Lista - Potencial Elétrico - 2024-1

LISTA DE EXERCÍCIOS DE FUNDAMENTOS DE ELETROMAGNETISMO POTENCIAL ELÉTRICO 3.1) Em um sistema eletrostático, caso você faça a integral do campo elétrico ao longo do caminho em uma trajetória fechada, como indicado na Fig. 1, a integral será sempre igual a zero, independente da forma da trajetória e da maneira como as cargas estão distribuídas ao longo dela. Explique o motivo. FIG. 1. 3.2) O potencial elétrico V de uma região do espaço é dado por: V (x, y, z) = A(x2−3y2+z2), sendo A uma constante positiva. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto nessa região. (b) Sabe se que o trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste de 1.5 µC se desloca a partir do ponto (x, y, z) = (0, 0, 0.25) m até a origem é de o 6.0 × 10−5 J. Determine A. (c) Determine o campo elétrico no ponto (0, 0, 0, 25) m. 3.3) Um elétron, partindo do repouso, é acelerado por um campo elétrico e se desloca para outro ponto onde o potencial elétrico é 1.0 × 104 V mais alto. Qual é a velocidade adquirida pelo elétron? (massa do elétron m = 9.109 × 10−31 kg e e = 1.602 × 10−19 C) 3.4) Duas esferas isolantes, idênticas, e com cargas de sinais contrários e módulo Q = 250 µC cada, medem 50 cm de diâmetro, e são colocadas a uma distância de 1.0 m de um centro a outro, como mostra a Fig. 2. (a) Se um voltímetro é conectado entre os pontos mais próximos (a e b), qual será sua leitura? (b) Qual ponto, a ou b, possui o potencial mais elevado, explique? 3.5) Um cilindro condutor de comprimento L é envolvido por uma casca cilíndrica condutora de mesmo comprimento (veja Fig. 3). Sabendo que o cilindro possui uma carga +q e raio 1 FIG. 2. FIG. 3. a, e a casca externa uma carga líquida −2q e raio b, responda (considere L muito maior que a distância entre o cilindro interno e a casca cilíndrica). (a) Faça um desenho mostrando uma superfície Gaussiana apropriada para se estimar o módulo do campo elétrico entre o cilindro e a casca cilíndrica. Desenhe a superfície Gaussiana, a normal dessa superfície, e os vetores do campo elétrico. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico em função da distância axial r na região entre o cilindro e a casca. (c) Calcule a diferença de potencial entre o cilindro e a casca cilíndrica. FIG. 4. 3.6) Duas placas condutoras A e B estão sujeitas a potenciais elétricos respectivamente 2 iguais a 0 volt e 25 volt. A Fig. 4. mostra essas placas juntamente com algumas superfícies equipotenciais. Um elétron está inicialmente em repouso entre as placas na posição indicada. (massa do elétron m = 9.109 × 10−31 kg e e = −1.602 × 10−19 C) (a) Contra qual das placas o elétron se chocará? Explique e indique o sentido do vetor campo elétrico na posição inicial do elétron. (b) Qual a energia cinética do elétron instantes antes da colisão? Deixe claro o raciocínio utilizado. (c) Como se alteraria o problema acima se todos os valores de potenciais fossem diminuídos de 10 volt? Isto é, as placas A e B passariam a ter potenciais elétricos respectivamente iguais a –10 volt e +15 volt. Justifique. 3.7) Uma esfera condutora de raio R encontra-se carregada com uma carga q. Responda os itens abaixo deixando claro seu raciocínio e expresse suas respostas em termos dos parâmet- ros R e q. (a) Calcule o campo elétrico, tanto dentro quanto fora da esfera, em função de um raio r. (b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos. 3 CAPACITORES E DIELÉTRICOS 4.1) Duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios R1 e R2 (R1 < R2) estão car- regadas com cargas de sinais opostos e módulo q (a casca de raio menor, R1, tem carga +q e a casca de raio maior, R2, tem carga -q). (a) Calcule a capacitância de um capacitor esférico. (sugestão: acompanhe a seção 25-3 no livro do Halliday – Fundamentos de Física, vol. 3, 8ed) (b) Calcule a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema. (Calcule de duas formas: 1 - usando a fórmula de energia dos capacitores, e 2 - usando a densidade de energia do campo elétrico. 4.2) Na Fig. 5, cada capacitor possui capacitância C = 4.0µ F e Vab = 28 V. Calcule: (a) a carga de cada capacitor; (b) a diferença de potencial através de cada capacitor; (c) a diferença de potencial entre a e d. FIG. 5. 