P2 - Fundamentos de Mecânica - 2022-1

Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Física FIS 106 – Fundamentos de Mecânica Nome: ______________________________________________________________________________________ Data: / / Valor: 30% da nota final Nota: ______ INSTRUÇÕES • Durante a prova não será permitido que um aluno se comunique com os demais, nem que troquem material entre si. Nenhum material bibliográfico, cadernos ou anotações de qualquer espécie poderão ser consultados durante a realização da prova. Caso o aluno desobedeça às regras ou seja percebida alguma tentativa de cola, o aluno terá sua prova automaticamente ZERADA. • As questões abertas devem ter as respostas finais redigidas a caneta. As questões abertas redigidas a lápis serão consideradas, mas o aluno perde o direito à revisão. Respostas (questões abertas) sem justificativa (texto, diagramas ou cálculos) não serão aceitas. Desenvolva seu raciocínio completamente! • Leia cuidadosamente cada questão, pois a interpretação faz parte do processo de avaliação. Mantenha seu trabalho organizado e a letra legível. • Faça uso correto dos algarismos significativos. Sobre a carteira, apenas lápis, borracha, caneta, régua e calculadora. Celulares devem estar desligados, dentro da mochila ou bolsa. 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣⃗ = 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 𝑎⃗ = 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑡 𝑦 = (tan 𝜃0)𝑥 − 𝑔𝑥2 2(𝑣0 cos 𝜃0)2 𝑅 = 𝑣0 2 𝑔 sin2𝜃0 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣𝑚𝑒𝑑 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 𝑎𝑚𝑒𝑑 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ 𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑠𝑁 𝑓𝑐 = 𝜇𝑐𝑁 𝐷 = 1 2 𝐶𝜌𝐴𝑣2 𝐾 = 1 2 𝑚𝑣2 𝑈𝑒 = 1 2 𝑘𝑥2 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑦 𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ 𝐸𝑚 = 𝐾 + 𝑈 𝐹 = −𝑘𝑥 𝑟𝐶𝑀 = 1 𝑀 ∑ 𝑚𝑖𝑟⃗𝑖 𝑥𝐶𝑀 = ∫ 𝑥𝑑𝑚 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ 𝒈 = 𝟏𝟎 𝒎 𝒔𝟐 ⁄ Questão 1 – a) Considere que uma das forças que atuam em uma partícula é dada pela seguinte expressão (em Newtons): 𝐹⃗ = (6,0𝑥)𝑖̂ + (𝑦2)𝑗̂. A partícula sofre um deslocamento de 5,0 m na direção 𝑥 e de -3,0 m na direção 𝑦, a partir da origem. Calcule o trabalho realizado pela força 𝐹⃗ neste deslocamento. b) Considere uma mola que não obedece a lei de Hooke. A força que essa mola exerce em função da posição é dada pela expressão 𝐹(𝑥) = −𝑘𝑒𝑎𝑥 para valores positivos de deformação (na direção 𝑥). 𝑘 𝑒 𝑎 são constantes positivas. Calcule o trabalho realizado por essa mola se um objeto preso a ela for deslocado de 𝑥𝑖 a 𝑥𝑓, para valores positivos de 𝑥. Questão 2 – Você empurra um bloco de 2,0 kg contra uma mola horizontal, comprimindo-a de 15 cm. Em seguida, solta o bloco e a mola o faz deslizar sobre uma mesa. O bloco para depois de percorrer 75 cm a partir do ponto que foi solto. A constante elástica da mola é 200 N/m. Qual o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e bloco? Quando o bloco percorreu 30 cm dos 75 