Slide - Aula 8 - Cinemática Inversa de Manipuladores - 2023-1

MANIPULADORES ROBÓTICOS UFMG UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Engineering Eletrical Departament Universidade Federal de Minas Gerais MANIPULADORES ROB´OTICOS CINEM´ATICA INVERSA DE MANIPULADORES Presented by Gilmar Cruz J´unior May 15, 2023 AGENDA 1 Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho 2 Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo 3 Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References SINGULARIDADES CINEM´ATICAS A matriz jacobiana na cinem´atica diferencial define o mapeamento entre as velocidades das juntas ˙q e as velocidades do efetuador ζe, dado por: ζe = J(q)˙q, Uma singularidade ocorre quando o jacobiano perde o posto. Ou seja: Posto de J: 1. do n◦ colunas linearmente independentes de J; 2. do n◦ de dire¸c˜oes independentes em SE(3) nas quais o efetuador pode se movimentar. Singularidade de J: 1. Quando J perde posto; - R(J) < sua dimens˜ao [Espa¸co Range]; 2. Quando J ganha DoF adicionais em self-motion; - N (J) > sua dimens˜ao [Espa¸co Null]. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 2 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References SINGULARIDADES CINEM´ATICAS O estudo sobre as singularidade de um manipulador ´e de grande interesse pelas seguintes raz˜oes: Singularidades representam mobilidade reduzida em algumas dire¸c˜oes; Quando estruturas esta em uma posi¸c˜ao singular, infinitas solu¸c˜oes da cinem´atica inversa; Nas vizinhas de uma singularidade, pequenas velocidades no espa¸co de trabalho causam grandes velocidades no espa¸co das juntas; Singularidades pode ser classificadas como: Singularidade de Fronteira: devido se encontrar na fronteira do espa¸co de trabalho; Singularidade Interna: quando 2 ou mais eixos est˜ao alinhados. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 3 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior SINGULARIDADES CINEMÁTICAS Singularidades Cinemáticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Braço Singularidade do Punho Cinemática Diferencial Invensa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espaço Nulo Manipulabilidade Elipsóide de Manipulação Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References Exemplo 3.2: (Robotics: Modeling, Planing and Control – Siciliano) Considere o manipulador apresentado na Figura abaixo. A matriz jacobiana é dada por: J = Para analisar o posto da matriz, consideramos o seu determinante: det(J) = a1 a2 s2. Desde que a1, a2 ≠ 0, o determinante será zero se θ2 = 0 ou θ2 = π. ENG Departamento de Engenharia Elétrica UFMG bar May 15, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 4 / 25 Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior SINGULARIDADES CINEMÁTICAS Singularidades Cinemáticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Braço Singularidade do Punho Cinemática Diferencial Invensa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espaço Nulo Manipulabilidade Elipsóide de Manipulação Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References Manipulador com Desacoplamento Considerando um manipulador robótico de 6 DoF com punho esférico. A singularidade pode ser analisada dividindo-s em dois problemas: 1. Singularidade do braço; 2. Singularidade do punho; A posição do punho não varia com os ângulos das 3 últimas juntas, considerando que p_e = p_4 = p_5 = p_6. sendo assim, a cinemática diferencial direta é da por: Desta forma a matriz jacobiana é triangular, no qual J_12 = nula; ENG Departamento de Engenharia Elétrica UFMG bar May 15, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 5 / 25 SINGULARIDADES CINEMÁTICAS Manipulador com Desacoplamento Dado que a matriz jacobiana é triangular: [ v_e ] = [J_11 0 ] [q̇_p ] [ ω_e ] = [J_21 J_22] [q̇_o] O determinante de J é facilmente determinado por: det(J) = det(J_11)det(J_22), no qual det(J_11) = 0 determina as singularidades do braço e det(J_22) = 0 determina as singularidades do punho. Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References SINGULARIDADES CINEM´ATICAS Singularidade do Bra¸co Singularidade do Bra¸co (3 primeiras juntas): Existem 2 casos onde J11 ´e singular: Singularidade de Cotovelo: det(J11) = −a2a3s3(a2c2 + a3c23), para a2, a3 ̸= 0 o determinante ser´a zero se: θ3 = 0, ou θ3 = π. Singularidade de Ombro: xc = yc = 0. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 7 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References SINGULARIDADES CINEM´ATICAS Singularidade do Punho Singularidade do Punho (3 ´ultimas juntas): A singularidade do punho ocorre quando z3 esta alinhado com z5. Para isso: θ5 = 0, ou θ5 = π. O determinante det(J22) = 0, pois a primeira e terceira coluna s˜ao ortogonais. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 8 / 25 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho 2 Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo 3 Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Dado que o modelo cinem´atico diferencial direto ´e dado por: ζe = J(q)˙q, O modelo cinem´atico inverso depende da invertibilidade da matriz jacobiana. Para isso, existem 3 situa¸c˜oes referentes `a Atua¸c˜ao do manipulador. Atua¸c˜ao de um Manipulador: Para um manipulador de m DoF realizando uma tarefa de r vari´aveis, ´e classificado como: Subatuado: m ≤ r Atuado: m = r Reduntante: m ≥ r bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 9 / 25 Manipuladores Rob´oticos CINEMÁTICA DIF. INVERSA Manipulador Atuado Caso a matriz jacobiana J seja invertível, é possível mapear as velocidades realizadas pelo efetuador para o espaço das juntas por meio de: q̇ = J(q)^{-1}ζ_e Neste caso, a matriz jacobiana é quadrada e, se possível, facilmente invertível. Dado que se conhece a posição inicial do robô q(0), pode ser calcular as posições das juntas por meio do processo de integração, por exemplo: q(t) = ∫_0^t q̇(ζ_e)dζ + q(0). De forma discreta, por: q(k + 1) = q(k) + q̇(k)Δt. Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Subatuado Caso a matriz jacobiana J n˜ao for invert´ıvel a equa¸c˜ao anterior n˜ao ´e v´alida. Por´em, ´e poss´ıvel utilizar a pseudoinversa. Para um manipulador subatuado, no qual os DoF a serem controlados ´e maior que o grau de atua¸c˜ao, a matriz jacobiana ´e retangular, onde o n´umero de linhas ´e maior que o n´umero de colunas. Neste caso ´e calculado a pseudo inversa `a esquerda. Pseudoinversa `a esquerda: Dado que JTJ ´e uma matriz quadrada e invert´ıvel, tem-se: I = (JTJ)−1JTJ = [(JTJ)−1JT]J = J+J O modelo cinem´atico diferencial inverso: O modelo cinem´atico diferencial inverso ´e dado por: J˙q = ζe J+J˙q = J+ζe ˙q = J+ζe bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 11 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Redundante Para um manipulador Redundante, no qual os DoF a serem controlados ´e menor que o grau de atua¸c˜ao, a matriz jacobiana ´e retangular, onde o n´umero de colunas ´e maior que o n´umero de linhas. Neste caso ´e calculado a pseudo inversa `a direita. Pseudoinversa `a direita: Dado que JJT ´e uma matriz quadrada e invert´ıvel, tem-se: I = JJT(JJT)−1 = J[JT(JJT)−1] = JJ+ O modelo cinem´atico diferencial inverso: O modelo cinem´atico