4.3) A Fig. 6 mostra um capacitor de placas paralelas com área das placas L2 e a distância entre elas é d. O lado esquerdo do espaço entre as placas é preenchido por um material de constante dielétrica κ1; a parte superior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 e a parte inferior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ3. Qual é a capacitância total? 4.4) A Fig. 7 mostra um corte em um capacitor cilíndrico carregado com uma carga q. Os raios dos cilindros interno e da casca cilíndrica externa são a e b respectivamente. O cilindro interno, de massa m, pode deslizar sem atrito em um eixo isolante de modo que 4 FIG. 6. a sua coordenada vertical y é variável. Considerando que o capacitor está sujeito à força gravitacional faça o que se pede: (a) Calcule a capacitância em função da posição do cilindro interno y; (b) Calcule o valor de y para o qual o peso do cilindro interno é compensado pela força vertical elétrica que o outro cilindro exerce sobre ele. FIG. 7. 4.5) Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas de áreas A separadas por uma distância d. 4.6) Um capacitor de placas paralelas quadradas de lado L tem suas placas separadas por uma distância d e está carregado com carga q, como mostra a Fig. 8. Um bloco quadrado feito de material isolante de constante dielétrica κ pode deslizar livremente entre suas placas. (a) Calcule a capacitância do capacitor quando o bloco está posicionado a uma distância x dentro das placas. (b) Calcule a energia armazenada no capacitor em função de x. (c) Calcule a força que atua no bloco para uma dada posição x, e diga se o bloco é puxado para dentro ou para fora do capacitor. Justifique sua resposta 5 FIG. 8. 4.7) Suponha que ao invés de manter a carga constante no problema 4.6 uma bateria, que fornece uma diferença de potencial V , permaneça ligada enquanto o bloco dielétrico é inserido entre as placas do capacitor. Determine (a) a carga total do capacitor em função de x, (b) a densidade de cargas, σ1, na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico, (c) a densidade de cargas, σ2, na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico, (d) o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico e, (e) o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico. Comente suas respostas aos itens (a) a (d). (f) Mantendo a bateria ligada, o bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique sua resposta e faça considerações acerca da energia acumulada no capacitor antes e depois de inserir a placa dielétrica. 4.8) Um capacitor de placas paralelas, cada uma com área A e separadas por uma distância b, possui uma placa condutora de espessura a, posicionada a uma distância x, como mostrado na Fig. 10. Calcule sua capacitância em termos dos dados do problema, mostrando que ela não depende de x. Indique todos os cálculos, deixando claro o raciocínio utilizado. FIG. 9. 6 4.9) As capacitâncias da Fig. 10 valem: C1 = 2,0 µF e C2 = 4,0 µF. Com a chave aberta, o capacitor C1 é inicialmente carregado sob uma diferença de potencial V0 = 3,0 volt. a) Qual a carga e qual a energia inicial de C1? Indique todos os cálculos. Depois que a chave é fechada, calcule: b) Quais as novas diferenças de potencial nos dois capacitores? c) Qual a energia final do sistema? Interprete o resultado obtido. Deixe claro seu raciocínio. FIG. 10. 7 Respostas: 3.2) (a) ⃗E = ( −2Axˆi + 6Ayˆj − 2Azˆk ) 3.2) (b) A = 640V/m2 3.2) (c) ⃗E = ( 0ˆi + 0ˆj − 320ˆk ) V/m 3.3) 5, 9 × 107 m/s 3.4) (a) 12 × 106 V 3.4) (b) a 3.5) (b) ⃗E = q 2πϵ0Lr ˆr 3.5) (c) ∆V = q 2πϵ0L ln ( b a ) 3.6) (a) Choque contra B 3.6) (b) 1, 6 · 10−18 J 3.7) (a) E = 0 para r < R, e E = q 4πϵ0r2 ˆr para r > R. 3.7) (b) UE = q2 8πϵ0R 4.1) (a) C = 4πϵ0 R1R2 R2−R1 4.1) (b) U = q2 8πϵ0 R2−R1 R1R2 4.2) (a) Q1 = 22µC, Q2 = 22µC, Q3 = 44µC, Q4 = 67µC. 4.2) (b) V1 = 5, 5V, V2 = 5, 5V, V3 = 11V, V4 = 17V. 4.2) (c) 11V. 4.3) k1k2+k1k3+2k2k3 k2+k3 ϵ0L2 2d 4.4) (a) C = 2πϵ0y ln( b a ) 4.4) (b) y = √ q2 ln( b a ) 4mgπϵ0 4.5) C = ϵ0A d 4.6) (a) ϵ0L d (L + (k − 1)x) 4.6) (b) q2d 2ϵ0L(L+(k−1)x) 4.6) (c) q2d(k−1) 2ϵ0L(L+(k−1)x)2. O bloco é puxado para dentro. 4.7) (a) ϵ0LV d (L + (k − 1)x) 4.7) (b) kϵ0V d 4.7) (c) ϵ0V d 4.7) (d) V d 4.7) (e) V d 4.7) (f) Para dentro. 4.8) ϵoA/(b − a) 8 4.9) (a) q0 = 6,0 µC U0 = 9,0 µJ 4.9) (b) V = 1,0 volt. 4.9) (c) Notamos que o sistema perdeu energia: A perda de energia é necessária para que o sistema vá para a condição de equilíbrio estável. U = 3,0 µJ. 9