Slide - Aula 2 - Movimentos de Corpos Rígidos - 2023-1

DIG ELE041 – MANIPULADORES ROBÓTICOS Aula 2: Movimentosde CorposRígidos Professor: M.Sc. Gilmar Pereira Da Cruz Júnior Departamento De Engenharia Elétrica - UFMG DIG ELE041 – MANIPULADORES ROBÓTICOS Aula 2 Movimentos de Corpos Rígidos Professor: M.Sc. Gilmar Pereira Da Cruz Júnior gilmarpcruzjunior@gmail.com - gilmarpcjunior@ufmg.br Departamento De Engenharia Elétrica - UFMG AGENDA 1. Corpo Rígido; 2. Posição de um Corpo Rígido; 3. Orientação de um Corpo Rígido; 4. Composição de Corpos Rígidos; 5. Transformações Homogêneas. Movimentos de Corpos Rígidos Corpo Rígido: Em robótica, para se estudar as movimentações de cada elo ("link") de um robô, é considerado que as suas partes são compostas por corpos rígidos, onde suas partículas possuem sempre distâncias fixas entre si. Movimentos de Corpos Rígidos Corpo Rígido: É conjunto de partículas no qual a distância entre qualquer duas delas permanece constante, mesmo que o corpo tenha realizado qualquer movimento e/ou que forças sejam aplicadas nele. Num corpo rígido a seguinte igualdades é verificada: onde p(.) e q(.) definem as posições de duas partículas quaisquer do corpo rígido. Movimentos de Corpos Rígidos Corpo Rígido: Para definir um configuração de um corpo rígido, escolhe-se um ponto qualquer do corpo, por exemplo, o centro de massas ou centro geométrico, e nele é fixado um sistema de coordenadas . A configuração de um corpo rígido, então, é definida por uma posição p e uma orientação R com respeito a algum outro sistema de coordenadas . Vetores unitários ortogonais Sistema de coordenadas inercial Sistema de coordenadas do corpo Corpo rígido Movimentos de Corpos Rígidos Posição de Corpos Rígidos: Para um dado sistema de coordenadas definido no espaço cartesiano bidimensional (2D), a posição de um corpo rígido é descrita por um vetor p definido como: onde . Movimentos de Corpos Rígidos Posição de Corpos Rígidos: Para um dado sistema de coordenadas definido no espaço cartesiano tridimensional (3D), a posição de um corpo rígido é descrita por um vetor p definido como: onde . Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Dado um ponto representação no sistema de coordenadas B, este pode ser expresso no sistema de coordenadas A pela soma das projeção das suas componentes no sistema de coordenadas A. Sendo assim, as componentes do ponto são dadas por: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: O sistema de equações: Pode ser reescrita na forma matricial: onde é uma matriz de rotação/orientação entre dois sistemas de coordenas. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Matriz de Rotação 2D: Uma matriz de rotação/orientação, também definida como matriz de cossenos, entre dois sistemas de coordenadas A e B é determinada pela projeção de cada vetor unitário de B em A. onde é a projeção do vetor unitário nos vetores . Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Matriz de Rotação 2D: O produto vetorial é definido por , como os vetores são unitário o produto resultante é dado por . Sendo assim, a matriz de rotação de B para A é definida como: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Matriz de Rotação 3D: Da mesma forma é definida uma matriz de rotação 3D, onde: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Propriedade da Matriz de Rotação: Dada uma matriz de rotação , onde , têm-se que : 1. 2. , onde é uma matriz identidade de dimensão n 3. O conjuntos de todas as matrizes de rotação com as propriedades acima citadas são pertencentes ao Grupo Especial Ortogonal (Grupos de Lie – Algebra de Lie) DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Propriedade da Matriz de Rotação: • ; • As colunas de R (e consequentemente as linhas) são vetores unitários • As colunas de R (e consequentemente as linhas) são ortogonais entre si; Uma forma simples de se verificar que a inversa de uma matriz de rotação é igual a sua transposta é realizar uma rotação com o ângulo de . DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Propriedade da Matriz de Rotação: Matriz Antissimétrica Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Rotações Elementares: São rotações realizadas em torno dos eixos dos sistemas de coordenadas no sentido positivo e anti-horário (regra da mão direita). DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Rotações Elementares: rotação em z rotação em y rotação em x DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Coordenadas Exponenciais: Considere uma rotação ao redor de um eixo . Se rotacionarmos, com velocidade unitária, o ponto q ao redor de têm-se que: onde: DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Coordenadas Exponenciais: Dado que o sistema é semelhante ao sistema linear com solução têm-se que: onde: DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Coordenadas Exponenciais: Dado que o sistema é semelhante ao sistema linear com solução têm-se que: onde: Considerando um rotação de unidades de tempo, têm-se que uma rotação em torno do eixo é dada por: DUISTERMAAT, Johannes Jisse; KOLK, Johan AC. Lie groups. Springer Science & Business Media, 2012. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Coordenadas Exponenciais: Propriedades da Matriz Antissimétrica: Seja uma matriz antissimétrica: 1. 1. 2. Se então , , , , para . Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Coordenadas Exponenciais: Portanto, dado que tem-se que: Podendo ser escrita na forma mais compacta através da Fórmula de Rodrigues (Rodrigues, M.O. 1840) Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: Considere os sistemas de coordenadas E1, E2 e E3 e ponto com coordenadas p1, p2 e p3, nos respectivos sistemas. Considerando a matriz de rotação do sistema de coordenadas com respeito ao sistema de coordenadas , temos e: Então compondo, tem-se: Imagem meramente ilustrativa (Considere as origens dos sistemas de coordenadas coincidentes) Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: (Rotação no Sistema de Coordenadas CORRENTE) A rotação pode ser interpretada da seguinte maneira: 1. Considere um sistema de coordenadas alinhado à E1; 2. Rotacionar o sistema de coordenadas por meio de de modo a alinhar este ao sistema de coordenadas E2. 3. Rotacionar o sistema de coordenadas por meio de de modo a alinhar este ao sistema de coordenadas E3. Obs.: Note que todas as rotações são segundo o sistema de coordenadas CORRENTE, ou seja, o sistema de coordenadas do copo. Em uma forma mais geral, tem-se: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: (Rotação no Sistema de Coordenadas FIXO) Outro tipo de rotação é realizando utilizando um sistema de coordenadas fixo. Neste caso, é realizado uma pré- multiplicação. 1. Alinha-se um sistema de coordenadas ao sistema de coordenadas E1; 2. Rotacionar este sistema de coordenadas por meio de de modo a alinhar ao sistema E2; 3. Rotacionar o sistema de coordenadas por meio de , que representa a rotação no sistema de coordenadas fixo, de modo a alinha ao sistema de coordenadas E3. Sendo assim, a multiplicação de é realizada à esquerda de . . Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: Suponha que representa uma rotação de ângulo ao redor de e ao redor de , e que , e são as representações do vetor nos diferentes sistemas de coordenadas. Tem-se que: No entanto, como a segunda rotação é ao redor do eixo não podemos aplicar a rotação (corrente) . Para utilizar a convenção de eixos CORRENTES temos que rotacionar primeiro para : Então, compondo temos: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Transformações de Similaridades: Se A é a matriz que representa uma dada transformação linear em E0 e B é a representação da mesma transformação em E1, então: Onde é a matriz de rotação entre os sistemasE0 e E1. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: Exemplo: Seja a rotação em eixos fixos Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Composição de Matrizes de Rotação: Resumo: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: A Matriz de rotação possui 9 incógnitas, para representar a rotação/orientação em 3 Graus de Liberdade* (Movimentação nos 3 eixos x, y e z). Contudo, dadas as propriedades da matriz de rotação, tem-se 6 restrições: Entãos tem-se: 9 incógnitas - 6 restrições = 3 parâmtros necessários. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Representações Mínimas da Matriz de Rotação: 1. Representação exponencial; 2. Representação por ângulos de Euler; 3. Representação Roll, Pitch, Yaw; 4. Representação Eixo-ângulo. Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Representação Exponencial: Como vimos, , , portanto uma possível representação é , onde e . Portanto, tem-se 4 incógnitas e 1 restrição ( ). Sendo assim, podemos determinar a matriz de rotação equivalente dado por: E a relação inversa é dada por: No entanto, esta representação é SINGULAR em . Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Ângulos de Euler: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Ângulos de Euler: Representação ZYZ: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Ângulos de Euler: Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Ângulos de Row-Pitch-Yaw (X, Y, Z): Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Ângulos de Row-Pitch-Yaw (X, Y, Z): Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Ângulos de Row-Pitch-Yaw (X, Y, Z): Movimentos de Corpos Rígidos Orientação de Corpos Rígidos: Representação Eixo-Ângulo: É a representação de uma rotação dado um vetor na direção do eixo de rotação, com respeito ao sistema de coordenadas inercial, e uma ângulo de rotação em torno do eixo . Sendo assim, a matriz de rotação equivalente é dada por: onde: A relação inversa é dada por: A representação é singular quando . Movimentos de Corpos Rígidos Composição de Corpos Rígidos: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Relação entre Diferentes Sistemas de Coordenadas: De quantas maneiras eu consigo representar o sistema D com respeito ao sistema U? Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Relação entre Diferentes Sistemas de Coordenadas: De quantas maneiras eu consigo representar o sistema D com respeito ao sistema U? Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Translações e Rotações Básicas: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: (TRANSLAÇÃO PURA) Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: (TRANSLAÇÃO PURA) Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: (ROTAÇÃO PURA) Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: (ROTAÇÃO PURA) Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: (TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO) Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Multiplicação pela Esquerda ou Direita: (TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO) Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Ordem das Multiplicações: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Exemplo de Aplicação: Movimentos de Corpos Rígidos Transformação Homogênea: Exemplo de Aplicação: