Apostila - Cisalhamento em Vigas de Concreto Armado - 2024-1

3 – CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Na maioria dos problemas práticos as vigas são submetidas a esforços combinados de momento fletor e força cortante. No capítulo anterior, o efeito do momento fletor foi analisado separadamente. Neste capítulo considera-se o efeito conjunto dessas duas solicitações, continuando as barras de armadura longitudinais dimensionadas como no item anterior com a influência do cortante verificada pela decalagem do diagrama de momento fletor. 3.1 – Considerações iniciais Considere-se a viga bi-apoiada (Figura abaixo), submetida a duas forças F iguais e eqüidistantes dos apoios, armada com barras longitudinais tracionadas e com estribos, para resistir aos esforços de flexão e de cisalhamento, respectivamente. A armadura de cisalhamento poderia também ser constituída por estribos associados a barras longitudinais curvadas (barras dobradas). Para pequenos valores da força F, enquanto a tensão de tração for inferior à resistência do concreto à tração na flexão, a viga não apresenta fissuras, ou seja, as suas seções permanecem no Estádio I. Com o aumento do carregamento, no trecho de momento máximo (entre as forças), a resistência do concreto à tração é ultrapassada e surgem as primeiras fissuras de flexão (verticais devido à ausência de cortante). No início da fissuração da região central, os trechos junto aos apoios, sem fissuras, ainda se encontram no Estádio I. Continuando o aumento do carregamento, surgem fissuras nos trechos entre as forças e os apoios, as quais são inclinadas, por causa da inclinação das tensões principais (elemento sujeito à tensões normais e de cisalhamento). A inclinação das fissuras corresponde aproximadamente à inclinação das trajetórias das tensões principais, isto é, aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração. Com carregamento elevado a viga em quase toda sua extensão, encontra-se no Estádio II. Em geral, apenas as regiões dos apoios permanecem isentas de fissuras, até a ocorrência de ruptura. A Figura abaixo mostra a evolução da fissuração de uma viga de seção T, para vários estágios de carregamento. 3.2 - Modelo de Treliça O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch, no início do século XX, e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça. Considerando uma viga biapoiada de seção retangular, Mörsch admitiu que, após a fissuração, seu comportamento é similar ao de uma treliça como a indicada na Figura abaixo, formada pelos elementos: banzo superior (cordão de concreto comprimido); banzo inferior (armadura longitudinal de tração); diagonais comprimidas (bielas de concreto entre as fissuras); e diagonais tracionadas (armadura transversal de cisalhamento). Na Figura acima está indicada armadura transversal (estribos) com inclinação de 90o. Essa analogia de treliça clássica considera as seguintes hipóteses básicas: - fissuras com inclinação de 45o e, portanto, bielas de compressão com inclinação de 45o; - banzos paralelos; - treliça isostática, ou seja, não considera-se o engastamento nas ligações entre os banzos e as diagonais; - armadura de cisalhamento com inclinação entre 45º e 90º. Porém, resultados de ensaios comprovam que há imperfeições na analogia de treliça clássica. Isso se deve principalmente a três fatores: (i) a inclinação das fissuras é menor que 45º; (ii) os banzos não são paralelos; há o arqueamento do banzo comprimido, principalmente nas regiões dos apoios; (iii) a treliça é altamente hiperestática; ocorre engastamento das bielas no banzo comprimido. A NBR 6118 (2014) fornece dois procedimentos para a verificação de vigas quanto ao cisalhamento. Os dois procedimentos são baseados no modelo de treliça clássica sendo que um deles permite a definição, por conta do projetista, do ângulo de inclinação das bielas comprimidas, com esse ângulo variando livremente entre 30º a 45º. Modos de ruína: Numa viga de concreto armado submetida à flexão simples, vários tipos de ruína são possíveis, entre as quais: ruínas por flexão; ruptura por falha de ancoragem no apoio; ruptura por esmagamento da biela; e ruptura da armadura transversal. Ruínas por flexão: Nas vigas dimensionadas nos domínios 2 ou 3, a ruína ocorre após o escoamento da armadura, ocorrendo abertura de fissuras e deslocamentos excessivos (flechas), que servem como “aviso” da ruína. Nas vigas dimensionadas no Domínio 4, a ruína se dá pelo esmagamento do concreto comprimido, não ocorrendo escoamento da armadura nem grandes deslocamentos, o que caracteriza uma “ruína sem aviso”. Ruptura por falha de ancoragem no apoio: A armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio, em decorrência do efeito de arco. No caso de ancoragem insuficiente, pode ocorrer o colapso na junção da diagonal