cm totais, qual a sua velocidade? Questão 3 – Dois picos nevados estão a H = 850 m e h = 750 m acima do vale que os separa. Uma pista de 3,2 km e inclinação média de 30 ° liga os dois picos. Um esquiador parte do repouso do cume do monte mais alto. Com que velocidade ele chega ao cume do monte mais baixo se não houver atrito e ele não der impulso com os bastões? Questão 4 – A figura mostra uma placa composta de dimensões d1 = 11,0 cm, d2 = 2,80 cm e d3 = 13,0 cm. Metade da placa é feita de alumínio (2,70 g/cm3) e a outra metade, de ferro (7,85 g/cm3). Determine as coordenadas x, y e z do centro de massa da placa. Questão 5 – A figura mostra um gráfico aproximado do módulo da força F em função do tempo t para uma colisão de uma bola de 58 g com a parede. A velocidade inicial da bola é 34 m/s, perpendicular à parede; ela ricocheteia praticamente com a mesma velocidade escalar, também perpendicular à parede. Quanto vale Fmax, o módulo máximo da força exercida pela parede sobre a bola durante a colisão? Questão EXTRA – Uma partícula é lançada do solo com velocidade inicial 𝑣0, fazendo um ângulo 𝜃0 = 60° com a horizontal. Ela colide com uma parede a uma altura que é 2/3 da altura máxima atingida pela partícula. Veja a figura abaixo. Qual o modulo da velocidade da partícula quando ela colide com a parede? Dê sua resposta em função de 𝑣0. Vale 0,5 ponto extra na primeira prova (nota máxima na prova = 3,0 pontos). Gabarito - Segunda Prova FIS106 2022.1 1) a) \vec{F} = (6x)\hat{i} + (y^1)\hat{j} \vec{d} = (5,0m)\hat{i} + (-3,0m)\hat{j} W_{x} = \int_{0}^{5,0m} 6xdx = \left[ 3x^2 \right]_{0}^{5} = 75J W_{y} = \int_{0}^{-3} y^1 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{-3} = -9J W_{T} = 66J b) F(x) = -be^{ax} W = \int_{x_i}^{x_f} -be^{ax} dx = \left. -\frac{b}{a}e^{ax} \right|_{x_i}^{x_f} = -\frac{b}{a} \left[ e^{ax_f} - e^{ax_i} \right] W = \frac{k}{a}e^{a(x_i - x_f)} 2) a) \begin{array}{c} -15m \ \ 0 \ \ 15 \ \ 60m \end{array} k = 200N/m \frac{1}{2} 200 (0.15)^2 = |mg\mu d \cos 180^\circ| 100 (0.15)^2 = 2.0 \ 10 \mu = 0.75 \quad \mu_c = 0.15 b) \frac{1}{2} 200 (0.15)^2 = \frac{1}{2} 2.0 \ v^2 + 2.0 \cdot 10 \cdot 0.15 \cdot 0.30 v = 1,16m/s 3) right + right + \frac{1}{2} mv^2 = 2g (1 - h) = v^2 \quad v = 44,7m/s 4) Coordenadas do CM da parte de ferro: (6,50cm ; 5,50cm ; 1,40m) Coordenadas do CM da parte de aluminio: (-6,50cm ; 16,5cm ; 1,40m) \begin{array}{c} x_{cm} = \frac{-6.50}{F_{cm} = S_{m, V}} \approx 8.32cm \end{array} y_{CM} = \frac{S_{cm} V}{(5.50) + (6,5)} V \approx 8,32cm v_1 = 34 m/s \quad m = 58g \Delta p = J \quad \Delta p = (58 \times 10^{-3} \times 34) kgm/s = 3,944 kgm/s J = \frac{(2s + 6s)F_{max}}{2} = 3.944 \quad F_{max} = 0.9866 N Etapa: \theta_0 = 60^\circ \cdot v_0 v_{0x} = v_0 \cos \theta_0 v_{y}^2 = {v_0 \sin \theta_0}^2 - 2.0 \frac{2}{3} h h = \frac{v_0^2 \sin 2\theta_0}{20} v_{y}^2 = {v_0 \sin \theta_0}^2 - \frac{40}{3} h v_{f} = \sqrt{\frac{v_{0}^2 \cos^2 \theta_0 + v_{0}^2 \sin^2 \theta_0}{3}} = v_0 \left( \cos^2\theta_0 + \frac{1}{3} \sin^2\theta_0 \right)^{1/2}