Slide - Aula 7 - Cinemática Inversa - 2023-1

MANIPULADORES ROBÓTICOS UFMG UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Engineering Eletrical Departament Universidade Federal de Minas Gerais MANIPULADORES ROB´OTICOS CINEM´ATICA INVERSA DE MANIPULADORES Presented by Gilmar Cruz J´unior May 11, 2023 AGENDA 1 Cinem´atica Diferencial 2 Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos 3 Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References CINEM´ATICA DIFERENCIAL Cinem´atica diferencial Direta e Inversa A cinem´atica diferencial de corpos r´ıgidos relaciona as velocidades das juntas com as velocidades correspondentes do efetuador. Existem dois tipos de modelos cinem´aticos diferenciais: 1. Jacobiana Geom´etrica: 1.1 Depende da configura¸c˜ao geom´etrica do manipulador; 2. Jacobiana Anal´ıtica: 2.1 ´E determinada diretamente da derivada do modelo cinem´atico direto. bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 2 / 24 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Cinem´atica Diferencial 2 Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos 3 Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Diferencial Jacobiana Geométrica Derivada da Matriz de Rotação Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores Típicos Jacobiana Analítica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Relação entre a Jacobiana Geométrica e a Analítica Bibliography References JACOBIANA GEOMÉTRICA Visão Geral Considere um manipulador com n-DoF. O modelo cinemático direto é dado por: Te(q) = [ Re(q) pe(q) ] [ O_{1xn} 1 ] onde q = [ q1, q2, …, qn ]^T é o vetor das variáveis das juntas. A ideia geral é determinar a relação entre as velocidades das juntas e a velocidade do efetuador: 1. Velocidade linear pe; 2. Velocidade angular we. pe = Jp(q)q̇, we = Jo(q)q̇. May 11, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 3 / 24 Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Diferencial Jacobiana Geométrica Derivada da Matriz de Rotação Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores Típicos Jacobiana Analítica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Relação entre a Jacobiana Geométrica e a Analítica Bibliography References JACOBIANA GEOMÉTRICA Visão Geral As matrizes jacobianas Jp e Jo, possuem dimensões 3xn e formam um sistema na forma: ze = Je(q)q̇, [ pe ] [ we ] = [ Jp(q) ]q̇. [ Jo(q) ] onde Je(q) é uma matriz 6xn e é dada por: Je(q) = [ Jp(q) ] [ Jo(q) ] no qual Jp é a jacobiana de posição e Jo é a jacobiana de orientação. May 11, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 4 / 24 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Considerando uma matriz de rota¸c˜ao variante no tempo R(t), dado que: R(t)R(t)T = I Derivando-se a equa¸c˜ao acima, dado que I ´e uma matriz identidade e constante, o resultado ser´a uma matriz nula. O lado esquerdo, no entanto, se aplica a derivada da multiplica¸c˜ao, resultando em: ˙R(t)RT(t) + R(t) ˙RT(t) = O, Definindo-se a matriz S e sua transposta como: S = ˙R(t)R(t)T ST = R(t) ˙RT(t) Portanto, isso implica que a matriz S ´e anti-sim´etrica: S + ST = O bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 5 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Propriedade das Matrizes Anti-Sim´etricas: 1. Para a, b ∈ R3 e α, β ∈ R, ent˜ao: (Linearidade) S(αa + βb) = αS(a) + βS(b). 2. Para a, p ∈ R3 (Produto Externo) S(a)p = a × p. 3. Para R ∈ SO(3) e a, b ∈ R3 (Auxiliar) R(a × b) = Ra × Rb. 4. Para R ∈ SO(3) e a ∈ R3: RS(a)RT = S(Ra). bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 6 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Sendo assim, podemos definir a derivada de uma matriz de rota¸c˜ao como: ˙R(t) = S(ω(t))R(t). Lembrando que a matriz antissim´etrica pode ser expressa como: S(ω(t)) =   0 −ωz ωy ωz 0 −ωx −ωy ωx 0   onde ω = [ωx, ωy, ωz]T ´e o vetor de velocidade angular. bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 7 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Exemplo: Considerando uma rota¸c˜ao elementar ao redor do eixo z. Se α for em fun¸c˜ao do tempo t, ent˜ao podemos calcular a matriz anti-sim´etrica S = ˙RRT, para Rz(α): S =   − ˙α sin α − ˙α cos α 0 ˙α cos α − ˙α sin α 0 0 0 0     cos