comprimida com o banzo tracionado, junto ao apoio. A ruptura por falha de ancoragem ocorre bruscamente, usualmente se propagando e provocando também uma ruptura ao longo da altura útil da viga. Ruptura por esmagamento da biela: No caso de seções muito pequenas para as solicitações atuantes, as tensões principais de compressão podem atingir valores elevados, incompatíveis com a resistência do concreto à compressão com tração perpendicular (estado duplo). Tem-se, então, uma ruptura por esmagamento do concreto (Figura abaixo). A ruptura da diagonal comprimida determina o limite superior da capacidade resistente da viga à força cortante, limite esse que depende, portanto, da resistência do concreto à compressão. Ruptura da armadura transversal: Corresponde a uma ruína por cisalhamento, decorrente da ruptura da armadura transversal (Figura abaixo). É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento, resultante da deficiência da armadura transversal para resistir às tensões de tração devidas à força cortante, o que faz com que a peça tenha a tendência de se dividir em duas partes. Modelo de cálculo: A NBR 6118 (2014) admite dois modelos de cálculo, que pressupõem analogia com modelo de treliça de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares, traduzidos por uma parcela adicional ao esforço cortante (Vc) devido aos esforços normais na viga. O modelo I admite: - bielas de compressão com inclinação θ = 45º; - Vc constante, independente de VSd. Onde VSd é a força cortante de cálculo, na seção. O modelo II considera: - bielas de compressão com inclinação θ entre 30º e 45º; - Vc diminui com o aumento de VSd. Nos dois modelos, devem ser consideradas as etapas de cálculo: (i) verificação da compressão na biela; (ii) cálculo da armadura transversal; (iii) deslocamento al do diagrama de força no banzo tracionado. Equações do modelo II: Nas equações abaixo α é o ângulo de inclinação das armaduras de combate ao esforço de cisalhamento (estribos) e θ é o ângulo de inclinação da biela comprimida. Tomando o equilíbrio de forças verticais para a seção de Ritter 2 S , tem-se θ θ sen V R V sen R d cd d cd / = → = Tomando o equilíbrio de forças verticais para a seção de Ritter 1 S , tem-se α α sen V R V sen R d sd d sd / = → = Sendo s R a força resultante no banzo tracionado da treliça (armadura longitudinal de tração) na seção de Ritter 1 S , e tomando o equilíbrio de momentos em relação ao nó representado pela letra L na figura acima, tem-se R z a c V s l d = + ) ( Na determinação da equação acima foi escolhido o ponto médio M entre as armaduras de cisalhamento considerando que tenha uma distribuição uniforme dessa armadura ao longo da biela comprimida. Da equação de equilíbrio de momentos para armadura simples definida no capítulo anterior para flexão simples, verifica-se que o momento na seção transversal é o produto entre a resultante de tração na armadura longitudinal e o braço de alavanca em relação à resultante de compressão no concreto, ou seja, R z M s = . Já o momento no ponto M para o carregamento analisado equivalente ao da treliça de Mörsch é c Vd , portanto, R z V c s d = , segundo a teoria da flexão definida no item anterior. Observa-se uma incoerência nas duas equações anteriores, motivo pelo qual a teoria de flexão é corrigida com a decalagem do diagrama de momentos fletores de la para que se possa utilizá-la quando se atuam esforços de flexão e cisalhamento. Da figura acima, tem-se: /) 2 cot (cot α θ g g z al − = Ajustando a equação acima com resultados empíricos, tem-se: d g g V V V d a c Sd Sd l ≤         − + − = α α cot ) cot ) 1( 2( max , ,max com 0 max , para estribos a 45 geral caso para 2,0 5,0 c Sd l l l V V d a d a d a ≤ ≥ ≥ = Equações do modelo I: As equações são as mesmas para o modelo II tomando θ = 450 , logo d cd d cd V R V R sen 2 45 = → = α α sen V R V sen R d sd d sd / = → = 3.3 – Verificação do concreto A verificação do concreto em vigas submetidas a esforços de cisalhamento é feita verificando as bielas comprimidas (diagonais comprimidas do modelo de treliça de Mörsch). Na região de biela comprimida o concreto está sujeito às tensões principais de compressão e tração. Nesse estado duplo de tensões axiais a norma NBR 6118 (2014) admite para resistência à compressão do concreto a expressão cd v c 6,0 α 2 f σ = com / 250 1 2 ck v = − f α com fck em MPa. A tensão de compressão atuante na biela é obtida dividindo a força de compressão pela área da seção transversal da biela, ou seja, ) cot (cot α θ θ σ g g b zsen R w cd c + = Como senθ V R d cd / = , tem-se ) cot (cot ) cot (cot 2 2 α θ θ σ β α θ θ σ g g b dsen V g g b zsen V w z c d w d c + = → + = . Na equação acima x z z d β β 4.0 1 / = − = (para diagrama de tensões aproximado retangular). A NBR 6118 (2014) admite, a favor da segurança, a utilização