Apostila - Lajes de Concreto - 2024-1

Flecha: a_i = \frac{5}{384} \frac{p\ l^4}{EI} M_{max} = \frac{p\ l^2}{8} Figura - Laje armada em uma direção sobre apoios simples e com carregamento uniforme. Flecha: a_i = \frac{1}{185} \frac{p\ l^4}{EI} M_{max} = \frac{p\ l^2}{14,22} Figura - Laje armada em uma direção sobre apoio simples e engaste perfeito com carregamento uniforme. Flecha: a_i = \frac{1}{384} \frac{p\ l^4}{EI} M_{max} = \frac{p\ l^2}{24} Figura - Laje armada em uma direção biengastada com carregamento uniforme. Detalhe 1 Detalhe 2 N7 - 8\phi6,3c/5,5(190) N6 - 3\phi5,0c/13,1(469) N8 - 6\phi6,3c/7,5(273) N1 - 3\phi5,0c/20(470) N2 - 3\phi6,3c/12,4(510) N5 - 2\phi6,0c/17(1039) N4 - 1\phi6,3c/20(717) N3 - 1\phi5,0c/21(490) M0 - 1\phi6,3c/17,5(172) M1 - 8\phi6,3c/7,9(390) Detalhe 1 N12 - 3\phi6,3c/15 (96) Detalhe 2 N13 - 4\phi6,3c/22 (112) 4.1 - LAJES MACIÇAS DE CONCRETO Lajes maciças são aquelas que, como o próprio nome diz, toda a espessura (ou altura) da laje é composta por concreto, que envolve as armaduras longitudinais de flexão e eventualmente outras armaduras como as transversais para os esforços cortantes. As lajes maciças podem ser de concreto armado ou de concreto protendido. Neste texto abordaremos apenas os casos de lajes de concreto armado. Nas pontes e edifícios de múltiplos pavimentos e em construções de grande porte, as lajes maciças são as mais comuns entre os diferentes tipos de laje existentes. A NBR 6118 (2014) define as lajes cogumelo e as lajes lisas que também são lajes maciças de concreto. As lajes maciças de concreto tem espessuras que normalmente variam de 7 cm a 15 cm, sendo projetadas para os mais variados tipos de construção como, por exemplo, edifícios de múltiplos pavimentos (residenciais, comerciais, etc), muros de arrimo, escadas, reservatórios, construções de grande porte (escolas, indústrias, hospitais, pontes de grandes vãos, etc). De modo geral não são aplicadas em construções residenciais e outras de pequeno porte, pois nesses tipos de construção as lajes nervuradas pré-fabricadas apresentam vantagens nos aspectos custo e facilidade de construção. Classificação quanto à direção: Urna classificação muito importante das lajes é aquela referente à direção ou direções da armadura principal, havendo dois casos: laje armada em uma direção e laje armada em duas direções (armada em cruz). a) Laje armada em uma direção Nas lajes armadas em uma direção a laje é bem retangular com relação entre o lado maior e o lado menor maior que dois. Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão, chamada direção principal. Na outra direção, chamada secundária, os esforços solicitantes são bem menores e, por isso, são comumente desprezados nos cálculos. Os esforços solicitantes e as fechas são calculados supondo-se a laje como uma viga com largura de 1 m, segundo a direção principal da laje, como se verá adiante. b) Laje armada em duas direções (ou em cruz) Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são importantes segundo as duas direções principais da laje. A relação entre os lados é menor que dois, ou seja: Vinculação nas bordas: De modo geral são três os tipos de apoio das lajes: paredes de alvenaria ou de concreto, vigas ou pilares de concreto. Dentre eles as vigas nas bordas é o tipo de apoio mais comum nas construções. Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes toma-se necessário estabelecer os vínculos da laje com os apoios, sejam eles pontuais, como os pilares, ou lineares, como as vigas de borda. Devido à complexidade do problema devem ser feitas algumas simplificações de modo a possibilitar o cálculo manual que será desenvolvido. Os três tipos comuns de vinculo das lajes são o apoio simples, o engaste perfeito e o engaste elástico. Para utilização de métodos de análises simplificados de lajes serão considerados apenas os apoios simples e o engaste perfeito. A idealização de apoio simples ou engaste perfeito em lajes comuns dos edifícios raramente ocorre na realidade, no entanto, segundo CUNHA & SOUZA (1994) o erro cometido é pequeno (inferior a 10%). a) bordas simplesmente apoiadas O apoio simples surge nas bordas onde não tem ou não se admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas. O apoio pode ser uma parede de alvenaria ou uma viga de concreto. No caso de vigas de concreto de dimensões correntes, a rigidez da viga á torção é pequena, de modo que a viga gira e deforma-se acompanhando as pequenas rotações da laje, o que acaba garantindo a concepção adotada de apoio simples (Figura abaixo). Cuidado especial há de se tomar na ligação de lajes com vigas de alta rigidez á torção, podendo ser mais adequado engastar perfeitamente a laje na viga. Nesse caso os esforços de torção daí decorrentes devem ser obrigatoriamente considerados no projeto da viga de borda. b) bordas engastadas O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço (marquises, varandas, etc), e também nas bordas onde há continuidade entre duas lajes vizinhas. Ações a considerar: As ações ou carregamentos a se considerar nas lajes são os mais variados possíveis, desde pessoas até moveis, equipamentos fixos ou móveis, divisórias, paredes, peso ou empuxo de água e solo, etc. As lajes atuam recebendo as cargas de utilização e transmitindo-as para os apoios, geralmente vigas nas bordas. Nos edifícios as lajes ainda têm a função de atuarem como diafragmas rígidos (elemento de rigidez infinita no seu próprio plano), distribuindo os esforços horizontais do vento para as estruturas de contraventamento (paredes, núcleos de rigidez, etc), responsáveis pela estabilidade global dos edifícios. Para determinação das ações atuantes nas lajes deve-se recorrer as normas NBR 6118 (2014), NBR 8681 (2003) e NBR 6120 (2000), entre outras normas pertinentes. Nas situações de edifícios correntes, geralmente as ações a serem consideradas são as ações permanentes (g) e as ações variáveis (q), chamadas pela norma de carga acidental. A ação variável nas lajes é tratada pela NBR 6120 (2000) como carga acidental, na prática costuma também ser chamada de sobrecarga. Espessura mínima: A NBR 6118 (2014) estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças deve respeitar: a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; c) 10 cm para lajes em balanço; d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo Estimativa da altura da laje: Para o cálculo das lajes é necessário estimar inicialmente a sua altura. Existem diferentes processos para essa estimativa, sendo um deles dado pela equação seguinte, onde d altura útil da laje (cm), n é o número de bordas engastadas da laje, e l* é o menor valor entre a menor largura (lx) e 70% da maior largura (ly). Com a altura útil calculada pode-se obter a altura da laje, dada por: Como inicialmente não se conhece o diâmetro da barra longitudinal da laje este deve ser estimado. Para a maioria das lajes esse diâmetro fica em torno de 5 a 8 mm. 4.2 – MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES Os momentos fletores e as fechas nas lajes maciças são determinadas conforme a laje é armada em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma direção são calculadas como vigas segundo a direção principal, já as lajes armadas em duas direções podem ser aplicadas diferentes teorias, como a teoria da elasticidade, a teoria das Charneiras Plásticas, a teoria aproximada de grelhas, e tabelas baseadas em métodos numéricos aproximados. Laje armada em uma direção: No caso das lajes amadas em uma direção considera-se simplificadamente que a flexão na direção do menor vão da laje é preponderante em relação à outra direção, de modo que a laje será suposta como uma viga com largura constante de um metro, segundo a direção principal da laje, como mostrado na figura abaixo. Na direção secundária desprezam-se os momentos fletores existentes. As Figuras abaixo mostram, para os casos de vinculação que podem existir no caso de laje armada em uma direção, as equações para cálculo das reações de apoio, momentos fletores máximos e flechas imediatas para carregamentos uniformemente distribuídos. Para outros tipos de carregamentos devem ser consultadas bibliografia específica. No caso de lajes contínuas armadas na mesma, e única, direção a definição dos esforços e flechas devem ser obtidos por meio de uma viga contínua de largura unitária, como mostra a figura abaixo. Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja no máximo igual a 20% da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de alternância das cargas variáveis. Caso contrário, o carregamento variável deve ser disposto na estrutura de forma a se ter a situação mais desfavorável na seção analisada, como mostra a figura abaixo: Momento máximo positivo (ou negativo) no meio do vão Momento máximo negativo no apoio OBS: Apesar de serem desprezadas as tensões que surgem na direção secundária de lajes armadas em uma direção, a NBR 6118 (2014) exige que seja disposta uma armadura mínima nesta direção, chamada de armadura de distribuição. Já a quantidade de armadura mínima na direção principal é a mesma definida para as vigas. A tabela a seguir mostra esses valores mínimos. EXEMPLO: Determine a quantidade de aço para a armadura principal e secundária da laje contínua mostrada na figura abaixo. Dado MPa fck = 25 . - Considerar laje revestida na parte inferior com argamassa (1,5cm de espessura) e na parte superior 2 cm de argamassa de assentamento de piso cerâmico de 14,5 kg/m2. - Considerar concreto produzido com brita 1 ( mm d max = 19 ) e controle de execução do cobrimento. - Considerar lajes de piso de escritório. SOLUÇÃO: Altura estimada da laje: Lajes L1 e L3: n = 1 (número de bordos engastados) ,2 85 * 02 ,4 ,2 85 7,0 * =  →      ≤      ≤  l l l l y x , logo cm n l d ,6 84 ,2 85 )1,0 ( 5,2 ) * 1,0 ( 5,2 = − = − = Laje L2: n = 2 (número de bordos engastados) ,2 75 * ,4 02 ,2 75 7,0 * =  →      ≤      ≤  l l l l y x , logo cm n l d ,6 32 2,0 ) ,2 75 ( 5,2 ) * 1,0 ( 5,2 = − = − = Cobrimento mínimo: mm c = 20 (cobrimento mínimo para lajes considerando classe 1 de agressividade, e controle de execução do cobrimento. Como a laje terá acabamento em ambas as faces pode-se admitir um cobrimento mínimo de 15mm não inferior ao cnom ) Admitindo inicialmente barras longitudinais de 