Slide - Potencial Elétrico - Fundamentos de Eletromagnetismo - 2023-2

CAPÍTULO 24 POTENCIAL ELÉTRICO FIS069 EAD – 02/2023 V.B. Nascimento Depto de Física ICEx UFMG 24.1 POTENCIAL ELÉTRICO V = -\frac{W_{∞}}{q_{0}} = \frac{U}{q_{0}}, U = qV. ΔU = qΔV = q(V_{f} - V_{i}). ΔK = -qΔV. ΔK = -qΔV + W_{ext}. (energia potencial elétrica) = (carga da partícula) \left( \frac{energia potencial elétrica}{unidade de carga} \right), U = qV, Carga de prova \ q_{0} \ no\ ponto\ P Objeto carregado A barra cria um potencial elétrico, que determina a energia potencial. Potencial elétrico V \ no\ ponto\ P Exemplo 24.1.1 Medida do potencial de uma tempestade elétrica usando múons e antimúons Quando raios cósmicos (prótons, nêutrons e núcleos atômicos de alta energia) se chocam com moléculas do ar na atmosfera, são criados múons e antimúons, versões mais pesadas do elétron e sua antipartícula, o pósitron. A carga do múon, representada pelo símbolo \mu^{-}, é a mesma do elétron, -e, e a carga do antimúon, representada pelo símbolo \mu^{+}, é a mesma do pósitron, +e. Alguns desses múons chegam até a superfície da Terra. A energia média desses múons e antimúons é 4,0 GeV. Se as partículas passam por uma tempestade elétrica, podem ganhar ou perder energia, dependendo do sinal de sua carga e do sentido do campo elétrico associado à tempestade. Considere uma situação simples na qual um antimúon \mu^{+} se move verticalmente para baixo e passa por uma nuvem eletricamente carregada de espessura d = 6,0 km (Fig. 24.1.3a). Suponha que o campo elétrico da nuvem é uniforme e vertical e o antimúon chega à superfície da Terra com uma energia de 5,2 GeV em vez dos esperados 4,0 GeV. (1) Qual é o trabalho que o campo elétrico exerce sobre o antimúon? (2) Qual é o módulo do campo elétrico? (3) Qual é a diferença de potencial ΔV entre a extremidade superior e a extremidade inferior da nuvem? (1) O trabalho realizado por uma força constante \vec{F} ao longo de um deslocamento \vec{d} é dado por W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta, em que \theta é o ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento. (2) A força elétrica e o campo elétrico estão relacionados pela equação \vec{F} = q\vec{E}, em que q = +e é a carga do antimúon. (3) De acordo com a Fig. 24.1.6, o trabalho que o campo elétrico exerce sobre o antimúon está relacionado à diferença de potencial ΔV entre as extremidades superior e inferior da nuvem: W = qΔV. Cálculos: Como o campo elétrico aumenta a velocidade do antimúon, o trabalho realizado é positivo e igual à diferença entre a energia observada e a energia média: Figura 24.1.3 (a) Um antimúon é criado por um raio cósmico na atmosfera e, a caminho da superfície da Terra, passa por uma tempestade elétrica. (b) O fato de que a energia do antimúon aumenta significa que o campo \vec{E} aponta no mesmo sentido que o deslocamento \vec{d}, ou seja, para baixo. W = 5,2 \ \text{GeV} - 4,0 \ \text{GeV} = 1,2 \ \text{GeV} = (1,2 \times 10^{9} \ \text{eV}) \left(1,602 \times 10^{-19} \ \text{J/eV} \right) = 1,922 \times 10^{-10} \ \text{J} \approx 1,9 \times 10^{-10} \ \text{J}. \text{(Resposta)} Como o antimúon tem carga positiva, o fato de o trabalho ser positivo significa que o campo aponta para baixo, no mesmo sentido que o deslocamento (Fig. 24.1.3b) e, portanto, \theta = 0º e W = Fd \cos \theta = (qE)d \cos 0º = ed, o que nos dá E = \frac{W}{ed} = \frac{1,922 \times 10^{-10} \ \text{J}}{(1,602 \times 10^{-19} \ \text{C}) (6,0 \times 10^{3} \ \text{m})} = 2,0 \times 10^{5} \ \text{V/m}. \text{(Resposta)} De acordo com a Eq. 24.1.6, a diferença de potencial entre a extremidade superior e a extremidade inferior da nuvem é ΔV = \frac{W}{q} = \frac{1,922 \times 10^{-10} \ \text{J}}{1,602 \times 10^{-19} \ \text{C}} = 1,2 \times 10^{9} \ \text{V} = 1,2 \ \text{GV}. \text{(Resposta)} 24.2 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E O CAMPO ELÉTRICO campo elétrico uniforme de módulo E Linhas equipotenciais O trabalho realizado ao longo de uma trajetória que se mantém em uma superfície equipotencial é nulo. O trabalho realizado ao longo de uma trajetória que começa e termina na mesma superfície equipotencial é nulo. Os trabalhos realizados ao longo de trajetórias que começam e terminam nas mesmas superfícies equipotenciais são iguais. 