de um 9.0 βz = ( .0 25 βx = ) para os diferentes problemas. Substituindo na expressão acima a resistência do concreto à compressão em estado duplo de tensões, chega-se a seguinte equação para o esforço cortante de cálculo resistente em relação à ruína da biela comprimida, ) cot (cot 9.0 6.0 2 2 2 α θ θ α g g b dsen f V w cd v Rd + = . ) cot (cot .0 54 2 2 2 α θ θ α g g f b dsen V w cd v Rd + = (modelo II) A equação acima é definida para o modelo II. No modelo I da norma brasileira de concreto faz-se na equação acima θ = 450 e admitem-se estribos verticais ( α = 900 ), sendo assim, f b d V w cd v Rd 2 2 .0 27 α = (modelo I). Para a verificação do concreto em elementos lineares sujeito a esforço de cisalhamento, deve-se verificar a expressão Rd 2 Sd V V ≤ , onde VSd é o esforço máximo cortante de cálculo atuante no elemento analisado e VRd 2 é o esforço resistente, como determinado neste item para o modelo I ou II. 3.4 – Cálculo das armaduras de cisalhamento (estribos) Segundo a NBR 6118 (2014) todos os elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção dos casos indicados no próximo parágrafo, devem conter armadura transversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica dada pela expressão ywk ctm w sw sw f f sb sen A 2,0 ≥ = α ρ , onde: fctm é a resistência do concreto média a tração direta; fywk é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal; s é o espaçamento entre as armaduras de cisalhamento (estribos); Asw é a área da seção transversal de todos os estribos que estejam na mesma seção transversal do elemento linear; e bw é a largura da alma da seção transversal. Fazem exceção à taxa de armadura mínima citada no parágrafo anterior os elementos que se enquadram em um dos subitens abaixo: (i) os elementos estruturais lineares com b > 5 d (em que d é a altura útil da seção), caso que deve ser tratado como laje; (ii) as nervuras de lajes nervuradas. Nesse caso será tratado como laje devendo ser tomada como base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado; (iii) os pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações em estado limite último, calculada a seção em estádio I, à condição de que em nenhum ponto seja ultrapassada a tensão fctk e que VSd ≤ Vc, sendo Vc definido a seguir. Na figura acima s é o espaçamento entre os estribos e senα V R d sd / = como determinado anteriormente. Sendo, Asw a área da seção transversal de todos os estribos que estejam no mesmo plano perpendicular ao plano da figura acima e fywd a tensão de escoamento do aço da armadura de cisalhamento, tem-se: ) cot (cot ) cot (cot α θ α β α α θ g g sen df s A V sen V s g g z A f ywd z sw Rw Rw sw ywd + = → = + Da mesma forma utilizada na verificação do concreto, a NBR 6118 (2014) admite, a favor da segurança, a utilização de um 9.0 βz = ( .0 25 βx = ) para os diferentes problemas. Dessa forma a equação para o esforço cortante de cálculo resistente em relação ao escoamento dos estribos é dada por: ) cot (cot 9.0 α θ α g g sen df s A V ywd sw Rw + = . (modelo II) A equação acima é definida para o modelo II. No modelo I da norma brasileira de concreto faz-se na equação acima θ = 450 , sendo assim, ) cos ( 9.0 α α + = sen df s A V ywd sw Rw (modelo I). Para a determinação da quantidade de armadura de cisalhamento (estribos) em elementos lineares sujeito a esforço de cisalhamento, deve-se verificar a expressão Rd 3 Sd V V ≤ , onde VSd é o esforço máximo cortante de cálculo atuante no elemento analisado e Rw c Rd V V V + 3 = , com VRw definido anteriormente para os modelos I ou II, e c V é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça. A NBR 6118 (2014) admite, baseada em resultados experimentais, as seguintes expressões para c V : Modelo I: Modelo II: Nas expressões acima, bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; M0 é o valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção tracionada por MSd,máx; e MSd,Max é o momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior no semitramo considerado. As equações acima foram obtidas de acordo com as aproximações da teoria da treliça de Mörsch considerando esforço cortante constante ao longo de um determinado trecho de um elemento linear. No caso geral de cortante variável em um determinado trecho de um elemento linear, este deve ser considerado constante e igual ao seu valor máximo no trecho, assim ao utilizar as equações definidas anteriormente estaremos a favor da segurança. Ainda em relação ao esforço cortante admitido para determinação da armadura de cisalhamento em elementos lineares, a NBR 6118 (2014), admite os valores de VSd abaixo, para o cálculo da armadura transversal no trecho junto ao apoio, no caso de apoio direto (carga e reação de apoio em faces opostas, comprimindo-as): (i) para carga distribuída, VSd = VSd,d/2, ou seja, VSd igual à força cortante na seção distante d/2 da face do apoio. Com d sendo a altura útil da viga; (ii) a parcela da força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à distância a < 2d do eixo teórico do apoio pode ser reduzida multiplicando-a por a / (2d). OBS: As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos, essas reduções também não são permitidas. 