6,3mm de diâmetro, tem-se: mm c d c nom b nom 15 8, 15 3,6 2,1 max / = →      ≥       ≥  φ (cobrimento necessário para barra de 6,3mm) Altura total da laje: Lajes L1 e L3, cm c d h l 7,8 5,1 ,0 63/ 2 ,6 84 / 2 = + + = + + = φ . Laje L2, cm c d h l 1,8 5,1 ,0 63/ 2 ,6 32 / 2 = + + = + + = φ . Como esses valores foram obtidos por meio de uma expressão aproximada que não leva em consideração todas as variáveis do problema, o calculista pode usar este valor apenas como uma referência para a definição da altura da laje, sendo assim, vamos adotar inicialmente cm h = 9 para todas as lajes. Largura efetiva das lajes: A largura efetiva (vão efetivo) de cada laje deve ser determinada de forma análoga ao caso de viga: 2 1 a a l lef + = + , onde ia é o menor valor entre a metade da largura do apoio (15cm) ou 30% da altura da laje (10cm), e l é a distância entre as faces interna dos apoios, logo: Lajes L1 e L3: cm lx 275 4, 7,2 7,2 270 = + + = cm l y 565 4, 7,2 7,2 560 = + + = ,2 05 ,5 65/ ,2 75 / = = = ly lx λ . Como λ > 2 laje armada em uma direção. Laje L2: cm lx 265 4, 7,2 7,2 260 = + + = cm l y 565 4, 7,2 7,2 560 = + + = ,213 ,5 65/ ,2 65 / = = = ly lx λ . Como λ > 2 laje armada em uma direção. Carga distribuída devido ao peso próprio: Peso por metro quadrado de laje mais revestimento e piso: 2 / ,313 10/1000 14 5, 25 ,0 09 ,0 015)21 ( ,0 02 kN m qgk = × + × + + = Carga distribuída devido à ocupação: 2 / ,2 00 kN m qqk = (NBR-6120, 2000) Carregamento de cálculo para combinação última normal: 2 / ,7 18 ,2 00 4,1 ,313 4,1 4,1 4,1 kN m q q q qk gk d = × + × = + = Análise de momentos: Como ,1 03) )(2 2,0 ( ≥ + ≥ gk qk qk q q q , deve-se analisar a estrutura considerando carga variável atuando nos vão que geram a situação mais desfavorável para a seção analisada. Momento máximo positivo no vão central: Da análise estrutural, tem-se: M = 2,13 kNm (considerando carregamento máximo em todos os vãos ter-se-ia, 1,04 kNm) Momento máximo positivo no vão de extremidade: Da análise estrutural, tem-se: M = 4,81 kNm (considerando carregamento máximo em todos os vãos ter-se-ia, 4,41 kNm) Momento máximo negativo nos apoios intermediários: Da análise estrutural, tem-se: M = -5,61 kNm (considerando carregamento máximo em todos os vãos ter-se-ia, -5,26 kNm) Cálculo da armadura principal: Será definida a quantidade de aço por metro de largura da laje na direção secundária, através de uma análise de viga contínua de largura 1m e altura dada pela espessura da laje. Essa faixa de laje é analisada ao longo da direção principal. Momento máximo negativo nos apoios intermediários: Momento de Cálculo kNm M d = ,5 61 → (traciona a face superior) Dimensionamento com armadura simples no limite dos domínios 2 e 3 ( ,0 2593 βx23 = ) ) 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( ,0 68 2 x x cd d x x cd d f b M d f bd M β β β β − = → − = m d ,0 045 ,0 2593) 4,0 ,0 2593 1( 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 ,5 61 = × − × × × = cm c d h l ,6 32 5,1 ,0 63/ 2 5,4 / 2 = + + = + + = φ (adotar espessura mínima de 7cm. A versão 2014 da NBR 6118 altera esse valor para 8cm) Para cm h 0,7 = , tem-se cm c h d l ,518 5,1 ,0 63/ 2 7 / 2 = − − = − − = φ Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: 23 0 x x ≤ β ≤ β εs = 1% yd s = f σ 1% 1 % 1 x x c c x d x β β ε ε − = → − = Aço CA50, ,0 207% ε yd = Para 2,0 % εc = , tem-se ,01667 1 2,0 = → − = xc xc xc β β β , Como 23 0 x xc β β ≤ ≤ tem-se, para a seção analisada, que 2,0 % εc ≤ em [ ] [ 1667] .0,0 ,0 βxc = e 2,0 % εc ≥ em [ ] [ .0 1667 .0, 2593] , βxc βx23 = . Para 2,0 % εc ≥ e εs =1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 05182 1 25000/ 4,1 ,5 61 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = [ ] OK! (dentro do intervalo .0 1667 .0, 2593 ), 31 ,2 ,01860 → = = x x β β yd x cd s s s x c f f bd A A bd β σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − 2 ,3 69 50/ ,115 ,01860 ,0 0518 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 cm As = × × × × = 3,6 ,8 63 φ por metro na direção secundária (5,6m), logo serão 49 barras espaçadas a cada 11,4cm ao longo dos apoios intermediários na parte superior da laje (armadura negativa) Momento máximo positivo nos vãos de extremidade: Momento de Cálculo kNm M d = ,4 81 → (traciona a face inferior) Será adotada a mesma altura para as três lajes, como altura já foi verificada para o maior momento, tem-se: cm h 0,7 = , e cm d = ,518 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≥ e sε =1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 05182 1 25000/ 4,1 ,4 81 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = [ ambas fora do intervalo .0 1667 .0, 2593] ,2 34 ,01576 → = = x x β β Para 2,0 % εc ≤ e sε =1% , tem-se       − − =              −  − = 2 2 ) 1( 35 10 2,0 % 1 1 x x x cd c cd c f f β β β ε σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β . ,01476 ,0 0518 1 25000/ 4,1 ,0 68 81 ,4 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,01120 ,01582 ,0 2379 5017 ,2 0 ,01476 ,0 2952 ,9 8524 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β MPa f x x x cd c 17,79 ,01582) 1( ,01582 35 ,01582 10 4,1 25 ) 1( 35 10 2 2 =     − × −  =      − − = β β β σ yd s σ = f yd x cd s s s x c f f bd A A bd β σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − 2 ,2 28 50/ ,115 ,01582 ,0 0518 0,1 ,0 68 17790 cm As = × × × × = 3,6 ,7 31 φ por metro na direção secundária (5,6m), logo serão 41 barras espaçadas a cada 13,6cm ao longo da direção secundária na parte inferior das lajes L1 e L3 (armadura positiva) Momento máximo positivo no vão intermediário: Momento de Cálculo kNm M d = ,213 → (traciona a face inferior) Será adotada a mesma altura para as três lajes, como altura já foi verificada para o maior momento, tem-se cm h 0,7 = , e cm d = ,518 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se =              −  − = 2 2,0 % 1 1 c cd c f ε σ       − − 2) 1( 35 10 x x x fcd β β β 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β . ,0 0654 ,0 0518 1 25000/ 4,1 ,0 68 13 ,2 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0762 ,0 0907 ,0 2705 5008 ,2 0 ,0 0654 ,01308 ,9 9346 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β MPa f x x x cd c 13,37 ,0 0907) 1( ,0 0907 35 ,0 0907 10 4,1 25 ) 1( 35 10 2 2 =     − × −  =      − − = β β β σ yd s = f σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − 2 ,0 98 50/ ,115 ,0 0907 ,0 0518 0,1 ,0 68 13370 cm As = × × × × = 3,6 ,315 φ por metro na direção secundária (5,6m), logo serão 18 barras espaçadas a cada 31,1 cm ao longo da direção secundária na parte inferior da laje L2 (armadura positiva) OBS: Deve ser verificado se as taxas de armadura encontradas satisfazem critérios mínimos estipulados pelas NBR 6118 (2014). As taxas mínimas já foram apresentadas neste item, e os espaçamentos máximos entre barras e outras particularidades de detalhamento serão apresentadas a seguir no item de detalhamento de lajes. Cálculo da armadura de distribuição (secundária): 3 4 2 2 3 0 ,817 10 6 ,0 07 1 6 2 12 / m bh h bh y I W t − × = = × = = = MPa f f f ck ctm ctk ,3 33 25 ,0 39 3,0 3,1 3,1 2 / 3 2 / 3 ,sup = × = × = = kNm W f M ctk d ,218 ,3 33 10 ,817 10 8,0 8,0 3 4 ,sup 0 ,min = × × × × = = − Cálculo de x β : Como M d,min é próximo de 2,13kNm para o qual já foi verificado o valor de x β , tem-se: Para 2,0 % εc ≤ e εs = 1% , tem-se: cm h 0,7 = , cm d ,4 62 / 2 5,0 ,0 63 5,1 7 = − − − = 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β com 2 ,0 68 f bd M a cd d = ,0 0841 ,0 0518 1 25000/ 4,1 ,0 68 18 ,2 2 = × × × = [ 1667] .0,0 0858 ,0 1055 ,0 2650 ,0 5009 ,2 0 ,0 0841 ,01682 ,9 9159 39 14 2 3 4 ∈ − = = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β MPa f x x x cd c 14,85 ,01055) 1( ,01055 35 ,01055 10 4,1 25 ) 1( 35 10 2 2 =     − × −  =      − − = β β β σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 ,min ,min = → = − 2 ,min ,111 50/ ,115 ,01055 ,0 0462 0,1 ,0 68 14850 cm As = × × × × = ,0158% 100% 7 100 ,111 ,min min = × × = = bh As ρ (taxa de armadura mínima, que deve ser maior que 0,15%) Armadura de distribuição para L1 e L3: 129 ,0 079 ,0 129 ,0 065 ,0 ,0158 5,0 7) 100% /(100 9,0 7) 100% ,2 28/(100 2,0 5,0 ) /( 9,0 ) /( 2,0 min , = →           ≥           × × × × × × ≥           ≥ s principal s s bh bh A ρ ρ ρ 2 9,0 7 /100 ,0129 100 /100 cm bh A s s = × × = = ρ ,4 58 5 φ por metro na direção principal (2,7m), logo serão 13 barras espaçadas a cada 20,8 cm ao longo da direção principal na parte inferior das lajes L1 e L3 (armadura positiva) Armadura de distribuição para L2: 129 ,0 079 ,0 129 ,0 028 ,0 ,0158 5,0 7) 100% /(100 9,0 7) 100% ,0 98/(100 2,0 5,0 ) /( 9,0 ) /( 2,0 min , = →           ≥           × × × × × × ≥           ≥ s principal s s bh bh A ρ ρ ρ 2 9,0 7 /100 ,0129 100 /100 cm bh A s s = × × = = ρ ,4 58 5 φ por metro na direção principal (2,6m), logo serão 12 barras espaçadas a cada 21,7 cm ao longo da direção principal na parte inferior da laje L2 (armadura positiva) Laje armada em duas direções: O comportamento das lajes amadas em duas direções, apoiadas nos quatro lados, é bem diferente das lajes armadas em uma direção, sendo seu cálculo mais complexo se comparado ao das lajes armadas em uma direção. Sob ação do carregamento a laje apóia-se no trecho central dos apoios e os cantos se levantam destes, como mostra a figura abaixo. Se a laje está ligada a vigas de concreto ou se existirem pilares nos cantos, o levantamento da laje fica impedido, o que faz surgir momentos fletores negativos nos cantos, que causam tração no lado superior da laje na direção da diagonal, e positivos na direção perpendicular a diagonal, gerando tração no lado inferior da laje. Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou de torção, e recebem a notação de Mxy. A direção dos momentos principais (momentos que geram as tensões normais principais) está mostrada na Figura abaixo. Nos cantos, os momentos principais encurvam- se por influência dos momentos volventes. No centro da laje os momentos principais desenvolvem-se perpendicularmente as bordas e nos cantos com ângulos de 450. Processo das Grelhas: Foi o primeiro método a ser desenvolvido para análise de momentos em lajes retangulares armadas em cruz. O método de Marcus apresentado a seguir é baseado neste método com a introdução de um coeficiente com base semi-empírica. Para ilustrar o método das grelhas, considera-se uma laje simplesmente apoiada em seus quatros bordos, ao receber um carregamento vertical ao seu plano ela irá encurvar-se nas duas direções principais atingindo a flecha f no seu centro geométrico, como mostra a figura abaixo. O cálculo das solicitações na laje, quando submetida a um carregamento p uniformemente distribuído, pode ser realizado pelo método das grelhas que consiste em simular a laje retangular por uma viga horizontal e vertical com largura unitária e ponto de interseção coincidente com o ponto de flecha máxima das duas vigas. As condições de apoio das vigas irão depender das condições de apoio da laje, já o carregamento atuante em cada viga é determinado de forma que a flecha seja a mesma para as duas vigas no ponto de interseção da grelha. Para o caso de laje retangular apoiada nos quatros bordos, tem-se: EI p l f x x x 4 384 5 = , EI p l f y y y 4 384 5 = e y x p p p + = . Da condição de y x f = f , tem-se: p l l l p y x y x 4 4 4 + = . Para o caso de laje retangular apoiada em três bordos e engastada no outro, tem-se: EI p l f x x x 4 384 ,2 08 = , EI p l f y y y 4 384 5 = e y x p p p + = . Da condição de y x f = f , tem-se p l l l p y x y x 4 4 4 5 08 ,2 5 + = . O procedimento acima pode ser generalizado para qualquer condição de apoio da laje, escrevendo a flecha máxima na viga em função dos coeficientes x α e y α para as diferentes condições de apoio da viga, logo: EI p l f x x x x 4 384 = α , EI p l f y y y y 4 384 = α e y x p p p + = . Da condição de y x f = f , tem-se p l l l p y y x x y y x 4 4 4 α α α + = . Definindo x y l ω = l e 4 4 α ω α ω α y x y xk + = chega-se às expressões: k p p x x = e p k p x y ) = 1( − . A figura abaixo mostra os valores de α e das reações de apoio para as diferentes condições de apoio em vigas. Processo de Marcus: O método de Marcus difere do método das grelhas devido à introdução de um coeficiente com base semi-empírica. Esse coeficiente é função das condições de apoio e da relação entre os vãos baseando-se na comparação dos resultados obtidos pelo processo das grelhas com os da teoria de placas. Na figura abaixo, se desprezarmos a influência das regiões vizinhas à faixa de viga retirada do elemento plano, a seção ABCD se deforma girando em torno da linha neutra e a deformação no ponto C é igual a deformação no ponto D. No entanto, a presença de faixas vizinhas faz com que exista uma diferença na deformação na direção y para os pontos C e D, o que gera o aparecimento do momento volvente que é mais significativo na região próxima aos cantos, e para lajes apoiada nos quatros bordos. Esse momento volvente reduz os momentos máximos positivos obtidos pelo processo das grelhas. Segundo Souza (1994), o uso do método das grelhas com os coeficientes redutores dos momentos positivos obtidos por Marcus dispensa a verificação dos momentos volventes. Entretanto, no caso de lajes retangulares com o menor vão superior a três é recomendado que disponha de uma armadura nos cantos de lajes apoiadas para combater esse momento. No caso de lajes engastadas essa armadura não é necessária. As expressões abaixo mostram os coeficientes redutores de Marcus para os momentos positivos. Esses coeficientes devem ser multiplicados pelos momentos positivos obtidos pelo método da grelha para se ter os momentos atuantes na viga segundo o método de Marcus. 2 3 20 1 ω ν + − = x x x m k (viga analisada na direção x) + − = y y y m k 2 3 20 1 ω ν (viga analisada na direção y) EXEMPLO: Seja a laje isolada retangular da figura abaixo. Considerando que as cargas atuantes na laje são 2 / 2,3 kN m pg = e 2 / 0,2 kN m pq = , calcular os momentos fletores utilizando o método de Marcus, e as reações de apoio usando o método das áreas e o método das grelhas. SOLUÇÃO: Como a maior dimensão da laje é inferior ao dobro da menor, a laje é armada em duas direções. Portanto, utilizando o método de Marcus, os momentos serão determinados considerando a laje simulada por uma grelha formada por duas vigas ortogonais nas direções x e y. Admitindo x a direção horizontal da laje da figura acima e y a direção vertical, tem- se ,510 yl = e ,3 00 xl = . Tanto para a direção x quanto para direção y, tem-se viga engastada-apoiada, logo: 8/3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = = = = = = − − + + y x y x y x y x y x n n n n m m m m α α 7.1 0.3 .5 10 = = = x y l l ω , .0 893 7.1 .2 08 .2 08 7.1 08 .2 4 4 4 4 = × + × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 107 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 855 7.1 14.22 .0 893 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 855 14.22 7.1 .0 107 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento de cálculo: .7 28 0.2 4.1 2.3 4.1 4.1 4.1 = × + × = + = q g d p p p kN/m2 Carregamento da viga na direção x: .6 50 .7 28 .0 893 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: ,0 78 .7 28 .0 107 = × = = k p p y y kN/m. Direção x: Momento positivo: .3 52 .22 14 3 .0 855 .6 50 / 2 2 = × = = + + x x x x x m p l M ν kNm/m Momento negativo: .7 31 8 3 .6 50 / 2 2 = × = = − − x x x x m p l M kNm/m Reação de apoio: 12.19 /5 8 3 .6 50 / = × = = x x x x n p l V kN/m Reação de apoio: .7 31 /3 8 3 .6 50 / = × = = x x x x n p l V kN/m Direção y: Momento positivo: .1 22 .22 14 1.5 .0 855 .0 78 / 2 2 = × = = + + y y y y y m p l M ν kNm/m Momento negativo: .2 53 8 1.5 .0 78 / 2 2 = × = = − − y y y y m p l M kNm/m Reação de apoio: .2 48 /5 8 1.5 .0 78 / = × = = y y y y n p l V kN/m Reação de apoio: .1 49 /3 8 1.5 .0 78 / = × = = y y y y n p l V kN/m Reações de apoios pelo método das áreas de influência (método das linhas de ruptura): b y tg 45 = , a y tg 30 = e 0.3 a + b = 30 ) (3 30 45 b tg b atg btg − = → = .1 10 .1 90, .1 10 30 1 3 30 = = → = + = y a tg tg b ' ' 60 b y tg = , ' ' 45 a y tg = e 0.3 ' ' a +b = 60 )' (3 ' 60 ' 45 ' a tg a b tg a tg − = → = .1 90 .1 10, ' ' .1 90 60 1 60 3 ' = = → = + = y b tg tg a Direção x: Reação de apoio: ,9 76 1,5 9,1)1,2 5,0 ( 1,5 ,7 28 / = + × = = y d x p A l V kN/m Reação de apoio: ,5 65 1,5 1,1)1,2 5,0 ( 1,5 ,7 28 / = + × = = y d x p A l V kN/m Direção y: Reação de apoio: ,6 92 0,3 9,1 0,3 5,0 ,7 28 / = × × × = = y d x p A l V kN/m Reação de apoio: ,4 00 0,3 1,1 3 5,0 ,7 28 / = × × × = = y d x p A l V kN/m Lajes contínuas armadas em cruz: (a) Pequenas sobrecargas ) ( 2,0 gk qk qk p p p + < : Nesse caso pode calcular cada laje como se fosse isolada definindo as condições de bordo (livre, apoiado ou engastado) em função de existir ou não continuidade ao longo do bordo. No caso de bordos comuns às lajes vizinhas existirão dois momentos negativos nestes bordos, que provavelmente terão valores diferentes. A NBR 6118 (2014) permite, a favor da segurança, admitir o maior valor para os dois casos. Já Souza (1994) adota o maior valor entre a média dos dois momentos negativos e 80% do maior momento negativo. A alteração dos momentos negativos descrita no parágrafo anterior irá influenciar também o momento positivo máximo nas lajes. Neste caso, tanto a NBR 6118 (2014) e Souza (1994) recomendam que o momento positivo permaneça inalterado, sendo essa aproximação a favor da segurança. (b) Grandes sobrecargas ) ( 2,0 gk qk qk p p p + ≥ : Nesse caso deve-se dispor o carregamento variável da forma mais desfavorável para a determinação dos momentos máximos negativos ou positivos. Este processo é análogo ao descrito anteriormente para o caso de lajes contínuas armadas em uma direção. EXEMPLO: Determine a quantidade de aço para a armadura principal da laje L5 mostrada na figura abaixo. Dado MPa fck = 25 . - Considerar laje revestida na parte inferior com argamassa (1,5cm de espessura) e na parte superior 2 cm de argamassa de assentamento de piso cerâmico de 14,5 kg/m2. - Considerar concreto produzido com brita 1 ( mm d max = 19 ) e controle de execução do cobrimento. - Considerar lajes de piso de escritório. SOLUÇÃO: Altura estimada da laje: Lajes L4 e L6: n = 2 (número de bordos engastados) 0,3 * ,4 35 7,0 ,315 7,0 * =  →      ×  ≤     ≤  l l l l y x , logo cm n l d 9,6 2,0 )3 ( 5,2 ) * 1,0 ( 5,2 = − = − = Laje L5: n = 3 (número de bordos engastados) 6,2 * 375 7,0 ,3 85 7,0 * =  →      ×  ≤     ≤  l l l l y x , logo cm n l d ,5 72 3,0 ) 6,2 ( 5,2 ) * 1,0 ( 5,2 = − = − = Cobrimento mínimo: mm c = 20 (cobrimento mínimo para lajes considerando classe 1 de agressividade, e controle de execução do cobrimento. Como a laje terá acabamento em ambas as faces pode-se admitir um cobrimento mínimo de 15mm não inferior ao cnom ) Admitindo inicialmente barras longitudinais de 6,3mm de diâmetro, tem-se 15 8, 15 3,6 2,1 max / = →      ≥        ≥ nom b nom c d c φ (cobrimento necessário para barra de 6,3mm) Altura total da laje: Lajes L4 e L6, cm c d h l 7,8 5,1 ,0 63/ 2 9,6 / 2 = + + = + + = φ . Laje L5, cm c d h l 5,7 5,1 ,0 63/ 2 ,5 72 / 2 = + + = + + = φ . Como esses valores foram obtidos por meio de uma expressão aproximada que não leva em consideração todas as variáveis do problema, o calculista pode usar este valor apenas como uma referência para a definição da altura da laje, sendo assim, vamos adotar inicialmente cm h = 8 para todas as lajes. Largura efetiva das lajes: A largura efetiva (vão efetivo) de cada laje deve ser determinada de forma análoga ao caso de viga: 2 1 a a l lef + = + , onde ia é o menor valor entre a metade da largura do apoio (15cm) ou 30% da altura da laje (8cm), e l é a distância entre as faces interna dos apoios, logo: Lajes L1, L3, L4 e L6: cm lx 304 8, 4,2 4,2 300 = + + = Lajes L2 e L5: cm lx 374 8, 4,2 4,2 370 = + + = Lajes L4, L5 e L6: cm l y 424 8, 4,2 4,2 420 = + + = Lajes L1, L2 e L3: cm l y 364 8, 4,2 4,2 360 = + + = Verifica-se que a relação entre o maior vão e o menor é menor que dois para todas as lajes, logo tem-se lajes armada em duas direções (ou em cruz) para todos os casos. Carga distribuída devido ao peso próprio: Peso por metro quadrado de laje mais revestimento e piso: 2 / ,2 88 10/1000 14 5, 25 ,0 08 ,0 015)21 ( ,0 02 kN m pgk = × + × + + = Carga distribuída devido à ocupação: 2 / ,2 00 kN m pqk = (NBR-6120, 2000) Carregamento de cálculo para combinação última normal: 2 / ,6 83 ,2 00 4,1 ,2 88 4,1 4,1 4,1 kN m p p p qk gk d = × + × = + = Carregamento de cálculo nas direções x e y para as lajes L4 e L6: Admitindo x a direção horizontal das lajes L4 e L6 e y a direção vertical, tem-se ,4 248 yl = e ,3 048 xl = . Tanto para a direção x quanto para direção y, tem-se viga engastada-apoiada, logo: 8/3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = = = = = = − − + + y x y x y x y x y x n n n n m m m m α α = .1 39 = x y l l ω , .0 789 .1 39 .2 08 .2 08 .1 39 08 .2 4 4 4 4 = × + × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 211 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 809 .1 39 14.22 .0 789 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 809 14.22 .1 39 .0 211 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento da viga na direção x: .5 39 .6 83 .0 789 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: .1 44 .6 83 .0 211 = × = = k p p y y kN/m. Carregamento de cálculo nas direções x e y para as lajes L1 e L3: Admitindo x a direção horizontal das lajes L1 e L3 e y a direção vertical, tem-se ,3 648 yl = e ,3 048 xl = . Tanto para a direção x quanto para direção y, tem-se viga engastada-apoiada, logo: 8/3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = = = = = = − − + + y x y x y x y x y x n n n n m m m m α α = .1 20 = x y l l ω , .0 675 2.1 .2 08 .2 08 2.1 08 .2 4 4 4 4 = × + × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 325 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 780 2.1 14.22 .0 675 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 780 14.22 2.1 .0 325 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento da viga na direção x: .4 61 .6 83 .0 675 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: .2 22 .6 83 .0 325 = × = = k p p y y kN/m. Carregamento de cálculo nas direções x e y para a laje L5: Admitindo x a direção horizontal da laje L5 e y a direção vertical, tem-se ,4 248 yl = e ,3 748 xl = . Na direção x tem-se viga bi-engastada, logo: 1/ 2 12, 24, ,1 = = = = − + x x x x n m m α Já na direção y tem-se viga engastada-apoiada, logo: 8/ 3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = − + y y y y y n n m m α = .1 13 = x y l l ω , .0 772 .1 13 .2 08 1 .1 13 08 .2 4 4 4 4 = × + × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 228 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 832 .1 13 24 .0 772 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 864 14.22 .1 13 .0 228 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento da viga na direção x: .5 27 .6 83 .0 772 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: .1 56 .6 83 .0 228 = × = = k p p y y kN/m. Carregamento de cálculo nas direções x e y para a laje L2: Admitindo x a direção horizontal da laje L2 e y a direção vertical, tem-se ,3 648 yl = e ,3 748 xl = . Na direção x tem-se viga bi-engastada, logo: 1/ 2 12, 24, ,1 = = = = − + x x x x n m m α Já na direção y tem-se viga engastada-apoiada, logo: 8/ 3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = − + y y y y y n n m m α = .0 97 = x y l l ω , .0 648 .0 97 .2 08 1 .0 97 08 .2 4 4 4 4 = × + × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 352 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 809 .0 97 24 .0 648 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 845 14.22 .0 97 .0 352 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento da viga na direção x: .4 43 .6 83 .0 648 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: .2 40 .6 83 .0 352 = × = = k p p y y kN/m. Análise de momentos: Como ,0 98) )(2 2,0 ( ≥ + ≥ gk qk qk p p p , deve-se analisar a estrutura considerando carga variável atuando nos vão que geram a situação mais desfavorável para a seção analisada. Momento máximo positivo na Laje L5: Da análise estrutural, tem-se: Mx + = 3,96 kNm (considerando carregamento máximo em todos os vãos ter-se-ia, 3,11 kNm) kNm M M x x x cal ,3 29 ,3 96 ,0 832 , = × = = + + ν (correção do momento positivo devido ao método de Marcus) Da análise estrutural, tem-se: My + = 2,19 kNm (considerando carregamento máximo em todos os vãos ter-se-ia, 1,90 kNm) kNm M M y y y cal ,189 ,219 ,0 864 , = × = = + + ν (correção do momento positivo devido ao método de Marcus) Momento máximo negativo na Laje L5: Da análise estrutural, tem-se: Mx - = 6,55 kNm (considerando carregamento máximo em todos os vãos ter-se-ia, 6,19 kNm) kNm M M x x cal ,6 55 , = = − − Da análise estrutural, tem-se: My - = 3,74 kNm kNm M M y y cal ,3 74 , = = − − Cálculo da altura da laje e armaduras: Para determinar a altura da laje será considerado o maior momento de cálculo atuante na laje, ou seja, kNm M d = ,6 55 (traciona a face superior) Momento máximo negativo na direção x: Dimensionamento com armadura simples no limite dos domínios 2 e 3 ( ,0 2593 βx23 = ) ) 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( ,0 68 2 x x cd d x x cd d f b M d f bd M β β β β − = → − = m d ,0 048 ,0 2593) 4,0 ,0 2593 1( 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 ,6 55 = × − × × × = cm c d h l 6,6 5,1 ,0 63/ 2 8,4 / 2 = + + = + + = φ Adotar cm h 0,7 = (espessura mínima permitida. A versão 2014 da NBR 6118 alterou esse valor para 8cm) Logo: cm c h d l ,518 5,1 ,0 63/ 2 7 / 2 = − − = − − = φ Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≥ e εs = 1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ (domínio 2b [ .0 1667 .0, 2593] ) ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 05182 1 25000/ 4,1 ,6 55 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = [ ] OK! do intervalo .0 1667 .0, 2593 ), (dentro 27 ,2 ,0 2205 → = = x x β β yd x cd s s s x c f f bd A A bd β σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,319 50/ ,115 ,0 2205 ,0 0518 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 2 = × × × × = 3,6 10,23 φ por metro na direção y (4,2m), logo serão 43 barras espaçadas a cada 9,8cm ao longo dos bordos engastados na direção y na parte superior da laje L5 (armadura negativa) Momento máximo positivo na direção x: Momento de Cálculo kNm M d = ,3 29 → (traciona a face inferior) Como já determinado, cm h 0,7 = , e cm d = ,518 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≥ e εs = 1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ (domínio 2b [ .0 1667 .0, 2593] ) ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 05182 1 25000/ 4,1 ,3 29 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = ,01054 βx1 = e ,2 39 βx2 = ambos fora do intervalo [ 2593] .0 , .0 1667 Para 2,0 % εc ≤ e εs = 1% , tem-se: (domínio 2a .0 1667] [0 , ) 1% 1 x x c β β ε − = , =              −  − = 2 2,0 % 1 1 c cd c f ε σ       − − 2) 1( 35 10 x x x fcd β β β 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,01010 ,0 0518 1 25000/ 4,1 ,0 68 29 ,3 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0936 ,01187 ,0 2595 5012 ,2 0 ,01010 ,0 2020 ,9 899 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,01347% ,011871% 1 ,01187 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 15,95 2,0 ,01347 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,1 753 50/ ,115 ,01187 ,0 0518 ,0 68 15950 1 2 = × × × × = 3,6 ,4 92 φ por metro na direção y (4,2m), logo serão 21 barras espaçadas a cada 20 cm ao longo da direção y na parte inferior da laje L5 (armadura positiva) Momento máximo negativo na direção y: Momento de Cálculo kNm M d = ,3 74 → (traciona a face superior) Como já determinado, cm h 0,7 = , e cm d = ,518 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≥ e εs =1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ (domínio 2b [ .0 1667 .0, 2593] ) ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 05182 1 25000/ 4,1 ,3 74 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = ,01206 βx1 = e ,2 38 βx2 = ambas fora do intervalo [ .0 1667 .0, 2593] Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: (domínio 2a .0 1667] [0 , ) 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,01148 ,0 0518 1 25000/ 4,1 ,0 68 74 ,3 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0995 ,01296 ,0 2543 5013 ,2 0 ,01148 ,0 2296 ,9 8852 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,01489% ,012961% 1 ,01296 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 16,69 2,0 ,01489 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,1 75 50/ ,115 ,01296 ,0 0518 ,0 68 16690 1 2 = × × × × = 3,6 ,5 62 φ por metro na direção x (3,7m), logo serão 21 barras espaçadas a cada 17,6 cm ao longo do bordo engastado na direção x na parte superior da laje L5 (armadura negativa) Momento máximo positivo na direção y: Momento de Cálculo kNm M d = ,189 → (traciona a face superior) Como já determinado, cm h 0,7 = . cm c h d ,4 55 ,0 63/ 2 ,0 63 5,1 7 / 2) ( = − − − = + + − = φ φ (a armadura nessa direção vai sobre a armadura positiva da outra direção) Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: (domínio 2a .0 1667] [0 , ) Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,0 0752 ,0 0455 1 25000/ 4,1 ,0 68 89 ,1 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0814 ,0 0985 ,0 2677 5009 ,2 0 ,0 0752 ,01504 ,9 9248 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,01093% ,0 09851% 1 ,0 0985 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 14,18 2,0 ,01093 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,0 99 50/ ,115 ,0 0985 ,0 0455 ,0 68 14180 1 2 = × × × × = 3,6 ,319 φ por metro na direção x (3,7m), logo serão 12 barras espaçadas a cada 30,8cm ao longo da direção x na parte inferior da laje L5 (armadura positiva) OBS: Deve ser verificado se as taxas de armadura encontradas satisfazem critérios mínimos estipulados pelas NBR 6118 (2014). As taxas mínimas já foram apresentadas neste item, e os espaçamentos máximos entre barras e outras particularidades de detalhamento serão apresentadas a seguir no item de detalhamento de lajes. Uso de tabelas para determinação dos momentos em lajes: Diversos autores elaboraram, através de métodos numéricos de análise de placas, tabelas que permitem a obtenção dos momentos atuantes nas lajes retangulares com diferentes relação y lx λ = l / e carregamentos distribuídos uniformemente ou triangulares. Por exemplo, as tabelas de Czerny e as de Bares foram obtidas utilizando o método numérico das diferenças finitas. As tabelas apresentada nesse trabalho foram desenvolvidas por Pinheiro (1993) baseadas nas tabelas de Bares (1972), com coeficiente de Poisson igual a 0,15. Para o uso dessas tabelas basta conhecer as condições de bordos