Exercício de Residência dos Materiais

Questão 1 15 pontos Determine os momentos principais de inercia para a área da seção transversal da viga mostrada na figura abaixo em relação a um eixo que passa pelo centroide Dados Ix29 x 109 mm4 Iy56 x 109 mm4 Ixy30 x 109 mm4 Questão 2 10 pontos O estado de tensões em um dado ponto de um sólido deformável é dado pelas seguintes tensões MPa T168 96 72 96 296 0 72 0 296 Admitindo que o material seja isotrópo e possua comportamento elásticolinear determine a o tensor das pequenas deformações no ponto b a máxima distorção e o máximo alongamento possíveis de serem obtidos neste ponto São dados E200 GPa ν025 Questão 1 15 pontos Determine os momentos principais de inercia para a área da seção transversal da viga mostrada na figura abaixo em relação a um eixo que passa pelo centroide Dados Ix29 x 109 mm4 Iy56 x 109 mm4 Ixy30 x 109 mm4 A questão pede os momentos principais de inércia de área de uma seção qualquer dados Ix Iy e Ixy relativos a eixos centroidais x e y Esses três números são suficientes os momentos principais são os autovalores do tensor de inércia plano e podem ser obtidos pelas relações invariantes sem precisar de nenhuma decomposição geométrica da seção Dados do enunciado eixos passando pelo centróide Ix29109 mm4 Iy56109 mm4 Ixy30109 mm4 Primeiro considerase a média e o semidifencial IxIy2 29109 561092 851092 425109 mm4 IxIy2 29109 561092 271092 135109 mm4 O termo sob a raiz que aparece na transformação para eixos principais é sqrtIx Iy22 Ixy2 sqrt1351092 301092 Calculando explicitamente escrevese 1351092 182251018 301092 9001018 182251018 9001018 1082251018 sqrt1082251018 32897568299109 mm4 Os momentos principais de inércia I1 e I2 com I1 I2 são I12 Ix Iy2 sqrtIx Iy22 Ixy2 Substituindo I1 425109 32897568299109 75397568299109 mm4 I2 425109 32897568299109 09602431701109 mm4 Arredondando os resultados pedidos com duas casas decimais no fator de potência I1 754109 mm4 I2 096109 mm4 Para a orientação dos eixos principais zerase o produto de inércia no sistema girado A condição clássica é tan2θ 2 Ixy Ix Iy Com os valores numéricos tan2θ 230109 29109 56109 60109 27109 2222222 2θ arctan2222222 6577 valor agudo θ 6577 2 3289 Essa θ é o ângulo entre o eixo x e uma das direções principais as duas direções principais são ortogonais e diferem de 90 Verificando pela expressão de Ixθ Ixθ Ix cos2 θ Iy sin2 θ 2 Ixy sin θ cos θ encontrase que o valor máximo I1 ocorre quando o eixo x está a θmax 5711 a partir de x enquanto o valor mínimo I2 ocorre na direção ortogonal θmin θmax 90 3289 Em outras palavras uma direção principal faz 3289 no sentido horário a partir de x e a outra perpendicular a esta faz 5711 no sentido antihorário a partir de x Em ambas o produto de inércia se anula e os momentos obtidos são os I1 e I2 acima Questão 2 10 pontos O estado de tensões em um dado ponto de um sólido deformável é dado pelas seguintes tensões MPa T 168 96 72 96 296 0 72 0 296 Admitindo que o material seja isotrópo e possua comportamento elásticolinear determine a o tensor das pequenas deformações no ponto b a máxima distorção e o máximo alongamento possíveis de serem obtidos neste ponto São dados E 200 GPa ν 025 Adotase comportamento elástico linear isotrópico e regime de pequenas deformações O tensor de tensões em MPa é T 168 96 72 96 296 0 72 0 296 E 200 GPa 200 000 MPa ν 025 A relação constitutiva inversa Lei de Hooke em 3D entre tensão e deformação pequena é ε 1νET νEtrTI onde trT σxx σyy σzz é o traço de T e I é a identidade Calculase o traço trT 168 296 296 760 MPa Calculamse os coeficientes elásticos 1νE 125200000 625106 MPa1 νE 025200000 125106 MPa1 Aplicando componente a componente lembrando que o termo com o traço só afeta a diagonal εxx 625106168 125106760 105104 950105 100105 εyy 625106296 125106760 185104 950105 900105 εzz 625106296 125106760 185104 950105 900105 εxy εyx 62510696 600105 εxz εzx 62510672 450105 εyz εzy 6251060 000 a O tensor das pequenas deformações no ponto componentes tensionais não as engenheiras fica ε 100105 600105 450105 600105 900105 000 450105 000 900105 Se forem necessárias as deformações de cisalhamento de engenharia usase γij 2 εij Para identificar alongamentos principais e distorções máximas obtêmse os autovalores de ε deformações principais ε1 ε2 ε3 ε1 135104 ε2 900105 ε3 350105 Em microdeformação equivalem a 135 με 90 με e 35 με b O máximo alongamento possível no ponto é a maior deformação principal εmax ε1 135104 adimensional A máxima distorção em termos de cisalhamento de engenharia obtida pelo círculo de Mohr de deformações é a diferença entre a maior e a menor deformação principal γmax ε1 ε3 135104 350105 170104 Algumas referências usam a medida tensorial máxima de cisalhamento que vale a metade cisalhamento tensorial máximo γmax2 850105