Exercícios - Condução de Calor - Transmissão de Calor

TRANSMISSÃO DE CALOR Exercícios sobre Condução de Calor tratados em sala-de-aula Aleta plana retangular, de seção transversal uniforme (Incropera et al., 2008). Considere a placa absorvedora de um coletor solar plano, do tipo placa-e-tubos, para líquidos. A placa absorvedora é uma placa plana fina provida de um revestimento para aumento da absorção de radiação solar. Tubos de parede fina, em material bom condutor térmico, são fixados à placa, em cujo interior escoa o fluido a ser aquecido. Da radiação solar absorvida, uma parcela é perdida para o entorno do coletor solar por convecção, radiação e por condução (através do isolante); a parcela restante é transferida para o escoamento no interior dos tubos. A placa absorvedora atua, do ponto de vista térmico, como uma aleta. A análise térmica de um coletor solar constitui uma tarefa um pouco complexa, de forma que, para o tratamento térmico – objeto da presente questão, uma série de simplificações é feita. Considere a temperatura da placa na junção com o tubo à temperatura Tb ; um fluxo de calor radiativo líquido, uniforme, para a placa 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 ′′ (absorção de radiação térmica na superfície absorvedora –emissão de radiação térmica da superfície absorvedora); uma transferência de calor convectiva para o ar ambiente a T∞, com coeficiente convectivo uniforme h; a superfície inferior da placa perfeitamente isolada; a temperatura da placa uniforme em sua espessura e ao longo do comprimento do coletor (direção do escoamento); todos os tubos operando às mesmas condições; regime permanente. a) Deduzir uma eq. diferencial relativa à condução de calor na placa, T(x), a partir de um balan-ço de energia em um volume de controle elementar na placa absorvedora e apresentar as con- dições de contorno adequadas. b) É possível reescrever o problema térmico da placa absorvedora numa forma mais reduzida? Caso positivo, como ficaria? c) Calcular a eficiência de aleta da placa absorvedora. DADOS: Condutividade térmica da placa k ≈ 200 W/mK; Distância entre os centros de tubos W = 10 cm; Diâmetro dos tubos Dtubo = 10 mm; Espessura da placa = 1 mm ; Comprimento de aleta (placa absorv.) 