Exercícios Análise Matemática

1 Mostre que a Se ab R e a b então a 12 a b b b Se b R e b 0 então 0 12 b b c Se a R e para todo ε 0 temse 0 a ε então a 0 d Se para todo real ε 0 temse a ε b Então a b e Mostre através de um exemplo que é falsa a afirmacão Se para todo número real ε 0 temse a ε b então a b f Dados xy R se x2 y2 0 temse x y 0 2 a Prove que não existe nenhum número racional x tal que x2 2 Sugestão Suponha que x ab com a Z b N mdcab 1 Prove que se x satisfaz a equação acima a e b devem ser pares o que contradiz o que foi suposto b Considere os conjuntos F r Q r 0 r2 2 e E r Q r2 2 Prove que E é o conjunto das cotas superiores racionais de F c Prove que para todo r F existe n N tal que r 1n F Sugestão Verifique que se 1n 2r 1 2 r2 então r 1n F e use a propriedade arquimediana de R d Prove que para todo r E existe n N tal que r 1n E Sugestão Similar ao item anterior e Conclua que S sup F Q Sugestão Suponha que S Q Então S F ou S E Chegue numa contradição usando c e d 1 Exercício 1 a Se a b R e a b então a 1 2a b b Solução Se a b então é claro que 1 2a 1 2b Com isso podemos escrever a 1 2a a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2b 1 2a b provando a primeira desigualdade Agora ainda observando que 1 2a 1 2b obtemos 1 2a b 1 2a 1 2b 1 2b 1 2b 1 2b b b Logo a 1 2a b b b Se b R e b 0 então 0 1 2b b Solução Sabemos que se s t R e s t 0 então s t 0 ou seja o produto de números positivos é positivo A partir disso observando que b 0 e 1 2 0 temos 1 2 b 0 isto é 0 1 2 b Para a outra desigualdade basta notar que bc b para todo c 0 Em particular para c 1 2b 0 1 2b b 1 2b b c b c Se a R e para todo ε 0 temse 0 a ϵ então a 0 Solução Seja a R como no enunciado Suponha por absurdo que a 0 Pela hipótese de 0 a ε para todo ε 0 podemos tomar ε 1 2a 0 e escrever 0 a 1 2a sendo uma contradição com o que provamos no item b Portanto a 0 d Se para todo real ε 0 temse a ε b então a b Solução Suponha por absurdo que b a Então pela hipótese a ε b a b ε 2 para todo ε 0 Como a b 0 tome c a b e veja que 0 c ε para todo ε 0 Em particular para ε 1 2c 0 c 1 2c uma contradição com o item c Logo a b e Mostre através de um exemplo que é falsa a afirmação Se para todo real ε 0 temse a ε b então a b Solução Para provar que a afirmação é falsa tome a b Mais especificamente podemos tomar a b 1 Assim observe que 1 ε 1 para todo ε 0 No entanto é falso que 1 a b 1 pois é uma desigualdade estrita Ou seja deve valer que a b f Dados x y R se x2 y2 0 temse x y 0 Solução Façamos pela contrapositiva suponha que x 0 Assim x2 0 e y2 0 para qualquer y R A partir disso 0 y2 x2 y2 provando que x2 y2 0 Fazse o análogo para y 0 Logo x2 y2 0 implica que x y 0 Observação O item f é uma recíproca x2 y2 0 x y 0 Exercício 2 a Prove que não existe nenhum número racional x tal que x2 2 Solução Suponha por absurdo que existe x Q tal que x2 2 Por ser racional escreva x a b com a b Z b 0 e mdca b 1 a e b são primos entre si Veja que x2 2 a2 b2 2 a2 2b2 ou seja a2 é par Consequentemente a também é par e a 2k para algum k Z Diante disso 2 x2 a2 b2 2k2 b2 4k2 b2 ou seja 4k2 b2 2 2b2 4k2 b2 2k2 Portanto b2 é par e b também é par Logo a e b são pares provando que mdcab 2 1 uma contradição Desse modo não existe x Q tal que x2 2 Observação Vamos provar que se a2 é par então a também é par Suponha que a2 é par e a é impar Sendo ímpar escreva a 2k 1 para algum k Z Assim a2 a a 2k 1 2k 1 4k2 4k 1 22k2 2k 1 2m 1 com m 2k2 2k Z ou seja a2 é impar Contradição Logo a2 é par se e somente se a é par b Considere os conjuntos F r Q r 0 e r2 2 e E r Q r 0 e r2 2 Prove que E é o conjunto das cotas superiores de F Solução Seja α Q uma cota superior para F ou seja α r para todo r F Queremos mostrar que α E É fácil de ver que α 0 Ainda mais como α r para todo r F segue que α2 r2 Logo devemos ter α2 2 caso contrário se α2 2 então existe um racional r0 F de modo que r02 α2 e consequentemente r0 α contradizendo a hipótese de α ser cota superior Logo α2 2 e pelo item a α2 2 pois α é racional Assim α2 2 e α E Também é fácil de ver que se x E então x r para todo r F pois x2 2 r2 c Prove que para todo r F existe n N n 0 tal que r 1n F Solução Seguindo a sugestão a propriedade arquimediana de R diz que se xy R com x 0 então existe n N de modo que nx y Em nosso caso tomamos x 2 r2 0 e y 2r 1 Assim existe n N n 0 de forma que nx y se e somente se n2 r2 2r 1 se e somente se 2 r2 1n 2r 1 Nos resta provar que se vale a última desigualdade acima então r 1n F Com efeito veja que r 1n 0 e r 1n2 r2 2rn 1n2 r2 2rn 1n r2 1n 2r 1 em que a desigualdade é válida pelo fato de n2 n e 1n2 1n Logo r 1n2 r2 1n 2r 1 r2 2 r2 2 ou seja r 1n2 2 e r 1n F d Prove que para todo r E existe n N n 0 tal que r 1n E Solução Dado r E pela propriedade arquimediana seja n N de modo que nr2 2 2r Observe que nr2 2 2r se e somente se r2 2 2rn se e somente se 2rn r2 2 2 r2 Logo r 1n2 r2 2rn 1n2 r2 2rn r2 2 r2 2 Portanto r 1n E e Conclua que S sup F Q Solução Suponha que S sup F Q Como não existe racional r de forma que r2 2 então devemos ter S2 2 ou S2 2 Se S2 2 então S F e pelo item c existe n N de modo que S 1n F Temos uma contradição pois S 1n S e S não pode ser o supremo de F dado que existe um elemento do próprio conjunto que é maior do que o supremo Analogamente se S2 2 S E e vale que S 1n E para algum n N pelo item d Novamente temos uma contradição S 1n S o que prova que S 1n é uma cota superior para F e menor do que o supremo de F implicando que S não pode ser tal supremo Logo devese ter que S Q Observação Uma breve explicação para o item e Um elemento S é dito o supremo de F S sup F se S é a menor das cotas superiores de F Daí no caso em que S2 2 provamos que existe um elemento S 1n do conjunto F maior do que o supremo S um absurdo pois S deveria ser maior do que todos os outros elementos do conjunto Para o caso em que S2 2 o elemento S 1n é uma cota superior de F pois pertence a E mas menor do que o supremo um absurdo