — SS Ca a,=E,/E,, SSX EE A, = Determinagao da profundidade da linha neutra no Estadio Il, «,,: Uy 100 x, 2 +acAs[—(d-—a,)}=0 «©. —acAs + \/(ae As)” + 200 ae As d on 100 => Determinagao do momento de inércia da segao fissurada, [zr: 1 3 I = ett t+acAs (d _ Ly) cm* Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada, cujo dimensionamento foi realizado no exemplo anterior, pede-se: a) Verificar a flecha das lajes. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada, cujo dimensionamento foi realizado no exemplo anterior, pede-se: a) Verificar a flecha das lajes. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada, cujo dimensionamento foi realizado no exemplo anterior, pede-se: a) Verificar a flecha das lajes. Dados: _ Edifício residencial (ψ2 = 0, 3); _ fck = 25 MPa; _ Brita de granito (αE = 1, 0); _ Obs.: Não é o mesmo que αe = Es/Ecs. _ Carga permanente: g ≈ 3, 5 kN/m2; _ Carga acidental (sobrecarga): q = 1, 5 kN/m2. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (i) Valores de serviço Mr = 0, 75 h2 (fck)2/3 = 0, 75 × 102 × (25)2/3 = 641, 2 kNcm (Grupo I) pi = g + ψ2q = 3, 5 + 0, 3 × 1, 5 = 3, 95 kN/m2 Ecs = αiEci, sendo αi = 0, 8 + 0, 2fck 80 = 0, 8 + 0, 2 × 25 80 = 0, 8625 < 1, 0 ✓ Eci = αE 5.600 √fck = 1, 0 × 5.600 × √ 25 = 28.000,0 MPa (Grupo I) ∴ Ecs = 0, 8625 × 28.000,0 = 24.150,0 MPa = 24.150,0 × 103 kN/m2 Obs.: Nesse exemplo, o momento de fissuração, Mr, e o carregamento de serviço, pi, são os mesmos para todas as lajes. De maneira geral, no que diz respeito ao momento de fissuração, isto é recorrente, uma vez que é usual adotar uma mesma espessura para todas as lajes do pavimento, ao passo que, em relação ao carregamento, isto não é uma condição obrigatória. (ii) Verificagao das flechas e Laje L1 =L4: 5 Tipo C § I b=4l6cm . ae b «416 p=5,0 kN/m? M, = 194,5 kKNem Laje TipoC: — = — =1,405 = ye up a 296 {ir = 104,5 kNem Ki = 14, 4; Ko = —84, 3; K3 = 182,15 Ky, = —87, 9. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (ii) Verificação das flechas • Laje L1 = L4: fadm = ℓmenor 250 = 296 cm 250 = 1, 184 cm Mserv = Mmáx p · pi = 194, 5 5, 0 × 3, 95 = 153, 66 kNcm ∴ Mserv = 153, 66 kNcm < Mr = 641, 2 kNcm Estádio I ⇒ heq = h = 0, 1 m f1 = K1 (b/a)3 + K2 (b/a)2 + K3 (b/a) + K4 1000 = = 14, 4 × 1, 4053 + (−84, 3) × 1, 4052 + 182, 1 × 1, 405 + (−87, 9) 1000 = 0, 0415 f∞ = 2, 46fi = 2, 46·f1 pi · a4 Ecsh3eq = 2, 46×0, 0415× 3, 95 × 2, 964 24.150,0 × 103 × 0, 13 = = 0, 00128 m = 0, 128 cm < fadm = 1, 184 cm ✓ Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (ii) Verificação das flechas • Laje L2 = L3: b = 738 cm a = 296 cm Apoiada-Engastada Laje Apoiada-Engastada: p=5,0 kN/m2 =⇒ M = 314, 6 kNcm K ≈ 2, 079 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (ii) Verificação das flechas • Laje L2 = L3: fadm = ℓmenor 250 = 296 cm 250 = 1, 184 cm Mserv = Mmáx p · pi = 314, 6 5, 0 × 3, 95 = 248, 53 kNcm ∴ Mserv = 248, 53 kNcm < Mr = 641, 2 kNcm Estádio I ⇒ Ieq = Ic = 1 × 0, 13 12 m4 f∞ = 2, 46fi = 2, 46 · K pi · a4 384EcsIeq = = 2, 46 × 2, 079 × 3, 95 × 2, 964 384 × 24.150,0 × 103 × (1 × 0, 13/12) = = 0, 00201 m = 0, 201 cm < fadm = 1, 184 cm ✓ (ii) Verificagao das flechas e Laje L5 =L8: 8 Tipo C 3 I b=4l6cm . ae b «416 p=5,0 kN/m? Mz, = 248, 2 kKNcem Laje Tipo C: — = — =1,083 = ye up a 384 {ir = 197,3 kNem Ki = 14, 4; Ko = —84, 3; K3 = 182,15 Ky, = —87, 9. Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (ii) Verificação das flechas • Laje L5 = L8: fadm = ℓmenor 250 = 384 cm 250 = 1, 536 cm Mserv = Mmáx p · pi = 248, 2 5, 0 × 3, 95 = 196, 08 kNcm ∴ Mserv = 196, 08 kNcm < Mr = 641, 2 kNcm Estádio I ⇒ heq = h = 0, 1 m f1 = K1 (b/a)3 + K2 (b/a)2 + K3 (b/a) + K4 1000 = = 14, 4 × 1, 0833 + (−84, 3) × 1, 0832 + 182, 1 × 1, 083 + (−87, 9) 1000 = 0, 0287 f∞ = 2, 46fi = 2, 46·f1 pi · a4 Ecsh3eq = 2, 46×0, 0287× 3, 95 × 3, 844 24.150,0 × 103 × 0, 13 = = 0, 00251 m = 0, 251 cm < fadm = 1, 536 cm ✓ Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (ii) Verificação das flechas • Laje L6 = L7: b = 589 cm a = 284 cm Apoiada-Engastada Laje Apoiada-Engastada: p=5,0 kN/m2 =⇒ M = 283, 6 kNcm K ≈ 2, 079 Lajes Retangulares: Flexão Normal Simples Exemplo - Lajes (Flechas) (ii) Verificação das flechas • Laje L6 = L7: fadm = ℓmenor 250 = 284 cm 250 = 1, 136 cm Mserv = Mmáx p · pi = 283, 6 5, 0 × 3, 95 = 224, 04 kNcm ∴ Mserv = 224, 04 kNcm < Mr = 641, 2 kNcm Estádio I ⇒ Ieq = Ic = 1 × 0, 13 12 m4 f∞ = 2, 46fi = 2, 46 · K pi · a4 384EcsIeq = = 2, 46 × 2, 079 × 3, 95 × 2, 844 384 × 24.150,0 × 103 × (1 × 0, 13/12) = = 0, 00170 m = 0, 170 cm < fadm = 1, 136 cm ✓ Obs.: Estudar o “Exemplo 2” (item 3.9.2) sobre o Estádio II na apostila.