2L = W – D ; Razão /comprimento longitudinal da placa → 0 ; T∞ = 25 oC , h = 10 W/m2 0C ; 𝒒̇ 𝒓𝒂𝒅 ′′ = 600 W/m2 ; ========================================================================================================= RESOLUÇÃO: EXERCÍCIOS DE CONDUÇÃO TRANSIENTE QUESTÃO 1. (Incropera, 2008) Longas barras cilíndricas metálicas ( k = 40 W/(m.K), cP ≈ 500 J/(kg.K), ≈ 8000 kg/m3 ), com 50 mm de diâmetro, são submetidas a um tratamento térmico em um forno ( T∞ =750 oC, h =125 W/(m2K) – não considerar as trocas radiativas da barra! ). As barras entram no forno a 50 oC ( Ti ), e a temperatura de seu eixo deve chegar a 600 oC ( r = 0 ), antes de saírem. Parte I - Método da Capacitância Global: a) calcular o número de Biot pelo método da capacitância global. b) Se Bi < 0.1, calcular o tempo de permanência das barras no forno. Parte II - Condução Unidimensional, em Regime Transiente - T(r,t): a) calcular o número de Biot para o problema térmico; b) estimar o tempo de permanência das barras no forno; c) estimar a temperatura da superfície das barras. Parte III – Conclusões a) Como se comparam os tempos previstos nas Partes I e II? QUESTÃO 2. Condução bidimensional em regime transiente – tratamento analítico. Considere o problema térmico das barras apresentado na Questão 1. Assuma, agora, que as barras (curtas) tenham um comprimento de 200 mm. No forno ocorrem as mesmas condições convectivas em torno das barras (T∞ , coeficiente convectivo uniforme em torno da barra) da questão anterior. a) Por que as barras não podem ser idealizadas como um cilindro infinito? b) O problema da condução bidimensional transiente na barra pode ser tratado com base em soluções unidimensionais? Justifique. c) Represente graficamente a distribuição de temperaturas no eixo da barra quando o tempo de permanência calculado na Parte II da Questão 