Lista de Exercícios 8 - Funções Deriváveis - Análise Matemática UFMG

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ICEx UFMG FUND ANÁLISE LISTA DE EXERCÍCIOS 8 Funções Deriváveis Q1 Exercícios do livro texto Elon Lima capítulo 5 página 100 seções 1 2 e 3 todos da seção 4 os 5 primeiros Q2 Use a definição para encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções a f𝑥 𝑥³ para 𝑥 ℝ b 𝑔𝑥 𝑥 para 𝑥 ℝ 0 c ℎ𝑥 𝑥 para 𝑥 0 d 𝑘𝑥 1𝑥 para 𝑥 0 Q3 Mostre que 𝑓𝑥 𝑥¹³ 𝑥 ℝ não é diferenciável em 𝑥 0 Q4 Seja 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓𝑥 𝑥² para 𝑥 ℚ racional 𝑓𝑥 0 para 𝑥 ℝ ℚ irracional Mostre que 𝑓 é diferenciável em 𝑥 0 e encontre 𝑓0 Q5 Encontre a derivada e simplifique a 𝑓𝑥 𝑥1 𝑥² b 𝑔𝑥 5 2𝑥 𝑥² c ℎ𝑥 sen 𝑥𝑚 para 𝑚 𝑘 ℕ d 𝑘𝑥 tg𝑥² para 𝑥 π2 Q6 Sejam 𝑛 ℕ e 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓𝑥 𝑥ⁿ para 𝑥 0 e 𝑓𝑥 0 para 𝑥 0 Para quais valores de 𝑛 a derivada 𝑓 é continua em 𝑥 0 Para quais valores de 𝑛 a função 𝑓 é diferenciável em 𝑥 0 Q7 Determine os conjuntos onde cada uma das seguintes funções de ℝ em ℝ é diferenciável e encontre a função derivada a 𝑓𝑥 𝑥 𝑥 1 b 𝑔𝑥 2𝑥 𝑥 c ℎ𝑥 𝑥𝑥 d 𝑘𝑥 sen 𝑥 Q8 Mostre que se 𝑓 ℝ ℝ é uma função par isto é 𝑓𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ e tem derivada em cada ponto então a derivada 𝑓 é uma função ímpar isto é 𝑓𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ Também mostre que se 𝑔 ℝ ℝ é uma função ímpar que tem derivada em cada ponto então 𝑔 é uma função par Q9 Seja 𝑔 ℝ ℝ definida por 𝑔𝑥 𝑥²sen 1𝑥² para 𝑥 0 e 𝑔0 0 Mostre que 𝑔 é diferenciável para todo 𝑥 ℝ Também mostre que a derivada 𝑔 não é limitada no intervalo 1 1 10 Para cada uma das seguintes funções encontre os pontos de extremo relativo os intervalos sobre os quais a função é crescente e aqueles sobre os quais é decrescente a 𝑓𝑥 𝑥 1𝑥 𝑥 0 b 𝑔𝑥 𝑥𝑥² 1 c ℎ𝑥 𝑥 2𝑥 2 𝑥 0 d 𝑘𝑥 2𝑥 1𝑥² 𝑥 0 11 Encontre os pontos de extremo relativo para as seguintes funções sobre os domínios especificados a 𝑓𝑥 𝑥² 1 4 𝑥 4 b 𝑔𝑥 1 𝑥 1²³ 0 𝑥 2 c ℎ𝑥 𝑥𝑥² 12 2 𝑥 3 d 𝑘𝑥 𝑥𝑥 8¹³ 0 𝑥 9 12 Use o teorema do valor médio para mostrar que sen 𝑥 sen 𝑦 𝑥 𝑦 para todo 𝑥 𝑦 ℝ 13 Seja 𝑓 𝑎 𝑏 ℝ função continua em 𝑎 𝑏 e derivável em 𝑎 𝑏 Mostre que se lim 𝑓𝑥 𝐴 então 𝑓𝑎 existe e é igual a 𝐴 Dica use a definição de 𝑓𝑎 e o teorema do valor médio 𝑥𝑎 14 Seja 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓𝑥 2𝑥⁴ 𝑥⁴sen1𝑥 para 𝑥 0 e 𝑓0 0 Mostre que 𝑓 tem mínimo absoluto em 𝑥 0 más sua derivada tem tanto valores positivos como negativos em cada vizinhança de 𝑥 0 15 Seja 𝑔 ℝ ℝ definida por 𝑔𝑥 𝑥 2𝑥²sen1𝑥 para 𝑥 0 e 𝑔0 0 Mostre que 𝑔0 1 más em cada vizinhança de 0 a derivada 𝑔𝑥 toma valores positivos como negativos Assim 𝑔 não é monótona em qualquer vizinhança de 0