3.5 – Detalhamento dos estribos Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo nessa região, ou complementado por meio de barra adicional. O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga. Quando a barra for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm. O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições: se Vd ≤ 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6d ≤ 300mm; se Vd > 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3d ≤ 200 mm. O espaçamento transversal entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos não deve exceder os seguintes valores: se Vd ≤ 0,20 VRd2 , então st,máx = d ≤ 800mm; se Vd > 0,20 VRd2 , então st,máx = 0,6d ≤ 350mm. EXERCÍCIO: Verifique a altura útil da viga quanto ao cisalhamento e determine a quantidade dos estribos necessária e sua distribuição ao longo do vão da viga. Dados: MPa fck = 25 , aço CA50, kNm qgk = 50 (carga de peso próprio) e kNm qqk = 10 (carga acidental de uso). Solução: Vão efetivo da viga: 2 1 a a l lef + = + onde ia é o menor valor entre a metade da largura do apoio ( it / 2 ) ou 30% da altura da viga ( 3.0 h ), logo m lef .3 42 .0 11 .0 11 2.3 = + + = Altura útil: cm d h d 35 9, 0,1 ) ,0 63 ( 5,2 40 ' = + + − = − = Esforço cortante de cálculo (VSd): kN m q q q qk gk d / 84 10 4,1 50 4,1 4,1 4,1 = × + × = + = Será considerado um semitramo de armadura de cisalhamento mínima e outro semitramo com armadura de cisalhamento definida para o esforço cortante de cálculo de 137,7 kN. Para a verificação da viga quanto ao esmagamento das bielas comprimidas deve-se utilizar o esforço cortante de cálculo de 143,5 kN. Verificação da viga quanto ao esmagamento do concreto nas bielas comprimidas: 9,0 25/ 250 1 / 250 1 2 2 = = − → − = v ck v f α α f b d V w cd v Rd 2 2 ,0 27 α = (considerando modelo de cálculo I) kN V V Rd Rd 342 7, ,0 359 ,0 22 4,1 25 10 9,0 ,0 27 2 3 2 = → × × × × × = Para verificação do concreto kN VSd = 143 5, . Como VSd é bem menor que VRd 2 a viga está com uma boa folga em relação ao esmagamento das bielas comprimidas. Cálculo do esforço cortante para armadura mínima: ywk ctm w sw sw f f sb sen A 2,0 ≥ = α ρ (taxa mínima de armadura transversal) MPa f f ck ctm ,2 56 25 3,0 3,0 2 / 3 2 / 3 = × = = MPa f ywk = 500 (admitindo a utilização de barras de aço CA-50 de 6,3mm de diâmetro, no caso de utilização de fios de aço CA-60 essa tensão de escoamento seria maior e estaríamos a favor da segurança) ,01024% 100% 500 ,2 56 2,0 ,min = × = ρsw Utilizando o modelo de cálculo I da norma NBR-6118 (2014) para estribos verticais ( α = 90 ), tem-se cm cm s A s A sb sen A sw sw w sw / ,0 0225 100 ,01024 22 ,01024/100 90 2 = → × = → = kN V sen df s A V Rw ywd sw Rw 31,64 ,115 50 35 9, 9.0 ,0 0225 ) cos ( 9.0 ,min = × × × = → + = α α b d f V V w ctd c c 6,0 0 = = (esforço de cálculo resistente devido à mecanismo complementares ao de treliça para o caso de flexão simples e modelo de cálculo I) MPa f f f ck ctm ctd ,1 28 25 ,015 ,015 4.1 / 7,0 2 / 3 2 / 3 = × = = = kN V V c c 60,77 ,0 359 ,0 22 ,1 28 10 6,0 3 = → × × × × = Como Rw c Rd Sd V V V V + = ≤ 3 , tem-se kN VSd 92,41 31,64 60,77 ,min = + = (esforço cortante máximo resistido com armadura mínima de cisalhamento) Trecho de armadura mínima: cm a a a 60 9, 143 5, 92,41) 171(143 5, 92,41 143 5, 171 143 5, = → − = → − = Logo, a viga será dividida nos semitramos mostrados na figura abaixo O semitramo 2 recebe armadura mínima de cisalhamento, já o semitramo 1 deve ter armadura de cisalhamento determinada para o cortante máximo neste semitramo. Armadura de cisalhamento: Número de ramos dos estribos: Deve ser no mínimo 2, devendo respeitar a distância máxima entre os ramos sucessivos definida pela norma NBR 6118 (2014). Tanto para o semitramo 1 ( kN VSd = 137 7, ), quanto para o semitramo 2 ( kN VSd = 92,41 ), tem-se 2 2,0 Rd Sd V V > ( 68 5, 137 7, > ou 68 5, 92,41 > ), logo st,máx = 0,6d ≤ 350mm, ou seja, st,max = 21,2cm. Como st,max > 17cm pode ser utilizado estribos com dois ramos. OBS: No caso do espaçamento dos estribos obtido para o número mínimo de ramos ser muito pequeno (inviabilizando a execução), pode-se aumentar o número de ramos para aumentar o espaçamento entre estribos. Semitramo 1: kN VSd = 137 7, , kN Vc = 60,77 (conforme obtido anteriormente) ywd Rw sw ywd sw Rw df V s A sen df s A V 9.0 ) cos ( 9.0 = → + = α α Como Rw c Rd Sd V V V V + = ≤ 3 , tem-se c Sd Rw V V V − = , logo cm cm s A df V V s A sw ywd c Sd