α sin α 0 − sin α cos α 0 0 0 1   onde ω = [0, 0, ˙α]T e S ´e igual a: S(ω(t)) =   0 − ˙α 0 ˙α 0 0 0 0 0   Para: Rz(α) =   cos α − sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1   bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 8 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Calculando a velocidade de um ponto: Considere o ponto p1, dado com respeito ao sistema de coordenadas o1, que realiza um movimento de transla¸c˜ao e rota¸c˜ao relativo ao sistema de coordendas o0. O ponto p1 com respeito ao sistema o0 ´e dado por: p0 = o0 1 + R0 1p1. Para calcular a velocidade de p1 com respeito ao sistema de coordenadas o0 basta derivar a equa¸c˜ao acima: ˙p0 = ˙o0 1 + R0 1 ˙p1 + ˙R0 1p1, bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 9 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Calculando a velocidade de um ponto: Dado que p1 ´e constante com respeito `a o1, temos: ˙p0 = ˙o0 1 + ˙R0 1p1, Substituindo ˙R temos: ˙p0 = ˙o0 1 + S(ω0 1)R0 1p1, ˙p0 = ˙o0 1 + ω0 1 × R0 1p1 ˙p0 = ˙o0 1 + ω0 1 × p0 1 bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 10 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Velocidade das Juntas Propaga¸c˜ao da Velocidade Linear: Seja p0 i dado por: p0 i = p0 i−1 + R0 i−1ri−1 i A velocidade de p0 i ´e dada por v0 i = ˙p0 i que ´e expressa por: ˙p0 i = ˙p0 i−1 + ˙R0 i−1ri−1 i + R0 i−1˙ri−1 i , v0 i = v0 i−1 + R0 i−1vi−1 i + ˙R0 i−1ri−1 i , v0 i = v0 i−1 + v0 i + ω0 i−1 × r0 i , bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 11 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Velocidade das Juntas Propaga¸c˜ao da Velocidade Angular: Seja R0 i dado por: R0 i = R0 i−1Ri−1 i A derivada de R0 i ´e dada por: ˙R0 i = ˙R0 i−1Ri−1 i + R0 i−1 ˙Ri−1 i , S(ω0 i )R0 i = S(ω0 i−1)R0 i−1Ri−1 i + R0 i−1S(ωi−1 i )Ri−1 i . S(ω0 i )R0 i = S(ω0 i−1)R0 i + R0 i−1S(ωi−1 i )(R0 i−1)TR0 i . S(ω0 i )R0 i = S(ω0 i−1)R0 i + S(R0 i−1ωi−1 i )R0 i . Sendo assim temos que: ω0 i = ω0 i−1 + R0 i−1ωi−1 i bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 12 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Velocidade das Juntas Junta Prism´atica: Velocidade Linear: v0 i = ˙diz0 i−1 onde z0 i−1 ´e um vetor unit´ario na dire¸c˜ao de z com respeito ao sistema de coordenadas 0. Velocidade Angular: ω0 i = 0. bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 13 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA GEOM´ETRICA Velocidade das Juntas Junta Rotativa: Velocidade Linear: v0 i = ωi−1 i × r0 i Velocidade Angular: ω0 i = ˙θiz0 i−1. onde z0 i−1 ´e um vetor unit´ario na dire¸c˜ao de z com repeito ao sistema de coordenadas 0. bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 14 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Diferencial Jacobiana Geométrica Derivada da Matriz de Rotação Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores Típicos Jacobiana Analítica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Relação entre a Jacobiana Geométrica e a Analítica Bibliography References JACOBIANA GEOMÉTRICA Montando a Matriz Jacobiana Junta Prismática: J_i^0(q)ṙ = [z_i-1^0 0 ] ṙ Junta Rotativa: J_i^0(q)ṙ = [z_i-1^0 ⨯ r_i-1,e^0 z_i-1^0 ] ṙ onde r_i-1,e^0 = p_e^0 - p_i-1^0 é o vetor da junta i-1 para o efetuador e. Exemplo: Considerando um manipulador composto por n juntas rotativas, a jacobiana geométrica é dada por: J(q) = [z_0^0 ⨯ r_0,e^0 z_1^0 ⨯ r_1,e^0 ... z_n-1^0 ⨯ r_n-1,e^0 z_0^0 z_1^0 ... z_n-1^0 ] May 11, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 15 / 24 Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Diferencial Jacobiana Geométrica Derivada da Matriz de Rotação Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores Típicos Jacobiana Analítica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Relação entre a Jacobiana Geométrica e a Analítica Bibliography References JACOBIANA GEOMÉTRICA Montando a Matriz Jacobiana Considerando que o Jacobiano pode ser particionado como: ζ_e = J_e(q)ṙ, [v_e ω_e ] = [J_P,1^0 J_P,2^0 ... J_P,n^0 J_O,1^0 J_O,2^0 ... J_O,n^0 ] ṙ E desta forma a velocidade linear v_e e angular ω_e é composta pela: 1. Contribuição da junta i na velocidade linear do efetuador [J_P,i^0 ṙ_i]; 2. Contribuição da junta i na velocidade