Slide - Aula 9 - Controle Cinemático de Manipuladores - 2023-1

MANIPULADORES ROBÓTICOS UFMG UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinemático Controle de Regulação Controle de Seguimento de Trajetória Erros de Posição e Orientação Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secundárias Bibliography References CONTROLE DE M. REDUNDANTES Controle de Tarefas Secundárias A lei de controle secundária µ pode ser dada pela maximização de uma função objetivo g(q): µ = Kµ (∂g(q)/∂q)ᵀ Exemplos de funções objetivo: Manipulabilidade: g(q) = √det(JJᵀ) Limites de Juntas: qₘᵢₙ ≤ q ≤ qₘₐₓ g(q) = -1/2n Σi=1ⁿ (qi - q̄ᵢ / qi,ₘₐₓ - qi,ₘᵢₙ)² no qual q̄ᵢ é a médio geométrica entre qi,ₘₐₓ e qi,ₘᵢₙ. Distância de Obstáculos: g(q) = min ||x(q) - O|| May 17, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Electrical Department, Engineering School Manipuladores Robóticos 16/17 AGENDA 1 Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle 2 Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao 3 Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References PROBLEMAS DE CONTROLE Tipos de Controle Na rob´otica de manipuladores existem duas formas principais de controle: Controle no Espa¸co da Tarefa; Controle no Espa¸co das Juntas. Controle no Espa¸co da Tarefa: Objetivo: Controlar a posi¸c˜ao do efetuador; Entrada: Pose desejada; Sa´ıda: Velocidade das juntas. Problemas: N˜ao tem controle das trajet´orias das juntas. Lei de Controle Cinemática Direta Xd dq/dt Robô Posição desejada do Efetuador Leitura das Juntas Velocidade das Juntas 𝜃’s x e Controle no Espa¸co das Juntas: Objetivo: Controlar as posi¸c˜oes das juntas; Entrada: Posi¸c˜ao desejada das juntas; Sa´ıda: Velocidade das juntas. Problemas: N˜ao tem controle da trajet´oria do eftuador. Lei de Controle Xd dq/dt Robô Posição desejada do Efetuador Leitura das Juntas Velocidade das Juntas 𝜃’s e Cinemática Inversa 𝜃d bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 2 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References PROBLEMAS DE CONTROLE Formas de Controle Para se realizar uma tarefa como deslocar de um ponto inicial para um ponto objetivo com um robˆo manipulador exitem duas formas controle: Controle por Regula¸c˜ao: – Objetivo: Alcan¸car a pose final desejada; – Controle: Realimenta¸c˜ao de pose ou juntas; – Obs.: N˜ao possui informa¸c˜ao temporal. Controle por Seguimento de Trajet´oria: – Objetivo: Alcan¸car a pose final desejada seguindo uma trajet´oria pr´e-definida; – Controle: Realimenta¸c˜ao de pose ou juntas, com a¸c˜ao Feedforward; – Obs.: Possui informa¸c˜ao temporal. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 3 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References PROBLEMAS DE CONTROLE Entradas de Controle Na realiza¸c˜ao de uma tarefa dado um ponto inicial e um ponto objetivo existem duas formas planejar o deslocamento do manipulador: Entradas de Controle Caminho: – ´E um conjunto de sequˆencias de poses do efetuador que dever˜ao ser seguidas para realizar uma tarefa (ponto objetivo); – N˜ao possui informa¸c˜ao temporal; – Possui informa¸c˜oes exclusivamente geom´etricas. Trajet´oria: – ´E um caminho pr´e-definido com a informa¸c˜ao temporal; – Cada pose alcan¸cada est´a associada a um instante de tempo; – Os requisitos temporais podem ser derivados geando restri¸c˜oes de velocidades e acelera¸c˜oes. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 4 / 17 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle 2 Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao 3 Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO O controle Cinem´atico de manipuladores geram leis de controle u que consideram somente as informa¸c˜oes cinem´aticas do robˆo, ou seja, n˜ao possui informa¸c˜oes dinˆamicas como for¸cas ou torques. Modelo Cinem´atico: No controle cinem´atico iremos considerar o modelo cinem´atico diferencial de um manipulador dado por: ˙xe = J(q)˙q no qual: ˙xe = [ve T, ωT e ]T ´e o vetor de velocidades lineares e angulares; J(q) ´e a matriz jacobiana; ˙q ´e o vetor de velocidade das juntas. Obs.: A matriz jacobiana ´e um dos mais importantes valores na an´alise e controle de movimentos de um robˆo manipulador para o planejamento e execu¸c˜ao de movimentos suaves. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 5 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Controle de Regula¸c˜ao Em uma tarefa ao qual se deseja alcan¸car um ponto objetivo xd dado o manipulador ´e representado pelo modelo cinem´atica direto: ˙xe = J(q)˙q A¸c˜oes de controle: Definida como u = ˙q; Objetivo: Alcan¸car a pose desejada. x(t) → xd. Erro: ˜x(t) = xd − x(t) ˙˜x(t) = −˙x(t) bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 6 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Controle de Regula¸c˜ao Em uma tarefa ao qual se deseja alcan¸car um ponto objetivo xd dado o manipulador ´e representado pelo modelo cinem´atica direto: ˙xe = J(q)˙q Lei de controle: Controle proporcional por lineariza¸c˜ao: u = J(q)−1v no qual v ´e velocidade para corre¸c˜ao dada por K˜x. Sendo assim, tem-se: u = J(q)−1K˜x onde K ´e uma matriz de ganhos positivos. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 7 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Controle de Regula¸c˜ao Em uma tarefa ao qual se deseja alcan¸car um ponto objetivo xd dado o manipulador ´e representado pelo modelo cinem´atica direto: ˙xe = J(q)˙q Dinˆamica do Erro: Comportamento desejado. ˙˜x = −˙x ˙˜x = −J(q)u ˙˜x = −J(q)J(q)−1K˜x ˙˜x = −K˜x ˙˜x + K˜x = 0 Onde a solu¸c˜ao ´e dada por: ˜x(t) = eKt˜x(0) Tem-se Estabilidade Assint´otica para K positivo. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 8 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Controle de Seguimento de Trajet´oria Em uma tarefa ao qual se deseja alcan¸car um ponto objetivo seguindo uma trajet´oria desejada xd(t). Modelo cinem´atico direto: ˙xe = J(q)˙q A¸c˜oes de controle: Definida como u = ˙q; Objetivo: Alcan¸car a pose desejada. x(t) → xd(t). Erro: ˜x(t) = xd(t) − x(t) ˙˜x(t) = ˙xd(t) − ˙x(t) bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 9 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Controle de Seguimento de Trajet´oria Em uma tarefa ao qual se deseja alcan¸car um ponto objetivo seguindo uma trajet´oria desejada xd(t). Modelo cinem´atico direto: ˙xe = J(q)˙q Lei de controle: Controle proporcional por lineariza¸c˜ao: u = J(q)−1v no qual v ´e velocidade para corre¸c˜ao dada por ˙xd + K˜x. Sendo assim, tem-se: u = J(q)−1(˙xd + K˜x) onde K ´e uma matriz de ganhos positivos. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 10 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Controle de Seguimento de Trajet´oria Em uma tarefa ao qual se deseja alcan¸car um ponto objetivo seguindo uma trajet´oria desejada xd(t). Modelo cinem´atico direto: ˙xe = J(q)˙q Dinˆamica do Erro: Comportamento desejado. ˙˜x = ˙xd − ˙x ˙˜x = ˙xd − J(q)u ˙˜x = ˙xd − J(q)J(q)−1(˙xd + K˜x) ˙˜x = ˙xd − ˙xd − K˜x ˙˜x = −K˜x ˙˜x + K˜x = 0 Onde a solu¸c˜ao ´e dada por: ˜x(t) = eKt˜x(0) Tem-se Estabilidade Assint´otica para K positivo. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 11 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Erro de Posi¸c˜ao: O erro de posi¸c˜ao e sua derivada podem ser calculados utilizando a norma Euclidiana, dada por: ˜x = 1 2∥xd − x∥2, ˙˜x = −(xd − x)T ˙x Erro de Orienta¸c˜ao: O erro de orienta¸c˜ao ´e calculado por meio da rota¸c˜ao entre a pose atual e a desejada (R2 3): R1 3 = R1 2R32, R2 3 = R2 1R31 z2 z1 x1 x2 y1 y2 z3 x3 y3 1 T2 2 T3 1 E1 E2 E3 1 T3 Inercial Efetuador Pose Desejada bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 12 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE CINEM´ATICO Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Erro de Orienta¸c˜ao: Dada a representa¸c˜ao o erro de orienta¸c˜ao pode ser calculado de diferentes maneiras, por exemplo: Matriz de Rota¸c˜ao: Re = RdRT r Representa¸c˜oes m´ınimas: φe = φd − φr Quaternions: Qe = QdQ−1 r z2 z1 x1 x2 y1 y2 z3 x3 y3 1 T2 2 T3 1 E1 E2 E3 1 T3 Inercial Efetuador Pose Desejada bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 13 / 17 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle 2 Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao 3 Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE DE M. REDUNDANTES Para o caso de manipuladores redundantes, no qual o n´umero de juntas ´e maior que o DoF da tarefa, temos que a cinem´atica inversa ´e calculada utilizando a pseudo-inversa J+, dada por: J+ = JT(JJT)−1 Controle Proporcional: O controle proporcional, com feedforward por exemplo, ´e dado pela lei de controle: u = J(q)+(˙xd + K˜x) A dinˆamica do erro ser´a dada por: ˜x(t) = eKt˜x(0) que ´e Assintoticamente est´avel para K positivo. Obs.: Com manipuladores subatuados n˜ao possuem estabilidade assintotica. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 14 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References CONTROLE DE M. REDUNDANTES Controle de Tarefas Secund´arias Para o caso de manipuladores redundantes ´e poss´ıvel realizar tarefas secund´arias utilizando o projetor no espa¸co nulo dado por (I − J+J), onde: J(I − J+J) = 0 Controle Proporcional: O controle proporcional, com feedforward por exemplo, ´e dado pela lei de controle: u = J(q)+(˙xd + K˜x) + (I − J+J)µ no qual µ ´e a lei de controle secund´aria. A dinˆamica do erro continuar´a dada por: ˜x(t) = eKt˜x(0) que ´e assintoticamente est´avel para K positivo. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 15 / 17 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Problemas de Controle Tipos de Controle Formas de Controle Entradas de Controle Controle Cinem´atico Controle de Regula¸c˜ao Controle de Seguimento de Trajet´oria Erros de Posi¸c˜ao e Orienta¸c˜ao Controle de Manipuladores Redundantes Controle de Tarefas Secund´arias Bibliography References BIBLIOGRAPHY Livro: [2], [1]. [1] Bruno Siciliano et al.“Mobile robots”. In: Robotics: Modelling, Planning and Control (2009), pp. 469–521. [2] Mark W Spong, Seth Hutchinson, Mathukumalli Vidyasagar, et al. Robot modeling and control. Vol. 3. Wiley New York, 2006. bar May 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 17 / 17 Manipuladores Rob´oticos