Aula 14 - Variável Aleatória: Esperança e Variância

Universidade de Brasília UnB Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Estatística Aplicada Prof Gladston 22023 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aula 14 Variável Aleatória Esperança e Variância Função de Distribuição Acumulada Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Variável Aleatória Definição Dizemos que a variável X é aleatória se a cada um de seus possíveis valores se associa uma probabilidade 𝑃 𝑋 O conjunto dos valores da variável e das respectivas probabilidades isto é o conjunto dos valores de 𝑥𝑖 e 𝑃 𝑋 𝑥𝑖 com i 1 2 n é a distribuição de X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Variável Aleatória Definição Chamase de função de probabilidade da variável aleatória X a função 𝑝 𝑥𝑖 que a cada valor de 𝑥𝑖 associa sua probabilidade de ocorrência isto é 𝑝 𝑥𝑖 𝑃 𝑋 𝑥𝑖 𝑝𝑖 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Esperança Expectância Matemática O valor esperado de uma variável aleatória discreta X denotado por EX é a media ponderada de todos os possíveis valores da variável com os respectivos valores de probabilidade tomados como pesos Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Média Definição Seja X uma variável aleatória A média de X denotada por X ou EX é definida por 𝜇 𝐸 𝑋 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖 𝑃 𝑋 𝑥𝑖 se X é discreta Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Média Se X é uma variável contínua com função de densidade 𝑓𝑋 𝑥 a média de X é 𝜇 𝐸 𝑋 න 𝑥𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Variância Definição Seja X uma va e x sua média A variância de X denotada por 𝜎𝑥2 ou VarX é definida por 𝑉𝑎𝑟 𝑋 σ𝑖1 𝑁 𝑥𝑖 𝜇𝑋 2 𝑃 𝑋 𝑥𝑖 se X é discreta 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑥𝑖 𝜇𝑋 2𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 se X é contínua Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Expectância 1 Ec c para uma constante c 2 EcX cEX para a constante c 3 Ec1Xc2Y c1EX c2EY 4 EX EY se X Y para todo x Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Variância 1 Varc 0 para uma constante c 2 VarcX c2VarX para a constante c 3 VarcXd c2VarX 4 VarX EX 2 EX 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Função de Distribuição Acumulada Definição Dada a variável aleatória X chamaremos de função de distribuição acumulada fda ou simplesmente função de distribuição fd Fx a função Fx PXx Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 X Idade PXx FX XPXx X EX2PXxi X2 PXx XPXx 18 046 046 836 12530977 EX 1964 324 046 15043 19 011 057 204 00442784 361 011 3868 20 011 068 214 00136662 VX 373 373 400 011 4286 21 014 082 300 02631195 441 014 6300 22 007 089 157 03968659 DPX 193 484 007 3457 23 004 093 082 04025146 529 004 1889 24 007 100 171 13560496 576 007 4114 Total 100 38957 005 010 015 020 025 030 035 040 045 050 18 19 20 21 22 23 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição de Bernoulli Exemplos Desejase verificar se determinadoa candidatoa vencerá a eleição Num grupo de pessoas uma parte está febril Desejase verificar a parcela de infectados com COVID a partir de uma amostra Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição de Bernoulli Para cada situação acima podemos definir uma variável X que assume apenas dois valores o valor 1 se ocorre sucesso e o valor 0 se ocorre insucesso Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição de Bernoulli Indicaremos por p a probabilidade de sucesso isto é PX1 Psucesso p onde 0 p 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição de Bernoulli Definição A variável aleatória X que assume apenas os valores 0 e 1 com a função de probabilidade é chamada variável aleatória de Bernoulli X 0 1 Total PXx 1 p p 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial Se a va X tem distribuição Bernoulli então EX p VX p1p pq Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial Definição Chamase de experimento binomial aquele que consiste em n eventos de Bernoulli são independentes e a probabilidade de sucesso em cada evento é sempre igual a p Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial Definição A variável aleatória X correspondente ao número de sucessos num experimento binomial tem Distribuição Binomial X Bn p cuja função de probabilidade é 𝑃 𝑋 𝑘 𝑛 𝑘 𝑝𝑘 1 𝑝 𝑛𝑘 𝑘 01 𝑛 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial Se a va X Bn p então EX np VX np1p Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial X B3 p 𝑃 𝑋 𝑘 𝑛 𝑘 𝑝𝑘 1 𝑝 𝑛𝑘 𝑘 0 12 𝑛 Sucesso sair CARA C Insucesso sair COROA K PSucesso PX1 p PInsucesso PX0 1p De quantas maneiras posso obter dois sucessos em três lançamentos C C K p p 1p p2 1p C K C p 1p p p2 1p 3 2 𝑝2 1 𝑝 32 K C C 1p p p p2 1p Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema Numa população 30 das pessoas estão com COVID Sucesso Retirase ao acaso uma amostra de 10 e desejase verificar o seguinte a A probabilidade de nenhuma estar com COVID b A probabilidade de até 1 pessoa com COVID c No mínimo uma pessoa estar com COVID d Três pessoas estarem com COVID Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial a 𝑃 𝑋 0 10 0 0300 1 030 100 10 0 10 0 1 070 10 10 1 10 1 070 10 0028 b 𝑃 𝑋 1 10 1 0301 1 030 101 10 1 10 1 0301 070 9 10 1 9 0301 070 9 10 0301 070 9 0121 𝑃 𝑋 1 𝑃 𝑋 0 𝑃 𝑋 1 0149 𝑋 𝐵𝑖𝑛 10 030 𝑃 𝑋 𝑘 10 𝑘 030𝑘 1 030 10𝑘 𝑘 1 10 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Binomial c 𝑃 𝑋 1 1 𝑃 𝑋 0 1 0028 0972 b 𝑃 𝑋 3 10 3 0303 1 030 103 10 3 10 3 0303 070 7 10987 3 7 0303 070 7 120 0303 070 7 0267 𝑋 𝐵𝑖𝑛 10 030 𝑃 𝑋 𝑘 30 𝑘 030𝑘 1 030 10𝑘 𝑘 1 10 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema 𝑋 𝐵𝑖𝑛 10 030 a 𝑃 𝑋 0 0028 b 𝑃 𝑋 1 0028 00123 0149 c 𝑃 𝑋 1 1 𝑃 𝑋 0 1 0028 0972 d 𝑃 𝑋 3 0267 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema Numa família a taxa de nascimento do sexo feminino é de 040 Numa subgrupo desta família de 4 filhos verifique as seguintes probabilidades a Pelo menos dois serem do sexo feminino b Até quatro serem do sexo feminino c Nascerem dois filhos do sexo masculino