Exercícios de Analise

1 Se lim xn a lim yn b e xn yn ε para todo n N prove que a b ε 2 Sejam lim xn a e lim yn b Se a b prove que existe n0 N tal que n n0 xn yn 3 Dados k N e a 0 determine o limite lim n n nk an Supondo a 0 e a e calcule lim n an n nn e lim n nk an n nn Para o caso a e ver exercício 9 seção 1 capítulo 11 6 Se lim tn a e tn é uma sequência de números positivos com limt1 tn prove que lim t1x1 tnxn t1 tn a Em particular se yn x1 xn n temse ainda lim yn a 4 Mostre que a série n2 1 n log n diverge 5 Mostre que se r 1 a série n2 1 n log nr converge 2 A série 1 12 13 14 15 16 tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero Entretanto é divergente Por que isto não contradiz o Teorema de Leibniz 3 Dê exemplo de uma série convergente an e de uma sequência limitada xn tais que a série an xn seja divergente Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada a xn é convergente b an é absolutamente convergente 1 Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que nan 1 então a série an diverge Se an 0 para todo n e an1 an 1 para todo n n0 então an diverge Por outro lado a série 12 12 122 122 123 123 converge mas se tem an1 an 1 para todo n ímpar Resolução da Lista A1 Exercício 1 Problema Se lim xn a lim yn b e xn yn ε para todo n N prove que a b ε Resolução Suponha por contradição que a b ε Como lim xn a e lim yn b para δ ε ab 2 0 existe n0 N tal que para todo n n0 xn a δ e yn b δ Pela desigualdade triangular xn yn xn a a b yn b δ a b δ a b 2δ ε Isso contradiz a hipótese xn yn ε para todo n Portanto a b ε Exercício 2 Problema Sejam lim xn a e lim yn b Se a b prove que existe n0 N tal que n n0 xn yn Resolução Tome ε b a 2 0 Como lim xn a e lim yn b existe n0 N tal que para todo n n0 xn a ε a b 2 e yn b ε a b 2 Portanto para n n0 temos xn a b 2 yn Exercício 3 Problema Dados k N e a 0 determine o limite lim n n nk an Resolução Usando o critério da razão lim n n 1 n 1k an1 n nk an lim n n 1 nk an n 1k an1 n lim n nk an 1k1 1 a lim n n n 1k1 1 a Se a 1 o limite é 0 série converge Se 0 a 1 o limite é série diverge Para a 1 usamos Stirling lim n n nk 1n lim n 2πn n en nk Exercício 6 Problema Se lim xn a e tn é uma sequência de números positivos com limt1 tn prove que lim t1x1 tnxn t1 tn a Resolução Dado ε 0 existe n0 N tal que para n n0 xn a ε2 Seja Sn t1 tn e Tn Sn a t1x1 a tnxn a Sn t1 x1 a tn xn a Sn Para n n0 dividimos a soma em duas partes n0k1 tk xk a Sn nkn01 tk xk a Sn C Sn ε 2 onde C n0k1 tk xk a é constante Como Sn existe n1 n0 tal que para n n1 C Sn ε 2 Portanto para n n1 Tn Sn a ε Exercício 4 Problema Mostre que a série n2 1 n log n diverge Resolução Usamos o teste da integral Seja fx 1 x log x para x 2 Como f é contínua positiva e decrescente 2 1 x log x dx lim b lnlog x 2b lim b lnlog b lnlog 2 Portanto a série diverge Exercício 5 Problema Mostre que se r 1 a série n2 1 n log nr converge Resolução Novamente usamos o teste da integral Para r 1 2 1 xlog xr dx lim b log x1r 1r 2b log 21r r1 Logo a série converge Exercício 2 Série Alternada Problema A série 1 12 23 14 25 16 tem termos alternados e tende a zero mas diverge Por que isso não contradiz o Teorema de Leibniz Resolução O Teorema de Leibniz exige que os termos em valor absoluto sejam decrescentes Neste caso os termos são 1 12 23 14 25 16 A subsequência dos termos positivos 22n1 não é decrescente ex 23 25 violando a hipótese do teorema Portanto a divergência não contradiz Leibniz Exercício 3 Série e Sequência Limitada Problema Dê exemplo de uma série convergente an e uma sequência limitada xn tais que an xn diverge Resolução Tome an 1n sqrtn convergente pelo teste de Leibniz e xn 1n limitada Então an xn 1n 1n sqrtn 1 sqrtn que diverge série p com p 12 1 Exercício 1 Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que nth rootan 1 então a série an diverge Resolução Suponha que exista um conjunto infinito I N tal que para todo n I nth rootan 1 Então para cada n I temos an nth rootann 1n 1 Portanto para infinitos termos da sequência an temos an 1 Isso implica que lim n an 0 Pois para que limn an 0 seria necessário que para todo ε 0 existisse n0 N tal que an ε para todo n n0 Mas como an 1 para infinitos n isso não é possível basta tomar ε 1 Como o termo geral não tende a zero a série an diverge Se an 0 para todo n e an1an 1 para todo n n0 então an diverge Resolução A condição an1an 1 para n n0 implica que an0k an01 i1k1 an0i1an0i an01 1k1 an01 0 para todo k N Portanto para n n0 an an01 0 o que novamente implica que limn an 0 Logo a série an diverge Por outro lado a série 12 12 12² 12² 12³ 12³ converge mas se tem an1an 1 para todo n ímpar Resolução Observe que a série pode ser reescrita como k1 22k 2 k1 12k 2 121 12 2 1 2 Portanto a série converge No entanto para n ímpar temos an an1 12n12 logo an1an 1 Isso mostra que a recíproca do resultado anterior não é válida mesmo com an1an 1 para infinitos n a série pode convergir Exercício 4 Dada uma sequência de números positivos xn com lim xn a prove que limn nth root x1 x2 xn a Resolução Queremos mostrar que limn nth root x1 x2 xn a ou equivalentemente limn k1n xk1n a Tomando logaritmo natural em ambos os lados temos limn 1n k1n ln xk ln a Pois limn xn a e ln é contínua logo limn ln xn ln a A expressão acima é a média aritmética dos ln xk Como ln xn converge para ln a sua média aritmética também converge para o mesmo limite Portanto limn 1n k1n ln xk ln a Exponenciando novamente obtemos limn k1n xk1n a como queríamos demonstrar