linear do efetuador [J_O,i^0 ṙ_i]; May 11, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 16 / 24 Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Diferencial Jacobiana Geométrica Derivada da Matriz de Rotação Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores Típicos Jacobiana Analítica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Relação entre a Jacobiana Geométrica e a Analítica Bibliography References JACOBIANA GEOMÉTRICA Exemplos de Manipuladores Típicos Exemplo: Manipulador planar de duas juntas rotativas: Para o caso de uma manipulador planar de duas juntos rotativas a Jacobiana é dada por: J(q) = [z_0^0 × (p_e^0 - p_0^0) 0 ] z_1^0 × (p_e^0 - p_1^0) Dado que: p_0^0 = [0 0 0 ], p_0^0 = [a_1 c_1 a_1 s_1 0 ], p_0 = [a_1 c_1 + a_2 c_12 a_1 s_1 + a_2 s_12 0 ], z_0^0 = z_1^0 = [0 0 1 ]. A matriz Jacobiana é dada por: J(q) = [-a_1 c_1 - a_2 c_12 -a_1 c_1 a_1 s_1 + a_2 s_12 a_1 s_1 0 0 0 0 1 1 ] J_i(q) = [z_i^0 × (p_e^0 - p_i^0) ] May 11, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 17 / 24 AGENDA 1 Cinem´atica Diferencial 2 Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos 3 Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica JACOBIANA ANALÍTICA Relação entre as Jacobianas A principal diferença entre as jacobianas Geométrica e Analítica estão na representação das velocidades referentes à orientação do efetuador. ■ Jacobiana Geométrica: velocidade angular ω_e = [ω_x, ω_y, ω_z] ͭ ; ■ Jacobiana Analítica: velocidade da representação mínima de orientação ϕ̇_e = [ϕ̇, θ̇, ψ̇] ͭ . Sendo assim, têm-se as seguintes relações: ζ_e = [ν_e ω_e] = J_g(q)q̇; ẋ_e = [ṗ_e ϕ̇_e] = J_a(q)q̇. A parte referente à orientação é dada pelo Jacobiano de Representação [J_τ(ϕ)]. Desta forma: ϕ̇_e = J_τ(ϕ)ω_e Obs.: J_τ(ϕ) depende da representação mínima. JACOBIANA ANALÍTICA Relação entre as Jacobianas Dado que ν_e = ṗ_e, a relação entre a Jacobiana Geométrica e Analítica é dada por: [ṗ_e ϕ̇_e] = [I_3x3 O_3x3 J_r(q)][ν_e ω_e], ẋ_e = T_r(x_e)ζ_e Portanto, multiplicando ambos os lados da equação do modelo cinemático diferencia geométrico tem-se? T_r(x_e)ζ_e = T_r(x_e)J_g(q)q̇, ẋ_e = T_r(x_e)J_g(q)q̇ Ja(q) = T_r(x_e)J_g(q). Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References JACOBIANA ANAL´ITICA Exemplo Considere um manipulador planar de duas juntas. A configura¸c˜ao do robˆo ´e definida como q = [θ1, θ2]T. As vari´aveis no espa¸co da tarefa (efetuador) ´e dada por xe = [xe, ye, ψe]T. Sendo assim, a jacobiana anal´ıtica pode ser calculada como: f (q) =   xe(q) ye(q) ψe(q)   , df (q) dt = ∂f (q) ∂q dq dt Dado que: xe(q) = a1 cos θ1 + a2 cos(θ1 + θ2) ye(q) = a1 sin θ1 + a2 sin(θ1 + θ2) ψe(q) = θ1 + θ2 A jacobiana anal´ıtica ´e dada por: Ja (q) =   −a1 sin θ1 − a2 sin(θ1 + θ2) −a2 sin(θ1 + θ2) a1 cos θ1 + a2 cos(θ1 + θ2) a2 cos(θ1 + θ2) 1 1   bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 20 / 24 Manipuladores Rob´oticos JACOBIANA ANALÍTICA Relação entre as Jacobianas Jacobiana de Representação: Dada a representação mínima por ângulos de Euler ZYZ', em que R = Rz,φRz,θRz,ψ, a rotação ao redor de Z é dada por: ωz = [0 0 1]T φ̇, Compondo-se tem-se que: Após realizado a rotação Rz,φ, a rotação em Y é dada por: ωy = [-sφ cφ 0]T θ̇, Após a rotação Rz,φRz,θ a rotação ao redor do eixo Z' é dada por: ωy = [cφsθ sφsθ cθ]T ψ̇, ϕ = [ ωx ωy ωz' ] = [0 -sφ cφsθ ][φ̇ ] [0 cφ sφsθ ][θ̇] [1 0 cθ ][ψ̇] [φ̇ ] = 1 [ -cφcθ -sφcθ 1 ] [ωx ] [θ̇] sθ [ -sφsθ cφsθ 0 ][ωy] [ψ̇ ] [ cθ sθ 0 ] [ωz' ] O jacobiano é singular para θ = 0, ±π. Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Diferencial Jacobiana Geom´etrica Derivada da Matriz de Rota¸c˜ao Velocidade das Juntas Montando a Matriz Jacobiana Exemplos de Manipuladores T´ıpicos Jacobiana Anal´ıtica Abordagem Geral Matriz Jacobiana Exemplo: Rela¸c˜ao entre a Jacobiana Geom´etrica e a Anal´ıtica Bibliography References BIBLIOGRAPHY Livro: [2], [1]. [1] Bruno Siciliano et al.“Mobile robots”. In: Robotics: Modelling, Planning and Control (2009), pp. 469–521. [2] Mark W Spong, Seth Hutchinson, Mathukumalli Vidyasagar, et al. Robot modeling and control. Vol. 3. Wiley New York, 2006. bar May 11, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 24 / 24 Manipuladores Rob´oticos