sw / ,0 0548 50/ ,115 35 9, 9,0 60,77 137 7, 9.0 2 = → × × − = − = Adotando estribos de 6,3mm de diâmetro dobrados em forma de U (2 ramos) e ancorados na face superior, tem-se: 2 2 2 ,0 623 4 ,0 63 2 cm cm Asw =      =  π , logo cm s s cm cm s Asw 11 4, ,0 0548 ,0 623 / ,0 0548 2 = → = → = (espaçamento entre os estribos no semitramo 1) 6 ,5 34 11 4, 60 9, = → = n (usar 6 estribos de 6,3mm a cada 10,2cm) Semitramo 2: armadura mínima de cisalhamento cm cm s Asw / ,0 0225 2 = (como obtido anteriormente) Adotando estribos de 6,3mm de diâmetro dobrados em forma de U (dois ramos) e ancorados na face superior, tem-se: 2 2 2 ,0 623 4 ,0 63 2 cm cm Asw =      =  π , logo cm s s cm cm s Asw 27 7, ,0 0225 ,0 623 / ,0 0225 2 = → = → = (espaçamento entre os estribos no semitramo 2 devido ao esforço cortante mínimo) Para o semitramo 2, tem-se kN V V Sd Sd 92,41 ,min = = . Como kN VRd 2 = 342 7, , logo 2 ,0 67 Rd Sd V V ≤ ( 229 6, 92,41 ≤ ) então smáx = 0,6d ≤ 300mm, ou seja, cm s d s 215, 30 215, 6,0 7, 27 = →       = ≤ (espaçamento máximo permitido no semitramo 2) 11 10 2, 215, 220 2, = → = n (usar 11 estribos de 6,3mm a cada 20cm) Número total de estribos e detalhamento: 23 11 6 2 = + × n = estribos de 6,3mm de diâmetro e 101 cm. 3.6 – Consolos e dentes Gerber 3.6.1 – Consolos São considerados consolos vigas em balanço onde a distância entre a resultante do carregamento e a face do apoio (distância DF ou BF na afigura abaixo) é menor ou igual a sua altura útil (distância d na figura abaixo), caso contrário, devem ser tratados como viga em balanço. Comportamento estrutural: O comportamento estrutural de consolos pode ser descrito por um modelo biela- tirante. O tirante é formado pelas barras longitudinais de aço armadas na parte superior do consolo e ancorada na biela de um lado e no pilar ou apoio do outro. A biela inclinada vai da carga até a face do pilar ou apoio, usando toda a altura de consolo disponível (ver figura acima). A boa funcionalidade desse comportamento para um consolo está associada aos seguintes aspectos: a) ancoragem adequada do tirante, abraçando a biela logo abaixo do aparelho de apoio; b) a taxa de armadura do tirante a ser considerada no cálculo deve ser limitada superiormente, de modo a garantir o escoamento, antes da ruptura do concreto; c) verificação da resistência à compressão da biela garantindo com segurança adequada que a ruptura se dê com escoamento das barras do tirante. Para a verificação da biela pode ser considerada a abertura de carga sob a placa de apoio, conforme indicado na figura acima limitada a uma inclinação máxima de 1:2 em relação à vertical, nos pontos extremos A e C (ou E) da área de apoio ampliada; d) é fundamental a consideração de esforços horizontais no dimensionamento dos consolos e o seu conseqüente efeito desfavorável na inclinação da resultante Fd (ver figura acima). A NBR 9062 (2006) estabelece valores mínimos desses esforços: - d d V H 7.0 = para juntas a seco; - d d V H 5.0 = para juntas revestidas com argamassa; - d d V H 2.0 = para almofadas de elastômeros; Equações de cálculo: Do equilíbrio do nó da treliça acima obtém-se as forcas atuantes nas barras longitudinais armadas na face superior do consolo (barras funcionando como tirantes) e na biela comprimida de concreto, ou seja: θ θ sen V R V sen R d cd d cd / = → = , d d sd sd d cd H tg V R R H R + = → = + θ θ / cos . Verificação do concreto Na região de biela comprimida o concreto está sujeito às tensões principais de compressão e tração. Neste estado duplo de tensões axiais a norma NBR 6118 (2014) admite para resistência à compressão do concreto a expressão cd v c 6,0 α 2 f σ = com / 250 1 2 ck v = − f α com fck em MPa. A tensão de compressão atuante na biela é obtida dividindo a força de compressão pela área da seção transversal da biela, ou seja, bie w cd c b h R = σ Como senθ V R d cd / = , tem-se θ σ θ σ b h sen V b h sen V bie w c d bie w d c = → = . Substituindo na expressão acima a resistência do concreto à compressão em estado duplo de tensões, chega-se a seguinte equação para o esforço cortante de cálculo resistente em relação à ruína da biela comprimida, θ α f b h sen V bie w cd v Rd 2 6,0 = . Armadura necessária para o tirante: Deve-se definir uma quantidade de aço para o tirante que permita o escoamento do aço para um esforço cortante igual ou menor que VRd, ou seja, a ruptura da biela comprimida acontece depois ou ao mesmo tempo que o escoamento das barras de aço do tirante, ruptura dúctil. A tensão de tração no tirante é obtida dividindo a força de tração pela área da seção transversal do tirante, ou seja, s sd s A = R σ . Fazendo a tensão atuante igual a tensão de escoamento na equação acima e substituindo sd R pela expressão obtida anteriormente, chega-se a expressão yd d d s tg f H tg V A θ θ + = , com Rd d V ≤ V . Caso de Hd = 0 : Para este caso de acordo com as figuras acima, tem-se ____ x = DF e ADtgθ d y ____ − = , logo: θ θ θ θ AD tg DF d DF ADtg d tg x y tg ) ( ____ ____ ____ ____ + = → − = → = (altura útil do consolo) ____ ____ AE sen h AE h sen bie bie θ θ = → = (altura da biela comprimida) Caso de Hd ≠ 0 : Para este caso de acordo com as figuras acima, tem-se ____ x = BF e ABtgθ d y ____ − = , logo: θ θ θ θ AB tg BF d BF ABtg d tg x y tg ) ( ____ ____ ____ ____ + = → − = → = (altura útil do consolo) ____ ____ AC sen h AC h sen bie bie θ θ = → = (altura da biela comprimida) Detalhamento: Armadura do tirante O tirante deve ser ancorado na biela comprimida e no pilar. Recomenda-se na face externa do consolo (região de biela comprimida) uma ancoragem no plano horizontal através de um laço ou barras soldadas, como mostra a figura abaixo. Na outra face a ancoragem pode ser feita através de gancho reto a partir da face do pilar. Armadura de costura Para garantir uma ruptura dúctil é sempre necessária uma distribuição de uma armadura de costura ao longo de 2/3 da altura útil do consolo, como mostra a figura abaixo. A NBR 6118 (2014) sugere a utilização 40% da armadura do tirante para determinação da armadura de costura. Armadura típica de um consolo curto (NBR 6118, 2014) 3.6.2 – Dentes Gerber O dente Gerber é uma saliência que se projeta na parte superior ou inferior da extremidade de uma viga, com o objetivo de apoiá-la em um consolo ou em outro dente Gerber. Comportamento estrutural Os dentes Gerber têm um comportamento estrutural semelhante ao dos consolos, podendo ser também representados por um modelo biela-tirante. Nos dentes Gerber as bielas são, geralmente, um pouco mais inclinadas que nos consolos curtos, já que elas devem buscar apoio nas armaduras de elevação, como mostra a figura acima. A armadura principal (tirante) deve penetrar na viga, procurando ancoragem nas bielas de cisalhamento da viga. A armadura de suspensão deve ser calculada para a força cortante total atuante no dente (Vd). O modelo de cálculo é análogo ao apresentado para o consolo curto com o acréscimo da determinação da armadura de elevação. A área dessa armadura deve ser determinada como se toda a reação vertical no dente Gerber tivesse que ser elevada da parte da armadura de tração da viga até o sistema de biela-tirante do dente Gerber, ou seja, ela funciona como um tirante. Armadura necessária para suspensão da reação: A tensão de tração no tirante de suspensão da reação de apoio é obtida dividindo a força vertical no apoio ( d V ) pela área da seção transversal do tirante, ou seja, s d s = V / A σ . Fazendo a tensão atuante igual a tensão de escoamento na equação acima, chega-se a expressão yd d s f A = V , com Rd 2 d V ≤ V . Detalhamento: Assim como no modelo de cálculo, o detalhamento é análogo ao definido para o consolo curto, com as seguintes diferenças: Armadura de suspensão Essa armadura deve ser preferencialmente constituída de estribos, na altura completa da viga, concentrados na sua extremidade. Ancoragem da armadura principal A armadura principal deve ser ancorada a partir do seu cruzamento com a primeira biela da viga, na sua altura completa. EXERCÍCIO: Determine a altura necessária para o consolo e o dente Gerber da viga mostrada na figura abaixo. Faça o detalhamento destes elementos. Dados: MPa fck = 25 , aço CA50, kNm qgk = 47,05 (carga de peso próprio), kNm qqk = 10,09 (carga acidental de uso) e classe II de agressividade ambiental. Solução: Vão efetivo da viga: Neste caso temos viga realmente bi-apoiada e o vão efetivo será considerado com a distância entre as resultantes das reações de apoio. cm l lef 300 20 320 20 = − = = − Esforço cortante de cálculo (VSd): kN m q q q qk gk d / 80 0, 10,09 4,1 47,05 4,1 4,1 4,1 = × + × = + = kN q L V d d 120 2 3 80 2 = × = = Detalhamento inicial do consolo Vamos considerar que não seja utilizado um aparelho de apoio sendo o contato entre o consolo e o dente Gerber feito de forma direta. Também será considerado que a reação de apoio é transmitida de um elemento para o outro com uma distribuição uniforme ao longo da largura destes elementos. mm c = 25 (Cobrimento mínimo para viga sob classe II de agressividade ambiental, com controle de execução) Para barra de diâmetro 20mm (adotado inicialmente), e diâmetro máximo característico do agregado graúdo de 19mm (brita 1), tem-se: 20 2.1 19/ 20 2.1 max / = →      ≥        ≥ nom b nom c d c φ (cobrimento necessário para barra de 20mm) Determinando a altura útil do consolo para a iminência de ruína da biela no estado limite último para combinação normal do carregamento: Da figura acima, retira-se: ' ) ( 2 20 ___ d V H c AB d d − + − = φ Admitindo que a viga e o pilar com consolo são elementos pré-moldados pode-se considerar, devido uma superfície de acabamento bastante lisa, uma relação de d d V H 5,0 = (juntas revestidas com argamassa), logo: cm AB AB ,3 75 / 2) 0,2 5,0 ( 5,2 0,2 ) ( 5,2 2 20 ___ ___ = → + − + − = . cm AB AC 5,7 ,3 75 2 2 ___ ___ = × = = cm BF c AB BF 11,75 0,2 ) 5,2 ( ,3 75 20 ) ( 20 ___ ___ ___ = → + + − = + + − = φ θ α f b h sen V bie w cd v Rd 2 6,0 = (esforço máximo no apoio considerando ruptura da biela comprimida) Fazendo d Rd V V = e usando ____ AC sen hbie θ = , tem-se: w cd v d bie d bie w cd v f b ACV h V AC b h f 2 ___ ___ 2 2 6,0 / 6,0 α α = → = 9,0 25/ 250 1 / 250 1 2 2 = = − → − = v ck v f α α cm m hbie 5,6 ,0 065 ,0 22 25000/ 4,1 9,0 6,0 ,0 075 120 = = × × × × = 0 ____ 60,07 5,7 5,6 = → = → = θ θ θ sen AC sen hbie cm d tg AB tg BF d 26 9, 60,07 ,3 75) (11,75 ) ( ____ ____ = → + = + = θ Como d BF < ___ , as dimensões do elemento estrutural validam a consideração deste como um consolo. cm h d d h c c 30 30 4, / 2 0,2 5,2 26 9, ' = → = + + = + = (altura total do consolo) Área da armadura do tirante: 50/ .1 15 60,07 60,07 60 120 × + = + = tg tg tg f H tg V A yd d d s θ θ 2 ,2 97 cm As =       = = ) ,4 02 2 16( ) ,314 10( 4 2 2 cm A cm A se se φ φ adotar 4φ10 . Comprimento de ancoragem do tirante: ctd bd f f 3 1 2 =η η η com MPa f f c ck ctd ,1 28 / 4,1 ,0 21(25) / ,0 21 2 / 3 2 / 3 = = = γ η1 = ,2 25 (barras de aço nervuradas) η2 = 1 (situação de boa aderência) η3 = 1 (diâmetro da barra, 10 < 32mm) Logo, MPa fbd ,2 88 ,1 28 ,2 25 1 1 = × × × = mm f f bd yd 377 ,2 88 4 500 / ,115 10 4 = × × = φ e 25 = 250mm φ φ φ 25 4 ≤ = bd yd b f f l logo mm lb = 250 mm l mm l l b b b 113 100 100 113 100 10 3,0 ,min ,min = →       =       ≥ φ 113 ,314 250 ,2 97 7,0 , ,min , , 1 , ≥ × = → ≥ = b nec b ef s s cal b b nec l l A l A l α mm l b nec 165 , = Comprimento total mm gancho 245 8 165 165 = + = + → φ Armadura de costura: Segundo NBR 6118 (2014) pode-se usar como parâmetro para determinação da área da armadura de costura 40% da armadura do tirante. 2 ,119 4,0 cm A A s sc = = , adotar ) ,0 94 (3,6 3 cm2 Ase = φ Essa área deve ser distribuída em 2/3 da altura útil, logo o espaçamento entre elas é, cm d s ,5 98 3 26 9, /3 2 3 2/ 3 = × = = (adotar 6 cm) Detalhamento: Armadura φ (mm) Quantidade comprimento Unitário(m) Total(m) N1 10 2 0,95 1,90 N2 5 2 0,45 0,90 N3 6,3 1 1,32 1,32 N4 6,3 1 1,23 1,23 N5 6,3 1 1,11 1,11 OBS: N2 é uma armadura auxiliar de armação da armadura de costura; Detalhamento inicial do dente Gerber Vamos considerar que não seja utilizado um aparelho de apoio sendo o contato entre o consolo e o dente Gerber feito de forma direta. Também será considerado que a reação de apoio é transmitida de um elemento para o outro com uma distribuição uniforme ao longo da largura destes elementos. mm c = 25 (Cobrimento mínimo para viga sob classe II de agressividade ambiental, com controle de execução) Para barra de diâmetro 20mm (adotado inicialmente), e diâmetro máximo característico do agregado graúdo de 19mm (brita 1), tem-se: 20 2.1 19/ 20 2.1 max / = →      ≥        ≥ nom b nom c d c φ (cobrimento necessário para barra de 20mm) Determinando a altura útil do dente Gerber para a iminência de ruína da biela comprimida no dente Gerber para o estado limite último com combinação normal do carregamento: Da figura acima, retira-se: ' ) ( 2 20 ___ d V H c AB d d − + − = φ Admitindo que a viga e o pilar com consolo são elementos pré-moldados pode-se considerar, devido uma superfície de acabamento bastante lisa, uma relação de d d V H 5,0 = (juntas revestidas com argamassa), logo: cm AB AB ,3 75 / 2) 0,2 5,0 ( 5,2 0,2 ) ( 5,2 2 20 ___ ___ = → + − + − = . cm AB AC 5,7 ,3 75 2 2 ___ ___ = × = = cm BF c AB BF 11,75 0,2 ) 5,2 ( ,3 75 20 ) ( 20 ___ ___ ___ = → + + − = + + − = φ θ α f b h sen V bie w cd v Rd 2 6,0 = (esforço máximo no apoio considerando ruptura da biela comprimida) Fazendo d Rd V V = e usando ____ AC sen hbie θ = , tem-se w cd v d bie d bie w cd v f b ACV h V AC b h f 2 ___ ___ 2 2 6,0 / 6,0 α α = → = 9,0 25/ 250 1 / 250 1 2 2 = = − → − = v ck v f α α cm m hbie 5,6 ,0 065 ,0 22 25000/ 4,1 9,0 6,0 ,0 075 120 = = × × × × = 0 ____ 60,07 5,7 5,6 = → = → = θ θ θ sen AC sen hbie cm d tg AB tg BF d 26 9, 60,07 ,3 75) (11,75 ) ( ____ ____ = → + = + = θ Como d BF < ___ , as dimensões do elemento estrutural validam a consideração deste como um dente Gerber. cm h d d h g g 30 30 4, / 2 0,2 5,2 26 9, ' = → = + + = + = (altura do dente Gerber) Área da armadura do tirante: 50/ .1 15 60,07 60,07 60 120 × + = + = tg tg tg f H tg V A yd d d s θ θ 2 ,2 97 cm As =       = = ) ,4 02 2 16( ) ,314 10( 4 2 2 cm A cm A se se φ φ adotar 4φ10 . Comprimento de ancoragem do tirante: ctd bd f f 3 1 2 =η η η com MPa f f c ck ctd ,1 28 / 4,1 ,0 21(25) / ,0 21 2 / 3 2 / 3 = = = γ η1 = ,2 25 (barras de aço nervuradas) η2 = 1 (situação de boa aderência) η3 = 1 (diâmetro da barra, 10 < 32mm) Logo, MPa fbd ,2 88 ,1 28 ,2 25 1 1 = × × × = mm f f bd yd 377 ,2 88 4 500 / ,115 10 4 = × × = φ e 25 = 250mm φ φ φ 25 4 ≤ = bd yd b f f l logo mm lb = 250 mm l mm l l b b b 113 100 100 113 100 10 3,0 ,min ,min = →       =       ≥ φ 113 ,314 250 ,2 97 1 , ,min , , 1 , ≥ = × → ≥ = b nec b ef s s cal b b nec l l A l A l α mm l b nec 236 , = Comprimento longitudinal total do tirante: cm y y tg 24 5, 5,3 21 45 = → + = Armadura de costura: Segundo NBR 6118 (2014) pode-se usar como parâmetro para determinação da área da armadura de costura 40% da armadura do tirante. 