Exercícios Análise

5 Seja f ℝ ℝ contínua Prove que a x ℝ fx 0 é fechado b x ℝ fx 0 é fechado c x ℝ fx 0 é fechado d x ℝ fx 0 é aberto EX 5 apenas a e d 9 Sejam f g ℝ ℝ contínua tais que fx gx para todo x ℚ Prove que f g 15 Dado a 0 mostre que a função f ℝ ℝ fx aˣ é uma função contínua 16 Seja f ℝ ℝ uma função que satisfaz que fx y fxfy Prove que se f é contínua em 0 então f é contínua em ℝ 17 Seja f ℝ ℝ uma função contínua que satisfaz que fx y fxfy Prove que fx 0 ou existe a ℝ tal que fx aˣ 19 Seja f 0 1 2 3 0 2 dada por fx x se x 0 1 x 1 se x 2 3 a Prove que f é injetiva b Prove que f é contínua em 0 1 2 3 c Determine f¹ e prove que esta função não é contínua d Por que o item c não contradiz o Teorema do Valor Intermediário 20 Seja f D ℝ ℝ Um ponto c D é chamada de ponto fixo de f se fc c Seja f a b ℝ contínua tal que fa b a b onde a b ℝ Mostre que f admite um ponto fixo Dica Considere a função gx x fx e use o TVI 1 a Seja A x ℝ fx 0 e xₙ uma sequência em A Como xₙ A fxₙ 0 e xₙ x Como f é contínua temos que lim fxₙ flim xₙ fx n n Como xₙ A e fxₙ 0 n temos lim fxₙ lim 0 0 n n Que seja fx lim fxₙ 0 n Como lim xₙ A então todos pontos da sequência estão em A estão em A portanto A é fechado d Seja A x ℝ fx 0 e x₀ A Então fx₀ 0 como f é contínua em x₀ tomemos ε fx₀2 0 existe δ 0 tal que x x₀ δ fx fx₀ ε isto é fx fx₀ ε ε fx fx₀ ε fx₀ ε fx fx₀ ε fx fx₀ ε fx₀ fx₀2 fx₀2 Como ε fx₀2 0 pois fx₀ 0 concluímos que Bx₀ δ A ou seja A é aberto 2 Como f e g são contínuas lim fx fx₀ x x₀ e lim gx gx₀ para todo x₀ ℝ x x₀ Notemos que ℚ é denso em ℝ ou seja para qualquer x ℝ existe uma sequência qₙ tal que lim qₙ 0 Seja então x₀ um número real qualquer e qₙ uma sequência tal que lim qₙ x₀ logo lim fqₙ fx₀ e lim gqₙ gx₀ como f e g coincidem para qualquer q ℚ temos que fqₙ gqₙ n ℕ Como nossa escolha de x₀ foi arbitrária concluímos que lim fqₙ fx₀ gx₀ lim gqₙ f g x ℝ 3 Reescrevamos fx aˣ eˣⁿᵃ Seja xₙ uma sequência tal que xₙ x₀ então fxₙ aˣⁿ eˣⁿ ᶫⁿ ᵃ Como xₙ x₀ xₙ ln a x₀ ln a Pela continuidade da função exponencial temos lim eˣⁿ ᶫⁿ ᵃ eˣ⁰ ᶫⁿ ᵃ aˣ⁰ n n Que seja lim fxₙ fx₀ logo fx aˣ é contínua 4 fx y fxfy Se f é contínua em zero podemos analisar o comportamento f0 0 f0f0 f0 f0² que possui apenas duas soluções reais f0 0 ou f0 1 Então se y 0 fx 0 fxf0 fx fxf0 f0 0 0 Uh seja f é constante e portanto continua Se f0 1 e f é continua em zero então lim y0 fy f0 1 e então analisando fx0 y fx0 fy tomando o limite lim y0 fx0 y lim y0 fx0 fy como fy f0 1 tomem lim y0 fx0 y lim y0 fx0 1 fx0 fx0 Zero f é continua 5 A primeira parte é análoga ao anterior Para y 1 temos fx 1 fx f1 chamemos f1 a então fx 1 a fx logo podemos observar que fx ax f0 ax Pelo segundo caso da questão anterior 6 a Temos alguns casos na verificação da injetividade de f 1 x1 x2 0 1 então se fx1 fx2 x1 x2 2 x1 x2 2 3 então se fx1 fx2 x1 1 x2 1 x1 x2 3 x1 0 1 e x2 2 3 fx1 fx2 x1 x2 1 x2 x1 1 mas x1 0 1 x1 1 0 3 0 1 uma contradição logo f é injetiva b Como os dois intervalos são disjuntos basta verificar a continuidade nos dois intervalos separadamente 7 f01 x x que é contínua f2 3 x x 1 que é contínua Logo f em 01 23 é contínua c Para determinar f¹ vamos calcular a inversa de cada parte Se y 0 1 então fx x f¹y y com y 01 Se y 1 2 então fx x 1 f¹y y 1 logo f¹y y y 01 y1 y 12 Agora lim y1 f¹y 1 e lim y1 f¹y 1 y 2 ou seja lim y1 f¹y lim y1 f¹y logo f não é continua em y 1 d Recordando o Teorema do valor intermediário Se f é continua em um intervalo conexo e fa e fb então para qualquer c a b x a b tal que fx c Notemos que 01 23 não é conexo e portanto não contradiz o TVI 7 Seja gx x fx ela é continua pois x fx são contínuas vide enunciado a soma subtração de duas funções contínuas é contínua agora Como fa b a b fa a b a fa b a fa 0 ga 0 fb a b a fb b b fb 0 gb 0 como ga 0 e gb 0 então pelo TVI c a b tal que fc c