Lista de Exercícios Resolvidos sobre Integral de Riemann e suas Propriedades

Seção 2 Integral de Riemann 1 Defina f 01 R pondo f0 0 e fx 12ⁿ se 12ⁿ¹ x 12ⁿ n N 0 Prove que f é integrável e calcule ⁰¹ fx dx 2 Seja f aa R integrável Se f é uma função ímpar prove que ᵃᵃ fx dx 0 Se porém f é par prove que ᵃᵃ fx dx 2 ⁰ᵃ fx dx 3 Seja f ab R definida pondo fx 0 se x é irracional e fx 1q se x pq é uma fração irredutível e q 0 Ponha f01 caso 0 ab Prove que f é contínua apenas nos pontos irracionais de ab que é integrável e que ᵃᵇ fx dx 0 4 Seja f ab R uma função integrável com fx 0 para todo x ab Se f é contínua no ponto c ab e fc 0 prove que ᵃᵇ fx dx 0 5 Seja f ab R definida pondo fx x quando x é racional e fx x1 quando x é irracional Calcule as integrais inferior e superior de f Usando uma função integrável g ab R em vez de x defina agora φx gx se x é racional e φx gx1 para x irracional Calcule as integrais inferior e superior de φ em termos da integral de g Seção 3 Propriedades da integral 1 Seja f ab R integrável Prove que a função F ab R definida por Fx ᵃˣ ft dt é lipschitziana 2 Prove que se fg ab R são integráveis então são também integráveis as funções φψ ab R definidas por φx maxfx gx e ψx minfx gx Conclua daí que são integráveis as funções f f ab R dadas por fx 0 se fx 0 fx fx se fx 0 fx 0 se fx 0 e fx fx se fx 0 supondo ainda f integrável 3 Prove que se fg ab R são contínuas então ᵃᵇ fxgx dx² ᵃᵇ fx² dx ᵃᵇ gx² dx Desigualdade de Schwarz Seção 4 Condições suficientes de integrabilidade 1 Prove que a função f do Exercício 23 é integrável 2 Prove que o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função monótona é enumerável e conclua daí que o Teorema 6 decorre do Teorema 7 3 Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função limitada f ab R Se D conjunto dos pontos de acumulação de D é enumerável prove que f é integrável 4 Uma função limitada f ab R que se anula fora de um conjunto de medida nula pode não ser integrável Nestas condições supondo f integrável prove que sua integral é igual a zero