Exercícios Resolvidos Concreto Armado II - Torção em Vigas

CONCRETO ARMADO II TORÇÃO MODELO DE CÁLCULO II Departamento de Engenharia Civil DECIV EM UFOP Prof Paulo Anderson Santana Rocha Ouro Preto AGOSTO DE 2023 Exercício de Recapitulação Torção 15 12 23 1 Uma viga em balanço suporta em sua extremidade outra Viga pela engastada com uma carga concentrada característica de 50KN em sua extremidade As distâncias e dimensões adotadas para as duas vigas estão indicadas na planta de forma As vigas têm como carregamento somente a carga F e o peso Próprio Use o Modelo de cálculo II no dimensionamento ao cortante Considere que θ 38 Viga V1 Fk 50KN cnom 25cm γconc 25knm³ c25 aço CA50 γf γc 14 γs 115 Vão efetivo para a Viga V1 apoada no pilar P1 lef l0 a1 a1 t12 03h a1 352 0350 a1 15cm Perspectiva FK P1 3560 V3 20x50 V1 35x50 Planta de Forma 975 150 V2 20x50 lo 150cm lef 150 15 lef 165cm Peso Próprio pp γconc Aseção pp 25 kNm³ 035 050 pp 4375 kNm vão efetivo para a Viga V2 apoiada na Viga V1 lef lo a1 lo 975 352 lef 80cm a1 t12 03h a1 352 03 50 a1 15cm lef 80 15 lef 95cm pp 25 kNm³ 02 05 25 kNm pp 25 kNm Daí vem Grelha em Planta 165 cm 95 cm Cálculo dos Esforços Barra 2 nó 2 Q 52375 kN M 4863 kNm T 0 nó 1 Q 50 kN M 0 T 0 Barra 1 nó 2 Q 52375 kN M 0 T 4863 kNm nó 3 Q 5959 kN M 9237 kNm T 4863 kNm Diagramas de Esforços 5959 52375 52375 50 DEC g237 4863 DMF 4863 4863 DMT Cálculo e Dimensionamento da Viga V1 35 X 50 A viga está engastada no pilar conforme mostra o esquema estático a solicitações Máximas VK 5959 kN MK 9237 kNm Tk 4863 kNm b Dimensionamento a Flexão A armadura mínima de flexão é calculada p o momento mínimo de acordo com Mdmin 08 Wo fctkpup fctkpup 13 fctm 13 03 ³fck² fctkpup 13 03 ³25² 3334 MPa 3334 10 kN m² I bh³12 035 05³12 36458 10 m W0 Iy Módulo Resistente Elástico W0 36458103 025 00145832 m3 No estádio I y é tomado na meia altura da viga Mdmin 08 00145832 3334 103 Mdmin 3889 kNm h 50 cm d 4 cm d 46 cm Para o momento mínimo vem Md 085 fcd b y d y2 y 08x y 08 β d Md 085 fcd b 08 β d d 04 β d Md 068 fcd b βx d2 1 04 βx Então se Md Mdmin 3889 068 25 103 14 035 βx 046 1 04 βx 04βx2 βx 0043 0 As 198 cm² Como Asmin 015Ac Asmin 015 3550 2625 cm² Como 2625 198 cm² Adotar Asmin 2625 cm² usar barras de 125 mm Ab π 125² 4 1227 cm² Δ 1 4040043 Δ 09312 ßx 1 09312 204 ßx 246 ßx 0044 Md Fsz Fs fsAs fs fyd Md fydAsd 04ßxd 3889 50010³ 115 As 046 040044046 n 2625 1227 n 214 2φ 125 mm O momento fletor característico na Viga V1 é 9237 kNm O momento de cálculo é Md γf Mk Md 149237 Md 12932 kNm 12932 058 25 10³ 14 035 ßx 046² 1 04 ßx 04 ßx² ßx 0144 0 Δ 1 404 0144 Δ 07696 βx 1 07696 204 βx 235 βx 0153 A viga trabalha no Domínio 2 βx 0259 Md As fyd d 04 βx d 12932 As 500 10³ 115 046 04 0153 046 As 688 cm² Como Asmin 2625 cm² 688 2625 5 Φ 125mm e 10 10mm 692 cm² Supondo Φt 63 mm Verificação do espaçamento C Cnom ΔC C 25 5 C 30 mm 35 5 eh 2 Φt 5 125 1 10 2 e 35 5 eh 2 063 5 125 10 2 3 eh 4098 cm O espaço livre para a passagem da agulha do vibrador é φag 25mm Então OK c Dimensionamento ao cortante Para a seção retangular será considerados o Modelo de cálculo II com ângulo θ de 38 Daí vem Vk 5959 kN Vsd γfVK 145959 Vsd 8343 kN c1 Verificação das Diagonais comprimidas A força cortante será VRd2 054 αv2 fcd b d sen²θ cotgα cotgθ α 90 inclinações do estribo θ 38 VRd2 054 1 25250³ 251014 035 046 sen² 38 cotg 90 cotg 38 VRd2 67787 kN Vsd 8343 kN VRd2 67787 kN Não ocorrerá o esmagamento das diagonais comprimidas VC 0 elementos estruturais fracionados quando a linha neutra LN se situa fora da seção VC VC1 na flexão simples e na flexotração com a LN cortando a seção VC VC1 1 Mo Msd máx 2 VC1 na flexocompressão Armadura Transversal Vsw Asw s 09 d fywd cotg α cotg θ sen α Para estribos α 90 Vsw Asw s 09 