2 ,119 4,0 cm A A s sc = = , adotar ) ,0 94 (3,6 3 cm2 Ase = φ Essa área deve ser distribuída em 2/3 da altura útil, logo o espaçamento entre elas é, cm d s ,5 98 3 26 9, /3 2 3 2/ 3 = × = = (adotar 6 cm) Armadura de suspensão: Essa armadura deve ser dimensionada como um tirante que eleva toda a reação que chega ao apoio da armadura longitudinal de tração até o sistema biela-tirante do dente Gerber, sendo assim: ss d ss A = V σ , fazendo yd ss = f σ , tem-se 2 ,2 76 50/ ,115 120 cm f V A yd d ss = = = Configurações possíveis       = = ) ,2 81 3,6 ( 9 ) ,314 10( 4 2 2 cm A cm A se se φ φ . Adotar 4φ10 em forma de estribos com espaçamento mínimo necessário para permitir um bom adensamento do concreto, como, por exemplo, a entrada de instrumento de vibração. Essa armadura deve ser distribuída o mais próximo possível da face viga-dente. Detalhamento: Armadura φ (mm) Quantidade comprimento Unitário(m) Total(m) N1 10 2 1,47 2,94 N2 5 2 0,37 0,74 N3 6,3 1 0,97 0,97 N4 6,3 1 0,85 0,85 N5 6,3 1 0,73 0,73 N6 10 4 1,42 5,68 OBS: N2 é uma armadura auxiliar de armação da armadura de costura; EXERCÍCIO: Determine a altura necessária para o dente Gerber da viga mostrada na figura abaixo e as áreas de aço para: tirante, armadura de suspensão e armadura de costura. Dados: MPa fck = 25 , aço CA50, kNm qgk = 30 (carga de peso próprio), kNm qqk = 10 0, (carga acidental de uso) e classe II de agressividade ambiental. Solução: Esforço cortante de cálculo (VSd): kN m q q q qk gk d / 56 0, 10 4,1 30 4,1 4,1 4,1 = × + × = + = kN q L V d d 126 2 5,4 56 2 = × = = Detalhamento inicial do dente Gerber É considerado que a reação de apoio é transmitida de um elemento para o outro através do aparelho de apoio com a reação distribuída de forma uniforme ao longo da largura do aparelho de apoio. Viga bi-apoiada: Viga em balanço: Como pode ser observado nas figuras acima os modelos são análogos para o dente superior e inferior, bastando assim o dimensionamento de apenas um deles. mm c = 25 (Cobrimento mínimo para viga sob classe II de agressividade ambiental, com controle de execução) Para barra de diâmetro 20mm (adotado inicialmente), e diâmetro máximo característico do agregado graúdo de 19mm (brita 1), tem-se: 20 2.1 19/ 20 2.1 max / = →      ≥        ≥ nom b nom c d c φ (cobrimento necessário para barra de 20mm) Determinando a altura útil do dente Gerber para a iminência de ruína da biela comprimida para o estado limite último com combinação normal do carregamento: Da figura acima, retira-se:             + − + + − + − ≤ 0,1 ) ( ' 2 ' 5 0,1 ) ( ' ) ( 2 20 ___ d V H d d V H c AB d d d d φ Considerando aparelho de apoio feito de elastômero tem-se d d V H 2,0 = , logo: cm AB AB 6,4 ,5 85 6,4 0,1 ) / 2 0,2 2,0 ( 5,2 2 / 2 0,2 5,2 5 0,1 ) / 2 0,2 2,0 ( 5,2 0,2 ) ( 5,2 2 20 ___ ___ =  →     ≤            + + − + + + + − + − ≤ cm AB AC 2,9 6,4 2 2 ___ ___ = × = = cm BF AB c BF 10 9, 0,2 ) 5,2 ( 6,4 20 ) ( 20 ___ ___ ___ = → + + − = + + − = φ θ α f b h sen V bie w cd v Rd 2 6,0 = (esforço máximo no apoio considerando ruptura da biela comprimida) Fazendo d Rd V V = e usando ____ AC sen hbie θ = , tem-se w cd v d bie d bie w cd v f b ACV h V AC b h f 2 ___ ___ 2 2 6,0 / 6,0 α α = → = 9,0 25/ 250 1 / 250 1 2 2 = = − → − = v ck v f α α cm m hbie 4,7 ,0 074 ,0 22 25000/ 4,1 9,0 6,0 ,0 092 126 = = × × × × = 0 ____ 53,55 2,9 4,7 = → = → = θ θ θ sen AC sen hbie cm d tg AB tg BF d 21 0, 53,55 6,4 ) (10 9, ) ( ____ ____ = → + = + = θ Como d BF < ___ , as dimensões do elemento estrutural validam a consideração deste como um dente Gerber. cm h d d h 25 24 5, / 2 0,2 5,2 21 ' = → = + + = + = (altura total do dente Gerber) Área da armadura do tirante: 50/ .1 15 53,55 53,55 126 2,0 126 × × + = + = tg tg tg f H tg V A yd d d s θ θ 2 ,2 72 cm As = Armadura de costura: Segundo NBR 6118 (2014) pode-se usar como parâmetro para determinação da área da armadura de costura 40% da armadura do tirante. 2 ,1 09 4,0 cm A A s sc = = Armadura de suspensão: Essa armadura deve ser dimensionada como um tirante que eleva toda a reação que chega ao apoio da armadura longitudinal de tração até o sistema biela-tirante do dente Gerber, sendo assim: ss d ss A = V σ , fazendo yd ss = f σ , tem-se 2 ,2 90 50/ ,115 126 cm f V A yd d ss = = =