1 é alcançado. d) Quais suas conclusões? QUESTÃO 3. Condução Unidimensional, em Regime Transiente - T(r,t) – tratamento numérico: Equações de Diferenças-Finitas. Considere o problema térmico das barras longas, apresentado na Questão 1. Parte I: a) Esboçar uma malha nodal para um distanciamento entre pontos nodais de 2,5 mm (r). b) Adotando o Método do Balanço de Energia, deduzir as equações de diferenças-finitas para todos os nós em “formulação explícita”. Qual o critério de estabilidade necessário? c) Adotando o Método do Balanço de Energia, deduzir as equações de diferenças-finitas para todos os nós em “formulação totalmente implícita”. Parte II: a) Por quanto tempo as barras devem permanecer no forno, para que a temperatura em seu eixo central alcance 600 0C? Resolver pelo método explícito! b) Qual a temperatura da superfície nesse instante de tempo? c) Verificar seus resultados com base na SOLUÇÃO ANALÍTICA. Quais suas conclusões? QUESTÃO 2. Condução bidimensional em regime transiente. Considere o problema térmico das barras apresentado na Questão 1. Assuma, agora, que as barras (curtas) tenham um comprimento de 200 mm. No forno ocorrem as mesmas condições convectivas em torno das barras (T∞ , coeficiente convectivo uniforme em torno da barra) da questão anterior. a) Por que as barras não podem ser idealizadas como um cilindro infinito? b) O problema da condução bidimensional transiente na barra pode ser tratado com base em soluções unidimensionais? Justifique. c) Represente graficamente a distribuição de temperaturas no eixo da barra quando o tempo de permanência calculado na Parte II da Questão 1 é alcançado. d) Quais suas conclusões? Barra cilíndrica curta exposta às mesmas condições convectivas em toda a sua superfície. QUESTÃO 3. Condução Unidimensional, em Regime Transiente - T(r,t) - Equações de Diferenças-Finitas. Longas barras cilíndricas metálicas (k=40 W/(m.K), cP≈500 J/(kg.K), ≈8000 kg/m3), com 50 mm de diâmetro, são submetidas a um tratamento térmico em um forno (T∞ =750 oC, h =125 