d fywd cotg 90 cotg θ sen 90 Vsw Asw s 09 d fywd cotg θ Vsd VRd3 VSW VC1 O gráfico que relaciona Vc1 com Vsd será VC1 VCO VCO VRD2 Vsd com Vc1 Vco se Vsd Vco Vc1 0 se Vsd VRd2 Para valores intermediários devem ser usadas interpolações Vco 06 fctd b d fctd 07 fctm γc 07 03 fck2 14 fctd 07 03 252 14 128 MPa fctd 128103 kNm2 Vco 06 128 103 035 046 Vco 123648 kN como Vsd 8343 kN Vco 123648 kN Daí vem Vc1 Vco 123648 kN Adotar a Taxa de Armadura Mínima Asw5min 02 fctm b fywK Asw5min 02 03 25² 10 035 500 10³ Asw5min 359 10⁴ m² m 359 cm² m c3 Detalhamento do Estirbo 5mm φt b10 φt 350mm 10 φt 35mm Espaçamento Máximo 067 VRd2 067 67787 45417 KN Vs d max 834 KN 45417 KN S 06 d 30cm S 06 46 S 276 cm d Dimensionamento à Torção o momento de torção característico Tk é 4863 KNm e o momento de cálculo é Tsd γf Tk Tsd 14 4863 Tsd 6808 KNm d1 Verificação das Diagonais comprimidas A bh A 3550 A 1750 cm² Perímetro da peça transversal μ 2b h μ 235 50 μ 170 cm he Aμ he 1750170 he 1029 cm e he 2c₁ Supondo øl 125 mm e øt 63 mm com cnem 25 cm c cnem Δc c 25 5 c 30 mm d c₁ c øt 05 øl d c₁ 3 063 05 125 d 4255 cm he 2 d he 2 4255 he 851 cm Daí tem Adotar he 10 cm Área equivalente é Ae b heh he Ae 35 10 50 10 Ae 1000 cm² Perímetro equivalente Ue 2 6 he h he Ue 2 35 10 50 10 130 cm com ângulo de 38º lem TRd2 05 α V2 fcd Ae he sen 2θ TRd2 05 1 25250 25 10³14 1000 104 10 102 sen 2 38º TRd2 7797 KNm e Verificação conjunta VsdVRd2 TsdTRd2 Esta armadura também é a mínima para a Torção Então vem As90 5 Tsd 2Aefywd tg θ Armadura Transversal As90 5 6808 2100010⁴ 50010³ 115 tg 38 As90 5 612 cm²m Vsd VRd2 Tsd TRd2 10 8343 67787 6808 7797 10 09962 10 f Cálculo das Armaduras para Torção A armadura transversal referente ao cortante já foi calculada sendo a taxa igual a 359 cm²m g Detalhamento das Armaduras Armadura Longitudinal A área total é obtida pela soma das armaduras de flexão e torção para cada uma das faces da viga 612cm²m 358cm²m Ok Armadura Longitudinal Asl me Tsd 2Aefywdtgθ 6808 2100010⁴50010³ 115 tg38 Asl me 1010⁴ m²m 10 cm²m Asl min 358 cm²m Então 10 cm²m 358 cm²m Ok Face Inferior Flexão As 0 Torção As b he Asl Me 035 01 10 25 cm² Com barras de 125 mm vem n 250 π 125² 4 204 2 φ 125 mm Face Superior Flexão As 688 cm² Torção As AslMe b he 10 035 010 As 25 cm² Astotal 688 250 As Total 938 cm² n 938 π 125² 4 764 8 φ 125 mm Faces Laterais As h leAslme As 05 0110 cm2m 4 cm2 Usando barras de 10mm tem Ab πφb24 π 124 0785 cm2 n 40785 509 5 φ 10mm coloca em cada face Armadura Transversal Asw5min 358 cm2m Para o cortante o estribo é composto por dois ramos As905 612 cm2m Para a Torção a ex pressão corresponde a um ramo Então Asw5Total Asw5min 12 As905 Asw5Total 12 358 612 Asw5Total 791 cm2m Considerando estribo com ϕ t 63 mm vem Ab πϕ²t 4 Ab π063² 4 Ab 0312 cm² Então Asw Ab 0312 s 791 s 0039 m S 39 cm ϕb 8 mm s 63 cm ϕb 10 mm s 993 cm Adotar ϕ 10 mm e 10 cm Para a Viga vem Espaçamento n 1600 cm 10 cm 16 ϕ t 10 mm a Detalhamento 6 ϕ N2 1 N3 1 N3 5 N4 2 N5 30 N1 45 l 245 230 25 l 160 cm Se y Vco x Vco então Vco a Vco b I Se y 0 x VRd2 então 0 a VRd2 b b a VRd2 II Então se Vco a Vco a VRd2 a Vco Vco VRd2 III N1 16 φ 10mm l 160cm Estribo N2 6 φ 125mm barras da 1ª camada N3 2 φ 125mm barras da 2ª camada N4 5 φ 10mm armaduras laterais N5 2 φ 125mm armaduras na região comprimida 35 23 21 6125 7eh eh 278cm 278mm i Modelo de cálculo II Ic não é constante Daí se Vco Vsd VRd y ax b Subst III em II vem b Vco VRd2 Vco VRd2 Daí temse ainda y Vco Vco VRd2 x Vco VRd2 Vco VRd2 Para y Vc1 e x Vsd Vc1 Vco VRd2 Vsd VRd2 Vco IV Expressão usada no trecho linear Exercícios Complementares 1 Dimensione a Viga de concreto Armado com seção 30 x 50 submetida ao momento fletor esforço cortante e momento de torção Dados fck 30MPa d 4cm aço CA50