24.3 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Para determinar o potencial da partícula carregada, deslocamos esta carga de prova até o infinito. \vec{E} \cdot d\vec{s} = E \cos \theta \; ds. Exemplo 24.3.1 Potencial total de várias partículas carregadas Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na Fig. 24.3.3a? A distância d é 1,3 m, e as cargas são q_1 = +12 nC, \ q_2 = -24 nC, \ q_3 = +31 nC, \ q_4 = +17 nC. IDEIA-CHAVE O potencial elétrico V no ponto P é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelas quatro partículas. Figura 24.3.3 (a) Quatro partículas carregadas são mantidas fixas nos vértices de um quadrado. (b) A curva fechada é uma seção reta, no plano da figura, da superfície equipotencial que contém o ponto P. (A curva é apenas um esboço.) (Como o potencial elétrico é um escalar, as posições angulares das cargas são irrelevantes; apenas as distâncias entre as cargas e o ponto P aparecem na expressão do potencial.) Cálculos: De acordo com a Eq. 24.3.6, temos V = \sum_{i=1}^4 V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{r} + \frac{q_3}{r} + \frac{q_4}{r} \right). A distância r é d/\sqrt{2} = 0,919\, \mathrm{m}, e a soma das cargas é q_1 + q_2 + q_3 + q_4 = (12 - 24 + 31 + 17) \times 10^{-9}\, \mathrm{C} = 36 \times 10^{-9}\, \mathrm{C}. Então, V = \frac{(8,99 \times 10^9\, \mathrm{N \cdot m^2/C^2}) (36 \times 10^{-9}\, \mathrm{C})}{0,919 \mathrm{m}} \approx 350\, \mathrm{V}. \; \; \mathrm{(Resposta)} Nas vizinhanças das três cargas positivas da Fig. 24.3.3a, o potencial assume valores positivos muito elevados. Nas proximidades da carga negativa, o potencial assume valores negativos muito elevados. Assim, existem necessariamente pontos no interior do quadrado nos quais o potencial tem o mesmo valor intermediário que no plano da figura com a superfície equipotencial que contém o ponto P. Qualquer ponto dessa curva tem o mesmo potencial que o ponto P. 24.4 POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO 24.5 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA Todos os elementos de carga do anel contribuem para o potencial no ponto P. dq = \sigma\,(2\pi R')\,(dR'), dV = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\,\frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,(2\pi R')\,(dR')}{\sqrt{z^2 + R'^2}}. V = \int dV = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_0^R \frac{R'dR'}{\sqrt{z^2 + R'^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - z\right). 24.6 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL Exemplo 24.6.1 Cálculo do campo a partir do potencial O potencial elétrico em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado é dado pela Eq. 24.5.7, V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - z\right). A partir dessa equação, determine uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto do eixo do disco. IDÉIA-CHAVE Estamos interessados em calcular o campo elétrico \vec{E} em função da distância z ao longo do eixo do disco. Para qualquer valor de z, \vec{E} deve apontar ao longo do eixo do disco, já que o disco possui simetria circular em relação a esse eixo. Assim, basta conhecermos a componente E_z de \vec{E}. Essa componente é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância z. Cálculo: De acordo com a terceira das Eqs. 24.6.4, podemos escrever E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{d}{dz} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - z\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right). Trata-se da mesma expressão que foi obtida por integração no Módulo 22.5, usando a lei de Coulomb. \mathrm{(Resposta)} 24.7 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS CARREGADAS 24.8 POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO Casca Esférica Condutor descarregado submetido a um campo elétrico Perguntas e exercícios ◦Perguntas: 1 a 12 ◦Exercícios: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 63, 65, 67