W/(m2.K) – não considerar as trocas radiativas da barra!). As barras entram no forno a 50 oC ( Ti ), e a temperatura de seu eixo deve chegar a 600 oC ( r = 0 ), antes de saírem. Condução Unidimensional, em Regime Transiente - T(r,t)- Equações de Diferenças-Finitas: a) Esboçar uma malha nodal para um distanciamento entre pontos nodais de 2,5 mm (r). b) Adotando o Método do Balanço de Energia, deduzir as equações de diferenças-finitas para todos os nós em “formulação explícita”. Qual o critério de estabilidade necessário? c) Adotando o Método do Balanço de Energia, deduzir as equações de diferenças-finitas para todos os nós em “formulação totalmente implícita”. d) Por quanto tempo as barras devem permanecer no forno, p/a temperatura em seu eixo central alcançar 600 oC, se elas entrarem à temp. uniforme de 50 oC ( Ti )? Resolver pelo método explícito. e) Qual a temperatura da superfície nesse instante de tempo? f) Verificar seus resultados com base na SOLUÇÃO ANALÍTICA. Quais suas conclusões? a) MALHA UNIDIMENSIONAL Aspectos geométricos: ri = i r ; i = 0 , M r = 2,5 mm  M = r0/r = 25 mm/2,5 mm = 10 Nó central “0”: 𝑨𝟎,𝟏 = 𝟐𝝅 ∆𝒓 𝟐 𝑳 ; 𝑽𝟎 = 𝝅 ( ∆𝒓 𝟐 ) 𝟐 𝑳 = 𝟏 𝟒 𝝅(∆𝒓)𝟐𝑳 Nó interior “i” (1 < i < M-1): 𝑨𝒊−𝟏,𝒊 = 𝟐𝝅 𝒓𝒊−𝟏,𝒊 𝑳 = 𝟐𝝅(𝒊 − 𝟏/𝟐)∆𝒓 𝑳 ; 𝑨𝒊,𝒊+𝟏 = 𝟐𝝅 𝒓𝒊,𝒊+𝟏 𝑳 = 𝟐𝝅(𝒊 + 𝟏/𝟐)∆𝒓 𝑳 ; 𝑽𝒊 = 𝟐𝝅 (𝒊 ∆𝒓)∆𝒓 𝑳 Nó na fronteira “M”: 𝑨𝑴−𝟏,𝑴 = 𝟐𝝅 (𝑴 − 𝟏 𝟐) ∆𝒓 𝑳 ; 𝑽𝑴 = 𝝅(𝑴 − 𝟏/𝟒)(∆𝒓)𝟐𝑳 𝑨𝑺 = 𝑨𝑴 = 𝟐𝝅(𝑴 ∆𝒓) 𝑳 Números de Fourier e Biot “numéricos”: 𝑭𝒐𝒏𝒖𝒎 = (𝒌 𝝆𝒄𝑷 ⁄ )∆𝒕 (∆𝒓)𝟐 = 𝜶∆𝒕 (∆𝒓)𝟐 𝑩𝒊𝒏𝒖𝒎 = 𝒉∆𝒓 𝒌 = 𝒉(𝒓𝟎 𝑴) 𝒌 = 𝟏 𝑴 𝒉𝒓𝟎 𝒌 = 𝟏 𝑴 𝑩𝒊𝒓𝟎 b) EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS-FINITAS – FORMULAÇÃO EXPLÍCITA: Nó “0”: 𝑸𝒌𝟏→𝟎 = 𝝆𝑽𝟎𝒄𝑷 𝑻𝟎 𝒏+𝟏− 𝑻𝟎 𝒏 ∆𝒕  𝒌(𝝅∆𝒓𝑳) 𝑻𝟏 𝒏− 𝑻𝟎 𝒏 ∆𝒓 = 𝝆 [ 𝟏 𝟒 𝝅(∆𝒓)𝟐𝑳] 𝒄𝑷 𝑻𝟎 𝒏+𝟏− 𝑻𝟎 𝒏 ∆𝒕 𝑻𝟎 𝒏+𝟏 = [𝟏 − 𝟒 (𝒌 𝝆 𝒄𝑷 ⁄ )∆𝒕 (∆𝒓)𝟐 ] 𝑻𝟎 𝒏 + 𝟒 (𝒌 𝝆 𝒄𝑷 ⁄ )∆𝒕 (∆𝒓)𝟐 𝑻𝟏 𝒏  𝑻𝟎 𝒏+𝟏 = (𝟏 − 𝟒𝑭𝒐 )𝑻𝟎 𝒏 + 𝟒𝑭𝒐 𝑻𝟏 𝒏 Nó interior “i” (1 < i < M-1): 𝑸𝒌𝒊−𝟏→𝒊 + 𝑸𝒌𝒊+𝟏→𝒊 = 𝝆𝑽𝒊𝒄𝑷 𝑻𝒊 𝒏+𝟏− 𝑻𝒊 𝒏 ∆𝒕  𝒌[𝟐𝝅(𝒊 − 𝟏/𝟐)∆𝒓𝑳] 𝑻𝒊−𝟏 𝒏 − 𝑻𝒊 𝒏 ∆𝒓 + 𝒌[𝟐𝝅(𝒊 + 𝟏/𝟐)∆𝒓𝑳] 𝑻𝒊+𝟏 𝒏 − 𝑻𝒊 𝒏 ∆𝒓 = 𝝆[𝟐𝝅 𝒊(∆𝒓)𝟐 𝑳] 𝒄𝑷 𝑻𝒊 𝒏+𝟏− 𝑻𝒊 𝒏 ∆𝒕 𝑻𝒊 𝒏+𝟏 = (𝟏 − 𝟐𝑭𝒐)𝑻𝒊 𝒏 + 𝑭𝒐[(𝟏 − 𝟏 𝟐𝒊 ⁄ )𝑻𝒊−𝟏 𝒏 + (𝟏 + 𝟏 𝟐𝒊 ⁄ )𝑻𝒊 𝒏] Nó na fronteira“M”: 𝑸𝒌𝑴−𝟏→𝑴 + 𝑸𝒄𝒐𝒏𝒗 = 𝝆𝑽𝑴𝒄𝑷 𝑻𝑴 𝒏+𝟏− 𝑻𝑴 𝒏 ∆𝒕  𝒌[𝟐𝝅(𝑴 − 𝟏/𝟐)∆𝒓𝑳] 𝑻𝑴−𝟏 𝒏 − 𝑻𝑴 𝒏 ∆𝒓 + 𝒉[𝟐𝝅(𝑴∆𝒓)𝑳](𝑻∞ − 𝑻𝑴 𝒏 ) = 𝝆[𝝅(𝑴 − 𝟏/𝟒)(∆𝒓)𝟐𝑳] 𝒄𝑷 𝑻𝑴 𝒏+𝟏− 𝑻𝑴 𝒏 ∆𝒕 𝑻𝑴 𝒏+𝟏 = [𝟏 − 𝟐𝑭𝒐 (𝑴 − 𝟏 𝟐 ⁄ 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ ) − 𝟐𝑭𝒐 𝑩𝒊 ( 𝑴 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ ) ] 𝑻𝑴 𝒏 + [𝟐𝑭𝒐 (𝑴 − 𝟏 𝟐 ⁄ 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ ) 𝑻𝑴−𝟏 𝒏 + 𝟐𝑭𝒐 𝑩𝒊 ( 𝑴 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ ) 𝑻∞] CRITÉRIO DE ESTABILIDADE: mais restritivo das três expressões: Nó central “0”: 𝑭𝒐 ≤ 𝟏 𝟒 ⁄ 𝑭𝒐 = (𝒌 𝝆𝒄𝑷 ⁄ )∆𝒕 (∆𝒓)𝟐 = 𝜶∆𝒕 (∆𝒓)𝟐 𝑩𝒊 = 𝒉∆𝒓 𝒌 = 0,0078 M = 10 ∆𝒕 = 𝑭𝒐 (∆𝒓)𝟐 𝜶 ∆𝒕 = Nós interiores: 1 < i < M-1: 𝑭𝒐 ≤ 𝟏 𝟐 ⁄ Nó na fronteira“M”: 𝑭𝒐 ≤ 𝟏 𝟐 𝟏−𝟏 𝟒𝑴 ⁄ 𝟏+𝑩𝒊 − 𝟏 𝟐𝑴 ⁄ = 0,509 c) EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS-FINITAS – FORMULAÇÃO IMPLÍCITA: Nó “0”: 𝑸𝒌𝟏→𝟎 = 𝝆𝑽𝟎𝒄𝑷 𝑻𝟎 𝒏+𝟏− 𝑻𝟎 𝒏 ∆𝒕  𝒌(𝝅∆𝒓𝑳) 𝑻𝟏 𝒏+𝟏− 𝑻𝟎 𝒏+𝟏 ∆𝒓 = 𝝆 [ 𝟏 𝟒 𝝅(∆𝒓)𝟐𝑳] 𝒄𝑷 𝑻𝟎 𝒏+𝟏− 𝑻𝟎 𝒏 ∆𝒕 𝑻𝟎 𝒏+𝟏(𝟏 + 𝟒𝑭𝒐) − 𝟒𝑭𝒐 𝑻𝟏 𝒏+𝟏 = 𝑻𝟎 𝒏 Nó interior “i” (1 < i < M-1): 𝑸𝒌𝒊−𝟏→𝒊 + 𝑸𝒌𝒊+𝟏→𝒊 = 𝝆𝑽𝒊𝒄𝑷 𝑻𝒊 𝒏+𝟏− 𝑻𝒊 𝒏 ∆𝒕  𝒌[𝟐𝝅(𝒊 − 𝟏/𝟐)∆𝒓𝑳] 𝑻𝒊−𝟏 𝒏+𝟏− 𝑻𝒊 𝒏+𝟏 ∆𝒓 + 𝒌[𝟐𝝅(𝒊 + 𝟏/𝟐)∆𝒓𝑳] 𝑻𝒊+𝟏 𝒏+𝟏− 𝑻𝒊 𝒏+𝟏 ∆𝒓 = 𝝆[𝟐𝝅 𝒊(∆𝒓)𝟐 𝑳] 𝒄𝑷 𝑻𝒊 𝒏+𝟏− 𝑻𝒊 𝒏 ∆𝒕 𝑻𝒊 𝒏+𝟏(𝟏 + 𝟐𝑭𝒐) − 𝑭𝒐[(𝟏 − 𝟏 𝟐𝒊 ⁄ )𝑻𝒊−𝟏 𝒏+𝟏 + (𝟏 + 𝟏 𝟐𝒊 ⁄ )𝑻𝒊+𝟏 𝒏+𝟏] = 𝑻𝒊 𝒏 Nó na fronteira“M”: 𝑸𝒌𝑴−𝟏→𝑴 + 𝑸𝒄𝒐𝒏𝒗 = 𝝆𝑽𝑴𝒄𝑷 𝑻𝑴 𝒏+𝟏− 𝑻𝑴 𝒏 ∆𝒕  𝒌[𝟐𝝅(𝑴 − 𝟏/𝟐)∆𝒓𝑳] 𝑻𝑴−𝟏 𝒏+𝟏 − 𝑻𝑴 𝒏+𝟏 ∆𝒓 + 𝒉[𝟐𝝅(𝑴∆𝒓)𝑳](𝑻∞ − 𝑻𝑴 𝒏+𝟏) = 𝝆[𝝅(𝑴 − 𝟏/𝟒)(∆𝒓)𝟐𝑳] 𝒄𝑷 𝑻𝑴 𝒏+𝟏− 𝑻𝑴 𝒏 ∆𝒕 𝑻𝑴 𝒏+𝟏 [𝟏 + 𝟐𝑭𝒐 (𝑴 − 𝟏 𝟐 ⁄ 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ + 𝑴 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ 𝑩𝒊 )] − 𝟐𝑭𝒐 (𝑴 − 𝟏 𝟐 ⁄ 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ ) 𝑻𝑴−𝟏 𝒏+𝟏 = 𝑻𝑴 𝒏 + 𝟐𝑭𝒐 𝑩𝒊 𝑴 𝑴 − 𝟏 𝟒 ⁄ 𝑻∞ 𝑻𝑴 𝒏+𝟏 [𝟏 + 𝟐𝑭𝒐 ( 𝟏 − 𝟏 𝟐𝑴 ⁄ 𝟏 − 𝟏 𝟒𝑴 ⁄ + 𝟏 𝟏 − 𝟏 𝟒𝑴 ⁄ 𝑩𝒊 )] − 𝟐𝑭𝒐 ( 𝟏 − 𝟏 𝟐𝑴 ⁄ 𝟏 − 𝟏 𝟒𝑴 ⁄ ) 𝑻𝑴−𝟏 𝒏+𝟏 = 𝑻𝑴 𝒏 + 𝟐𝑭𝒐 𝑩𝒊 ( 𝟏 𝟏 − 𝟏 𝟒𝑴 ⁄ ) 𝑻∞ d) e) TEMPERATURAS DO EIXO (T0) E DA SUPERFÍCIE (TS) DAS BARRAS CILÍNDRICAS, APÓS 636 s (tf) Solução analítica: Teixo = 600 oC ; Tsup = 605,8 oC ; tf = 638,3 s Método da Capacitância Global: tf = 617,2 s