da laje e a relação y lx λ = l / . Com esses dados de entrada a tabela devolve os coeficientes μ x , μ'x , μ y , μ'y que são adimensionais, sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões: 100 2 x x x pl M + = µ , 100 ' 2 x x x pl M − = µ (momento positivo e negativo na direção x por metro de largura da direção y) 100 2 x y y pl M + = µ , 100 ' 2 x y y pl M − = µ (momento positivo e negativo na direção y por metro de largura da direção x) EXEMPLO: Para o mesmo problema anterior, determine os momentos de cálculo da laje L5 mostrada na figura abaixo. SOLUÇÃO: Do exemplo anterior, tem-se: Altura adotada inicialmente para todas as lajes: cm h = 8 Largura efetiva das lajes: Lajes L1, L3, L4 e L6: cm lx 304 8, 4,2 4,2 300 = + + = Lajes L2 e L5: cm lx 374 8, 4,2 4,2 370 = + + = Lajes L4, L5 e L6: cm l y 424 8, 4,2 4,2 420 = + + = Lajes L1, L2 e L3: cm l y 364 8, 4,2 4,2 360 = + + = Carga distribuída devido ao peso próprio: 2 / ,2 88 kN m pgk = Carga distribuída devido à ocupação: 2 / ,2 00 kN m pqk = (NBR-6120, 2000) Carregamento de cálculo para combinação última normal: 2 / ,6 83 ,2 00 4,1 ,2 88 4,1 4,1 4,1 kN m p p p qk gk d = × + × = + = Análise de momentos: Como ,0 98) )(2 2,0 ( ≥ + ≥ gk qk qk p p p , deve-se analisar a estrutura considerando carga variável atuando nos vão que geram a situação mais desfavorável para a seção analisada. Momento máximo positivo na Laje L5: Direção x Direção y Vínculo nas bordas Coeficientes tabelados: ,113 ,4 248/ ,3 748 / = = = ly lx λ ,191 ,2 87, ,110 / = = → = = y x ly lx µ µ λ ,184 ,3 02, ,115 / = = → = = y x ly lx µ µ λ ,4 27 ,5 00, ,110 / = = → = = y x ly lx µ µ λ ,4 25 ,5 38, ,115 / = = → = = y x ly lx µ µ λ Interpolação linear: ) ( 1 1 2 1 2 1 λ λ λ λ µ µ µ µ − − − + = x x x x ,2 96 ,110) ,1( 13 ,110 ,115 ,2 87 ,3 02 ,2 87 = → − − − + = x x µ µ ,187 ,110) ,1( 13 ,110 ,115 ,191 ,184 ,191 = → − − − + = y y µ µ ,5 23 ,110) ,1( 13 ,110 ,115 ,5 00 ,5 38 ,5 00 = → − − − + = x x µ µ ,4 26 ,110) ,1( 13 ,110 ,115 ,4 27 ,4 25 ,4 27 = → − − − + = y y µ µ 100 ,3 748 ,5 23 ,1 40 100 ,3 748 ,2 96 ,5 43 100 / 2) ( 100 / 2) ( 2 2 2 2 × + × = + + + = x qd x x qd gd x x l p l p p M µ µ kNm M x ,3 29 + = (momento positivo na direção x por metro de largura da direção y) 100 ,3 748 ,4 26 ,1 40 100 ,3 748 ,187 ,5 43 100 / 2) ( 100 / 2) ( 2 2 2 2 × + × = + + + = x qd y x qd gd y y l p l p p M µ µ kNm M y ,2 26 + = (momento positivo na direção y por metro de largura da direção x) Momento máximo negativo na Laje L5: No caso de momento negativo pode-se considerar a carga total atuando em todas as lajes como no caso de carga variável pequena. Vínculo nas bordas Coeficientes tabelados: Laje L4 e L6: ,139 ,4 248/ ,3 048 / = = = ly lx λ ,9 93 ' ,1 40 / = → = = x ly lx µ λ kNm M M p l M M xL xL d x x xL xL ,6 30 100 ,3 048 ,9 93 ,6 83 100 ' 6 4 2 2 6 4 = = → × = = = − − − − µ (momento de cálculo negativo na direção y por metro de largura da direção x) Laje L5: ,113 ,4 248/ ,3 748 / = = = ly lx λ ,5 65 ,6 76, ' ' ,110 / = = → = = y x ly lx µ µ λ ,5 70 ,6 99, ' ' ,115 / = = → = = y x ly lx µ µ λ Interpolação linear: ) ( ' ' ' ' 1 1 2 1 2 1 λ λ λ λ µ µ µ µ − − − + = x x x x ,6 90 ' ,110) ,1( 13 ,110 ,115 ,6 76 ,6 99 ,6 76 ' = → − − − + = x x µ µ ,5 68 ,110) ,1( 13 ,110 ,115 ,5 65 ,5 70 ,5 65 ' = → − − − + = y y µ µ kNm M p l M xL x d x xL ,6 62 100 ,3 748 ,6 90 ,6 83 100 ' 5 2 2 5 = → × = = − − µ (momento de cálculo negativo na direção x por metro de largura da direção y) kNm M p l M yL p x y yL ,5 45 100 ,3 748 ,5 68 ,6 83 100 ' 5 2 2 5 = → × = = − − µ (momento de cálculo negativo na direção y por metro de largura da direção x) Laje L2: ,1 03 ,3 748/ ,3 648 / = = = ly lx λ ,5 46 ' ,1 00 / = → = = x ly lx µ λ ,5 98 ' ,105 / = → = = x ly lx µ λ Interpolação linear: ) ( ' ' ' ' 1 1 2 1 2 1 λ λ λ λ µ µ µ µ − − − + = x x x x ,5 77 ' ,100) ,1( 03 ,1 00 ,1 05 ,5 46 ,5 98 ,5 46 ' = → − − − + = x x µ µ kNm M p l M xL x d x xL ,3 66 100 ,3 048 ,5 77 ,6 83 100 ' 2 2 2 2 = → × = = − − µ (momento de cálculo negativo na direção y por metro de largura da direção x) Momento de cálculo negativo na laje L5: kNm M M M M M x xL xL xL x ,6 46 8,0 ) ( 5.0 1 5 4 5 1 = → ≥ + = − − − − − kNm M M M M M x xL xL xL x ,6 46 8,0 ) ( 5.0 2 5 6 5 2 = → ≥ + = − − − − − kNm M M M M M y yL xL yL y ,4 55 8,0 ) ( 5.0 5 2 5 = → ≥ + = − − − − − 4.3 – Força cortante em lajes e elementos lineares com bw > 5d A determinação da quantidade de armadura para combate aos esforços de cisalhamento em lajes ou elementos lineares com bw > 5d se faz da mesma forma que utilizada para os elementos lineares com bw < 5d, diferenciando na possibilidade da não utilização desse tipo de armadura. As lajes maciças não necessitam de armadura de cisalhamento quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão abaixo: Rd1 Sd V V ≤ onde [ ] b d k V w cp Rd Rd σ ρ τ ,015 ) 40 2,1( 1 1 + + = ctd Rd = ,0 25 f τ (tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento)( c ctk ctd f f ,inf /γ = ) b d A w s1 ρ1 = não maior que 0,02 (2%) k é igual a 1 para elementos com 50% das barras ancoradas no apoio, e igual a |1,6 – d| para os demais casos, com d em metros e k ≥ 1 . s1 A É a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada; c Sd cp A N / = σ . Onde NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (a compressão é considerada com sinal positivo); 4.4 – Detalhamento de lajes O diâmetro para qualquer armadura de flexão deve ser limitado a h/8. As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento, na região dos maiores momentos fletores, de no máximo 2h ou 20 cm. A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal. 4.5 – Armadura de canto Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência ao levantamento provocado pela atuação de momentos volventes (momentos torçores). Quando não for calculada armadura específica para resistir a esses momentos, deve ser disposta uma armadura especial, denominada armadura de canto, indicada na Figura abaixo. A armadura de canto deve ser composta por barras superiores paralelas à bissetriz do ângulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares. Segundo Pinheiro (1993), tanto a armadura superior quanto a inferior deve ter área de seção transversal, pelo menos, igual à metade da área da armadura no centro da laje, na direção mais armada. As barras deverão se estender até a distância igual a 1/5 do menor vão da laje, medida a partir das faces dos apoios. A armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta por duas armaduras perpendiculares, conforme indicado na Figura abaixo. Como em geral as barras da armadura inferior são adotadas constantes em toda a laje, não é necessária armadura adicional inferior de canto. Em relação à armadura superior, esta se faz necessária sempre que o menor vão da laje for superior a 3 m, e para facilitar a execução, recomenda-se adotar malha ortogonal superior com seção transversal, em cada direção, não inferior a asx / 2. 4.6 – Verificação dos estados limites de serviço Assim como nos elementos lineares, as lajes devem ser verificadas quanto aos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de deformação excessiva. Esses estados limites podem ser verificados da mesma forma que são verificados nos elementos lineares (vigas), considerando para isso o processo das grelhas para análise de esforços solicitantes e flechas na laje. O ELS de deformação excessiva pode ser verificado utilizando tabelas que fornecem a flecha máxima em lajes maciças retangulares. EXEMPLO: Dada a planta de forma das lajes mostrada na figura abaixo, dimensione e detalhe as lajes. Todas as dimensões são dadas em centímetros. - Considerar laje revestida na parte inferior com argamassa (1,5cm de espessura) e na parte superior 2 cm de argamassa de assentamento de piso cerâmico de 14,5 kg/m2. - Considerar concreto de MPa fck = 25 produzido com brita 1 ( mm d max =19 ) e controle de execução do cobrimento. - Considerar lajes de edifício comercial (galeria de lojas) e adotar um parapeito nas bordas livres das lajes. SOLUÇÃO: Condições de bordos das lajes: OBS: A norma NBR 6118 (2007) não especifica nada sobre a definição dos tipos de vínculos nos bordos das lajes, cabendo ao projetista essa análise. Neste exemplo o vão na direção vertical da laje L2 é bem maior que o vão na mesma direção da laje L3, que faz com que o bordo em comum dessas lajes tem a tendência de rotacionar no sentido da laje L2. Portanto, será considerado neste bordo que a laje L2 está apoiada e a laje L3 engastada. O mesmo acontece no bordo comum entre as lajes L2-L4 e L3-L4. Altura estimada das lajes: Laje L1: n = 1 (número de bordos engastados) 8,3 * ,6 90 7,0 ,3 80 7,0 * =  →      ×  ≤     ≤  l l l l y x , logo cm n l d ,912 8,3 )1,0 ( 5,2 ) * 1,0 ( 5,2 = − = − = Laje L2: n = 1 (número de bordos engastados) 5,3 * 0,5 7,0 6,4 7,0 * =  →      ×  ≤     ≤  l l l l y x , logo cm n l d 4,8 5,3 )1,0 ( 5,2 ) * 1,0 ( 5,2 = − = − = Como será admitida altura única para todas as lajes e as lajes L3 e L4 tem dimensões bem inferiores a L1 e L2, elas não precisam ser analisadas. Cobrimento mínimo: mm c = 20 (cobrimento mínimo para lajes considerando classe 1 de agressividade, e controle de execução do cobrimento. Como a laje terá acabamento em ambas as faces pode-se admitir um cobrimento mínimo de 15mm não inferior ao cnom ) Admitindo inicialmente barras longitudinais de 6,3mm de diâmetro, tem-se: 15 8, 15 3,6 2,1 max / = →      ≥        ≥ nom b nom c d c φ (cobrimento necessário para barra de 6,3mm) cm c d h l 10 9, 5,1 ,0 63/ 2 ,912 / 2 = + + = + + = φ . (Laje L1) cm c d h l 10 2, 5,1 ,0 63/ 2 4,8 / 2 = + + = + + = φ . (Laje L2) Adotar cm h = 10 para todas as lajes. Largura efetiva das lajes: A largura efetiva (vão efetivo) de cada laje deve ser determinada de forma análoga ao caso de viga: 2 1 a a l lef + = + , onde ia é o menor valor entre a metade da largura do apoio (20cm) ou 30% da altura da laje (10cm), e l é a distância entre as faces interna dos apoios, logo: Laje L1: cm lx 366 3 3 360 = + + = e cm l y 676 3 3 670 = + + = Laje L2: cm lx 486 3 3 480 = + + = e cm l y 446 3 3 440 = + + = Laje L3: cm lx 486 3 3 480 = + + = e cm l y 216 3 3 210 = + + = Laje L4: cm lx 103 3 100 = + = e cm l y = 470 Da relação entre o maior vão e o menor verifica-se que as lajes L1 e L2 são armadas em duas direções e as lajes L3 e L4 são armadas em uma direção. Carga distribuída devido ao peso próprio: Peso por metro quadrado de laje mais revestimento e piso: NBR 6120 – argamassa de cimento e areia 21 kN/m3 , concreto armado 25 kN/m3. 2 / ,3 38 10/1000 14 5, 25 1,0 ,0 015)21 ( ,0 02 kN m pgk = × + × + + = Carga linear devido ao parapeito nos bordos em balanço: Considerar parapeito de bloco cerâmico 9x19x39cm (1,8 kg cada) revestido com argamassa de 3cm de espessura de cada lado. Peso por metro quadrado de parede: kN Pa ,0112 2.0 )]21 .0 09( .0 39 .0 01 .0 06 2.0 [ 4.0 = + × + × × = (peso de argamassa por bloco) kN N Pb ,0 018 18 10 8,1 = = × = (peso de cada bloco) 2 / ,1 625 4,0 2,0 ,0 018 ,0112 kN m A P P p lateral b a = × + = + = (peso por metro quadrado de parede) Considerando parapeito de 1,10m de altura, tem-se: kN m p / = ,1 79 (ao longo do bordo livre da laje L4) Carga distribuída devido à ocupação: 2 / ,3 00 kN m pqk = (carga distribuída no piso)(NBR-6120, 2000) De acordo com a NBR-6120 ao longo dos parapeitos devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão (1,10m) e uma carga vertical mínima de 2 kN/m. Carregamento de cálculo para combinação última normal: 2 / ,8 93 ,3 00 4,1 ,3 38 4,1 4,1 4,1 kN m p p p qk gk d = × + × = + = Carregamento de cálculo nas direções x e y das lajes: Lajes L1: cm lx = 366 e cm l y = 676 Na direção x tem-se viga apoiada-engastada, logo: 8/3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = − + x x x x x n n m m α Já na direção y tem-se viga bi-apoiada, logo: 1/ 2 ,8 ,5 = = = + y y y n m α = .1 85 = x y l l ω , .0 966 .1 85 5 .2 08 .1 85 5 4 4 4 4 = + × × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 034 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 868 .1 85 14.22 .0 966 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 903 8 .1 85 .0 034 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento da viga na direção x: ,8 63 ,8 93 .0 966 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: .0 30 .8 93 .0 034 = × = = k p p y y kN/m. Laje L2: cm lx = 486 e cm l y = 446 Na direção x tem-se viga engastada-apoiada, logo: 8/3 8/ ,5 ,8 14.22, .2 08, = = = = = − + x x x x x n n m m α Já na direção y tem-se viga bi-apoiada, logo: 1/ 2 ,8 ,5 = = = + y y y n m α = .0 918 = x y l l ω , .0 631 .0 918 5 .2 08 .0 918 5 4 4 4 4 = + × × = + = α ω α ω α y x y xk e .0 369 1 = − = x y k k Coeficientes redutores de Marcus: .0 649 .0 918 14.22 .0 631 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = +ω ν x x x m k .0 741 8 .0 918 .0 369 3 20 1 3 20 1 2 2 = × = − − = + y y y m k ω ν Carregamento da viga na direção x: ,5 63 ,8 93 .0 631 = × = = k p p x x kN/m. Carregamento da viga na direção y: .3 30 .8 93 .0 369 = × = = k p p y y kN/m. Laje L3: cm lx = 486 e cm l y = 216 Como a laje L3 é armada somente na direção do menor vão ( yl = 216 ) onde a viga é engastada-apoiada, tem-se: Carregamento da viga na direção x: px = 0 kN/m. Carregamento da viga na direção y: .8 93 py = kN/m. Laje L4: cm lx = 103 e cm l y = 470 Como a laje L4 é armada somente na direção do menor vão ( xl =103 ) onde a viga é em balanço (engastada-livre), tem-se: Carregamento da viga na direção x: .8 93 px = kN/m. Carregamento da viga na direção y: py = 0 kN/m. Análise de momentos: Como ,1 28) )(3 2,0 ( ≥ + ≥ gk qk qk p p p , deve-se analisar a estrutura considerando carga variável atuando nos vãos que geram a situação mais desfavorável para a seção analisada. Momento máximo positivo na Laje L1: Direção x: Ao longo da direção vertical da laje L1 tem-se três configurações para a viga contínua de largura unitária. Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL ,9 38 + 1 = Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL + 1 =10,79 Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL + 1 = 13,07 kNm M M xL x xL cal 11,34 ,0 868 13,07 1 ,1 = × = = + + ν (correção do momento positivo devido ao método de Marcus) Direção y: Da análise estrutural, tem-se: kNm p l M y y yL ,1 71 ,6 76 /8 ,0 30 /8 2 2 1 = × = = + kNm M M yL y yL cal ,155 ,171 ,0 903 1 ,1 = × = = + + ν (correção do momento positivo devido ao método de Marcus) Momento máximo positivo na Laje L2: Direção x: Ao longo da direção vertical da laje L2 tem-se duas configurações para a viga contínua de largura unitária. Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL + 2 = 10,87 Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL ,8 49 + 2 = kNm M M xL x xL cal ,7 05 ,0 649 10,87 2 ,2 = × = = + + ν (correção do momento positivo devido ao método de Marcus) Direção y: Da análise estrutural, tem-se: kNm M yL ,5 31 + 2 = kNm M M yL y yL cal ,3 93 ,5 31 ,0 741 2 ,2 = × = = + + ν (correção do momento positivo devido ao método de Marcus) Momento máximo positivo na Laje L3: Direção y: Da análise estrutural, tem-se: kNm M M yL yL cal ,315 3 ,3 = = + + Momento máximo negativo na borda comum às lajes L1 e L2: Ao longo da borda comum a L1 e L2 tem-se duas configurações para a viga contínua de largura unitária. Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL − 12 =15,71 Da análise estrutural, tem-se: kNm M xL − 12 =14,19 kNm M xL cal 15,71 12, = − Momento máximo negativo na borda comum às lajes L1 e L3: Da análise estrutural, tem-se: kNm M M xL xL cal ,4 69 13 13, = = − − Momento máximo negativo na borda comum às lajes L2 e L3: Da análise estrutural, tem-se: kNm M M yL cal yL ,7 23 23 23, = = − − Momento máximo negativo na borda comum às lajes L2 e L4: Da análise estrutural, tem-se: kNm M M xL cal xL ,88 11 24 24, = = − − Momento máximo negativo na borda comum às lajes L3 e L4: Da análise estrutural, tem-se: kNm M M xL xL cal ,88 11 34 34, = = − − Cálculo da armadura mínima: Diâmetro das barras: A NBR 6118 (2014) prescreve que, para lajes, qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. Do item seguinte a altura da laje foi redefinida para h = 9cm, dessa forma tem-se: mm h 113, 8 90 max = = . Logo, deve-se usar barras de diâmetro de 5.0, 6.3 ou 8.0mm. Espaçamento máximo: a) Armadura principal Consideram-se principais as armaduras: negativas; positivas na direção do menor vão (para lajes com λ > 2); e positivas nas duas direções (para λ < 2). smax = 2h ou 20cm o que for menor. Logo: smax = 18cm. b) Armadura secundária São admitidas secundárias as também conhecidas como armaduras de distribuição, ou seja, as positivas na direção do maior vão, para λ > 2, e as negativas perpendiculares às principais, que, além de servirem como armadura de distribuição, ajudam a manter o correto posicionamento dessas barras superiores, durante a execução da obra, até a hora da concretagem da laje. Para essas barras tem-se: smax = 33 cm Armadura mínima: Segundo a NBR 6118 (2014), a armadura mínima de tração deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%: Md,min = 0,8 W0 fctk,sup W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada; fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração 3 3 2 2 3 0 ,135 10 6 ,0 09 1 6 2 12 / m bh h bh y I W t − × = = × = = = MPa f f f ck ctm ctk ,3 33 25 ,0 39 3,0 3,1 3,1 2 / 3 2 / 3 ,sup = × = × = = kNm W f M ctk d ,3 60 ,3 33 10 ,135 10 8,0 8,0 3 3 ,sup 0 ,min = × × × × = = − Do item seguinte determinou-se cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 . Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,0 0575 ,0 0718 1 25000/ 4,1 ,0 68 60 ,3 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0716 ,0 0841 ,0 2726 5007 ,2 0 ,0 0575 ,0115 ,9 9425 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,0 0918% ,0 08411% 1 ,0 0841 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 12,63 2,0 ,0 0918 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,119 50/ ,115 ,0 0841 ,0 0718 ,0 68 12630 1 2 ,min = × × × × = ,0133% 100% 9 100 ,119 ,min min = × × = = bh As ρ menor que 0,15%. Logo: ρmin = ,015% . Armadura negativa e armadura positiva para λ > 2: m cm bh As / ,135 9/100 ,015 100 /100 2 min ,1 min = × × = = ρ Armadura positiva para λ < 2: m cm bh As / ,0 88 9/100 ,015 100 ,0 65 /100 ,0 65 2 min ,2 min = × × × = = ρ Armadura de distribuição: →           ≥           ≥ m cm m cm A bh A A s principal principal s s / ,0 68 / 9,0 2,0 ) ( 5,0 9,0 2,0 2 2 , min , ,3 min ρ      ≥  m cm A A s principal s / 9,0 2,0 2 , ,3 min Cálculo da altura da laje e armaduras de flexão: Deve-se determinar a altura da laje para o maior momento de cálculo atuante na laje, ou seja, kNm M d = 15,71 (traciona a face superior) Armadura negativa para o bordo comum às lajes L1 e L2: Dimensionamento com armadura simples no limite dos domínios 2 e 3 ( ,0 2593 βx23 = ) ) 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( ,0 68 2 x x cd d x x cd d f b M d f bd M β β β β − = → − = m d ,0 0746 ,0 2593) 4,0 ,0 2593 1( 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 15,71 = × − × × × = cm c d h l ,9 27 5,1 ,0 63/ 2 ,7 46 / 2 = + + = + + = φ (maior que cm h 0,8 = , espessura mínima especificada pela NBR 6118 (2014) para laje maciça de piso) Adotar cm h = 9 . (Como a espessura é menor que aquela adotada para determinar o carregamento atuante na laje, pode-se, a favor da segurança, continuar o dimensionamento sem ter que refazer os cálculos) Altura útil: cm c h d l ,7 18 5,1 ,0 63/ 2 9 / 2 = − − = − − = φ Cálculo de x β : Verificar o domínio 3: Para ,0 35% εc = e yd s ε > ε , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 07182 1 25000/ 4,1 15,71 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = [ ] OK! (dentro do intervalo .0 2593 .0, 6284 ), ,2 21 ,0 2830 → = = x x β β yd x cd s s s x c f f bd A A bd β σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,5 67 50/ ,115 ,0 2830 ,0 0718 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 2 = × × × × = 3,6 18,19 φ por metro na direção da borda comum às lajes L1 e L2 (4,40 m), logo serão 80 barras espaçadas a cada 5,5 cm ao longo dessa borda (armadura negativa) Como s ,1 min s A ≥ A e espaçamento menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento das barras: Como não tem armadura de cisalhamento será admitida para o comprimento de decalagem a expressão cm d al 4,5 ,7 18 ,0 75 ,0 75 = × = = Comprimento de ancoragem: ctd bd f f 3 1 2 =η η η com MPa f f c ck ctd .1 28 4.1 / .0 21(25) / .0 21 2 / 3 2/ 3 = = = γ η1 = .2 25 (barras de aço nervuradas) η2 =1 (situação de boa aderência) η3 =1 (diâmetro da barra, 6,3 < 32mm) Logo, MPa fbd .2 89 .1 28 .2 25 1 1 = × × × = φ φ 25 4 ≤ = bd yd b f f l mm f f bd yd 237 ,2 89 4 500/ ,115 3,6 4 = × × = φ e 25 = 158mm φ Logo, cm lb =15 8, cm l mm l l b b b 10 10 3,6 7,4 100 10 3.0 ,min ,min = →       =       ≥ φ Momento de retirada para metade da área calculada: m cm As / ,2 84 2 ,5 67 2 = = Verificar domínio 2a: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 0 ,0 68 = − s s x c A bd σ β σ ( ) 0 35 10 ) 1( ,0 68 2 2 = − − − → yd s x x x cd A f f bd β β β Definindo bd f A f a cd s yd ,0 68 = , tem-se: ( ) 0 ) 1( 35 10 2 2 = − − − x x x a β β β 0 2 ) (10 35 2 3 = − + − + − a a a x x x β β β ,01416 ,0 0718 1 25000/ 4,1 ,0 68 50/ ,115 ,2 84 = × × × × a = [ ] 1667 OK! .0,0 ,01121 ,01450 ,0 2484 0 ,01416 ,0 2832 ,9 8584 35 2 3 ∈ = − = = → = − + + − x x x x x x β β β β β β ,01696 .0 14501% 1 .0 1450 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 17,44 2,0 % ,01696% 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ ) 4,0 1( ,0 68 2 x x c d bd M β β σ − = ,0145) 4,0 ,0145 1( ,0 0718 ,0 68 17440 1 2 × − × × × × M d = kNm M d ,8 35 = → Para retirar as barras de serviço deve ser verificado o comprimento para as posições limites do intervalo de trabalho das barras m cm As / ,5 67 2 = Para kNm M d = 15,71 , tem-se: 10 1 15 8, 7,0 , ,min , , 1 , × ≥ × = → ≥ = b nec b ef s s cal b b nec l l A l A l α cm l b nec 111, , = Comprimento cm l a L b nec l 33 11 )1, 2( 4,5 2 2 , = + = + = → . Para kNm M d = ,8 35 , tem-se: ,0 59 ,3 25 ,8 35 ,4 315 115, ) ( 2 1 2 = − = → = − − = x x x x M x ,0 67 ,4 39 ,8 35 ,2 82 10,47 ) ( 2 1 2 = − = → = − − = x x x x M x Comprimento 2 10φ 2 439) (486 325) (366 × + + − + − = → la L . m L ,111 3,6 ) 2( 4,5 47 41 = + + + = m cm As / ,2 84 2 = Para kNm M d = ,8 35 , tem-se: 10 1 15 8, 7,0 , ,min , , 1 , × ≥ × = → ≥ = b nec b ef s s cal b b nec l l A l A l α cm l b nec 111, , = Comprimento m L ,1 21 11 )1, 2( 4,5 47 41 = + + + = Para kNm M d = 0 , tem-se: 0 2,66 0 ,4 315 115, ) ( 2 1 2 = = → = − = x x x x M x 0 3,71 0 ,2 82 10,47 ) ( 2 1 2 = = → = − = x x x x M x Comprimento 2 10φ 2 371) (486 266) (366 × + + − + − = → la L m L ,2 38 )3,6 2( 4,5 115 100 = + + + = A figura abaixo ilustra o detalhamento da armadura negativa na borda comum as lajes L1 e L2: Devido à aproximação do método das grelhas para análise de lajes e o trabalho para a definição dos comprimentos das barras como descrito anteriormente, é comum usar o método mais simples descrito abaixo para o detalhamento longitudinal das barras. Podem ser adotadas barras alternadas (exceto quando uma das lajes está em balanço) com comprimentos horizontais dados pelas expressões mostrada na figura abaixo, conforme for o caso analisado. De acordo com a figura acima para a borda L1-L2, tem-se cm lx 446 ,max = . cm L 186 ,7 18 ,0 75 ,0 63 20 446 3/8 = × + × + × = Armadura negativa para a borda comum às lajes L1 e L3: Momento de Cálculo kNm M d = ,4 69 → (traciona a face superior) Como já determinado, cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,0 0749 ,0 0718 1 25000/ 4,1 ,0 68 69 ,4 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0813 ,0 0983 ,0 2678 5009 ,2 0 ,0 0749 ,01498 ,9 9251 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,0109% ,0 09831% 1 ,0 0983 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 14,16 2,0 ,0109 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,156 50/ ,115 ,0 0983 ,0 0718 ,0 68 14160 1 2 = × × × × = 3,6 ,5 01 φ por metro na direção da borda comum às lajes L1 e L3 (2,10 m), logo serão 11 barras espaçadas a cada 19,1cm ao longo dessa borda (armadura negativa). A armadura definida acima satisfaz s ,1 min s A ≥ A , mas o espaçamento é maior que 18cm. Logo, será adotada 12 barras a cada 17,5cm. Comprimento das barras: Será utilizado o método simplificado discutido no item anterior. Logo, para a borda L1-L3, tem-se cm lx 366 ,max = . cm L 156 ,7 18 ,0 75 ,0 63 20 366 3/8 = × + × + × = Armadura negativa para a borda comum às lajes L2 e L3: Momento de Cálculo kNm M d = ,7 23 → (traciona a face superior) Como já determinado, cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,01155 ,0 0718 1 25000/ 4,1 ,0 68 23 ,7 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0998 ,01301 ,0 2540 5013 ,2 0 ,01155 ,0 2310 ,9 8845 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,01496% ,013011% 1 ,01301 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 16,72 2,0 ,01496 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,2 44 50/ ,115 ,01301 ,0 0718 ,0 68 16720 1 2 = × × × × = 3,6 ,7 84 φ por metro na direção da borda comum às lajes L2 e L3 (4,8 m), logo serão 38 barras espaçadas a cada 12,6 cm ao longo dessa borda (armadura negativa) Como s ,1 min s A ≥ A e espaçamento menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento das barras: Será utilizado o método simplificado discutido no item anterior. Logo, para a borda L2-L3, tem-se cm lx 216 ,max = . cm L 100 ,7 18 ,0 75 ,0 63 20 216 3/8 = × + × + × = Armadura negativa para a borda comum às lajes L2-L4 e L3-L4: Momento de Cálculo kNm M d =11,88 → (traciona a face superior) Como já determinado, cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≥ e εs =1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 07182 1 25000/ 4,1 11,88 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = [ ] OK! (dentro do intervalo .0 1667 .0, 2593 ), ,2 29 ,0 2069 → = = x x β β yd x cd s s s x c f f bd A A bd β σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,415 50/ ,115 ,0 2069 ,0 0718 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 2 = × × × × = 3,6 3, 13 φ por metro na direção da borda comum às lajes L2-L4 e L3-L4 (4,70m), logo serão 63 barras espaçadas a cada 7,5 cm ao longo dessa borda (armadura negativa) Como s ,1 min s A ≥ A e espaçamento menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento das barras: Será utilizado o método simplificado discutido no item anterior. Logo, para a borda L2-L4 e L3-L4, tem-se cm lx =103 . cm l L x 258 103 5,2 5,2 = × = = Armadura positiva para a laje L1: Direção x: Momento de Cálculo kNm M d =11,34 → (traciona a face inferior) Como já determinado, cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≥ e εs =1% , tem-se cd c = f σ e yd s = f σ ) /( ,3 6765 ,15625 ,1 25 ) 4,0 1( ,0 68 2 2 f bd M bd M cd d x x x c d − ± = → − = β β β σ ,0 07182 1 25000/ 4,1 11,34 ,3 6765 ,15625 ,1 25 × × × − ± βx = [ ] OK! (dentro do intervalo .0 1667 .0, 2593 ), ,2 30 ,01966 → = = x x β β yd x cd s s s x c f f bd A A bd β σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,3 94 50/ ,115 ,01966 ,0 0718 0,1 25000/ 4,1 ,0 68 2 = × × × × = 3,6 12,65 φ por metro na direção y (6,70m), logo serão 85 barras espaçadas a cada 7,9 cm ao longo da direção y da laje L1(armadura positiva) Como s ,2 min s A ≥ A e espaçamento menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento da barra: O comprimento da barra pode ser obtido considerando o diagrama de momentos fletores para a viga contínua de largura unitária na direção x. Um método mais simples e geralmente a favor da segurança é definido a seguir. O comprimento da barra de armadura positiva de lajes pode ser obtido conforme a figura abaixo. Como mostra a figura acima, nos apoios de extremidade serão adotadas barras com ganchos de 90º, prolongados até a face externa, respeitando-se o cobrimento. Nos apoios internos com lajes adjacentes, serão adotadas barras sem ganchos, prolongadas de pelo menos φ 10 a partir da face do apoio. De acordo com a figura acima o comprimento das barras positivas é dado por uma das expressões: c t l L − + + = 1 0 10φ (apoio extremo mais apoio interno) (a este comprimento deve ser somado o gancho de 90º dado por c h lg − 2 = ∆ ) c t t l L 2 2 1 0 − + + = (dois apoios extremos) (a este comprimento devem ser somados dois ganchos de 90º dado por c h lg − 2 = ∆ ) L = l0 + 20φ (dois apoios internos) Para o caso da direção x da laje L1, tem-se: cm L c t l L 384 5,1 20 ,0 63 10 360 10 1 0 = → − + × + = − + + = φ Direção y: Momento de Cálculo kNm M d = ,155 → (traciona a face inferior) Como já determinado, cm h 0,9 = . Altura útil: cm c h d ,6 62 / 2) 5,0 ,0 63 5,1( 9 / 2) ( = + + − = + + − = φ φ Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-s: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,0 0291 ,0 0662 1 25000/ 4,1 ,0 68 55 ,1 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0517 ,0 0576 ,0 2795 5003 ,2 0 ,0 0291 ,0 0582 ,9 9709 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,0 0611% ,0 05761% 1 ,0 0576 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c ,9 25 2,0 ,0 0611 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,0 55 50/ ,115 ,0 0576 ,0 0662 ,0 68 9250 1 2 = × × × × = Como s ,2 min s A < A , adotar m cm As / ,0 88 2 = 0,5 ,4 48 φ por metro na direção x (3,60 m), logo serão 17 barras espaçadas a cada 21,2 cm ao longo da direção x da laje L1(armadura positiva) Como o espaçamento é maior que 18cm, deve-se adotar 20 barras espaçadas a cada 18 cm ao longo da direção x da laje L1(armadura positiva) Comprimento da barra: Para o caso da direção y da laje L1, tem-se: cm L c t t l L 705 3 20 20 670 2 2 1 0 = → − + + = − + + = Armadura positiva para a laje L2: Direção x: Momento de Cálculo kNm M d = ,7 05 → (traciona a face inferior) Como já determinado, cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,01126 ,0 0718 1 25000/ 4,1 ,0 68 05 ,7 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0986 ,01278 ,0 2552 5011 ,2 0 ,01126 ,0 2252 ,9 8874 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,01465% ,012781% 1 ,01278 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 16,58 2,0 ,01465 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,2 38 50/ ,115 ,01278 ,0 0718 ,0 68 16580 1 2 = × × × × = 3,6 ,7 63 φ por metro na direção y (4,4m), logo serão 34 barras espaçadas a cada 12,9cm ao longo da direção y da laje L2(armadura positiva) Como s ,2 min s A ≥ A e espaçamento menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento da barra: Para o caso da direção x da laje L2, tem-se: cm L c t l L 504 5,1 20 ,0 63 10 480 10 1 0 = → − + × + = − + + = φ Direção y: Momento de Cálculo kNm M d = ,3 93 → (traciona a face inferior) Como já determinado, cm h 0,9 = . Altura útil: cm c h d ,6 62 / 2) 5,0 ,0 63 5,1( 9 / 2) ( = + + − = + + − = φ φ Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,0 0739 ,0 0662 1 25000/ 4,1 ,0 68 93 ,3 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0807 ,0 0975 ,0 2681 5009 ,2 0 ,0 0739 ,01477 ,9 9261 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,0108% ,0 09751% 1 ,0 0975 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 14,08 2,0 ,0108 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,1 42 50/ ,115 ,0 0975 ,0 0662 ,0 68 14080 1 2 = × × × × = 0,5 ,7 24 φ por metro na direção x (4,80 m), logo serão 35 barras espaçadas a cada 13,7 cm ao longo da direção x da laje L2(armadura positiva) Como s ,2 min s A ≥ A e espaçamento menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento da barra: Para o caso da direção y da laje L3, tem-se: cm L c t l L 463 5,1 20 5,0 10 440 10 1 0 = → − + × + = − + + = φ Armadura positiva para a laje L3: Direção y: Momento de Cálculo kNm M d = ,315 → (traciona a face inferior) Como já determinado, cm h 0,9 = , e cm d = ,7 18 Cálculo de x β : Verificar o domínio 2: Para 2,0 % εc ≤ e εs =1% , tem-se: 1% 1 x x c β β ε − = e       − − = 2) 1( 35 10 x x x cd c f β β β σ 2 2 2 2 ) 1( 35 )10 4,0 1( ,0 68 ) 4,0 1( 68 ,0 x x x x cd d x x c d f bd M bd M β β β β β β σ − − − = → − = Definindo 2 ,0 68 f bd M a cd d = , tem-se: 0 2 ) (10 39 14 2 3 4 = − + − + − a a a x x x x β β β β ,0 0503 ,0 0718 1 25000/ 4,1 ,0 68 15 ,3 2 = × × × a = [ 1667] .0,0 ,0 0672 ,0 0779 ,0 2744 5006 ,2 0 ,0 0503 ,01006 ,9 9497 39 14 2 3 4 ∈ = − = = = → = − + + − x x x x x x x x β β β β β β β β ,0 0845% ,0 07791% 1 ,0 0779 1% 1 = − = − = x x c β β ε MPa f c cd c 11,90 2,0 ,0 0845 1 1 4,1 25 2,0 % 1 1 2 2 =              −  − =              −  − = ε σ yd x c s s s x c f bd A A bd β σ σ β σ ,0 68 0 ,0 68 = → = − m cm As / ,1 04 50/ ,115 ,0 0779 ,0 0718 ,0 68 11900 1 2 = × × × × = Como s ,1 min s A < A , adotar m cm As / ,135 2 = 0,5 ,6 75 φ por metro na direção x (4,80 m), logo serão 33 barras espaçadas a cada 14,5 cm ao longo da direção x da laje L3(armadura positiva) Como o espaçamento é menor que 18cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento da barra: Para o caso da direção y da laje L3, tem-se: cm L c t l L 233 5,1 20 5,0 10 210 10 1 0 = → − + × + = − + + = φ Direção x: Armadura de distribuição: m cm A m cm m cm A A s s principal s / 9,0 / 9,0 ,115 2,0 / 9,0 2,0 2 ,3 min 2 2 , ,3 min =  →      ×  ≥     ≥  0,5 ,4 58 φ por metro na direção y (2,1m), logo serão 10 barras espaçadas a cada 21 cm ao longo da direção y da laje L3(armadura positiva) Como o espaçamento é menor que 33cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento da barra: Para o caso da direção x da laje L3, tem-se: cm L l L 490 5,0 20 480 20 0 = → × + = + = φ Armadura negativa para a laje L4: Direção x: É a mesma definida para a borda comum entre as lajes L2-L4 e L3-L4, ou seja, m cm As / ,415 2 = 3,6 3, 13 φ por metro na direção do bordo (4,70m), logo serão 63 barras espaçadas a cada 7,5 cm ao longo da direção y da laje L4 (armadura negativa) Direção y: Armadura de distribuição: m cm A m cm m cm A A s s principal s / 9,0 / 9,0 ,3 83 2,0 / 9,0 2,0 2 ,3 min 2 2 , ,3 min =  →      ×  ≥     ≥  3,6 ,4 58 φ por metro na direção x (1,0m), logo serão 5 barras espaçadas a cada 20 cm ao longo da direção x da laje L4(armadura negativa) Como o espaçamento é menor que 33cm, a configuração adotada satisfaz especificações da norma. Comprimento da barra: Para o caso da direção y da laje L4, tem-se: cm L = 470 Reações de apoio: Áreas de influência para cada apoio definida a partir das linhas de ruptura: Reações de apoio obtidas a partir das áreas de influências dadas na figura acima: Armadura de cisalhamento: Deve ser verificada a necessidade de armadura de cisalhamento considerando os maiores valores das forças cortantes que atuam nas lajes. kN Vsd = 16 6, (esforço cortante máximo por metro de largura ao longo da borda comum às lajes L1 e L2, atuando do lado da laje L1) MPa f f c ck ctd .1 28 4.1 / .0 21(25) / .0 21 2 / 3 2/ 3 = = = γ MPa fctd Rd ,0 32 ,1 28 ,0 25 ,0 25 = × = = τ m cm As / ,156 2 1 = (armadura de tração na borda comum às lajes L1 e L3) ,0 0022 ,7 69 100 ,156 1 1 = × = = b d A w s ρ ,153 ,0 0718 6,1 = − k = (100% das barras são ancoradas nos apoios) 0 / 0 = = → = c Sd cp Sd A N N σ (Como se considera carregamentos apenas na direção perpendicular ao plano da laje, os esforços na direção longitudinal são nulos ou muito pequenos) [ ] kN b d k V w cp Rd Rd 45 3, ,0 0718 ,0 0022 1) 40 2,1( ,153 ,0 32 10 ,015 ) 40 2,1( 3 1 1 = × × + × × × = + + = σ ρ τ Como Rd1 Sd V V ≤ a laje não precisa de armadura de cisalhamento. Armaduras de canto Como a menor dimensão da laje L1 e L2 é maior que 3 e nos dois cantos esquerdos da laje L1, e no canto superior direito da laje L2, não há armadura negativa, serão colocadas armaduras superiores de canto nessas lajes. Cantos esquerdos da laje L1: m cm A A s sc / ,197 2 94 ,3 2 2 = = = (armadura por metro de canto) m l l x ,0 732 5 66 ,3 5 = = = (comprimento do canto nas duas direções) 2 ,1 44 ,0 732 ,197 cm A l A sc tot = × = = (área total em cada lado do canto) ( 3,6 5φ ) Logo, serão 5 barras espaçadas a cada 15 cm ao longo das duas direções do canto da laje L1. Comprimento da barra: cm h c t l L 89 7,2 5,1 20 73 2, 3,0 1 = − − + = − − = + Canto superior direito da laje L2: m cm A A s sc / ,119 2 38 ,2 2 2 = = = (armadura por metro de canto) m l l x ,0 892 5 46 ,4 5 = = = (comprimento do canto nas duas direções) 2 ,1 06 ,0 892 ,119 cm A l A sc tot = × = = (área total em cada lado do canto) ( 4φ 3,6 ) Logo, serão 4 barras espaçadas a cada 22 cm ao longo das duas direções do canto da laje L2. Comprimento da barra: cm h c t l L 105 7,2 5,1 20 89 2, 3,0 1 = − − + = − − = + Estados limites de serviço: Os ELS de formação e abertura de fissuras podem ser verificados, no caso das lajes de concreto, de forma aproximada considerando a teoria das grelhas. Sendo assim, esses ELS devem ser verificados nas vigas ortogonais de largura unitária que formam a grelha. Já para o ELS de deformação excessiva iremos usar tabelas para determinar a flecha máxima. LAJE L1: Momento de fissuração: α = 5,1 (seção retangular) m h yt ,0 045 / 2 = = (desprezando área de aço) 4 5 3 3 ,6 075 10 12 ,0 09 1 12 m bh I c − × = = × = (desprezando área de aço) (i) formação de fissuras MPa f f ctm ct ,1 795 ,0 21 25 7,0 2 / 3 = × = = (formação de fissuras) kNm y f I M t c ct r ,3 63 ,0 045 ,6 075 10 1795 5,1 5 = × × = = − α (desprezando área de aço) (ii) deformação excessiva MPa f f ctm ct ,2 565 25 3,0 2 / 3 = × = = kNm y f I M t c ct r ,519 ,0 045 ,6 075 10 2565 5,1 5 = × × = = − α (desprezando área de aço) Direção y: Combinação rara de serviço: 2 / ,6 38 ,3 00 ,3 38 kN m p p p qk gk d = + = + = kN m k p p y y / .0 22 ,6 38 .0 034 = × = = Momento máximo: kNm p l M y y d ,1 24 8 ,6 76 22 ,0 8 2 2 = × = = Como r d M M < (1,24 < 3,63) então não haverá fissuras na laje L1 na direção y. Direção x: kN m k p p x x / ,616 ,6 38 .0 966 = × = = Momento máximo: kNm p l M x x d 10,31 8 ,3 66 16 ,6 8 2 2 = × = = , Como r d M M > (10,31 > 3,63) então haverá fissuras na laje L1 na direção x. Momento de inércia equivalente: 23800 4760 25 .0 85 5600 .0 85 = = × = = ck ci cs f E E , MPa Es = 210000 .8 82 23800 = 210000 = = cs s e E E α m cm As / ,5 67 2 = (área de aço tracionada na seção utilizada para a determinação do momento de inércia equivalente) 100 ,7 69 ,5 67 ,8 82 2 100 ,5 67 ,8 82 ,5 67 ,8 82 2 2 2 2 2 2 × × × × + × ± × = − + ± = − b A d b A A x s e s e e s α α α (descarta) 3,31 32 ,2 100 2818, 50 2 2 2 − = = → ± = − x cm x x 2 4 3 2 2 3 2 2 ,0 0232) ( ,0 0718 ,5 67 10 ,8 82 3 ,0 0232 1 ) ( 3 − × × + = × − + = − x A d bx I αe s 4 5 2 ,1597 10 m I − × = (momento de inércia no estádio 2, seção fissurada) Combinação quase permanente de serviço: kN m p p p qk gk d / ,4 28 3 3.0 ,3 38 2 = × + = + = ψ kN m k p p x x / ,413 ,4 28 .0 966 = × = = Momento na seção analisada: kNm p l M x x d ,6 91 8 ,3 66 13 ,4 8 2 2 = × = = 2 3 3 1 I M M I M M I a r c a r eq              −  +      =  4 5 5 3 5 3 ,3 49 10 ,1597 10 ,6 91 ,519 1 ,6 075 10 ,6 91 ,519 m I eq − − − × = ×              −  + ×      =  ELS de deformação excessiva: Flecha imediata: Entrando na tabela com laje do tipo 2B e ,180 376 = 676 = = x y l l λ , tem-se α = ,5 46 eq cs x d i E I p l b 4 100 12 δ = α (flecha máxima) (tabelado) cm m E I p l b eq cs d x i ,0 42 ,4 21 10 ,3 49 10 23800 10 ,3 66 ,4 28 12 1 100 ,5 46 12 100 3 5 3 4 4 = × = × × × × = = − − α δ Flecha diferida: Considerando que a carga de longa duração será considerada atuando a partir de 1 mês de concretagem, tem-se t0 =1 mês, logo ,0 677 ,0 68( ,0 996) )1( ,0 68( ,0 996 ) ( ) ,0 32 = = → = ξ ξ t t t Para t > 70 meses, tem-se 2 ( ) ξ t = , logo ,1323 ,0 677 2 = − ∆ξ = . Considerando ' = 0 A s (armadura simples) tem-se ρ'= 0 , logo ,1323 0 50 1 ,1323 50 ' 1 = × + = + ∆ = ρ ξ α f Fecha total: cm i f T ,0 98 ,0 42 ,2 323 ) 1( = × = + = δ α δ Fecha limite: Para aceitabilidade visual tem-se cm L ,1 46 366/ 250 / 250 lim lim = = → = δ δ Como δlim δ T < a laje está bem dimensionada quanto ao ELS de deformação excessiva. Abertura de fissuras na direção x da laje L1: Combinação frequente de serviço: kN m p p p qk gk d / ,4 58 0,3 4.0 ,3 38 1 = × + = + = ψ kN m k p p x x / ,4 42 ,4 58 .0 966 = × = = Momento na seção crítica: kNm p l M x x d ,7 41 8 ,3 66 42 ,4 8 2 2 = × = = Na seção critica as barras estão espaçadas de s = 5,5 cm, portanto: 2 39,24 ,0 63) 8 5,1( 6 ) 8 ( cm s c A l cri = + × = + = φ (Área crítica) (área de envolvimento para cada barra tracionada na direção x da laje L1) ,0 79% 100 39,24 ,0 63 / 4 100 2 = × × = × = π ρ cri si cri A A MPa kPa I x d M d e s 199 198892 ,1597 10 .0 0232) .8 82 ,7 41( .0 0718 ) ( 5 2 2 = = × − = − = − α σ (tensão nas armaduras de tração considerando estádio 2a)                   + = = ≤ 45 4 5, 12 3 5, 12 2 1 cri si si i i ctm si si si i i E w f E w w ρ σ η φ σ σ η φ mm cm w ,0 05 ,0 0049 ,2 565 3 199 210000 199 ,2 25 12 5, 63 ,0 1 = = × × = mm cm w ,012 ,0 012 45 ,0 0079 4 210000 199 ,2 25 12 5, 63 ,0 2 =  =      + × = Portanto, mm w = ,0 05 . Como para concreto armado sujeito a classe de agressividade I tem- se mm w 4,0 lim = , logo a laje L1 está bem dimensionada para o estado limite de abertura de fissuras. A figura abaixo ilustra o detalhamento das armaduras das lajes.