Aula 16: Distribuição Normal - Estatística Aplicada

Universidade de Brasília UnB Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Estatística Aplicada Prof Gladston 22023 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aula 16 Distribuição Normal Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Definição Uma va X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 e 02 se sua função densidade de probabilidade fdp é dada por Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal x onde é a média da distribuição e é o desvio padrão da distribuição A figura a seguir ilustra uma particular curva Normal determinada por valores particulares de e 2 e x f x 2 2 2 2 2 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Podese demonstrar que i EX ii VarX 2 iii fx 0 quando x Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal iv e são pontos de inflexão de fx v x é o ponto de máximo de fx vi fx é simétrica ao redor de x isto é f x f x para todo x Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Se X tem distribuição Normal com média e variância 2 escreveremos X N 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Padronizada Uma vez que cada combinação de e geraria uma distribuição Normal de probabilidade diferente as tabelas de probabilidade Normal são baseadas em uma distribuição particular a Distribuição Normal Padronizada Esta é a distribuição Normal de probabilidade com 0 e 1 isto é N01 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Padronizada Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuídos pode ser convertido em valores normais padronizados Se X N 2 então a va Z definida por terá uma distribuição N0 1 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎2 𝑋 𝜇 𝜎 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que uma média de 130 kg de cereal é colocada em cada saco É claro que nem todos os sacos têm precisamente 130 kg devido a fontes aleatórias de variabilidade O desvio padrão do peso líquido é 01 kg Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Sendo a distribuição dos pesos segue uma distribuição normal determinar a probabilidade de que um saco escolhido aleatoriamente contenha entre 130 e 132 kg de cereal Qual a probabilidade de que o peso exceda 1325 kg Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Uma maneira de calcular essa probabilidade seria calcular a integral abaixo 20 13 0 13 0 1 2 0 13 2 2 2 01 2 1 13 2 0 13 x dx X P e Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Outra maneira seria calcular essa probabilidade pelo uso da distribuição Normal Padrão ou seja calcular Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo P130 X 132 P P0 Z 20 09772 05000 04772 1 0 2 13 0 13 1 0 0 13 0 13 X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo PX 1325 PZ 25 1 PZ 25 1 09938 00062 1 0 13 25 13 0 P X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Seja X uma va com média e variância 2 e seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória simples aas Então se n e V X X E X n X n i i 2 1 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Central do Limite Seja X1 X2 Xn uma aas de uma população X tal que EX e VX 2 A distribuição de ത𝑋 converge para a distribuição normal com média e variância 2n quando n isto é n N X 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Corolário Se X1 X2 Xn é uma amostra aleatória simples da população X com média e variância 2 e ത𝑋 𝑋1𝑋2𝑋𝑛 𝑛 então N 0 1 n μ X Z Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Padronizada Genericamente temse que se então 𝑍 𝑇𝐸𝑇 𝑉𝑎𝑟𝑇 𝑁0 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Uma empresa fabrica cilindros com 50 mm de diâmetro em média e desvio padrão de 25 mm Os diâmetros de uma amostra de 4 cilindros são medidos a cada hora A medida da amostra é usada para decidir se o processo de fabricação está operando satisfatoriamente Aplicase a seguinte regra de decisão se o diâmetro médio da amostra de 4 cilindros é igual a 537 mm ou mais o igual a 463 mm ou menos devese parar o processo se o diâmetro médio estiver entre 463 e 537 mm o processo deve continuar Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo a Qual a probabilidade de se parar o processo se a média do processo continua com 50 mm P ሜX 463 P ሜX 537 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo P ሜX 463 P ሜX 537 P ሜX 500 ൘ 25 4 463 500 ൘ 25 4 P ሜX 500 ൘ 25 4 537 500 ൘ 25 4 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo PZ 296 PZ 296 0015 1 09985 0003 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo b Qual a probabilidade do processo continuar se a média do processo se deslocar para 505 mm Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo 4 25 505 537 4 25 505 X 4 25 505 463 P 50 5 53 7 46 3 X P Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo P336 Z 256 09948 00004 09944 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Uma empresa fabrica produz cilindros com 50 mm de diâmetro e 25 mm A cada hora os diâmetros de uma amostra de 4 cilindros são medidos para decidir se o processo de fabricação está operando sob controle estatístico Aplicase a seguinte regra de decisão se o diâmetro médio da amostra for igual ou menor ao Limite Superior de Controle LSC ou igual ou maior ao Limite Inferior de Controle LIC continuase o processo de produção Estabeleça os limites de controle que tenha a probabilidade de 09973 de uma amostra cair entre LIC e LSC