diferencial inverso ´e dado por: ˙q = J+ζe Como chegar nessa solu¸c˜ao?? bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 12 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Reduntante Dado que a cinem´atica diferencial direta ´e dada por J˙q = ζe. As velocidades das juntas pode ser determinada utilizando uma solu¸c˜ao por m´ınimos quadrados minimizando a fun¸c˜ao de custo: f (˙q) = 1 2 ˙qTW˙q, no qual W ´e uma matriz de pesos sim´etrica positiva semi-definida, onde W = WT. Pode-se resolver esse problema usando o m´etodo de Multiplicadores de Lagrange. Considerando o modelo de custo modificado: f (˙q, λ) = 1 2 ˙qTW˙q + λT(ζe − J˙q) em que λ ´e um vetor(r × 1) de multiplicadores de Lagrange desconhecidos. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 13 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Reduntante A solu¸c˜ao requer que satisfa¸ca duas condi¸c˜oes necess´arias: ∂f ∂ ˙q T = 0, ∂f ∂λ T = 0 A segunda condi¸c˜ao recai sobre a restri¸c˜ao dada pelo modelo cinem´atico diferencial direto. J´a a segunda condi¸c˜ao ´e dada por: ∂f ∂ ˙q T = W˙q − JTλ = 0 Isolando ˙q, temos que: ˙q = W−1JTλ bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 14 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Reduntante Substituindo ˙q no modelo cinem´atico tem-se: ζe = JW−1JTλ Isolando o λ e substituindo na solu¸c˜ao por m´ınimos quadrados tem-se que: ˙q = W−1JT(JW−1JT)−1ζe Um caso particular ocorre quando W = I. Neste caso, tem-se: ˙q = JT(JJT)−1ζe ˙q = J+ζe bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 15 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Reduntante Projetor no espa¸co nulo: Para um caso especial no qual ˙q = ˙q − ˙q0, em que ˙q0 ´e um vetor de velocidades das juntas qualquer. A fun¸c˜ao de custo pode ser escrita como: f (˙q) = 1 2(˙q − ˙q0)T(˙q − ˙q0). Pode-se resolver esse problema usando o m´etodo de Multiplicadores de Lagrange. Considerando o modelo de custo modificado: f (˙q, λ) = 1 2(˙q − ˙q0)T(˙q − ˙q0) + λT(ζe − J˙q) Para a primeira condi¸c˜ao necess´aria tem-se que: ˙q = JTλ + ˙q0 bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 16 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Manipulador Reduntante Substituindo ˙q no modelo cinem´atico tem-se: ζe = J(JTλ + ˙q0) ζe = JJTλ + J˙q0 ζe − J˙q0 = JJTλ λ = (JJT)−1(ζe − J˙q0) Substituindo o λ na solu¸c˜ao por m´ınimos quadrados tem-se que: ˙q = JT(JJT)−1(ζe − J˙q0) + ˙q0 ˙q = JT(JJT)−1ζe − JT(JJT)−1J˙q0 + ˙q0 ˙q = J+ζe − J+J˙q0 + ˙q0 Reescrevendo a equa¸c˜ao tem-se: ˙q = J+ζe + (I − J+J)˙q0 no qual (I − J+J) ´e projetor no espa¸co nulo. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 17 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References CINEM´ATICA DIF. INVERSA Projetor no Espa¸co Nulo Projetor no Espa¸co Nulo: A matriz jacobiana pode ser caracterizada em termos do espa¸co de alcance (Range) e nulo (Null) do mapeamento da matriz, no qual: Espa¸co de Alcance: ´E o subespa¸co R(J) em Rr de velocidades do efetuador que pode ser gerado pelas velocidades das juntas. Espa¸co de Nulo: ´E o subespa¸co N (J) em Rn de velocidade das juntas que n˜ao produz qualquer velocidade no efetuador. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 18 / 25 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho 2 Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo 3 Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References MANIPULABILIDADE Elipsoide de Manipula¸c˜ao A manipulabilidade ´e um ´ındice usado determinar as configura¸c˜oes adequadas de um manipulador para executar uma determinada tarefa na configura¸c˜ao atual; A manipulabilidade ´e uma medida referente a atitude de um manipulador de alterar arbitrariamente a posi¸c˜ao e a orienta¸c˜ao do efetuador final. Essa capacidade ´e descrita de maneira eficaz pelo Elipsoide de Manipula¸c˜ao de Velocidade. Elipsoide de Manipula¸c˜ao: Considerando a equa¸c˜ao de um elipsoide que descreve os pontos sobre uma esfera no espa¸co das juntas temos que: ˙qT ˙q = 1 Substituindo o modelo cinem´atico diferencial inverso ˙q = J+ζ, tem-se: ζT(J+TJ+)ζ = 1 bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 19 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References MANIPULABILIDADE Elipsoide de Manipula¸c˜ao Elipsoide de Manipula¸c˜ao: Substituindo o modelo cinem´atico diferencial inverso ˙q = J+ζ, tem-se: ζT(J+TJ+)ζ = 1 Conforme a express˜ao da pseudoinversa da matriz jacobiana, tem-se: ζT(JJT)−1ζ = 1 no qual ´e a equa¸c˜ao do elipsoide no espa¸co de velocidade do efetuador. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 20 / 25 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References MANIPULABILIDADE Elipsoide de Manipula¸c˜ao Eixos do Elipsoide: A matriz JJT ´e uma fun¸c˜ao da configura¸c˜ao do manipulador e seus autovetores determinam os principais eixos do Elipsoide, no qual sua dimens˜ao ´e dada pelos valores singulares σi. Os valores singulares podem ser determinados pela decomposi¸c˜ao SVD da matriz jacobiana: J = UΣVT onde: J ∈ Rm×n; U ∈ Rm×m, com UUT = Im×m; V ∈ Rn×n, com VVT = In×n; Σ =   σ1 · · · 0 O ... ... ... O 0 · · · σn O   onde σn ≤ σi ≤ σ1. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 21 / 25 Manipuladores Rob´oticos MANIPULABILIDADE Elipsoide de Manipulação A manipulabilidade é obtida considerando a medida proporcional do volume do Elipsoide dada pelo produto dos valores singulares: μ = σ_1σ_2⋯σ_m Dado que σ = √λ_{J,i}, onde λ_{J,i} é o autovalor i de J. Sendo assim, a manipulabilidade pode ser determinada por: μ = √λ_{J,1}√λ_{J,2}⋯√λ_{J,m} μ = √λ_{J,1}λ_{J,2}⋯λ_{J,m}. Dado que det(JJ^T) = λ_{J,1}λ_{J,2}⋯λ_{J,m}, tem-se: μ = √det(JJ^T) MANIPULABILIDADE Caso Especial da Jacobiana Quadrada Caso Especial da Jacobiana Quadrada: Para uma matriz jacobiana quadrada tem-se que a manipulabilidade é dada por: μ = √det(JJT) μ = √det(J)det(JT) μ = √(λ1λ2...λm)² μ = |λ1λ2...λm| μ = |det(J)| Em outras palavras a manipulabilidade mede a distância até a singularidade do Jacobiano do Manipulador J(q). Exemplo: MANIPULABILIDADE Exemplos Exemplo: Manipulador planar de duas juntas rotativas: Para o caso de uma manipulador planar de duas juntos rotativas a Jacobiana é dada por: J(q) = [z0 × (p0 — p0) z0 × (p0 — p0)] A matriz Jacobiana é dada por: J(q) = [-a1c1 -a2c12 -a1c1 a1s1 + a2s12 a1s1] 0 0 0 0 0 0 1 1 Simplificando, tem-se uma matriz quadrada: J(q) = [-a1c1 -a2c12 -a1c1 a1s1 + a2s12 a1s1] A manipulabilidade é dada por: μ = |det(J)| = a1a2|s2| Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Singularidades Cinem´aticas Manipulador com Desacoplamento Singularidade do Bra¸co Singularidade do Punho Cinem´atica Diferencial Inversa Manipulador Atuado Manipulador Subatuado Manipulador Redundante Projetor no Espa¸co Nulo Manipulabilidade Elipsoide de Manipula¸c˜ao Caso Especial da Jacobiana Quadrada Exemplo Bibliography References BIBLIOGRAPHY Livro: [2], [1]. [1] Bruno Siciliano et al.“Mobile robots”. In: Robotics: Modelling, Planning and Control (2009), pp. 469–521. [2] Mark W Spong, Seth Hutchinson, Mathukumalli Vidyasagar, et al. Robot modeling and control. Vol. 3. Wiley New York, 2006. bar May 15, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 25 / 25 Manipuladores Rob´oticos