Aula 18: Distribuição Amostral da Média e Proporção - Estatística Aplicada

Universidade de Brasília UnB Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Estatística Aplicada Prof Gladston 22023 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aula 18 Distribuição Amostral da Média Distribuição Amostral da Proporção Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Seg Qua e Sex Semana Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Início 8h 1 208 218 228 238 248 258 268 48 aulas de conteúdo Término 9h50min 2 278 288 298 308 318 19 29 4 provas P1 P2 P3 e PS 3 39 49 59 69 79 89 99 3 aulas de revisão Feriados 4 109 119 129 139 149 159 169 2 correções das provas 5 179 189 199 209 219 229 239 1 divulgação das notas finais Ponto Facultativo 6 249 259 269 279 289 299 309 58 total de encontros 7 110 210 310 410 510 610 710 Semana Universitária 8 810 910 1010 1110 1210 1310 1410 9 1510 1610 1710 1810 1910 2010 2110 Aulas de revisão 10 2210 2310 2410 2510 2610 2710 2810 11 2910 3010 3110 111 211 311 411 Provas 13 511 611 711 811 911 1011 1111 13 1211 1311 1411 1511 1611 1711 1811 Correção das provas 14 1911 2011 2111 2211 2311 2411 2511 15 2611 2711 2811 2911 3011 112 212 Revisão de provas 16 312 412 512 612 712 812 912 17 1012 1112 1212 1312 1412 1512 1612 18 1712 1812 1912 2012 2112 2212 2312 19 2412 Estatística Aplicada Atualização do Calendário Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Definição Uma va X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 e 0 2 se sua função densidade de probabilidade fdp é dada por x onde é a média da distribuição e é o desvio padrão da distribuição e x f x 2 2 2 2 2 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Se X tem distribuição Normal com média e variância 2 escreveremos X N 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Padronizada Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuídos pode ser convertido em valores normais padronizados Se X N 2 então a va Z definida por terá uma distribuição N0 1 Z X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Seja X uma va com média e variância 2 e seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória simples aas Então se n e V X X E X n X n i i 2 1 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Central do Limite Seja X1 X2 Xn uma aas de uma população X tal que EX e VX 2 A distribuição de ത𝑋 converge para a distribuição normal com média e variância 2n quando n isto é n N X 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Corolário Se X1 X2 Xn é amostra aleatória simples da população X com média e variância 2 e X1 X2 Xnn então X N 0 1 n μ X Z Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Amostral da Proporção Considere uma população em que a proporção de elementos portadores de uma certa característica é p Assim pode ser considerada como a variável X tal que X ቊ1 se sucesso 0 se insucesso Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Amostral da Proporção Logo EX p e 2 VarX p1p Para n suficientemente grande podemos considerar a distribuição amostral de 𝑝 σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 do seguinte modo 𝑝 N p p1pn Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 1 de itens defeituosos na produção A cada 15 minutos sorteiase uma amostra de 20 peças e havendo mais de 15 de defeituosos parase a produção para verificações Qual a probabilidade de uma parada Qual seriam os limite de controle 3𝜎𝑝 Shewhart para 𝑝 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Considerando que 𝑝 001 uma parada ocorreria caso uma amostra com 20 peças apresentasse Ƹ𝑝 0015 Então 𝑃 Ƹ𝑝 0015 𝑃 Ƹ𝑝 001 001𝑥 1 001 20 0015 001 001𝑥 1 001 20 𝑃 𝑍 02247 04111 Cálculo com base na tabela 𝑃 𝑍 022 1 05871 04129 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Considerando que 𝑝 001 os limite de controle 3𝜎𝑝 para Ƹ𝑝 seriam 𝑃 𝐿𝐼𝐶 Ƹ𝑝 𝐿𝑆𝐶 09973 Limites 001 3 001 1001 20 LIC 0057 000 LSC 0077 008 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema 1 Existem 90 de probabilidade de que um certo tipo de componente se comporte de forma adequada sob condições de elevadas temperaturas Se o dispositivo em questão tem quatro de tais componentes determinar a probabilidade de cada um dos seguintes eventos a Todos os componentes se comportam de forma adequada e por conseguinte o dispositivo funciona b O dispositivo não funciona porque falha um dos quatro componentes c O dispositivo não funciona porque falham um ou mais dos componentes Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema 2 As sardinhas processadas por uma indústria de enlatados têm comprimento médio de 454 polegadas com desvio padrão de 025 polegadas Se a distribuição dos comprimentos das sardinhas pode ser aproximadamente normal calcule a A percentagem das sardinhas com comprimento inferior a 400 polegadas b A percentagem das sardinhas com comprimento entre 440 e 460 polegadas Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema 3 Uma va X tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10 a Calcule P90 X 110 b Se ത𝑋 for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população calcule P90 ത𝑋 110 c Que tamanho deveria ter a amostra para que P90 ത𝑋 110 095 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema 4 Se X Bin80 09 calcule as probabilidades indicadas a seguir usando a aproximação Normal a Mostre que as condições para aproximação da Binomial pela Normal são satisfeitas b PX 71 c P69 X 73 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Problema 5 Um determinado produto da marca A tem 65 da preferência no mercado Qual seria a probabilidade de numa pesquisa de mercado realizada com 400 pessoas 60 preferirem a marca A